رتبه ماتریس صفر چقدر است. رتبه ماتریس و مینور پایه یک ماتریس

ابتداییتبدیل های ماتریسی زیر نامیده می شوند:

1) جایگشت هر دو سطر (یا ستون)،

2) ضرب یک ردیف (یا ستون) در یک عدد غیر صفر،

3) افزودن به یک سطر (یا ستون) سطر (یا ستون) دیگر ضرب در تعدادی.

دو ماتریس نامیده می شوند معادل، اگر یکی از آنها با کمک مجموعه ای متناهی از تبدیل های ابتدایی از دیگری به دست آید.

ماتریس های معادل، به طور کلی، برابر نیستند، اما رتبه های آنها برابر است. اگر ماتریس های A و B معادل باشند، به صورت A ~ B نوشته می شود.

ابتداییماتریس ماتریسی است که دارای چندین 1 در یک ردیف در ابتدای مورب اصلی است (تعداد آنها ممکن است صفر باشد) و همه عناصر دیگر برابر با صفر هستند، برای مثال،

با کمک تبدیل های ابتدایی ردیف ها و ستون ها، هر ماتریسی را می توان به یک ماتریس متعارف کاهش داد. رتبه یک ماتریس متعارف برابر است با تعداد یک ها در مورب اصلی آن.

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

A=

و آن را به شکل متعارف برسانید.

راه حل.سطر اول را از ردیف دوم کم کنید و این ردیف ها را دوباره مرتب کنید:

.

حالا از ردیف دوم و سوم، ردیف اول را به ترتیب در 2 و 5 ضرب کنید:

;

ردیف اول را از ردیف سوم کم کنید. ماتریس را می گیریم

B = ,

که معادل ماتریس A است، زیرا با استفاده از مجموعه ای محدود از تبدیل های ابتدایی از آن به دست می آید. بدیهی است که رتبه ماتریس B 2 است و از این رو r(A)=2 است. ماتریس B را می توان به راحتی به ماتریس متعارف کاهش داد. با کم کردن ستون اول، ضرب در اعداد مناسب، از تمام ستون های بعدی، تمام عناصر ردیف اول به جز اولین را صفر می کنیم و عناصر سطرهای باقی مانده تغییر نمی کنند. سپس، با کم کردن ستون دوم، ضرب در اعداد مناسب، از همه موارد بعدی، تمام عناصر ردیف دوم به جز دوم را صفر می کنیم و ماتریس متعارف را بدست می آوریم:

.

قضیه کرونکر - کاپلی- معیار سازگاری سیستم معادلات جبری خطی:

برای سازگاری یک سیستم خطی، لازم و کافی است که رتبه ماتریس توسعه یافته این سیستم با رتبه ماتریس اصلی آن برابر باشد.

اثبات (شرایط سازگاری سیستم)

ضرورت

اجازه دهید سیستممفصل سپس اعدادی وجود دارد که . بنابراین، ستون ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است. از آنجایی که رتبه یک ماتریس در صورت حذف سیستم ردیف‌ها (ستون‌های) آن یا اختصاص یک ردیف (ستون) که ترکیبی خطی از سایر ردیف‌ها (ستون‌ها) است، تغییر نمی‌کند، نتیجه می‌شود که .

کفایت

اجازه دهید . بیایید مقداری جزئی اساسی در ماتریس در نظر بگیریم. از آنجایی که , پس از آن نیز مینور پایه ماتریس خواهد بود . سپس با توجه به قضیه مبنا جزئی، آخرین ستون ماتریس ترکیبی خطی از ستون های پایه، یعنی ستون های ماتریس خواهد بود. بنابراین ستون اعضای آزاد سیستم ترکیبی خطی از ستون های ماتریس است.

عواقب

تعداد متغیرهای اصلی سیستم هایبرابر با رتبه سیستم

مفصل سیستمتعریف می شود (راه حل آن منحصر به فرد است) در صورتی که رتبه سیستم برابر با تعداد همه متغیرهای آن باشد.

سیستم معادلات همگن

پیشنهاد15 . 2 سیستم معادلات همگن

همیشه مشارکتی است

اثبات. برای این سیستم، مجموعه اعداد،،، راه حل است.

در این قسمت از نماد ماتریسی سیستم استفاده می کنیم: .

پیشنهاد15 . 3 مجموع جواب های یک سیستم همگن معادلات خطی راه حل این سیستم است. جواب ضرب در عدد نیز راه حل است.

اثبات. اجازه دهید و به عنوان راه حل های سیستم خدمت کنید. سپس و . اجازه دهید . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

اجازه دهید یک عدد دلخواه باشد، . سپس

از آنجا که، پس یک راه حل است.

نتیجه15 . 1 اگر یک سیستم همگن از معادلات خطی راه حل غیر صفر داشته باشد، آنگاه راه حل های بی نهایت متفاوتی دارد.

در واقع، با ضرب یک راه حل غیر صفر در اعداد مختلف، جواب های متفاوتی بدست می آوریم.

تعریف15 . 5 خواهیم گفت که راه حل ها سیستم ها شکل می گیرند سیستم تصمیم گیری اساسیاگر ستون ها یک سیستم مستقل خطی را تشکیل می دهند و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این ستون ها است.

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در مورد رتبه یک ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب یک مینور غیر صفر یک ماتریس است.

قبلاً در درس تعیین کننده ها به مفهوم صغیر پرداخته ایم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید چند سطر و چند ستون در ماتریس بگیریم، و این "چیزی" باید کمتر از تعداد سطرها و ستون های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون ها این "چیزی" باید به همان تعداد باشد. سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه کوچکتر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. تعیین کننده این ماتریس در صورتی که «چیزی» ذکر شده (تعداد سطرها و ستون‌ها) با k نشان داده شود، مرتبه k مینور خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)-th order، که در آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام، برای مینور داده شده مرز نامیده می شود.

دو روش متداول پیدا کردن رتبه یک ماتریس. این روش حاشیه نشینی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(به روش گاوس).

روش مرزبندی مینورها از قضیه زیر استفاده می کند.

قضیه 2 در مورد رتبه یک ماتریس.اگر می توان از عناصر ماتریس یک مینور درست کرد rمرتبه ام که برابر با صفر نیست، رتبه ماتریس برابر است با r.

با روش تبدیل های ابتدایی از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست آید، رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن به جز خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده اند.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش مرزبندی مینورها

یک مینور مرزی، یک مینور از مرتبه بالاتر نسبت به مورد داده شده است، اگر این مینور از مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

لبه ها چنین خرده هایی خواهند بود:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. ما مینورهای مرتبه دوم را می یابیم که برابر با صفر نیستند. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، ما مینورهای مرتبه سوم مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای حاشیه آن را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم مرزی صفر باشند، رتبه ماتریس سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد ادامه دهید.

مثال 1رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

.

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

ما آن را قاب می کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

,

,

بنابراین، تمام مینورهای مرتبه سوم مرزی برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس دو است ( r =2 ).

مثال 2رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 1 است، زیرا همه مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد، مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال بعدی، از دانش آموزان عزیز دعوت می شود تا خودشان تایید کنند، شاید با استفاده از قواعد محاسبه دترمینال ها)، و در بین مینورهای مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، برابر با صفر نیست.

مثال 3رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی (به روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 می توان دید که مشکل تعیین رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از تعیین کننده ها است. با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

تبدیل های اولیه یک ماتریس به معنای عملیات زیر است:

1) ضرب هر سطر یا هر ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) به عناصر هر سطر یا هر ستون ماتریس، عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر را که در همان عدد ضرب می شود، اضافه کنید.

3) مبادله دو سطر یا ستون از یک ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب، به جز یک.

قضیه.تبدیل ابتدایی رتبه ماتریس را تغییر نمی دهد. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبرو به ماتریس ب, آن .

رتبه یک ماتریس یک مشخصه عددی مهم است. معمولی ترین مسئله ای که نیاز به یافتن رتبه یک ماتریس دارد، بررسی سازگاری یک سیستم معادلات جبری خطی است. در این مقاله مفهوم رتبه یک ماتریس را بیان می کنیم و روش هایی برای یافتن آن در نظر می گیریم. برای جذب بهتر مواد، راه حل های چند نمونه را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعیین رتبه یک ماتریس و مفاهیم اضافی لازم.

قبل از بیان تعریف رتبه یک ماتریس، باید مفهوم مینور را به خوبی درک کرد و یافتن مینورهای یک ماتریس مستلزم توانایی محاسبه تعیین کننده است. بنابراین توصیه می کنیم، در صورت لزوم، تئوری مقاله، روش های یافتن تعیین کننده ماتریس، ویژگی های تعیین کننده را یادآوری کنید.

یک ماتریس A به ترتیب بگیرید. فرض کنید k یک عدد طبیعی باشد که از کوچکترین اعداد m و n تجاوز نکند، یعنی: .

تعریف.

مرتبه k-ام جزئیماتریس A تعیین کننده ماتریس مربع ترتیب است که از عناصر ماتریس A تشکیل شده است که در k ردیف و ستون از پیش انتخاب شده قرار دارند و مکان عناصر ماتریس A حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر در ماتریس A (p–k) ردیف‌ها و (n–k) ستون‌ها را حذف کنیم و با حفظ آرایش عناصر ماتریس A، ماتریسی از بقیه عناصر تشکیل دهیم، آنگاه تعیین‌کننده ماتریس حاصل می‌شود. جزئی از مرتبه k ماتریس A.

بیایید با استفاده از یک مثال به تعریف ماتریس مینور نگاه کنیم.

ماتریس را در نظر بگیرید .

اجازه دهید چند عدد فرعی مرتبه اول این ماتریس را بنویسیم. به عنوان مثال، اگر ردیف سوم و ستون دوم ماتریس A را انتخاب کنیم، انتخاب ما با یک مینور مرتبه اول مطابقت دارد. . به عبارت دیگر، برای به دست آوردن این مینور، ردیف های اول و دوم و همچنین ستون های اول، سوم و چهارم را از ماتریس A خط زدیم و از عنصر باقی مانده، تعیین کننده را ساختیم. اگر سطر اول و ستون سوم ماتریس A را انتخاب کنیم، یک مینور دریافت می کنیم .

اجازه دهید روش به دست آوردن خردسالان مرتبه اول را توضیح دهیم
و .

بنابراین، مینورهای مرتبه اول یک ماتریس، خود عناصر ماتریس هستند.

اجازه دهید چند خرده درجه دوم را نشان دهیم. دو سطر و دو ستون را انتخاب کنید. برای مثال سطر اول و دوم و ستون سوم و چهارم را بگیرید. با این انتخاب، ما یک مینور درجه دوم داریم . این مینور همچنین می تواند با حذف ردیف سوم، ستون اول و دوم از ماتریس A تشکیل شود.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه دوم ماتریس A است.

اجازه دهید ساخت این خردسالان درجه دوم را به تصویر بکشیم
و .

مینورهای مرتبه سوم ماتریس A را می توان به طور مشابه یافت. از آنجایی که در ماتریس A فقط سه ردیف وجود دارد، همه آنها را انتخاب می کنیم. اگر سه ستون اول را برای این سطرها انتخاب کنیم، یک مینور از مرتبه سوم دریافت می کنیم

همچنین می توان آن را با حذف آخرین ستون ماتریس A ساخت.

یکی دیگر از مینورهای مرتبه سوم است

با حذف ستون سوم ماتریس A به دست می آید.

در اینجا نقشه ای است که ساخت این خرده های درجه سوم را نشان می دهد
و .

برای یک ماتریس معین A، هیچ جزئی از مرتبه بالاتر از سوم وجود ندارد، زیرا .

چند مینور مرتبه k از ماتریس مرتبه A وجود دارد؟

تعداد مرتبه k مینورها را می توان به صورت , Where محاسبه کرد و - تعداد ترکیبات از p تا k و از n تا k به ترتیب.

چگونه می توان همه مینورهای مرتبه k ماتریس A از مرتبه p را روی n ساخت؟

ما به مجموعه ای از اعداد ردیف ماتریس و مجموعه ای از اعداد ستون نیاز داریم. ضبط همه چیز ترکیب عناصر p توسط k(هنگام ساختن یک مینور از مرتبه k با ردیف های انتخابی ماتریس A مطابقت دارند). به هر ترکیبی از اعداد ردیف، تمام ترکیبات n عنصر را با k عدد ستون به ترتیب اضافه می کنیم. این مجموعه‌ای از ترکیب‌های اعداد ردیف و اعداد ستون‌های ماتریس A به ترکیب همه فرعی‌های مرتبه k کمک می‌کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

همه مینورهای مرتبه دوم ماتریس را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که ترتیب ماتریس اصلی 3 در 3 است، مجموع مینورهای مرتبه دوم خواهند بود .

بیایید تمام ترکیبات 3 تا 2 ردیفی ماتریس A را بنویسیم: 1، 2; 1، 3 و 2، 3. تمام ترکیب های 3 در 2 شماره ستون 1، 2 هستند. 1، 3 و 2، 3.

ردیف اول و دوم ماتریس A را در نظر بگیرید. با انتخاب ستون های اول و دوم برای این ردیف ها، ستون های اول و سوم، ستون های دوم و سوم، به ترتیب مینورها را به دست می آوریم.

برای سطرهای اول و سوم، با انتخاب مشابهی از ستون ها، داریم

باقی مانده است که ستون های اول و دوم، اول و سوم، دوم و سوم را به ردیف های دوم و سوم اضافه کنید:

بنابراین، تمام نه مینور مرتبه دوم ماتریس A یافت می شوند.

اکنون می توانیم به تعیین رتبه ماتریس برویم.

تعریف.

رتبه ماتریسیبالاترین مرتبه مینور ماتریس غیر صفر است.

رتبه ماتریس A به عنوان رتبه (A) نشان داده می شود. همچنین می توانید عناوین Rg(A) یا Rang(A) را مشاهده کنید.

از تعاریف رتبه یک ماتریس و مینور یک ماتریس می توان نتیجه گرفت که رتبه یک ماتریس صفر برابر با صفر است و رتبه یک ماتریس غیر صفر حداقل یک است.

پیدا کردن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف.

بنابراین، اولین روش برای یافتن رتبه یک ماتریس است روش شمارش جزئی. این روش بر اساس تعیین رتبه ماتریس است.

اجازه دهید ما باید رتبه یک ماتریس A را پیدا کنیم.

به طور مختصر توضیح دهید الگوریتمحل این مشکل با روش شمارش خردسالان.

اگر حداقل یک عنصر ماتریس غیر صفر باشد، رتبه ماتریس حداقل برابر با یک است (زیرا یک مینور مرتبه اول وجود دارد که برابر با صفر نیست).

در مرحله بعد، روی مینورهای مرتبه دوم تکرار می کنیم. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرتبه دوم غیر صفر وجود داشته باشد، به شمارش مینورهای مرتبه سوم می رویم و رتبه ماتریس حداقل برابر با دو است.

به طور مشابه، اگر همه مینورهای مرتبه سوم صفر باشند، رتبه ماتریس دو است. اگر حداقل یک مینور مرتبه سوم غیر صفر وجود داشته باشد، رتبه ماتریس حداقل سه است و به شمارش مینورهای مرتبه چهارم می رویم.

توجه داشته باشید که رتبه یک ماتریس نمی تواند از کوچکترین p و n تجاوز کند.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .

راه حل.

از آنجایی که ماتریس غیر صفر است، رتبه آن کمتر از یک نیست.

جزئی از مرتبه دوم با صفر متفاوت است، بنابراین، رتبه ماتریس A حداقل دو است. به سرشماری خردسالان مرتبه سوم می پردازیم. همه آنها چیزها

همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه ماتریس دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

یافتن رتبه یک ماتریس به روش فرینگ مینورها.

روش های دیگری برای یافتن رتبه یک ماتریس وجود دارد که به شما امکان می دهد با کار محاسباتی کمتری به نتیجه برسید.

یکی از این روش ها است روش فرعی جزئی.

بیایید مقابله کنیم مفهوم صغیر مرزی.

گفته می شود که M ok جزئی از (k+1)امین مرتبه ماتریس A، M مینور از مرتبه k ماتریس A را احاطه می کند اگر ماتریس مربوط به کوچک M ok حاوی ماتریس مربوط به مینور باشد. م.

به عبارت دیگر، ماتریس مربوط به مینور M حاشیه دار از ماتریس مربوط به مینور حاشیه M ok با حذف عناصر یک سطر و یک ستون به دست می آید.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید و یک مینور از مرتبه دوم بگیرید. بیایید همه خردسالان مرزی را بنویسیم:

روش مرزبندی جزئی ها با قضیه زیر توجیه می شود (ما فرمول آن را بدون اثبات ارائه می کنیم).

قضیه.

اگر همه مینورهای مرتبه k-ام ماتریس A از مرتبه p در n برابر با صفر باشند، آنگاه همه مینورهای مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر هستند.

بنابراین، برای یافتن رتبه یک ماتریس، لازم نیست تمام موارد فرعی را که به اندازه کافی مرز دارند، برشماریم. تعداد مینورهای مجاور مینور مرتبه k ماتریس A با فرمول بدست می آید . توجه داشته باشید که کمتر از مینورهای مرتبه k (k + 1) ماتریس A در مرز مینور k-امین ماتریس A وجود ندارد. بنابراین، در بیشتر موارد استفاده از روش مرزبندی خردسالان سود بیشتری نسبت به برشمردن ساده همه خردسالان دارد.

اجازه دهید به یافتن رتبه یک ماتریس با روش حاشیه‌سازی مینورها ادامه دهیم. به طور خلاصه توضیح دهید الگوریتماین روش.

اگر ماتریس A غیر صفر باشد، هر عنصری از ماتریس A را که با صفر متفاوت باشد را به عنوان مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. ما خردسالان مرزی آن را در نظر می گیریم. اگر همه آنها برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر وجود داشته باشد (ترتیب آن برابر دو است)، به بررسی مینورهای حاشیه آن می پردازیم. اگر همه آنها صفر باشند، رتبه (A) = 2 است. اگر حداقل یک مینور مرزی غیر صفر باشد (ترتیب آن برابر با سه است)، آنگاه مینورهای حاشیه آن را در نظر می گیریم. و غیره. در نتیجه، اگر همه مینورهای مرزی مرتبه (k + 1) ماتریس A برابر با صفر باشند، رتبه (A) = k، اگر غیرصفری وجود داشته باشد، رتبه (A) = min (p, n) مینور که با مینور از مرتبه (min( p, n) – 1) هم مرز است.

بیایید روش مرزبندی مینورها را برای یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید با روش مینورهای مرزی

راه حل.

از آنجایی که عنصر a 1 1 از ماتریس A غیر صفر است، آن را به عنوان یک مینور مرتبه اول در نظر می گیریم. بیایید شروع به جستجو برای مینور حاشیه ای به غیر از صفر کنیم:

یک مینور مرتبه دوم حاشیه غیر صفر پیدا شد. اجازه دهید خردسالان مرزی آن را برشماریم (آنها چیزها):

همه مینورهایی که در مرز مینور مرتبه دوم قرار دارند برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس A برابر با دو است.

پاسخ:

رتبه (A) = 2.

مثال.

رتبه یک ماتریس را پیدا کنید با کمک خردسالان مرزی

راه حل.

به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول، عنصر a 1 1 = 1 از ماتریس A را می گیریم. فرینگ کردن آن جزئی از مرتبه دوم برابر با صفر نیست این مینور با مینور مرتبه سوم مرزبندی شده است
. از آنجایی که برابر با صفر نیست و هیچ مینور مرزی برای آن وجود ندارد، رتبه ماتریس A برابر با سه است.

پاسخ:

رتبه (A) = 3.

یافتن رتبه با استفاده از تبدیل های ابتدایی ماتریس (به روش گاوس).

راه دیگری را برای یافتن رتبه یک ماتریس در نظر بگیرید.

تبدیل های ماتریسی زیر ابتدایی نامیده می شوند:

• جایگشت سطرها (یا ستون ها) ماتریس؛
• ضرب تمام عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس با عدد دلخواه k که با صفر متفاوت است.
• افزودن به عناصر هر ردیف (ستون) عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد دلخواه k.

ماتریس B را معادل ماتریس A می نامند، اگر B با کمک تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی از A به دست آید. معادل ماتریس ها با نماد "~" نشان داده می شود، یعنی A ~ B نوشته می شود.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از تبدیل‌های ماتریس ابتدایی بر اساس این جمله است: اگر ماتریس B از ماتریس A با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل‌های ابتدایی به دست می‌آید، Rank(A) = Rank(B) .

اعتبار این عبارت از ویژگی های تعیین کننده ماتریس به دست می آید:

• هنگامی که سطرها (یا ستون‌های) یک ماتریس جایگشت می‌شوند، دترمینان آن علامت تغییر می‌کند. اگر برابر با صفر باشد، هنگام جابجایی سطرها (ستون ها)، برابر با صفر باقی می ماند.
• وقتی همه عناصر هر ردیف (ستون) ماتریس را در یک عدد دلخواه k متفاوت از صفر ضرب می کنیم، تعیین کننده ماتریس حاصل برابر با تعیین کننده ماتریس اصلی ضرب در k است. اگر تعیین کننده ماتریس اصلی برابر با صفر باشد، پس از ضرب همه عناصر هر سطر یا ستون در عدد k، تعیین کننده ماتریس حاصل نیز برابر با صفر خواهد بود.
• با افزودن عناصر یک ردیف (ستون) معین از ماتریس، عناصر مربوط به سطر (ستون) دیگر ماتریس، ضرب در عدد معینی k، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

جوهر روش تحولات ابتداییاین است که ماتریسی را که باید رتبه آن را پیدا کنیم، به ذوزنقه (در یک مورد خاص، به مثلث بالایی) با استفاده از تبدیل های ابتدایی برسانیم.

این برای چیست؟ یافتن رتبه ماتریس هایی از این دست بسیار آسان است. برابر است با تعداد ردیف هایی که حداقل یک عنصر غیر تهی را شامل می شود. و از آنجایی که رتبه ماتریس در طول تبدیل های ابتدایی تغییر نمی کند، مقدار حاصل رتبه ماتریس اصلی خواهد بود.

ما تصاویری از ماتریس ها را ارائه می دهیم که یکی از آنها باید پس از تبدیل به دست آید. شکل آنها به ترتیب ماتریس بستگی دارد.

این تصاویر الگوهایی هستند که ماتریس A را به آنها تبدیل می کنیم.

بیایید توصیف کنیم الگوریتم روش.

فرض کنید ما باید رتبه یک ماتریس غیر صفر مرتبه A را پیدا کنیم (p می تواند برابر با n باشد).

بنابراین، . بیایید تمام عناصر ردیف اول ماتریس A را در ضرب کنیم. در این حالت یک ماتریس معادل بدست می آوریم و آن را با A (1) نشان می دهیم:

به عناصر ردیف دوم ماتریس حاصل A (1)، عناصر مربوط به ردیف اول را در ضرب اضافه می کنیم. به عناصر ردیف سوم، عناصر مربوط به سطر اول را ضرب کنید. و به همین ترتیب تا خط p-ام. ما یک ماتریس معادل می گیریم، آن را با A (2) نشان می دهیم:

اگر همه عناصر ماتریس به دست آمده در ردیف های دوم تا p-th برابر با صفر باشند، رتبه این ماتریس برابر با یک و در نتیجه رتبه ماتریس اصلی برابر با یک است. .

اگر حداقل یک عنصر غیر صفر در ردیف های دوم تا p-th وجود داشته باشد، ما به انجام تبدیل ها ادامه می دهیم. علاوه بر این، دقیقاً به همین ترتیب عمل می کنیم، اما فقط با بخشی از ماتریس A که در شکل (2) مشخص شده است.

اگر، سطرها و (یا) ستون‌های ماتریس A (2) را مجدداً مرتب می‌کنیم تا عنصر «جدید» غیرصفر شود.

عدد r را رتبه ماتریس A می نامند اگر:
1) ماتریس A حاوی یک مینور غیر صفر از مرتبه r است.
2) تمام مینورهای مرتبه (r + 1) و بالاتر، در صورت وجود، برابر با صفر هستند.
در غیر این صورت، رتبه یک ماتریس بالاترین مرتبه مینور غیر صفر است.
نام‌گذاری‌ها: rangA، r A یا r.
از تعریف بر می آید که r یک عدد صحیح مثبت است. برای یک ماتریس تهی، رتبه صفر در نظر گرفته می شود.

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاین برای پیدا کردن طراحی شده است رتبه ماتریسی. راه حل در قالب Word و Excel ذخیره شده است. مثال راه حل را ببینید

دستورالعمل. بعد ماتریس را انتخاب کنید، روی Next کلیک کنید.

تعریف . اجازه دهید ماتریسی از رتبه r داده شود. هر ماتریس مینور غیر از صفر و از مرتبه r را پایه و سطرها و ستون های اجزای آن را سطرها و ستون های پایه می نامند.
با توجه به این تعریف، ماتریس A می تواند دارای چندین مینور پایه باشد.

رتبه ماتریس هویت E n (تعداد ردیف) است.

مثال 1. با توجه به دو ماتریس، و خردسالان آنها , . کدام یک از آنها را می توان مبنای قرار داد؟
راه حل. مینور M 1 = 0، بنابراین نمی تواند مبنایی برای هیچ یک از ماتریس ها باشد. Minor M 2 =-9≠0 و دارای مرتبه 2 است، بنابراین می توان آن را به عنوان ماتریس های پایه A یا / و B در نظر گرفت، مشروط بر اینکه دارای رتبه هایی برابر با 2 باشند. از آنجایی که detB=0 (به عنوان یک تعیین کننده با دو ستون متناسب)، پس rangB=2 و M 2 را می توان به عنوان مینور پایه ماتریس B در نظر گرفت. رتبه ماتریس A 3 است، با توجه به این واقعیت که detA=-27≠ 0 و بنابراین، ترتیب مینور پایه این ماتریس باید 3 باشد، یعنی M 2 مبنایی برای ماتریس A نیست. توجه داشته باشید که ماتریس A دارای پایه منحصر به فرد مینور برابر با تعیین کننده ماتریس A است.

قضیه (در مینور پایه). هر سطر (ستون) ماتریس ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) است.
پیامدهای قضیه.

1. هر ستون (r+1) (ردیف) از یک ماتریس با رتبه r به صورت خطی وابسته هستند.
2. اگر رتبه یک ماتریس کمتر از تعداد ردیف‌های آن (ستون‌ها) باشد، سطرها (ستون‌های) آن به صورت خطی وابسته هستند. اگر RangA برابر با تعداد سطرها (ستون) آن باشد، سطرها (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند.
3. تعیین کننده یک ماتریس A برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که سطرها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.
4. اگر سطر دیگری (ستون) ضرب در هر عددی غیر از صفر به سطر (ستون) ماتریس اضافه شود، رتبه ماتریس تغییر نخواهد کرد.
5. اگر یک ردیف (ستون) را در ماتریس خط بکشید که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) است، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.
6. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی آن (ستون).
7. حداکثر تعداد ردیف های مستقل خطی با حداکثر تعداد ستون های مستقل خطی برابر است.

مثال 2. رتبه یک ماتریس را پیدا کنید .
راه حل. بر اساس تعریف رتبه یک ماتریس، ما به دنبال یک مینور از بالاترین مرتبه متفاوت با صفر خواهیم بود. ابتدا ماتریس را به یک فرم ساده تر تبدیل می کنیم. برای این کار، ردیف اول ماتریس را در (-2) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید، سپس آن را در (-1) ضرب کرده و به ردیف سوم اضافه کنید.