چگونه اعداد را به سیستم های اعداد مختلف ترجمه کنیم. ترجمه اعداد به سیستم های اعداد مختلف

اهداف درس:

• مطالب مورد مطالعه را در سیستم شماره موضوع تکرار کنید.
• یاد بگیرید که چگونه یک عدد را از سیستم اعشاری به هر سیستم اعداد موقعیتی دیگری ترجمه کنید و بالعکس.
• تسلط بر اصول انتقال اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر؛
• توسعه تفکر منطقی

در طول کلاس ها

در ابتدای درس مرور و بررسی مختصری از تکالیف.

چگونه اطلاعات در حافظه کامپیوتر ذخیره می شود؟

سیستم های اعداد برای چه مواردی استفاده می شوند؟

چه نوع سیستم های عددی را می شناسید؟ مثال های خود را بیاورید

تفاوت بین سیستم های موقعیتی و سیستم های غیر موقعیتی چیست؟

هدف از درس ما این است که یاد بگیریم چگونه یک عدد را از سیستم اعشاری به هر سیستم اعداد موقعیتی دیگری تبدیل کنیم و بالعکس. اما در ابتدا، ما به این خواهیم پرداخت که چگونه می توانید

هر عدد صحیح غیر منفی را نشان می دهد:

در سیستم های موقعیتی، مقدار یک رکورد عدد صحیح با قانون زیر تعیین می شود: اجازه دهید a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 رکورد عدد A باشد و i رقم باشد، سپس

که در آن p یک عدد صحیح بزرگتر از 1 است که به آن پایه سیستم اعداد می گویند

برای اینکه هر عدد صحیح غیر منفی برای یک p داده شده با استفاده از فرمول (1) نوشته شود و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد، مقادیر عددی ارقام مختلف باید اعداد صحیح متفاوت متعلق به بخش از 0 تا p- باشد. 1.

1) سیستم اعشاری

ارقام: 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9

شماره 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) سیستم سه تایی

ارقام: 0،1،2

شماره 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 +1 3 0

نکته: زیرنویس در نماد یک عدد، پایه سیستم اعدادی را نشان می دهد که عدد در آن نوشته شده است. برای سیستم اعداد اعشاری، شاخص را می توان حذف کرد.

نمایش اعداد منفی و کسری:

در تمام سیستم های موقعیتی، مانند سیستم اعشاری از علامت '–' برای نوشتن اعداد منفی استفاده می شود. کاما برای جدا کردن قسمت صحیح یک عدد از قسمت کسری استفاده می شود. مقدار رکورد a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m عدد A با فرمول تعیین می شود که تعمیم آن است. فرمول 1):

75.6 = 7 10 1 +5 10 0 +6 10 –1

–2.314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

تبدیل اعداد از سیستم اعداد دلخواه به اعشاری:

باید درک کرد که هنگام ترجمه یک عدد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر، مقدار کمی عدد تغییر نمی کند، بلکه فقط شکل نوشتن عدد تغییر می کند، همانطور که هنگام ترجمه نام عدد، به عنوان مثال، از روسی به انگلیسی.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد دلخواه به اعشاری با محاسبه مستقیم با استفاده از فرمول (1) برای اعداد صحیح و فرمول (2) برای اعداد کسری انجام می شود.

تبدیل اعداد از اعشار به دلخواه.

تبدیل یک عدد از یک سیستم اعشاری به یک سیستم با پایه p به معنای یافتن ضرایب در فرمول (2) است. گاهی اوقات انجام این کار با یک انتخاب ساده آسان است. به عنوان مثال، فرض کنید می خواهید عدد 23.5 را به هشتی تبدیل کنید. به راحتی می توان فهمید که 23.5 = 16+7+0.5 = 2 8+7+4/8 = 2 8 1 +7 8 0 +4 8 –1 = 27.48. واضح است که پاسخ همیشه چندان واضح نیست. در حالت کلی از روش ترجمه اعداد صحیح و کسری یک عدد به صورت جداگانه استفاده می شود.

برای ترجمه اعداد صحیح از الگوریتم زیر استفاده می شود (به دست آمده بر اساس فرمول (1)):

1. ضریب و باقیمانده تقسیم یک عدد بر p را پیدا کنید. باقیمانده رقم بعدی ai (j=0,1,2 ...) عدد در سیستم اعداد جدید خواهد بود.

2. اگر ضریب صفر باشد، ترجمه عدد تکمیل می شود، در غیر این صورت بند 1 را به ضریب اعمال می کنیم.

نکته 1. ارقام ai در نماد یک عدد از راست به چپ شماره گذاری می شوند.

نکته 2. اگر p>10 باشد، لازم است برای ارقام با مقادیر عددی بزرگتر یا مساوی 10 علامت گذاری شود.

تبدیل عدد 165 به سیستم اعداد سپتیمال.

165:7 = 23 (باقيمانده 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (باقیمانده 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (باقی مانده 3) => a 2 = 3

بیایید نتیجه را بنویسیم: a 2 a 1 a 0, i.e. 3247.

پس از بررسی طبق فرمول (1)، از صحت ترجمه مطمئن می شویم:

3247=3 7 2 +2 7 1 +4 7 0 =3 49+2 7+4 = 147+14+4 = 165.

برای ترجمه قطعات کسری اعداد از الگوریتم به دست آمده بر اساس فرمول (2) استفاده می شود:

1. جزء کسری عدد را در p ضرب کنید.

2. قسمت صحیح حاصل، رقم بعدی am (m = -1، -2، -3 ...) عدد در سیستم اعداد جدید خواهد بود. اگر قسمت کسری حاصل برابر با صفر باشد، ترجمه عدد تکمیل می شود، در غیر این صورت بند 1 را به آن اعمال می کنیم.

نکته 1. ارقام a m در نماد یک عدد از چپ به راست به ترتیب صعودی قدر مطلق m مرتب شده اند.

نکته 2. معمولاً تعداد ارقام کسری در نماد جدید یک عدد از قبل محدود می شود. این به شما امکان می دهد ترجمه تقریبی را با دقت مشخص انجام دهید. در مورد کسرهای نامتناهی، چنین محدودیتی محدود بودن الگوریتم را تضمین می کند.

عدد 0.625 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

0.625 2 = 1.25 (کل قسمت 1) => a -1 =1

0.25 2 = 0.5 (کل قسمت 0) => a- 2 = 0

0.5 2 = 1.00 (کل قسمت 1) => a- 3 = 1

بنابراین 0.62510 = 0.1012

پس از بررسی فرمول (2)، از صحت ترجمه مطمئن خواهیم شد:

0.1012=1 2 -1 +0 2- 2 +1 2 -3 =1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625.

عدد 0.165 را به سیستم اعداد چهارتایی تبدیل کنید و خود را به چهار رقم چهارتایی محدود کنید.

0.165 4 = 0.66 (کل قسمت 0) => a -1 = 0

0.66 4 = 2.64 (کل قسمت 2) => a -2 = 2

0.64 4 = 2.56 (کل قسمت 2) => a -3 = 2

0.56 4 = 2.24 (کل قسمت 2) => a -4 = 2

بنابراین، 0.16510 ” 0.02224

بیایید یک ترجمه برگشتی انجام دهیم تا مطمئن شویم که خطای مطلق از 4-4 تجاوز نمی کند:

0.02224 = 0 4 -1 +2 4 -2 +2 4 -3 +2 4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

ترجمه اعداد از یک سیستم دلخواه به سیستم دیگر

در این حالت ابتدا باید عدد را به سیستم اعشاری و سپس از اعشاری به عدد مورد نیاز تبدیل کنید.

به صورت ویژه ترجمه اعداد برای سیستم هایی با پایه های متعدد انجام می شود.

فرض کنید p و q پایه های دو سیستم عددی باشند. اگر p = qn یا q = pn که n یک عدد طبیعی است، این سیستم ها را سیستم های عددی با پایه های متعدد می نامیم. بنابراین، برای مثال، سیستم های اعداد با پایه های 2 و 8، سیستم های اعداد با پایه های متعدد هستند.

فرض کنید p = qn و لازم است یک عدد از سیستم عددی با پایه q به سیستم عددی با پایه p تبدیل شود. بیایید قسمت های صحیح و کسری عدد را به گروه های n رقمی متوالی در سمت چپ و راست نقطه اعشار تقسیم کنیم. اگر تعداد ارقام در رکورد قسمت صحیح عدد مضرب n نباشد، باید تعداد صفرهای مربوطه در سمت چپ اضافه شود. اگر تعداد ارقام در رکورد قسمت کسری عدد مضرب n نباشد، به سمت راست صفر اضافه می شود. هر گروه از ارقام موجود در عدد در سیستم اعداد قدیمی با یک رقم در عدد در سیستم اعداد جدید مطابقت دارد.

بیایید 1100001.111 2 را به سیستم اعداد چهارتایی ترجمه کنیم.

با اضافه کردن صفرها و برجسته کردن جفت ارقام، 01100001.11102 را دریافت می کنیم.

حالا بیایید هر جفت ارقام را جداگانه با استفاده از مورد ترجمه اعداد از یک سیستم دلخواه به سیستم دیگر ترجمه کنیم.

بنابراین، 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

فرض کنید اکنون لازم است یک انتقال از یک سیستم با پایه q بزرگ به یک سیستم با پایه p کوچکتر انجام شود، یعنی. q = p n . در این حالت، یک رقم از عدد در سیستم اعداد قدیمی با n رقم از عدد در سیستم اعداد جدید مطابقت دارد.

مثال: بیایید ترجمه قبلی یک عدد را بررسی کنیم.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

در سیستم هگزادسیمال ارقامی با مقادیر عددی 10،11،12، 13،14،15 وجود دارد. برای تعیین آنها از شش حرف اول الفبای لاتین A، B، C، D، E، F استفاده می شود.

در اینجا جدولی از اعداد از 0 تا 16 وجود دارد که در سیستم های اعداد با پایه های 10، 2، 8 و 16 نوشته شده است.

برای نوشتن ارقام هگزا دسیمال می توانید از حروف کوچک لاتین a-f نیز استفاده کنید.

مثال: عدد 110101001010101010100.11 2 را به هگزادسیمال تبدیل کنید.

از تعدد پایه های سیستم های اعداد (16=2 4) استفاده می کنیم. اعداد را چهار گروه می کنیم و در سمت چپ و راست تعداد صفرهای لازم را اضافه می کنیم

000110101001010101010100,1100 2

و با مراجعه به جدول بدست می آوریم: 1A9554,C 16

نتیجه:

در کدام سیستم اعداد بهتر است اعداد بنویسند، امری راحت و سنتی است. از نقطه نظر فنی، استفاده از یک سیستم باینری در رایانه راحت است، زیرا فقط از دو رقم 0 و 1 برای نوشتن یک عدد استفاده می کند که می تواند با دو حالت به راحتی قابل تشخیص "بدون سیگنال" و "وجود دارد" نشان داده شود. یک سیگنال».

و برعکس، پرداختن به رکوردهای باینری اعداد برای شخص ناخوشایند است، زیرا آنها از اعشار طولانی تر هستند و ارقام تکراری زیادی دارند. بنابراین، در صورت نیاز به کار با نمایش ماشینی اعداد، از سیستم های اعداد هشت یا هگزادسیمال استفاده می شود. پایه های این سیستم ها از توان های صحیح دو است و بنابراین اعداد به راحتی از این سیستم ها به باینری و بالعکس تبدیل می شوند.

ما تکلیف را در خانه می نویسیم:

الف) تاریخ تولد همه اعضای خانواده خود را در سیستم های اعداد مختلف بنویسید.

ب) اعداد را از باینری به هشتی و هگزادسیمال تبدیل کنید، سپس نتایج را با تبدیل مجدد بررسی کنید:

الف) 1001111110111.011 2 ;

هنگام ترجمه اعداد از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر، قسمت های اعداد صحیح و کسری همیشه به طور جداگانه ترجمه می شوند (طبق قوانین مختلف).

ترجمه کل قسمت

برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگری، باید یک تقسیم عدد صحیح از عدد اصلی را بر پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید، انجام دهید. در این مورد، باقیمانده تقسیم و ضریب مهم است. ضریب باید بر پایه تقسیم شود تا 0 باقی بماند. پس از آن، تمام باقیمانده ها باید به ترتیب معکوس نوشته شوند - این عدد در سیستم اعداد جدید خواهد بود.

به عنوان مثال، ترجمه - عدد 25 از اعشار به دودویی به این صورت است:

با نوشتن باقی مانده ها به ترتیب معکوس، 25 10 = 11001 2 دریافت می کنیم.

اگر در مورد آن فکر کنید، به راحتی می توانید متوجه شوید که هنگام تبدیل مطلقاً هر عددی به سیستم اعداد باینری، آخرین باقیمانده (یعنی اولین رقم در نتیجه) همیشه برابر با آخرین ضریب است که تبدیل شده است. کمتر از پایه سیستم اعدادی باشد که در آن عدد را ترجمه می کنیم. بنابراین، تقسیم اغلب قبل از اینکه ضریب برابر با صفر شود متوقف می شود - در لحظه ای که ضریب به سادگی از پایه کمتر می شود. مثلا:

ترجمه از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری دقیقاً طبق قوانین مشابه انجام می شود. در اینجا مثالی از تبدیل 393 10 به هگزادسیمال آورده شده است:

با نوشتن باقی مانده ها به ترتیب معکوس، 393 10 = 189 16 به دست می آید.

باید بدانید که باقی مانده ها در سیستم اعداد اعشاری به دست می آیند. هنگام تقسیم بر 16، باقیمانده ها ممکن است نه تنها از 0 تا 9، بلکه باقیمانده های 10 تا 15 نیز ظاهر شوند. هر باقیمانده همیشه دقیقاً یک رقم در سیستم اعدادی است که انتقال به آن انجام می شود.

به عنوان مثال، اگر هنگام تبدیل به سیستم اعداد هگزادسیمال، باقیمانده های زیر را دریافت کردید (به ترتیبی که باید در عدد نوشته شوند): 10، 3، 15، 7، سپس در سیستم اعداد هگزادسیمال این دنباله از باقیمانده ها با عدد A3F7 16 مطابقت دارند (برخی به اشتباه عدد را 103157 16 می نویسند - قابل درک است که این یک عدد کاملاً متفاوت است و اگر این کار را انجام دهید معلوم می شود که ارقام A تا F نمی توانند در هر عدد هگزادسیمال ظاهر می شود).

ترجمه کسری

هنگام ترجمه قسمت کسری، برخلاف ترجمه قسمت صحیح، نباید تقسیم کرد، بلکه باید در پایه سیستم اعدادی که به آن ترجمه می کنیم ضرب کرد. در این حالت، هر بار کل اجزاء دور ریخته می شوند و اجزاء کسری دوباره ضرب می شوند. پس از جمع آوری کل قطعات به ترتیب دریافت آنها، قسمت کسری عدد در سیستم شماره مورد نظر به دست می آید.

یک عمل ضرب دقیقاً یک علامت اضافی را در سیستم عددی که ترجمه در آن انجام می شود، می دهد.

دو شرط برای پایان دادن به فرآیند وجود دارد:

1) در نتیجه ضرب بعدی، در قسمت کسری صفر به دست می آورید. واضح است که هر چقدر این صفر را ضرب کنید باز هم صفر می ماند. این بدان معنی است که عدد دقیقاً از سیستم اعداد اعشاری به عدد صحیح منتقل شده است.

2) همه اعداد را نمی توان به طور دقیق ترجمه کرد. در این حالت معمولاً با کمی دقت ترجمه می شود. در این مورد، ابتدا مشخص می شود که چند رقم اعشار مورد نیاز خواهد بود - دقیقاً این تعداد دفعات است که عملیات ضرب باید انجام شود.

در اینجا مثالی از تبدیل عدد 0.39 10 به سیستم اعداد باینری آورده شده است. دقت - 8 رقم (در این مورد، دقت ترجمه خودسرانه انتخاب می شود):

اگر قطعات صحیح را به ترتیب مستقیم بنویسیم، 0.39 10 = 0.01100011 2 به دست می آید.

اولین صفر (که در شکل با رنگ آبی خط خورده است) نیازی به نوشتن ندارد - زیرا به قسمت کسری اشاره نمی کند، بلکه به کل اشاره دارد. برخی هنگام نوشتن نتیجه به اشتباه این صفر را بعد از اعشار می نویسند.

ترجمه عدد 0.39 10 به سیستم اعداد هگزادسیمال به این صورت خواهد بود. دقت - 8 رقم در این مورد، دقت مجدداً خودسرانه انتخاب می شود:

اگر قسمت های صحیح را به ترتیب مستقیم بنویسیم، 0.39 10 = 0.63D700A3 16 به دست می آید.

در همان زمان، احتمالاً متوجه شده اید که اجزای صحیح هنگام ضرب در سیستم اعداد اعشاری به دست می آیند. این قسمت های صحیح که هنگام ترجمه قسمت کسری عدد بدست می آیند باید به همان روشی که باقی مانده ها هنگام ترجمه قسمت صحیح عدد تفسیر شوند. یعنی اگر هنگام ترجمه به یک سیستم اعداد هگزا دسیمال، قطعات صحیح به این ترتیب تبدیل شوند: 3، 13، 7، 10، عدد مربوطه 0.3D7A 16 خواهد بود (و نه 0.313710 16، همانطور که برخی گاهی به اشتباه می نویسند. پایین).

ترجمه یک عدد با یک عدد صحیح و یک جزء کسری

برای ترجمه یک عدد با یک عدد صحیح و یک جزء کسری باید قسمت صحیح را جداگانه و قسمت کسری را جداگانه ترجمه کنید و بنابراین این دو قسمت را با هم بنویسید.

به عنوان مثال، 25.39 10 \u003d 11001.01100011 2 (ترجمه قسمت های عدد صحیح و کسری - به بالا مراجعه کنید).

تبدیل اعداد صحیح کوچک از اعشاری به باینری در ذهن

از آنجایی که هنگام کار با سیستم های اعداد مختلف، به ویژه هنگام توسعه برنامه ها، اغلب لازم است اعداد صحیح کوچک ترجمه شوند، بنابراین، به طور کلی، منطقی است که 16 عدد اول (از 0 تا 15) را به خاطر بسپارید.

اما اگر بفهمید که تبدیل ذهنی اعداد صحیح کوچک از 0 به 15 از اعشار به باینری چقدر آسان است، می توانید به سادگی هر بار که به آن نیاز دارید، بخش قابل توجهی از جدول را در ذهن خود محاسبه کنید. این عمل را بارها انجام دهید و در برخی مواقع خودتان نمی توانید درک کنید - قبلاً جدول را حفظ کرده اید یا هنوز در حال محاسبه هستید.

بنابراین، برای تبدیل یک عدد صحیح مثبت کوچک از 0 به 15 از اعشاری به باینری، اولین چیزی که باید درک کرد این است که هر موقعیت در عدد باینری با توان دو مطابقت دارد. در عین حال، قدرت های دو برای موقعیت های 0 تا 3 بسیار آسان است - این اعداد 1، 2، 4 و 8 هستند:

و عدد 10 2 به اضافه 8 است:

خوب، عدد 0 گناهی است که نباید به خاطر بسپارید، زیرا برای به دست آوردن آن، نیازی به اضافه کردن چیزی نیست.

تبصره 1

اگر می خواهید عددی را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر تبدیل کنید، راحت تر است که ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری منتقل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

در فناوری رایانه با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی دارد. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام ترجمه یک عدد باینری به یک اعشاری، باید عدد باینری را به صورت چندجمله‌ای نشان داد، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 2 دلار نمایش داده می‌شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $1$ از درجه پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10) دلار

برای تبدیل یک عدد از هشتی به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

X_8 $ = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $2$ از درجه پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

تبدیل عدد $FFA2_(16)$ به سیستم اعداد اعشاری.

راه حل.با استفاده از جدول فوق از توان های پایه $3$ از $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به دودویی، باید به طور متوالی بر 2$ تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با $1$ باقی بماند. یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 4

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به اکتال، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد را در سیستم اعداد هشتگانه به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس ارائه دهید.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 5

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید آن را متوالی بر 16 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. یک عدد را به صورت هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس بیان کنید.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

برای تبدیل کسر مناسب از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد تبدیل شده را در پایه سیستمی که قرار است به آن تبدیل شود ضرب کنیم. کسری در سیستم جدید به عنوان بخش های کامل از محصولات ارائه می شود که از اول شروع می شود.

برای مثال: $0.3125_((10))$ در اکتال مانند $0.24_(((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری متناهی می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، صفرها را به بالاترین سه گانه اضافه کرد، سپس طبق جدول، هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. 4.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل. با استفاده از جدول 4، عدد را از باینری به هشتی ترجمه می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، تتراد ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر تتراد باید با رقم هشتی مربوطه جایگزین شود. جدول 4.

می توانید اعداد کامل مانند 34 یا اعداد کسری مانند 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.

موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:

راه های نمایش اعداد

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

مثال شماره 1.



ترجمه از 2 تا 8 تا 16 سیستم شماره.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین، ترجمه با استفاده از جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).

برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به یک عدد اکتال (هگزا دسیمال)، لازم است عدد باینری را از یک کاما به سمت راست و چپ به گروه‌های سه عددی (چهار رقمی برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های افراطی را با صفر تکمیل کنیم. در صورت لزوم هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.

مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

هنگام تبدیل به هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین یکسان، عدد را به قطعات، هر کدام چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه می شود) به توان مربوط به عدد ترتیبی آن افزایش می یابد. در شماره ترجمه شده در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول دارای عدد 0) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.

مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هشتی به اعشاری. 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد هگزا دسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

یک بار دیگر الگوریتم ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم

1. از سیستم اعداد اعشاری:
   • عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
   • پس از تقسیم عدد صحیح، باقیمانده را پیدا کنید.
   • تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
2. از سیستم باینری
   • برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، باید مجموع محصولات پایه 2 را با درجه تخلیه مربوطه پیدا کنید.
   • برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
     به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
     به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16

جدول تبدیل به سیستم اعداد اکتالی

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

سیستم های اعداد

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره

چند کلمه در مورد سیستم اعداد. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ارقام (0.1)، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ارقام (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10،11 مطابقت دارد، 12،13،14،15 در جدول 1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف نشان داده شده اند.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8، برای 16 رقم - توسط 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.

مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:

همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.

برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا قسمت کسری به صفر خالص برسد، یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).

بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.

مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. فرآیند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین، می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.

بدست آورد:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.