مختصات منحنی. ایده کلی مختصات. مختصات منحنی بر روی سطح

تا به حال برای دانستن موقعیت یک نقطه در یک صفحه یا در فضا از سیستم مختصات دکارتی استفاده کرده ایم. بنابراین، برای مثال، ما موقعیت یک نقطه در فضا را با استفاده از سه مختصات تعیین کردیم. این مختصات ابسیسا، مختصات و کاربرد یک نقطه متغیر در فضا بودند. با این حال، واضح است که تعیین ابسیسا، ترتیب و کاربرد یک نقطه تنها راه تعیین موقعیت یک نقطه در فضا نیست. این را می توان به روش دیگری نیز انجام داد، به عنوان مثال، با استفاده از مختصات منحنی.

اجازه دهید، با توجه به برخی، قانون به خوبی تعریف شده، هر نقطه مفاصله به طور منحصر به فرد با چند عدد سه گانه مطابقت دارد ( q 1 , q 2 , q 3) و نقاط مختلف مربوط به سه گانه اعداد مختلف است. سپس می گوییم که یک سیستم مختصات در فضا داده می شود. شماره q 1 , q 2 , q 3 که با نقطه مطابقت دارد م، مختصات (یا مختصات منحنی) این نقطه نامیده می شوند.

بسته به قاعده ای که سه گانه اعداد ( q 1 , q 2 , q 3) با یک نقطه در فضا مطابقت دارد، آنها در مورد یک یا آن سیستم مختصات صحبت می کنند.

اگر می خواهید توجه داشته باشید که در یک سیستم مختصات داده شده، موقعیت نقطه M توسط اعداد تعیین می شود q 1 , q 2 , q 3، سپس به صورت زیر نوشته می شود م(q 1 , q 2 , q 3).

مثال 1. اجازه دهید یک نقطه ثابت در فضا مشخص شود در باره(مبدع)، و سه محور متقابل عمود بر آن با مقیاس انتخاب شده روی آنها کشیده می شود. (تبرها گاو نر, اوه, اوز). سه تا از یک نوع ایکس, y, zنقطه را مطابقت دهید م، به طوری که بردار شعاع آن پیش بینی می شود OMروی محور گاو نر, اوه, اوزبه ترتیب برابر خواهد بود ایکس, y, z. این روش برقراری رابطه بین سه گانه اعداد ( ایکس, y, z) و امتیاز مما را به سیستم مختصات دکارتی معروف هدایت می کند.

به راحتی می توان دریافت که در مورد سیستم مختصات دکارتی، نه تنها هر سه گانه از اعداد مربوط به نقطه خاصی در فضا است، بلکه برعکس، هر نقطه در فضا با سه مختصات مشخصی مطابقت دارد.

مثال 2. اجازه دهید محورهای مختصات دوباره در فضا رسم شوند گاو نر, اوه, اوزعبور از یک نقطه ثابت در باره(اصل و نسب).

یک عدد سه گانه را در نظر بگیرید r, j, z، جایی که r³0; 0 پوند j 2 پوند پ, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку م،به طوری که کاربرد آن برابر است z، و طرح ریزی آن بر روی هواپیما اکسیمختصات قطبی دارد rو j(شکل 4.1 را ببینید). واضح است که در اینجا هر سه اعداد r, j, zبا نقطه خاصی مطابقت دارد مو بالعکس، هر نقطه مبه سه عدد معینی پاسخ می دهد r, j, z. استثناها نقاطی هستند که روی محور قرار دارند اوز: در این مورد rو zمنحصر به فرد تعریف شده است، و گوشه jهر مقداری را می توان اختصاص داد. شماره r, j, zمختصات استوانه ای نقطه نامیده می شوند م.

برقراری رابطه بین مختصات استوانه ای و دکارتی آسان است:

ایکس = r×cos j; y = r×گناه j; z = z.

و برگشت؛ ; z = z.

مثال 3. بیایید یک سیستم مختصات کروی را معرفی کنیم. سه عدد تنظیم کنید r, q, jمشخص کردن موقعیت نقطه مدر فضا به شرح زیر rفاصله مبدا مختصات تا نقطه است م(طول بردار شعاع)، q اوزو بردار شعاع OM(نقطه عرض جغرافیایی م) jزاویه بین جهت مثبت محور است گاو نرو طرح بردار شعاع بر روی صفحه اکسی(طول جغرافیایی نقطه م). (شکل 4.2 را ببینید).

واضح است که در این مورد نه تنها هر نکته ممربوط به سه گانه معینی از اعداد است r, q, j، جایی که r³ 0، 0 £ q £ پ, 0£ j 2 پوند پ، اما برعکس، هر سه عدد از این اعداد مربوط به نقطه خاصی در فضا است (دوباره، به استثنای نقاط محور اوزجایی که این منحصر به فرد نقض می شود).

یافتن رابطه بین مختصات کروی و دکارتی آسان است:

ایکس = rگناه q cos j; y = rگناه qگناه j; z = r cos q.

بیایید به یک سیستم مختصات دلخواه برگردیم ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). فرض می کنیم که نه تنها هر نقطه در فضا با یک عدد سه گانه مشخص ( q 1 , q 2 , q 3)، اما برعکس، هر سه اعداد مربوط به یک نقطه خاص در فضا است. اجازه دهید مفهوم سطوح مختصات و خطوط مختصات را معرفی کنیم.

تعریف. مجموعه نقاطی که مختصات آنهاست q 1 ثابت است که سطح مختصات نامیده می شود q 1 . سطوح مختصات به طور مشابه تعریف می شوند q 2، و q 3 (شکل 4.3 را ببینید).

بدیهی است که اگر نقطه M دارای مختصات باشد با 1 , با 2 , با 3 سپس سطوح مختصات در این نقطه قطع می شوند q 1 =سی 1 ; q 2 =سی 2 ; q 3 =سی 3 .

تعریف. مجموعه ای از نقاطی که در امتداد آنها فقط مختصات تغییر می کند q 1 (و دو مختصات دیگر q 2 و q 3 ثابت می ماند)، خط مختصات نامیده می شود q 1 .

بدیهی است، هر خط مختصاتی q 1 خط تقاطع صفحات مختصات است q 2 و q 3 .

خطوط مختصات به طور مشابه تعریف می شوند q 2 و q 3 .

مثال 1. سطوح را هماهنگ کنید (در امتداد مختصات ایکس) در سیستم مختصات دکارتی همه صفحات هستند ایکس= ثابت (آنها موازی با هواپیما هستند اویز). سطوح مختصات به طور مشابه با مختصات تعریف می شوند yو z.

هماهنگ كردن ایکسخط یک خط مستقیم موازی با محور است گاو نر. هماهنگ كردن y-خط ( z-خط) - یک خط مستقیم موازی با محور OU(تبرها اوز).

مثال 2. سطوح مختصات در سیستم استوانه ای عبارتند از: هر صفحه موازی با صفحه اکسی(سطح مختصات z= const)، سطح استوانه ای مدور که محور آن در امتداد محور قرار دارد اوز(سطح مختصات r= const) و نیم صفحه محدود شده توسط محور اوز(سطح مختصات j= const) (شکل 4.4 را ببینید).

نام سیستم مختصات استوانه ای با این واقعیت توضیح داده می شود که در بین سطوح مختصات آن سطوح استوانه ای وجود دارد.

خطوط مختصات در این سیستم هستند z-خط - مستقیم، موازی با محور اوز; jخط - دایره ای است که در یک صفحه افقی در مرکز محور قرار دارد اوز; و rخط - پرتویی که از یک نقطه دلخواه در محور بیرون می آید اوز، موازی با هواپیما اکسی.

برنج. 4.5

از آنجایی که در بین سطوح مختصات کروی وجود دارد، این سیستم مختصات کروی نامیده می شود.

خطوط مختصات عبارتند از: rخط - پرتویی که از مبدأ بیرون می آید، q-خط - یک نیم دایره در مرکز مبدا، که دو نقطه در محور را به هم متصل می کند اوز; j-line - دایره ای که در یک صفحه افقی قرار دارد و در مرکز محور قرار دارد اوز.

در تمام مثال‌هایی که در بالا بحث شد، خطوط مختصاتی که از هر نقطه عبور می‌کنند م، متعامد با یکدیگر هستند. در هر سیستم مختصاتی این اتفاق نمی افتد. با این حال، ما خودمان را محدود به مطالعه تنها سیستم‌های مختصاتی می‌کنیم که در مورد آنها چنین است. چنین سیستم های مختصاتی متعامد نامیده می شوند.

تعریف. دستگاه مختصات ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) اگر در هر نقطه باشد متعامد نامیده می شود مخطوط مختصاتی که از این نقطه می گذرند در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند.

اکنون یک نکته را در نظر بگیرید مو بردارهای واحد را رسم کنید که در این نقطه خطوط مختصات مربوطه را لمس کرده و در جهت افزایش مختصات مربوطه هدایت می کنند. اگر این بردارها در هر نقطه یک سه برابر راست تشکیل دهند، آنگاه یک سیستم مختصات درست به ما داده می شود. به عنوان مثال، سیستم مختصات دکارتی ایکس, y, z(با چینش معمول محورها) درست است. همچنین سیستم مختصات استوانه ای سمت راست r, j, z(اما دقیقاً با این ترتیب مختصات؛ اگر ترتیب مختصات را تغییر دهید، برای مثال، r, z, j، ما دیگر یک سیستم درست به دست نمی آوریم).

سیستم مختصات کروی نیز درست است (اگر چنین ترتیبی را تنظیم کنید r, q, j).

توجه داشته باشید که در سیستم مختصات دکارتی، جهت بردار واحد به کدام نقطه بستگی ندارد مما این بردار را رسم می کنیم. همین امر در مورد بردارها نیز صادق است. ما چیز دیگری را در سیستم مختصات منحنی مشاهده می کنیم: برای مثال، در یک سیستم مختصات استوانه ای، بردارها در یک نقطه مو در نقطه ای دیگر م 1 دیگر لازم نیست موازی یکدیگر باشند. همین امر در مورد بردار نیز صدق می کند (در نقاط مختلف، به طور کلی، جهت های متفاوتی دارد).

بنابراین، سه بردار واحد متعامد در یک سیستم مختصات منحنی به موقعیت نقطه بستگی دارد. م، که در آن این بردارها در نظر گرفته شده است. سه بردار متعامد واحد را یک قاب متحرک می نامند و خود بردارها را اورت واحد (یا به سادگی اورت) می نامند.

مربوط به چنین فضای برداری. در این مقاله اولین تعریف به عنوان تعریف اولیه در نظر گرفته می شود.

N (\displaystyle n)فضای اقلیدسی بعدی مشخص می شود E n، (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)،)نماد نیز اغلب استفاده می شود (اگر از زمینه مشخص باشد که فضا دارای ساختار اقلیدسی است).

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

✪ 04 - جبر خطی. فضای اقلیدسی

✪ هندسه غیر اقلیدسی. بخش اول.

✪ هندسه غیر اقلیدسی. بخش دوم

✪ 01 - جبر خطی. فضای خطی (بردار).

✪ 8. فضاهای اقلیدسی

زیرنویس

تعریف رسمی

برای تعریف فضای اقلیدسی، ساده‌تر است که به‌عنوان مفهوم اصلی محصول اسکالر در نظر گرفته شود. فضای برداری اقلیدسی به عنوان یک فضای برداری محدود بعدی بر روی میدان اعداد حقیقی تعریف می شود که بر روی بردارهای آن یک تابع با ارزش واقعی داده می شود. (⋅ , ⋅) ، (\displaystyle (\cdot,\cdot))با سه ویژگی زیر:

مثال فضای اقلیدسی - فضای مختصات R n، (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))متشکل از همه ی تاپل های ممکن اعداد حقیقی (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))محصول اسکالر که در آن با فرمول تعیین می شود (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

طول ها و زوایای

حاصل ضرب اسکالر داده شده در فضای اقلیدسی برای معرفی مفاهیم هندسی طول و زاویه کافی است. طول برداری u (\displaystyle u)که تعریف میشود (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))و نشان داد | u | . (\displaystyle |u|.)قطعیت مثبت حاصلضرب داخلی تضمین می کند که طول یک بردار غیر صفر غیر صفر است و از دوخطی بودن نتیجه می شود که | a u | = | یک | | u | ، (\displaystyle |au|=|a||u|،)یعنی طول بردارهای متناسب متناسب است.

زاویه بین بردارها u (\displaystyle u)و v (\displaystyle v)با فرمول تعیین می شود φ = arccos ⁡ ((x، y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\راست).)از قضیه کسینوس نتیجه می شود که برای فضای اقلیدسی دو بعدی ( صفحه اقلیدسی) این تعریف از زاویه با تعریف معمول مطابقت دارد. بردارهای متعامد مانند فضای سه بعدی را می توان بردارهایی تعریف کرد که زاویه بین آنها برابر است با π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتز و نابرابری مثلث

یک شکاف در تعریف زاویه که در بالا ارائه شد باقی مانده است: به منظور arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\راست))تعریف شد، لازم است که نابرابری | (x، y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)این نابرابری در واقع در فضای اقلیدسی دلخواه ارضا می شود، آن را نابرابری کوشی - بونیاکوفسکی - شوارتز می نامند. از این نابرابری، به نوبه خود، نابرابری مثلثی به دست می آید: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)نابرابری مثلث، همراه با ویژگی های طول ذکر شده در بالا، به این معنی است که طول یک بردار یک هنجار در فضای برداری اقلیدسی است، و تابع d(x، y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ساختار فضای متریک را در فضای اقلیدسی تعریف می کند (این تابع متریک اقلیدسی نامیده می شود). به طور خاص، فاصله بین عناصر (نقاط) x (\displaystyle x)و y (\displaystyle y)فضای مختصات R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))توسط فرمول ارائه شده است d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)(x_(i)-y_(i))^(2)).)

ویژگی های جبری

پایه های Orthonormal

فضاهای دوگانه و اپراتورها

هر بردار x (\displaystyle x)فضای اقلیدسی یک تابع خطی را تعریف می کند x ∗ (\displaystyle x^(*))در این فضا، به عنوان تعریف شده است x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)این نگاشت یک هم ریختی بین فضای اقلیدسی و

(a 11 - λ1 )(a 22 - λ1 ) - a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

ممیز این معادلات درجه دوم ³ 0 است، یعنی.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

معادلات (2.56)، (2.57) فراخوانی می شوند معادلات مشخصه

ماتریس ها، و ریشه های این معادلات هستند شماره های خودماتریس های A. مقادیر ویژه یافت شده از (2.57) را به (2.39) جایگزین می کنیم، به دست می آوریم

معادله متعارف

شکل متعارف این معادله را پیدا کنید.

از آنجایی که در اینجا 11 = 5; و 21 = 2; و 22 = 2، سپس معادله مشخصه (2.56) برای شکل درجه دوم داده شده شکل خواهد داشت.

5 - λ 2

2 2 - λ 1

معادل سازی دترمینان این معادله ماتریسی با صفر

(5 - λ) (2 - λ) - 4 = λ2 - 7λ + 6 = 0

و با حل این معادله درجه دوم λ1 = 6 بدست می آوریم. λ2 = 1.

و سپس شکل متعارف این شکل درجه دوم به نظر می رسد

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. مختصات منحنی

2.3.1. اطلاعات کلی در مورد سیستم های مختصات منحنی

کلاس مختصات منحنی، در مقایسه با کلاس مختصات مستطیلی، گسترده و بسیار متنوع تر است و از نقطه نظر تحلیلی، جهانی ترین است، زیرا امکانات روش مختصات مستطیلی را گسترش می دهد. استفاده از مختصات منحنی گاهی اوقات می تواند حل بسیاری از مسائل را بسیار ساده کند، به ویژه مسائلی که مستقیماً در سطح انقلاب حل می شوند. به عنوان مثال، هنگام حل یک مسئله در سطح چرخش مربوط به یافتن یک تابع خاص، در ناحیه تعیین این تابع در یک سطح معین، می توان چنین سیستمی از مختصات منحنی را انتخاب کرد که به این تابع اجازه می دهد یک ویژگی جدید - ثابت بودن در یک سیستم مختصات معین، که همیشه با استفاده از سیستم های مختصات مستطیلی امکان پذیر نیست.

سیستم مختصات منحنی، که در ناحیه ای از فضای سه بعدی اقلیدسی داده می شود، به هر نقطه از این فضا یک سه مرتبه از اعداد واقعی - φ، λ، r (مختصات منحنی یک نقطه) اختصاص می دهد.

اگر سیستم مختصات منحنی مستقیماً بر روی سطحی (سطح چرخش) قرار گرفته باشد، در این حالت، به هر نقطه از سطح دو عدد واقعی اختصاص داده می شود - φ، λ، که به طور منحصر به فرد موقعیت نقطه را در این سطح تعیین می کند.

باید یک رابطه ریاضی بین سیستم مختصات منحنی φ، λ، r و CS دکارتی مستطیل (X، Y، Z) وجود داشته باشد. در واقع، اجازه دهید سیستم مختصات منحنی در ناحیه ای از فضا داده شود. هر نقطه از این فضا مربوط به یک سه گانه مختصات منحنی - φ, λ, r است. از سوی دیگر، همان نقطه مربوط به تنها سه گانه مختصات دکارتی مستطیل است - X، Y، Z. سپس می توان استدلال کرد که به طور کلی

ϕ \u003d ϕ (X، Y، Z)؛

λ = λ (،); (2.58)

X Y Z

r = r (X، Y، Z).

بین این SCها هم رابطه مستقیم (2.58) و هم رابطه ریاضی معکوس وجود دارد.

از تجزیه و تحلیل فرمول های (2.58) نتیجه می شود که با مقدار ثابت یکی از مختصات منحنی فضایی φ، λ، r، به عنوان مثال،

ϕ \u003d ϕ (X، Y، Z) \u003d پایان،

و مقادیر متغیر دو مورد دیگر (λ, r) به طور کلی یک سطح بدست می آوریم که به آن یک مختصات می گویند. سطوح مختصات مربوط به مختصات یکسان با هم تلاقی نمی کنند. با این حال، دو سطح مختصات مربوط به مختصات مختلف با هم قطع می شوند و یک خط مختصات مربوط به مختصات سوم را می دهند.

2.3.2. مختصات منحنی بر روی سطح

برای ژئودزی، مختصات منحنی سطحی بیشترین علاقه را دارد.

اجازه دهید معادله سطح تابعی از مختصات دکارتی در باشد

با هدایت بردارهای واحد در امتداد محورهای مختصات i, j, l (شکل 2.11) می توان معادله سطح را به صورت برداری نوشت.

r \u003d X i + Y j + Z l. (2.60)

ما دو متغیر مستقل φ و λ جدید معرفی می کنیم به طوری که توابع

معادله (2.59) را برآورده کنید. معادلات (2.61) معادلات پارامتری سطح هستند.

λ1=const

برنج. 2.11. سیستم مختصات سطح منحنی

هر جفت اعداد φ و λ مربوط به یک نقطه (تک) معین در سطح است و این متغیرها را می توان به عنوان مختصات نقاط روی سطح در نظر گرفت.

اگر به φ مقادیر ثابت مختلفی بدهیم φ = φ1، φ = φ2، ...، آنگاه یک خانواده منحنی بر روی سطح مربوط به این ثابت ها به دست می آوریم. به همین ترتیب، با توجه به مقادیر ثابت λ، خواهیم داشت

خانواده دوم منحنی ها بنابراین، شبکه ای از خطوط مختصات φ = const و λ = const بر روی سطح تشکیل می شود. خطوط مختصات به طور کلی

خطوط منحنی هستند بنابراین اعداد φ، λ نامیده می شوند

مختصات منحنی نقاط روی سطح

مختصات منحنی می تواند هم کمیت خطی و هم کمیت زاویه ای باشد. ساده ترین مثال از سیستم مختصات منحنی، که در آن یک مختصات کمیت خطی و دیگری کمیت زاویه ای است، می تواند به عنوان مختصات قطبی در یک صفحه عمل کند.

انتخاب مختصات منحنی لزوماً نباید مقدم بر تشکیل خطوط مختصات باشد. در برخی موارد، ایجاد شبکه‌ای از خطوط مختصات که برای حل مسائل خاص در سطح راحت‌تر باشد، و سپس پارامترهایی (مختصات) را برای این خطوط انتخاب کنید که برای هر خط مختصات مقدار ثابتی داشته باشد.

یک شبکه کاملاً تعریف شده از خطوط مختصات نیز با سیستم خاصی از پارامترها مطابقت دارد، اما برای هر خانواده معین از خطوط مختصات، بسیاری از پارامترهای دیگر را می توان انتخاب کرد که توابع پیوسته و تک مقداری این پارامتر هستند. در حالت کلی، زوایای بین خطوط مختصات خانواده φ = const و خطوط خانواده λ = const می توانند مقادیر متفاوتی داشته باشند.

ما فقط سیستم های مختصات منحنی متعامد را در نظر خواهیم گرفت، که در آن هر خط مختصات φ = const هر خط مختصات دیگری λ = const را در یک زاویه قائمه قطع می کند.

هنگام حل بسیاری از مسائل روی سطح، به ویژه مسائل مربوط به محاسبه مختصات منحنی نقاط سطح، لازم است معادلات دیفرانسیل برای تغییر مختصات منحنی φ و λ بسته به تغییر طول S منحنی سطح وجود داشته باشد.

رابطه بین دیفرانسیل های dS، dφ، dλ را می توان با معرفی یک متغیر α جدید، یعنی زاویه ایجاد کرد.

α dS

λ = ثابت

λ+d λ = ثابت

جهت مثبت خط λ = ثابت به مثبت

جهت این منحنی (شکل 2.12). این زاویه، همانطور که بود، جهت (جهت) خط را تعیین می کند

نقطه داده شده روی سطح سپس (بدون خروجی):

برنج. 2.12. هندسه اتصال دیفرانسیل قوس منحنی روی سطح با تغییرات (دیفرانسیل) منحنی

مختصات

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

که در زاویه ژئودزی α مربوط به آزیموت ژئودتیکی است: α =آ.

2.3.3. سیستم های مختصات قطبی و تعمیم آنها

2.3.4. سیستم مختصات قطبی فضایی

برای تنظیم یک سیستم فضایی مختصات قطبی، ابتدا باید یک هواپیما را انتخاب کنید (از این پس آن را اصلی می نامیم). نقطه O در این صفحه انتخاب می شود

اندازه گیری ها

بخش ها

پس فضا

موقعیت

هر نقطه در فضا خواهد شد

قطعا

مشخص

مقادیر: r، φ، λ، جایی که r است

قطبی

فاصله خط مستقیم از قطب

O به نقطه Q (شکل 2.13); λ -

زاویه قطبی زاویه بین است

قطبی

برنج. 2.13. سیستم فضایی

قائم

طرح ریزی

شعاع قطبی به سمت اصلی

مختصات قطبی و تغییرات آن

سطح

تغییر می کند

(شعاع قطبی) و آن

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

بردار

طرح ریزی

OQ0 روشن است

پایه ای

صفحه، مثبت (0 ≤ φ ≤ π/2) برای نقاط نیمه فاصله مثبت و منفی (-π/2 ≤ φ ≤ 0) برای نقاط نیمه فاصله منفی در نظر گرفته می شود.

هر CS قطبی فضایی را می توان به راحتی با یک CS مستطیلی دکارتی فضایی متصل کرد (تبدیل کرد).

اگر مقیاس و مبدأ سیستم قطبی را به عنوان مقیاس و مبدأ مختصات در سیستم مستطیلی فضایی در نظر بگیریم، محور قطبی OR - به عنوان نیم محور آبسیسا OX، خط OZ که از قطب O عمود بر صفحه اصلی در جهت مثبت سیستم قطبی کشیده شده است - به عنوان OZ سیستم نیمه محوری و نیم محوری OZ گرفته می شود. محوری که محور آبسیسا هنگامی که از طریق زاویه π / 2 در جهت مثبت در صفحه اصلی منظومه قطبی می چرخد، به آن می رود، سپس از شکل. 2.13

فرمول های (2.64) به ما اجازه می دهند X، Y، Z را بر حسب r، φ، λ و بالعکس بیان کنیم.

روی سطح.

ویژگی های محلی مختصات منحنی

هنگام در نظر گرفتن مختصات منحنی در این بخش، فرض می کنیم که فضای سه بعدی (n = 3) مجهز به مختصات دکارتی x , y , z را در نظر می گیریم. مورد سایر ابعاد فقط در تعداد مختصات متفاوت است.

در مورد فضای اقلیدسی، تانسور متریک، که مربع دیفرانسیل قوس نیز نامیده می‌شود، در این مختصات شکل مربوط به ماتریس هویت را خواهد داشت:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

مورد کلی

اجازه دهید $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- برخی مختصات منحنی، که آنها را به عنوان توابع صاف داده شده x، y، z در نظر می گیریم. داشتن سه ویژگی $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$وجود یک نقشه برداری معکوس که به عنوان مختصات در برخی از مناطق فضا عمل می کند ضروری است:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(ماتریس)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)؛\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_2,\backslash x)\; چپ(q\_2,\backslash x)$

جایی که $\backslash varphi\_1،\backslash ;\; \backslash varphi\_2،\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- توابع تعریف شده در برخی دامنه از مجموعه ها $\backslash \; چپ\; (q\_1،\backslash ;q\_2،\backslash ;q\_3\backslash راست)$مختصات

مبنای محلی و تحلیل تانسور

در حساب تانسوری، می توان بردارهای پایه محلی را معرفی کرد: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$، جایی که $\backslash mathbf\; e\_i$- انواع سیستم مختصات دکارتی، $Q^i\_j$ماتریس ژاکوبین است، $x^i$مختصات در سیستم دکارتی، $y^i$- وارد کردن مختصات منحنی.
دیدن اینکه مختصات منحنی، به طور کلی، از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت است، دشوار نیست.
اجازه دهید فرمول های ارتباط بین مختصات منحنی و دکارتی را نشان دهیم:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$جایی که $P^j\_i\; Q^i\_j=E$، جایی که E ماتریس هویت است.
حاصل ضرب دو بردار پایه محلی یک ماتریس متریک را تشکیل می دهد:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$، جایی که $d\_(ij)،\; d^(ij)،\; d^i\_j$نماد کرونکر متضاد، کوواریانت و مختلط
بنابراین هر میدان تانسوری $\backslash mathbf\; T$رتبه n را می توان به صورت چندگانه محلی گسترش داد:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^(j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)$
به عنوان مثال، در مورد یک میدان تانسور از رتبه اول (بردار):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

مختصات منحنی متعامد

در فضای اقلیدسی، استفاده از مختصات منحنی متعامد از اهمیت ویژه ای برخوردار است، زیرا فرمول های مربوط به طول و زوایا در مختصات متعامد ساده تر از حالت کلی به نظر می رسند. این به دلیل این واقعیت است که ماتریس متریک در سیستم هایی با پایه متعامد مورب خواهد بود که محاسبات را بسیار ساده می کند.
نمونه ای از این سیستم ها یک سیستم کروی در $\backslash mathbb(R)^2$

ضرایب لنگ

دیفرانسیل قوس را در مختصات منحنی به شکل (با استفاده از قانون جمع انیشتین) می نویسیم:

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2, ~ i=1,2,3

با در نظر گرفتن متعامد بودن سیستم های مختصات ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$در $i\; \backslash ne\; j$) این عبارت را می توان به صورت بازنویسی کرد

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2،$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash varphi\_3)(\backslash frac(\backslash varphi\_2)\; راست)^2);\backslash \; i=1،\backslash ;2،\backslash ;3$

ارزش های مثبت $سلام\backslash$بسته به نقطه ای از فضا، ضرایب لنگ یا ضریب مقیاس نامیده می شوند. ضرایب Lame نشان می دهد که چند واحد طول در واحد مختصات یک نقطه معین وجود دارد و برای تبدیل بردارها هنگام حرکت از یک سیستم مختصات به سیستم مختصات دیگر استفاده می شود.

تانسور متریک ریمانی که در مختصات نوشته شده است $(q\_i)$، یک ماتریس مورب است که در قطر آن مربع ضرایب Lame قرار دارد:

مثال ها

مختصات قطبی ( n=2)

مختصات قطبی در صفحه شامل فاصله r تا قطب (منبع) و جهت (زاویه) φ است.

اتصال مختصات قطبی با دکارتی:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(ماتریس)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(ماتریس)\backslash راست.$

ضرایب لنگش:

$\backslash begin(ماتریس)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash پایان\; (ماتریس)$

دیفرانسیل قوس:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

در مبدا، تابع φ تعریف نشده است. اگر مختصات φ نه به عنوان یک عدد، بلکه به عنوان یک زاویه (نقطه ای در دایره واحد) در نظر گرفته شود، در آن صورت مختصات قطبی یک سیستم مختصات را در ناحیه ای که از کل صفحه با حذف نقطه مبدا به دست می آید، تشکیل می دهند. با این وجود، اگر φ را به عنوان یک عدد در نظر بگیریم، در ناحیه تعیین شده چند ارزشی خواهد بود و ساختن یک سیستم مختصات دقیقاً به معنای ریاضی فقط در یک ناحیه متصل ساده که مبدا را شامل نمی شود، به عنوان مثال، در یک هواپیما بدون پرتو امکان پذیر است.

مختصات استوانه ای ( n=3)

مختصات استوانه ای یک تعمیم بی اهمیت مختصات قطبی به فضای سه بعدی با افزودن مختصات سوم z است. رابطه مختصات استوانه ای با دکارتی:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(ماتریس)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(ماتریس)\backslash راست.$

ضرایب لنگش:

$\backslash begin(ماتریس)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end\; (ماتریس)$

دیفرانسیل قوس:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

مختصات کروی ( n=3)

مختصات کروی مربوط به مختصات طول و عرض جغرافیایی در کره واحد است. اتصال مختصات کروی با دکارتی:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(ماتریس)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi)؛\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos(\backslash theta).\backslash end(ماتریس)\backslash راست.$

ضرایب لنگش:

$\backslash begin(ماتریس)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash \; تتا\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash پایان\; (ماتریس)$

دیفرانسیل قوس:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

مختصات کروی، مانند مختصات استوانه ای، روی محور z کار نمی کنند (x=0، y=0) زیرا مختصات φ در آنجا تعریف نشده است.

مختصات عجیب و غریب مختلف در هواپیما ( n=2) و تعمیم آنها

نظری در مورد مقاله "سیستم مختصات منحنی" بنویسید

ادبیات

• کورن جی.، کورن تی.کتاب راهنمای ریاضیات (برای دانشمندان و مهندسان). - M .: Nauka، 1974. - 832 p.

گزیده ای که سیستم مختصات منحنی را مشخص می کند

شورای نظامی که در آن شاهزاده آندری نتوانست نظر خود را بیان کند ، همانطور که امیدوار بود ، تأثیر نامشخص و نگران کننده ای بر او گذاشت. حق با چه کسی بود: دولگوروکوف با ویروتر یا کوتوزوف با لانگرون و دیگرانی که طرح حمله را تأیید نکردند، او نمی دانست. اما آیا واقعاً برای کوتوزوف غیرممکن بود که مستقیماً افکار خود را به حاکمیت بیان کند؟ آیا نمی توان آن را متفاوت انجام داد؟ آیا واقعاً لازم است ده ها هزار نفر و جان خود را به دلیل دادگاه و ملاحظات شخصی به خطر بیندازم؟ او فکر کرد.
او فکر کرد: "بله، ممکن است فردا تو را بکشند." و ناگهان، با این فکر به مرگ، یک سری خاطرات، دورترین و صادقانه ترین، در خیال او برخاست. او آخرین وداع با پدر و همسرش را به یاد آورد. یاد روزهای اول عشقش به او افتاد! حاملگی او را به یاد آورد و برای او و خودش متاسف شد و با حالتی عصبی و عصبی از کلبه ای که همراه نسویتسکی در آن ایستاده بود بیرون رفت و شروع به قدم زدن در جلوی خانه کرد.
شب مه آلود بود و مهتاب به طرز مرموزی در میان مه می درخشید. «بله، فردا، فردا! او فکر کرد. فردا شاید همه چیز برای من تمام شود، همه این خاطرات دیگر وجود نداشته باشند، همه این خاطرات دیگر برای من معنایی نخواهند داشت. فردا، شاید، حتی احتمالاً فردا، آن را پیش بینی می کنم، برای اولین بار بالاخره باید هر کاری که می توانم انجام دهم را نشان دهم. و نبرد، شکست آن، تمرکز نبرد در یک نقطه و سردرگمی همه فرماندهان را تصور کرد. و حالا آن لحظه شاد، آن تولون که مدتها منتظرش بود، بالاخره به او ظاهر شد. او قاطعانه و واضح نظر خود را با کوتوزوف و ویروتر و امپراتورها بیان می کند. همه از درستی عقاید او شگفت زده می شوند، اما هیچ کس متعهد به انجام آن نمی شود، بنابراین او یک هنگ، یک لشکر می گیرد، شرطی می کند که کسی در دستورات او دخالت نکند، و لشکر خود را به نقطه ای تعیین کننده می رساند و به تنهایی پیروز می شود. مرگ و رنج چطور؟ صدای دیگری می گوید اما شاهزاده آندری به این صدا پاسخ نمی دهد و به موفقیت های خود ادامه می دهد. وظیفه نبرد بعدی توسط او به تنهایی انجام می شود. او دارای درجه افسر وظیفه ارتش تحت کوتوزوف است، اما همه چیز را به تنهایی انجام می دهد. نبرد بعدی به تنهایی توسط او برنده می شود. کوتوزوف جایگزین شد، منصوب شد... خوب، و سپس؟ صدای دیگری دوباره می گوید، و سپس، اگر زخمی نشدی، ده بار قبلاً کشته یا فریب خورده ای. خوب پس چی؟ شاهزاده آندری به خودش پاسخ می دهد: "خب پس" نمی دانم بعداً چه اتفاقی می افتد ، نمی خواهم و نمی توانم بدانم: اما اگر این را می خواهم ، شهرت می خواهم ، می خواهم برای مردم شناخته شوم ، می خواهم توسط آنها دوست داشته باشم ، پس تقصیر من نیست که این را می خواهم ، که این را به تنهایی می خواهم ، من فقط برای این زندگی می کنم. بله، برای این یکی! من هرگز این را به کسی نمی گویم، اما خدای من! اگر چیزی جز شکوه، عشق انسانی دوست نداشته باشم، چه کنم؟ مرگ، زخم، از دست دادن خانواده، هیچ چیز مرا نمی ترساند. و مهم نیست که بسیاری از مردم چقدر برای من عزیز و عزیز هستند - پدر، خواهرم، همسرم - عزیزترین مردم برای من - اما، هر چقدر هم که وحشتناک و غیرطبیعی به نظر برسد، من اکنون همه آنها را برای لحظه ای شکوه، پیروزی بر مردم، به عشق افرادی که نمی شناسم و نخواهم شناخت، به عشق این مردم، به عشق این مردم تقدیم می کنم. در حیاط کوتوزوف، صدای مأموران در حال جمع کردن وسایل شنیده شد. یک صدا، احتمالاً کالسکه، آشپز پیر کوتوزوفسکی را که شاهزاده آندری می شناخت و نامش تیت بود، اذیت می کرد، گفت: "تیت و تیت؟"
پیرمرد پاسخ داد: خب.
جوکر گفت: "تیتوس، برو کوبیدن".
صدایی شنیده شد که با خنده های خفاش ها و خدمتکاران پوشیده شده بود: «پا، خب، به جهنم آنها.»
"و با این حال من فقط پیروزی بر همه آنها را دوست دارم و ارج می نهم، من این قدرت و شکوه اسرارآمیز را که اینجا در این مه بر من می شتابد را گرامی می دارم."

روستوف در آن شب با یک جوخه در زنجیر جناحی، جلوتر از دسته باگریون بود. هوسرهای او دو به دو در زنجیر پراکنده بودند. او خودش بر روی این خط زنجیر سوار شد و سعی کرد بر خوابی که به طرز غیرقابل مقاومتی او را فرو انداخته بود غلبه کند. در پشت سر او می توان گستره عظیمی از آتش ارتش ما را دید که به طور نامشخصی در مه می سوزد. جلوتر از او تاریکی مه آلود بود. مهم نیست که روستوف چقدر به این فاصله مه آلود نگاه کرد، چیزی ندید: خاکستری شد، سپس چیزی سیاه شد. سپس مانند چراغها، جایی که دشمن باید باشد، چشمک زد. سپس فکر کرد که فقط در چشمانش می درخشد. چشمانش بسته بود و در تخیلش اکنون فرمانروا را تصور کرد، سپس دنیسوف و سپس خاطرات مسکو را تصور کرد و دوباره با عجله چشمانش را باز کرد و جلوی خود نزدیک شد، سر و گوش های اسبی را که روی آن نشسته بود، گاهی چهره های سیاه هوسرها را دید که با شش قدم به آنها می دوید، و در دوردست همان تاریکی مه آلود. "از چی؟ روستوف فکر کرد بسیار ممکن است که حاکم پس از ملاقات با من، همانطور که به هر افسری دستور می دهد دستور دهد: او خواهد گفت: "برو، ببین چه چیزی آنجاست." خیلی ها گفتند که چطور به طور تصادفی فلان افسر را به این شکل شناخت و به او نزدیک کرد. چه می شد اگر مرا به خودش نزدیک کرد! آه ، چگونه از او محافظت می کردم ، چگونه تمام حقیقت را به او می گفتم ، چگونه فریبکاران او را افشا می کردم ، "و روستوف برای اینکه عشق و ارادت خود به حاکم را به وضوح تصور کند ، دشمن یا فریبکار آلمانی را تصور کرد که او نه تنها با لذت او را کشت ، بلکه در چشمان حاکم بر گونه های او زد. ناگهان گریه ای دور روستوف را از خواب بیدار کرد. اخم کرد و چشمانش را باز کرد.
"جایی که من هستم؟ بله، در زنجیره: شعار و رمز عبور است، اولموتز. چه حیف که اسکادران ما فردا ذخیره باشد... فکر کرد. - من می خواهم کار کنم. شاید این تنها فرصتی باشد که حاکم را ببینیم. بله، زمان زیادی از تغییر باقی نمانده است. دوباره دور می گردم و وقتی برگشتم، نزد ژنرال می روم و از او می پرسم.» او در زین به حال خود آمد و اسب را لمس کرد تا یک بار دیگر دور هوسرهای خود بچرخد. فکر می کرد روشن تر است. در سمت چپ، می‌توان شیب ملایم و نورانی را دید و در مقابل، تپه سیاه رنگی را دید که شیب‌دار، مانند دیوار به نظر می‌رسید. روی این تپه یک نقطه سفید وجود داشت که روستوف به هیچ وجه نمی توانست آن را درک کند: آیا این یک برف در جنگل بود که توسط ماه روشن شده بود یا برف باقی مانده یا خانه های سفید؟ حتی به نظرش رسید که چیزی روی این نقطه سفید تکان خورده است. برف باید یک لکه باشد. روستوف فکر کرد که لکه بی رنگ است. "در اینجا شما نمی دانید ..."

در هر سطحی، می توانید یک سیستم مختصات را با تعیین موقعیت یک نقطه روی آن دوباره با دو عدد ایجاد کنید. برای این کار به نوعی کل سطح را با دو خانواده خط می پوشانیم تا از هر یک از نقاط آن (شاید با تعداد کمی استثنا) یک و فقط یک خط از هر خانواده عبور کند. اکنون فقط لازم است خطوط هر خانواده را با علامت های عددی مطابق با قوانین محکمی تهیه کنیم که به فرد امکان می دهد خط خانواده مورد نظر را با علامت عددی پیدا کند (شکل 22).

مختصات نقطه مسطوح به عنوان اعداد عمل می کنند تو, vجایی که تو- علامت عددی خط اولین خانواده که از آن عبور می کند م،و v- علامت گذاری خطوط خانواده دوم. ما به نوشتن ادامه خواهیم داد: M(u; v)شماره و، vمختصات منحنی نقطه نامیده می شوند م.آنچه گفته شد اگر به عنوان مثال به حوزه بپردازیم کاملاً روشن می شود. همه آن را می توان توسط نصف النهارها (خانواده اول) پوشش داد. هر یک از آنها با یک علامت عددی یعنی مقدار طول جغرافیایی مطابقت دارد تو(یا ج). همه موازی ها خانواده دوم را تشکیل می دهند. هر یک از آنها با یک علامت عددی - عرض جغرافیایی مطابقت دارد v(یا و). از طریق هر نقطه از کره (به استثنای قطب ها) تنها یک نصف النهار و یک موازی وجود دارد.

به عنوان مثالی دیگر، سطح جانبی یک استوانه دایره ای راست با ارتفاع را در نظر بگیرید Hشعاع آ(شکل 23). برای خانواده اول ما سیستم ژنراتورهای آن را می گیریم، یکی از آنها به عنوان اولیه در نظر گرفته می شود. ما به هر ژنراتیکس یک علامت اختصاص می دهیم توبرابر طول قوس در محیط پایه بین ژنراتیکس اولیه و داده شده (مثلاً در خلاف جهت عقربه های ساعت قوس را می شماریم). برای خانواده دوم ما سیستم بخش های افقی سطح را در نظر می گیریم. علامت عددی vما ارتفاعی را که برش در بالای پایه کشیده شده است در نظر خواهیم گرفت. با انتخاب مناسب محورها x، y، zدر فضا برای هر نقطه ای خواهیم داشت M(x; y;ز) سطح ما:

(در اینجا، آرگومان های کسینوس و سینوس بر حسب درجه نیستند، بلکه بر حسب رادیان هستند.) این معادلات را می توان به عنوان معادلات پارامتریک برای سطح یک استوانه در نظر گرفت.

مسئله 9. با توجه به چه منحنی باید قلع را برش داد تا زانویی لوله تخلیه ایجاد شود تا پس از خم شدن مناسب استوانه ای به شعاع به دست آید. آ،با صفحه ای با زاویه 45 درجه نسبت به صفحه قاعده کوتاه شده است؟

راه حل. اجازه دهید از معادلات پارامتری سطح سیلندر استفاده کنیم:

صفحه برش را از طریق محور می کشیم اوه،معادله او z=y.با ترکیب آن با معادلاتی که به تازگی نوشته شده است، معادله را بدست می آوریم

خطوط تقاطع در مختصات منحنی. پس از باز شدن سطح روی یک صفحه، مختصات منحنی شکل می گیرد وو vتبدیل به مختصات دکارتی.

بنابراین، یک تکه قلع باید از بالا در امتداد یک سینوسی ترسیم شود

اینجا توو vمختصات دکارتی از قبل روی صفحه (شکل 24).

هم در مورد یک کره و یک سطح استوانه ای و هم در حالت کلی، تعیین سطح توسط معادلات پارامتری مستلزم ایجاد یک سیستم مختصات منحنی بر روی سطح است. در واقع، عبارت مختصات دکارتی x، y، zنقطه دلخواه M (x; y; z)سطوح از طریق دو پارامتر تو v(به طور کلی اینگونه نوشته می شود: ایکس\u003d c ( تو; v),y=ج (u;v) z=u (u;v) ts، sh، u - توابع دو آرگومان) با دانستن یک جفت اعداد امکان پذیر است تو vپیدا کردن مختصات منطبق x، y، z،بنابراین موقعیت نقطه مروی یک سطح؛ شماره تو vبه عنوان مختصات آن عمل می کند. دادن یک مقدار ثابت به یکی از آنها، مانند تو=تو 0، عبارت را دریافت می کنیم x، y، zاز طریق یک پارامتر vیعنی معادله پارامتریک منحنی. این خط مختصات یک خانواده، معادله آن است u=u 0 . فقط همین خط v=v 0 -- خط مختصات یک خانواده دیگر.

بردار شعاع دکارتی مختصات