توابع پیچیده Odz. محدوده مقادیر مجاز (APV)، تئوری، مثال ها، راه حل ها. دامنه تابع را خودتان پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

در ریاضیات تعداد نسبتاً کمی از توابع ابتدایی وجود دارد که دامنه آنها محدود است. همه توابع "پیچیده" دیگر فقط ترکیب و ترکیبی از آنها هستند.

1. تابع کسری - محدودیت در مخرج.

2. ریشه درجه یکنواخت - محدودیت در بیان رادیکال.

3. لگاریتم ها - محدودیت در پایه لگاریتم و بیان زیر لگاریتمی.

3. tg(x) و ctg(x) مثلثاتی - محدودیت در آرگومان.

برای مماس:

4. توابع مثلثاتی معکوس.

آرکسین	کسینوس قوسی	Arctangent، Arctangent

در ادامه، مثال های زیر در مبحث “حوزه تعریف توابع” حل شده است.

نمونه ای از یافتن دامنه تعریف تابع شماره 1

یافتن دامنه تعریف هر تابع خطی، یعنی. توابع درجه اول:

y = 2x + 3 - معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه تعریف می کند.

بیایید با دقت به تابع نگاه کنیم و به این فکر کنیم که چه مقادیر عددی را می توانیم به جای متغیر x در معادله جایگزین کنیم؟

بیایید سعی کنیم مقدار x=0 را جایگزین کنیم

از آنجایی که y = 2 0 + 3 = 3 - یک مقدار عددی دریافت کرد، بنابراین تابع برای مقدار داده شده متغیر وجود دارد x=0.

بیایید سعی کنیم مقدار x=10 را جایگزین کنیم

از آنجایی که y = 2·10 + 3 = 23 - تابع برای مقدار داده شده متغیر x=10 وجود دارد.

بیایید سعی کنیم مقدار x=-10 را جایگزین کنیم

از آنجایی که y = 2·(-10) + 3 = -17 - تابع برای مقدار داده شده متغیر x = -10 وجود دارد.

این معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه تعریف می کند و یک خط مستقیم نه آغاز دارد و نه پایان، بنابراین برای هر مقدار x وجود دارد.

توجه داشته باشید که مهم نیست که چه مقادیر عددی را به جای x در یک تابع معین جایگزین کنیم، همیشه مقدار عددی متغیر y را دریافت خواهیم کرد.

بنابراین، تابع برای هر مقدار x ∈ R وجود دارد، یا آن را به این صورت می نویسیم: D(f) = R

اشکال نوشتن پاسخ: D(f)=R یا D(f)=(-∞:+∞)یا x∈R یا x∈(-∞:+∞)

بیایید نتیجه گیری کنیم:

برای هر تابعی از شکل y = ax + b، دامنه تعریف مجموعه اعداد حقیقی است.

نمونه ای از یافتن دامنه تعریف تابع شماره 2

تابعی از فرم:

y = 10/(x + 5) - معادله هذلولی

وقتی با یک تابع کسری سر و کار دارید، به یاد داشته باشید که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. بنابراین این تابع برای تمام مقادیر x که وجود ندارند وجود خواهد داشت

مخرج را صفر قرار دهید. بیایید سعی کنیم مقادیر دلخواه x را جایگزین کنیم.

در x = 0 ما y = 10/(0 + 5) = 2 داریم - تابع وجود دارد.

برای x = 10 داریم y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- تابع وجود دارد.

در x = -5، y = 10/(-5 + 5) = 10/0 داریم - تابع در این نقطه وجود ندارد.

آن ها اگر تابع داده شده کسری باشد، باید مخرج آن را برابر با صفر کرد و نقطه ای را یافت که در آن تابع وجود ندارد.

در مورد ما:

x + 5 = 0 → x = -5 - در این مرحله تابع داده شده وجود ندارد.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

برای وضوح، بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم:

در نمودار همچنین می بینیم که هذلولی تا حد امکان به خط مستقیم x = -5 نزدیک می شود، اما خود به مقدار -5 نمی رسد.

می بینیم که تابع داده شده در تمام نقاط محور واقعی وجود دارد، به جز نقطه x = -5

فرم های ثبت پاسخ: D(f)=R\(-5)یا D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) یا ایکس ∈ R\(-5)یا ایکس ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

اگر تابع داده شده کسری باشد، وجود مخرج شرطی را ایجاد می کند که مخرج برابر با صفر نباشد.

نمونه ای از یافتن دامنه تعریف تابع شماره 3

بیایید مثالی از یافتن دامنه تعریف یک تابع با ریشه زوج در نظر بگیریم:

از آنجایی که ما فقط می توانیم جذر را از یک عدد غیر منفی استخراج کنیم، بنابراین، تابع زیر ریشه غیر منفی است.

2x - 8 ≥ 0

بیایید یک نابرابری ساده را حل کنیم:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

تابع مشخص شده فقط برای مقادیر یافت شده x ≥ 4 یا وجود دارد D(f) = . باقی مانده است که محل تلاقی مجموعه مقادیر x را پیدا کنیم به طوری که x∈D(f 2) و f 2 (x)∈D(f 1):

برای arcsinx>0، ویژگی های تابع arcsine را به خاطر بسپارید. آرکسین در کل دامنه تعریف [-1، 1] افزایش می‌یابد و در x=0 به صفر می‌رسد، بنابراین، arcsinx>0 برای هر x از بازه (0، 1] است.

برگردیم به سیستم:

بنابراین، دامنه مورد نیاز برای تعریف تابع، نیم بازه (0، 1] است.

پاسخ:

(0, 1] .

حالا بیایید به توابع مختلط شکل کلی y=f 1 برویم (f 2 (...f n (x)))). دامنه تعریف تابع f در این مورد به صورت یافت می شود .

مثال.

دامنه یک تابع را پیدا کنید .

راه حل.

یک تابع مختلط داده شده را می توان به صورت y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) نوشت، که در آن f 1 – sin، f 2 – تابع ریشه درجه چهارم، f 3 – log.

می دانیم که D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪ ∪ [ 3 , + ∞) .

هنگام آماده سازی آزمون یکپارچه دولتی و آزمون یکپارچه دولتی، می توانید با بسیاری از وظایف ترکیبی برای عملکردهایی روبرو شوید که در آن ابتدا باید به DL توجه کنید. تنها پس از مشخص شدن آن می توان تصمیمات بیشتری گرفت.

دامنه تعریف مجموع، تفاوت و حاصلضرب توابع

قبل از شروع راه حل، باید یاد بگیرید که چگونه دامنه تعیین مجموع توابع را به درستی تعیین کنید. برای انجام این کار، عبارت زیر باید حفظ شود:

وقتی تابع f f مجموع n تابع f 1، f 2، ...، f n در نظر گرفته شود. , به عبارت دیگر، این تابع با استفاده از فرمول y = f 1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x) داده می شود. , سپس دامنه تعریف آن به عنوان تقاطع دامنه های تعریف توابع f 1، f 2، ...، f n در نظر گرفته می شود. . این بیانیه را می توان به صورت زیر نوشت:

D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D(fn)

مثال 1

دامنه تعریف تابعی به شکل y = x 7 + x + 5 + t g x را بیابید .

راه حل

تابع داده شده به صورت مجموع چهار نشان داده می شود: توان با توان 7، توان با توان 1، تابع ثابت، مماس.

از جدول تعریف می بینیم که D (f 1) = (− ∞ , + ∞)، D (f 2) = (− ∞ , + ∞)، D (f 3) = (− ∞ , + ∞) , علاوه بر این، دامنه تعریف مماس شامل تمام اعداد حقیقی به جز π 2 + π · k، k ∈ Z است.

دامنه تعریف یک تابع مفروض f تقاطع دامنه های f 1، f 2، f 3 و f4.یعنی برای یک تابع تعدادی اعداد حقیقی وجود دارد که شامل π 2 + π · k ، k ∈ Z نمی شود.

پاسخ:همه اعداد حقیقی به جز π 2 + π · k، k ∈ Z.

برای یافتن دامنه تعریف یک محصول از توابع، لازم است قانون زیر را اعمال کنید:

تعریف 2

وقتی تابع f حاصل ضرب n تابع f 1 , f 2 , f 3 و f n در نظر گرفته شود , سپس یک تابع f وجود دارد که می توان آن را با استفاده از فرمول y = f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x) مشخص کرد. , سپس دامنه تعریف آن به عنوان دامنه تعریف برای همه توابع در نظر گرفته می شود.

D (f) = D (f 1) D (f 2) نوشته خواهد شد. . . D(fn)

مثال 2

دامنه تعریف تابع y = 3 · a r c t g x · ln x را بیابید.

راه حل

سمت راست فرمول به صورت f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) در نظر گرفته می شود. , کجا برای f 1 یک تابع ثابت است، f 2 متقاطع است f 3 – تابع لگاریتمی با پایه e. با شرطی داریم که D (f 1) = (− ∞ , + ∞)، D (f 2) = (− ∞ , + ∞) و D (f 3) = (0 , + ∞) . ما آن را دریافت می کنیم

D (f) = D (f 1) D (f 2) D (f n) = (- ∞ , + ∞) (- ∞ , + ∞) D (0 , + ∞) = (0 , + ∞)

پاسخ: دامنه تعریف y = 3 · a r c t g x · ln x - مجموعه تمام اعداد واقعی.

تمرکز بر یافتن حوزه تعریف ضروری است y = C f (x) ,که در آن C یک عدد واقعی است. از اینجا مشخص می شود که دامنه تعریف آن و حوزه f بر هم منطبق هستند.

تابع y = C f (x)حاصلضرب تابع ثابت و f است. دامنه تعریف همه اعداد واقعی حوزه تعریف است. D(f).از اینجا می بینیم که دامنه تعریف تابع y = C f (x)است - ∞، + ∞ D (f) = D (f) .

ما متوجه شدیم که دامنه تعریف y = f(x)و y = C f (x) ,جایی که C مقداری واقعی است، منطبق است. این را می توان در مثال تعریف ریشه y = x در نظر گرفت [ 0 , + ∞) , زیرا دامنه تعریف تابع y = - 5 · x - [ 0 , + ∞) .

دامنه های y = f(x) و y = − f (x)همزمان، که نشان می دهد دامنه تعریف آن از تفاوت تابع با دامنه تعریف مجموع آنها یکسان است.

مثال 3

دامنه تعریف تابع y = log 3 x − 3 · 2 x را بیابید.

راه حل

لازم است به عنوان تفاوت دو تابع در نظر گرفته شود f 1و f 2.

f 1 (x) = log 3 xو f 2 (x) = 3 2 x. سپس دریافت می کنیم که D (f) = D (f 1) D (f 2).

دامنه تعریف به صورت D (f 1) = (0, + ∞) نوشته می شود. . بیایید به دامنه تعریف f 2 برویم. در این مورد با دامنه تعریف نمایی منطبق است، سپس به دست می آوریم که D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .

برای یافتن دامنه تعریف تابع y = log 3 x − 3 2 x ما آن را دریافت می کنیم

D (f) = D (f 1) D (f 2) = (0, + ∞) - ∞, + ∞

پاسخ: (0 , + ∞) .

لازم است این جمله بیان شود که دامنه تعریف y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + است. . . + a 1 x + a 0 مجموعه اعداد واقعی است.

y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + را در نظر بگیرید. . . + a 1 x + a 0 که در سمت راست یک چند جمله ای با یک متغیر از فرم استاندارد به شکل درجه n با ضرایب واقعی وجود دارد. می توان آن را به عنوان مجموع تابع (n + 1) در نظر گرفت. دامنه تعریف هر یک از این توابع شامل مجموعه ای از اعداد واقعی به نام R است.

مثال 4

دامنه تعریف f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 را بیابید.

راه حل

بیایید نماد f را تفاوت دو تابع در نظر بگیریم، سپس دریافت می کنیم که f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 و f 2 (x) = 3 x - ln 5. در بالا نشان داده شد که D (f 1) = R. دامنه تعریف f 2 با دامنه توان برای توان - ln 5 منطبق است، به عبارت دیگر، D (f 2) = (0, + ∞) .

دریافت می کنیم که D (f) = D (f 1) D (f 2) = - ∞, + ∞ (0, + ∞) = (0, + ∞).

پاسخ: (0 , + ∞) .

دامنه یک تابع پیچیده

برای حل این موضوع لازم است تابع مختلط به شکل y = f 1 (f 2 (x)) در نظر گرفته شود. . مشخص است که D(f)مجموعه ای از تمام x از تعریف تابع f 2 است، که در آن دامنه f 2 (x) است. متعلق به حوزه تعریف f 1 است.

می توان دید که دامنه تعریف یک تابع مختلط به شکل y = f 1 (f 2 (x)) در محل تلاقی دو مجموعه است که در آن x ∈ D (f 2) و f 2 (x) ∈ D (f 1) . در نماد استاندارد این شکل خواهد بود

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1)

بیایید به حل چند مثال نگاه کنیم.

مثال 5

دامنه تعریف y = ln x 2 را بیابید.

راه حل

ما این تابع را به شکل y = f 1 (f 2 (x)) نشان می دهیم، که در آن f 1 یک لگاریتم با پایه e است، و f 2 یک تابع توان با توان 2 است.

برای حل آن باید از حوزه های تعریف شناخته شده استفاده کرد D (f 1) = (0 , + ∞)و D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .

سپس سیستمی از نابرابری های شکل را به دست می آوریم

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 > ⇔ x ∈ (- ∞، + ∞) x ∈ (- ∞، 0) ∪ (0، + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞، 0) ∪ (0، + ∞)

دامنه تعریف مورد نیاز پیدا شده است. کل محور اعداد واقعی به جز صفر حوزه تعریف است.

پاسخ: (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) .

مثال 6

دامنه تعریف تابع y = (a r c sin x) - 1 2 را بیابید.

راه حل

از آنجایی که این یک تابع پیچیده است، لازم است آن را به صورت y = f 1 در نظر بگیریم (f 2 (x)) , در جایی که f 1 یک تابع توان با توان - 1 2 است، و f 2 یک تابع قوس الکتریکی است، اکنون باید دامنه تعریف آن را جستجو کرد. نیاز به در نظر گرفتن D (f 1) = (0 , + ∞)و D (f 2) = [ − 1 , 1 ] .حالا بیایید تمام مجموعه‌های مقادیر x را پیدا کنیم، جایی که x ∈ D (f 2) و f 2 (x) ∈ D (f 1) . ما یک سیستم نابرابری از فرم به دست می آوریم

x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - 1, 1 a r c sin x ∈ (0, + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 1, 1 a r c sin x > 0

برای حل یک rc sin x > 0، باید به ویژگی های تابع آرکسین متوسل شد. افزایش آن در حوزه تعریف [-1، 1] رخ می دهد و در x = 0 به صفر می رسد، به این معنی که قوس sin x > 0 از تعریف x به بازه (0، 1] تعلق دارد.

بیایید سیستم فرم را تغییر دهیم

x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ - 1 , 1 x ∈ (0 , 1 ] ⇔ x ∈ (0 , 1 ]

دامنه تعریف تابع مورد نظر دارای بازه ای برابر با (0، 1] است.

پاسخ: (0 , 1 ] .

ما به تدریج به این نقطه رسیدیم که با توابع پیچیده به شکل کلی y = f 1 کار کنیم (f 2 (... f n (x)))) . دامنه تعریف چنین تابعی از x ∈ D (f n) f n (x) ∈ D (f n - 1) f n - 1 (f n (x)) ∈ D (f n - 2) جستجو می شود. . . f 2 (f 3 (... (f n (x))) ∈ D (f 1) .

مثال 7

دامنه تعریف y = sin (l g x 4) را بیابید.

راه حل

تابع داده شده را می توان به صورت y = f 1 (f 2 (f 3 (x)) نوشت. , که در آن f 1 – تابع سینوسی، f 2 – تابع با ریشه 4، f 3 – تابع لگاریتمی داریم.

داریم که با شرط D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = [ 0 , + ∞) , D (f 3) = (0 , + ∞) . سپس دامنه تعریف تابع، محل تلاقی مجموعه هایی از چنین مقادیری است، که در آن x ∈ D (f 3)، f 3 (x) ∈ D (f 2)، f 2 (f 3 (x)) ∈ D ( f 1) . ما آن را دریافت می کنیم

x ∈ D (f 3) f 3 (x) ∈ D (f 2) f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) log x ∈ [ 0 , + ∞ ) log x 4 ∈ - ∞ ، + ∞

شرط lg x 4 ∈ - ∞, + ∞ شبیه به شرط lg x ∈ [ 0, + ∞) است که به این معنی است

x ∈ (0 , + ∞) log x ∈ [ 0 , + ∞) log x 4 ∈ - ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) log x ∈ [ 0 , + ∞) [ log x ∈ + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) log x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) log x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + x1∞) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1، + ∞)

پاسخ: [ 1 , + ∞) .

هنگام حل مثال ها، توابعی گرفته شد که با استفاده از توابع ابتدایی تشکیل شده بودند تا دامنه تعریف را با جزئیات در نظر بگیرند.

دامنه کسری

تابعی از شکل f 1 (x) f 2 (x) را در نظر بگیرید. شایان توجه است که این کسر از مجموعه هر دو تابع تعیین می شود و f 2 (x) نباید به صفر برود. سپس متوجه می شویم که دامنه تعریف f برای همه x به شکل x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 نوشته شده است.

بیایید تابع y = f 1 (x) f 2 (x) را به شکل y = f 1 (x) · (f 2 (x)) - 1 بنویسیم. سپس حاصل ضربی از توابع به شکل y = f 1 (x) به دست می آوریم. با y = (f 2 (x)) - 1. دامنه تابع y = f 1 (x) مجموعه D است (f 1) , و برای یک مختلط y = (f 2 (x)) - 1 از سیستمی به شکل x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ تعریف می کنیم. x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0.

این یعنی x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0.

مثال 8

دامنه تعریف y = t g (2 x + 1) x 2 - x - 6 را بیابید.

راه حل

تابع داده شده کسری است، بنابراین f 1 یک تابع مختلط است، که در آن y = t g (2 x + 1) و f 2 یک تابع گویا کامل است، که در آن y = x 2 - x - 6، و دامنه تعریف در نظر گرفته می شود. مجموعه تمام اعداد باشد. ما می توانیم این را در فرم بنویسیم

x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0

نمایش تابع پیچیده y = f 3 (f 4 (x))، جایی که f 3یک تابع مماس است که دامنه تعریف شامل همه اعداد به جز π 2 + π · k، k ∈ Z و f 4 است. یک تابع گویا کامل y = 2 x + 1 با دامنه D (f 4) = (− ∞ , + ∞) است. سپس دامنه تعریف f 1 را پیدا می کنیم:

x ∈ D (f 4) 2 x + 1 ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 x + 1 ≠ π 2 + π k، k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 k، k ∈ Z

همچنین لازم است دامنه پایینی تعریف y = t g (2 x + 1) x 2 - x - 6 در نظر گرفته شود. سپس ما آن را دریافت می کنیم

x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 k، k ∈ Z x ∈ - ∞، + ∞ x 2 - x - 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 k، k ∈ Z x ≠ - 2 x ≠ 3

پاسخ:مجموعه اعداد حقیقی، به جز - 2، 3 و π 4 - 1 2 + π 2 · k، k ∈ Z.

دامنه یک لگاریتم با یک متغیر در پایه

تعریف لگاریتم برای پایه های مثبت نه برابر 1 وجود دارد. این نشان می دهد که تابع y = log f 2 (x) f 1 (x) دارای یک دامنه است که به شکل زیر است:

x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1

زمانی می توان به نتیجه مشابهی رسید که تابع را بتوان به این شکل نشان داد:

y = log a f 1 (x) log a f 2 (x)، a > 0، a ≠ 1. پس از آن می توانید به دامنه تعریف یک تابع کسری بروید.

دامنه تعریف تابع لگاریتمی مجموعه اعداد مثبت واقعی است، سپس دامنه تعریف توابع مختلط از نوع y = log a f 1 (x) و y = log a f 2 (x) را می توان از نتیجه تعیین کرد. سیستم به شکل x ∈ D (f 1) f 1 ( x) > 0 و x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 . در غیر این صورت، این ناحیه را می توان به شکل y = log a f 1 (x) log a f 2 (x)، a > 0، a ≠ 1 نوشت که به معنای یافتن y = log f 2 (x) f 1 (x) از خود سیستم از فرم

x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 log a f 2 (x) ≠ 0 = x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1

مثال 9

دامنه تعریف تابع y = log 2 x (x 2 - 6 x + 5) را مشخص کنید.

راه حل

نماد باید اتخاذ شود f 1 (x) = x 2 − 6 x + 5و f 2 (x) = 2 x، از اینجا D (f 1) = (− ∞، + ∞)و D (f 2) = (− ∞، + ∞). لازم است شروع به جستجو برای مجموعه x کنید که در آن شرط x ∈ D (f 1), f 1 (x) > 0, x ∈ D (f 2), f 2 (x) > 0, f 2 (x) ≠ 1 راضی است . سپس یک سیستم از فرم را دریافت می کنیم

x ∈ (- ∞، + ∞) x 2 - 6 x + 5 > 0 x ∈ (- ∞، + ∞) 2 x > 0 2 x ≠ 1 ⇔ x ∈ (- ∞، + ∞) x ∞ (- , 1) ∪ (5 , + ∞) x ∈ (- ∞ , + ∞) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞)

از اینجا می بینیم که دامنه مورد نظر تابع y = log 2 x (x 2 - 6 x + 5) مجموعه ای است که شرط 0, 1 2 ∪ 1 2, 1 ∪ (5, + ∞) را برآورده می کند. ).

پاسخ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .

دامنه تعریف تابع نمایی

تابع نمایی با فرمولی به شکل y = (f 1 (x)) f 2 (x) به دست می آید. دامنه تعریف آن شامل مقادیر x است که سیستم x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 را برآورده می کند.

این ناحیه به شما امکان می دهد از شکل نمایی به شکل مختلط حرکت کنید y = a log a (f 1 (x)) f 2 (x) = a f 2 (x) log a f 1 (x) , جایی که a > 0, a ≠ 1 .

مثال 10

دامنه تعریف تابع نمایی y = (x 2 - 1) x 3 - 9 · x را بیابید.

راه حل

اجازه دهید f 1 (x) = x 2 − 1 را به عنوان نماد در نظر بگیریم و f 2 (x) = x 3 - 9 · x.

تابع f 1 بر روی مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود، سپس دامنه ای از تعریف شکل D (f 1) = (− ∞ , + ∞) را به دست می آوریم. تابع f 2 پیچیده است، بنابراین نمایش آن شکل خواهد گرفت y = f 3 (f 4 (x))، آ f 3– جذر با دامنه تعریف D (f 3) = [ 0 , + ∞)، و عملکرد f 4- عدد صحیح گویا، D (f 4) = (- ∞، + ∞) . ما یک سیستم از فرم را دریافت می کنیم

x ∈ D (f 4) f 4 (x) ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 3 - 9 x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ - , 0 ∪ [ 3 , + ∞) ⇔ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞)

این بدان معنی است که دامنه تعریف تابع f 2 شکل D (f 2) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞) دارد. پس از آن باید دامنه تعریف تابع نمایی را با توجه به شرط x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 پیدا کرد.

سیستمی به شکل x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x 2 - 1 > 0 ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ بدست می آوریم , + ∞) x ∈ (- ∞ , - 1) ∪ (1 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 3 , - 1 ∪ [ 3 , + ∞)

پاسخ: [ − 3 , − 1) ∪ [ 3 , + ∞)

به طور کلی

برای حل آن، جستجوی دامنه تعریف ضروری است که می تواند به صورت مجموع یا تفاوت توابع و محصولات آنها ارائه شود. حوزه های تعریف توابع پیچیده و کسری اغلب چالش برانگیز هستند. به لطف قوانین فوق، می توانید DL را به درستی تعیین کنید و به سرعت کار را در دامنه تعریف حل کنید.

جداول نتایج اصلی

برای سهولت، تمام مطالب مورد مطالعه را برای چیدمان راحت و به خاطر سپردن سریع در جدولی قرار می دهیم

اجازه دهید توابع و حوزه های تعریف آنها را مرتب کنیم.

توجه داشته باشید که تبدیل ها را می توان با شروع از سمت راست عبارت انجام داد. از اینجا روشن می شود که تبدیلات یکسان مجاز است که بر دامنه تعریف تأثیر نمی گذارد. به عنوان مثال، y = x 2 - 4 x - 2 و y = x + 2 توابع متفاوتی هستند، زیرا اولی در (-∞, 2) ∪ (2, + ∞) تعریف شده است، و دومی از مجموعه اعداد واقعی. از تبدیل y = x 2 - 4 x - 2 = x - 2 x + 2 x - 2 = x + 2 واضح است که تابع برای x ≠ 2 معنی دارد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

نوع شغل: 13

وضعیت

آ)معادله 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 را حل کنید.

ب) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \راست].

راه حل

آ)با باز کردن پرانتزها و انتقال تمام عبارت ها به سمت چپ، معادله 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 را بدست می آوریم. با توجه به اینکه \cos x \neq 0، عبارت 2 \sin x را می توان با 2 tan x \cos x جایگزین کرد، معادله را به دست می آوریم. 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0،که با گروه بندی می توان به شکل (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 کاهش داد.

1) 1-tg x=0، tan x=1، x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0، \cos x=\frac12، x=\pm \frac\pi 3+2\pi n، n \in \mathbb Z.

ب)با استفاده از دایره اعداد، ریشه های متعلق به بازه را انتخاب کنید \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4،

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3،

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi)3.

پاسخ

آ) \frac\pi 4+\pi n، \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

ب) \frac(5\pi)3، \frac(7\pi)3، \frac(9\pi)4.

نوع شغل: 13
موضوع: محدوده مقدار مجاز (APV)

وضعیت

آ)معادله را حل کنید (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

ب)ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند را مشخص کنید \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

راه حل

آ) ODZ: \begin(موارد) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(موارد)

معادله اصلی روی ODZ معادل مجموعه ای از معادلات است

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(آرایه)\راست.

بیایید معادله اول را حل کنیم. برای انجام این کار ما یک جایگزین خواهیم ساخت \cos 4x=t، t \ در [-1; 1].سپس \sin^24x=1-t^2. ما گرفتیم:

2(1-t^2)-3t=0،

2t^2+3t-2=0،

t_1=\frac12، t_2=-2، t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12،

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n،

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2، n \in \mathbb Z.

بیایید معادله دوم را حل کنیم.

tg x=0،\، x=\pi k، k \in \mathbb Z.

با استفاده از دایره واحد، راه حل هایی را پیدا می کنیم که ODZ را برآورده می کند.

علامت "+" ربع 1 و 3 را نشان می دهد که در آن tg x>0 است.

دریافت می کنیم: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

ب)بیایید ریشه های متعلق به فاصله را پیدا کنیم \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12)، x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

پاسخ

آ) \pi k، k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

ب) \pi; \frac\pi (12)؛ \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 13
موضوع: محدوده مقدار مجاز (APV)

وضعیت

آ)معادله را حل کنید: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

ب)تمام ریشه های متعلق به بازه را فهرست کنید \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\راست].

راه حل

آ)زیرا \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6،که \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6،این بدان معنی است که معادله داده شده معادل معادله \cos^2x=\cos ^22x است که به نوبه خود معادل معادله \cos^2x-\cos ^2 2x=0 است.

ولی \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)و

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1، بنابراین معادله تبدیل می شود

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0،

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

سپس یا 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0، یا 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

با حل معادله اول به عنوان یک معادله درجه دوم برای \cos x، به دست می آوریم:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.بنابراین یا \cos x=1 یا \cos x=-\frac12.اگر \cos x=1، آنگاه x=2k\pi، k \in \mathbb Z. اگر \cos x=-\frac12،که x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

به همین ترتیب، با حل معادله دوم، یا \cos x=-1 یا به دست می‌آییم \cos x=\frac12.اگر \cos x=-1، پس ریشه ها x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.اگر \cos x=\frac12،که x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

بیایید راه حل های به دست آمده را با هم ترکیب کنیم:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

ب)بیایید ریشه هایی را که در یک بازه معین قرار می گیرند با استفاده از یک دایره عددی انتخاب کنیم.

ما گرفتیم: x_1 =\frac(11\pi)3، x_2=4\pi، x_3 =\frac(13\pi)3.

پاسخ

آ) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

ب) \frac(11\pi )3، 4\pi، \frac(13\pi)3.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 13
موضوع: محدوده مقدار مجاز (APV)

وضعیت

آ)معادله را حل کنید 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right))(1+tgx).

ب)ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند را مشخص کنید \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\راست).

راه حل

آ) 1. طبق فرمول کاهش، ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.دامنه تعریف معادله مقادیری از x خواهد بود که \cos x \neq 0 و tan x \neq -1 باشد. بیایید معادله را با استفاده از فرمول کسینوس دو زاویه تبدیل کنیم 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.معادله را بدست می آوریم: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

توجه کنید که \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx)،بنابراین معادله تبدیل می شود: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).از اینجا \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx)، \cos x+\sin x =\frac65.

2. \sin x+\cos x را با استفاده از فرمول کاهش و فرمول مجموع کسینوس ها تبدیل کنید: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\راست)، \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\راست)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

از اینجا \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.به معنای، x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k، k \in \mathbb Z،

یا x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

از همین رو x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z،

یا x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

مقادیر یافت شده x متعلق به دامنه تعریف است.

ب)اجازه دهید ابتدا بفهمیم که ریشه های معادله در کجای k=0 و t=0 قرار می گیرند. بر این اساس این اعداد خواهند بود a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5و b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. اجازه دهید نابرابری کمکی را ثابت کنیم:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

واقعا، \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

همچنین توجه داشته باشید که \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, به معنای \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. از نابرابری ها (1) با خاصیت کسینوس قوس به دست می آوریم:

آرکوس 1

0

از اینجا \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

به همین ترتیب، -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

برای k=-1 و t=-1 ریشه های معادله a-2\pi و b-2\pi را به دست می آوریم.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).که در آن -2\pi

2\pi این بدان معنی است که این ریشه ها به بازه داده شده تعلق دارند \left(-2\pi , -\frac(3\pi)2\راست).

برای سایر مقادیر k و t، ریشه های معادله به بازه داده شده تعلق ندارند.

در واقع، اگر k\geqslant 1 و t\geqslant 1 باشد، آنگاه ریشه ها بزرگتر از 2\pi هستند. اگر k\leqslant -2 و t\leqslant -2 باشد، ریشه ها کوچکتر هستند -\frac(7\pi )2.

پاسخ

آ) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

ب) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 13
موضوع: محدوده مقدار مجاز (APV)

وضعیت

آ)معادله را حل کنید \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

ب)تمام ریشه های این معادله را که به بازه تعلق دارند بیابید.

راه حل

آ)بیایید معادله را تبدیل کنیم:

\cos x =-\sin 2x،

\cos x+2 \sin x \cos x=0،

\cos x(1+2 \sin x)=0،

\cos x=0،

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0،

\sin x=-\frac12،

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k، k \in \mathbb Z.

ب)ریشه های متعلق به بخش را با استفاده از دایره واحد پیدا می کنیم.

فاصله مشخص شده شامل یک عدد واحد است \frac\pi 2.

پاسخ

آ) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k، k \in \mathbb Z;

ب) \frac\pi 2.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 13
موضوع: محدوده مقدار مجاز (APV)

وضعیت

آ)معادله را حل کنید \frac(\sin x-1)(1+\cos 2x)=\frac(\sin x-1)(1+\cos (\pi +x)).

ب)تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید \left[ -\frac(3\pi )(2); -\frac(\pi )2 \right].

راه حل

آ)بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم: \cos 2x \neq -1، \cos (\pi +x) \neq -1;از اینجا ODZ: x \neq \frac \pi 2+\pi k،

k \in \mathbb Z، x\neq 2\pi n، n \in \mathbb Z.توجه داشته باشید که وقتی \sin x=1، x=\frac \pi 2+2\pi k، k \in \mathbb Z.

مجموعه مقادیر x حاصل در ODZ گنجانده نشده است.

به معنای، \sin x \neq 1.

دو طرف معادله را بر یک ضریب تقسیم کنید (\sin x-1)،متفاوت از صفر معادله را می گیریم \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x))،یا معادله 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).با استفاده از فرمول کاهش در سمت چپ و فرمول کاهش در سمت راست، معادله را به دست می آوریم 2 \cos ^2 x=1-\cos x.این معادله با جایگزینی است \cos x=t،جایی که -1 \leqslant t \leqslant 1کاهش به مربع: 2t^2+t-1=0،که ریشه t_1=-1و t_2=\frac12.با بازگشت به متغیر x، دریافت می کنیم \cos x = \frac12یا \cos x=-1،جایی که x=\frac \pi 3+2\pi m، m\in \mathbb Z، x=-\frac \pi 3+2\pi n، n \ در \ mathbb Z، x=\pi +2\pi k، k \in \mathbb Z.

ب)بیایید نابرابری ها را حل کنیم

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, متر n k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2، -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56، -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\ چپ [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi)(2)، -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12، -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6)، -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

هیچ عدد صحیحی در محدوده وجود ندارد \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi)2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12، -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32، -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

این نابرابری با k=-1 و سپس x=-\pi برآورده می شود.

پاسخ

آ) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k، متر n k \in \mathbb Z;

ب) -\pi.

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی 2017. سطح پروفایل." اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

(\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x) و

\cos 2x=1-2 \sin ^2 x، بنابراین معادله شکل خواهد گرفت

(\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0،

(2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot (2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0.

سپس یا 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0 یا 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0.

بیایید معادله اول را به عنوان یک معادله درجه دوم با توجه به \sin x حل کنیم،

(\sin x)_(1,2)=\frac(-1 \pm \sqrt 9)4=\frac(-1 \pm 3)4.بنابراین یا \sin x=-1 یا \sin x=\frac12.اگر \sin x=-1، پس x=\frac(3\pi )2+ 2k\pi، k \in \mathbb Z.اگر \sin x=\frac12،یا x=\frac\pi 6 +2s\pi، s \in \mathbb Z،یا x=\frac(5\pi )6+2t\pi, t \in \mathbb Z.

به همین ترتیب، با حل معادله دوم، یا \sin x=1 یا به دست می‌آوریم \sin x=-\frac12.سپس x =\frac\pi 2+2m\pi، m\in \mathbb Z،یا x=\frac(-\pi )6 +2n\pi، n \in \mathbb Z،یا x=\frac(-5\pi )6+2p\pi , p \in \mathbb Z.

بیایید راه حل های به دست آمده را با هم ترکیب کنیم:

x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z; x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z.

ب)بیایید ریشه هایی را که در یک بازه معین قرار می گیرند با استفاده از یک دایره عددی انتخاب کنیم.

ما گرفتیم: x_1 =\frac(7\pi)2، x_2 =\frac(23\pi)6، x_3 =\frac(25\pi)6.

پاسخ

آ) \frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z;

ب) \frac(7\pi )2;\,\,\frac(23\pi )6;\,\,\frac(25\pi )6.