تبدیل اعداد به ماشین حساب سیستم اعداد اکتالی. تبدیل سریع یک عدد از اعشاری به باینری
برای تبدیل سریع اعداد از اعشار به باینری، باید اعداد "2 به توان" را به خوبی بدانید. به عنوان مثال، 2 10 \u003d 1024 و غیره. این به شما امکان می دهد چند نمونه را برای ترجمه در عرض چند ثانیه حل کنید. یکی از این وظایف است task A1 از نسخه ی نمایشی USE 2012. البته می توانید عدد را طولانی و خسته کننده بر "2" تقسیم کنید. اما بهتر است متفاوت تصمیم بگیرید و در وقت ارزشمند امتحان صرفه جویی کنید.
روش بسیار ساده است. ماهیت آن این است: اگر عددی که باید از سیستم اعشاری تبدیل شود برابر با عدد "2 به توان" باشد، این عدد در سیستم دودویی شامل تعداد صفرهای برابر توان است. جلوی این صفرها یک "1" اضافه می کنیم.
- بیایید عدد 2 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 2=2 1 . بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 1 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 10 2 می گیریم.
- بیایید 4 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 4=2 2 . بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 2 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 100 2 می گیریم.
- بیایید 8 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 8=2 3 . بنابراین در سیستم باینری عدد شامل 3 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 1000 2 می گیریم.
به طور مشابه برای اعداد دیگر "2 به توان".
اگر عددی که باید ترجمه شود کمتر از عدد 2 به توان 1 باشد، در سیستم باینری این عدد فقط از واحدهایی تشکیل شده است که تعداد آنها برابر توان است.
- بیایید 3 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 3=2 2 -1. بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 2 یک است. 11 2 می گیریم.
- بیایید 7 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 7=2 3 -1. بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 3 یک است. ما 111 2 را دریافت می کنیم.
در شکل، مربع ها نمایش دودویی عدد را نشان می دهند و در سمت چپ، نمایش اعشاری صورتی است.
ترجمه برای سایر اعداد "2 به توان -1" مشابه است.
واضح است که ترجمه اعداد از 0 تا 8 را می توان به سرعت یا با تقسیم انجام داد و یا به سادگی نمایش آنها را در سیستم باینری دانست. من این مثال ها را آوردم تا اصل این روش را بفهمید و از آن برای ترجمه بیشتر «اعداد تأثیرگذار» استفاده کنید، مثلاً اعداد 127،128، 255، 256، 511، 512 و غیره را ترجمه کنید.
شما می توانید چنین وظایفی را زمانی انجام دهید که نیاز به ترجمه عددی داشته باشید که با عدد "2 به توان" برابر نیست، اما نزدیک به آن باشد. می تواند بزرگتر یا کمتر از عدد "2 به توان" باشد. تفاوت بین عدد ترجمه شده و عدد "2 به توان" باید کم باشد. به عنوان مثال، تا 3. نمایش اعداد از 0 تا 3 در سیستم باینری باید به سادگی بدون ترجمه شناخته شود.
اگر عدد بزرگتر از عدد باشد، آن را به صورت زیر حل می کنیم:
ابتدا عدد "2 به توان" را به سیستم باینری ترجمه می کنیم. و سپس تفاوت عدد "2 به توان" و عدد ترجمه شده را به آن اضافه می کنیم.
برای مثال، بیایید 19 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. از عدد "2 به توان" 3 بزرگتر است.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
اگر عدد کمتر از عدد "2 به توان" باشد، استفاده از عدد "2 به توان -1" راحت تر است. ما اینطور تصمیم می گیریم:
ابتدا عدد "2 به توان -1" را به سیستم باینری ترجمه می کنیم. و سپس تفاوت بین عدد "2" را به توان -1 و عدد ترجمه شده از آن کم کنید.
به عنوان مثال، بیایید 29 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. از عدد "2 به توان 1" 2 بزرگتر است. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
اگر تفاوت بین عدد ترجمه شده و عدد "2 به توان" بیش از سه باشد، می توانید عدد را به اجزاء تقسیم کنید، هر قسمت را به سیستم باینری تبدیل کرده و اضافه کنید.
به عنوان مثال، عدد 528 را از سیستم اعشاری ترجمه کنید. 528=512+16. 512 و 16 را جداگانه ترجمه می کنیم.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
حالا بیایید آن را روی هم جمع کنیم:
قبولی در امتحان و نه تنها ...
عجیب است که در مدارس در کلاس های علوم کامپیوتر معمولاً پیچیده ترین و نامناسب ترین راه را برای ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر به دانش آموزان نشان می دهند. این روش شامل تقسیم متوالی عدد اصلی بر پایه و جمع آوری باقی مانده تقسیم به ترتیب معکوس است.
به عنوان مثال، شما باید عدد 810 10 را به سیستم باینری تبدیل کنید:
نتیجه به ترتیب معکوس از پایین به بالا نوشته می شود. معلوم می شود 81010 = 11001010102
اگر شما نیاز به تبدیل اعداد نسبتاً بزرگ به سیستم باینری دارید، نردبان تقسیم به اندازه یک ساختمان چند طبقه است. و چگونه می توانید همه صفرهایی را جمع آوری کنید و حتی یک عدد را از دست ندهید؟
برنامه USE در علوم کامپیوتر شامل چندین کار مربوط به ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر است. به عنوان یک قاعده، این یک تبدیل بین سیستم های 8- و 16-ary و باینری است. اینها بخش های A1، B11 هستند. اما در سایر سیستم های اعداد مانند بخش B7 نیز مشکلاتی وجود دارد.
برای شروع، اجازه دهید دو جدول را یادآوری کنیم که برای کسانی که علم کامپیوتر را به عنوان حرفه آینده خود انتخاب می کنند، خوب است از روی قلب بدانند.
جدول قدرت های شماره 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
به راحتی با ضرب عدد قبلی در 2 به دست می آید. بنابراین، اگر همه این اعداد را به خاطر نمی آورید، به دست آوردن بقیه در ذهن خود از آنهایی که به یاد می آورید دشوار نیست.
جدول اعداد باینری از 0 تا 15 با نمایش هگزادسیمال:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | آ | ب | سی | D | E | اف |
مقادیر گمشده نیز با افزودن 1 به مقادیر شناخته شده به راحتی قابل محاسبه هستند.
ترجمه عدد صحیح
بنابراین، اجازه دهید با تبدیل مستقیم به سیستم باینری شروع کنیم. بیایید همان عدد 810 10 را در نظر بگیریم. ما باید این عدد را به عباراتی برابر با توان دو تجزیه کنیم.
- ما به دنبال نزدیکترین توان دو به 810 هستیم که از آن تجاوز نکند. این 29 = 512 است.
- با کم کردن 512 از 810، 298 به دست می آید.
- مراحل 1 و 2 را تکرار کنید تا زمانی که 1 یا 0 باقی بماند.
- ما آن را اینگونه دریافت کردیم: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
روش 1: 1 را با توجه به ارقامی که نشانگر اصطلاحات مشخص شده است مرتب کنید. در مثال ما، اینها 9، 8، 5، 3 و 1 هستند. بقیه مکان ها صفر خواهند بود. بنابراین، ما نمایش باینری عدد 810 10 = 1100101010 2 را دریافت کردیم. واحدها در مکان های نهم، هشتم، پنجم، سوم و یکم با شمارش از راست به چپ از صفر قرار دارند.
روش 2: بیایید عبارت ها را به عنوان توان های دو زیر یکدیگر بنویسیم و با بزرگترین شروع کنیم.
810 =
و حالا بیایید این مراحل را کنار هم بگذاریم، مانند یک فن تا شده: 1100101010.
همین. در طول راه، مشکل "چند واحد در نمایش باینری عدد 810 وجود دارد؟" نیز به سادگی حل می شود.
پاسخ به تعداد اصطلاحات (قدرت دو) در این نمایش است. 810 دارای 5 است.
حالا مثال ساده تر است.
بیایید عدد 63 را به سیستم اعداد 5 اری ترجمه کنیم. نزدیکترین توان 5 به 63 25 (مربع 5) است. مکعب (125) در حال حاضر بسیار خواهد بود. یعنی 63 بین مربع 5 و مکعب قرار دارد. سپس ضریب 5 2 را انتخاب می کنیم. این 2 است.
63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 بدست می آوریم.
و در نهایت، ترجمه های بسیار آسان بین سیستم های اعشاری 8 و 16. از آنجایی که پایه آنها توان دو است، ترجمه به صورت خودکار انجام می شود، به سادگی با جایگزینی ارقام با نمایش دودویی آنها. برای سیستم هشتی، هر رقم با سه رقم باینری و برای سیستم هگزادسیمال با چهار رقم جایگزین می شود. در این مورد، تمام صفرهای ابتدایی، به جز مهم ترین رقم مورد نیاز است.
بیایید عدد 547 8 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
یکی دیگر، به عنوان مثال 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | آ |
بیایید عدد 7368 را به سیستم هگزادسیمال ترجمه کنیم. ابتدا اعداد را سه تایی بنویسید و سپس آنها را از آخر به چهار تقسیم کنید: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE 1. بیایید عدد C25 16 را به سیستم 8-ary تبدیل کنیم. ابتدا اعداد را چهار تا می نویسیم و سپس آنها را از انتها به سه قسمت تقسیم می کنیم: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. اکنون تبدیل مجدد به اعشار را در نظر بگیرید. دشوار نیست، نکته اصلی این است که در محاسبات اشتباه نکنید. عدد را به چند جمله ای با درجه پایه و ضرایب در آنها تجزیه می کنیم. سپس همه چیز را ضرب و جمع می کنیم. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474.
ترجمه اعداد منفی
در اینجا باید در نظر داشته باشید که شماره در یک کد اضافی ارائه می شود. برای ترجمه یک عدد به یک کد اضافی، باید اندازه نهایی عدد را بدانید، یعنی به چه چیزی می خواهیم آن را بنویسیم - به یک بایت، به دو بایت، به چهار. مهم ترین رقم عدد به معنای علامت است. اگر 0 وجود داشته باشد، عدد مثبت و اگر 1 باشد منفی است. در سمت چپ، عدد با یک بیت علامت پر شده است. ما اعداد بدون علامت را در نظر نمی گیریم، آنها همیشه مثبت هستند و مهم ترین رقم در آنها به عنوان اطلاعات استفاده می شود.
برای تبدیل یک عدد منفی به متمم دو، باید یک عدد مثبت را به باینری تبدیل کنید، سپس صفرها را به یک و یک ها را به صفر تبدیل کنید. سپس 1 را به نتیجه اضافه کنید.
بنابراین، بیایید عدد -79 را به سیستم باینری ترجمه کنیم. عدد یک بایت ما را می گیرد.
ما 79 را به سیستم باینری ترجمه می کنیم، 79 = 1001111. به اندازه بایت، صفر را به سمت چپ اضافه می کنیم، 8 بیت، 01001111 می گیریم. 1 را به 0 و 0 را به 1 تغییر می دهیم. 10110000 می گیریم. ما پاسخ 10110001 را دریافت می کنیم. در طول راه، ما به سوال USE "چند واحد در نمایش دودویی عدد -79 وجود دارد؟" پاسخ می دهیم. جواب 4 است.
با افزودن 1 به معکوس عدد، تفاوت بین نمایش‌های +0 = 00000000 و -0 = 11111111 حذف میشود. در کد متمم دو، آنها به صورت 00000000 نوشته می‌شوند.
ترجمه اعداد کسری
اعداد کسری به روش معکوس به تقسیم اعداد صحیح بر پایه ترجمه می شوند که در همان ابتدا آن را در نظر گرفتیم. یعنی با ضرب پی در پی در یک پایه جدید با مجموعه قطعات کامل. اجزای صحیح حاصل از ضرب جمع آوری می شوند، اما در عملیات زیر شرکت نمی کنند. فقط کسرها ضرب می شوند. اگر عدد اصلی بزرگتر از 1 باشد، قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه ترجمه می شوند و سپس به هم چسبانده می شوند.
بیایید عدد 0.6752 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
این فرآیند را می توان برای مدت طولانی ادامه داد تا زمانی که تمام صفرهای قسمت کسری را بدست آوریم یا دقت لازم را بدست آوریم. بیایید فعلاً روی علامت 6 توقف کنیم.
معلوم می شود 0.6752 = 0.101011.
اگر عدد 5.6752 بود، در باینری 101.101011 خواهد بود.
نتیجه قبلاً دریافت شده است!
سیستم های اعداد
سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:
سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.
عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:
سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:
C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره
چند کلمه در مورد سیستم اعداد. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ارقام (0.1)، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ارقام (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10،11 مطابقت دارد، 12،13،14،15 در جدول 1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف نشان داده شده اند.
| میز 1 | |||
|---|---|---|---|
| نشانه گذاری | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | آ |
| 11 | 1011 | 13 | ب |
| 12 | 1100 | 14 | سی |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | اف |
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری
با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.
مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:
اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.
قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8، برای 16 رقم - توسط 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.
مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:
159 10 =10011111 2 .
مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:
615 10 =1147 8 .
مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.
برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا قسمت کسری به صفر خالص برسد، یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).
بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.
مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.392 |
همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. فرآیند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .
بنابراین، می توانیم بنویسیم:
0.214 10 =0.0011011 2 .
مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.
| 0.125 | ||
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| ایکس | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| ایکس | 2 | |
| 1 | 0.0 |
برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:
0.125 10 =0.001 2 .
مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.
| 0.214 | ||
| ایکس | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| ایکس | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| ایکس | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| ایکس | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| ایکس | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| ایکس | 16 | |
| 4 | 0.224 |
به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:
0.214 10 = 0.36C8B4 16.
مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.
| 0.512 | ||
| ایکس | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| ایکس | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| ایکس | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| ایکس | 8 | |
| 1 | 0.728 |
بدست آورد:
0.512 10 =0.406111 8 .
مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:
159.125 10 =10011111.001 2 .
مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.
قانون.برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر، باید عدد اصلی را بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید. ضریب حاصل را دوباره بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید و تا آن زمان به تقسیم ادامه دهید. تا زمانی که ضریب از پایه سیستم اعداد جدید کمتر شود. باقی مانده های تقسیم حاصل، که از قسمت آخر شروع می شوند، به ترتیب معکوس نوشته می شوند. این رکورد شماره در سیستم شماره جدید خواهد بود.
مثال.عدد 135 از SS 10 به سیستم اعداد 2، 8 و 16 آری تبدیل می شود.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
وظیفه 2.
اعداد زیر 1275.973، 172 را به SS باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید
تبدیل معکوس اعداد از هر SS به 10 ام.
1) برای ترجمه یک عدد از هر SS به SS اصلی (ترجمه معکوس)،باید هر رقم این عدد را در پایه SS اصلی ضرب کنید. از رقم صفر از راست به چپ شروع کنید و محصولات را اضافه کنید. اگر کسری اعشاری را ترجمه می کنید، باید قانون نوشتن اعداد صحیح و کسری عدد را اعمال کنید.
2) ترجمه معکوس اعداد طبق فرمول انجام می شود:
که در آن A یک عدد معین است،
g پایه SS یک عدد معین است (=2 برای یک 2 رقمی اس اس،برای سایر SS - مشابه)،
m تعداد ارقام در قسمت صحیح عدد است.
n تعداد ارقام در قسمت کسری عدد است،
الف - مقدار ارقام عدد داده شده (رکورد قسمت کسری عدد با رنگ آبی مشخص شده است).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10
13.4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0.5=11.5 10 (این عدد یک کسر اعشاری است)
وظیفه 3.
اعداد زیر را به SS اعشاری تبدیل کنید:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 = 2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16
ترجمه اعداد با پایه که توان 2 است و ترجمه معکوس.این SS شامل سیستم های اعداد باینری، اکتال، هگزادسیمال می باشد.
قانون. تبدیل از SS باینری به SS اکتال. عدد باینری از انتها به گروه های 3 رقمی (از راست به چپ) تقسیم می شود و هر گروه در یک SS جدید به یک عدد تبدیل می شود.
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم اکتال به صورت سه گانه نوشته می شود.
قانون. از SS باینری تا SS هگزادسیمال: مشابه، اما با 4 رقم از هم جدا می شوند
0110.0110.1011 2 = 66B 16
1011.1111.0111 2 = BF7 16
10.1010.0111.0001 2 =2A71 16
قانون. برای تبدیل معکوس، هر رقم هگزادسیمال به صورت تتراد نوشته می شود.
ترجمه کسرهای مناسب و نامناسب در SS های مختلف.اگر نیاز به تبدیل یک کسر معمولی دارید، ابتدا باید آن را به کسری اعشاری تبدیل کنید و سپس قوانین تبدیل کسری اعشاری را اعمال کنید.
قانون. کسرهای اعشاری کمتر از یک (کسری مناسب) را تبدیل کنید.
1) لازم است قسمت کسری را با یک خط عمودی جدا کنید.
2) بخش کسری را بر اساس سیستم اعداد جدید ضرب کنید.
3) نتیجه را دقیقاً زیر عدد اصلی بنویسید و از کمترین رقم شروع کنید. اگر انتقالی به کل قسمت دریافت کردید، آن را در سمت چپ خط بنویسید.
4) ضرب جزء کسری تا زمانی انجام می شود که عددی با دقت معین به دست آید یا در سمت راست خط 0 باشد.
0,728 10 =0,564 8
وظیفه 4.کسرهای مناسب زیر را از SS اعشاری به SS باینری، هشتگانه، هگزادسیمال تبدیل کنید:
2.3. تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
2.3.1. تبدیل اعداد صحیح از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
امکان فرموله کردن الگوریتمی برای تبدیل اعداد صحیح از یک سیستم با پایه وجود دارد پ به یک سیستم با پایه q :
1. پایه سیستم اعداد جدید را بر حسب سیستم اعداد اصلی بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را در سیستم اعداد اصلی انجام دهید.
2. تقسیم عدد داده شده و ضرایب صحیح حاصل را بر اساس سیستم اعداد جدید به طور پیوسته انجام دهید تا زمانی که ضریبی کمتر از مقسوم علیه بدست آوریم.
3. باقی مانده های حاصل که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند باید با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت داده شوند.
4. یک عدد در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین باقی مانده یادداشت کنید.
مثال 2.12.تبدیل عدد اعشاری 173 10 به سیستم اعداد اکتالی:
دریافت می کنیم: 173 10 \u003d 255 8
مثال 2.13.تبدیل عدد اعشاری 173 10 به سیستم اعداد هگزادسیمال:
دریافت می کنیم: 173 10 = 16 بعد از میلاد.
مثال 2.14.عدد اعشاری 11 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید. توالی اقدامات در نظر گرفته شده در بالا (الگوریتم ترجمه) به راحتی به شرح زیر نشان داده می شود:
دریافت می کنیم: 11 10 \u003d 1011 2.
مثال 2.15.گاهی اوقات نوشتن الگوریتم ترجمه در قالب یک جدول راحت تر است. بیایید عدد اعشاری 363 10 را به یک عدد باینری ترجمه کنیم.
|
تقسیم کننده |
|||||||||
دریافت می کنیم: 363 10 \u003d 101101011 2
2.3.2. ترجمه اعداد کسری از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
امکان فرموله کردن الگوریتمی برای تبدیل کسر مناسب با پایه وجود دارد پ به کسری با پایه q:
1. پایه سیستم اعداد جدید را بر حسب سیستم اعداد اصلی بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را در سیستم اعداد اصلی انجام دهید.
2. عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از محصولات را به ترتیب در سیستم جدید ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا به دقت لازم برای نمایش عدد برسد.
3. قسمت های صحیح حاصل از محصولات، که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند، با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت داده می شوند.
4. قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و با قسمت صحیح اولین حاصلضرب شروع کنید.
مثال 2.17.عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد اکتالی تبدیل کنید.
دریافت می کنیم: 0.65625 10 \u003d 0.52 8
مثال 2.17.عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.
|
ایکس 16 |
|
دریافت می کنیم: 0.65625 10 \u003d 0.A8 1
مثال 2.18.اعشاری 0.5625 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
|
ایکس 2 |
|
|
ایکس 2 |
|
|
ایکس 2 |
|
|
ایکس 2 |
|
دریافت می کنیم: 0.5625 10 \u003d 0.1001 2
مثال 2.19.تبدیل به اعشاری باینری 0.7 10 .
بدیهی است که این روند می تواند به طور نامحدود ادامه یابد و نشانه های بیشتری را در تصویر معادل باینری عدد 0.7 10 نشان دهد. بنابراین، در چهار مرحله به عدد 0.1011 2 و در هفت مرحله به عدد 0.1011001 2 می رسیم که نمایش دقیق تری از عدد 0.7 10 به صورت باینری و غیره است. چنین فرآیند بی پایانی در مرحله ای قطع می شود، زمانی که در نظر گرفته شده است که دقت لازم برای نمایش عدد بدست آمده است.
2.3.3. ترجمه اعداد دلخواه
ترجمه اعداد دلخواه، i.e. اعداد شامل اعداد صحیح و کسری در دو مرحله انجام می شود که قسمت عدد صحیح جداگانه و قسمت کسری جداگانه ترجمه می شود. در رکورد نهایی عدد حاصل، قسمت صحیح از کاما کسری (نقطه) جدا می شود.
مثال 2.20. تبدیل عدد 17.25 10 به سیستم اعداد باینری.
دریافت می کنیم: 17.25 10 \u003d 1001.01 2
مثال 2.21.عدد 124.25 10 را به سیستم هشتی تبدیل کنید.
دریافت می کنیم: 124.25 10 \u003d 174.2 8
2.3.4. تبدیل اعداد از سیستم اعداد با پایه 2 به سیستم اعداد با پایه 2 n و بالعکس
ترجمه اعداد صحیحاگر پایه سیستم اعداد q-ary توان 2 باشد، تبدیل اعداد از سیستم اعداد q-ary به 2-ary و بالعکس می تواند طبق قوانین ساده تری انجام شود. برای نوشتن یک عدد صحیح باینری در یک سیستم اعداد با پایه q=2 n، شما نیاز دارید:
1. یک عدد باینری را از راست به چپ به گروه های n رقمی تقسیم کنید.
2. اگر در آخرین گروه سمت چپ کمتر از n رقم وجود داشته باشد، باید در سمت چپ با صفر به تعداد ارقام مورد نیاز تکمیل شود.
مثال 2.22.بیایید عدد 101100001000110010 2 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه کنیم.
عدد را از راست به چپ به سه تایی تقسیم می کنیم و زیر هر کدام از آنها رقم هشتی مربوطه را می نویسیم:
ما نمایش هشتی عدد اصلی را دریافت می کنیم: 541062 8 .
مثال 2.23.عدد 1000000000111110000111 2 به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل می شود.
عدد را از راست به چپ به تتراد تقسیم می کنیم و رقم هگزادسیمال مربوطه را زیر هر کدام از آنها می نویسیم:
ما نمایش هگزادسیمال عدد اصلی را دریافت می کنیم: 200F87 16.
ترجمه اعداد کسریبرای نوشتن یک عدد دودویی کسری در یک سیستم اعداد با پایه q=2 n، شما نیاز دارید:
1. یک عدد باینری را از چپ به راست به گروه های n رقمی تقسیم کنید.
2. اگر در آخرین گروه سمت راست کمتر از n رقم وجود داشته باشد، باید آن را در سمت راست با صفر به تعداد ارقام مورد نیاز تکمیل کرد.
3. هر گروه را به عنوان یک عدد باینری n بیتی در نظر بگیرید و آن را با رقم مربوطه در سیستم اعداد با پایه q=2 n یادداشت کنید.
مثال 2.24.بیایید عدد 0.10110001 2 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه کنیم.
عدد را از چپ به راست به سه تایی تقسیم می کنیم و زیر هر کدام از آنها رقم هشتی مربوطه را می نویسیم:
ما نمایش هشتی عدد اصلی را دریافت می کنیم: 0.542 8 .
مثال 2.25.بیایید عدد 0.100000000011 2 را به سیستم اعداد هگزادسیمال ترجمه کنیم. عدد را از چپ به راست به تتراد تقسیم می کنیم و رقم هگزادسیمال مربوطه را زیر هر کدام از آنها می نویسیم:
ما نمایش هگزادسیمال عدد اصلی را دریافت می کنیم: 0.803 16
ترجمه اعداد دلخواهبرای نوشتن یک عدد باینری دلخواه در سیستم اعداد با پایه q=2 n، شما نیاز دارید:
1. قسمت صحیح این عدد باینری را از راست به چپ و قسمت کسری را از چپ به راست به گروه های n رقمی تقسیم کنید.
2. اگر کمتر از n رقم در آخرین گروه های چپ و/یا راست وجود داشته باشد، باید آنها را در سمت چپ و/یا راست با صفر تا تعداد ارقام لازم تکمیل کرد.
3. هر گروه را به عنوان یک عدد باینری n بیتی در نظر بگیرید و آن را به عنوان رقم متناظر در سیستم اعداد با پایه q=2 n یادداشت کنید.
مثال 2.26.بیایید عدد 111100101.0111 2 را به سیستم اعداد هشتی ترجمه کنیم.
قسمت های اعداد صحیح و کسری عدد را به سه تایی تقسیم می کنیم و زیر هر کدام رقم هشتی مربوطه را می نویسیم:
ما نمایش هشتی عدد اصلی را بدست می آوریم: 745.34 8 .
مثال 2.27.عدد 11101001000,11010010 2 به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل می شود.
قسمت های صحیح و کسری عدد را به دفترچه هایی تقسیم می کنیم و زیر هر کدام از آنها رقم هگزادسیمال مربوطه را می نویسیم:
ما نمایش هگزادسیمال عدد اصلی را بدست می آوریم: 748,D2 16.
ترجمه اعداد از سیستم های اعداد با پایه q=2n به باینری.برای تبدیل یک عدد دلخواه نوشته شده در یک سیستم اعداد با پایه q=2 n به یک سیستم اعداد باینری، باید هر رقم این عدد را با معادل n رقمی آن در سیستم اعداد باینری جایگزین کنید.
مثال 2.28بیایید عدد هگزادسیمال 4AC35 16 را به سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم.
طبق الگوریتم:
ما دریافت می کنیم: 1001010110000110101 2 .
وظایف برای خودشکوفایی (پاسخ)
2.38. جدولی را پر کنید که در هر خط آن یک عدد صحیح در سیستم های اعداد مختلف باید نوشته شود.
|
دودویی |
هشتی |
اعشاری |
هگزادسیمال |
2.39. جدولی را پر کنید که در هر خط آن عدد کسری یکسان در سیستم های اعداد مختلف نوشته شود.
|
دودویی |
هشتی |
اعشاری |
هگزادسیمال |
2.40. جدولی را پر کنید که در هر خط آن عدد دلخواه یکسان (عدد می تواند شامل یک عدد صحیح و یک جزء کسری باشد) باید در سیستم های اعداد مختلف نوشته شود.
|
دودویی |
هشتی |
اعشاری |
هگزادسیمال |
|
59 ب |