• تبدیل لاپلاس. برای حل معادلات دیفرانسیل خطی از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم. تاریخچه تبدیل لاپلاس پیوسته متغیر پیچیده لاپلاس

    تبدیل لاپلاس- تبدیل انتگرالی مربوط به تابع F (s) (\displaystyle \ F(s))متغیر مختلط ( تصویر) با تابع f (x) (\displaystyle \f(x))متغیر واقعی ( اصلی). با کمک آن، خواص سیستم های دینامیکی مورد مطالعه قرار گرفته و معادلات دیفرانسیل و انتگرال حل می شود.

    یکی از ویژگی‌های تبدیل لاپلاس، که کاربرد گسترده آن را در محاسبات علمی و مهندسی از پیش تعیین کرده است، این است که بسیاری از نسبت‌ها و عملیات روی نسخه‌های اصلی با نسبت‌های ساده‌تر روی تصاویر آنها مطابقت دارد. بنابراین پیچیدگی دو تابع در فضای تصاویر به عمل ضرب تقلیل می یابد و معادلات دیفرانسیل خطی جبری می شوند.

    یوتیوب دایره المعارفی

      1 / 5

      ✪ تبدیل لاپلاس - bezbotvy

      ✪ سخنرانی 10: تبدیل لاپلاس

      ✪ ریاضیات عالی - 4. تبدیلات لاپلاس. قسمت 1

      ✪ روش لاپلاس برای محلول DE

      ✪ سخنرانی 11: استفاده از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل

      زیرنویس

    تعریف

    تبدیل مستقیم لاپلاس

    lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

    سپس به طور مطلق و یکنواخت برای همگرا می شود و یک تابع تحلیلی برای است σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- بخش واقعی یک متغیر پیچیده s (\displaystyle s)). حد پایین دقیقا σ a (\displaystyle \sigma _(a))مجموعه ای از اعداد σ (\displaystyle \sigma)، که تحت آن این شرط برآورده می شود، نامیده می شود آبسیسا همگرایی مطلقتبدیل لاپلاس برای تابع.

    • شرایط وجود تبدیل لاپلاس مستقیم

    تبدیل لاپلاس L (f (x)) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\))در موارد زیر به معنای همگرایی مطلق وجود دارد:

    1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): اگر انتگرال وجود داشته باشد تبدیل لاپلاس وجود دارد ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
    2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): تبدیل لاپلاس اگر انتگرال وجود داشته باشد ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx)برای هر متناهی وجود دارد x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0)و | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x))برای x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
    3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0)یا σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(کدام یک از مرزها بزرگتر است): اگر تبدیل لاپلاس برای تابع وجود داشته باشد، تبدیل لاپلاس وجود دارد. f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(مشتق از f (x) (\displaystyle f(x))) برای σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

    توجه داشته باشید

    • شرایط وجود تبدیل لاپلاس معکوس

    برای وجود تبدیل لاپلاس معکوس، کافی است که شرایط زیر وجود داشته باشد:

    1. اگر تصویر F (s) (\displaystyle F(s))- عملکرد تحلیلی برای σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a))و مرتبه ای کمتر از 1- دارد، پس تبدیل معکوس برای آن وجود دارد و برای همه مقادیر آرگومان پیوسته است، و L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0)برای t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
    2. اجازه دهید F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi)، بنابراین φ (z 1 , z 2 , … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n)))با توجه به هر یک تحلیلی است z k (\displaystyle z_(k))و برابر با صفر است z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0)، و F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n))، پس تبدیل معکوس وجود دارد و تبدیل مستقیم متناظر دارای ابسیسا همگرایی مطلق است.

    توجه داشته باشید: اینها شرایط کافی برای وجود است.

    • قضیه پیچیدگی

    مقاله اصلی: قضیه پیچیدگی

    • تمایز و ادغام نسخه اصلی

    تصویر مطابق لاپلاس از اولین مشتق اصلی با توجه به آرگومان حاصلضرب تصویر و آرگومان دومی منهای اصلی در صفر در سمت راست است:

    L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

    قضایای مقدار اولیه و نهایی (قضیه های حد):

    f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s))، اگر تمام قطب های تابع s F (s) (\displaystyle sF(s))در نیم صفحه سمت چپ قرار دارند.

    قضیه مقدار محدود بسیار مفید است زیرا رفتار اصل را در بی نهایت با یک رابطه ساده توصیف می کند. به عنوان مثال، این برای تجزیه و تحلیل پایداری مسیر یک سیستم دینامیکی استفاده می شود.

    • سایر خواص

    خطی بودن:

    L ( a f (x) + b g (x) ) = a F (s) + b G (s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

    ضرب در عدد:

    L (f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\راست).)

    تبدیل لاپلاس مستقیم و معکوس برخی از توابع

    در زیر جدول تبدیل لاپلاس برای برخی از توابع آمده است.

    № تابع حوزه زمان
    x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))     		دامنه بسامد
    X (s) = L ( x (t)) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))     		منطقه همگرایی
    برای سیستم های علی
    1 تاخیر ایده آل δ (t - τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ ) e - τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
    1a تک پالس δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ ) 1 (\displaystyle 1\ ) ∀ s (\displaystyle \forall s\ )
    2 تاخیر n (\displaystyle n) (t − τ) n n ! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} e - τs (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a قدرت n (\displaystyle n)- مرتبه t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !} 1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.1 قدرت q (\displaystyle q)- مرتبه t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t)) 1 ثانیه q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.2 تک کاره H (t) (\displaystyle H(t)\ ) 1 ثانیه (\displaystyle (\frac (1)(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2b تک عملکرد با تاخیر H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ ) e - τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2c "گام سرعت" t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ ) 1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2d n (\displaystyle n)مرتبه -ام با تغییر فرکانس t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} 1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1)))) s > −α (\displaystyle s>-\alpha)
    2d.1 فروپاشی نمایی e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ ) 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    3 تقریب نمایی (1 - e - α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ ) α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha)(s(s+\alpha)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    4 سینوسی sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    5 کسینوس cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    6 سینوسی هایپربولیک s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) α s 2 - α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha)(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    7 هذلولی-کوزین c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) s s 2 - α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    8 به طور تصاعدی در حال پوسیدگی
    سینوسی    		 e − α t sin⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    9 به طور تصاعدی در حال پوسیدگی
    کسینوس    		 e − α t cos⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha)((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    10 ریشه n (\displaystyle n)- مرتبه t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t)) s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\درست)) s > 0 (\displaystyle s>0)
    11 لگاریتم طبیعی ln⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\راست)\cdot H(t)) − t 0 s [ ln⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) s > 0 (\displaystyle s>0)
    12  عملکرد بسل
    اولین نوع
    سفارش n (\displaystyle n)     		J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\راست)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
    13
    اولین نوع
    سفارش n (\displaystyle n)     		I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\راست)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))))) s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
    14 عملکرد بیسل
    نوع دوم
    ترتیب صفر    		 Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ ) − 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2)))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    15 تابع بسل اصلاح شده
    نوع دوم،
    ترتیب صفر    		 K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
    16 تابع خطا e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t)) e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    یادداشت های جدول:
    • H (t) (\displaystyle H(t)\ ) ;
    • α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \بتا\ ), τ (\displaystyle \tau \ )و ω (\displaystyle \omega \ ) - رابطه با تحولات دیگر

      ارتباطات اساسی

      تبدیل ملین

      تبدیل ملین و تبدیل ملین معکوس با تغییر ساده متغیرها به تبدیل لاپلاس دو طرفه مربوط می شوند. اگر در تبدیل ملین

      G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\چپ\(g(\theta)\راست \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta))\,d\theta )

      بگذاریم θ = e - x (\displaystyle \theta =e^(-x))، سپس تبدیل لاپلاس دو طرفه را دریافت می کنیم.

      تبدیل Z

      Z (\displaystyle Z)-تبدیل تبدیل لاپلاس یک تابع شبکه است که با استفاده از تغییر متغیرها انجام می شود:

      z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT))

      تبدیل بورل

      شکل انتگرال تبدیل بورل با تبدیل لاپلاس یکسان است، همچنین یک تبدیل بورل تعمیم یافته وجود دارد که با کمک آن استفاده از تبدیل لاپلاس به کلاس وسیع تری از توابع گسترش می یابد.

      کتابشناسی - فهرست کتب

      • ون در پل بی.، برمر اچ.حساب عملیاتی بر اساس تبدیل لاپلاس دو طرفه. - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1952. - 507 ص.
      • دیتکین V. A.، Prudnikov A. P.تبدیلات انتگرالی و حساب عملیاتی. - M.: نسخه اصلی ادبیات فیزیکی و ریاضی انتشارات ناوکا، 1974. - 544 ص.
      • دیتکین V.A.، Kuznetsov P. I.کتاب حساب عملیاتی: مبانی نظریه و جداول فرمول ها. - م.: انتشارات دولتی ادبیات فنی و نظری، 1951. - 256 ص.
      • کارسلو اچ.، جیگر دی.روش های عملیاتی در ریاضیات کاربردی. - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1948. - 294 ص.
      • Kozhevnikov N. I.، Krasnoshchekova T. I.، Shishkin N. E.سری فوریه و انتگرال. نظریه میدان. توابع تحلیلی و ویژه تبدیلات لاپلاس - M. : Nauka، 1964. - 184 p.
      • Krasnov M. L.، Makarenko G. I.حساب عملیاتی ثبات حرکت - M.: Nauka، 1964. - 103 p.
      • میکوسینسکی یا.حساب عملگر - م.: انتشارات ادبیات خارجی، 1956. - 367 ص.
      • رومانوفسکی پی.آی.سری فوریه. نظریه میدان. توابع تحلیلی و ویژه تبدیلات لاپلاس - M. : Nauka، 1980. - 336 p.

    بخش دوم. تجزیه و تحلیل ریاضی

    E. Yu. Anokhina

    تاریخچه توسعه و شکل گیری نظریه تابع یک متغیر مختلط (TFV) به عنوان یک موضوع

    یکی از دروس پیچیده ریاضی، دوره TFKT است. پیچیدگی این دوره، اول از همه، به دلیل تنوع روابط متقابل آن با سایر رشته های ریاضی است که از لحاظ تاریخی در جهت گیری کاربردی گسترده علم TFKT بیان شده است.

    در ادبیات علمی تاریخ ریاضیات، اطلاعات پراکنده ای در مورد تاریخچه توسعه TFCT وجود دارد، آنها نیاز به سیستم سازی و تعمیم دارند.

    در این راستا، وظیفه اصلی این مقاله شرح مختصری از توسعه TFCT و شکل گیری این نظریه به عنوان یک موضوع آموزشی است.

    در نتیجه مطالعه، سه مرحله زیر در توسعه TFCT به عنوان یک موضوع علمی و دانشگاهی شناسایی شد:

    مرحله پیدایش و تشخیص اعداد مختلط.

    مرحله انباشته شدن مطالب واقعی در مورد توابع کمیت های خیالی.

    مرحله شکل گیری نظریه توابع یک متغیر مختلط.

    اولین مرحله در توسعه TFKP (اواسط قرن 16 - قرن 18) با کار G. Cardano (1545) آغاز می شود که Artis magnae sive de regulis algebraitis (هنر بزرگ یا در مورد قوانین جبری) را منتشر کرد. کار G. Cardano وظیفه اصلی اثبات روش های جبری عمومی برای حل معادلات درجه سوم و چهارم بود که اخیراً توسط Ferro (1465-1526)، تارتالیا (1506-1559) و فراری (1522-1565) کشف شده است. ). اگر معادله مکعب به شکل کاهش یابد

    x3 + px + q = 0،

    و باید باشد

    هنگامی که (p^Ap V (|- 70) معادله دارای سه ریشه واقعی است و دو تا از آنها

    با یکدیگر برابر هستند. در صورتی که معادله یک واقعی و دو همسو داشته باشد

    ریشه های پیچیده را چرخاند اعداد مختلط در نتیجه نهایی ظاهر می شوند، بنابراین G. Cardano می تواند مانند قبل از او این کار را انجام دهد: معادله را اعلام کند

    یک ریشه چه زمانی (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

    مورد به اصطلاح تقلیل ناپذیر با یک ویژگی مشخص می شود که تا قرن شانزدهم با آن مواجه نشده بود. معادله x3 - 21x + 20 = 0 دارای سه ریشه واقعی 1، 4، - 5 است که آسان است.

    با یک تعویض ساده چک کنید اما ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; بنابراین، طبق فرمول کلی، x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . پیچیده، یعنی "نادرست"، عدد در اینجا نتیجه نیست، بلکه یک عبارت میانی در محاسبات است که به ریشه های واقعی معادله مورد نظر منجر می شود. G. Cardano با مشکل مواجه شد و متوجه شد که برای حفظ کلیت این فرمول، نادیده گرفتن کامل اعداد مختلط ضروری است. J. D'Alembert (1717-1783) معتقد بود که این شرایط بود که باعث شد G. Cardano و ریاضیدانانی که این ایده را دنبال می کردند به طور جدی به اعداد مختلط علاقه مند شوند.

    در این مرحله (در قرن هفدهم) دو دیدگاه به طور کلی پذیرفته شد. اولین دیدگاه توسط ژیرار بیان شد که موضوع تشخیص نیاز به استفاده نامحدود از اعداد مختلط را مطرح کرد. دوم - دکارت که امکان تفسیر اعداد مختلط را انکار کرد. در مقابل نظر دکارت، دیدگاه جی. والیس بود - در مورد وجود تفسیر واقعی اعداد مختلط توسط دکارت نادیده گرفته شد. اعداد مختلط در شرایطی که استفاده از اعداد واقعی منجر به یک نتیجه پیچیده می شود، یا نتیجه را نمی توان از نظر تئوری به دست آورد، اما اجرای عملی داشت، شروع به "اجباری" استفاده در حل مسائل کاربردی کرد.

    استفاده شهودی از اعداد مختلط منجر به نیاز به حفظ قوانین و قوانین حسابی اعداد حقیقی در مجموعه اعداد مختلط شد، به ویژه تلاش هایی برای انتقال مستقیم وجود داشت. این گاهی اوقات منجر به نتایج اشتباه می شد. در این راستا سوالاتی در مورد توجیه اعداد مختلط و ساخت الگوریتم هایی برای محاسبات آنها موضوعی شده است. این آغاز مرحله جدیدی در توسعه TFCT بود.

    مرحله دوم در توسعه TFKP (اوایل قرن 18 - قرن 19). در قرن هجدهم. L. Euler ایده بسته شدن جبری میدان اعداد مختلط را بیان کرد. بسته شدن جبری میدان اعداد مختلط C، ریاضیدانان را به نتایج زیر سوق داد:

    مطالعه توابع و تحلیل ریاضی به طور کلی تنها با در نظر گرفتن رفتار توابع در حوزه پیچیده، کامل و کامل بودن مناسب خود را به دست می آورند.

    باید اعداد مختلط را به عنوان متغیر در نظر گرفت.

    در سال 1748، L. Euler (1707-1783) در کار خود "مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل بینهایت کوچک" یک متغیر مختلط را به عنوان کلی ترین مفهوم یک متغیر معرفی کرد و از اعداد مختلط هنگام تجزیه توابع به عوامل خطی استفاده کرد. L. Euler به حق یکی از خالقان TFCT در نظر گرفته می شود. در آثار L. Euler، توابع ابتدایی یک متغیر مختلط به طور مفصل مورد مطالعه قرار گرفت (1740-1749)، شرایط برای تمایز (1755) و شروع حساب انتگرال توابع یک متغیر مختلط (1777) ارائه شد. L. Euler عملاً نگاشت conformal را معرفی کرد (1777). او این نقشه‌برداری‌ها را «از لحاظ کوچکی مشابه» نامید، و ظاهراً اولین بار اصطلاح «هم‌نوع» توسط آکادمیک سن پترزبورگ، F. Schubert (1789) استفاده شد. L. Euler همچنین کاربردهای متعددی از توابع یک متغیر مختلط را برای مسائل مختلف ریاضی ارائه داد و پایه و اساس کاربرد آنها را در هیدرودینامیک (17551757) و کارتوگرافی (1777) گذاشت. K. Gauss تعریف یک انتگرال در صفحه مختلط را فرموله می کند، یک قضیه انتگرال در مورد بسط یک تابع تحلیلی به یک سری توان. لاپلاس از متغیرهای پیچیده برای محاسبه انتگرال های دشوار استفاده می کند و روشی را برای حل معادلات خطی، تفاوت و دیفرانسیل به نام تبدیل لاپلاس توسعه می دهد.

    از سال 1799، مقالاتی ظاهر می شوند که در آنها تفسیرهای کم و بیش راحت از اعداد مختلط ارائه شده و اقدامات مربوط به آنها تعریف شده است. یک تفسیر نظری نسبتاً کلی و تفسیر هندسی توسط K. Gauss تنها در سال 1831 منتشر شد.

    ال. اویلر و معاصرانش میراث غنی ای را به شکل حقایق انباشته شده، در جایی سیستماتیک، در جایی نه، اما همچنان پراکنده در TFCT برای آیندگان به جا گذاشتند. می‌توان گفت که مطالب واقعی در مورد توابع کمیت‌های خیالی، همانطور که بود، مستلزم نظام‌بندی آن در قالب یک نظریه بود. این نظریه شروع به شکل گیری کرده است.

    مرحله سوم شکل گیری TFKP (قرن XIX - قرن XX). دستاوردهای اصلی در اینجا متعلق به O. Couchy (1789-1857)، B. Riemann (1826-1866) و K. Weierstrass (1815-1897) است. هر یک از آنها یکی از جهت گیری های توسعه TFKP را نشان می دهد.

    نماینده اولین جهت که در تاریخ ریاضیات «نظریه توابع تک ژنی یا متمایزپذیر» نامیده می شد، او کوشی بود. او حقایق نامتجانس را در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع یک متغیر مختلط رسمی کرد، معنای مفاهیم و عملیات اساسی را با مفاهیم خیالی توضیح داد. در آثار O. Cauchy، نظریه حدود و نظریه سری ها و توابع ابتدایی بر اساس آن بیان شده است، قضیه ای فرموله شده است که منطقه همگرایی یک سری توان را کاملاً روشن می کند. در سال 1826، O. Couchy اصطلاح: deduction (به معنای واقعی کلمه: باقی مانده) را معرفی کرد. او در نوشته هایی از 1826 تا 1829، نظریه کسرها را ایجاد کرد. O. کوشی فرمول انتگرال را استنباط کرد. یک قضیه وجودی برای بسط تابعی از یک متغیر مختلط به سری توان به دست آورد (1831). O. کوشی پایه های نظریه توابع تحلیلی چندین متغیر را بنا نهاد. شاخه های اصلی توابع چند ارزشی یک متغیر پیچیده را تعیین کرد. اولین بار از برش های هواپیما (1831-1847) استفاده شد. در سال 1850 او مفهوم توابع تک درمی را معرفی کرد و کلاس توابع تک ژنی را مشخص کرد.

    پیروان O. Couchy B. Riemann بود که همچنین جهت "هندسی" (دوم) خود را برای توسعه TFCT ایجاد کرد. او در آثار خود بر انزوای ایده‌های مربوط به توابع متغیرهای پیچیده غلبه کرد و بخش‌های جدیدی از این نظریه را تشکیل داد که ارتباط نزدیکی با سایر رشته‌ها داشت. ریمان یک گام اساساً جدید در تاریخ تئوری توابع تحلیلی برداشت، او پیشنهاد کرد که با هر تابع از یک متغیر مختلط، ایده نگاشت یک منطقه به منطقه دیگر مرتبط شود. او بین توابع یک متغیر مختلط و یک متغیر واقعی تمایز قائل شد. ب. ریمان پایه و اساس تئوری هندسی توابع را پایه گذاری کرد، سطح ریمان را معرفی کرد، نظریه نگاشتهای منسجم را توسعه داد، ارتباط بین توابع تحلیلی و هارمونیک را برقرار کرد، تابع زتا را در نظر گرفت.

    توسعه بیشتر TFKP در جهت (سوم) دیگری صورت گرفت. اساس آن امکان نمایش توابع توسط سری های توانی بود. این روند در تاریخ نام "تحلیلی" داده شده است. این در آثار K. Weierstrass شکل گرفت که در آن او مفهوم همگرایی یکنواخت را به منصه ظهور رساند. K. Weierstrass یک قضیه در مورد قانونی بودن کاهش اصطلاحات مشابه را در یک سری فرموله و اثبات کرد. K. Weierstrass یک نتیجه اساسی به دست آورد: حد دنباله ای از توابع تحلیلی که به طور یکنواخت در یک دامنه خاص همگرا می شوند، یک تابع تحلیلی است. او توانست قضیه کوشی در مورد بسط سری توانی تابعی از یک متغیر مختلط را تعمیم دهد و روند ادامه تحلیلی سری توانی و کاربرد آن را در نمایش راه حل های یک سیستم معادلات دیفرانسیل شرح دهد. K. Weierstrass نه تنها همگرایی مطلق سری، بلکه همگرایی یکنواخت را ثابت کرد. قضیه وایرشتراس در بسط کل یک تابع به یک محصول ظاهر می شود. او پایه های نظریه توابع تحلیلی بسیاری از متغیرها را می گذارد، نظریه تقسیم پذیری سری های توان را می سازد.

    توسعه تئوری توابع تحلیلی در روسیه را در نظر بگیرید. ریاضیدانان روسی قرن نوزدهم. برای مدت طولانی آنها نمی خواستند خود را وقف رشته جدیدی از ریاضیات کنند. با وجود این، می توان نام های متعددی را نام برد که او برای آنها بیگانه نبود و برخی از آثار و دستاوردهای این ریاضیدانان روسی را فهرست کرد.

    یکی از ریاضیدانان روسی M.V. اوستروگرادسکی (1801-1861). درباره M.V. اطلاعات کمی در مورد اوستروگرادسکی در زمینه تئوری توابع تحلیلی وجود دارد، اما او. کوشی با ستایش از این دانشمند جوان روسی صحبت کرد که انتگرال ها را به کار برد و اثبات های جدیدی از فرمول ها ارائه کرد و فرمول های دیگر را تعمیم داد. M.V. اوستروگرادسکی کار «اشاره‌هایی درباره انتگرال‌های معین» را نوشت که در آن فرمول کوشی را برای کسر یک تابع با توجه به قطب مرتبه n به دست آورد. او کاربردهای تئوری باقیمانده و فرمول کوشی را برای محاسبه انتگرال های معین در یک دوره سخنرانی عمومی گسترده که در سال های 1858-1859 ارائه شد، تشریح کرد.

    تعدادی از آثار N.I. لوباچفسکی که برای تئوری توابع یک متغیر مختلط اهمیت مستقیم دارند. نظریه توابع ابتدایی یک متغیر مختلط در کار او "جبر یا محاسبه متناهی" (کازان، 1834) موجود است. که در آن cos x و sin x در ابتدا برای x واقعی به صورت واقعی و تعریف می شوند

    بخش خیالی تابع ex^. با استفاده از ویژگی‌های مشخص شده قبلی تابع نمایی و بسط قدرت، تمام ویژگی‌های اصلی توابع مثلثاتی به دست می‌آیند. توسط-

    ظاهراً لوباچفسکی به چنین ساختار تحلیلی محض مثلثات، مستقل از هندسه اقلیدسی اهمیت خاصی می داد.

    می توان ادعا کرد که در دهه های پایانی قرن نوزدهم. و دهه اول قرن بیستم. تحقیقات اساسی در تئوری توابع یک متغیر مختلط (F. Klein، A. Poincaré، P. Kebe) شامل روشن شدن تدریجی این واقعیت است که هندسه لوباچفسکی، در عین حال، هندسه توابع تحلیلی یک مجتمع است. متغیر.

    در سال 1850، پروفسور دانشگاه سن پترزبورگ (آکادمیک بعدی) I.I. سوموف (1815-1876) مبانی نظریه توابع تحلیلی را منتشر کرد که بر اساس مبانی جدید ژاکوبی بود.

    با این حال، اولین محقق واقعی روسی "اصلی" در زمینه تئوری توابع تحلیلی یک متغیر پیچیده، Yu.V. سوخوتسکی (1842-1929). او از پایان نامه کارشناسی ارشد خود "نظریه باقیمانده های انتگرال با برخی کاربردها" دفاع کرد (سن پترزبورگ، 1868). از پاییز 1868 Yu.V. سوخوتسکی دوره هایی را در مورد تئوری توابع یک متغیر خیالی و در مورد کسرهای ادامه دار با کاربردهایی برای تجزیه و تحلیل تدریس کرد. پایان نامه کارشناسی ارشد Yu.V. سوخوتسکی به کاربردهای تئوری باقیمانده‌ها در وارونگی یک سری توان (سری لاگرانژ) و به‌ویژه به بسط توابع تحلیلی به کسرهای ادامه دار و همچنین چند جمله‌ای لژاندر اختصاص دارد. در این مقاله، قضیه معروف رفتار یک تابع تحلیلی در همسایگی یک نقطه مفرد ضروری، فرموله و اثبات شده است. در رساله دکتری سوخوتسکی

    (1873) برای اولین بار مفهوم انتگرال از نوع کوشی به شکل بسط یافته معرفی شد: *r/ ^ & _ که در آن

    a و b دو عدد مختلط دلخواه هستند. انتگرال قرار است در امتداد یک منحنی ("مسیر") که a و b را به هم وصل می کند گرفته شود. در این کار، تعدادی از قضایا اثبات شده است.

    نقش بزرگی در تاریخ توابع تحلیلی توسط آثار N.E. ژوکوفسکی و اس.ا. Chaplygin، که حوزه بی حد و حصری از کاربردهای خود را در هوا و هیدرومکانیک باز کرد.

    با صحبت در مورد توسعه نظریه توابع تحلیلی، نمی توان از مطالعات S.V. Kovalevskaya، اگرچه معنای اصلی آنها خارج از این نظریه است. موفقیت کار او به دلیل فرمول بندی کاملاً جدید مسئله از نظر تئوری توابع تحلیلی و در نظر گرفتن زمان t به عنوان یک متغیر مختلط بود.

    در آغاز قرن XX. ماهیت تحقیقات علمی در زمینه تئوری توابع یک متغیر مختلط در حال تغییر است. اگر قبلاً بیشتر تحقیقات در این زمینه از نظر توسعه یکی از سه جهت (نظریه توابع کوشی تک ژنی یا متمایزپذیر، ایده های هندسی و فیزیکی ریمان، جهت تحلیلی وایرشتراس) انجام می شد، اکنون تفاوت ها و مناقشات مرتبط با آنها در حال غلبه بر، ظهور و رشد سریع است.تعداد آثاری که در آنها ترکیبی از ایده ها و روش ها انجام می شود. یکی از مفاهیم اساسی که ارتباط و مطابقت بین نمایش های هندسی و دستگاه سری های توانی به وضوح آشکار شد، مفهوم تداوم تحلیلی بود.

    در پایان قرن نوزدهم. تئوری توابع یک متغیر مختلط شامل مجموعه گسترده ای از رشته ها می شود: نظریه هندسی توابع بر اساس نظریه نگاشت های منسجم و سطوح ریمان. ما یک شکل جدایی ناپذیر از نظریه انواع مختلف توابع دریافت کردیم: عدد صحیح و مرومورفیک، بیضوی و مدولار، خودکار، هارمونیک، جبری. در ارتباط نزدیک با آخرین کلاس توابع، نظریه انتگرال های آبلی توسعه یافته است. نظریه تحلیلی معادلات دیفرانسیل و نظریه تحلیلی اعداد به این مجموعه پیوستند. تئوری توابع تحلیلی پیوندهایی را با سایر رشته های ریاضی ایجاد و تقویت کرد.

    انبوه روابط متقابل بین TFCT و جبر، هندسه و سایر علوم، ایجاد مبانی سیستماتیک علم TFCT، اهمیت عملی بزرگ آن به شکل گیری TFCT به عنوان یک موضوع دانشگاهی کمک کرد. با این حال، همزمان با تکمیل شکل‌گیری پایه‌ها، ایده‌های جدیدی وارد نظریه توابع تحلیلی شد و ترکیب، ماهیت و اهداف آن را به‌طور چشمگیری تغییر داد. مونوگراف ها حاوی توضیحی سیستماتیک از نظریه توابع تحلیلی به سبکی نزدیک به بدیهیات و همچنین دارای اهداف آموزشی هستند. ظاهراً اهمیت نتایج مربوط به TFCT که توسط دانشمندان دوره مورد بررسی به دست آمده بود، آنها را بر آن داشت تا TFCT را در قالب سخنرانی و انتشار مطالعات تک نگاری در منظر تدریس رایج کنند. می توان نتیجه گرفت که TFCT به عنوان یک یادگیری ظاهر شد

    موضوع. در سال 1856، Ch. Briot و T. Bouquet خاطرات کوچکی با عنوان "بررسی عملکردهای یک متغیر خیالی" منتشر کردند که اساساً اولین کتاب درسی است. مفاهیم کلی در تئوری تابع یک متغیر مختلط در سخنرانی ها شروع به کار کرد. از سال 1856، K. Weiersht-rass در مورد نمایش توابع توسط سری های توان همگرا، و از سال 1861 - در مورد نظریه عمومی توابع سخنرانی کرد. در سال 1876، کار ویژه ای از K. Weierstrass ظاهر شد: "در مورد نظریه توابع تحلیلی تک ارزشی"، و در سال 1880 "در مورد دکترین توابع"، که در آن نظریه توابع تحلیلی او کاملیت خاصی پیدا کرد.

    سخنرانی‌های وایرشتراس سال‌ها به‌عنوان نمونه اولیه کتاب‌های درسی در مورد تئوری توابع یک متغیر مختلط، که از آن زمان اغلب ظاهر شد، خدمت کرد. در سخنرانی‌های او بود که استاندارد مدرن سخت‌گیری در آنالیز ریاضی اساساً ساخته شد و ساختاری که سنتی شد مشخص شد.

    منابع

    1. آندرونوف I.K. ریاضیات اعداد حقیقی و مختلط. م.: آموزش و پرورش، 1975.

    2. کلاین اف. سخنرانی در مورد توسعه ریاضیات در قرن نوزدهم. M.: ONTI، 1937. قسمت 1.

    3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. روش های تئوری توابع یک متغیر مختلط. مسکو: ناوکا، 1987.

    4. مارکوشویچ A.I. تئوری توابع تحلیلی. م.: ایالت. انتشارات ادبیات فنی و نظری، 1950.

    5. ریاضیات قرن 19. هندسه. نظریه توابع تحلیلی / ویرایش. A. N. Kolmogorova و A. P. Yushkevich. مسکو: ناوکا، 1981.

    6. دایره المعارف ریاضی / فصل. ویرایش I. M. Vinogradov. M.: دایره المعارف شوروی، 1977. T. 1.

    7. دایره المعارف ریاضی / فصل. ویرایش I. M. Vinogradov. م.: دایره المعارف شوروی، 1979. ج 2.

    8. جوان V.N. مبانی آموزه اعداد در قرن 18 و اوایل قرن 19. مسکو: اوچپدگیز، 1963.

    9. ریبنیکوف ک.آ. تاریخچه ریاضیات. M.: انتشارات دانشگاه دولتی مسکو، 1963. قسمت 2.

    نه. لیاخووا لمس منحنی های هواپیما

    مسئله مماس منحنی های مسطح، در موردی که ابسیساهای نقاط مشترک از معادله ای به شکل Рп x = 0 پیدا می شود، که در آن Р x چند جمله ای است، مستقیماً با این سؤال مرتبط است.

    در تعدد ریشه های چند جمله ای Pn x . در این مقاله گزاره های مربوطه برای موارد تخصیص صریح و ضمنی توابعی که نمودار آنها منحنی هستند، فرموله شده و کاربرد این گزاره ها در حل مسائل نیز نشان داده شده است.

    اگر منحنی هایی که نمودارهای توابع y \u003d f (x) و y \u003d cp x هستند دارای یک نقطه مشترک باشند.

    M() x0; v0، یعنی y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 و مماس بر منحنی های نشان داده شده در نقطه M () x0؛ v0 منطبق نیستند، سپس می گوییم که منحنی های y = fix) و y - cp x در نقطه Mo xo قطع می شوند.

    شکل 1 نمونه ای از تقاطع نمودارهای تابع را نشان می دهد.

    برای حل معادلات دیفرانسیل خطی از تبدیل لاپلاس استفاده می کنیم.

    تبدیل لاپلاسنسبت نامیده می شود

    تنظیم توابع x(t)متغیر واقعی تیدر تابع خط X(ها)متغیر مختلط s (s = σ+ jω).که در آن x(t)تماس گرفت اصلی، X(s)- تصویریا تصویر با توجه به لاپلاسو س- متغیر تبدیل لاپلاس.اصل با یک حرف کوچک و تصویر آن با حرف بزرگ به همین نام نشان داده می شود.

    فرض بر این است که تابع ایکس(تی) تحت تبدیل لاپلاس دارای ویژگی های زیر است:

    1) عملکرد x(t)تعریف شده و به صورت تکه ای در بازه قابل تمایز است)

    بیشتر بخوانید: