برهم نهی توابع بولی عملیات برهم نهی و بسته شدن. کامل بودن، اساس سیستم توابع برهم نهی توابع چیست

اجازه دهید یک تابع f(x 1 , x 2 , ... , x n) و توابع وجود داشته باشد

سپس تابع فراخوانی خواهد شد برهم نهی تابع f(x 1 , x 2 , ... , x n) و توابع .

به عبارت دیگر: اجازه دهید F = ( f j ) - مجموعه ای از توابع جبر منطقی، نه لزوما محدود. تابع f به برهم نهی توابع از مجموعه F یا تابعی بر روی F گفته می شود اگر از یک تابع با جایگزینی یک یا چند متغیر آن با توابعی از مجموعه F بدست آید.

مثال.

اجازه دهید مجموعه ای از توابع

F \u003d (f 1 (x 1)، f 2 (x 1، x 2، x 3)، f 3 (x 1، x 2)).

سپس برهم نهی توابع از F به عنوان مثال، توابع:

j 1 (x 2، x 3) = f 3 (f 1 (x 2)، f 1 (x 3));

j 2 (x 1، x 2) = f 2 (x 1، f 1 (x 1)، f 3 (x 1، x 2)).

DNF کامل - برهم نهی توابع از یک مجموعه

. ð

تعریف.

سیستم توابع نامیده می شود کامل، اگر با استفاده از عملیات برهم نهی و تغییر متغیرها بتوان از توابع این سیستم تابعی از جبر منطق به دست آورد. ð

ما قبلاً مجموعه ای از سیستم های کامل داریم:

;

زیرا ;

زیرا ;

(x+y، xy، 1). ð

نحوه تعیین شرایط کامل بودن سیستم ارتباط نزدیک با مفهوم کامل بودن مفهوم کلاس بسته است.

کلاس های تعطیل

مجموعه (کلاس) K از توابع جبر منطق نامیده می شود کلاس بسته، اگر شامل تمام توابع بدست آمده از K با عملیات برهم نهی و تغییر متغیرها باشد و شامل هیچ توابع دیگری نباشد.

فرض کنید K زیر مجموعه ای از توابع از P 2 باشد. بسته شدن K مجموعه ای از تمام توابع بولی است که با عملیات برهم نهی و تغییر توابع متغیر از مجموعه K قابل نمایش است. بسته شدن یک مجموعه K با [K] نشان داده می شود.

از نظر بسته بودن، تعاریف دیگری از بسته بودن و کامل بودن (معادل تعاریف اصلی) می توان ارائه داد:

K یک کلاس بسته است اگر K = [K];

K یک سیستم کامل است اگر [K] = Р 2 .

مثال ها.

* (0)، (1) - کلاس های بسته.

* مجموعه توابع یک متغیر یک کلاس بسته است.

* - کلاس تعطیل.

* کلاس (1, x+y) یک کلاس بسته نیست.

اجازه دهید برخی از مهم ترین کلاس های بسته را در نظر بگیریم.

1. T 0- کلاس توابعی که 0 را حفظ می کنند.

کلاس تمام توابع جبر منطقی f(x 1 , x 2 , ... , x n) را که ثابت 0 را حفظ می کنند، یعنی توابعی که برای آنها f(0, ... , 0) = 0 است را با T 0 نشان دهید.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به T 0 هستند و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

به عنوان مثال، از این واقعیت که W T 0 دنبال می شود، نمی توان آن را بر حسب تفکیک و ربط بیان کرد.

از آنجایی که جدول تابع f از کلاس T 0 در خط اول حاوی مقدار 0 است، بنابراین برای توابع T 0 می توانید مقادیر دلخواه را فقط روی 2 n - 1 مجموعه مقادیر متغیر تنظیم کنید.

,

مجموعه توابعی که 0 را حفظ می کنند و به n متغیر وابسته هستند کجاست.

اجازه دهید نشان دهیم که T 0 یک کلاس بسته است. از آنجایی که xОT 0 برای توجیه بسته بودن، نشان دادن بسته بودن نسبت به عمل برهم نهی کافی است، زیرا تغییر عملیات متغیرها حالت خاصی از برهم نهی با تابع x است.

اجازه دهید . سپس برای نشان دادن آن کافی است. دومی از زنجیره برابری ها پیروی می کند

2.T1- کلاس توابع که 1 را حفظ می کنند.

کلاس تمام توابع جبر منطقی f(x 1 , x 2 , ... , xn) را که ثابت 1 را حفظ می کنند، یعنی توابعی که برای آنها f(1, ... , 1) = 1 است را با T 1 نشان دهید.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به T 1 هستند و توابعی که به این کلاس تعلق ندارند:

1، x، xy، xÚy، xºy О T 1 ;

0, , x+y П T 1 .

این واقعیت که x + y П T 0 به این معنی است که برای مثال، x + y را نمی توان بر حسب تفکیک و ربط بیان کرد.

نتایج مربوط به کلاس T 0 به طور ساده به کلاس T 1 منتقل می شود. بنابراین، ما داریم:

T 1 - کلاس بسته؛

.

3. ال- کلاس توابع خطی

کلاس تمام توابع جبر منطقی f(x 1 , x 2 , ... , x n) را که خطی هستند با L مشخص کنید:

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به L و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0، 1، x، x+y، x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1، = x+1 О L;

اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که xÚy Ï L .

بیایید برعکس فرض کنیم. ما به دنبال عبارتی برای xÚy در قالب یک تابع خطی با ضرایب تعریف نشده خواهیم بود:

برای x = y = 0 a = 0 داریم،

برای x = 1، y = 0 b = 1 داریم،

برای x = 0، y = 1، g = 1 داریم،

اما پس از آن برای x = 1، y = 1 1Ú 1 ¹ 1 + 1 داریم که ثابت می کند تابع xÚy غیر خطی است.

اثبات بسته بودن کلاس توابع خطی کاملاً آشکار است.

از آنجایی که یک تابع خطی با تعیین n+1 مقدار ضریب a 0 , ... , a n منحصر به فرد تعریف می شود، تعداد توابع خطی در کلاس L (n) توابع بسته به n متغیر 2 n+1 است.

.

4.S- کلاس توابع خود دوگانه.

تعریف کلاس توابع خود دوگانه مبتنی بر استفاده از به اصطلاح اصل دوگانگی و توابع دوگانه است.

تابع تعریف شده توسط برابری نامیده می شود عملکرد دوگانه .

واضح است که جدول تابع دوگانه (با ترتیب استاندارد مجموعه مقادیر متغیر) از جدول تابع اصلی با معکوس کردن (یعنی جایگزینی 0 با 1 و 1 با 0) ستون مقادیر تابع و ورق زدن آن به دست می آید.

دیدن آن آسان است

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

از تعریف بر می آید که (f*)* = f، یعنی تابع f دوتایی به f* است.

اجازه دهید یک تابع با استفاده از برهم نهی بر حسب توابع دیگر بیان شود. سوال این است که چگونه فرمولی بسازیم که اجرا شود؟ با = (x 1 , ... , x n) تمام نمادهای متغیر مختلف را که در مجموعه ها وجود دارند نشان دهید.

قضیه 2.6.اگر تابع j به صورت برهم نهی از توابع f, f 1 , f 2 , ... , f m به دست آید، یعنی

تابع دوگانه به برهم نهی برهم نهی توابع دوگانه است.

اثبات.

j*(x 1 ,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

قضیه ثابت شده است. ð

اصل دوگانگی از قضیه به دست می آید: اگر فرمول A تابع f(x 1 , ... , x n) را اجرا می کند، فرمول به دست آمده از A با جایگزینی توابع موجود در آن با دوگانه آنها تابع دوگانه f*(x 1 , ... , x n) را اجرا می کند.

کلاس تمام توابع دوگانه خود را از P 2 با S نشان دهید:

S = (f | f* = f )

به راحتی می توان فهمید که توابعی متعلق به S و توابعی هستند که به این کلاس تعلق ندارند:

0، 1، xy، xÚy П S.

یک مثال کمتر پیش پا افتاده از یک تابع خود دوگانه، تابع است

h(x، y، z) = xy Ú xz Ú ​​yz;

با استفاده از قضیه برهم نهی تابع دوگانه، داریم

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

برای یک کارکرد خود دوگانه، ما هویت داریم

به همین ترتیب در مجموعه ها و، که ما آن را مقابل می نامیم، تابع self-dual مقادیر مخالف می گیرد. نتیجه این است که یک تابع خود دوگانه کاملاً با مقادیر آن در نیمه اول ردیف های جدول استاندارد تعیین می شود. بنابراین، تعداد توابع خود دوگانه در کلاس S(n) توابع بسته به n متغیر است:

.

اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که کلاس S بسته است. از آنجایی که xОS، برای توجیه بسته بودن، نشان دادن بسته بودن نسبت به عمل برهم نهی کافی است، زیرا تغییر عملیات متغیرها یک مورد خاص از برهم نهی با تابع x است. اجازه دهید . سپس برای نشان دادن آن کافی است. دومی مستقیماً نصب می شود:

5. م- کلاس توابع یکنواخت.

قبل از تعریف مفهوم تابع یکنواخت جبر منطق، لازم است یک رابطه ترتیبی در مجموعه مجموعه های متغیرهای آن معرفی شود.

گفته می شود مجموعه قبل از مجموعه است (یا "نه بیشتر از"، یا "کمتر از یا مساوی")، و اگر a i £ b i برای همه i = 1، ...، n استفاده می شود. اگر و، می گوییم که مجموعه کاملاً قبل از مجموعه است (یا "به شدت کمتر از" یا "کمتر از" مجموعه) و از علامت گذاری استفاده می کنیم. مجموعه‌ها و اگر یکی از آنها باشد، یا .در صورتی که هیچ یک از این روابط برآورده نشود، مجموعه‌ها و غیرقابل مقایسه نامیده می‌شوند. به عنوان مثال، (0، 1، 0، 1) £ (1، 1، 0، 1)، اما مجموعه های (0، 1، 1، 0) و (1، 0، 1، 0) غیر قابل مقایسه هستند. بنابراین رابطه £ (که اغلب رابطه تقدم نامیده می شود) یک نظم جزئی در مجموعه B n است. در زیر نمودارهایی از مجموعه های B 2 , B 3 و B 4 تا حدی مرتب شده است .

رابطه سفارش جزئی معرفی شده یک مفهوم استثنایی مهم است که بسیار فراتر از محدوده دوره ما است.

ما اکنون در موقعیتی هستیم که مفهوم تابع یکنواخت را تعریف کنیم.

تابع جبر منطق نامیده می شود یکنواخت، اگر برای هر دو مجموعه و ، به طوری که ، نابرابری . مجموعه همه توابع یکنواخت جبر منطق با M و مجموعه همه توابع یکنواخت بسته به n متغیر با M (n) نشان داده می شود.

به راحتی می توان فهمید که توابعی وجود دارند که متعلق به M هستند و توابعی که به این کلاس تعلق ندارند:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y، x®y، xºy П M.

اجازه دهید نشان دهیم که کلاس توابع یکنواخت M یک کلاس بسته است. از آنجایی که xОМ، برای توجیه بسته بودن، نشان دادن بسته بودن نسبت به عمل برهم نهی کافی است، زیرا عملیات تغییر متغیرها حالت خاصی از برهم نهی با تابع x است.

اجازه دهید . سپس برای نشان دادن آن کافی است.

اجازه دهید به ترتیب مجموعه ای از متغیرها از توابع j, f 1 , ... , f m باشد و مجموعه متغیرهای تابع j متشکل از آن دسته از متغیرهایی است که در توابع f 1 , ... , f m وجود دارند. اجازه دهید و دو مجموعه از مقادیر متغیر، و. این مجموعه ها مجموعه ها را تعریف می کنند مقادیر متغیر ، به طوری که . به دلیل یکنواختی توابع f 1 , ... , f m

و به دلیل یکنواختی تابع f

از اینجا می گیریم

تعداد توابع یکنواخت بسته به n متغیر دقیقاً مشخص نیست. تخمین کمتر را می توان به راحتی بدست آورد:

جایی که - قسمت صحیح n/2 است.

به همین سادگی می توان از بالا تخمین زد:

اصلاح این تخمین ها یک کار مهم و جالب تحقیقات مدرن است.

معیار کامل بودن

اکنون ما در موقعیتی هستیم که یک معیار کامل بودن (قضیه پست) را تدوین و اثبات کنیم که شرایط لازم و کافی برای کامل بودن یک سیستم توابع را تعیین می کند. اجازه دهید صورت‌بندی و اثبات معیار کامل بودن را با چند لم ضروری که آنها نیز مستقل هستند، مقدمه کنیم.

لم 2.7.لم در یک تابع غیر خود دوگانه.

اگر f(x 1 , ... , x n)П S , آنگاه می توانیم با جایگزینی توابع x و `x یک ثابت از آن بدست آوریم.

اثبات. از fÏS مجموعه ای از مقادیر متغیرها وجود دارد
=(a 1 ,...,a n) به گونه ای که

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

بیایید آرگومان های تابع f را جایگزین کنیم:

x i جایگزین می شود ,

یعنی ما را تنظیم می کنیم و تابع را در نظر می گیریم

بنابراین، ما یک ثابت به دست آوردیم (البته، مشخص نیست که چه نوع ثابتی است: 0 یا 1). ð

لم 2.8.لم روی یک تابع غیر یکنواخت.

اگر تابع f(x 1 ,...,xn) غیر یکنواخت باشد، f(x 1 ,...,x n) П M، با تغییر متغیرها و جایگزینی ثابت های 0 و 1 می توان آن را نفی کرد.

اثبات. از آنجایی که f(x 1,...,xn) П M مجموعه ها و مقادیری از متغیرهای آن وجود دارد. , ، به طوری که، و حداقل برای یک مقدار i یک i داریم< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i جایگزین خواهد شد

پس از چنین جایگزینی، تابعی از یک متغیر j(x) به دست می آوریم که برای آن داریم:

این یعنی j(x)=`x. لم ثابت شده است. ð

لم 2.9.لم روی یک تابع غیر خطی.

اگر f(x 1 ,...,x n) П L , با جایگزینی ثابت های 0, 1 و با استفاده از تابع `x می توان تابع x 1 &x 2 را از آن به دست آورد.

اثبات. ما f را به عنوان یک DNF نشان می دهیم (به عنوان مثال، یک DNF کامل) و از روابط استفاده می کنیم:

مثال. اجازه دهید دو مثال از اعمال این تبدیل ها را بیان کنیم.

بنابراین، تابعی که به شکل نرمال منفک نوشته شده است، پس از اعمال روابط فوق، پرانتزهای باز و تبدیل های جبری ساده، به یک چند جمله ای mod 2 (چند جمله ای ژگالکین) تبدیل می شود:

که در آن A 0 یک ثابت است، و A i ترکیبی از چند متغیر از x 1،...، x n، i = 1، 2، ...، r.

اگر هر حرف ربط A i فقط از یک متغیر تشکیل شده باشد، f یک تابع خطی است که با شرط لم در تضاد است.

بنابراین، چند جمله‌ای ژگالکین برای تابع f حاوی عبارتی است که حداقل دو عامل را شامل می‌شود. بدون از دست دادن کلیت، می توان فرض کرد که در بین این عوامل متغیرهای x 1 و x 2 وجود دارد. سپس چند جمله ای را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3،...، x n) + x 1 f 2 (x 3،...، x n) + x 2 f 3 (x 3،...، x n) + f 4 (x 3،...، x n)،

که در آن f 1 (x 3،...، x n) 1 0 (در غیر این صورت چند جمله ای شامل ربط حاوی ربط x 1 x 2 نمی شود).

فرض کنید (a 3 ,...,a n) به گونه ای باشد که f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. سپس

j(x 1 , x 2) = f(x 1 , x 2 , a 3 ,..., a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g ,

که در آن a، b، g ثابت هایی برابر با 0 یا 1 هستند.

بیایید از عملیات نفی که داریم استفاده کنیم و تابع y(x 1 ,x 2) حاصل از j(x 1 ,x 2) را به صورت زیر در نظر بگیریم:

y(x 1، x 2) = j(x 1 +b، x 2 +a)+ab+g.

بدیهی است که

y(x 1، x 2) =(x 1 +b) (x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2 .

از این رو،

y (x 1، x 2) = x 1 x 2.

لم کاملاً ثابت شده است. ð

لم 2.10.لم اصلی معیار کامل بودن.

اگر کلاس F=(f) از توابع جبر منطقی شامل توابعی باشد که وحدت را حفظ نمی کنند، 0 را حفظ نمی کنند، غیر خود دوگانه و غیر یکنواخت هستند:

سپس از توابع این سیستم با عملیات برهم نهی و تغییر متغیرها می توان ثابت های 0، 1 و تابع را بدست آورد.

اثبات. بیایید یک تابع را در نظر بگیریم. سپس

.

دو مورد از ملاحظات بعدی امکان پذیر است که در موارد زیر به صورت 1) و 2 نشان داده شده است.

1). تابع در مجموعه هویت مقدار 0 را می گیرد:

.

بیایید همه متغیرهای تابع را با متغیر x جایگزین کنیم. سپس تابع

است، زیرا

و .

یک تابع غیر خود دوگانه بگیرید. از آنجایی که ما قبلاً تابع را به دست آورده ایم، توسط لم تابع غیرخود دوگانه (لم 2.7. ) از شما می توانید یک ثابت دریافت کنید. ثابت دوم را می توان از ثابت اول با استفاده از . بنابراین، در مورد اول در نظر گرفته شده، ثابت و نفی به دست می آید. . مورد دوم و با آن لم اصلی معیار کامل بودن کاملاً ثابت می شود. ð

قضیه 2.11.معیار کامل بودن سیستم های توابع جبر منطق (قضیه پست).

برای اینکه سیستم توابع F = (f i ) کامل باشد، لازم و کافی است که به طور کامل در هیچ یک از پنج کلاس بسته T 0 , T 1 , L , S, M قرار نگیرد یعنی برای هر یک از کلاس های T 0 , T 1 , L , S, M در F حداقل یک تابع وجود داشته باشد که به این کلاس تعلق ندارد.

ضرورت. بگذارید F یک سیستم کامل باشد. فرض کنید که F در یکی از کلاس های مشخص شده قرار دارد، آن را با K نشان دهید، یعنی. F Н K. آخرین گنجاندن غیرممکن است، زیرا K یک کلاس بسته است که یک سیستم کامل نیست.

کفایت. اجازه دهید سیستم توابع F = (f i ) به طور کامل در هیچ یک از پنج کلاس بسته T 0 , T 1 , L , S, M قرار نگیرد. توابع F را در نظر بگیرید:

سپس بر اساس لم اصلی (لم 2.10 ) از تابعی که 0 را حفظ نمی کند، تابعی که 1 را حفظ نمی کند، توابع غیر خود دوگانه و غیر یکنواخت، می توانید ثابت های 0، 1 و تابع نفی را دریافت کنید:

.

بر اساس لم تابع غیر خطی (Lmma 2.9 ) از ثابت ها، نفی و یک تابع غیر خطی، می توانید یک ربط به دست آورید:

.

سیستم عملکرد - یک سیستم کامل با توجه به قضیه امکان نمایش هر تابع از جبر منطق به صورت یک فرم عادی منفصل کامل (توجه داشته باشید که تفکیک را می توان از طریق ربط و نفی به صورت بیان کرد. ).

قضیه کاملاً ثابت شده است. ð

مثال ها.

1. اجازه دهید نشان دهیم که تابع f(x,y) = x|y یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. بیایید جدولی از مقادیر تابع x½y بسازیم:

f(0,0) = 1، بنابراین x | ypT 0 .

f(1,1) = 0، بنابراین x | بله 1 .

f(0،0) = 1، f(1،1) = 0، بنابراین x | آره .

f(0,1) = f(1,0) = 1, - در مجموعه های مخالف x | y همان مقادیر را می گیرد، بنابراین x | آره

در نهایت، که به معنای غیر خطی بودن تابع است
x | y

بر اساس معیار کامل بودن، می توانیم بیان کنیم که f(x,y) = x | y یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. ð

2. اجازه دهید نشان دهیم که سیستم توابع یک سیستم کامل را تشکیل می دهد.

واقعا، .

بنابراین، در میان توابع سیستم خود، ما یافتیم: تابعی که 0 را حفظ نمی کند، تابعی که 1 را حفظ نمی کند، توابع غیر خود دوگانه، غیر یکنواخت و غیر خطی. بر اساس معیار کامل بودن، می توان استدلال کرد که سیستم توابع یک سیستم کامل را تشکیل می دهد. ð

بنابراین، دیدیم که معیار کامل بودن روشی سازنده و کارآمد برای تعیین کامل بودن سیستم های توابع جبر منطق ارائه می دهد.

اجازه دهید اکنون سه نتیجه از معیار کامل بودن را فرموله کنیم.

نتیجه 1. هر کلاس بسته K از توابع جبر منطقی که با کل مجموعه توابع جبر منطقی (K¹P 2) منطبق نباشد، حداقل در یکی از کلاس های بسته ساخته شده وجود دارد.

تعریف.کلاس بسته K نامیده می شود از قبل کامل، اگر K ناقص باشد و برای هر تابع fW کلاس K È (f) -complete است.

از تعریف بر می آید که یک کلاس از پیش کامل بسته است.

نتیجه 2.در جبر منطق فقط پنج کلاس پیش کامل وجود دارد که عبارتند از: T 0 ,T 1 , L , M , S .

برای اثبات نتیجه، فقط لازم است تأیید شود که هیچ یک از این کلاس ها در کلاس دیگر وجود ندارد، که برای مثال، با جدول زیر مربوط به تعلق توابع به کلاس های مختلف تأیید می شود:

نتیجه 3.از هر سیستم کاملی از توابع، می توان یک زیرسیستم کامل را که شامل بیش از چهار تابع نباشد، جدا کرد.

از اثبات معیار کامل بودن نتیجه می شود که بیش از پنج تابع را نمی توان تشخیص داد. از اثبات لم اصلی (لم 2.10 ) به دنبال آن است یا غیر خود دوگانه است یا هویت را حفظ نمی کند و یکنواخت نیست. بنابراین، بیش از چهار تابع مورد نیاز نیست.

در جامعه علمی، یک جوک معروف در مورد این موضوع "غیر خطی" با "غیر فیل" مقایسه می شود - همه موجودات، به جز "فیل"، "غیر فیل" هستند. شباهت در این واقعیت نهفته است که اکثر سیستم ها و پدیده ها در دنیای اطراف ما غیر خطی هستند، به جز چند استثنا. با وجود این، در مدرسه تفکر "خطی" به ما آموزش داده می شود که از نظر آمادگی ما برای درک غیرخطی بودن همه جانبه کیهان، چه جنبه های فیزیکی، بیولوژیکی، روانی یا اجتماعی آن بسیار بد است. غیرخطی بودن به خودی خود یکی از مشکلات اصلی شناخت دنیای اطراف را متمرکز می کند، زیرا پیامدها، در جرم کلی آنها، متناسب با علل نیستند، این دو علت، هنگام تعامل، افزایشی نیستند، یعنی پیامدها پیچیده تر از یک برهم نهی ساده، عملکرد علل هستند. یعنی نتیجه ای که در اثر حضور و تأثیر دو علت به طور همزمان به دست می آید، مجموع نتایجی نیست که در صورت وجود هر یک از علل جداگانه، در صورت عدم وجود علت دیگر، به دست می آید.

تعریف 9. در یک بازه X تابع r-f (lg) با مجموعه مقادیر Z تعریف می شود و تابع y \u003d / (z) روی مجموعه Z تعریف می شود، سپس تابع y یک تابع مختلط از x (یا برهم نهی یک تابع) است و متغیر z یک متغیر میانی از یک تابع مختلط است.

کنترل را می توان به عنوان برهم نهی از سه عملکرد مدیریت کلاسیک - حسابداری، کنترل و تجزیه و تحلیل (به گذشته نگر) نشان داد. کنترل به عنوان یک تابع مدیریت یکپارچه این امکان را فراهم می کند که نه تنها یک راه حل تهیه شود، بلکه از کنترل اجرای آن با استفاده از ابزارهای مدیریتی مناسب نیز اطمینان حاصل شود.

همانطور که مشخص است /50/، هر تابع زمانی را می توان به عنوان برهم نهی (مجموعه) توابع هارمونیک ساده با دوره ها، دامنه ها و فازهای مختلف نشان داد. به طور کلی، P(t) = f(t)،

پاسخ های گذرا یا ضربه ای به صورت تجربی تعیین می شوند. هنگامی که آنها مطابق روش برهم نهی استفاده می شوند، ابتدا مدل انتخاب شده از عملکرد ورودی به "توابع زمان" ابتدایی تجزیه می شود و سپس پاسخ ها به آنها خلاصه می شود. آخرین عملیات گاهی اوقات کانولوشن نامیده می شود و انتگرال های موجود در عبارات (24) ... (29) انتگرال های کانولوشن هستند. از این میان، یکی با انتگرال ساده تر انتخاب می شود.

این قضیه مسئله حدی مشروط را به برهم نهی مسائل حدی غیرشرطی تقلیل می دهد. در واقع، ما تابع R (g) را تعریف می کنیم.

برهم نهی ((>(f(x))، که در آن y(y) یک تابع محدب غیر نزولی از یک متغیر است، /(x) یک تابع محدب است، یک تابع محدب است.

مثال 3.28. بیایید به مثال 3.27 برگردیم. روی انجیر شکل 3.24 نتیجه برهم نهی دو تابع عضویت مربوط به کمیت کننده هایی را که در این مثال وجود دارد را به عنوان یک منحنی نقطه چین نشان می دهد. با استفاده از سطح برش 0.7، فواصل فازی در محور x به دست آمد. اکنون می توان گفت که دیسپچر باید منتظر تغییر طرح باشد.

روش دیگر برای تعریف تابع F، متفاوت از روش برهم نهی، این است که هنگام اعمال هر کمیت بر روی کمیت دیگر، تبدیل یکنواخت خاصی از تابع عضویت اصلی رخ می دهد که به کشش و جابجایی حداکثر تابع در یک جهت یا جهت دیگر کاهش می یابد.

مثال 3.29. روی انجیر شکل 3.25 دو نتیجه را نشان می دهد که با برهم نهی و برش با کشش برای موردی که XA و X اغلب با کمیت کننده مطابقت دارند، به دست آمده است. به نظر می رسد تفاوت این است که برهم نهی اغلب مقادیری را در تابع عضویت که اغلب رخ می دهند، جدا می کند. در مورد شیفت و کشش، می‌توانیم نتیجه را به‌عنوان ظاهر یک کمیت‌کننده جدید با مقدار اغلب-اغلب تعبیر کنیم، که در صورت تمایل می‌توان آن را به‌عنوان مثال، با مقدار خیلی اوقات تقریب زد.

نشان دهید که برهم نهی یک تابع کاملاً در حال افزایش و یک تابع مفید که نشان دهنده برخی از روابط ترجیحی > نیز یک تابع مفید است که این رابطه ترجیحی را نشان می دهد. کدام یک از توابع زیر می تواند به عنوان یک تبدیل عمل کند

اولین رابطه (2) چیزی نیست جز رکوردی از قاعده که طبق آن هر تابع F(x) متعلق به خانواده توابع کاملاً پیوسته یکنواخت غیر کاهشی با یک و تنها یک تابع پیوسته w(j) مرتبط است. این قانون خطی است، یعنی. اصل برهم نهی برای آن صادق است

اثبات اگر نگاشت F پیوسته باشد، تابع М0 به عنوان برهم نهی توابع پیوسته پیوسته است. برای اثبات قسمت دوم ادعا، تابع را در نظر بگیرید

توابع e مختلط (ابرجا)

روش تبدیل های عملکردی همچنین شامل استفاده از یک رویکرد اکتشافی است. به عنوان مثال، استفاده از تبدیل های لگاریتمی به عنوان عملگرهای B و C منجر به معیارهای اطلاعاتی برای ساخت مدل های قابل شناسایی و استفاده از یک ابزار قدرتمند تئوری اطلاعات می شود. اجازه دهید عملگر B برهم نهی عملگرهای ضرب در یک تابع، (.) و شیفت با تابع K0 ()، عملگر C - عملگر باشد.

در اینجا، نتایج حل تعدادی از مسائل متغیر (1)-(3) به صورت کلی ارائه خواهد شد. آنها با روش خطی سازی متوالی (19-21) در سال های 1962-1963، زمانی که فن آوری روش تازه شکل گرفته بود و در حال آزمایش بود، حل شدند. بنابراین، ما فقط بر روی برخی جزئیات تمرکز خواهیم کرد. اول از همه، ما توجه می کنیم که توابع C و C2 توسط عبارات نسبتاً پیچیده ای ارائه شده اند، که برهم نهی از توابع کمکی، از جمله آنهایی که در جدول آورده شده است. بنابراین، هنگام حل سیستم مزدوج φ=-fx با استفاده از توابع مشخص شده در جدول به طور معمول، چنین جداول حاوی تعداد کمی از مقادیر برای مجموعه ای از گره ها در منطقه تغییر آرگومان مستقل است و بین آنها تابع به صورت خطی درون یابی می شود، زیرا استفاده از روش های درونیابی دقیق تر به دلیل عدم دقت خود مقادیر جدول توجیه نمی شود (به عنوان یک قاعده، وابستگی های عملکردی با ماهیت جدول تجربی مشخص می شود). با این حال، برای اهداف خود، ما به توابع متمایز / (x, u) نیاز داریم، بنابراین باید روش‌های صاف را برای تکمیل یک تابع جدول ترجیح دهیم (مثلاً با استفاده از splines).

حالا (DA و (d) توابع دلخواه متناظر با برخی از مقادیر کمی سازهای فرکانس باشند.شکل 3.23 دو منحنی تک قوز مربوط به این توابع را نشان می دهد. نتیجه برهم نهی آنها یک منحنی دو قوز است که با یک خط چین نشان داده شده است. معنای آن چیست؟

مزیت این روش برای تعریف F این است که، تحت تبدیل های یکنواخت، شکل تابع عضویت به طور چشمگیری تغییر نمی کند. یکنواختی یا یکنواختی آن حفظ می شود و انتقال از شکل جدید تابع (2.16) شکل ذوزنقه ای دارد، سپس برهم نهی خطی (2.15) یک عدد فازی ذوزنقه ای است (که به راحتی با استفاده از قانون محاسبه قطعه ثابت می شود). و می توان عملیات با توابع عضویت را به عملیات با رئوس آنها کاهش داد. اگر عدد ذوزنقه (2.16) را به صورت (ab, a2, az, a4) نشان دهیم، جایی که a مطابق با ابسیساهای رئوس ذوزنقه است، آنگاه

- (لات اواخر superpositio، - روکش، از lat. superpositus - گذاشته شده در بالا) (ترکیب) - عملیات ریاضی منطقی. حساب دیفرانسیل و انتگرال، که شامل به دست آوردن از c.l. توابع داده شده f و g از یک حساب معین تابع جدید g (f) (بیان g ... ... دایره المعارف فلسفی

اصطلاح برهم نهی (همپوشانی) می تواند به مفاهیم زیر اشاره داشته باشد: ترکیب برهم نهی توابع (تابع مختلط) اصل برهم نهی یک اصل در فیزیک و ریاضیات است که برهم نهی فرآیندها (مثلاً امواج) را توصیف می کند و در نتیجه ... ... ویکی پدیا

ترکیب توابع، ترکیب دو تابع از یک تابع پیچیده ... دایره المعارف ریاضی

این اصطلاح معانی دیگری نیز دارد، به Superposition مراجعه کنید. مکانیک کوانتومی ... ویکی پدیا

این مقاله یا بخش دارای فهرستی از منابع یا پیوندهای خارجی است، اما منابع اظهارات فردی به دلیل عدم وجود پاورقی نامشخص است ... ویکی پدیا

در تئوری سیستم های تابعی گسسته، یک تابع بولی تابعی از نوع است که در آن یک مجموعه بولی است و n یک عدد صحیح غیر منفی است که آریتی یا محلی بودن تابع نامیده می شود. عناصر 1 (یک) و 0 (صفر) به طور استاندارد تفسیر می شوند ... ... ویکی پدیا

یکی از مهمترین آنها برای مبانی ریاضیات و ریاضیات. طبقات منطقی مفاهیمی که به عنوان اصلاحات عمل می کنند شامل. مفاهیم یک تابع محاسباتی موثر و یک محمول حسابی قابل تصمیم گیری موثر، و در نهایت، و ... دایره المعارف فلسفی

تابعی که مقادیر یک ازدحام را محاسبه می کند می تواند با استفاده از یک روش کارآمد یا الگوریتم از پیش تعیین شده انجام شود. یکی از ویژگی های فرآیندهای محاسباتی این است که محاسبه مقادیر مورد نظر مسائل به صورت متوالی از داده های اولیه رخ می دهد. ... دایره المعارف ریاضی

لازم است مطالب این مقاله به مقاله «تمایز یک تابع مختلط» منتقل شود. شما می توانید با تجمیع مقالات به پروژه کمک کنید. اگر نیاز به بحث در مورد توصیه ادغام دارید، این الگو را با الگو ((برای ادغام)) جایگزین کنید ... ویکی پدیا

- (lat. compositio ترکیب، صحافی، افزودن، اتصال): ویکی‌واژه دارای مدخلی برای «ترکیب» است.

کتاب ها

• ریاضی گسسته ساختارهای تئوری مجموعه های پایه قسمت ششم، A. I. Shirokov. این راهنما قسمت ششم بخش «ساختارهای نظری مجموعه‌های پایه ریاضیات گسسته» است. در فصل XI مفاهیم زیر در نظر گرفته شده است: ترکیب توابع (§1). کارکرد،…

تعریف تابع، ناحیه تنظیم و مجموعه مقادیر. تعاریف مربوط به نمادگذاری تابع. تعاریف توابع مختلط، عددی، واقعی، یکنواخت و چند ارزشی. تعاریف حداکثر، حداقل، کران بالا و پایین برای توابع محدود.

تابع y=f (ایکس)قانون (قاعده، نقشه برداری) نامیده می شود که بر اساس آن، هر عنصر x از مجموعه X با یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y مرتبط است.

مجموعه X نامیده می شود محدوده عملکرد.
مجموعه ای از عناصر y ∈ Y، که دارای پیش تصویر در مجموعه X هستند، نامیده می شود مجموعه ای از مقادیر تابع(یا دامنه).

دامنهتوابع گاهی اوقات نامیده می شوند مجموعه ای از تعاریفیا مجموعه ای از وظایفکارکرد.

عنصر x ∈ Xتماس گرفت آرگومان تابعیا متغیر مستقل.
عنصر y ∈ Yتماس گرفت مقدار تابعیا متغیر وابسته.

خود نگاشت f نامیده می شود مشخصه عملکرد.

مشخصه f این ویژگی را دارد که اگر دو عنصر و از مجموعه تعریف دارای مقادیر مساوی باشند: , آنگاه .

کاراکتر نشان دهنده مشخصه می تواند با کاراکتر عنصر مقدار تابع یکسان باشد. یعنی می توانید آن را به این صورت بنویسید: در عین حال، شایان ذکر است که y عنصری از مجموعه مقادیر تابع است و قانونی است که طبق آن عنصر x با عنصر y مرتبط است.

فرآیند محاسبه تابع شامل سه مرحله است. در مرحله اول یک عنصر x را از مجموعه X انتخاب می کنیم. علاوه بر این، با کمک قانون، عنصر x با عنصر مجموعه Y مرتبط می شود. در مرحله سوم این عنصر به متغیر y اختصاص داده می شود.

ارزش خصوصی تابعمقدار تابع را برای مقدار انتخاب شده (خصوصی) آرگومان آن نام ببرید.

نمودار تابع fمجموعه ای از جفت نامیده می شود.

توابع پیچیده

تعریف
اجازه دهید توابع و داده شود. علاوه بر این، دامنه تابع f شامل مجموعه ای از مقادیر تابع g است. سپس هر عنصر t از دامنه تابع g به عنصر x و این x مربوط به y است. این مکاتبات نامیده می شود تابع پیچیده: .

یک تابع پیچیده نیز نامیده می شود ترکیب یا برهم نهی توابعو گاهی اوقات به این موارد گفته می شود:

در تجزیه و تحلیل ریاضی، به طور کلی پذیرفته شده است که اگر مشخصه یک تابع با یک حرف یا نماد نشان داده شود، آنگاه مطابقت یکسانی را تنظیم می کند. اما در سایر رشته ها روش دیگری برای علامت گذاری وجود دارد که بر اساس آن نگاشت هایی با ویژگی یکسان، اما آرگومان های متفاوت متفاوت تلقی می شوند. یعنی نگاشت ها و متمایز در نظر گرفته می شوند. بیایید یک مثال از فیزیک بگیریم. فرض کنید وابستگی تکانه به مختصات را در نظر می گیریم. و وابستگی مختصات را به زمان داشته باشیم. سپس وابستگی تکانه به زمان یک تابع پیچیده است. اما برای اختصار به صورت زیر مشخص می شود:. با این رویکرد، و توابع مختلف هستند. با مقادیر یکسان آرگومان ها، آنها می توانند مقادیر متفاوتی را ارائه دهند. در ریاضیات این علامت پذیرفته نمی شود. اگر کاهش مورد نیاز است، باید یک مشخصه جدید وارد شود. مثلا . سپس به وضوح دیده می شود که و توابع مختلف هستند.

توابع معتبر

دامنه تابع و مجموعه مقادیر آن می تواند هر مجموعه ای باشد.
به عنوان مثال، دنباله های عددی توابعی هستند که دامنه تعریف آنها مجموعه اعداد طبیعی است و مجموعه مقادیر اعداد حقیقی یا مختلط است.
حاصل ضرب متقاطع نیز یک تابع است، زیرا برای دو بردار و تنها یک مقدار از بردار وجود دارد. در اینجا دامنه تعریف مجموعه ای از تمام جفت های ممکن بردار است. مجموعه مقادیر مجموعه همه بردارها است.
عبارت بولی یک تابع است. دامنه تعریف آن مجموعه ای از اعداد واقعی است (یا هر مجموعه ای که در آن عملیات مقایسه با عنصر "0" تعریف شده است). مجموعه مقادیر از دو عنصر تشکیل شده است - "درست" و "نادرست".

توابع عددی نقش مهمی در تحلیل ریاضی دارند.

تابع عددیتابعی است که مقادیر آن اعداد حقیقی یا مختلط هستند.

عملکرد واقعی یا واقعیتابعی است که مقادیر آن اعداد واقعی هستند.

حداکثر و حداقل

اعداد واقعی یک عمل مقایسه دارند. بنابراین مجموعه مقادیر تابع واقعی می تواند محدود باشد و بزرگترین و کوچکترین مقدار را داشته باشد.

تابع واقعی نامیده می شود محدود از بالا (از پایین)اگر چنین عددی M وجود داشته باشد که نابرابری زیر برای همه برقرار باشد:
.

تابع عدد نامیده می شود محدود، اگر عدد M وجود داشته باشد به طوری که برای همه:
.

حداکثر M (حداقل متر)تابع f، در برخی از مجموعه X، مقدار تابع برای مقداری از آرگومان آن نامیده می شود، که برای همه،
.

صورت بالایا حد بالایی دقیق real، از بالا محدود شده است، تابع کوچکترین اعدادی نامیده می شود که محدوده مقادیر آن را از بالا محدود می کند. یعنی این یک عدد s است که برای همه و برای هر یک چنین آرگومانی وجود دارد که مقدار تابع آن از s′ : .
کران بالای تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

کران بالای یک تابع نامحدود از بالا

صورت پایینیا کران پایینی دقیق real، که از پایین محدود شده است، تابع بزرگترین اعداد نامیده می شود که دامنه مقادیر آن را از پایین محدود می کند. یعنی این عدد i است که برای همه و برای هر یک چنین آرگومانی وجود دارد که مقدار تابعی که از آن کمتر از i است: .
کران پایین یک تابع را می توان به صورت زیر نشان داد:
.

کران پایینی تابعی که از پایین محدود نشده استنقطه بی نهایت است

بنابراین، هر تابع واقعی، در یک مجموعه غیر خالی X، دارای یک کران بالا و پایین است. اما هر تابعی دارای حداکثر و حداقل نیست.

به عنوان مثال، یک تابع تعریف شده در یک بازه باز را در نظر بگیرید.
در این بازه از بالا توسط مقدار محدود می شود 1 و در زیر - مقدار 0 :
برای همه .
این تابع دارای چهره های بالا و پایین است:
.
اما حداکثر و حداقلی ندارد.

اگر همان تابع را روی بازه در نظر بگیریم، در این مجموعه از بالا و پایین محدود شده، دارای کران بالا و پایین است و دارای حداکثر و حداقل است:
برای همه ؛
;
.

توابع یکنواخت

تعاریف توابع افزایش و کاهش
اجازه دهید تابع بر روی مجموعه ای از اعداد واقعی X تعریف شود. تابع فراخوانی می شود به شدت افزایش (به شدت کاهش)
.
تابع فراخوانی می شود بدون کاهش (غیر افزایشی)، اگر برای همه به گونه ای باشد که نابرابری زیر برقرار باشد:
.

تعریف تابع یکنواخت
تابع فراخوانی می شود یکنواختاگر غیر کاهشی یا غیر افزایشی باشد.

توابع چند ارزشی

نمونه ای از یک تابع چند ارزشی. شاخه های آن با رنگ های مختلف مشخص شده است. هر شاخه یک ویژگی است.

همانطور که از تعریف تابع بر می آید، هر عنصر x از دامنه تعریف تنها با یک عنصر از مجموعه مقادیر مرتبط است. اما نگاشت هایی وجود دارد که عنصر x دارای چندین یا بی نهایت تصویر است.

به عنوان مثال، تابع را در نظر بگیرید آرکسین: . معکوس تابع است سینوسیو از معادله مشخص می شود:
(1) .
برای مقدار معینی از متغیر مستقل x متعلق به بازه، این معادله بی نهایت مقادیر y را برآورده می کند (شکل را ببینید).

اجازه دهید برای حل های معادله (1) محدودیتی اعمال کنیم. اجازه دهید
(2) .
در این شرایط، مقدار داده شده تنها با یک جواب از معادله (1) مطابقت دارد. یعنی مطابقت تعریف شده توسط رابطه (1) در شرایط (2) یک تابع است.

به جای شرط (2)، می توان هر شرط دیگری از فرم را اعمال کرد:
(2.n) ,
که در آن n یک عدد صحیح است. در نتیجه، برای هر مقدار n، تابع خودمان را متفاوت از بقیه بدست می آوریم. بسیاری از این توابع هستند تابع چند ارزشی. و تابع تعیین شده از (1) در شرایط (2.n) است شاخه تابع چند ارزشی.

این مجموعه ای از توابع تعریف شده در مجموعه ای است.

شاخه تابع چند ارزشییکی از توابع موجود در تابع چند ارزشی است.

تابع با ارزش واحدیک تابع است.

منابع:
O.I. شیاطین سخنرانی در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت 1. مسکو، 2004.
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.

دستگاه های منطقی گسسته یک چرخه (غیر حاوی عناصر حافظه) مجموعه خاصی از توابع جبر منطقی را در خروجی پیاده سازی می کنند. `Fm=(اف 1 ، اف 2 ,…, Fm) که در هر لحظه از زمان فقط به وضعیت ورودی های دستگاه بستگی دارد `x n =(ایکس 1 ،ایکس 2 ,…, xn): `F m = `F m(`x n). در عمل، چنین دستگاه هایی از عناصر جدا ناپذیری طراحی و ساخته می شوند که مجموعه (سیستم) خاصی را پیاده سازی می کنند. f) توابع ابتدایی جبر با اتصال خروجی برخی از عناصر به ورودی های برخی دیگر.

هنگام طراحی ابزارهای منطقی، سؤالات زیر مرتبط هستند.

1. سیستمی از توابع ابتدایی ( f). توابع خروجی چیست؟ F iمی توان با استفاده از توابع از ( f}?

2. مجموعه ای از توابع بولی خروجی ( اف) (به ویژه برابر با کل مجموعه توابع جبر منطق است آر 2). سیستم اولیه توابع ابتدایی چگونه باید باشد ( f) که امکان به دست آوردن هر یک از عملکردهای مجموعه را در خروجی فراهم می کند ( اف}?

برای پاسخ منطقی به این سؤالات، از مفاهیم برهم نهی، بسته بودن و کامل بودن سیستم توابع استفاده می شود.

تعریف.مجموعه ای از اتصالات منطقی را در نظر بگیرید ( اف) مربوط به برخی از سیستم های توابع ( f} . برهم نهی تمام شد{f) هر تابع j است که می تواند با یک فرمول روی ( اف}.

در عمل، برهم نهی را می توان به عنوان نتیجه جایگزینی توابع از ( f) به عنوان آرگومان های یک تابع از همان مجموعه.

مثال 1. سیستمی از توابع را در نظر بگیرید ( f} = {f 1 (ایکس) =`x, f 2 (x، y)= ایکس&y، f 3 (x، y)=ایکسÚ y ). جایگزینی در تابع f 3 (x، y) به جای آرگومان اول ایکستابع f 1 (ایکس، به جای دوم - f 2 (x، y) برهم نهی را می گیریم ساعت(x، y)=f 3 (f 1 (ایکس)، اف 2 (x، y))=xÚ ایکس& در. اجرای فیزیکی جایگزینی در شکل 1.18 آورده شده است.

تعریف.اجازه دهید م- مجموعه ای از توابع جبر منطق ( پ 2). مجموعه همه برهم نهی ها تمام شده است متماس گرفت بستهمجموعه ها مو با [ م]. گرفتن [ م]توسط مجموعه اصلی متماس گرفت عملیات بستن. یک دسته از متماس گرفت کلاس بسته عملکردی، اگر [ م] = م. زیرمجموعه مترÍ متماس گرفت سیستم کامل عملکردی در M، اگر [ متر] = م.

بسته [ م] کل مجموعه توابعی است که می توان از آنها به دست آورد مبا اعمال عملیات برهم نهی، یعنی. همه تعویض های ممکن

ملاحظات. 1.بدیهی است که هر سیستمی از توابع ( f) به خودی خود از نظر عملکردی کامل است.

2 . بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که تابع یکسان است f(ایکس)=x، که مقادیر صدق متغیرها را تغییر نمی دهد، در ابتدا در هر سیستمی از توابع گنجانده می شود.

مثال 2. برای سیستم های توابع در نظر گرفته شده در زیر ( f) موارد زیر را انجام دهید:

1) بسته شدن [ f],

2) دریابید که آیا سیستم ( f) یک کلاس بسته،

3) سیستم های عملکردی کامل را در ( f}.

راه حل.

من. ( f}={0} . هنگام تعویض تابع ( fº 0) به خودش، آن را می گیریم، یعنی. هیچ توابع جدیدی تولید نمی شود. این دلالت می کنه که: [ f] = {f). سیستم در نظر گرفته شده یک کلاس بسته عملکردی است. سیستم کامل عملکردی در آن یک و برابر با کل است ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . تعویض Ø (Ø ایکس) یک تابع یکسان می دهد که به طور رسمی سیستم اصلی را گسترش نمی دهد. با این حال، هنگام جایگزینی Ø (0)، یک واحد یکسان دریافت می کنیم - یک تابع جدید که در سیستم اصلی نبود: Ø (0) = 1 . اعمال همه جایگزین های دیگر منجر به توابع جدید نمی شود، به عنوان مثال: ØØ 0 = 0، 0 (Ø ایکس)=0.

بنابراین، به کارگیری عملیات برهم نهی، دستیابی به مجموعه وسیع تری از توابع را در مقایسه با توابع اصلی ممکن می سازد. f]=(0,Ø ,1). این به معنای یک ورودی دقیق است: ( f} Ì [ f]. سیستم منبع ( f) یک کلاس از نظر عملکرد بسته نیست. جدا از خود سیستم f) هیچ سیستم عملکردی کامل دیگری در آن وجود ندارد، زیرا در صورت محدودیت آن از یک عملکرد f= 0 را نمی توان با جایگزینی نفی کرد و صفر یکسان را نمی توان از یک تابع نفی منفرد به دست آورد.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø) بسته شدن این سیستم کل مجموعه توابع جبر منطقی است. پ 2، زیرا فرمول هر یک از آنها را می توان به صورت DNF یا CNF نشان داد که از توابع ابتدایی استفاده می کنند ( f) = (& ,Ú ,Ø). این واقعیت دلیلی سازنده بر کامل بودن سیستم توابع در نظر گرفته شده در است پ 2: [f]= پ 2 .

زیرا در پ 2 شامل تعداد بی نهایت توابع دیگر غیر از ( f) = (& ,Ú ,Ø )، سپس این به یک رخداد دقیق دلالت دارد: ( f}Ì[ f]. سیستم در نظر گرفته شده یک کلاس بسته نیست.

علاوه بر خود سیستم، زیرسیستم های ( f) 1 = (& ,Ø ) و ( f) 2 = (Ú ,Ø). این از این واقعیت ناشی می شود که با استفاده از قوانین دو مورگان، تابع جمع منطقی Ú را می توان بر حسب (&، Ø) و تابع ضرب منطقی و بر حسب (Ú، Ø) بیان کرد:

(ایکس & در) = Ø (` ایکسÚ` در), (ایکس Ú در) = Ø ( ایکس &`در).

سایر زیرسیستم های کامل عملکردی در ( f) خیر

بررسی کامل بودن زیرسیستم توابع ( f) 1 M ( f) در کل سیستم ( f) را می توان با کاهش ( f) 1 به دیگری، واضح است که در ( f) سیستم.

ناقص بودن زیرسیستم ( f) 1 اینچ ( f) را می توان با اثبات وقوع شدید [ f 1 ] М [ f].

تعریف.زیرمجموعه مترÍ متماس گرفت مبنای عملکردی(اساس)سیستم های M، اگر [ متر] = مو پس از حذف هر تابعی از آن، مجموعه باقیمانده ها در آن کامل نمی شود م .

اظهار نظر. مبانی سیستم توابع (و)همه زیرسیستم های عملکردی کامل آن هستند (و) 1، که بدون از دست دادن کامل بودن قابل کاهش نیست (و).

مثال 3. برای تمام سیستم های در نظر گرفته شده در مثال 2، پایه ها را پیدا کنید.

راه حلدر موارد 1 و 2 فقط خود سیستم ها از نظر عملکرد کامل هستند و محدود کردن آنها غیرممکن است. بنابراین، آنها نیز پایه هستند.

در مورد 3، دو مورد از نظر عملکردی کامل در ( f)زیر سیستم ها ( f) 1 = (&,Ø ) و ( f) 2 =(Ú,Ø )، که بدون از دست دادن کامل نمی توان آن را کاهش داد. آنها پایه های سیستم خواهند بود ( f} = {&,Ú,Ø}.

تعریف.اجازه دهید سیستم ( f) یک کلاس بسته است. زیر مجموعه آن ( f) 1 M ( f) نامیده می شوند کلاس از قبل کامل در{f)، اگر ( f) 1 ناقص است در ( f} ([f 1 ] М [ f])، و برای هر تابع j از سیستم( f) در ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) درست است: [ jÈ { f} 1 ] = [f]، یعنی جمع jк ( f) 1 آن را کامل می کند در ( f} .

وظایف

1. بسته بودن مجموعه توابع را بررسی کنید:

الف) (Ø)؛ ب) (1, Ø ); ج) ((0111)؛ (10))؛ د) ((11101110)؛ (0110)؛ ه) ((0001)؛ (00000001)؛ (0000000000000001)؛ ... ).

2. بررسی کامل سیستم های توابع در پ 2:

الف) (0,Ø)؛ ب) ((0101) ، (1010) ); V) د) ((0001) ، (1010)).

3. بسته شدن سیستم توابع و اساس آن را بیابید:

الف) (0 , 1 , Ø ) ; ب) ((1000) ، (1010) ، (0101) ); ج) ((0001) ، (1110) ، (10) ); د) ((1010) ، (0001) ، (0111)).

1.10.2 توابعی که ثابت ها را حفظ می کنند. کلاس های T 0 و T 1

تعریف.تابع f(`x n) ذخیره می کند 0 اگر f(0,..., 0) = 0. تابع f(`x n) ذخیره می کند 1 اگر f(1, ... , 1) = 1.

بسیاری از ویژگی ها nمتغیرهایی که 0 و 1 ذخیره می کنند به ترتیب نشان دهنده تی 0 nو تی 1 n. تمام مجموعه توابع جبر منطق که 0 و 1 را حفظ می کنند , تعیین کنید تی 0 و تی 1 . هر یک از مجموعه ها تی 0 و تی 1 یک کلاس از پیش کامل بسته در است آر 2 .

از توابع ابتدایی تا تی 0 و تی 1 شامل، برای مثال، & و Ú است. تعلق هر تابعی به کلاس ها تی 0 , تی 1 را می توان با اولین و آخرین مقدار بردار مقادیر آن در جدول صدق یا با جایگزینی مستقیم صفر و یک در فرمول هنگامی که تابع به صورت تحلیلی مشخص شده است بررسی کرد.

تعریف.تکراریچنین جایگزینی نامیده می شود که در آن به جای چندین متغیر مستقل، همان متغیر در تابع جایگزین می شود. در عین حال، مقادیر متغیرها در مجموعه هایی که قبلاً مقادیر مستقل از یکدیگر دریافت می کردند همیشه یکسان خواهند بود.

وظایف

1. عضویت در کلاس را بررسی کنید تی 0 و T 1کارکرد:

الف) جمع تعمیم یافته، ب) ضرب تعمیم یافته، ج) ثابت ها، د) هوÚ yz، ه) ایکس® در® هو، ه) ایکسÅ در، و)( ایکس 1 Å … Å ایکسن) ® ( y 1 Å … Å yم) چه زمانی n، mÎ ن.

2. ثابت کنید که هر یک از کلاس ها بسته است تی 0 و تی 1 .

3. ثابت کنید که اگر f(`x n) Ï تی 0، سپس ثابت 1 یا نفی را می توان با تکرار جایگزینی از آن به دست آورد.

4. ثابت کنید که اگر f(`x n) Ï تی 1 ، سپس از آن، با تکرار جایگزینی، می توانید ثابت 0 یا نفی را دریافت کنید.

5. پیش کامل بودن هر یک از کلاس ها را ثابت کنید تی 0 و تی 1 (به عنوان مثال، با کاهش سیستم تقویت شده به ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. قدرت طبقات را پیدا کنید تی 0 nو تی 1 n.