Формула радиоимпульсов прямоугольной формы. Расчет математической модели прямоугольной когерентной пачки прямоугольных радиоимпульсов. Сигналы с внутриимпульсной модуляцией

Радиоимпульс является одним из самых распространенных в радиотехнике сигналов. Поэтому изучение спектра последовательности радиоимпульсов представляет особый интерес.

Последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей, изображенную на рис. 4.41 в разделе 4.8, можно записать в виде выражения:

Здесь обозначены:

U,w р = 2p¦ р; T р =1/¦ р; t; j n – амплитуда, частота, период, длительность и начальная фаза колебаний радиоимпульса;

W= 2pF; T = 1/F - частота повторения и период следования радиоимпульсов;

n = 1, 2, 3, ... – номер импульса.

В общем случае эта последовательность не будет строго периодической, так как на­чальные фазы импульсов j n могут меняться от импульса к импульсу и ус­ловие периодичности функции – u(t)=u(t+T) – будет нарушено.

Этот общий случай мы рассмотрим ниже, а пока обратимся к частному случаю, когда функция u(t) будет чисто периодической и каждый радиоимпульс будет начинаться с одной и той же фазы j n =j=const . Положим для определенности j n =0 .

Коэффициенты ряда Фурье этой периодической функции A m , B m и A 0 находятся по известным формулам (см. раздел 5.2). Индекс m = 1, 2, 3, ... означает номер гармоники.

Поскольку функция u(t) симметрична относительно оси времени, то А o =0. Кроме того, мы выберем начало координат таким образом, что бы функция u(t) (косинус) была симметрична относительно оси амплитуд и являлась четной. Тогда и B m =0, а, следовательно, и φ m =0,

При принятых условиях ряд Фурье этой функции:

,

будет определяться только коэффициентом А m :

Это табличный интеграл. Его решение имеет вид:

.

Подставив пределы и разделив числитель и знаменатель на τ/2 , получим:

.

Тогда ряд Фурье для функции u(t) примет вид:

Таким образом, функцию u(t) ,являющуюся последовательностью импульсов во времени, мы представили теперь в виде последовательности частотных гармоник, которую в дальнейшем будем называть спектром этой функции (в действительности это не спектр в его классическом понимании, а просто другой вид представления сигнала u(t) во времени - см. раздел 5.4).

Из полученного ряда Фурье видно, что огибающая спектра периодической последовательности радиоимпульсов имеет вид sinx/x и совпадает по форме с огибающей спектра прямоугольных видеоимпульсов (рис. 5.6). Однако максимум огибающей переместился с нулевой частоты на частоту заполнения радиоимпульса ω р . Гармоники спектра расположены на частотах ±mW . Счет гармоник начинается со значения частоты ω =0.

Периодическую последовательности радиоимпульсов можно получить двумя разными способами.

Можно «вырезать» радиоимпульсы из непрерывного гармонического колебания с периодом, кратным периоду высокочастотного заполнения радиоимпульсов Т=kТ р (k - целое число), то есть ω р =kW (рис. 5.7,а1). Полученный процесс назовем периодической последовательностью радиоимпульсов первого вида. Частоты ω р и W жестко связаны между собой и поэтому максимум огибающей спектра совпадает с частотой гармоники kW , которая имеет максимальную амплитуду (рис. 5.7,а).Изменение любой из частот ω р или W меняет одновременно и частотный интервал между гармониками и положение максимума огибающей спектра на оси частот.

Периодическую последовательность радиоимпульсов можно сформировать и при произвольном отношении частот ω р и W (ω р ≠kW) . Для этого необходимо выбрать любой радиоимпульс и «разместить» его копии на оси времени с периодом Т (рис. 5.7,б). Этот процесс назовем периодической радиоимпульсной последовательностью второго вида.

В спектре такой последовательности положение огибающей спектра, имеющей максимум на частоте заполнения импульсов ω р , не связано с положением гармоник на оси частот. При изменении частоты ω р перемещаться по оси частот будет только огибающая спектра. Гармоники же останутся на частотах mW . При изменении частоты W будет изменяться положение гармоник, а максимум огибающей спектра останется на частоте ω р . Таким образом, положение огибающей спектра и положение гармоник на оси частот изменяются независимо. Это позволяет выделить из спектра периодической последовательности радиоимпульсов необходимую гармонику с максимальной амплитудой, переводя частоту заполнения радиоимпульсов ω р на частоту этой гармоники (рис. 5.7,б).

Сигнал представляет собой прямоугольный радиоимпульс с гармоническим заполнением (рис.4.170)

При вычислении функции неопределенности рассмотрим отдельно случаи положительных и отрицательных временных сдвигов между импульсами. При

При результат аналогичен. Обобщая результаты получим

(4.96)

Рассмотрим сечение функции неопределенности для случая f д =0. Результат получится следующий

. (4.97)

Сечение соответствующей поверхности плоскостью f д =0 изображена на рис.4.171

При сечении плоскостью τ=0 получаем

(4.98)

Полученная формула соответствует модулю спектра прямоугольного видеоимпульса, являющего огибающей исходного сигнала (рис.4.172).

На рис.4.163 изображена диаграмма неопределенности прямоугольного радиоимпульса

Чем больше длительность импульса, тем выше разрешающая способность по частоте, но хуже разрешающая способность по времени. Чем меньше длительность импульса, тем выше разрешающая способность по времени, но хуже по частоте. Такое положение является иллюстрацией принципа неопределенности в радиолокации.

Широкополосные сигналы

Импульсный сигнал считается широкополосным, если произведение его длительности на ширину спектра частот . Есть и другой подход в определении широкополосности сигнала. Так, например, в 1990 в США введено общее определение относительной полосы частот η:

В соответствии с этим определением сигналы, имеющие полосу η≤0,01 относится к узкополосным; имеющие 0,01<η≤0,25 относится к широкополосным; имеющие 0,25<η<1 относятся к сверхширокополосным (СШП).

В качестве СШП могут использоваться кодоимпульсные последовательности, линейно-частотно-модулированные сигналы, псевдошумовые сигналы, видеоимпульсы, не имеющие высокочастотного заполнения и радиоимпульсы, имеющие высокочастотное заполнение, состоящее из нескольких периодов высокочастотного колебания. Внешний вид сигналов изображен на рис.4.174.

Широкополосность сигнала достигается путем внутриимпульсной модуляции фазы или частоты колебаний. Широкополосный сигнал (радиоимпульс) имеет ширину спектра в n раз большую, чем импульс той же длительности без внутриимпульсной модуляции ширина его спектра соответствует импульсу без внутриимпульсной модуляции существенно меньшей длительности .

Обработка широкополосных сигналов реализуется в оптимальных фильтрах, импульсы, на выходе которых определяются амплитудно-частотным спектром сигнала. Широкополосные радиоимпульсы в оптимальном фильтре сжимаются, причем тем сильнее, чем больше произведение .

Похожая информация:

1. Скрытая функция колдовства для индивидов заключается в обеспечении социально признанного канала для выражения культурно запретного"

Вызовите файл AmRect . dat . Зарисуйте сигнал и его спектр. Определите ширину радиоимпульса, его высотуU o , несущую частотуf о, амплитуду спектраC max и ширину его лепестков. Сопоставьте их с параметрами модулирующего видеоимпульса, который можно вы Рис.14. звать из файлаRectVideo.dat.

3.2.7. Последовательность радиоимпульсов

А. Вызовите файлAmRect . dat .

Б. Нажмите и установите ширину окнаWx=250 мксек

В. Клавишей <8>, установите "Периодический" вид сигнала, и нажав <Т> или , введите период Т=100 мксек. Зарисуйте сигнал.

*Если активизировать кнопку вертикального меню <7, F7 –T>, то период сигнала можно изменять, пользуясь горизонтальными стрелками клавиатуры.

Г. Перейдите в окно спектров и клавишей <0> (ноль) перенесите начало отсчета влево. Зарисуйте спектр. Запишите значение интервалаdf между спектральными линиями и число линий в лепестках спектра. Сравните эти данные с,Т и так называемой скважностью сигналаQ = T / .

Д. Запишите величину C max и сравните ее с таковой для одиночного сигнала.

Все результаты объясните.

*3.2.8. Формирование и исследование ам-сигналов

Программа SASWinпозволяет формировать сигналы с различными и достаточно сложными видами модуляции. Вам предлагается, используя приобретенный опыт работы с программой, сформировать АМ-сигнал, параметры и форму огибающей которого установите самостоятельно.

А. В опцииPlot, пользуясь мышкой или курсором, создайте желаемый вид сигнала модуляции. Рекомендуется не увлекаться слишком сложной его формой. Зарисуйте спектр вашего сигнала.

Б. Занесите сигнал в память, нажав кнопку вертикального меню <R AM> и присвоив сигналу какое-нибудь имя или номер.

В. Войдите в опциюInstalи укажите тип сигнал <Радио>. В открывшемся меню видов модуляции выберите Обычный вариант Амплитудной модуляции и нажмите кнопку <Ок>.

Г. На запрос "Закон изменения амплитуды" укажите <1.F(t) из ОЗУ>.

Д. Появится вертикальное меню сигналов, находящихся в памятиRAM.

Выберите ваш сигнал и нажмите кнопку .

Например: Несущая частота, кГц = 100,

Фаза несущей = 0,

Границы частотного окна fminиfmaxдля вывода спектра

Нажать кнопку

Сформированный сигнал отображается в левом окне, а его спектр – в правом.

Ж. Зарисуйте сформированный сигнал и его спектр. Сравните их с формой и спектром сигнала модуляции.

З. Сигнал можно записать в памятьRAMили в файл и далее использовать его по надобности.

И. При желании повторите исследования с другими сигналами модуляции.

3.3. Угловая модуляция

3.3.1. Гармоническая модуляция с малым индексом 

А. Вызовите сигнал (Рис. 15))из файлаFMB 0"5. dat . Зарисуйте его спектр. Сравните спектр с теоретическим (см. рис.10,а). Обратите внимание на его отличие от спектра АМ.

Б. По спектру определите несущую частотуf o , частоту модуляцииF , начальные фазы о и . Измерьте амплитуды составляющих спектра, по ним найдите индекс

Рис. 15. модуляции  . Определите ширину спектра.

3.3.2. Гармоническая ЧМ с индексом  >1

А. Вызовите файлFMB "5. dat , где записан сигнал с индексом=5 (Рис. 16). Зарисуйте сигнал и его спектр.

Б. Определите частоту модуляцииF , число боковых составляющих спектра и его ширину. Найдите девиацию частоты f , пользуясь

Рис. 16. формулой    f / F . Сравните девиацию с измеренной шириной спектра.

В. Измерьте относительные амплитуды С(f)/C max первых трех-четырех составляющих спектра и сравните их с теоретическими значениями, определяемыми функциями Бесселя
. Обратите внимание на фазы спектральных составляющих.

Несущая частота радиоимпульса (частота заполнения):

, ,

Определим ширину спектра Δf:

f max – определена по графику амплитудного спектра одиночного прямоугольного видеоимпульса (рис.5), по 10% уровню от |S(f)| max , т.е. по уровню 0.1|S(f)| max .

К узкополосным сигналам (радиосигналам) относятся сигналы, спектры которых сосредоточены в относительно узкой по сравнению со средней частотой полосе. Узкополосный сигнал описывается выражением:

ω 0 – частота несущего колебания

V(t), Φ(t) – амплитуда и фаза сигнала

В частном случае, когда , а V(t)=s(t) – непериодический видеосигнал, (5) описывает радиоимпульс:

Таким образом, аналитическое выражение для полученного радиоимпульса:

где S(t) – заданный сигнал (см.. п.1)

Временная диаграмма одиночного радиоимпульса представлена на рис.8.

Спектральная плотность радиоимпульса определяется спектральной плотностью его огибающей:

Спектр радиоимпульса U(ω) получается путём переноса спектра его огибающей S(ω) из окрестности нулевой частоты в окрестность несущей частоты ±ω 0 (с коэффициентом 1/2):

S(2π(f–f 0)) и S(2π(f+f 0)) – спектральные плотности видеоимпульса, составляющих заданный сигнал, определённые в п.1.

Амплитудный спектр радиоимпульса:

График при f<0 симметричен графику при в f>0 относительно оси ординат.

График амплитудного спектра одиночного радиоимпульса представлен на рис. 9.

4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов.

Спектральный анализ сигнала в виде периодической последовательности радиоимпульсов основан на его представлении в виде ряда Фурье:

коэффициенты которого связаны с коэффициентами ряда Фурье периодического видеосигнала (3) соотношением:

V n – амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.

Аналитическое выражение для последовательности радиоимпульсов:

U(t) – одиночный радиоимпульс

Временная диаграмма периодической последовательности радиоимпульсов представлена на рис.10.

,

Определим амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов по:

График амплитудного спектра периодической последовательности радиоимпульсов V n представлен на рис.11

5. Корреляционный анализ непериодического сигнала

Автокорреляционная функция определяется следующим интегралом:

, (7)

и характеризует взаимосвязь между значениями сигнала в различные моменты времени.

Для действительного сигнала корреляционная функция является действительной чётной функцией

Максимального значения, равного энергии сигнала корреляционная функция достигает при τ=0:

Непосредственное интегрирование в формуле (7) даёт выражение для правой ветви автокорреляционной функции (рис.)

Замена в полученном выражении τ =| τ | позволяет перейти к аналитическому описанию автокорреляционной функции, как для положительных значений τ>0, так и для отрицательных τ<0.

По свойствам автокорреляционной функции

S(t±t 0), t 0 >0 => R(τ)=R(τ)

Корреляционная функция пачки импульсов

, где S(t) – 1-й импульс в пачке,

при условии, что интервал следования в пачке t 1 больше или равен τ 0 – длительность 1-го импульса в пачке S 0 (t), взаимосвязана с корреляционной функцией R 0 (τ) соотношением

, (8)

Воспользуемся выражением (8):

N=2 – количество импульсов

График АКФ представлен на рис.12

6.Спектральный анализ линейной цепи

рис.13. Заданная схема цепи рис.14. Эквивалентная схема замещения

КЧХ определяется по следующей формуле:

Согласно эквивалентной схеме замещения:

;

По формуле делителя напряжения :

– постоянная RC цепи .

Определим АЧХ:

В отличие от спектра колокольной пачки спектры прямоугольных пачек обладают другой формой лепестка, а именно .

Спектры пачек прямоугольных радиоимпульсов

· Форма арок АЧС определяется формой АЧС импульсов.

· Форма лепестков АЧС определяется формой АЧС пачки.

· Спектры пачек видеоимпульсов расположены на оси частот в окрестности нижних частот, а спектры пачек радиоимпульсов - в окрестности несущей частоты.

· Численное значение спектральной плотности пачек импульсов определяется её энергией, которая, в свою очередь, прямопропорциональна амплетуде импульсов в пачке длительности импульса и количеству импульсов в пачке К (длительности пачки) и обратнопропорциональна периоду следования импульсов

· При количестве импульсов в пачке база сигнала (коэффициент широкополостности) =

1.5.2. Сигналы с внутриимпульсной модуляцией

В теории радиолокации доказано, что для увеличения дальности действия РЛС необходимо увеличивать длительность зондирующих импульсов, а для улучшения разрешающей способности - расширять спектр этих импульсов.

Радиосигналы без внутриимпульсной модуляции (“гладкие”), применяемые в качестве зондирующих, не могут одновременно удовлетворить этим требованиям, т.к. их длительность и ширина спектра обратно пропорциональны друг другу.

Поэтому в настоящее время в радиолокации все большее применение находят зондирующие радиоимпульсы с внутриимпульсной модуляцией.

Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией

Аналитическое выражение такого радиосигнала будет иметь вид:

где - амплитуда радиоимпульса,

Длительность импульса,

Средняя несущая частота,

скорость изменения частоты;

Закон изменения частоты.

Закон изменения частоты.

График радиосигнала с ЛЧМ и закон изменения частоты сигнала внутри импульса (изображен на рисунке 1.63 радиоимпульс с нарастающей во времени частотой) приведены на рисунке 1.63

Амплитудно-частотный спектр такого радиоимпульса имеет примерно прямоугольную форму (рис. 1.64)

Для сравнения ниже показан АЧС одиночного прямоугольного радиоимпульса без внутри-импульсной частотной модуляции. В связи с тем, что длительность радиоимпульса с ЛЧМ велика, его можно условно разбить на совокупность радиоимпульсов без ЛЧМ, частоты которых изменяются по ступенчатому закону, показанному на рисунке 1.65

Спектры каждого из радиоимпульсов без JIЧM будут находиться каждый на своей частоте: .

сигнала. Нетрудно показать, что форма АЧС будет совпадать с формой исходного сигнала.

Фазо-кодо-манипулированные импульсы (ФКМ)

ФКМ радиоимпульсы характеризуются скачкообразным изменением фазы внутри импульса по определенному закону, например (рис. 1.66):

код трехэлементного сигнала

закон изменения фазы

трехэлементный сигнал

или семиэлементный сигнал (рис. 1.67)

Таким образом, можно сделать выводы:

· АЧС сигналов с ЛЧМ является сплошным.

· Огибающая АЧС определяется формой огибающей сигнала.

· Максимальное значение АЧС определяется энергией сигнала, которая в свою очередь, прямопропорциональна амплитуде и длительности сигнала.

· Ширина спектра равна где девиация частоты и не зависит от длительности сигнала.

· База сигнала (коэффициент широкополостности) может быть n >>1. Поэтому ЛЧМ сигналы называют широкополосными.

ФКМ радиоимпульсы длительностью представляют собой совокупность следующих друг за другом без интервалов элементарных радиоимпульсов, длительность каждого из них одинакова и равна . Амплитуды и частоты элементарных импульсов одинаковы, а начальные фазы могут отличаться на (или какое-либо другое значение). Закон (код) чередования начальных фаз определяется назначением сигнала. Для ФКМ радиоимпульсов, используемых в радиолокации разработаны соответствующие коды, например:

1, +1, -1 - трехэлементные коды

- два варианта четырехэлементного кода

1 +1 +1, -1, -1, +1, -2 - семиэлементный код

Спектральную плотность кодированных импульсов определяют, используя свойство аддитивности преобразований Фурье, в виде суммы спектральных плотностей элементарных радиоимпульсов.

Графики АЧС для трехэлементного и семиэлементного импульсов приведены на рисунке 1.68

Как видно из приведенных рисунков, ширина спектра ФКМ радиосигналов определяется длительностью элементарного радиоимпульса

или .

Коэффициент широкополостности , где N -количество элементарных радиоимпульсов.

2. Анализ процессов временными методами. Общие сведения о переходных процессах в электрических цепях и классическом методе их анализа

2.1. Понятие о переходном режиме. Законы коммутации и начальные условия

Процессы в электрических цепях могут быть стационарными и нестационарными (переходными). Переходным, процессом в электрической цепи называют такой процесс, при котором токи и напряжения не являются постоянными или периодическими функциями времени. Переходные процессы могут возникать в цепях, содержащих реактивные элементы при подключении или отключении источников энергии, скачкообразном изменении схемы или параметров входящих элементов (коммутации), а также при прохождении сигналов через цепи. На схемах коммутацию обозначают в виде ключа (рис. 2.1), предполагается, что коммутация происходит мгновенно. Момент коммутации условно принимают за начало отсчета времени. В цепях, не содержащих энергоёмких элементов L и С при коммутациях переходные

процессы отсутствуют. В цепях с энергоёмкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, т.к. энергия запасенная конденсатором или индуктивностью не может изменяться скачком, т.к. это потребовало бы источника энергии бесконечной мощности . В связи с этим, напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность скачком измениться не могут. Обозначая