Производная сложной функции двух вещественных переменных. Теоретический материал. Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример. Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией

независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является

сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция

и х = x(t) и у =y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t,

то производная сложной функции z(t) == f (x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(3)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) - сложная функция одной

независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной

t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) - сложная

функция независимых переменных и и v. Ее частные производные и можно найти,

используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ,

соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v)

равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным

переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z=f (x,y), где x=uv, .

Дифференцирование сложных функций

Пусть для функции n - переменных аргументы являются также функциями переменных :

Справедлива следующая теорема о дифференцировании сложной функции.

Теорема 8. Если функции дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем частные производные определяются по формулам

где частные производные вычисляются в точке , а вычисляются в точке .

Докажем эту теорему для функции двух переменных. Пусть , а .

Пусть и произвольные приращения аргументов и в точке . Им соответствуют приращения функций и в точке . Приращениям и соответствует приращение функции в точке . Так как дифференцируема в точке , то ее приращение может быть записано в виде

где и вычисляются в точке , при и . В силу дифференцируемости функций и в точке , получаем

где вычисляется в точке ; .

Подставим (14) в (13) и перегруппируем слагаемые

Заметим, что при , так как и стремятся к нулю при . Это следует из того, что бесконечно малые при и . Но функции и дифференцируемы, а, следовательно, и непрерывны в точке . Поэтому если и , то . Тогда и при .

Так как частные производные вычисляются в точке , то получаем

Обозначим

а это и означает, что дифференцируема по переменным и , причем

Следствие. Если , причем , , т.е. , то производная по переменной t вычисляется по формуле

Если , то

Последнее выражение называетсяформулой полной производной для функции многих переменных.

Примеры. 1) Найти полную производную функции , где , .

Решение .

2) Найти полную производную функции , если , .

Решение .

Используя правила дифференцирования сложной функции, получим одно важное свойство дифференциала функции многих переменных.

Если независимые переменные функции , то дифференциал по определению равен:

Пусть теперь аргументы есть дифференцируемые функции в некоторой точке функции по переменным , а функция дифференцируема по переменным , . Тогда можно рассматривать как сложную функцию переменных , . Она по предыдущей теореме дифференцируема и имеет место соотношение

где определяется по формулам (12). Подставим (12) в (17) и, собирая коэффициенты при , получим

Поскольку коэффициент при производной равен дифференциалу функции , то для дифференциала сложной функции получили снова формулу (16).

Таким образом, формула первого дифференциала не зависит от того, являются ли ее аргументы функциями, или они независимыми. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Формулу Тейлора (29) также можно записать в виде

Доказательство проведем для функции двух переменных или .

Сначала рассмотрим функцию одной переменной . Пусть раз дифференцируема в окрестности точки . Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в формуле Лагранжа имеет

Так как – независимая переменная, то . По определению дифференциала функции одной переменной

Если обозначить , то (31) можно записать в виде

Рассмотрим некоторую - окрестность точки и в ней произвольную точку и соединим точки и отрезком прямой линии . Ясно, что координаты и точек этой прямой есть линейные функции параметра .

На отрезке прямой функция является сложной функцией параметра , т. к. . При этом она раз дифференцируема по на и для справедлива формула Тейлора (32), где , т.е.

Дифференциалы в формуле (32) представляют собой дифференциалы сложной функции , где , , , т.е.

Подставляя (33) в (32) и учитывая, что , получаем

Последнее слагаемое в (34) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа

Без доказательства отметим, что если в условиях теоремы функция дифференцируема в точке m раз, то остаточный член можно записать в форме Пеано :

Глава 7. Функции нескольких переменных

7.1. Пространство R n . Множества в линейном пространстве.

Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы из n действительных чисел , обозначается и называется n-мерным арифметическим пространством ,а числоn называется размерностью пространства. Элемент множества называется точкой пространства, или вектором, а числа координатами этой точки. Точка =(0, 0, …0) называется нулевой или началом координат.

Пространство – есть множество действительных чисел, т.е. – числовая прямая; и – есть двумерная координатная геометрическая плоскость и трехмерное координатное геометрическое пространство соответственно. Векторы , , …, называются единичным базисом.

Для двух элементов , множества определяются понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число:

Очевидно, что и в силу этого определения и свойств действительных чисел справедливы равенства:

Согласно этим свойствам, пространство называется также линейным (векторным) пространством.

В линейном пространстве определяется скалярное произведение элементов и как действительное число, вычисляемое по следующему правилу:

Число называется длиной вектора или нормой . Векторы и называются ортогональными , если . Величина

, )= │ - │ =

называется расстоянием между элементами и .

Если и ненулевые векторы, то углом между ними называется угол , такой, что

Легко убедиться, что для любых элементов и действительного числа , выполняются скалярного произведения:

Линейное пространство с определенным в нем по формуле (1) скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть точка и . Множество всех точек для которых выполняются неравенства

называется n -мерным кубом с ребром и с центром в точке . Например, двумерный куб есть квадрат со стороной с центром в точке .

Множество точек , удовлетворяющих неравенству , называются n-мерным шаром радиуса с центром в точке , который также называют

- окрестностью точки в и обозначают ,

Таким образом, одномерный шар есть интервал длиной . Двумерный шар

есть круг, для которого выполняется неравенство

Определение 1 . Множество называется ограниченным , если существует
n - мерный шар, содержащий это множество.

Определение 2 . Функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая значения, принадлежащие , называется последовательностью в пространстве и обозначается , где .

Определение 3 . Точка называется пределом последовательности , если для произвольного положительного числа существует натуральное число , такое что для любого числа выполняется неравенство .

Символически это определение записывается следующим образом:

Обозначение:

Из определения 3 следует, что , при . Такая последовательность называется сходящейся к .

Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся .

Теорема 1. Для того чтобы последовательность сходилась к точке необходимо и достаточно, чтобы для любого номера выполнялось , т.е. чтобы последовательность i - х координат точек сходилась к i - й координате точки .

□ Доказательствоследует из неравенств

Последовательность называется ограниченной , если множество её значений ограничено, т.е.

Как и числовая последовательность, сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел.

Определение 4 . Последовательность называется фундаментальной (последовательностью Коши ), если для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для произвольных натуральных чисел и , больших , выполняется , т.е.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

□ Необходимость. Пусть сходится к точке . Тогда получаем последовательность , сходящуюся к . . . , …, Х называют областью в . Если Х – область, то ее замыкание называют замкнутой областью .

Множества X и Y называют отделимыми , если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.

Множество Х называют связанным , если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств.

Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству.

Пример . Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что

– связанное, линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, является областью.

– связанное, линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое множество, не является областью.

– связанное, линейно-связанное, открытое множество, является областью.

1°

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:

Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Пример 44.5. Найти если z=ln(x 2 +у 2), х=u v, у=u/v.

Решение: Найдем dz/du (dz/dv - самостоятельно), используя формулу (44.10):

Упростим правую часть полученного равенства:

40. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆ х z. Итак,

Δ х z=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ у z=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М 0 (х 0 ;у 0) обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е х2-у +1 . Решение:

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у 0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у о. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ"x(х о;у о) = tg а, где а - угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у 0) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f"y (х 0 ;у 0)=tgβ.

Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке P(x,y), если ее полное приращение ΔZ можно представить в виде Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), где Δx и Δy – любые приращения соответствующих аргументов x и y в некоторой окрестности точки Р, А и В – постоянные (не зависят от Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем расстояние:

Если функция дифференцируема в точке, то ее полное приращение в этой точке состоит из двух частей:

1. Главной части приращения функции A∙Δx+B∙Δy – линейное относительно Δx,Δy

2. И нелинейное ω(Δx,Δy) – бесконечно малое более высокого порядка, чем главная часть приращения.

Главная часть приращения функции – линейная относительно Δx,Δy называется полным дифференциалом этой функции и обозначается: Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx и Δy=dy или полный дифференциал функции двух переменных:

Дифференциал отображения. Дифференциал и производная числовой функции одной переменной. Таблица производных. Дифференцируемость. ) – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при →0, т.е.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема . Для того чтобы функция f (x ) была дифференцируемой в данной точке х , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таблица производных.