Проверка простых гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в MS EXCEL. П.2. Критерий согласия Пирсона (c2) 2 критерия

ОПР. Эмпирическими частотами называются фактически наблюдаемые частоты.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА

Как отмечалось раньше, предположение о виде распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок. Однако, как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служит критерий согласия, т.е.

ОПР. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Для каждого критерия, т.е. соответствующего распределения, обычно составлены таблицы, по которым находят k кр (см. приложения). После того как критическая точка найдена, по данным выборки вычисляют наблюдаемое значение критерия К набл. Если К набл > k кр, то нулевую гипотезу отвергают, если наоборот, то принимают.

Опишем применение критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона отвечает на вопрос о том, случайно ил расхождение эмпирических и теоретических частот?

Критерий Пирсона, как и любой критерий не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает, на принятом уровне значимости, ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение. При уровне значимости a требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину c 2 = , где - эмпирические частоты; - теоретические частоты.

Данная СВ имеет c 2 – распределение с k - степенями свободы. Число степеней свободы находят по равенству k=m –r -1, m – число частичных интервалов выборки; r – число параметров распределения. Для нормального распределения r=2 (а и s), тогда k=m –3.

Для того чтобы при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально, надо:

1.Вычислить выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение.

2.Вычислить теоретические частоты ,

где п – объем выборки; h – шаг(разность между двумя соседними вариантами); ; значения функции смотрят по приложению.

3. Сравнивают эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) находят наблюдаемое значение критерия ;

б) по таблице критических точек распределения c 2 , по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k находят критическую точку .

Если < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если > - нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Малочисленные частоты ( <5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы следует в качестве m принять число групп выборки, оставшихся после объединения частот.

Назначения критерия

Критерий χ 2 применяется в двух целях;

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоре­тическим - равномерным, нормальным или каким-то иным;

2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределе­ний одного и того же признака 12 .

Описание критерия

Критерий χ 2 отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопостав­лять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований (см. п. 1.2). В самом простом случае альтерна­тивного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил бра­ка", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем приме­нить критерий χ 2 .

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки А в точку Б (см. Рис. 4.3).

Допустим, в результате 70 наблюдений установлено, что Э\ чело­век выбрали правую дорожку, и лишь 19 - левую. С помощью критерия χ 2 мы можем определить, отличается ли данное распределение выборов от равномерного распределения, при котором обе дорожки выбирались бы с одинаковой частотой. Это вариант сопоставления полученного эм­ пирического распределения с теоретическим. Такая задача может сто­ять, например, в прикладных психологических исследованиях, связанных с проектированием в архитектуре, системах сообщения и др.

Но представим себе, что наблюдатель решает совершенно другую задачу: он занят проблемами билатерального регулирования. Совпадение полученного распределения с равномерным его интересует гораздо в меньшей степени, чем совпадение или несовпадение его данных с дан­ными других исследователей. Ему известно, что люди с преобладанием правой ноги склонны делать круг против часовой стрелки, а люди с преобладанием левой ноги - круг по ходу часовой стрелки, и что в ис­следовании коллег 13 преобладание левой ноги было обнаружено у 26 человек из 100 обследованных.

С помощью метода χ 2 он может сопоставить два эмпирических распределения: соотношение 51:19 в собственной выборке и соотноше­ние 74:26 в выборке других исследователей.

Это вариант сопоставления двух эмпирических распределений по простейшему альтернативному признаку (конечно, простейшему с математической точки зрения, а отнюдь не психологической).

Аналогичным образом мы можем сопоставлять распределения выборов из трех и более альтернатив. Например, если в выборке из 50 человек 30 выбрали ответ (а), 15 человек - ответ (б) и 5 человек -ответ (в), то мы можем с помощью метода χ 2 проверить, отличается ли это распределение от равномерного распределения или от распределения ответов в другой выборке, где ответ (а) выбрали 10 человек, ответ (б) -25 человек, ответ (в) - 15 человек.

В тех случаях, если признак измеряется количественно, скажем, в баллах, секундах или миллиметрах, нам, быть может, придется объединить все обилие значений признака в несколько разрядов. Например, если время решения задачи варьирует от 10 до 300 секунд, то мы можем ввести 10 или 5 разрядов, в зависимости от объема выборки. На­пример, это будут разряды: 0-50 секунд; 51-100 секунд; 101-150 секунд, и т. д. Затем мы с помощью метода χ 2 будет сопоставлять частоты встречаемости разных разрядов признака, но в остальном принципиаль­ная схема не меняется.

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теорети­ческими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы опреде­ляем степень расхождения между эмпирическими частотами и теорети­ческими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических час­тот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распре­делениями, тем больше эмпирическое значение у}.

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач,

которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н 0: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Н 1: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Н 0: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н 1: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического рас­пределения 2.

Третий вариант:

Н 0: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... не различаются между собой.

Н 1: Эмпирические распределения 1, 2, 3, ... различаются между собой.

Критерий χ 2 позволяет проверить все три варианта гипотез.

Графическое представление критерия

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б. На Рис. 4.4 частота выбора левой до­рожки представлена левым столбиком, а частота выбора правой дорож­ки - правым столбиком гистограммы 14 . На оси ординат отмеряются от­носительные частоты выбора, то есть частоты выбора той или иной до­рожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой дорожки относительная частота, которая называется также частостью, составляет 19/70, то есть 0,27, а для правой дорожки 51/70, то есть 0,73.

Если бы обе дорожки выбирались равновероятно, то половина испытуемых выбрала бы правую дорожку, а половина - левую. Вероят­ность выбора каждой из дорожек составляла бы 0,50.

Мы видим, что отклонения эмпирических частот от этой величи­ны довольно значительны. Возможно, различия между эмпирическим и теоретическим распределением окажутся достоверными.

На Рис. 4.5 фактически представлены две гистограммы, но столбики сгруппированы так, что слева сопоставляются частоты предпочте­ния левой дорожки в выборе нашего наблюдателя (1) и в выборке Т.А. Доброхотовой и Н.Н. Брагиной (2), а справа - частоты предпочтения правой дорожки в этих же двух выборках.

Мы видим, что расхождения между выборками очень незначительны. Критерий χ2, скорей всего, подтвердит совпадение двух распределений.

Ограничения критерия

1.Объем выборки должен быть достаточно большим: п ≥ 30. При п <30 критерий χ2 дает весьма приближенные значения. Точность крите­рия повышается при больших п .

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f > 5. Это означает, что если число разрядов задано зара­нее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ2, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Ес­ли, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k ) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n min ) определяется по формуле: n min =k *5.

3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопостав­ляемых распределениях.

4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставле­нии распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ 2 уменьшается (см. Пример с по­ правкой на непрерывность).

5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Правомерен вопрос о том, что считать числом наблюдений - количество выбо­ров, реакций, действий или количество испытуемых, которые совершают выбор, проявляют реакции или производят действия. Если испытуемый проявляет не­сколько реакций, и все они регистрируются, то количество испытуемых не будет совпадать с количеством реакций. Мы можем просуммировать реакции каждого испытуемого, как, например, это делается в методике Хекхаузена для исследования мотивации достижения или в Тесте фрустрационной толерантности С. Розенцвейга, и сравнивать распределения индивидуальных сумм реакций в нескольких выборках.

В этом случае числом наблюдений будет количество испытуемых. Если же мы подсчитываем частоту реакций определенного типа в целом по выборке, то получа­ем распределение реакций разного типа, и в этом случае количеством наблюдений будет общее количество зарегистрированных реакций, а не количество испытуемых.

С математической точки зрения правило независимости разрядов соблюдается в обоих случаях: одно наблюдение относится к одному и только одному разряду распределения.

Можно представить себе и такой вариант исследования, где мы изучаем рас­пределение выборов одного испытуемого. В когнитивно-бихевиоральной терапии, например, клиенту предлагается всякий раз фиксировать точной время появления нежелательной реакции, например, приступов страха, депрессии, вспышек гнева, самоуничижающих мыслей и т. п. В дальнейшем психотерапевт анализирует полу­ченные данные, выявляя часы, в которые неблагоприятные симптомы проявляются чаще, и помогает клиенту строить индивидуальную программу предупреждения неблагоприятных реакций.

Можно ли с помощью критерия χ2 доказать, что некоторые часы являются в этом индивидуальном распределении более часто встречающимися, а другие - ме­нее часто встречающимися? Все наблюдения - зависимы, так как они относятся к одному и тому же испытуемому; в то же время все разряды - неперекрещивающиеся, так как один и тот же приступ относится к одному и только одному разря­ду (в данном случае - часу дня). По-видимому, применение метода χ2 будет в данном случае некоторым упрощением. Приступы страха, гнева или депрессии могут наступать неоднократно в течение дня, и может оказаться так, что, скажем, ранний утренний, 6-часовой, и поздний вечерний, 12-часовой, приступы обычно появляются вместе, в один и тот же день: в то же время дневной 3-часовой при­ступ появляется не ранее как через сутки после предыдущего приступа и не менее чем за двое суток до следующего и т. п. По-видимому, речь здесь может идти о сложной математической модели или вообще о чем-то таком, чего нельзя "поверить алгеброй". И тем не менее в практических целях может оказаться полезным ис­пользовать критерий для того, чтобы выявить систематическую неравномерность наступления каких-либо значимых событий, выбора, предпочтений и т. п. у одного и того же человека.

Итак, одно и то же наблюдение должно относиться только к одному разряду. Но считать ли наблюдением каждого испытуемого или каждую исследуемую реак­цию испытуемого - вопрос, решение которого зависит от целей исследования (см.. напр., Ганзен В.А., Балин В.Д., 1991, с.10).

Главное же "ограничение" критерия χ 2 - то, что он кажется большинству исследователей пугающе сложным.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия χ 2 . Чтобы оживить изложение, рассмотрим шутливый литературный пример.

Рассмотрим применение в MS EXCEL критерия хи-квадрат Пирсона для проверки простых гипотез.

После получения экспериментальных данных (т.е. когда имеется некая выборка ) обычно производится выбор закона распределения, наиболее хорошо описывающего случайную величину, представленную данной выборкой . Проверка того, насколько хорошо экспериментальные данные описываются выбранным теоретическим законом распределения, осуществляется с использованием критериев согласия . Нулевой гипотезой , обычно выступает гипотеза о равенстве распределения случайной величины некоторому теоретическому закону.

Сначала рассмотрим применение критерия согласия Пирсона Х 2 (хи-квадрат) в отношении простых гипотез (параметры теоретического распределения считаются известными). Затем - , когда задается только форма распределения, а параметры этого распределения и значение статистики Х 2 оцениваются/рассчитываются на основании одной и той же выборки .

Примечание : В англоязычной литературе процедура применения критерия согласия Пирсона Х 2 имеет название The chi-square goodness of fit test .

Напомним процедуру проверки гипотез:

• на основе выборки вычисляется значение статистики , которая соответствует типу проверяемой гипотезы. Например, для используется t -статистика (если не известно);
• при условии истинности нулевой гипотезы , распределение этой статистики известно и может быть использовано для вычисления вероятностей (например, для t -статистики это );
• вычисленное на основе выборки значение статистики сравнивается с критическим для заданного значением ();
• нулевую гипотезу отвергают, если значение статистики больше критического (или если вероятность получить это значение статистики () меньше уровня значимости , что является эквивалентным подходом).

Проведем проверку гипотез для различных распределений.

Дискретный случай

Предположим, что два человека играют в кости. У каждого игрока свой набор костей. Игроки по очереди кидают сразу по 3 кубика. Каждый раунд выигрывает тот, кто выкинет за раз больше шестерок. Результаты записываются. У одного из игроков после 100 раундов возникло подозрение, что кости его соперника – несимметричные, т.к. тот часто выигрывает (часто выбрасывает шестерки). Он решил проанализировать насколько вероятно такое количество исходов противника.

Примечание : Т.к. кубиков 3, то за раз можно выкинуть 0; 1; 2 или 3 шестерки, т.е. случайная величина может принимать 4 значения.

Из теории вероятности нам известно, что если кубики симметричные, то вероятность выпадения шестерок подчиняется . Поэтому, после 100 раундов частоты выпадения шестерок могут быть вычислены с помощью формулы
=БИНОМ.РАСП(A7;3;1/6;ЛОЖЬ)*100

В формуле предполагается, что в ячейке А7 содержится соответствующее количество выпавших шестерок в одном раунде.

Примечание : Расчеты приведены в файле примера на листе Дискретное .

Для сравнения наблюденных (Observed) и теоретических частот (Expected) удобно пользоваться .

При значительном отклонении наблюденных частот от теоретического распределения, нулевая гипотеза о распределении случайной величины по теоретическому закону, должна быть отклонена. Т.е., если игральные кости соперника несимметричны, то наблюденные частоты будут «существенно отличаться» от биномиального распределения .

В нашем случае на первый взгляд частоты достаточно близки и без вычислений сложно сделать однозначный вывод. Применим критерий согласия Пирсона Х 2 , чтобы вместо субъективного высказывания «существенно отличаться», которое можно сделать на основании сравнения гистограмм , использовать математически корректное утверждение.

Используем тот факт, что в силу закона больших чисел наблюденная частота (Observed) с ростом объема выборки n стремится к вероятности, соответствующей теоретическому закону (в нашем случае, биномиальному закону ). В нашем случае объем выборки n равен 100.

Введем тестовую статистику , которую обозначим Х 2:

где O l – это наблюденная частота событий, что случайная величина приняла определенные допустимые значения, E l – это соответствующая теоретическая частота (Expected). L – это количество значений, которые может принимать случайная величина (в нашем случае равна 4).

Как видно из формулы, эта статистика является мерой близости наблюденных частот к теоретическим, т.е. с помощью нее можно оценить «расстояния» между этими частотами. Если сумма этих «расстояний» «слишком велика», то эти частоты «существенно отличаются». Понятно, что если наш кубик симметричный (т.е. применим биномиальный закон ), то вероятность того, что сумма «расстояний» будет «слишком велика» будет малой. Чтобы вычислить эту вероятность нам необходимо знать распределение статистики Х 2 (статистика Х 2 вычислена на основе случайной выборки , поэтому она является случайной величиной и, следовательно, имеет свое распределение вероятностей ).

Из многомерного аналога интегральной теоремы Муавра-Лапласа известно, что при n->∞ наша случайная величина Х 2 асимптотически с L - 1 степенями свободы.

Итак, если вычисленное значение статистики Х 2 (сумма «расстояний» между частотами) будет больше чем некое предельное значение, то у нас будет основание отвергнуть нулевую гипотезу . Как и при проверке параметрических гипотез , предельное значение задается через уровень значимости . Если вероятность того, что статистика Х 2 примет значение меньше или равное вычисленному (p -значение ), будет меньше уровня значимости , то нулевую гипотезу можно отвергнуть.

В нашем случае, значение статистики равно 22,757. Вероятность, что статистика Х 2 примет значение больше или равное 22,757 очень мала (0,000045) и может быть вычислена по формулам
=ХИ2.РАСП.ПХ(22,757;4-1) или
=ХИ2.ТЕСТ(Observed; Expected)

Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() специально создана для проверки связи между двумя категориальными переменными (см. ).

Вероятность 0,000045 существенно меньше обычного уровня значимости 0,05. Так что, у игрока есть все основания подозревать своего противника в нечестности (нулевая гипотеза о его честности отвергается).

При применении критерия Х 2 необходимо следить за тем, чтобы объем выборки n был достаточно большой, иначе будет неправомочна аппроксимация распределения статистики Х 2 . Обычно считается, что для этого достаточно, чтобы наблюденные частоты (Observed) были больше 5. Если это не так, то малые частоты объединяются в одно или присоединяются к другим частотам, причем объединенному значению приписывается суммарная вероятность и, соответственно, уменьшается число степеней свободы Х 2 -распределения .

Для того чтобы улучшить качество применения критерия Х 2 (), необходимо уменьшать интервалы разбиения (увеличивать L и, соответственно, увеличивать количество степеней свободы ), однако этому препятствует ограничение на количество попавших в каждый интервал наблюдений (д.б.>5).

Непрерывный случай

Критерий согласия Пирсона Х 2 можно применить так же в случае .

Рассмотрим некую выборку , состоящую из 200 значений. Нулевая гипотеза утверждает, что выборка сделана из .

Примечание : Cлучайные величины в файле примера на листе Непрерывное сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) . Поэтому, новые значения выборки генерируются при каждом пересчете листа.

Соответствует ли имеющийся набор данных можно визуально оценить .

Как видно из диаграммы, значения выборки довольно хорошо укладываются вдоль прямой. Однако, как и в для проверки гипотезы применим Критерий согласия Пирсона Х 2 .

Для этого разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы с шагом 0,5 . Вычислим наблюденные и теоретические частоты. Наблюденные частоты вычислим с помощью функции ЧАСТОТА() , а теоретические – с помощью функции НОРМ.СТ.РАСП() .

Примечание : Как и для дискретного случая , необходимо следить, чтобы выборка была достаточно большая, а в интервал попадало >5 значений.

Вычислим статистику Х 2 и сравним ее с критическим значением для заданного уровня значимости (0,05). Т.к. мы разбили диапазон изменения случайной величины на 10 интервалов, то число степеней свободы равно 9. Критическое значение можно вычислить по формуле
=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;9) или
=ХИ2.ОБР(1-0,05;9)

На диаграмме выше видно, что значение статистики равно 8,19, что существенно выше критического значения – нулевая гипотеза не отвергается.

Ниже приведена , на которой выборка приняла маловероятное значение и на основании критерия согласия Пирсона Х 2 нулевая гипотеза была отклонена (не смотря на то, что случайные значения были сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) , обеспечивающей выборку из стандартного нормального распределения ).

Нулевая гипотеза отклонена, хотя визуально данные располагаются довольно близко к прямой линии.

В качестве примера также возьмем выборку из U(-3; 3). В этом случае, даже из графика очевидно, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

Критерий согласия Пирсона Х 2 также подтверждает, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

Рассмотренный выше метод хорошо работает, если качественный признак, который нас интересует, принимает два значения (тромбоз есть - нет, марсианин зеленый - розовый). Более того, поскольку метод является прямым аналогом критерия Стьюдента, число сравниваемых выборок также должно быть равно двум.

Понятно, что и число значений признака и число выборок может оказаться большим двух. Для анализа таких случаев нужен иной метод аналогичный дисперсионному анализу. С виду этот метод, который мы сейчас изложим, сильно отличается от критерия z, но на самом деле между ними много общего.

Чтоб не ходить далеко за примером начнем с только что разобранной задачи о тромбозе шунтов. Теперь мы будем рассматривать не долю, а число больных с тромбозом. Занесем результаты испытания в таблицу (табл. 5.1). Для каждой из групп укажем число больных с тромбозом и без тромбоза. У нас два признака: препарат (аспирин-плацебо) и тромбоз (есть-нет); в таблице указаны все их возможные сочетания, поэтому такая таблица называется таблицей сопряженности. В данном случае размер таблицы 2x2.

Посмотрим на клетки расположенные, на диагонали идущей из верхнего левого в нижний правый угол. Числа в них заметно больше чисел в других клетках таблицы. Это наводит на мысль о связи между приемом аспирина и риском тромбоза.

Теперь взглянем на табл. 5.2. Это таблица ожидаемых чисел, которые мы получили бы, если бы аспирин не влиял на риск тромбоза. Как рассчитать ожидаемые числа, мы разберем чуть ниже, а пока обратим внимание на внешние особенности таблицы. Кроме немного пугающих дробных чисел в клетках можно заметить еще одно отличие от табл. 5.1 - это суммарные данные по группам в правом столбце и по тромбозам - в нижней строке. В правом нижнем углу - общее число больных в испытании. Об-

ратите внимание, что, хотя числа в клетках на рис. 5.1 и 5.2 разные, суммы по строкам и по столбцам одинаковы.

Как же рассчитать ожидаемые числа? Плацебо получали 25 человек, аспирин - 19. Тромбоз шунта произошел у 24 из 44 обследованных, то есть в 54,55% случаев не произошел - у 20 из 44, то есть в 45,45% случаев. Примем нулевую гипотезу о том, что аспирин не влияет на риск тромбоза. Тогда тромбоз должен с равной частотой 54,55% наблюдаться в группах плацебо и аспирина. Рассчитав, сколько составляет 54,55% от 25 и 19, получим соответственно 13,64 и 10,36. Это и есть ожидаемые числа больных с тромбозом в группах плацебо и аспирина. Таким же образом можно получить ожидаемые числа больных без тромбоза в группе плацебо - 45,45% от 25, то есть 11,36 в группе аспирина - 45,45% от 19, то есть 8,64. Обратите внимание, что ожидаемые числа рассчитываются до второго знака после запятой - такая точность понадобится при дальнейших вычислениях.

Сравним табл. 5.1 и 5.2. Числа в клетках довольно сильно различаются. Следовательно, реальная картина отличается от той, которая наблюдалась бы, если бы аспирин не оказывал влияния на риск тромбоза. Теперь осталось построить критерий, который бы характеризовал эти различия одним числом, и затем найти его критическое значение, - то есть поступить, так как в случае критериев F, t или z.

Однако сначала вспомним еще один уже знакомый нам при-

мер - работу Конахана по сравнению галотана и морфина, а именно ту часть, где сравнивалась операционная летальность. Соответствующие данные приведены в табл. 5.3. Форма таблицы такая же, что и табл. 5.1. В свою очередь табл. 5.4 подобно табл. 5.2 содержит ожидаемые числа, то есть числа, вычисленные исходя из предположения, что летальность не зависит от анестетика. Из всех 128 оперированных в живых осталось 110, то есть 85,94%. Если бы выбор анестезии не оказывал влияния на летальность то в обеих группах доля выживших была бы такой же и число выживших составило бы в группе галотана - 85,94% от 61, то есть 52,42 в группе морфина - 85,94% от 67, то есть 57,58. Таким же образом можно получить и ожидаемые числа умерших. Сравним таблицы 5.3 и 5.4. В отличие от предыдущего примера, различия между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями очень малы. Как мы выяснили раньше, различий в летальности нет. Похоже мы на правильном пути.

Критерии х2 для таблицы 2x2

Критерий х2 (читается «хи-квадрат») не требует никаких предположений относительно параметров совокупности, из которой извлечены выборки, - это первый из непараметрических критериев, с которым мы знакомимся. Займемся его построением. Во-первых, как и всегда, критерий должен давать одно число,

которое служило бы мерой отличия наблюдаемых данных от ожидаемых, то есть в данном случае различия между таблицей наблюдаемых и ожидаемых чисел. Во-вторых критерий должен учитывать, что различие, скажем, в одного больного имеет большее значение при малом ожидаемом числе, чем при большом.

Определим критерий х2 следующим образом:

где О - наблюдаемое число в клетке таблицы сопряженности, Е - ожидаемое число в той же клетке. Суммирование проводится по всем клеткам таблицы. Как видно из формулы, чем больше разница наблюдаемого и ожидаемого числа, тем больший вклад вносит клетка в величину %2. При этом клетки с малым ожидаемым числом вносят больший вклад. Таким образом, критерий удовлетворяет обоим требованиям - во-первых, измеряет различия и, во-вторых, учитывает их величину относительно ожидаемых чисел.

Применим критерии х2 к данным по тромбозам шунта. В табл. 5.1 приведены наблюдаемые числа, а в табл. 5.2 - ожидаемые.

ло и значение z, полученное по тем же данным. Можно показать, что для таблиц сопряженности размером 2x2 выполняется равенство X2 = z2.

Критическое значение %2 можно найти хорошо знакомым нам способом. На рис. 5.7 показано распределение возможных значений X2 для таблиц сопряженности размером 2x2 для случая, когда между изучаемыми признаками нет никакой связи. Величина X2 превышает 3,84 только в 5% случаев. Таким образом, 3,84 - критическое значение для 5% уровня значимости. В примере с тромбозом шунта мы получили значение 7,10, поэтому мы отклоняем гипотезу об отсутствии связи между приемом аспирина и образованием тромбов. Напротив, данные из табл. 5.3 хорошо согласуются с гипотезой об одинаковом влиянии галотана и морфина на послеоперационный уровень смертности.

Разумеется, как и все критерии значимости, х2 даёт вероятностную оценку истинности той или иной гипотезы. На самом деле аспирин может и не оказывать влияния на риск тромбоза. На самом деле галотан и морфин могут по-разному влиять на операционную летальность. Но, как показал критерий, и то и другое маловероятно.

Применение критерия х2 правомерно, если ожидаемое число в любой из клеток больше или равно 5. Это условие аналогично условию применимости критерия z.

Критическое значение %2 зависит от размеров таблицы сопряженности, то есть от числа сравниваемых методов лечения (строк таблицы) и числа возможных исходов (столбцов таблицы). Размер таблицы выражается числом степеней свободы v:

V = (r - 1)(с - 1),

где r - число строк, а с - число столбцов. Для таблиц размером 2x2 имеем v = (2 - l)(2 - l) = l. Критические значения %2 для разных v приведены в табл. 5.7.

Приведенная ранее формула для х2 в случае таблицы 2x2 (то есть при 1 степени свободы) дает несколько завышенные значения (сходная ситуация была с критерием z). Это вызвано тем, что теоретическое распределение х2 непрерывно, тогда как набор вычисленных значений х2 дискретен. На практике это приведет к тому, что нулевая гипотеза будет отвергаться слишком часто. Чтобы компенсировать этот эффект, в формулу вводят поправку Йеитса:(1 O - E - -

Заметим, поправка Йеитса применяется только при v = 1, то есть для таблиц 2x2.

Применим поправку Йеитса к изучению связи между приемом аспирина и тромбозами шунта (табл. 5.1 и 5.2):

Критерий х2 для произвольной таблицы сопряженности

Теперь рассмотрим случай, когда таблица сопряженности имеет число строк или столбцов, большее двух. Обратите внимание, что критерий z в таких случаях неприменим.

В гл. 3 мы показали, что занятия бегом уменьшают число менструаций*. Побуждают ли эти изменения обращаться к врачу? В табл. 5.5 приведены результаты опроса участниц исследования. Подтверждают ли эти данные гипотезу о том, что занятия бегом не влияют на вероятность обращения к врачу по поводу нерегулярности менструации?

Из 165 обследованных женщин 69 (то есть 42%) обратились к врачу, остальные 96 (то есть 58%) к врачу не обращались. Если

* При этом мы для простоты вычислений размеры всех трех групп - контрольной, физкультурниц и спортсменок - полагали одинаковыми. Теперь мы воспользуемся настоящими данными.

Для ответа на этот вопрос вычислим %2:

(14 - 22,58)2 (40 - 31,42)2 (9 - 9,62)2

22,58 31,42 9,62

(14 - 13,38)2 (46 - 36,80)2 (42 - 51,20)2

13,38 36,80 51,20

Число строк таблицы сопряженности равно трем, столбцов - двум, поэтому число степеней свободы v = (3 - 1)(2 - 1) = 2. Если гипотеза об отсутствии межгрупповых различий верна, то, как видно из табл. 5.7 значение %2 превзойдет 9,21 не более чем в 1% случаев. Полученное значение больше. Тем самым, при уровне значимости 0,01 можно отклонить гипотезу об отсутствии связи между бегом и обращениями к врачу по поводу менструации. Однако, выяснив, что связь существует мы, тем не менее, не сможем указать какая (какие) именно группы отличаются от остальных.

Итак, мы познакомились с критерием %2. Вот порядок его применения.

Постройте по имеющимся данным таблицу сопряженности.

Подсчитайте число объектов в каждой строке и в каждом столбце и найдите, какую долю от общего числа объектов составляют эти величины.

Зная эти доли, подсчитайте с точностью до двух знаков после запятой ожидаемые числа - количество объектов, которое
попало бы в каждую клетку таблицы, если бы связь между строками и столбцами отсутствовала

Найдите величину, характеризующую различия наблюдаемых и ожидаемых значений. Если таблица сопряженности имеет размер 2x2, примените поправку Йеитса

Вычислите число степеней свободы, выберите уровень значимости и по табл. 5.7, определите критическое значение %2. Сравните его с полученным для вашей таблицы.

Как вы помните, для таблиц сопряженности размером 2x2 критерий х2 применим только в случае, когда все ожидаемые числа больше 5. Как обстоит дело с таблицами большего размера? В этом случае критерии %2 применим, если все ожидаемые числа не меньше 1 и доля клеток с ожидаемыми числами меньше 5 не превышает 20%. При невыполнении этих условии критерии х2 может дать ложные результаты. В таком случае можно собрать дополнительные данные, однако это не всегда осуществимо. Есть и более простой путь - объединить несколько строк или столбцов. Ниже мы покажем, как это сделать.

Преобразование таблиц сопряженности

В предыдущем разделе мы установили существование связи между занятием бегом и обращениями к врачу по поводу менструаций или, что, то же самое, существование различий между группами по частоте обращения к врачу. Однако мы не могли определить, какие именно группы отличаются друг от друга, а какие нет. С похожей ситуацией мы сталкивались в дисперсионном анализе. При сравнении нескольких групп дисперсионный анализ позволяет обнаружить сам факт существования различий, но не указывает выделяющиеся группы. Последнее позволяют сделать процедуры множественного сравнения, о которых мы говорили в гл. 4. Нечто похожее можно проделать и с таблицами сопряженности.

Глядя на табл. 5.5, можно предположить, что физкультурницы и спортсменки обращались к врачу чаще, чем женщины из контрольной группы. Различие между физкультурницами и спортсменками кажется незначительным.

Проверим гипотезу о том, что физкультурницы и спортсмен-

ки обращаются к врачу одинаково часто. Для этого выделим из исходной таблицы подтаблицу, содержащую данные по двум этим группам. В табл. 5.8 приведены наблюдаемые и ожидаемые числа; они довольно близки.

Лекция 6. Анализ двух выборок

6.1 Параметрические критерии. 1

6.1.2 Критерий Стьюдента (t -критерий) 2

6.1.3 F - критерий Фишера. 6

6.2 Непараметрические критерии. 7

6.2.1 Критерий знаков (G -критерий) 7

Следующей задачей статистического анализа, решаемой после определения основных (выборочных) характеристик и анализа одной выборки, является совместный анализ нескольких выборок. Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.

Если вид распределения или функция распределения выборки нам заданы, то в этом случае задача оценки различий двух групп независимых наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев статистики: либо кри­терия Стьюдента (t ), если сравнение выборок ведется по сред­ним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (F ), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

Использование параметрических критериев статистики без предварительной про­верки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.

Для преодоления указанных трудностей в практике педагоги­ческих исследований следует использовать непараметрические критерии статистики , такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена, выбор которых, хотя и не требует большого числа членов выборки и знаний, вида распределения, но все же зависит от целого ряда условий.

Непараметрические критерии статистики - свободны от допущения о законе распределения выборок и базируются на предположении о независимости наблюдений.

6.1 Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основыва­ются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

6.1.1 Методы проверки выборки на нормальность

Чтобы определить,имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от другазначительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривыесположительнымэксцессомзначительновертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) послеопределения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными даннымиряда:

а) - к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

б) - к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

в) - к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

г) - к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

6.1.2 Критерий Стьюдента ( t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух неза­висимых , несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий ). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой матери­ал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий . Выборки при этом называют зависимыми , связанными .

а) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

где , - средние арифметические в эксперименталь­ной и контрольной группах,

Стан­дартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

,(2)

где n 1 и n 2 соответственно величины первой и второй выборки.

Если n 1 =n 2 , то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

(3)

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

k = n 1 + n 2 – 2.(4)

При численном равенстве выборок k = 2 n - 2.

Далее необходимо срав­нить полученное значение t эмп с теоретическим значением t-рас­пределения Стьюдента (см. приложение к учеб­никам статистики). Если t эмп

Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример 1 . В двух группах учащихся - экспериментальной и контрольной - получены следующие результаты по учеб­ному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1).

Таблица 1. Результаты эксперимента

Общее количество членов выборки: n 1 =11, n 2 =9.

Расчет средних арифметических: Х ср =13,636; Y ср =9,444

Стандартное отклонение: s x =2,460; s y =2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение t крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H 1) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы :

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав средней арифметической эксперимен­тальной группы, a - контрольной:

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не про­явил себя с хорошей стороны по разным, возможно, при­чинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н 2) о пре­имуществе традиционного метода.

б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

где - разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d - среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

(6)

Число степеней свободы k определяется по формуле k=n -1. Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Если t эмп

Пример 2 . Изучался уровень ориентации учащихся на художественно-эстети­ческие ценности. С целью активизации формирования этой ориентации в экспериментальной группе проводились бе­седы, выставки детских рисунков, были организованы по­сещения музеев и картинных галерей, проведены встречи с музыкантами, художниками и др. Закономерно встает вопрос: какова эффективность проведенной работы? С целью проверки эффективности этой работы до начала эксперимента и после давался тест. Из методических со­ображений в таблице 2 приводятся результаты небольшо­го числа испытуемых.

Таблица 2. Результаты эксперимента

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу (6), получим:

И, наконец, следует применить формулу (5). Получим:

Число степеней свободы: k =10-1=9 и по таблице При­ложения 1 находим t крит =2.262, экспериментальное t=6,678, откуда следует возможность принятия альтерна­тивной гипотезы (H 1) о достоверных различиях средних арифметических, т. е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия.

В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уров­не гипотеза Н 0 отклоняется и принимается гипотеза Н 1 .

6.1.3 F - критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления F эмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

где - дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние F эмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

k 1 =n l - 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k 2 =n 2 - 1 для второй выборки.

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k 1 (верхняя строчка таблицы) и k 2 (левый столбец таблицы).

Если t эмп >t крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос - есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Таблица 3.

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

s x 2 =572,83; s y 2 =174,04

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

По таблице из Приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях равных k =10 - 1 = 9 находим F крит =3,18 (<3.29), следовательно, в терминах статистических гипотез можно утвер­ждать, что Н 0 (гипотеза о сходстве) может быть отвергнута на уровне 5%, а принимается в этом случае гипотеза Н 1 . Иc следователь может утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как умственное развитие, имеется различие между выбор­ками из двух классов.

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия.Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

6.2.1 Критерий знаков ( G-критерий)

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Имеется две серии наблюдений над случайными переменными X и У, полученные при рассмотрении двух зависимых выборок . На их основе составлено N пар вида (х i , у i ), где х i , у i - результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях объектами изуче­ния могут служить учащиеся, учителя, администрация школ. При этом х i , у i могут быть, например, балловы­ми оценками, выставленными учителем за двукратное выполнение одной и той же или различных работ одной и той же группой учащихся до и после применения некоторого педагогическою средства.

Элементы каждой пары х i , у i сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак «+» , ес­ли х i < у i , знак «-» , если х i > у i и «0» , если х i = у i .

Нулевая гипотеза формулируются следующим обра­зом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно раз­личны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика критерия (Т) определяется следую­щим образом:

допустим, что из N пар (х, у,) нашлось несколько пар, в которых значения х i и у i равны. Такие пары обозначаются знаком «0» и при подсчете значения ве­личины Т не учитываются. Предположим, что за вы­четом из числа N числа пар, обозначенных знаком «0», осталось всего n пар. Среди оставшихся n пар подсчита­ем число пар, обозначенных знаком «-», т.е, пары, в которых x i < y i . Значение величины Т и равно чис­лу пар со знаком минус.

Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости 0,05, если наблю­даемое значение T < n - t a , где значение n - t a определя­ется из статистических таблиц для критерия знаков Приложения 2.

Пример 4. Учащиеся выполняли контрольную ра­боту, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор­мирования данного понятия у учащихся с низким уров­нем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Результаты двукратного выполнения ра­боты представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная шкала). В этих условиях возмож­но применение знакового критерия для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допуще­ния этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 1).

Таблица 4.

Проверяется гипотеза H 0 : состояние знаний учащих­ся не повысилось после изучения пособия. Альтернативная гипотеза: состояние знаний учащихся повысилось после изучения пособия.

Подсчитаем значение статистики критерия Т равное числу положительных разностей отметок, по­лученных учащимися. Согласно данным табл. 4 Т=10, n=12.

Для определения критических значений статистики критерия n-ta используем табл. Приложения 2. Для уровня значимости а = 0,05 при n =12 значение n-ta=9. Следовательно выполняется неравенство Т> n-ta (10>9). Поэтому в соответствии с правилом принятия решения нулевая гипотеза от­клоняется на уровне значимости 0,05 и принимает­ся альтернативная гипотеза, что позволяет сделать вывод об улучшении знаний учащихся после самостоя­тельного изучения пособия.

Пример 5. Предполагается, что изучение курса математики способствует формированию у учащихся одного из приемов логического мышления (например, приема обобщения) даже в том случае, если его фор­мирование не проводится целенаправленно. Для проверки этого предположения был проведен следующий эксперимент.

Учащимся VII класса было предложено 5 задач, решение которых основано на использовании данного приема мышления. Считалось, что учащийся владеет этим приемом, если он дает верный ответ на 3 и более задачи.

Была разработана следующая шкала измерений: верно решена 1 или 2 задачи - оценка «0»; верно решено 3 задачи - оценка «1»; верно решено 4 зада­чи- оценка «2»; верно решено 5 задач - оценка «3».

Работа проводилась дважды: в конце сентября и конце мая следующего года. Ее писали 35 одних и тех же учащихся, отобранных методом случайного отбора из 7 разных школ. Результаты двукратного выполнения работы запишем в форме таблицы (см. табл. 5).

В соответствии с целями эксперимента формулируем нулевую гипотезу следующим образом: Н 0 - изучение математики не способствует формированию изучаемого приема мышления. Тогда альтернативная гипотеза бу­дет иметь вид: Н 1 - изучение математики способствует овладению этим приемом мышления.

Таблица 5.

Согласно данным табл. 5, значение статистики Т=15 - число разностей со зна­ком «+». Из 35 пар 12 имеют знак «0»; значит, n = 35-12 = 23.

По таблице Приложения 2 для n =23 и уровня значимости 0,025 находим критическое значение стати­стики критерия, равное 16. Следовательно, верно неравенство Т

Поэтому в соответ­ствии с правилом принятия решений приходится сделать вывод о том, что полученные ре­зультаты не дают достаточных оснований для отклоне­ния нулевой гипотезы, т. е. мы не располагаем достаточными основаниями для отклонения утверждения о том, что изучение математики само по себе не способ­ствует овладению выделенным приемом мышления.

6.2.2 Критерий χ2 (хи-квадрат)

Критерий χ 2 (хи-квадрат) приме­няется для сравнения распределений объектов двух совокупностей на основе измерений по шкале наименований в двух независимых выборках.

Предполо­жим, что состояние изучаемого свойства (например, вы­полнение определенного задания) измеряется у каждо­го объекта по шкале наименований, имеющей только две взаимоисключающие категории (например: выпол­нено верно - выполнено неверно). По результатам из­мерения состояния изучаемого свойства у объектов двух выборок составляется четырехклеточная таблица 2X2. (см. табл. 6).

Таблица 6.

В этой таблице О ij - число объектов в i -ой выбор­ке, попавших в j -ую категорию по состоянию изучае­мого свойства; i =1,2 – число выборок; j =1,2 – число категорий;; N - общее число наблюдений, равное О 11 + О 12 + О 21 + О 22 или n 1 + n 2 .

Тогда на основе данных таблицы 2X2 (см. табл. 6) можно проверить ну­левую гипотезу о равенстве вероятностей попадания объектов первой и второй совокупностей в первою (вторую) категорию шкалы измерения проверяемого свойства, например гипотезу о равенстве вероятностей вер­ного выполнения некоторого задания учащимися кон­трольных и экспериментальных классов.

При проверке нулевых гипотез не обязательно, чтобы значения вероятностей р 1 и р 2 были известны, так как гипотезы только устанавливают между ними неко­торые соотношения (равенство, больше или меньше).

Для проверки рассмотренных выше нулевых гипотез по данным таблицы 2X2 (см. табл. 6) подсчитывается значение статистики критерия Т по следующей общей формуле:

(9)

где n 1 , n 2 - объемывыборок, N = n 1 + n 2 - общеечисло наблюдений.

Проводится проверка гипотезы H 0 : p 1 £ p 2 - при альтернативе Н 1: р 1 >р 2 . Пусть a - принятый уровень значимости. Тогда значение статистики Т, полученное на основе экспериментальных данных, сравнивается с критическим значением статистики х 1-2 a , которое опре­деляется по таблице c 2 c одной степенью свободы (см. Приложение 2) с учетом выбранного значения a . Если верно неравенство T < x 1-2 a , то нулевая гипотеза принимается на уровне a .Если данное неравенство не выполняется, то у нас нет достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы.

В связи с тем что замена точного распределения статистики Т распределением c 2 c одной степенью сво­боды дает достаточно хорошее приближение только для больших выборок, применение критерия ограничено не­которыми условиями.

1)сумма объемов двух выборок меньше 20;

2)хотя бы одна из абсолютных частот в таблице 2X2, составленной на основе экспериментальных данных, меньше 5.

Пример 6. Проводился эксперимент, направленный на выявление лучшего из учебников, написанных двумя авторскими коллективами в соответствии с целями обу­чения геометрии и содержанием программы IX класса. Для проведения эксперимента методом случайного отбо­ра были выбраны два района, большинство школ которых относились по расположению к сельским. Уча­щиеся первого района (20 классов) обучались по учеб­нику № 1, учащиеся второго района (15 классов) обуча­лись по учебнику №2.

Рассмотрим методику сравнения ответов учителей экспериментальных школ двух районов па один из вопросов анкеты: «Доступен ли учебник в целом для самостоятельного чтения и помогает ли он усвоить материал, который учитель не объяснял в классе (Ответ:да - нет.)

Отношение учителей к изучаемому свойству учебников измерено по шкале наименований, имеющей две категории: да, нет. Обе выборки учителей случайные и независимые.

Ответы 20 учителей первого района и 15 учителей второго района распределим на две категории и запишем в форме таблицы 2Х2 (табл. 5).

Таблица 7.

Все значения в табл. 7 не меньше 5, поэтому в соответствии с условиями использования критерия c 2 подсчет статистики критерия производится по формуле (9).

По таблице из приложения 2 для одной степени свободы (v = l ) и уровня значимости a =0,05 найдем х 1- a а =Т критич = 3,84. Отсюда верно неравенство Т наблюд <Т критич (1,86<3,84). Согласно правилу принятия ре­шений для критерия c 2 , полученный результат не дает достаточных оснований для отклонения нулевой ги­потезы, т. е. результаты проведенного опроса учителей двух экспериментальных районов не дают достаточных оснований для отклонения предположения об одинаковой доступности учебников № 1 и 2 для самостоятельного чтения учащимися.

Применение критерия хи-квадрат возможно и в том случае, когда объекты двух выборок из двух совокупно­стей по состоянию изучаемого свойства распределяют­ся более чем на две категории. Например, учащиеся экспериментальных и контрольных классов распределя­ются на четыре категории в соответствии с отметками (в баллах: 2, 3, 4, 5), полученными учащимися за вы­полнение некоторой контрольной работы.

Результаты измерения состояния изу­чаемого свойства у объектов каждой выборки распре­деляются на С категорий. На основе этих данных со­ставляется таблица 2ХС, в которой два ряда (по числу рассматриваемых совокупностей) и С колонок (по чис­лу различных категорий состояния изучаемого свойства, принятых в исследовании).

Таблица 8.

На основе данных таблицы 8 можно проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей попадания объектов первой и второй совокупностей в каждую из i ( i = l , 2, ..., С) категорий, т. е. проверить выполнение всех следующих равенств: р 11 = р 21 , p 12 = p 22 , …, p 1 c = p 2 c . Возможна, например, проверка гипо­тезы о равенстве вероятностей получения отметок «5», «4», «3» и «2» за выполнение учащимися контрольных и экспериментальных классов некоторого задания.

Для проверки нулевой гипотезы с помощью критерия c 2 на основе данных таблицы 2ХС подсчитывается значение статисти­ки критерия Т по следующей формуле:

(10)

где п 1 и п 2 - объемы выборок.

Значение Т, полученное на ос­нове экспериментальных данных, сравнивается с критическим значением х 1- a , которое определяется по таб­лице c 2 с k =С-1 степенью свободы с учетом выбранного уровнязначимости a . При выполнении неравенства Т> х 1- a а нулевая гипотеза отклоняется на уровне а и принимается альтернативная гипотеза. Это означает, что распределе­ние объектов на С категорий по состоянию изучаемого свойства различно в двух рассматриваемых совокуп­ностях.

Пример 7 . Рассмотрим методику сравнения результатов пись­менной работы, проверявшей усвоение одного из разде­лов курса учащимися первого и второго районов.

Методом случайного отбора из учащихся первого района, писавших работу, была составлена выборка объ­емом 50 человек, из учащихся второго района - выборка объемом 50 человек. В соответствии со специально разработанными критериями оценки выпол­нения работы каждый ученик мог попасть в одну из че­тырех категорий: плохо, посредственно, хорошо, отлично. Результаты выполнения работы двумя выборками уча­щихся используем для проверки гипотезы о том, что учеб­ник № 1 способствует лучшему усвоению проверяемого раздела курса, т. е. учащиеся первого экспериментального района в средне будут получать более высокие оценки, чем учащиеся второго района.

Результаты выполнения работы учащимися обеих вы­борок запишем в виде таблицы 2X4 (табл. 9 ).

Таблица 9.

В соответствии с условиями использования критерия c 2 подсчет статистики критерия производится по корректированной формуле (10).

В соответствии с условиями применения двустороннего критерия хи-квадрат по таблице из приложения 2 для одной степени свободы (k Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М., «Педагогика», 1977, стр. 54

Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М., «Педагогика», 1977, стр. 57