Cebirsel tamamlayıcı örnekleri. Cebirsel ekleme. Karar matrislerini hesapla

Matris minörleri

Bir kare verilsin matris A, n'inci sıra. Küçük bazı elementler a ij, matrisin determinantı n'inci sıra denir belirleyici(n - 1). sıra, seçilen a ij öğesinin bulunduğu kesişim noktasındaki satır ve sütunun üzerinin çizilmesiyle orijinalden elde edilir. M ij ile gösterilir.

Bir örneğe bakalım matrisin determinantı 3 - sırası:

Daha sonra tanıma göre küçük, küçük a 12 elemanına karşılık gelen M 12, belirleyici:

Aynı zamanda yardımıyla reşit olmayanlar hesaplama görevini kolaylaştırabilir matrisin determinantı. Bunu yaygınlaştırmamız lazım matris determinantı bir çizgi boyunca ve sonra belirleyici bu çizginin tüm unsurlarının reşit olmayanların toplamına eşit olacaktır. Ayrışma matrisin determinantı 3 - sırası şöyle görünecek:

Çarpımın önündeki işaret (-1)n'dir, burada n = i + j'dir.

Cebirsel eklemeler:

Cebirsel tamamlayıcı a ij elementine onun adı verilir küçük(i + j) toplamı çift sayı ise "+" işaretiyle, bu toplam tek sayı ise "-" işaretiyle alınır. A ij ile gösterilir. A ij = (-1) i+j × M ij.

Daha sonra yukarıda belirtilen özelliği yeniden formüle edebiliriz. Matris determinantı belirli bir satırın (satır veya sütun) elemanlarının çarpımının toplamına eşit matrisler karşılık gelenlerine cebirsel eklemeler. Örnek:

4. Ters matris ve hesaplanması.

A kare olsun matris n'inci sipariş.

Kare matris A'ya dejenere olmayan denirse matris determinantı(Δ = det A) sıfır değildir (Δ = det A ≠ 0). Aksi takdirde (Δ = 0) matris A'ya dejenere denir.

Matris, müttefiki matris Ah, deniyor matris

A ij nerede - cebirsel tamamlayıcı verilen a ij elemanı matrisler(aynı şekilde tanımlanır cebirsel tamamlayıcı eleman matrisin determinantı).

Matris A -1 çağrılır ters matris A, eğer koşul karşılanıyorsa: A × A -1 = A -1 × A = E, burada E birimdir matris aynı sıra matris A. Matris A -1 ile aynı boyutlara sahiptir matris A.

ters matris

Eğer kare varsa matrisler X ve A, koşulu karşılıyor: X × A = A × X = E, burada E birimdir matris o zaman aynı düzende matris X denir ters matris A matrisine bağlıdır ve A -1 ile gösterilir. Dejenere olmayan herhangi matris Var ters matris ve ayrıca yalnızca bir tane, yani bir kareye sahip olmak için matris bir vardı ters matris bunun için gerekli ve yeterlidir belirleyici sıfırdan farklıydı.

Almak için ters matris formülü kullanın:

M ji'nin ek olduğu yer küçük a ji elemanı matrisler A.

5. Matris sıralaması. Temel dönüşümleri kullanarak sıralamanın hesaplanması.

Dikdörtgensel bir mхn matrisi düşünün. Bu matriste bazı k satır ve k sütun seçelim, 1 £ k £ min (m, n) . Seçilen satır ve sütunların kesişiminde bulunan elemanlardan k'inci dereceden bir determinant oluşturuyoruz. Bu tür determinantların tümüne matris minörleri denir. Örneğin, bir matris için ikinci dereceden küçükleri oluşturabilirsiniz. ve birinci dereceden küçükler 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Tanım. Bir matrisin rütbesi, bu matrisin sıfır olmayan minörünün en yüksek mertebesidir. r(A) matrisinin rütbesini belirtin.

Verilen örnekte matrisin sırası ikidir, çünkü örneğin küçük

Temel dönüşüm yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplamak uygundur. Temel dönüşümler aşağıdakileri içerir:

1) satırların (sütunların) yeniden düzenlenmesi;

2) bir satırın (sütun) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;

3) bir satırın (sütun) elemanlarına, daha önce belirli bir sayı ile çarpılmış başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi.

Bu dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez, çünkü bilinmektedir ki 1) satırlar yeniden düzenlendiğinde determinantın işareti değişir ve sıfıra eşit değilse artık olmayacaktır; 2) bir determinant dizisi sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpıldığında, determinant bu sayı ile çarpılır; 3) üçüncü temel dönüşüm determinantı hiç değiştirmez. Böylece, bir matris üzerinde temel dönüşümler gerçekleştirilerek, onun ve dolayısıyla orijinal matrisin sıralamasının kolayca hesaplanabileceği bir matris elde edilebilir.

Tanım. Temel dönüşümler kullanılarak bir matristen elde edilen bir matrise eşdeğer denir ve gösterilir A İÇİNDE.

Teorem. Temel matris dönüşümleri sırasında matrisin sırası değişmez.

Temel dönüşümleri kullanarak, sıralamasını hesaplamak zor olmadığında matrisi adım formuna indirgeyebilirsiniz.

Matris şu forma sahipse adım adım çağrılır:

Açıkçası, kademe matrisinin sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir , Çünkü sıfıra eşit olmayan bir küçük derece vardır:

.

Örnek. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini belirleyin.

Matrisin sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir, yani. .

Cebirsel tamamlayıcı- matris cebiri kavramı; kare matrisin aij elemanına göre A, aij elemanının minörünün (1)i+j ile çarpılmasıyla oluşturulur; Аij ile gösterilir: Aij=(1)i+jMij, burada Mij, A= matrisinin aij öğesinin küçüğüdür, yani. belirleyici... ... Ekonomik ve matematiksel sözlük

cebirsel tamamlayıcı- Matris cebiri kavramı; kare matrisin aij elemanına göre A, aij elemanının minörünün (1)i+j ile çarpılmasıyla oluşturulur; Аij ile gösterilir: Aij=(1)i+jMij, burada Mij, A= matrisinin aij öğesinin küçüğüdür, yani. matris determinantı,... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Bkz. Sanat. Belirleyici... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Bir minör M için, M'nin k mertebesinden bir minör olduğu sayıya eşit bir sayı; sayıların bulunduğu satırlarda ve n mertebesinde bir A kare matrisinin sayılarının bulunduğu sütunlarda yer alır; A matrisinden M minörünün satır ve sütunlarının silinmesiyle elde edilen n k mertebesinden bir matrisin determinantı;... ... Matematik Ansiklopedisi

Vikisözlük'te "ekleme" için bir girdi bulunmaktadır. İlave şu anlama gelebilir: Vikipedi

İşlem, belirli bir X kümesinin bir alt kümesini başka bir alt kümeye uygun hale getirir, böylece Mi N biliniyorsa, o zaman X kümesi şu veya bu şekilde geri yüklenebilir. X kümesinin hangi yapıya sahip olduğuna bağlı olarak,... ... Matematik Ansiklopedisi

Veya bir determinant, matematikte, başka bir sayının (determinantın değeri) yerleştirildiği karşılık gelen sayıların kare bir tablo biçiminde kaydedilmesi. Çoğu zaman determinant kavramı hem determinantın anlamını hem de kayıt biçimini ifade eder.… … Collier Ansiklopedisi

Olasılık teorisinden bir teorem için Moivre-Laplace'ın Yerel teoremi makalesine bakın. Laplace teoremi doğrusal cebirin teoremlerinden biridir. Adını formüle eden Fransız matematikçi Pierre Simon Laplace'dan (1749 1827) almıştır ... ... Vikipedi

- (Laplacian matrisi) bir grafiğin matris kullanılarak temsillerinden biri. Kirchhoff matrisi, belirli bir grafiğin yayılan ağaçlarını saymak için kullanılır (matris ağaç teoremi) ve ayrıca spektral grafik teorisinde de kullanılır. İçindekiler 1... ...Wikipedia

Denklem, iki cebirsel ifadenin eşitliğini ifade eden matematiksel bir ilişkidir. Bir eşitlik, içindeki bilinmeyenlerin kabul edilebilir herhangi bir değeri için doğruysa buna özdeşlik denir; örneğin, formun oranı... ... Collier Ansiklopedisi

Kitabın

• Ayrık matematik, A. V. Chashkin. 352 s. Ders kitabı ayrık matematiğin ana bölümleri hakkında 17 bölümden oluşur: kombinatoryal analiz, grafik teorisi, Boole fonksiyonları, hesaplama karmaşıklığı ve kodlama teorisi. İçerir...

Matris minörleri

Bir kare verilsin matris A, n'inci sıra. Küçük bir aij elemanına, n'inci mertebeden bir matrisin determinantına denir belirleyici(n - 1) - orijinalden elde edilen, seçilen aij öğesinin bulunduğu kesişme noktasındaki satır ve sütunun çizilmesiyle elde edilen sıra. Mij ​​tarafından belirtilmiştir.

Bir örneğe bakalım matrisin determinantı 3 - sırası:
Küçükler ve cebirsel tümleyenler, matris 3'ün determinantı onun sırasıdır, o zaman tanıma göre küçük, küçük a12 elemanına karşılık gelen M12, belirleyici:Aynı zamanda yardımıyla reşit olmayanlar hesaplama görevini kolaylaştırabilir matrisin determinantı. Bunu yaygınlaştırmamız lazım matris determinantı bir çizgi boyunca ve sonra belirleyici bu çizginin tüm unsurlarının reşit olmayanların toplamına eşit olacaktır. Ayrışma matrisin determinantı 3 - sırası şöyle görünecek:

, çarpımın önündeki işaret (-1) n'dir, burada n = i + j.

Cebirsel eklemeler:

Cebirsel tamamlayıcı aij elementine onun adı verilir küçük(i + j) toplamı çift sayı ise “+” işaretiyle, bu toplam tek sayı ise “-” işaretiyle alınır. Aij tarafından gösterilir.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Daha sonra yukarıda belirtilen özelliği yeniden formüle edebiliriz. Matris determinantı belirli bir satırın (satır veya sütun) elemanlarının çarpımının toplamına eşit matrisler karşılık gelenlerine cebirsel eklemeler. Örnek.

Görev 1.

Belirli bir determinant için

α 12, α 32 elemanlarının küçüklerini ve cebirsel tümleyenlerini bulun. Hesaplama belirleyicisi : a) birinci satırın ve ikinci sütunun elemanlarına ayrıştırılması; b) daha önce ilk satırda sıfır almış olmak.

Bulduk:

M12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M32 =
= –12+12–12–8 = –20.

a 12 ve a 32 elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları sırasıyla eşittir:

A 12 = (–1) 1+2 M 12 = –(–18) = 18,

A 32 = (–1) 3+2 M 32 = –(–20) = 20.

a) Determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek hesaplayalım:

bir 11 bir 11 + bir 12 bir 12 + bir 13 bir 13 + bir 14 bir 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Belirleyiciyi ikinci sütunun elemanlarına genişletelim:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Daha önce ilk satırda sıfır almış olarak hesaplayalım. Determinantların karşılık gelen özelliğini kullanıyoruz. Determinantın üçüncü sütununu 3 ile çarpıp birinciye ekleyelim, ardından -2 ile çarpıp ikinciye ekleyelim. Daha sonra ilk satırda biri hariç tüm öğeler sıfır olacaktır. Bu şekilde elde edilen determinantı ilk satırın elemanlarına ayırıp hesaplayalım:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(Üçüncü dereceden determinantta, determinantların yukarıdakiyle aynı özelliği nedeniyle ilk sütunda sıfırlar elde ettik.) ◄

Görev 2.

Doğrusal homojen olmayan cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem verilmiştir

Bu sistemin uyumlu olup olmadığını kontrol edin ve uyumluysa çözün: a) Cramer formüllerini kullanarak; b) ters bir matris kullanmak (matris yöntemi); c) Gauss yöntemi.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bu sistemin uyumluluğunu kontrol edelim. Temel dönüşümleri kullanarak matrisin rütbesini buluruz

A =

verilen sistem ve genişletilmiş matrisin sırası

İÇİNDE =

.

Bunu yapmak için B matrisinin ilk satırını –2 ile çarpıp ikinciyle ekleyin, ardından ilk satırı –3 ile çarpıp üçüncüyle toplayın, ikinci ve üçüncü sütunların yerlerini değiştirin. Aldık

İÇİNDE =

~

~
.

Bu nedenle sıralama A= rütbe İÇİNDE= 3 (yani bilinmeyenlerin sayısı). Bu, orijinal sistemin tutarlı olduğu ve benzersiz bir çözüme sahip olduğu anlamına gelir.

a) Cramer formüllerine göre

x = X/ , y = ey/ , z = z/ ,

=
= – 16;

X =
= 64;

sen =
= – 16;

z=
= 32,

bulduk: X = 64/(– 16) = – 4, sen = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) Ters matrisi kullanarak sisteme bir çözüm bulmak için denklem sistemini matris biçiminde yazarız. AH = . Sistemin matris formundaki çözümü şu şekildedir: x = bir –1 . Formülü kullanarak ters matrisi buluruz A –1 (var çünkü = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Sistem çözümü:

X = =
=
=

.

Bu yüzden, X = –4, sen = 1, z = –2;

c) Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözelim. Haydi hariç tutalım X ikinci ve üçüncü denklemlerden Bunu yapmak için, ilk denklemi 2 ile çarpın ve ikinciden çıkarın, ardından ilk denklemi 3 ile çarpın ve üçüncüden çıkarın:

Ortaya çıkan sistemden bulduğumuz X = – 4, sen = 1, z = –2. ◄

Görev 5.

Piramidin köşeleri noktalardadır A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2) Ve D(– 2; 0; – 1). Hesaplayın: a) yüzün alanı ABC; b) kaburgaların ortasından geçen kesit alanı AB, AC., reklam; c) piramidin hacmi ABCD.

A) S ABC = olduğu bilinmektedir.
. Bulduk:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 Ben + 5 J + 2 k.

Sonunda elimizde:

ABC =
=
;

b) Kaburgaların orta noktaları AB, Güneş Ve AD noktalarda K (3; 5; 3,5),

E (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Sonra elimizde:

S Katliam =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i – 1,5j – 2,25k,

S Katliam =
=
;

c) O zamandan beri V bayram =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, O V = 11/6 . ◄

Sorun 6

Güç F = (2; 3;– 5) bir noktaya uygulanan A(1; – 2; 2). Hesaplayın: a) kuvvet işi F uygulama noktasının doğrusal olarak hareket etmesi durumunda, pozisyondan hareket etmesi durumunda A yerleştirmek B(1; 4; 0); b) moment modülü F noktaya göre İÇİNDE.

A) O zamandan beri bir =F · S , S =
= (0; 6; – 2) ,

O F · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; bir = 28;

b) Kuvvet momenti M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 Ben + 4 J + 12 k .

Buradan, =
= 4
. ◄

Görev 8.

Bilinen zirveler Ç(0; 0),A(– 2; 0) paralelkenar OASD ve köşegenlerinin kesişme noktası B(2;–2). Paralelkenarın kenarlarının denklemlerini yazınız.

Yan denklem OA hemen yazabilirsiniz: sen = 0 . Ayrıca, noktadan bu yana İÇİNDE köşegenin orta noktasıdır reklam(Şekil 1), daha sonra bir segmenti ikiye bölmek için kullanılan formülleri kullanarak tepe noktasının koordinatlarını hesaplayabilirsiniz. D(X; sen) :

2 =
, –2 =
,

Neresi X = 6 , sen = –4 .

Artık diğer tüm tarafların denklemlerini bulabilirsiniz. Kenarların paralelliği dikkate alındığında O.A. Ve CD, tarafın denklemini oluşturuyoruz CD: sen = –4 . Yan denklem Aşırı doz bilinen iki noktadan derlenmiştir:

=
,

Neresi sen = – X, 2 X + 3 sen = 0 .

Son olarak kenarın denklemini buluyoruz AC. bilinen bir noktadan geçtiği göz önüne alındığında bir (– 2; 0) bilinen bir doğruya paralel Aşırı doz:

sen – 0 = – (X + 2) veya 2 X + 3 sen + 4 = 0 . ◄

Görev 9.

Bir üçgenin köşeleri verildiğinde ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . Bulmak:

a) yan denklem AB;

b) yükseklik denklemi CH;

c) medyan denklem sabah;

d) nokta N refüj kavşağı sabah ve yükseklikler CH;

e) bir tepe noktasından geçen bir doğrunun denklemi C kenara paralel AB;

e) noktadan uzaklık C düz bir çizgiye AB.

A) Denklemin kullanılması iki noktadan geçen doğru, tarafın denklemini elde ederiz AB:

=
,

Neresi 6(X – 4) = 7(sen – 3) veya 6 X – 7 sen – 3 = 0 ;

b) Denkleme göre

sen = kx + B (k = tg α ) ,

düz çizgi eğimi AB k 1 =6/7 . Hesaba katarak çizgilerin dikliği için koşullar AB Ve CH rakım eğimi CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). Noktaya göre C(2; 7) ve eğim k 2 = –7/6 yükseklik denklemini oluştur CH: (sen – sen 0 = k(X – X 0 ) )

sen – 7 = – (X – 2) veya 7 X + 6 sen – 56 = 0 ;

c) Bilinen formülleri kullanarak koordinatları buluruz X, sen orta M bölüm M.Ö.:

X = (– 3 + 2)/2 = –1/2, sen = (– 3 + 7)/2 = 2.

Şimdi bilinen iki nokta için A Ve M medyan denklemini oluştur sabah:

=
veya 2 X – 9 sen + 19 = 0 ;

d) Bir noktanın koordinatlarını bulmak N refüj kavşağı sabah ve yükseklikler CH bir denklem sistemi oluşturmak

Bunu çözersek şunu elde ederiz N (26/5; 49/15) ;

e) Doğrunun tepe noktasından geçmesi nedeniyle C, kenara paralel AB, o zaman açısal katsayıları eşittir k 1 =6/7 . O zaman denkleme göre:

sen – sen 0 = k(X – X 0 ) , noktaya göre C ve eğim k 1 düz bir çizginin denklemlerini oluşturma CD:

sen – 7 = (X – 2) veya 6 X – 7 sen + 37 = 0 ;

f) Noktadan uzaklık C düz bir çizgiye AB iyi bilinen formül kullanılarak hesaplanır:

D = | CH| =

Bu problemin çözümü Şekil 2'de gösterilmektedir. 2 ◄

Sorun 10.

Dört puan verildi A 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Denklemleri oluşturun:

a) uçaklar A 1 A 2 A 3 ; b) düz A 1 A 2 ;

c) düz A 4 M, düzleme dik A 1 A 2 A 3 ;

d) düz A 4 N, çizgiye paralel A 1 A 2 .

Hesaplamak:

e) düz çizgi arasındaki açının sinüsü A 1 A 4 ve uçak A 1 A 2 A 3 ;

e) koordinat düzlemi arasındaki açının kosinüsü HAKKINDAxy ve uçak A 1 A 2 A 3 .

A) Formülü kullanmak üç noktadan düzlem denklemleri, düzlemin denklemini oluşturuyoruz A 1 A 2 A 3 :

Neresi 6x – 7y – 9z + 97 = 0;

b) dikkate alınarak iki noktadan geçen doğrunun denklemleri, düz çizgi denklemleri A 1 A 2 şeklinde yazılabilir

=
=
;

c) Gönderen Bir çizginin dikliği için koşullar A 4 M ve uçaklar A 1 A 2 A 3 bundan düz çizginin yön vektörü olduğu sonucu çıkar S normal bir vektör alabilirsin N = (6; – 7; – 9) uçak A 1 A 2 A 3 . Daha sonra doğrunun denklemi A 4 M hesaba katarak kanonik Doğrunun denklemleri şu şekilde yazılacaktır:

=
=
;

d) Düz olduğundan A 4 Nçizgiye paralel A 1 A 2 , sonra bunların yön vektörleri S 1 Ve S 2 aynı kabul edilebilir: S 1 =S 2 = (5; – 6; 8) . Bu nedenle doğrunun denklemi A 4 N benziyor

=
=
;

d) Bulma formülüne göre bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının büyüklüğü

günah φ =

f) Bulma formülüne uygun olarak düzlemler arasındaki açı

çünkü φ =
=
◄

Sorun 11.

Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini yazın M(4; 3; 1) Ve

N(– 2; 0; – 1) noktalardan çizilen çizgiye paralel A(1; 1; – 1) Ve

B(– 3; 1; 0).

Formüle göre uzayda bir çizginin denklemleri iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi AB benziyor

=
=
.

Uçak bir noktadan geçerse M(4; 3; 1) , o zaman denklemi şu şekilde yazılabilir: A(X – 4) + B(sen – 3) + C(z – 1) = 0 . Bu düzlem de noktadan geçtiği için N(– 2; 0; – 1) , o zaman koşul sağlanır

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0 veya 6A + 3B + 2C = 0.

İstenilen düzlem bulunan çizgiye paralel olduğundan AB formülleri dikkate alarak Bir doğrunun ve bir düzlemin paralelliği için koşullar sahibiz:

–4A + 0B + 1C = 0 veya 4A – C = 0.

Sistemi çözmek

bunu bulduk C = 4 A, B = – A. Elde edilen değerleri yerine koyalım İLE Ve Bİstenilen düzlemin denkleminde, elimizde

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0.

Çünkü A ≠ 0 , o zaman ortaya çıkan denklem denkleme eşdeğerdir

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0. ◄

Sorun 12.

Koordinatları bul X 2 , sen 2 , z 2 puan M 2 , simetrik nokta M 1 (6; – 4; – 2) uçağa göre X + sen + z – 3 = 0 .

Doğrunun parametrik denklemlerini yazalım M 1 M 2 , bu düzleme dik: X = 6 + T, sen = – 4 + T, z = – 2 + T. Bunları verilen düzlemin denklemiyle birlikte çözdükten sonra şunu buluruz: T = 1 ve bu nedenle nokta M düz bir çizginin kesişimi M 1 M 2 bu uçakla: M (7; – 3; – 1) . noktadan beri M segmentin orta noktasıdır M 1 M 2 ise eşitlikler doğrudur.; c) doğrultmanı b olan bir parabol