Çok değişkenli fonksiyonlar kısaca teori. İki veya daha fazla değişkenin işlevi. Tanım alanı. İki değişkenli bir fonksiyonun geometrik gösterimi

Tanım. Değişken z(değiştirme alanı ile Z) isminde iki bağımsız değişkenin fonksiyonu x, y kalabalıkta M, eğer her çift ( x, y) setten M z itibaren Z.

Tanım. Bir demet M, değişkenlerin ayarlandığı x, y, isminde işlev kapsamı, Z kümesi işlev aralığı, ve kendileri x, y- o argümanlar.

Tanımlar: z = f(x,y), z = z(x,y).

Örnekler.

Tanım . Değişken z(değiştirme alanı ile Z) isminde birkaç bağımsız değişkenin işlevi kalabalıkta M, kümedeki her bir sayı kümesi ise M bazı kural veya yasalara göre, belirli bir değer ilişkilendirilir z itibaren Z. Argüman kavramları, tanım alanı ve değer alanı kavramları, iki değişkenli bir fonksiyonla aynı şekilde tanıtılır.

Tanımlar: z = f, z = z.

Yorum. Birkaç sayıdan beri ( x, y) düzlemdeki bir noktanın koordinatları olarak kabul edilebilirse, daha sonra iki değişkenli bir fonksiyonun bir çift argümanı için ve bir fonksiyonun argümanları olan sıralı bir sayı kümesi için "nokta" terimini kullanacağız. birkaç değişkenden

İki değişkenli bir fonksiyonun geometrik gösterimi

işlevi göz önünde bulundurun

z = f(x,y), (15.1)

belirli bir alanda tanımlanmış M uçakta O hu. Daha sonra koordinatlarla üç boyutlu uzayda noktalar kümesi ( x,y,z), burada , iki değişkenli bir fonksiyonun grafiğidir. Denklem (15.1), üç boyutlu uzayda belirli bir yüzeyi tanımladığından, söz konusu fonksiyonun geometrik gösterimi olacaktır.

işlev kapsamı z = f(x,y) en basit durumda, ya düzlemin kapalı bir eğri ile sınırlanan bir parçasıdır ve bu eğrinin noktaları (bölgenin sınırları) tanım alanına veya tüm düzleme ait olabilir veya olmayabilir veya, son olarak, xOy düzleminin çeşitli parçalarından oluşan bir koleksiyon.

z = f(x,y)

Örnekler düzlem denklemleridir z = balta + ile + c

ve ikinci dereceden yüzeyler: z=x² + y² (dönüş paraboloidi),

(koni), vb.

Yorum. Üç veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon için "yüzey içinde yüzey" terimini kullanacağız. N boyutlu uzay", ancak böyle bir yüzeyi tasvir etmek imkansız.

Seviye çizgileri ve yüzeyler

Denklem (15.1) ile verilen iki değişkenli bir fonksiyon için, bir nokta kümesi düşünülebilir ( x, y) uçak O hu, hangisi için z aynı sabit değeri alır, yani z= sabit Bu noktalar düzlemde denilen bir çizgi oluşturur. seviye çizgisi.

Örnek.

Bir yüzey için seviye çizgilerini bulun z= 4 – X² - y². Denklemleri X² + y² = 4 - C(C=const), orijinde merkezli ve yarıçaplı eşmerkezli çemberlerin denklemleridir. Örneğin, ne zaman İle=0 bir daire elde ederiz X² + y² = 4 .

Üç değişkenli bir fonksiyon için u = u(x, y, z) denklem u(x, y, z) = c denilen üç boyutlu uzayda bir yüzeyi tanımlar. yüzey seviyesi.

Örnek.

fonksiyon için sen= 3X + 5y – 7z–12 seviyeli yüzeyler, Denklem 3 ile verilen bir paralel düzlemler ailesi olacaktır. X + 5y – 7z –12 + İle = 0.

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği

konsepti tanıtıyoruz δ-komşu puan M 0 (x 0, y 0) uçakta O hu belirli bir noktada merkezli δ yarıçaplı bir daire olarak. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda bir δ-komşusu, noktada merkezlenmiş δ yarıçaplı bir top olarak tanımlanabilir. M 0 (x 0, y 0, z 0). İçin N-boyutlu uzay, noktanın δ-komşusu olarak adlandırılacaktır. M 0 nokta seti M koşulu sağlayan koordinatlarla

noktanın koordinatları nerede M 0 . Bazen bu sete "top" denir. N-boyutlu uzay.

Tanım. A sayısı denir limitçok değişkenli fonksiyonlar F noktada M 0 eğer öyle ise | f(E) – A| < ε для любой точки Mδ-mahallesinden M 0 .

İsimler: .

noktanın dikkate alınması gerekir. M yaklaşabilir M 0 , göreceli olarak, noktanın δ-komşusu içindeki herhangi bir yörünge boyunca M 0 . Bu nedenle, birkaç değişkenli bir fonksiyonun limitini genel anlamda sözde olandan ayırt etmek gerekir. tekrarlanan limitler, her bağımsız değişken için ayrı ayrı sınıra kadar art arda geçişlerle elde edilir.

Örnekler.

Yorum. Olağan anlamda belirli bir noktada bir limitin varlığından ve bu noktada bireysel argümanlara göre limitlerin varlığından, tekrarlanan limitlerin varlığı ve eşitliğinin geldiği kanıtlanabilir. Tersi doğru değil.

Tanım İşlev F isminde sürekli noktada M 0 ise (15.2)

Notasyonu eklersek, koşul (15.2) (15.3) biçiminde yeniden yazılabilir.

Tanım . iç nokta M 0 işlev kapsamı z = f(M) isminde kırılma noktası(15.2), (15.3) koşulları bu noktada sağlanmazsa işlev görür.

Yorum. Bir düzlemde veya uzayda bir dizi süreksizlik noktası oluşabilir. çizgiler veya kırılma yüzeyleri.

Örnekler.

Limitlerin ve sürekli fonksiyonların özellikleri

Birkaç değişkenli bir fonksiyon için limit ve süreklilik tanımları, bir değişkenli bir fonksiyon için karşılık gelen tanımlarla pratik olarak örtüştüğünden, daha sonra birkaç değişkenli fonksiyonlar için, kursun ilk bölümünde kanıtlanmış olan limitlerin ve sürekli fonksiyonların tüm özellikleri korunur. , yani:

1) Varsa, o zaman var ve (eğer ).

2) Eğer a ve herhangi biri için Ben sınırlar vardır ve nerede bulunur M 0, o zaman karmaşık fonksiyonun da bir sınırı vardır, burada noktanın koordinatları R 0 .

3) Eğer fonksiyonlar f(M) Ve gr(E) noktada sürekli M 0 , ardından işlevler f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Eğer g(M 0) ≠ 0).

4) Fonksiyonlar bir noktada sürekli ise P 0 ve fonksiyon bu noktada süreklidir. M 0, nerede , o zaman karmaşık fonksiyon noktasında süreklidir R 0 .

5) Fonksiyon kapalı sınırlı bir alanda süreklidir. D, maksimum ve minimum değerlerini bu bölgede alır.

6) Fonksiyon kapalı sınırlı bir alanda sürekli ise D, bu aralıkta değerler alır A Ve İÇİNDE, sonra bölgede alır D ve arasındaki herhangi bir ara değer A Ve İÇİNDE.

7) Fonksiyon kapalı sınırlı bir alanda sürekli ise D, bu bölgede farklı işaretlerin değerlerini alır, o zaman bölgeden en az bir nokta vardır. D, burada F = 0.

kısmi türevler

Bağımsız değişkenlerinden yalnızca birini artırırken bir işlevi değiştirmeyi düşünün - x ben ve onu arayalım.

Tanım . özel türev bağımsız değişkene göre işlevler x ben isminde .

İsimler: .

Bu nedenle, birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, aslında fonksiyonun türevi olarak tanımlanır. bir değişken - x ben. Bu nedenle, tek değişkenli bir fonksiyon için ispatlanan türevlerin tüm özellikleri onun için geçerlidir.

Yorum. Kısmi türevlerin pratik hesaplamasında, türevin gerçekleştirildiği bağımsız değişkenin değişken ve geri kalan bağımsız değişkenlerin sabit olduğunu varsayarak, bir değişkenin işlevini türevlendirmek için olağan kuralları kullanırız.

örnekler .

1. z= 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = x y ,

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik yorumu

Yüzey denklemini düşünün z = f(x,y) ve bir uçak çiz x = sabit Düzlemin yüzeyle kesiştiği doğru üzerinde bir nokta seçelim. M (x, y). Argümanı ayarlarsanız de artış Δ de ve eğri üzerindeki T noktasını koordinatlarla ( x, y+Δ y, z+Δy z), ardından MT sekantının O ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantı de, eşit olacaktır. 'deki limite geçildiğinde, kısmi türevinin, teğetin sonuçtaki eğriye o noktada oluşturduğu açının teğetine eşit olduğunu elde ederiz. M O ekseninin pozitif yönü ile y. Buna göre kısmi türev, O ekseni ile açının tanjantına eşittir. X yüzey bölümünden kaynaklanan eğriye teğet z = f(x,y) uçak y= sabit

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği

Türevlenebilirlikle ilgili soruları araştırırken, daha fazla sayıda değişken için tüm ispatlar aynı şekilde yapıldığından, kendimizi üç değişkenli bir fonksiyon durumuyla sınırlıyoruz.

Tanım . Tam artış fonksiyonlar u = f(x, y, z) isminde

teorem 1. Noktada kısmi türevler varsa ( x 0, y 0, z 0) ve bazı komşuluklarında ve () noktasında süreklidir. x0, y0, z0) , o zaman sınırlandırılırlar (çünkü modülleri 1'i geçmez).

O zaman Teorem 1'in koşullarını sağlayan fonksiyonun artışı şu şekilde temsil edilebilir: , (15.6)

Tanım . Eğer fonksiyon artışı u = f(x, y, z) noktada ( x0, y0, z0)(15.6), (15.7) biçiminde temsil edilebilir, sonra işlev çağrılır türevlenebilir bu noktada ve ifade - artışın ana doğrusal kısmı veya tam diferansiyel söz konusu fonksiyon.

Tanımlar: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Tıpkı tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri keyfi artışlarıdır, dolayısıyla

1. açıklama Dolayısıyla, "fonksiyon türevlenebilir" ifadesi, "fonksiyonun kısmi türevleri vardır" ifadesine eşdeğer değildir - türevlenebilirlik ayrıca bu türevlerin söz konusu noktada sürekliliğini gerektirir.

İşlevi düşünün ve seçin x 0 = 1, y 0 = 2. Sonra Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Bulalım,

Bu nedenle, verilen F( 1, 2) = 3, elde ederiz.

) gibi karmaşık fonksiyonların kısmi türevleriyle ve daha zor örneklerle defalarca karşılaştık. Peki başka ne söyleyebilirsin? … Ve her şey hayattaki gibidir - karmaşık olamayacak kadar karmaşıklık yoktur =) Ama matematik, dünyamızın çeşitliliğini katı çerçevelere sığdırmak için var olan şeydir. Ve bazen tek bir cümle ile yapılabilir:

Genel olarak, karmaşık fonksiyon şu şekildedir: , Nerede, en az bir harflerin işlev bağlı olabilir keyfi değişken sayısı.

En küçük ve en basit versiyon, bir değişkenin iyi bilinen karmaşık fonksiyonudur, kimin türevi Geçen dönem bulmayı öğrendik. Ayrıca fonksiyonları ayırt etme becerisine de sahipsiniz. (aynı işlevlere bir göz atın ) .

Böylece, şimdi sadece durumla ilgileneceğiz. Çok çeşitli karmaşık fonksiyonlar nedeniyle, bunların türevleri için genel formüller çok kullanışsızdır ve zor sindirilebilir. Bu bağlamda, kendimi bu türevleri bulmanın genel ilkesini anlayabileceğiniz belirli örneklerle sınırlayacağım:

örnek 1

Karmaşık bir fonksiyon verildiğinde, burada . Gerekli:
1) türevini bulun ve 1. mertebenin toplam diferansiyelini yazın;
2) deki türevin değerini hesaplayın.

Çözüm: İlk olarak, fonksiyonun kendisiyle ilgilenelim. Bize ve 'ye bağlı olarak bir işlev sunulur, bu da sırayla fonksiyonlar bir değişken:

İkinci olarak, görevin kendisine çok dikkat edelim - bulmamız gerekiyor türev, yani, bulmaya alıştığımız kısmi türevlerden hiç bahsetmiyoruz! İşlevden beri aslında sadece bir değişkene bağlıdır, o zaman "türev" kelimesi şu anlama gelir: toplam türev. Nasıl bulunur?

Akla gelen ilk şey, doğrudan ikame ve daha fazla farklılaşmadır. Yerine geçmek bir fonksiyona:
, bundan sonra istenen türevle ilgili herhangi bir sorun yoktur:

Ve buna göre, toplam fark:

Bu çözüm matematiksel olarak doğrudur, ancak küçük bir nüans şu ki, sorun formüle edildiği şekilde formüle edildiğinde kimse sizden böyle bir barbarlık beklemiyor =) Ama cidden, burada gerçekten hata bulabilirsiniz. Fonksiyonun bir yaban arısının uçuşunu tanımladığını ve iç içe geçmiş fonksiyonların sıcaklığa bağlı olarak değiştiğini hayal edin. Doğrudan ikame gerçekleştirme , sadece alırız özel bilgi uçuşu karakterize eden, diyelim ki, sadece sıcak havalarda. Üstelik bombus arıları konusunda bilgili olmayan bir kişiye bitmiş bir sonuç sunulursa ve hatta bunun ne tür bir işlev olduğu söylenirse, o zaman temel uçuş yasası hakkında hiçbir şey öğrenemeyecektir!

Ve böylece, oldukça beklenmedik bir şekilde, vızıldayan kardeşimiz evrensel formülün anlam ve öneminin anlaşılmasına yardımcı oldu:

Türevlerin "iki katlı" notasyonuna alışın - söz konusu görevde, kullanımda olanlar onlardır. Aynı zamanda, olması gereken çok temiz kayıtta: "de" doğrudan işaretli türevler toplam türevler ve yuvarlak işaretli türevler kısmi türevler. İkincisi ile başlayalım:

Genel olarak "kuyruklar" ile her şey temeldir:

Bulunan türevleri formülümüzde yerine koyarız:

Bir işlev başlangıçta karmaşık bir şekilde önerildiğinde, mantıklı olacaktır. (ve yukarıda açıklanmıştır!) sonuçları olduğu gibi bırakın:

Aynı zamanda, “süslü” cevaplarda, en küçük basitleştirmelerden bile kaçınmak daha iyidir. (burada, örneğin, 3 eksiyi kaldırmak için yalvarır)- ve yapacak daha az işiniz var ve tüylü arkadaşınız görevi daha kolay gözden geçirmekten mutlu oluyor.

Ancak, kaba bir kontrol gereksiz olmayacaktır. Yerine geçmek bulunan türevi içine alın ve basitleştirmeleri gerçekleştirin:


(son adımda kullandığımız trigonometrik formüller , )

Sonuç olarak, "barbarca" çözüm yöntemiyle aynı sonuç elde edildi.

noktasındaki türevi hesaplayalım. İlk olarak, "geçiş" değerlerini bulmak uygundur. (fonksiyon değerleri ) :

Şimdi, bu durumda farklı şekillerde yapılabilecek son hesaplamaları yapıyoruz. 3 ve 4 "katların" olağan kurallara göre basitleştirilmediği, ancak iki sayının bir bölümü olarak dönüştürüldüğü ilginç bir teknik kullanıyorum:

Ve elbette, daha kompakt bir notasyon kullanarak kontrol etmemek günahtır. :

Cevap:

Görevin "yarı genel" bir biçimde önerildiği görülür:

"Fonksiyonun türevini bulun, burada »

Yani, "ana" işlev verilmemiştir, ancak "ekleri" oldukça belirgindir. Cevap aynı tarzda verilmelidir:

Ayrıca, koşul biraz şifrelenebilir:

"Bir fonksiyonun türevini bulun »

Bu durumda, ihtiyacınız var tek başına içiçe işlevleri bazı uygun harflerle gösterir, örneğin, aracılığıyla ve aynı formülü kullanın:

Bu arada, harf atamaları hakkında. Bir cankurtaran halatı olarak "harflere sarılmamaya" defalarca teşvik ettim ve şimdi bu özellikle doğru! Konuyla ilgili çeşitli kaynakları incelerken, genel olarak yazarların "yollarından çıktıkları" ve öğrencileri acımasızca matematiğin fırtınalı uçurumuna atmaya başladıkları izlenimini edindim =) Öyleyse beni affet :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun , Eğer

Diğer tanımlamalar karışıklığa yol açmamalıdır! Bunun gibi bir görevle her karşılaştığınızda, iki basit soruyu yanıtlamanız gerekir:

1) "Ana" işlev neye bağlıdır? Bu durumda, "z" işlevi iki işleve ("y" ve "ve") bağlıdır.

2) İç içe işlevler hangi değişkenlere bağlıdır? Bu durumda, her iki "ek" de yalnızca "x"e bağlıdır.

Bu nedenle, formülü bu soruna uyarlamakta zorluk çekmemelisiniz!

Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda.

Birinci türden ek örnekler şu adreste bulunabilir: problem kitabı Ryabushko (IDZ 10.1), peki, gidiyoruz üç değişkenli fonksiyon:

Örnek 3

verilen bir işlev nerede .
Bir noktada türevi hesapla

Pek çok kişinin tahmin ettiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülü ilgili bir forma sahiptir:

Tahmin edip etmediğine karar ver =)

Her ihtimale karşı, fonksiyon için genel formülü vereceğim:
, ancak pratikte Örnek 3'ten daha uzun bir şey görmeniz pek olası değildir.

Ek olarak, bazen "kesilmiş" bir sürümü ayırt etmek gerekir - kural olarak, formun bir işlevi ya . Bu soruyu kendi başınıza çalışmanız için bırakıyorum - bazı basit örneklerle gelin, düşünün, deney yapın ve türevler için kısaltılmış formüller elde edin.

Anlamadığınız herhangi bir şey varsa, lütfen dersin ilk bölümünü yeniden okumak ve anlamak için zaman ayırın, çünkü şimdi görev daha zor hale gelecektir:

Örnek 4

Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulun, burada

Çözüm: bu fonksiyon şu şekildedir ve doğrudan ikameden sonra iki değişkenin normal fonksiyonunu elde ederiz:

Ama böyle bir korku kabul edilemeyecek bir şey değil, ayırt etmek bile istemiyoruz =) Bu nedenle hazır formüller kullanacağız. Deseni hızlı bir şekilde yakalamanız için bazı notlar alacağım:

Resme yukarıdan aşağıya ve soldan sağa dikkatlice bakın ....

İlk olarak, "asıl" fonksiyonun kısmi türevlerini bulalım:

Şimdi "insert"lerin "X" türevlerini buluyoruz:

ve son "X" türevini yazın:

"Oyun" ile benzer şekilde:

Ve

Başka bir stile bağlı kalabilirsiniz - hemen tüm "kuyrukları" bulun ve sonra her iki türevi de yazın.

Cevap:

İkame hakkında bir şekilde hiç düşünmüyorum =) =), ancak sonuçları biraz tarayabilirsiniz. Ama yine, neden? - sadece öğretmenin kontrol etmesini zorlaştırın.

Gerekirse, o zaman toplam diferansiyel burada her zamanki formüle göre yazılmıştır ve bu arada, tam da bu adımda hafif kozmetikler uygun hale gelir:


Bu ... .... tekerlekli bir tabut.

Karmaşık bir işlevin dikkate alınan çeşitliliğinin popülaritesi göz önüne alındığında, bağımsız bir çözüm için birkaç görev. "Yarı genel" formda daha basit bir örnek - formülün kendisini anlamak için ;-):

Örnek 5

Fonksiyonun kısmi türevlerini bulun, burada

Ve daha zor - farklılaşma tekniklerinin bağlantısıyla:

Örnek 6

Bir fonksiyonun tam diferansiyelini bulun , Nerede

Hayır, hiç "seni dibe göndermeye" çalışmıyorum - tüm örnekler gerçek çalışmalardan alınmıştır ve "açık denizlerde" istediğiniz harflerle karşılaşabilirsiniz. Her durumda, işlevi analiz etmeniz gerekir (2 soruyu yanıtladıktan sonra - yukarıya bakın), genel bir formda sunun ve kısmi türev formüllerini dikkatlice değiştirin. Şimdi biraz kafanız karışmış olabilir, ancak tasarımlarının ilkesini anlayacaksınız! Çünkü asıl iş yeni başlıyor :)

Örnek 7

Kısmi türevleri bulun ve karmaşık bir fonksiyonun toplam diferansiyelini oluşturun
, Nerede

Çözüm: "ana" işlev şu şekildedir ve hala iki değişkene bağlıdır - "x" ve "y". Ancak Örnek 4 ile karşılaştırıldığında, iç içe geçmiş bir fonksiyon daha eklenmiştir ve bu nedenle kısmi türev formülleri de uzatılmıştır. Bu örnekte olduğu gibi, örüntüyü daha iyi görebilmek için "temel" kısmi türevleri farklı renklerle vurgulayacağım:

Ve yine - kaydı yukarıdan aşağıya ve soldan sağa dikkatlice inceleyin.

Problem "yarı-genel" bir biçimde formüle edildiğinden, tüm çalışmalarımız esasen iç içe geçmiş fonksiyonların kısmi türevlerini bulmakla sınırlıdır:

Birinci sınıf öğrencisi yapacak:

Ve tam farkın bile oldukça hoş olduğu ortaya çıktı:

Size kasıtlı olarak belirli bir işlev sunmadım - böylece gereksiz yığınlar, problem kavramının iyi anlaşılmasını engellemez.

Cevap:

Sıklıkla "çeşitli" yatırımlar bulabilirsiniz, örneğin:

Burada “ana” fonksiyon, şeklinde olmasına rağmen yine de hem “x”e hem de “y”ye bağlıdır. Bu nedenle, aynı formüller çalışır - yalnızca bazı kısmi türevler sıfıra eşit olacaktır. Üstelik bu, aşağıdaki gibi işlevler için de geçerlidir: , burada her "insert" bir değişkene bağlıdır.

Dersin son iki örneğinde de benzer bir durum yaşanıyor:

Örnek 8

Bir bileşik fonksiyonun bir noktadaki toplam diferansiyelini bulun

Çözüm: koşul "bütçe" şeklinde formüle edilmiştir ve iç içe geçmiş işlevleri kendimiz belirlemeliyiz. Bence iyi bir seçim:

"Ekler" de ( DİKKAT!) ÜÇ harf eski güzel "x-y-z"dir, yani "ana" işlev aslında üç değişkene bağlıdır. Resmi olarak olarak yeniden yazılabilir ve bu durumda kısmi türevler aşağıdaki formüllerle tanımlanır:

Tararız, araştırırız, yakalarız...

Görevimizde:

Şimdiye kadar, en basit fonksiyonel modeli ele aldık. işlev tek bağlıdır argüman. Ancak, çevreleyen dünyanın çeşitli fenomenlerini incelerken, genellikle ikiden fazla nicelikte eşzamanlı bir değişiklikle karşılaşırız ve birçok süreç etkili bir şekilde biçimlendirilebilir. birkaç değişkenin işlevi, Nerede - argümanlar veya bağımsız değişkenler. Uygulamada en yaygın olan bir konuyu geliştirmeye başlayalım iki değişkenli fonksiyonlar .

İki değişkenin işlevi isminde kanun, bunun için her değer çifti bağımsız değişkenler(argümanlar) gelen etki alanları bağımlı değişkenin (fonksiyonun) değerine karşılık gelir.

Bu işlev şu şekilde tanımlanır:

Ya , ya da başka bir standart harf:

Sıralı değer çifti "x" ve "y" belirlediğinden uçakta nokta, o zaman fonksiyonu da cinsinden yazılır , burada koordinatları olan düzlemin bir noktasıdır . Bu atama, bazı pratik görevlerde yaygın olarak kullanılmaktadır.

İki değişkenli bir fonksiyonun geometrik anlamıÇok basit. Bir değişkenin işlevi düzlemde belirli bir çizgiye karşılık geliyorsa (örneğin, tanıdık okul parabolü), o zaman iki değişkenin işlevinin grafiği üç boyutlu uzayda bulunur. Uygulamada, çoğu zaman uğraşmak zorunda yüzey, ancak bazen bir fonksiyonun grafiği, örneğin bir uzamsal çizgi(ler) veya hatta tek bir nokta olabilir.

Kurstan bir yüzeyin temel bir örneğini çok iyi biliyoruz. analitik geometri- Bu uçak. olduğunu varsayarsak, denklem kolayca fonksiyonel formda yeniden yazılabilir:

2 değişkenli bir fonksiyonun en önemli özelliği zaten seslendirilmiş olmasıdır. ihtisas.

İki değişkenli bir fonksiyonun alanı küme denir Tümü kendileri için bir değer olan çiftler.

Grafik olarak, tanım alanı uçağın tamamı veya bir kısmı. Yani, fonksiyonun kapsamı tüm koordinat düzlemidir - bunun nedeni herhangi nokta mevcut değer .

Ancak böyle bir boş hizalama elbette her zaman değildir:

İki değişken gibi mi?

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun çeşitli kavramlarını ele alırken, tek değişkenli bir fonksiyonun karşılık gelen kavramlarıyla analojiler çizmek yararlıdır. Açıklığa kavuştururken özellikle etki alanları kesirler, hatta kökler, logaritmalar vb. içeren işlevlere özel dikkat gösterdik. Burada her şey tamamen aynı!

İki değişkenli bir fonksiyonun alanını bulma görevi, neredeyse %100 olasılıkla tematik çalışmada karşılaşacağınızdan, çok sayıda örneği analiz edeceğim:

örnek 1

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: payda sıfıra gidemeyeceğinden, o zaman:

Cevap: hatta ait noktalar hariç tüm koordinat düzlemi

Evet, evet, cevabı bu tarzda yazmak daha iyidir. İki değişkenli bir fonksiyonun alanı nadiren herhangi bir sembolle gösterilir, çok daha sık kullanılırlar. sözlü açıklama ve/veya çizim.

eğer koşula göre gerekliçizimi tamamlamak için koordinat düzlemini tasvir etmek gerekli olacaktır ve noktalı çizgi düz bir çizgi çizin. Noktalı çizgi, çizginin hariç tanım alanına girer.

Biraz sonra göreceğimiz gibi daha zor örneklerde çizim olmazsa olmazdır.

Örnek 2

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: köklü ifade negatif olmamalıdır:

Cevap: yarım düzlem

Buradaki grafik görüntü de ilkel: Kartezyen bir koordinat sistemi çiziyoruz, sağlam düz bir çizgi çizin ve tepeyi tarayın yarım düzlem. Kesintisiz çizgi şu gerçeği gösterir: dahil tanım alanına girer.

Dikkat!İkinci örnekle ilgili HİÇBİR ŞEY anlamıyorsanız, lütfen dersi ayrıntılı olarak çalışın/tekrar edin Doğrusal eşitsizlikler- Onsuz çok zor olacak!

Bağımsız çözüm için küçük resim:

Örnek 3

Bir işlevin kapsamını bulun

Dersin sonunda iki satırlık çözüm ve cevap.

Uzatmaya devam ediyoruz:

Örnek 4

Ve çizimde tasvir edin

Çözüm: Sorunun böyle bir formülasyonunun anlaşılması kolaydır gerekliliklerçizimin yürütülmesi (kapsam çok basit olsa bile). Ama önce analitik: radikal ifade negatif olmamalıdır: ve paydanın yok olamayacağı göz önüne alındığında, eşitsizlik katı hale gelir:

Eşitsizliğin belirlediği alan nasıl belirlenir? Çözümde olduğu gibi aynı eylem algoritmasını öneriyorum doğrusal eşitsizlikler.

Önce çiz astar, hangi ayarlar karşılık gelen eşitlik. Denklem tanımlar daire koordinat düzlemini parçalara bölen yarıçapın orijininde ortalanır iki parçalar - dairenin "iç" ve "dış". Çünkü bizim eşitsizliğimiz sıkı, o zaman dairenin kendisi kesinlikle tanım alanına girmeyecektir ve bu nedenle çizilmesi gerekir. noktalı çizgi.

Şimdi alıyoruz keyfi düzlem noktası, sahiplenilmemiş daire ve koordinatlarını eşitsizliğe yerleştirin. Elbette en kolay yol, koordinatların orijinini seçmektir:

Kabul edilmiş yanlış eşitsizlik, yani nokta tatmin etmiyor eşitsizlik Üstelik bu eşitsizlik, dairenin içinde kalan herhangi bir nokta tarafından karşılanmaz ve bu nedenle istenen tanım alanı, dairenin dış kısmıdır. Tanım alanı geleneksel olarak taranır:

Dileyen taralı alana ait herhangi bir noktayı alıp koordinatlarının eşitsizliği sağladığından emin olabilir. Bu arada, zıt eşitsizlik tanımlar daire orijinde merkezli, yarıçap .

Cevap: dairenin dış kısmı

Problemin geometrik anlamına dönelim: burada tanım alanını bulduk ve gölgeledik, bu ne anlama geliyor? Bu, gölgeli alanın her noktasında bir "z" değeri olduğu ve grafiksel olarak fonksiyonun olduğu anlamına gelir. takip ediliyor yüzey:

Şematik çizim, bu yüzeyin yerlerde bulunduğunu açıkça göstermektedir. üstünde uçak (yakın ve bizden uzak oktanlar), yerlerde - altında uçak (bize oktantlara göre sol ve sağ). Ayrıca yüzey eksenlerden geçer. Ancak işlevin davranışı şu anda bizim için pek ilginç değil - önemli olan Bütün bunlar yalnızca tanım alanında gerçekleşir.. Çembere ait herhangi bir noktayı alırsak, orada yüzey olmaz. (çünkü Z yok), şeklin ortasındaki yuvarlak boşlukla gösterilir.

Lütfen analiz edilen örneği dikkatlice düşünün, çünkü içinde sorunun özünü en ayrıntılı şekilde açıkladım.

Bağımsız bir karar için aşağıdaki görev:

Örnek 5

Ders sonunda kısa çözüm ve çizim. Genel olarak, incelenen konuda, aralarında 2. sipariş hatları daire en popüler olanıdır, ancak bir seçenek olarak göreve "zorlayabilirler" elips, abartı veya parabol.

Hadi yukarı gidelim:

Örnek 6

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: kök ifade negatif olmamalıdır: ve payda sıfır olamaz: . Böylece, tanım alanı sistem tarafından belirlenir.

Derste tartışılan standart şemaya göre ilk koşulu ele alıyoruz. Doğrusal eşitsizlikler: düz bir çizgi çizin ve eşitsizliğe karşılık gelen bir yarım düzlem tanımlayın . Çünkü eşitsizlik katı olmayan, o zaman çizginin kendisi de bir çözüm olacaktır.

Sistemin ikinci koşulunda da her şey basittir: denklem y eksenini ayarlar ve olur olmaz tanım alanından çıkarılmalıdır.

Kesin çizginin tanım alanına girişini ve noktalı çizginin bu alandan hariç tutulduğunu gösterdiğini unutmadan çizimi tamamlayalım:

Aslında burada olduğumuza dikkat edilmelidir. zorakiçizim yapmak. Ve böyle bir durum tipiktir - birçok görevde, bölgenin sözlü açıklaması zordur ve onu tarif etseniz bile, o zaman büyük olasılıkla yeterince anlaşılmayacaksınız ve alanı tasvir etmeye zorlanacaksınız.

Cevap: ihtisas:

Bu arada, çizimsiz böyle bir cevap gerçekten nemli görünüyor.

Elde edilen sonucun geometrik anlamını bir kez daha tekrarlıyoruz: gölgeli alanda fonksiyonun bir grafiği var, bu da üç boyutlu uzayın yüzeyi. Bu yüzey düzlemin üstüne / altına yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bu durumda tüm bunlar bize paraleldir. Yüzeyin varlığı gerçeği önemlidir ve bulunduğu alanı doğru bir şekilde bulmak önemlidir.

Örnek 7

Bir işlevin kapsamını bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda görevin nihai tasarımının yaklaşık bir örneği.

Görünüşte basit görünen işlevlerin aceleci olmayan bir çözüme yol açması alışılmadık bir durum değildir:

Örnek 8

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: kullanarak kareler farkı formülü, radikal ifadeyi faktörlere ayırırız: .

İki faktörün ürünü negatif değildir , Ne zaman ikisi birdençarpanlar negatif değildir: VEYA Ne zaman ikisi birden olumlu olmayan: . Bu tipik bir özelliktir. Bu nedenle, iki tane çözmemiz gerekiyor doğrusal eşitsizlik sistemleri Ve BİRLEŞİN alanlar alındı. Benzer bir durumda, standart algoritma yerine, bilimsel veya daha doğrusu pratik dürtme yöntemi çok daha hızlı çalışır =)

Koordinat düzlemini 4 "köşeye" bölen düz çizgiler çiziyoruz. Üst "köşeye" ait bir noktayı, örneğin bir noktayı alıyoruz ve koordinatlarını 1. sistemin denklemlerine yerleştiriyoruz: . Doğru eşitsizlikler elde edilir, bu da sistemin çözümünün olduğu anlamına gelir. bütünüst köşe. gölgeliyoruz.

Şimdi sağ "köşeye" ait noktayı alıyoruz. Bu noktanın koordinatlarını değiştirdiğimiz 2. sistem kalır: . İkinci eşitsizlik yanlıştır, yani ve tüm doğru "köşe" sisteme bir çözüm değildir.

Tanım alanına dahil edilmeyecek olan sol "köşe" ile benzer bir hikaye.

Ve son olarak, alt "köşenin" deney noktasının koordinatlarını 2. sisteme yerleştiriyoruz: . Her iki eşitsizlik de doğrudur, bu da sistemin çözümünün olduğu anlamına gelir. ve tüm gölgeli olması gereken alt "köşe".

Gerçekte, elbette, bu kadar ayrıntılı resim yapmak gerekli değildir - yorumlanan tüm eylemler kolayca sözlü olarak gerçekleştirilir!

Cevap: kapsam Birlik sistem çözümleri .

Tahmin edebileceğiniz gibi, çizim olmadan böyle bir cevabın geçmesi pek olası değildir ve bu durum, koşul gerektirmese de sizi kalemle bir cetvel almaya zorlar.

Ve bu senin cevizin:

Örnek 9

Bir işlevin kapsamını bulun

İyi bir öğrenci her zaman logaritmaları kaçırır:

Örnek 10

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: logaritmanın argümanı kesinlikle pozitiftir, dolayısıyla alan sistem tarafından verilir.

Eşitsizlik sağ yarı düzlemi işaret eder ve ekseni hariç tutar.

İkinci koşul ile durum daha girift ama aynı zamanda şeffaftır. Hatırlıyoruz sinüzoidal. "Y" bir argüman görevi görür, ancak bu utanç verici olmamalıdır - y, yani y, shu, yani syu. Sinüs sıfırdan büyük nerede? Sinüs, örneğin aralıkta sıfırdan büyüktür. Fonksiyon periyodik olduğu için, bu tür sonsuz sayıda aralık vardır ve katlanmış biçimde eşitsizliğin çözümü aşağıdaki gibi yazılabilir:
, keyfi bir tam sayıdır.

Elbette sonsuz sayıda boşluk tasvir edilemez, bu nedenle kendimizi aralıkla sınırlayacağız. ve komşuları:

Birinci koşula göre faaliyet alanımızın kesinlikle sağ yarım düzlemle sınırlı olduğunu unutmadan çizimi tamamlayalım:

hmm ... bir tür çizim hayaleti ortaya çıktı ... bir tür yüksek matematik dökümü ...

Cevap:

Bir sonraki logaritma sizindir:

Örnek 11

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm sırasında, inşa etmeniz gerekecek parabol, uçağı 2 parçaya bölecek - dallar arasında bulunan "iç" ve dış kısım. İstenilen parçayı bulma tekniği, makalede defalarca yer aldı. Doğrusal eşitsizlikler ve bu dersteki önceki örnekler.

Ders sonunda çözüm, çizim ve cevap.

Paragrafın son somunları "kemerlere" ayrılmıştır:

Örnek 12

Bir işlevin kapsamını bulun

Çözüm: arcsine bağımsız değişkeni aşağıdaki sınırlar içinde olmalıdır:

O zaman iki teknik olasılık vardır: dersin son örneklerine benzetilerek daha hazırlıklı okuyucular Tek değişkenli bir fonksiyonun kapsamı bir çift eşitsizliği "atabilir" ve ortada bir "y" bırakabilir. Çaydanlıklar için "treni" eşdeğer bir ifadeye dönüştürmenizi tavsiye ederim. eşitsizlik sistemi:

Sistem her zamanki gibi çözüldü - düz çizgiler oluşturuyoruz ve gerekli yarım düzlemleri buluyoruz. Sonuç olarak:

Burada sınırların tanım alanına dahil edildiğini ve düz çizgilerin düz çizgiler olarak çizildiğini unutmayın. Büyük hatalardan kaçınmak için bu her zaman dikkatle izlenmelidir.

Cevap: tanım alanı sistemin çözümüdür

Örnek 13

Bir işlevin kapsamını bulun

Örnek çözüm, çift eşitsizliği dönüştürmek için gelişmiş bir teknik kullanır.

Uygulamada, bazen üç değişkenli bir fonksiyonun tanım alanını bulmaya yönelik görevler de vardır. Üç değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı şu şekilde olabilir: Tümüç boyutlu uzay veya onun bir parçası. İlk durumda, işlev tanımlanır herhangi ikincisinde uzay noktaları - yalnızca bazı uzamsal nesnelere ait olan noktalar için, çoğu zaman - vücut. Dikdörtgen paralel yüzlü olabilir, elipsoid, "içeri" parabolik silindir vesaire. Üç değişkenli bir fonksiyonun alanını bulma işi genellikle bu cismi bulmak ve üç boyutlu bir çizim yapmaktan ibarettir. Ancak, bu tür örnekler oldukça nadirdir. (Sadece bir çift buldum) ve bu nedenle kendimi bu genel bakış paragrafıyla sınırlayacağım.

Seviye çizgileri

Bu terimin daha iyi anlaşılması için ekseni şu şekilde karşılaştıracağız: yükseklik: Z değeri ne kadar büyükse, yükseklik o kadar büyük olur; Z değeri ne kadar küçükse, yükseklik o kadar küçüktür. Yükseklik negatif de olabilir.

Tanım alanındaki fonksiyon uzamsal bir grafiktir, kesinlik ve daha fazla netlik için bunun önemsiz bir yüzey olduğunu varsayacağız. seviye çizgileri nedir? Mecazi olarak konuşursak, seviye çizgileri çeşitli yüksekliklerde yüzeyin yatay "dilimleridir". Bu "dilimler" veya daha doğrusu, bölümler uçaklarla yapılır, ve sonra bir uçağa yansıtılır .

Tanım: bir fonksiyonun seviye çizgisi, fonksiyonun her noktasında sabit bir değer tuttuğu düzlemdeki bir çizgidir: .

Böylece seviye çizgileri, belirli bir yüzeyin neye benzediğini anlamaya yardımcı olur - ve üç boyutlu bir çizim yapmadan yardımcı olurlar! Belirli bir görevi ele alalım:

Örnek 14

Bir özellik grafiğinin birden çok düzey çizgisini bulun ve çizin

Çözüm: Seviye çizgilerini kullanarak belirli bir yüzeyin şeklini keşfedin. Kolaylık sağlamak için, "arkadan öne" kaydını genişletelim:

Bu durumda "Z"nin (boy) kesinlikle negatif değerler alamayacağı açıktır. (kareler toplamı negatif olmadığı için). Böylece yüzey üst yarı boşlukta (düzlemin üzerinde) bulunur.

Koşul, seviye çizgilerinin hangi belirli yüksekliklerde "kesilmesi" gerektiğini söylemediğinden, kendi takdirimize bağlı olarak birkaç "Z" değeri seçmekte özgürüz.

Yüzeyi sıfır yükseklikte inceliyoruz, bunun için değeri eşitliyoruz :

Bu denklemin çözümü noktadır. yani, seviye çizgisi bir noktadır.

Bir birim yüksekliğe yükseliyoruz ve yüzeyimizi "kesiyoruz" uçak (yüzey denkleminde ikame):

Böylece, yükseklik için seviye çizgisi, birim yarıçap noktasında ortalanmış bir dairedir.

sana bunu hatırlatırım tüm "dilimler" bir düzleme yansıtılır ve bu nedenle noktalar için üç değil iki koordinat yazıyorum!

Şimdi, örneğin bir uçak alıyoruz ve incelenen yüzeyi "kesiyoruz" (yerine koyarızyüzey denklemine):

Böylece, boy içinseviye çizgisi, yarıçap noktasında ortalanmış bir dairedir.

Ve başka bir seviye çizgisi oluşturalım, diyelim ki :

–yarıçapı 3 olan bir noktada merkezli daire.

Seviye çizgileri, daha önce vurguladığım gibi, düzlemde bulunur, ancak her çizgi imzalanır - hangi yüksekliğe karşılık gelir:

Ele alınan yüzeyin diğer seviye çizgilerinin de daire olduğunu ve yukarı çıktıkça (Z değerini artırın), yarıçapın büyüdüğünü anlamak kolaydır. Böylece, yüzeyin kendisi tabanı yumurta şeklinde olan, üst kısmı düzlem üzerinde bulunan sonsuz bir kasedir. Bu "kase", eksenle birlikte monitör ekranından "doğruca size doğru gidiyor", yani dibine bakıyorsunuz =) Ve bu tesadüf değil! Yalnız ben çok katil döküyorum asaya =) =)

Cevap: Bu yüzeyin seviye çizgileri, formun eşmerkezli daireleridir.

Not : sıfır yarıçaplı (nokta) dejenere bir daire elde ettiğinizde

Düz çizgi kavramının kendisi haritacılıktan gelir. Yerleşik bir matematiksel ifadeyi başka kelimelerle ifade etmek için şunu söyleyebiliriz: seviye çizgisi, aynı yükseklikteki noktaların coğrafi konumudur. 1000, 3000 ve 5000 metrelik seviye çizgileri olan belirli bir dağ düşünün:

Şekil, dağın sol üst yamacının sağ alt yamaçtan çok daha dik olduğunu açıkça göstermektedir. Böylece seviye çizgileri, araziyi "düz" bir haritaya yansıtmanıza olanak tanır. Bu arada, negatif yükseklik değerleri de burada özel bir anlam kazanıyor - sonuçta, Dünya yüzeyinin bazı kısımları dünya okyanuslarının sıfır seviyesinin altında bulunuyor.

Doğa bilimi ve ekonomideki birçok modeli incelerken, iki (veya daha fazla) bağımsız değişkenin işlevleriyle uğraşmak gerekir.

Tanım (iki değişkenli bir fonksiyon için).İzin vermek X , Y Ve Z - ayarlar. Eğer her bir çift (X, y) sırasıyla kümelerden elemanlar X Ve Y bazı yasalara göre F tek bir öğeyle eşleşir z birçoktan Z , sonra derler ki iki değişkenli bir fonksiyon verildiğinde z = F(X, y) .

Genel olarak iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı bazı nokta kümeleriyle geometrik olarak temsil edilebilir ( X; y) uçak xOy .

Çeşitli değişkenlerin işlevleriyle ilgili temel tanımlar, ilgili değişkenlerin genellemeleridir. tek değişkenli fonksiyon tanımları .

Bir demet D isminde işlev kapsamı z, ve küme E – birçok anlamı. Değişkenler X Ve y fonksiyona göre z argümanları denir. Değişken z bağımlı değişken denir.

Bağımsız değişkenlerin özel değerleri

işlevin özel değerine karşılık gelir

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kapsamı

Eğer birkaç değişkenin işlevi (örneğin, iki değişken) formül tarafından verilen z = F(X, y) , O tanım alanı düzlemin tüm bu noktalarının kümesidir x0y, bunun için ifade F(X, y) mantıklı ve kabul ediyor gerçek değerler. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kapsamı için genel kurallar, aşağıdakiler için genel kurallardan türetilir: tek değişkenli bir fonksiyonun kapsamı. Aradaki fark, iki değişkenli bir fonksiyon için tanım alanının, tek değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi düz bir çizgi değil, düzlemdeki belirli noktalar kümesi olmasıdır. Üç değişkenli bir fonksiyon için tanım alanı, üç boyutlu uzayda karşılık gelen noktalar kümesidir ve bir fonksiyon için N değişkenler - özetin karşılık gelen noktaları kümesi N-boyutlu uzay.

Köklü iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı N inci derece

İki değişkenin işlevinin formülle verilmesi durumunda ve N - doğal sayı :

Eğer N- bir çift sayı, o zaman fonksiyonun tanım alanı, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olan radikal ifadenin tüm değerlerine karşılık gelen düzlemin noktaları kümesidir, yani

Eğer N- bir tek sayı, o zaman fonksiyonun alanı herhangi bir değer kümesidir, yani tüm düzlemdir x0y .

Bir tamsayı üssü olan iki değişkenli bir güç fonksiyonunun alanı

:

Eğer A- pozitif, o zaman fonksiyonun alanı tüm düzlemdir x0y ;

Eğer A- negatif, o zaman fonksiyonun tanım alanı sıfırdan farklı değerler kümesidir: .

Kesirli üslü iki değişkenli bir güç fonksiyonunun alanı

Fonksiyonun formül tarafından verilmesi durumunda :

eğer - pozitif ise, o zaman fonksiyonun tanım alanı, düzlemin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit değerler aldığı noktaların kümesidir: ;

- negatif ise, fonksiyonun tanım alanı, sıfırdan büyük değerler aldığı düzlemin noktalarının kümesidir: .

İki değişkenli logaritmik bir fonksiyonun tanım alanı

İki değişkenin logaritmik fonksiyonu argümanının pozitif olması koşuluyla tanımlanır, yani tanım alanı, düzlemin sıfırdan büyük değerler aldığı noktaların kümesidir: .

İki değişkenli trigonometrik fonksiyonların tanım alanı

işlev kapsamı - tüm uçak x0y .

işlev kapsamı - tüm uçak x0y .

Fonksiyonun kapsamı tüm düzlemdir x0y

işlev kapsamı - tüm uçak x0y, değerlerini alan sayı çiftleri hariç.

İki değişkenli ters trigonometrik fonksiyonların alanı

işlev kapsamı .

işlev kapsamı düzlemin bu tür noktalarının kümesidir. .

işlev kapsamı - tüm uçak x0y .

işlev kapsamı - tüm uçak x0y .

İki değişkenin fonksiyonu olarak bir kesrin alanı

Eğer fonksiyon formül ile verilmişse, fonksiyonun tanım bölgesi düzlemin tüm noktalarıdır.

İki değişkenli doğrusal bir fonksiyonun tanım alanı

İşlev, formun bir formülü ile verilirse z = balta + ile + C , o zaman fonksiyonun tanım alanı tüm düzlemdir x0y .

örnek 1

Çözüm. Tanım alanı kurallarına göre, bir çift eşitsizlik oluşturuyoruz.

Tüm eşitsizliği ile çarparız ve şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan ifade, iki değişkenli bu fonksiyonun kapsamını ayarlar.

Örnek 2İki değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesini bulun.

Depositfiles'ten indirin

Dersler 1-4

BİRÇOK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI.

Kontrol soruları.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun (FNP) kısmi ve toplam artışı.

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti. FNP sınırlarının özellikleri.

FNP sürekliliği. Sürekli fonksiyonların özellikleri.

Birinci dereceden kısmi türevler.

Tanım : Değerlendirilen her bir değişken değerleri kümesi, değişkenin belirli bir değerine karşılık geliyorsaw, sonra arayacağızw bağımsız değişkenlerin işlevi:

(1)

Tanım : kapsamD ( F ) işlev (1), bu tür sayı kümelerinin toplanmasıdır
, bunun için fonksiyon (1) tanımlanmıştır.

Bölge D ( F ) açık veya kapalı olabilir. Örneğin bir işlev için:

D (F ) eşitsizliğin sağlandığı (kapalı bir top) ve bir fonksiyon için (açık bir top) uzayda tüm noktalar olacaktır.

Aşağıda, esas olarak iki değişkenli fonksiyonları ele alacağız, çünkü İlk olarak, iki veya daha fazla değişken arasında temel bir fark yoktur, değişken sayısındaki artış yalnızca hantal hesaplamalara yol açar. İkinci olarak, iki değişken durumu açık bir geometrik yorumu kabul eder.

İki değişkenli bir fonksiyonun geometrik gösterimi
açıkça veya dolaylı olarak belirtilebilen bir yüzeydir. Örneğin: A )
- açık görev (devir paraboloidi), b)
— örtülü görev (küre).

İşlevleri çizerken, genelliklebölüm yöntemi .

Örnek . Fonksiyonu çizin.
Kesitler yöntemini kullanalım.

– uçakta
- parabol.

– uçakta
-parabol.

– uçakta
- daire.

Arzu edilen yüzey bir dönüş paraboloididir.

Mesafe iki rastgele nokta arasında
Ve
(Öklid) boşluklar
bir numara aradı

noktalar kümesi deniraçık daire yarıçap bir nokta merkezli , – daire merkezli yarıçap.

Açık daire yarıçapı bir noktada merkezlenmiş denir-komşu puan

HAKKINDA

tanım. nokta deniriç nokta setleri , varsa -mahalle
nokta , tamamen kümeye ait (yani
).

Tanım . nokta denirsınır noktası -komşularından herhangi biri hem kümeye ait olan hem de kümeye ait olmayan noktalar içeriyorsa kümelenir.

Bir kümenin sınır noktası bu kümeye ait olabilir veya olmayabilir.

Tanım . Küme deniraçık tüm noktaları iç ise.

Tanım . Küme denirkapalı tüm sınır noktalarını içeriyorsa. Bir kümenin tüm sınır noktalarının kümesine onun adı verilir.sınır (ve genellikle simgesiyle gösterilir)
). Setin
kapalı ve denirkapatma ayarlayın.

Örnek . Eğer , o zaman . nerede .

Bir fonksiyonun kısmi ve toplam artışı.

Bir bağımsız değişken (örneğin,X ) artırılır X ve diğer değişken değişmezse, işlev artırılır:

bağımsız değişkenine göre bir fonksiyonun kısmi artışı olarak adlandırılırX .

Tüm değişkenler artarsa, işlev tam bir artış alır:

Örneğin, işlev için
sahip olacak:

Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti.

Tanım . noktaların dizisi olduğunu söyleyeceğiz
birleşir de
diyeceğim şey şu ki
, eğer .

Bu durumda nokta
ismindelimit belirtilen sıra ve şunu yazın:
de
.

Sadece ve ancak aynı anda olduğunu göstermek kolaydır.
,
(yani, uzayda bir dizi noktanın yakınsaması şuna eşdeğerdir:koordinatlı yakınsama ).

Tanım . numara denir limit fonksiyonlar
de
, eğer için

öyle ki
, en kısa zamanda.

bu durumda yaz
veya
de
.

Bir ve iki değişkenli fonksiyonların limiti kavramlarının görünüşteki tam analojisine rağmen, aralarında derin bir fark vardır. Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda, bir noktada bir limitin varlığı için, sadece iki sayının eşit olması gerekli ve yeterlidir - limitler iki yönde: limit noktasının sağında ve solunda . İki değişkenli bir fonksiyon için limit noktasına olan eğilim
düzlemde sonsuz sayıda yön boyunca meydana gelebilir (ve düz bir çizgi boyunca olması gerekmez) ve bu nedenle iki (veya birkaç) değişkenli bir fonksiyon için bir limitin varlığı gerekliliği, bir fonksiyona kıyasla "daha katıdır". bir değişken.

Örnek . Bulmak
.

Aspirasyonun sınır noktasına gelmesine izin verin
düz bir çizgide gidiyor
. Daha sonra
.

Sayı olduğu için sınır açıkça mevcut değildir.
bağlıdır .

FNP sınır özellikleri:

varsa ve
, O:, göre kısmi türev ve gösterimini tanıtın.

Kısmi türevin, diğer değişkenin değeri sabit olduğunda, bir değişkenin bir fonksiyonunun türevi olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle, kısmi türevler, tek değişkenli fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasıyla aynı kurallara göre hesaplanır.

Örnek . Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun
.

Sahibiz:
,
.