RC devrelerinin impuls ve geçici yanıtı. Devrenin transfer fonksiyonu ve impuls yanıtı. Geçici ve dürtü yanıtı

Rusya Akademisi

Fizik Bölümü

Ders

Elektrik devrelerinin geçici ve impuls özellikleri

kartal 2009

Eğitim ve eğitim hedefleri:

Seyirciye elektrik devrelerinin geçici ve impuls özelliklerinin özünü açıklayın, özellikler arasındaki ilişkiyi gösterin, EC'nin analizi ve sentezi için dikkate alınan özelliklerin kullanımına dikkat edin, pratik bir ders için yüksek kaliteli hazırlığı hedefleyin .

Ders Saati Tahsisi

Giriş bölümü……………………………………………………5 dk.

Çalışma soruları:

1. Elektrik devrelerinin geçici özellikleri………………15 dk.

2. Duhamel integralleri………………………………………………...25 dk.

3. Elektrik devrelerinin impuls karakteristikleri. Özellikler arasındaki ilişki………………………………………….………...25 dk.

4. Evrişim integralleri…………………………………………………….15 dk.

Sonuç…………………………………………………………5 dk.

1. Elektrik devrelerinin geçici özellikleri

Devrenin geçici yanıtı (aynı zamanda impuls yanıtı), devrenin zamansal özelliklerine atıfta bulunur, yani önceden belirlenmiş etkiler ve başlangıç ​​koşulları altında belirli bir geçici süreci ifade eder.

Elektrik devrelerini bu etkilere tepkileri açısından karşılaştırmak için devreleri aynı koşullara koymak gerekir. En basit ve en uygun olanı sıfır başlangıç ​​koşullarıdır.

Devrenin geçici yanıtı sıfır başlangıç ​​koşullarında bir adım eylemine verilen zincir yanıtının bu eylemin değerine oranıdır.

A-rahip,

Devrenin geçici yanıtı biliniyorsa (veya hesaplanabiliyorsa), formülden bu devrenin yanıtı sıfır NL'de bir adım eylemine bulunabilir.

Bir devrenin genellikle bilinen (veya bulunabilen) operatör transfer fonksiyonu ile bu devrenin geçici yanıtı arasında bir bağlantı kuralım. Bunu yapmak için, tanıtılan bir operatör transfer fonksiyonu kavramını kullanıyoruz:

Laplace ile dönüştürülmüş zincirleme reaksiyonun etkinin büyüklüğüne oranı

Buradan .

Buradan operatör transfer fonksiyonundan devrenin operatör geçici yanıtı bulunur.

Devrenin geçici cevabını belirlemek için ters Laplace dönüşümünü uygulamak gerekir:

yazışma tablosunu veya (ön olarak) ayrıştırma teoremini kullanarak.

Örnek: Bir serideki kapasitanslar boyunca gerilim yanıtı için adım yanıtını belirleyin

Burada, adım eylemine verilen yanıt,

geçici yanıtın kaynağı:

En yaygın devrelerin geçici özellikleri referans literatürde bulunur ve verilir.

2. Duhamel integralleri

Geçici yanıt genellikle bir devrenin karmaşık bir eyleme yanıtını bulmak için kullanılır. Bu oranları oluşturalım.

etkisi konusunda hemfikiriz

Hedef maruz kalma

Zamanın bir noktasında zincirleme reaksiyonun değerini bulun

Fark yaratan adım eylemi

Fark yaratan sonsuz küçük bir adım eylemi

Reaksiyon süperpozisyon ilkesine uygun olarak

Genellikle son formülde

3. Elektrik devrelerinin impuls özellikleri

Darbe yanıt devresi devrenin tepkisinin dürtüsel bir eyleme sıfır başlangıç ​​koşullarında bu eylemin alanına oranıdır.

A-rahip,

devrenin bir dürtü eylemine tepkisi nerede;

çarpma dürtüsünün alanıdır.

Devrenin bilinen dürtü tepkisine göre, devrenin belirli bir eyleme verdiği tepki bulunabilir: .

Eylem işlevi olarak, genellikle delta işlevi veya Dirac işlevi olarak da adlandırılan tek bir dürtü eylemi kullanılır.

Delta işlevi, dışında her yerde sıfıra eşit bir işlevdir ve alanı bire eşittir ():

.

Bir delta fonksiyonu kavramına, şu durumlarda yükseklik ve süre ile dikdörtgen darbenin limiti dikkate alınarak ulaşılabilir (Şekil 3):

Operatör yöntemini kullandığımız devrenin transfer fonksiyonu ile dürtü yanıtı arasında bir bağlantı kuralım.

A-rahip:

Etki (orijinal), nabız alanı ve delta fonksiyonunun çarpımı biçiminde en genel durum için ele alınırsa, yani biçimde , o zaman karşılık gelen tabloya göre bu etkinin görüntüsü şu şekildedir:

.

O zaman, öte yandan, devrenin Laplace ile dönüştürülmüş reaksiyonunun, etki dürtü alanının değerine oranı, devrenin operatör dürtü yanıtıdır:

.

Buradan, .

Devrenin impuls cevabını bulmak için ters Laplace dönüşümünü uygulamak gerekir:

, yani aslında .

Formülleri genelleştirerek, devrenin operatör transfer fonksiyonu ile devrenin operatör geçici ve dürtü tepkileri arasında bir ilişki elde ederiz:

Böylece devrenin özelliklerinden birini bilerek, diğerlerini belirleyebilirsiniz.

Orta kısma ekleyerek eşitliğin özdeş dönüşümünü yapalım.

O zaman sahip olacağız.

Çünkü geçici yanıtın türevinin bir görüntüsüdür, o zaman orijinal eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

Orijinallerin alemine geçerek, devrenin darbe tepkisini bilinen geçici tepkisinden belirlememize izin veren bir formül elde ederiz:

Eğer , o zaman .

Belirtilen özellikler arasındaki ters ilişki şu şekildedir:

.

Transfer fonksiyonuna göre, fonksiyonun bileşiminde bir terimin varlığını tespit etmek kolaydır.

Pay ve paydanın dereceleri aynı ise o zaman söz konusu terim mevcut olacaktır. Fonksiyon uygun bir kesir ise, bu terim mevcut olmayacaktır.

Örnek: Şekil 4'te gösterilen seri devrede gerilimler için impuls yanıtlarını belirleyin.

Tanımlayalım:

Karşılık gelen tabloya göre, aslına geçelim:

.

Bu fonksiyonun grafiği Şekil 5'te gösterilmiştir.

Pirinç. 5

İletim işlevi:

Yazışma tablosuna göre elimizde:

.

Ortaya çıkan fonksiyonun grafiği Şekil 6'da gösterilmiştir.

Aynı ifadelerin ve arasında bağ kuran bağıntılar yardımıyla da elde edilebileceğini belirtelim.

Fiziksel anlamda dürtü yanıtı, serbest salınım sürecini yansıtır ve bu nedenle gerçek devrelerde aşağıdaki koşulun her zaman karşılanması gerektiği tartışılabilir:

4. Evrişim integralleri (bindirmeler)

Bu devrenin dürtü yanıtı biliniyorsa, doğrusal bir elektrik devresinin karmaşık bir etkiye tepkisini belirleme prosedürünü düşünün. Çarpmanın Şekil 7'de gösterilen parçalı sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayacağız.

Zamanın bir noktasında reaksiyonun değerini bulmak istensin. Bu sorunu çözerek, etkiyi, biri zaman anına karşılık gelen Şekil 7'de gösterilen, sonsuz küçük süreli dikdörtgen darbelerin toplamı olarak temsil ediyoruz. Bu darbe, süre ve yükseklik ile karakterize edilir.

Daha önce ele alınan malzemeden, bir devrenin kısa bir darbeye tepkisinin, devrenin darbe tepkisinin ürününe ve darbe eyleminin alanına eşit kabul edilebileceği bilinmektedir. Sonuç olarak, bu itici eylem nedeniyle reaksiyonun sonsuz küçük bileşeni, zaman anında şuna eşit olacaktır:

nabzın alanı olduğundan ve uygulama anından gözlem anına kadar geçen süre.

Süperpozisyon ilkesini kullanarak, devrenin toplam tepkisi, zaman anından önceki alan içinde sonsuz küçük dürtü eylemleri dizisinin neden olduğu sonsuz sayıda sonsuz küçük bileşenlerin toplamı olarak tanımlanabilir.

Böylece:

.

Bu formül herhangi bir değer için geçerlidir, bu nedenle değişken genellikle basitçe gösterilir. Daha sonra:

.

Ortaya çıkan ilişki, evrişim integrali veya kaplama integrali olarak adlandırılır. Evrişim integralinin hesaplanması sonucunda bulunan fonksiyona evrişim denir ve .

Ortaya çıkan ifadedeki değişkenleri aşağıdakiler için değiştirirseniz, evrişim integralinin başka bir biçimini bulabilirsiniz:

.

Örnek: formun üstel bir darbesi girişe etki ediyorsa, bir seri devrenin kapasitansı boyunca voltajı bulun (Şekil 8):

zincir bağlanır: enerji durumundaki bir değişiklikle ... (+0). Uc(-0) = Uc(+0). 3. geçiş karakteristik elektriksel zincirler is: Bir birim adıma yanıt...

Dürtü (ağırlık) yanıtı veya dürtü işlevi zincirler - bu, sıfır başlangıç ​​koşulları altında girişinde tek bir darbe eylemine devrenin tepkisine sayısal olarak eşit olan bir zaman fonksiyonu olan genelleştirilmiş özelliğidir (Şekil 13.14); başka bir deyişle, bu, başlangıçtaki enerji deposundan bağımsız bir devrenin Diran delta fonksiyonuna yanıtıdır.
onun girişinde.

İşlev
geçiş hesaplanarak belirlenebilir
veya iletim
devre fonksiyonu.

fonksiyon hesaplama
Devrenin geçiş fonksiyonunu kullanarak. Giriş eyleminin altında olsun
doğrusal bir elektrik devresinin reaksiyonu
. Daha sonra, türevine eşit bir giriş eylemi ile devrenin doğrusallığı nedeniyle
, zincirin reaksiyonu türevine eşit olacaktır
.

Belirtildiği gibi, ne zaman
, zincirleme tepki
, ve eğer
, daha sonra zincirleme reaksiyon olacak
, yani dürtü fonksiyonu

Örnekleme özelliğine göre
iş
. Böylece, devrenin impuls fonksiyonu

. (13.8)

Eğer
, o zaman dürtü işlevi şu şekildedir:

. (13.9)

Bu nedenle, dürtü yanıtının boyutu, geçici yanıtın boyutunun zamana bölünmesine eşittir.

fonksiyon hesaplama
Devrenin transfer fonksiyonunu kullanarak. (13.6) ifadesine göre, fonksiyonun girişine etki ederken
, fonksiyonun cevabı geçiş fonksiyonu olacaktır.
tip:

.

Öte yandan, bir fonksiyonun zamana göre türevinin görüntüsü de bilinmektedir.
, de
, çarpıma eşittir
.

Nerede
,

veya
, (13.10)

onlar. dürtü yanıtı
devre, iletiminin ters Laplace dönüşümüne eşittir
fonksiyonlar.

Örnek. Şekil l'de eşdeğer devreleri gösterilen devrenin impuls fonksiyonunu bulalım. 13.12, A; 13.13.

Çözüm

Bu devrenin geçiş ve transfer fonksiyonları daha önce elde edilmişti:

O halde (13.8) ifadesine göre

Nerede
.

Dürtü tepki grafiği
devre şek. 13.15.

sonuçlar

dürtü yanıtı
geçici yanıtla aynı iki nedenden dolayı tanıtıldı
.

1. Tek dürtü eylemi
- herhangi bir sistem veya devre için aralıklı ve dolayısıyla oldukça ağır dış etki. Bu nedenle, sistemin veya zincirin böyle bir etki altındaki tepkisini bilmek önemlidir, yani; dürtü yanıtı
.

2. Duhamel integralinin bazı modifikasyonlarının yardımıyla,
sistemin veya devrenin herhangi bir harici pertürbasyona tepkisini hesaplayın (ayrıca alt bölümler 13.4, 13.5'e bakın).

4. Bindirme integrali (duhamel).

Keyfi bir pasif iki terminalli ağa izin verin (Şekil 13.16, A) bir kaynağa bağlı olduğu andan itibaren sürekli değişen
Gerilim (Şek. 13.16, B).

akımı bulmak lazım (veya voltaj) anahtar kapatıldıktan sonra iki terminalli ağın herhangi bir kolunda.

Problemi iki aşamada çözeceğiz. İlk olarak, tek bir adım fonksiyonu tarafından verilen tek bir voltaj atlaması için iki terminalli ağı açarak istenen değeri buluyoruz.
.

Zincirin tek bir sıçramaya verdiği tepkinin adım yanıtı (fonksiyon)
.

Örneğin, için
– akım için geçici devre fonksiyonu
(bkz. madde 2.1), için
– devre gerilimi geçici fonksiyonu
.

İkinci aşamada sürekli değişen voltaj
temel dikdörtgen sıçramalara sahip bir adım işleviyle değiştirin
(bkz. şekil 13.16 B). Daha sonra voltaj değişimi süreci, açma olarak temsil edilebilir.
sabit voltaj
ve sonra temel sabit gerilmelerin dahil edilmesi olarak
, zaman aralıklarıyla birbirine göre kaydırılır
ve verilen voltaj eğrisinin yükselen kolu için artı işaretine ve düşen kolu için eksi işaretine sahip olmak.

Şu anda istenen akımın bileşeni doğrudan voltajdan
eşittir:

.

Bir temel voltaj atlamasından istenen akımın bileşeni
an itibariyle dahil eşittir:

.

Burada geçiş fonksiyonunun argümanı zamandır.
, temel voltaj atlamasından bu yana
bir süre çalışmaya başlar anahtarın kapanmasından sonra veya başka bir deyişle, an ile an arasındaki zaman aralığından sonra bu atlama eyleminin başlangıcı ve zamanı eşittir
.

Temel güç dalgalanması

,

Nerede
ölçek faktörüdür.

Bu nedenle, akımın istenen bileşeni

Temel güç dalgalanmaları aşağıdaki zaman aralığında açılır:
şu ana kadar , bunun için istenen akım belirlenir. Bu nedenle, mevcut bileşenleri tüm atlamalardan toplayarak, sınıra geçerek
, ve ilk voltaj atlamasından mevcut bileşeni dikkate alarak
, şunu elde ederiz:

Uygulanan voltajda sürekli bir değişiklikle akımı belirlemek için son formül

(13.11)

isminde bindirmeli integral (süperpozisyon) veya Duhamel integrali (bu integrali yazmanın ilk şekli).

Benzer şekilde, devre ve akım kaynağı bağlandığında sorun çözülür. Bu integrale göre zincirin tepkimesi genel olarak,
bir noktada maruziyet başladıktan sonra
zaman noktasından önce meydana gelen etkinin tüm bu kısmı tarafından belirlenir .

Değişkenleri değiştirerek ve parçalara göre integral alarak, ifadeye (13.11) eşdeğer olan Duhamel integralini yazmanın başka biçimleri elde edilebilir:

Duhamel integralini yazmak için formun seçimi, hesaplama kolaylığı ile belirlenir. Örneğin, eğer
üstel bir fonksiyonla ifade edildiğinde, (13.13) veya (13.14) formülü uygun olur, bunun nedeni üstel fonksiyonun türevini almanın basitliğidir.

-de
veya
integralin önündeki terimin kaybolduğu gösterimi kullanmak uygundur.

keyfi etki
Şekil l'de gösterildiği gibi sıralı olarak bağlanmış darbelerin toplamı olarak da temsil edilebilir. 13.17.

Sonsuz küçük darbe süresi için
Duhamel integrali için (13.13) ve (13.14)'e benzer formüller elde ederiz.

Aynı formüller, (13.13) ve (13.14) bağıntılarından a'yı türev işleviyle değiştirerek elde edilebilir.
dürtü fonksiyonu
.

Çözüm.

Böylece, Duhamel integralinin (13.11) - (13.16) formüllerine ve devrenin zaman özelliklerine göre
Ve
devre tepkilerinin zaman fonksiyonları belirlenebilir
keyfi etkiler üzerine
.

Doğrusal sistemlerin dikkate değer bir özelliği - süperpozisyon ilkesinin geçerliliği - bu tür sistemlerden çeşitli sinyallerin geçişindeki problemlerin sistematik çözümüne doğrudan bir yol açar. Dinamik temsil yöntemi (bkz. Bölüm 1), sinyalleri temel impulsların toplamı olarak temsil etmeye izin verir. Girişteki temel bir dürtünün etkisi altında meydana gelen çıkışta reaksiyonu bulmak şu ya da bu şekilde mümkünse, sorunu çözmenin son adımı bu tür reaksiyonların toplamı olacaktır.

Planlanan analiz yolu, sinyallerin ve sistemlerin özelliklerinin zamansal temsiline dayanmaktadır. Eşit derecede uygulanabilir ve bazen çok daha uygun olan, sinyaller seri veya Fourier integralleri tarafından verildiğinde, frekans alanındaki analizdir. Sistemlerin özellikleri, temel harmonik sinyallerin dönüşüm yasasını gösteren frekans özelliklerine göre tanımlanır.

dürtü yanıtı.

Bazı lineer durağan sistemlerin T operatörü tarafından tanımlanmasına izin verin. Basit olması için giriş ve çıkış sinyallerinin tek boyutlu olduğunu varsayacağız. Tanım olarak, bir sistemin dürtü yanıtı, sistemin bir giriş sinyaline yanıtı olan bir işlevdir.Bu, h(t) işlevinin denklemi sağladığı anlamına gelir.

Sistem durağan olduğu için, girdi eylemi zaman içinde bir türev değeri ile kaydırılırsa benzer bir denklem de olacaktır:

Dürtü yanıtının ve onu oluşturan delta işlevinin makul bir idealleştirmenin sonucu olduğu açıkça anlaşılmalıdır. Fiziksel bir bakış açısından, dürtü yanıtı, sistemin karakteristik zaman ölçeğine kıyasla bu sinyalin süresinin ihmal edilebilir olması şartıyla, sistemin birim alanlı keyfi bir şekle sahip bir giriş darbe sinyaline yanıtını yaklaşık olarak yansıtır. örneğin, doğal salınımlarının periyodu.

Duhamel integrali.

Doğrusal durağan bir sistemin dürtü tepkisini bilmek, böyle bir sistemden deterministik bir sinyalin geçişine ilişkin herhangi bir sorunu resmi olarak çözebilir. Nitekim, ch. 1, giriş sinyalinin her zaman formun bir temsilini kabul ettiği gösterilmiştir.

Karşılık gelen çıkış reaksiyonu

Şimdi, integralin toplamın sınır değeri olduğunu dikkate alıyoruz, bu nedenle, üst üste binme ilkesine dayanan doğrusal operatör T, integral işareti altına alınabilir. Ayrıca, T operatörü yalnızca geçerli zamana t bağlı olan nicelikler üzerinde "hareket eder", ancak x entegrasyon değişkeni üzerinde işlem yapmaz. Bu nedenle, (8.7) ifadesinden şunu takip eder:

ya da nihayet

Doğrusal sistemler teorisinde temel öneme sahip olan bu formüle Duhamel integrali denir. İlişki (8.8), lineer durağan bir sistemin çıkış sinyalinin, sistemin giriş sinyali ve dürtü yanıtı olmak üzere iki işlevin bir evrişimi olduğunu gösterir. Açıkçası, formül (8.8) şu şekilde de yazılabilir:

Dolayısıyla, h(t) dürtü tepkisi biliniyorsa, çözümün sonraki aşamaları tamamen resmileştirilmiş işlemlere indirgenir.

Örnek 8.4. İç yapısı önemsiz olan bazı doğrusal durağan sistemler, T süresine sahip dikdörtgen bir video darbesi olan bir dürtü tepkisine sahiptir. Darbe, t = 0'da meydana gelir ve bir genliğe sahiptir.

Girişe bir adım sinyali uygulandığında bu sistemin çıkış tepkisini belirleyin.

Duhamel integral formülünü (8.8) kullanarak, çıkış sinyalinin, mevcut değerin darbe yanıtının süresini aşıp aşmadığına bağlı olarak farklı görüneceğine dikkat edin. sahip olduğumuzda

Eğer öyleyse for , işlev kaybolur, yani

Bulunan çıkış reaksiyonu, parçalı çizgi grafiği olarak görüntülenir.

Çok boyutlu duruma genelleme.

Şimdiye kadar, hem giriş hem de çıkış sinyallerinin tek boyutlu olduğu varsayılmıştır. Girişleri ve çıkışları olan bir sistemin daha genel bir durumunda, girişe bir delta işlevi uygulandığında her biri çıkışta sinyali gösteren kısmi dürtü yanıtları tanıtılmalıdır.

Fonksiyonlar kümesi, bir dürtü tepki matrisi oluşturur

Çok boyutlu durumda Duhamel integral formülü şu şekli alır:

nerede - -boyutlu vektör; - -boyutlu vektör.

Fiziksel gerçekleşebilirlik durumu.

Fiziksel olarak uygulanabilir bir sistemin dürtü yanıtının spesifik biçimi ne olursa olsun, en önemli ilke her zaman yerine getirilmelidir: dürtü girişine karşılık gelen çıkış sinyali, dürtü girişte belirene kadar oluşamaz.

Bu, kabul edilebilir dürtü tepkilerinin biçimi üzerinde çok basit bir kısıtlama anlamına gelir:

Bu koşul, örneğin, Örnek 8.4'te ele alınan sistemin dürtü tepkisi tarafından karşılanır.

Fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sistem için, Duhamel integral formülündeki üst sınırın zamanın şimdiki değeri ile değiştirilebileceğini görmek kolaydır:

Formül (8.13) açık bir fiziksel anlama sahiptir: gelen bir sinyali işleyen doğrusal bir durağan sistem, "geçmişte" var olan tüm anlık değerlerinin ağırlıklı bir toplamını gerçekleştirir - Ağırlık fonksiyonunun rolü, sistemin dürtü yanıtı. Fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sistemin hiçbir koşulda giriş sinyalinin "gelecekteki" değerleriyle çalışamaması temel olarak önemlidir.

Fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sistem aynı zamanda kararlı olmalıdır. Bu, dürtü yanıtının mutlak integrallenebilirlik koşulunu karşılaması gerektiği anlamına gelir.

Geçiş özelliği.

Heaviside fonksiyonu ile temsil edilen sinyal lineer durağan sistemin girişinde hareket etsin.

çıkış reaksiyonu

sistemin geçici yanıtı olarak adlandırılır. Sistem durağan olduğundan, geçici yanıt zaman kayması altında değişmez:

Sistemin fiziksel fizibilitesi hakkında daha önce belirtilen düşünceler, sistemin delta fonksiyonu tarafından değil, tek bir sıçrama ile uyarıldığı duruma tamamen aktarılır. Bu nedenle, fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sistemin geçici yanıtı, yalnızca t anında sıfır değildir. Darbe ve geçici yanıtlar arasında yakın bir bağlantı vardır. Aslında, (8.5) temelinde

Türev operatörü ve doğrusal sabit operatör T yer değiştirebilir, bu nedenle

Dinamik temsil formülünü (1.4) kullanarak ve bağıntının (8.8) türetilmesiyle aynı şekilde ilerleyerek, Duhamel integralinin başka bir biçimini elde ederiz:

Frekans transfer katsayısı.

Sistemlerin matematiksel çalışmasında, sistem tarafından dönüştürüldükten sonra formda değişmeden kalan bu tür giriş sinyalleri özellikle ilgi çekicidir. eşitlik varsa

o zaman T sistem operatörünün bir özfonksiyonudur ve genellikle karmaşık olan X sayısı onun özdeğeridir.

Herhangi bir frekans değeri için karmaşık sinyalin doğrusal durağan bir operatörün bir özfonksiyonu olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, (8.9) formunun Duhamel integralini kullanırız ve hesaplarız

Bu, sistem operatörünün özdeğerinin karmaşık sayı olduğunu gösterir.

(8.21)

sistemin frekans kazancı denir.

Formül (8.21), temel olarak önemli bir gerçeği ortaya koyar - doğrusal sabit bir sistemin frekans aktarım katsayısı ve dürtü yanıtı, Fourier dönüşümü ile birbirine bağlıdır. Bu nedenle, her zaman, işlevi bilerek, dürtü tepkisini belirleyebilirsiniz.

Doğrusal durağan sistemler teorisinin en önemli konumuna geldik - bu tür herhangi bir sistem, dürtü veya geçici yanıtları kullanılarak zaman alanında veya frekans kazancını ayarlayarak frekans alanında düşünülebilir. Her iki yaklaşım da eşdeğerdir ve bunlardan birinin seçimi, sistem hakkında ilk verileri elde etmenin kolaylığı ve hesaplamaların basitliği tarafından belirlenir.

Sonuç olarak, girdileri ve çıktıları olan doğrusal bir sistemin frekans özelliklerinin, bir frekans transfer katsayıları matrisi ile tanımlanabileceğini not ediyoruz.

Matrisler arasında (8.21), (8.22) formüllerinde verilene benzer bir bağlantı yasası vardır.

Genlik-frekans ve faz-frekans özellikleri.

Fonksiyonun basit bir yorumu vardır: sistemin girişine bilinen bir frekansa ve karmaşık genliğe sahip bir harmonik sinyal ulaşırsa, o zaman çıkış sinyalinin karmaşık genliği

Formül (8.26)'ya göre, frekans kazancının (AFC) modülü bir çifttir ve faz açısı (PFC) frekansın tek bir fonksiyonudur.

Fiziksel gerçekleşebilirlik koşullarının (8.12) ve (8.14) sağlanması için frekans transfer katsayısının ne olması gerektiği sorusuna cevap vermek çok daha zordur. Kanıt olmadan, Paley-Wiener kriteri olarak bilinen nihai sonucu sunuyoruz: fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir sistemin frekans aktarım katsayısı, integralin var olduğu şekilde olmalıdır.

Doğrusal bir sistemin frekans kazancının özelliklerini gösteren belirli bir örneği ele alalım.

Örnek 8.5. Bazı doğrusal sabit sistemler, ideal bir düşük geçiş filtresinin özelliklerine sahiptir, yani frekans aktarım katsayısı eşitlik sistemi tarafından verilir:

Evet, (8.20) ifadesine göre, böyle bir filtrenin dürtü yanıtı

Bu fonksiyonun grafiğinin t = 0 noktasına göre simetrisi, ideal bir alçak geçiren filtrenin gerçekleştirilemezliğini gösterir. Ancak, bu sonuç doğrudan Paley-Wiener kriterinden kaynaklanmaktadır. Aslında, (8.27) integrali, frekans ekseninin bazı sonlu bölümlerinde kaybolan herhangi bir frekans tepkisi için ıraksar.

İdeal bir LPF'nin gerçekleştirilemezliğine rağmen, bu model, fonksiyonun doğrusal olarak frekansa bağlı bir faz faktörü içerdiğini varsayarak, frekans filtrelerinin özelliklerini yaklaşık olarak tahmin etmek için başarıyla kullanılır:

Burada dürtü yanıtının olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Mutlak değer olarak PFC'nin eğimine eşit olan parametre, h(t) fonksiyonunun maksimumunun zaman gecikmesini belirler. Bu modelin uygulanan sistemin özelliklerini daha doğru yansıttığı açıktır, değer ne kadar büyükse

Giriş sinyali, kısa süreli dikdörtgen darbeler şeklinde temel eylemlerin toplamı ile temsil edilirse, birçok durumda devre yanıtının hesaplanması basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, önce Şekil 5.8a,6'da gösterilen ve şu şekilde yazılabilen işlevler arasındaki ilişkiyi göz önünde bulundurun:

İkinci işlev, Bölüm 2.4'te ele aldığımız tek bir dürtüdür. Gördüğünüz gibi, fonksiyon, fonksiyonun bir türevidir, yani. . Bu fonksiyonlarda limite geçişi şu şekilde gerçekleştirelim. Bu durumda, işlev bir özdeşlik işlevine ve işlev de bir işleve girecektir. Daha sonra, eşitlik sayesinde, birim darbenin veya - işlevin, birim işlevin türevi olduğu sonucu çıkar.

Doğrusal bir devre için, bundan, devrenin dürtü yanıtı olarak adlandırılan tek bir dürtüye verdiği yanıtın, devrenin geçici yanıtının türevi olduğu sonucuna varıyoruz, yani. veya

Darbe yanıtının boyutu, geçici yanıtın boyutunun zamana bölünmesine eşittir.

Çoğu durumda dürtü tepkisini bulmak, geçici yanıtı bulmaktan daha kolaydır. Aslında, Bölüm 2.4'te gösterildiği gibi, bir birim darbenin spektral fonksiyonu ve dolayısıyla Fourier integralini kullanan dürtü tepkisi için şu ifadeyi elde ederiz:

Bu ifadeden, özelliğin spektral fonksiyonunun devrenin karmaşık kazancına eşit olduğu sonucu çıkar, yani. veya doğrudan Fourier dönüşümünü kullanarak şunu yazarız:

Yani, devrenin dürtü yanıtı ve geçici yanıt, transfer katsayısı aracılığıyla belirlenir, ancak dürtü yanıtı için, çoğu durumda, Fourier integralindeki integralin daha basit olduğu ortaya çıkar.

Örnek olarak, (5.14) bağıntısını, geçici yanıtı şu şekilde olan bir entegre devrenin dürtü yanıtının spektrumunu belirlemek için uyguluyoruz: Dürtü yanıtı için şunu elde ederiz:

Burada (5.14) ifadesini kullanarak, de geçici tepkisinin sıfıra eşit olduğunu ve bu nedenle ifade (5.14)'ün integralindeki alt sınırın sıfır olacağını hesaba katmak gerekir. O zaman dürtü yanıtının spektral işlevi şu şekildedir:

onlar. daha önce elde edilen ifadeye (3.16) karşılık gelen entegre devrenin transfer katsayısını elde etti.

Darbe tepkisini bilerek, devrenin herhangi bir şekildeki bir sinyalin etkisine tepkisini, ya önce ilişkiden (5.12) geçici yanıtı bularak ve sonra Duhamel integrali için ifadelerden birini kullanarak ya da doğrudan bulabilirsiniz. işlev aracılığıyla. İkinci durumda, giriş işlevi, yani. hareket eden sinyal, Şekil 1'de gösterildiği gibi, impulsların toplamı olarak temsil edilmelidir. 5.9.

Fonksiyonun böyle bir gösterimi şu durumlarda daha doğru olacaktır, örn. burada temel tesirler olan sonsuz derecede büyük sayıda sonsuz derecede küçük süreli dürtülerin toplamı ile temsil ediliyorsa. Temel eylem, alanı bire eşit olan tek bir dürtü olsaydı, o zaman devrenin böyle bir dürtüye tepkisi, zamanın bir anında ortaya çıkar, bir dürtü tepkisi olurdu. Söz konusu durumda, temel dürtü, fonksiyonun o andaki anlık değerine eşit bir değere ve şuna eşit bir süreye sahiptir, yani. alanı eşittir. Ardından, temel etkiye verilen yanıt bir değer olacaktır. Devrenin fonksiyon tarafından belirtilen eyleme yanıtı, zaman konumu 0 ila aralığa karşılık gelen tüm temel eylemlere verilen yanıtların toplamı olacaktır, yani.

Duhamel integralini yazmanın başka bir şekli olan bu ifadeye fonksiyonların evrişimi de denir. Görünüşe göre formül (4.21)'deki iki fonksiyonun görüntülerinin orijinal evrişimiyle çakışıyor.

Bir devrenin impuls yanıtı, elektronik bir osiloskopta devrenin yanıtı (çıkış voltajı) gözlemlenerek deneysel olarak elde edilebilir. Devrenin girişine çok kısa süreli bir darbe uygulamak gerekir. Örneğin, çıkış voltajının kapasitans C'den çıkarıldığını varsayarak bir seri salınımlı devrenin dürtü tepkisini düşünün. Yukarıdaki paragraf 1.6'da, böyle bir devreye sabit bir voltaj uygulandığında geçici süreci ele aldık. Uygulanan voltajın değeri bire eşitse, devrenin geçici cevabı olan kapasitans üzerindeki voltaj, (1.33) 'e göre,

Bu geçici yanıt, Şekil 5.10a'da gösterilmektedir. Daha sonra devrenin dürtü yanıtı

Devrenin kalite faktörünün büyük olduğu düşünüldüğünde, birinci terimin ihmal edilebileceğini varsayıyoruz:

Bu özellik Şekil 5.10b'de gösterilmektedir. Bölüm 1.5'te ele aldığımız devredeki serbest salınımların osilogramına karşılık gelir.

Bu nedenle, devrenin darbe tepkisini deneysel olarak gözlemlemek için devrenin girişine kısa süreli bir darbe uygulamak gerekir, yani. (paragraf 2.4'te açıklandığı gibi), süresi koşulu karşılayacak şekilde.