Eğrisel koordinatlar. Genel koordinat fikri. Yüzeydeki eğrisel koordinatlar

Şimdiye kadar, bir noktanın düzlemdeki veya uzaydaki konumunu bilmek isterken, Kartezyen koordinat sistemini kullandık. Örneğin, uzayda bir noktanın konumunu üç koordinat kullanarak belirledik. Bu koordinatlar, uzayda değişken bir noktanın apsisi, ordinatı ve uygulamasıydı. Bununla birlikte, bir noktanın apsisini, ordinatını ve aplikatını belirtmenin, bir noktanın uzaydaki konumunu belirlemenin tek yolu olmadığı açıktır. Bu, örneğin eğrisel koordinatlar kullanılarak başka bir şekilde yapılabilir.

İyi tanımlanmış bir kurala göre, her nokta M boşluk benzersiz bir şekilde bazı üçlü sayılara karşılık gelir ( Q 1 , Q 2 , Q 3) ve farklı noktalar, sayıların farklı üçlülerine karşılık gelir. O zaman uzayda bir koordinat sisteminin verildiğini söylüyoruz; sayılar Q 1 , Q 2 , Q 3 noktasına karşılık gelen M, bu noktanın koordinatları (veya eğrisel koordinatları) olarak adlandırılır.

Sayıların üçlü olduğu kurala bağlı olarak ( Q 1 , Q 2 , Q 3) uzayda bir nokta ile eşleşir, şu veya bu koordinat sistemi hakkında konuşurlar.

Belirli bir koordinat sisteminde M noktasının konumunun sayılar tarafından belirlendiğini not etmek isterseniz Q 1 , Q 2 , Q 3 , daha sonra aşağıdaki gibi yazılır M(Q 1 , Q 2 , Q 3).

Örnek 1. Uzayda bazı sabit noktaların işaretlenmesine izin verin HAKKINDA(orijin) ve üzerlerinde seçilen ölçek ile karşılıklı olarak üç dikey eksen çizilir. (eksenler Öküz, Oy, Öz). Üç çeşit X, y, z noktayı eşleştir M, öyle ki yarıçap vektörünün izdüşümleri om aks üzerinde Öküz, Oy, Öz sırasıyla eşit olacak X, y, z. Sayıların üçlüleri arasında ilişki kurmanın bu yolu ( X, y, z) ve puanlar M bizi iyi bilinen Kartezyen koordinat sistemine götürür.

Bir Kartezyen koordinat sistemi durumunda, yalnızca sayıların her üçlüsünün uzayda belirli bir noktaya karşılık gelmediğini, aynı zamanda uzaydaki her noktanın belirli bir koordinat üçlüsüne karşılık geldiğini görmek kolaydır.

Örnek 2. Koordinat eksenlerinin uzayda yeniden çizilmesine izin verin Öküz, Oy, Öz Sabit bir noktadan geçen HAKKINDA(Menşei).

Üçlü sayıları düşünün R, J, z, Nerede R³0; £0 J£2 P, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M,öyle ki, uygulaması şuna eşittir: z ve düzleme izdüşümü Oksijen kutupsal koordinatları vardır R Ve J(bkz. şekil 4.1). Açıktır ki, burada sayıların her üçlüsü R, J, z belirli bir noktaya karşılık gelir M ve tersi, her nokta M belirli bir üçlü sayıyı cevaplar R, J, z. İstisnalar, eksen üzerinde uzanan noktalardır. Öz: bu durumda R Ve z benzersiz bir şekilde tanımlanır ve köşe J herhangi bir değer atanabilir. Sayılar R, J, z noktanın silindirik koordinatları olarak adlandırılır M.

Silindirik ve Kartezyen koordinatlar arasında bir ilişki kurmak kolaydır:

X = R× çünkü J; y = R×günah J; z = z.

Ve geri; ; z = z.

Örnek 3. Küresel bir koordinat sistemini tanıtalım. Üç sayı ayarla R, Q, J noktanın konumunu karakterize etme M uzayda şu şekilde: R koordinatların orijininden noktaya olan mesafedir M(yarıçap vektörünün uzunluğu), Q Öz ve yarıçap vektörü om(enlem noktası M) J eksenin pozitif yönü arasındaki açıdır Öküz ve yarıçap vektörünün düzleme izdüşümü Oksijen(nokta boylamı M). (Bkz. Şekil 4.2).

Açıktır ki, bu durumda, sadece her nokta değil M belirli bir sayı üçlüsüne karşılık gelir R, Q, J, Nerede R³ 0, 0 £ Q £ P, 0£ J£2 P, ancak tam tersi, bu tür üçlü sayıların her biri uzayda belirli bir noktaya karşılık gelir (yine, eksen noktaları hariç) Öz bu benzersizliğin ihlal edildiği yer).

Küresel ve kartezyen koordinatlar arasındaki ilişkiyi bulmak kolaydır:

X = R günah Qçünkü J; y = R günah Q günah J; z = Rçünkü Q.

Keyfi bir koordinat sistemine dönelim ( ok 1 , ok 2 , ok 3). Yalnızca uzaydaki her noktanın belirli bir üçlü sayıya karşılık gelmediğini varsayacağız ( Q 1 , Q 2 , Q 3), ancak tam tersi, sayıların her üçlüsü uzayda belirli bir noktaya karşılık gelir. Koordinat yüzeyleri ve koordinat çizgileri kavramını tanıtalım.

Tanım. Koordinatın olduğu noktaların kümesi Q 1 sabittir, koordinat yüzeyi olarak adlandırılır Q 1. Koordinat yüzeyleri benzer şekilde tanımlanır Q 2 , ve Q 3 (bkz. şekil 4.3).

Açıkçası, eğer M noktasının koordinatları varsa İLE 1 , İLE 2 , İLE 3 o zaman koordinat yüzeyleri bu noktada kesişir Q 1 =C 1 ; Q 2 =C 2 ; Q 3 =C 3 .

Tanım. Yalnızca koordinatın değiştiği noktaların kümesi Q 1 (ve diğer iki koordinat Q 2 ve Q 3 sabit kalır), koordinat çizgisi olarak adlandırılır Q 1 .

Açıkçası, herhangi bir koordinat çizgisi Q 1, koordinat düzlemlerinin kesişme çizgisidir Q 2 ve Q 3 .

Koordinat çizgileri benzer şekilde tanımlanır Q 2 ve Q 3 .

Örnek 1. Koordinat yüzeyleri (koordinat boyunca X) Kartezyen koordinat sisteminde tüm düzlemler vardır X= sabit (Düzleme paraleldirler. Oyz). Koordinat yüzeyleri, koordinatlar tarafından benzer şekilde tanımlanır. y Ve z.

koordinat X bir çizgi, eksene paralel düz bir çizgidir Öküz. koordinat y-astar ( z-line) - eksene paralel düz bir çizgi kuruluş birimi(eksenler Öz).

Örnek 2. Silindirik sistemdeki koordinat yüzeyleri şunlardır: düzleme paralel herhangi bir düzlem Oksijen(koordinat yüzeyi z= const), ekseni eksen boyunca yönlendirilmiş dairesel bir silindirin yüzeyi Öz(koordinat yüzeyi R= const) ve eksen tarafından sınırlanan yarım düzlem Öz(koordinat yüzeyi J= sabit) (bkz. Şekil 4.4).

Silindirik koordinat sistemi adı, koordinat yüzeyleri arasında silindirik yüzeyler bulunmasıyla açıklanır.

Bu sistemdeki koordinat çizgileri z-line - düz, eksene paralel Öz; J-line - eksen merkezli yatay bir düzlemde uzanan bir daire Öz; Ve R-line - eksen üzerinde rastgele bir noktadan çıkan bir ışın Öz, düzleme paralel Oksijen.

Pirinç. 4.5

Koordinat yüzeyleri arasında küreler olduğu için bu koordinat sistemine küresel denir.

Koordinat çizgileri şunlardır: R-line - orijinden çıkan bir ışın, Q-line - eksen üzerinde iki noktayı birleştiren, orijinde ortalanmış bir yarım daire Öz; J-line - eksen üzerinde ortalanmış, yatay bir düzlemde uzanan bir daire Öz.

Yukarıda tartışılan tüm örneklerde, herhangi bir noktadan geçen koordinat çizgileri M, birbirine diktir. Bu her koordinat sisteminde olmaz. Bununla birlikte, kendimizi yalnızca durumun böyle olduğu koordinat sistemlerini incelemekle sınırlıyoruz; bu tür koordinat sistemlerine ortogonal denir.

Tanım. Koordinat sistemi ( ok 1 , ok 2 , ok 3) her noktada ise ortogonal olarak adlandırılır M Bu noktadan geçen koordinat doğruları dik açılarla kesişir.

Şimdi bir noktayı düşünün M ve bu noktada karşılık gelen koordinat çizgilerine değen ve karşılık gelen koordinatı artırma yönünde yönlendirilen birim vektörler çizin. Bu vektörler her noktada bir sağ üçlü oluşturuyorsa, o zaman bize bir doğru koordinat sistemi verilir. Örneğin, Kartezyen koordinat sistemi X, y, z(eksenlerin olağan düzeni ile) doğru. Ayrıca sağ el silindirik koordinat sistemi R, J, z(ancak tam olarak bu koordinat sırası ile; örneğin koordinatların sırasını değiştirirseniz, R, z, J, artık doğru bir sistem elde edemiyoruz).

Küresel koordinat sistemi de doğrudur (eğer böyle bir düzen ayarlarsanız) R, Q, J).

Kartezyen koordinat sisteminde birim vektörün yönünün hangi noktaya bağlı olmadığına dikkat edin. M bu vektörü çiziyoruz; aynısı vektörler için de geçerlidir. Eğrisel koordinat sistemlerinde başka bir şey gözlemliyoruz: örneğin, silindirik bir koordinat sisteminde, bir noktadaki vektörler M ve başka bir noktada M 1 artık birbirine paralel olmak zorunda değil. Aynısı vektör için de geçerlidir (farklı noktalarda, genel olarak konuşursak, farklı yönlere sahiptir).

Böylece, eğrisel bir koordinat sistemindeki birim ortogonal vektörlerin üçlüsü, noktanın konumuna bağlıdır. M, bu vektörlerin dikkate alındığı. Üçlü birim ortogonal vektörlere hareketli çerçeve denir ve vektörlerin kendilerine birim ortolar (veya basitçe ortlar) denir.

Böyle bir vektör uzayına karşılık gelir. Bu makalede, ilk tanım ilk tanım olarak alınacaktır.

N (\displaystylen)-boyutlu Öklid uzayı gösterilir E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) notasyon da sıklıkla kullanılır (eğer uzayın Öklid yapısına sahip olduğu bağlamdan anlaşılıyorsa).

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ 04 - Doğrusal Cebir. Öklid uzayı

✪ Öklid dışı geometri. Bölüm Bir.

✪ Öklid dışı geometri. Bölüm iki

✪ 01 - Doğrusal Cebir. Doğrusal (vektör) uzay

✪ 8. Öklid uzayları

altyazılar

Resmi tanımlama

Öklid uzayını tanımlamak için, skaler-çarpımın temel konseptini almak en kolayıdır. Bir Öklid vektör uzayı, vektörleri üzerinde gerçek değerli bir fonksiyon verilen, gerçek sayılar alanı üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı olarak tanımlanır. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) aşağıdaki üç özellik ile:

Öklid uzayı örneği - koordinat uzayı R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) olası tüm gerçek sayı demetlerinden oluşan (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) formülle belirlenen skaler çarpım (x , y) = ∑ ben = 1 n x ben y ben = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\toplam _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Uzunluklar ve açılar

Öklid uzayında verilen skaler çarpım, geometrik uzunluk ve açı kavramlarını tanıtmak için yeterlidir. vektör uzunluğu sen (\görüntü stili u) olarak tanımlanmış (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) ve belirtilen | sen | . (\görüntü stili |u|.)İç çarpımın pozitif kesinliği, sıfır olmayan bir vektörün uzunluğunun sıfır olmadığını garanti eder ve çift doğrusallıktan şunu takip eder: | sen | = | bir | | sen | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) yani orantılı vektörlerin uzunlukları orantılıdır.

Vektörler arasındaki açı sen (\görüntü stili u) Ve v (\görüntü stili v) formül tarafından belirlenir φ = yay ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\sağ).) Kosinüs teoreminden, iki boyutlu bir Öklid uzayı için ( öklid düzlemi) açının bu tanımı normal olanla örtüşür. Ortogonal vektörler, üç boyutlu uzayda olduğu gibi, aralarındaki açı şuna eşit olan vektörler olarak tanımlanabilir: 2 . (\displaystyle (\frac (\pi )(2))).

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz eşitsizliği ve üçgen eşitsizliği

Yukarıda verilen açı tanımında bir boşluk kalmıştır: arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\sağ)) tanımlanmışsa, eşitsizliğin | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\sağ|\leqslant 1.) Bu eşitsizlik gerçekten keyfi bir Öklid uzayında karşılanır, buna Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz eşitsizliği denir. Bu eşitsizlikten, sırasıyla, üçgen eşitsizliği gelir: | u+v | ⩽ | sen | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Üçgen eşitsizliği, yukarıda listelenen uzunluk özellikleriyle birlikte, bir vektörün uzunluğunun Öklid vektör uzayında bir norm olduğu ve fonksiyonun olduğu anlamına gelir. d(x, y) = | x - y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)Öklid uzayında bir metrik uzayın yapısını tanımlar (bu fonksiyona Öklid metriği denir). Özellikle, elemanlar (noktalar) arasındaki mesafe x (\görüntü stili x) Ve y (\displaystyle y) koordinat alanı R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) formül tarafından verilen d (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ ben = 1 n (x ben - y ben) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\toplam _(i=1)^(n)(x_(i)-y_(i))^(2))).)

cebirsel özellikler

Ortonormal bazlar

İkili boşluklar ve operatörler

herhangi bir vektör x (\görüntü stili x)Öklid uzayı bir lineer fonksiyonel tanımlar x ∗ (\displaystyle x^(*)) olarak tanımlanan bu boşlukta x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Bu haritalama, Öklid uzayı ile

(bir 11 - λ1 )(bir 22 - λ1 ) - bir 12 bir 21 = 0 ;

λ 12 - (bir 11 + bir 22 )λ 1 + (bir 11a 22 - bir 12 bir 21 ) = 0 .

Bu ikinci dereceden denklemlerin ayırıcısı ³ 0'dır, yani

D \u003d (11 + 22) 2 - 4 (11a 22 - 12 - 21) \u003d (11 - 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Denklemler (2.56), (2.57) denir karakteristik denklemler

matrisler ve bu denklemlerin kökleri kendi numaraları matrisler A. (2.57)'den bulunan özdeğerleri (2.39) ile değiştiririz, elde ederiz

kanonik denklem.

Bu denklemin kanonik formunu bulun.

Burada 11 = 5 olduğundan; ve 21 = 2; ve 22 = 2, o zaman verilen ikinci dereceden form için karakteristik denklem (2.56) şu şekle sahip olacaktır:

5 - λ2

2 2 - λ 1

Bu matris denkleminin determinantını sıfıra eşitlemek

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

ve bu ikinci dereceden denklemi çözerek λ1 = 6 elde ederiz; λ2 = 1.

Ve sonra bu ikinci dereceden formun kanonik formu şöyle görünecek

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. eğrisel koordinatlar

2.3.1. Eğrisel koordinat sistemleri hakkında genel bilgiler

Eğrisel koordinatlar sınıfı, doğrusal koordinatlar sınıfına kıyasla kapsamlıdır ve çok daha çeşitlidir ve analitik bir bakış açısından, doğrusal koordinatlar yönteminin olanaklarını genişlettiği için en evrensel olanıdır. Eğrisel koordinatların kullanımı bazen birçok problemin, özellikle doğrudan dönme yüzeyinde çözülen problemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirebilir. Örneğin, belirli bir işlevi bulmakla ilgili bir dönme yüzeyindeki bir sorunu çözerken, bu işlevi belirli bir yüzeyde belirleme alanında, bu işlevin yeni bir özellikle donatılmasına izin verecek böyle bir eğrisel koordinat sistemi seçmek mümkündür - belirli bir koordinat sisteminde sabit olmak, doğrusal koordinat sistemlerini kullanarak her zaman mümkün değildir.

Üç boyutlu Öklid uzayının bir alanında verilen eğrisel koordinat sistemi, bu uzayın her noktasına sıralı bir gerçek sayı üçlüsü atar - φ, λ, r (bir noktanın eğrisel koordinatları).

Eğrisel koordinat sistemi doğrudan bir yüzeye (dönme yüzeyi) yerleştirilmişse, bu durumda, yüzeyin her noktasına iki gerçek sayı atanır - φ, λ, bu yüzeydeki noktanın konumunu benzersiz bir şekilde belirler.

φ, λ, r eğrisel koordinat sistemi ile doğrusal Kartezyen CS (X, Y, Z) arasında matematiksel bir ilişki olmalıdır. Aslında, eğrisel koordinat sistemi uzayın herhangi bir bölgesinde verilsin. Bu uzayın her noktası, eğrisel koordinatların tek bir üçlüsüne karşılık gelir - φ, λ, r. Öte yandan, aynı nokta, doğrusal Kartezyen koordinatların tek üçlüsüne karşılık gelir - X, Y, Z. O zaman genel terimlerle tartışılabilir.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2.58)

XYZ

r = r(X, Y, Z).

Bu SC'ler arasında hem doğrudan (2.58) hem de ters bir matematiksel ilişki vardır.

Formüllerin (2.58) analizinden, örneğin φ, λ, r uzamsal eğrisel koordinatlardan birinin sabit bir değeriyle,

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d sabit,

Ve diğer ikisinin değişken değerleri (λ, r ), genel olarak koordinat denilen bir yüzey elde ederiz. Aynı koordinata karşılık gelen koordinat yüzeyleri kesişmez. Ancak farklı koordinatlara karşılık gelen iki koordinat yüzeyi kesişir ve üçüncü koordinata karşılık gelen bir koordinat çizgisi verir.

2.3.2. Yüzeydeki eğrisel koordinatlar

Jeodezi için, yüzey eğrisel koordinatları en büyük ilgi alanıdır.

Yüzey denklemi Kartezyen koordinatların bir fonksiyonu olsun.

Birim vektörleri i, j, l koordinat eksenleri boyunca yönlendirerek (Şekil 2.11), yüzey denklemi vektör biçiminde yazılabilir

r \u003d X ben + Y j + Z l. (2.60)

İki yeni bağımsız değişken φ ve λ sunuyoruz, öyle ki fonksiyonlar

denklemi (2.59) karşılar. Eşitlikler (2.61) yüzeyin parametrik denklemleridir.

λ1=sabit

Pirinç. 2.11. Eğrisel Yüzey Koordinat Sistemi

Her φ ve λ sayı çifti yüzeyde belirli (tek) bir noktaya karşılık gelir ve bu değişkenler yüzeydeki noktaların koordinatları olarak alınabilir.

φ'ye çeşitli sabit değerler φ = φ1 , φ = φ2 , … verirsek, yüzeyde bu sabitlere karşılık gelen bir eğri ailesi elde ederiz. Benzer şekilde, λ için sabit değerler verildiğinde, sahip olacağız

ikinci eğri ailesi. Böylece yüzeyde φ = const ve λ = const koordinat çizgilerinden oluşan bir ağ oluşur. Genel olarak koordinat çizgileri

eğri çizgilerdir. Bu nedenle φ, λ sayıları denir

eğrisel koordinatlar yüzeydeki noktalar.

Eğrisel koordinatlar hem doğrusal hem de açısal büyüklükler olabilir. Bir koordinatın doğrusal bir miktar ve diğerinin açısal bir miktar olduğu bir eğrisel koordinat sisteminin en basit örneği, bir düzlemde kutupsal koordinatlar olarak hizmet edebilir.

Eğrisel koordinatların seçimi mutlaka koordinat çizgilerinin oluşumundan önce gelmek zorunda değildir. Bazı durumlarda, yüzeydeki belirli problemleri çözmek için en uygun olan bir koordinat çizgileri ağı oluşturmak ve ardından bu çizgiler için her bir koordinat çizgisi için sabit bir değere sahip olacak parametreleri (koordinatları) seçmek daha uygundur.

İyi tanımlanmış bir koordinat çizgileri ağı da belirli bir parametre sistemine karşılık gelir, ancak verilen her bir koordinat çizgisi ailesi için, bu parametrenin sürekli ve tek değerli fonksiyonları olan birçok başka parametre seçilebilir. Genel durumda, φ = const ailesinin koordinat çizgileri ile λ = const ailesinin koordinat çizgileri arasındaki açılar farklı değerlere sahip olabilir.

Yalnızca, her bir φ = const koordinat çizgisinin herhangi bir diğer λ= const koordinat çizgisini dik açıyla kestiği ortogonal eğrisel koordinat sistemlerini ele alacağız.

Yüzeydeki birçok problemi çözerken, özellikle yüzey noktalarının eğrisel koordinatlarının hesaplanması ile ilgili problemlerde, yüzey eğrisinin S uzunluğundaki değişime bağlı olarak φ ve λ eğrisel koordinatlarını değiştirmek için diferansiyel denklemlere sahip olmak gerekir.

dS , dφ, dλ diferansiyelleri arasındaki ilişki, yeni bir değişken α, yani açı tanıtılarak kurulabilir.

α dS

λ = sabit

λ+d λ = sabit

çizginin pozitif yönü λ = sabitten pozitife

bu eğrinin yönü (Şekil 2.12). Bu açı, olduğu gibi, çizginin yönünü (yönlendirmesini) ayarlar.

Yüzeyde verilen nokta. Sonra (çıktı yok):

Pirinç. 2.12. Bir yüzeydeki bir eğri yayının diferansiyelinin eğrisel çizgideki değişiklikler (diferansiyeller) ile bağlantısının geometrisi

koordinatlar

+ ∂ Z2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z2 . ∂λ

İÇİNDE jeodezi açısı α, jeodezik azimuta karşılık gelir: α = A.

2.3.3. Kutupsal koordinat sistemleri ve genellemeleri

2.3.4. Uzamsal kutupsal koordinat sistemi

Uzamsal bir kutupsal koordinat sistemi ayarlamak için önce bir düzlem seçmelisiniz (bundan sonra buna ana uçak diyeceğiz). Bu düzlemde bir O noktası seçilmiştir.

ölçümler

segmentler

boşluk, o zaman

konum

uzaydaki herhangi bir nokta

kesinlikle

azimli

miktarlar: r, φ, λ, burada r,

kutup

direkten düz çizgi mesafesi

O'dan Q noktasına (Şek. 2.13); λ -

kutup açısı arasındaki açıdır

kutup

Pirinç. 2.13. Mekansal sistem

dikey

projeksiyon

ana kutup yarıçapı

kutupsal koordinatlar ve modifikasyonları

uçak

değişiklikler

(kutup yarıçapı) ve

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektör

projeksiyon

OQ0 açık

temel

düzlem, pozitif yarı uzayın noktaları için pozitif (0 ≤ φ ≤ π/2) ve negatif yarı uzayın noktaları için negatif (-π/2 ≤ φ ≤ 0) olarak kabul edilir.

Herhangi bir uzamsal kutupsal CS, bir uzamsal Kartezyen dikdörtgen CS ile kolayca bağlanabilir (dönüştürülebilir).

Kutupsal sistemin ölçeğini ve orijini, uzamsal dikdörtgen sistemdeki koordinatların ölçeği ve orijini olarak alırsak, kutupsal eksen OR - apsis yarı ekseni OX olarak, O kutbundan ana düzleme dik olarak kutupsal sistemin pozitif yönünde çizilen OZ çizgisi - dikdörtgen Kartezyen sistemin OZ yarı ekseni olarak ve yarı eksen için - OY olarak, pozitif yönde π / 2 açısı boyunca döndürüldüğünde apsis ekseninin gideceği ekseni alırız kutup sisteminin ana düzleminde, ardından Şekil 1'den. 2.13

Formüller (2.64), X, Y, Z'yi r, φ, λ cinsinden ifade etmemize izin verir ve bunun tersi de geçerlidir.

Yüzeyde.

Eğrisel koordinatların yerel özellikleri

Bu bölümde eğrisel koordinatları dikkate alırken, x , y , z Kartezyen koordinatlarıyla donatılmış üç boyutlu bir uzayı (n = 3) düşündüğümüzü varsayacağız. Diğer boyutların durumu yalnızca koordinat sayısında farklılık gösterir.

Bir Öklid uzayı durumunda, yay diferansiyelinin karesi olarak da adlandırılan metrik tensör, bu koordinatlarda kimlik matrisine karşılık gelen forma sahip olacaktır:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Genel dava

İzin vermek $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- x , y , z'nin düzgün fonksiyonları olarak kabul edeceğimiz bazı eğrisel koordinatlar. Üç özelliğe sahip olmak $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ uzayın bazı bölgelerinde koordinatlar olarak görev yaptıysa, bir ters eşlemenin varlığı gereklidir:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matrix)\backslash right.$

Nerede $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- kümelerin bazı etki alanlarında tanımlanan işlevler $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash sağ)$ koordinatlar.

Yerel temel ve tensör analizi

Tensör hesabında, yerel temel vektörler tanıtılabilir: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Nerede $\backslash mathbf\; e\_i$- Kartezyen koordinat sisteminin ortları, $Q^i\_j$ Jacobian matrisidir, $x^i$ Kartezyen sistemdeki koordinatlar, $y^i$- eğrisel koordinatları girin.
Genel olarak konuşursak, eğrisel koordinatların noktadan noktaya değiştiğini görmek zor değildir.
Eğrisel ve Kartezyen koordinatlar arasındaki bağlantı için formülleri gösterelim:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Nerede $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, burada E birim matristir.
İki yerel temel vektörün ürünü bir metrik matris oluşturur:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Nerede $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ aykırı değişken, kovaryant ve karışık Kronecker sembolü
Böylece herhangi bir tensör alanı $\backslash matematik\; T$ of rank n, yerel bir polyad temelinde genişletilebilir:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^(j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Örneğin, birinci dereceden bir tensör alanı (vektör) durumunda:
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonal eğrisel koordinatlar

Öklid uzayında, ortogonal eğrisel koordinatların kullanımı özellikle önemlidir, çünkü uzunluk ve açılarla ilgili formüller ortogonal koordinatlarda genel duruma göre daha basit görünür. Bunun nedeni, ortonormal tabanlı sistemlerde metrik matrisin, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek şekilde köşegen olacağı gerçeğidir.
Bu tür sistemlere bir örnek, küresel bir sistemdir. $\backslash mathbb(R)^2$

Topal katsayılar

Yay diferansiyelini eğrisel koordinatlarda şu şekilde yazıyoruz (Einstein toplama kuralını kullanarak):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\partial \varphi_2)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 + \left(\frac(\partial \varphi_3)(\partial q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

Koordinat sistemlerinin dikliğini dikkate alarak ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ de $ben\; \backslash ne\; j$) bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_2)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)\; ^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

pozitif değerler $MERHABA\backslash$ uzaydaki bir noktaya bağlı olarak, Lame katsayıları veya ölçek faktörleri olarak adlandırılır. Lame katsayıları, belirli bir noktanın koordinat biriminde kaç uzunluk birimi bulunduğunu gösterir ve bir koordinat sisteminden diğerine geçerken vektörleri dönüştürmek için kullanılır.

Koordinatlarla yazılmış Riemann metrik tensörü $(q\_i)$, köşegeninde Lame katsayılarının kareleri olan bir köşegen matristir:

örnekler

Kutupsal koordinatlar ( N=2)

Düzlemdeki kutupsal koordinatlar, direğe (başlangıç ​​noktası) r mesafesini ve φ yönünü (açı) içerir.

Kutupsal koordinatların Kartezyen ile bağlantısı:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matris)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matris)\backslash right.$

Topal katsayılar:

$\backslash begin(matris)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matris)$

Ark diferansiyeli:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Orijinde, φ fonksiyonu tanımlı değildir. φ koordinatı bir sayı olarak değil de bir açı (birim çember üzerindeki bir nokta) olarak ele alınırsa, o zaman kutupsal koordinatlar başlangıç ​​noktasını kaldırarak tüm düzlemden elde edilen alanda bir koordinat sistemi oluşturur. Bununla birlikte, φ'yi bir sayı olarak düşünürsek, o zaman belirlenen alanda çok değerli olacaktır ve kesinlikle matematiksel anlamda bir koordinat sisteminin inşası, yalnızca orijini içermeyen basit bir şekilde bağlantılı bir alanda, örneğin ışınsız bir düzlemde mümkündür.

Silindirik koordinatlar ( N=3)

Silindirik koordinatlar, üçüncü bir koordinat z ekleyerek üç boyutlu uzay durumuna kutupsal koordinatların önemsiz bir genellemesidir. Silindirik koordinatların Kartezyen ile ilişkisi:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matris)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matris)\backslash right.$

Topal katsayılar:

$\backslash begin(matris)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matris)$

Ark diferansiyeli:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Küresel koordinatlar ( N=3)

Küresel koordinatlar, birim küre üzerindeki enlem ve boylam koordinatlarıyla ilişkilidir. Küresel koordinatların Kartezyen ile bağlantısı:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos(\backslash theta).\backslash end(matrix)\backslash right.$

Topal katsayılar:

$\backslash begin(matris)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash teta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matris)$

Ark diferansiyeli:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Silindirik koordinatlar gibi küresel koordinatlar z ekseninde (x=0, y=0) çalışmaz çünkü φ koordinatı orada tanımlanmamıştır.

Uçakta çeşitli egzotik koordinatlar ( N=2) ve genellemeleri

"Eğrisel koordinat sistemi" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

• Korn G., Korn T. Matematik El Kitabı (bilim adamları ve mühendisler için). - M .: Nauka, 1974. - 832 s.

Eğrisel Koordinat Sistemini karakterize eden bir alıntı

Prens Andrei'nin umduğu gibi fikrini açıklamadığı askeri konsey, onun üzerinde belirsiz ve rahatsız edici bir izlenim bıraktı. Kim haklıydı: Weyrother ile Dolgorukov veya Langeron ile Kutuzov ve saldırı planını onaylamayan diğerleri, bilmiyordu. “Ama Kutuzov'un düşüncelerini doğrudan hükümdara ifade etmesi gerçekten imkansız mıydı? Farklı yapılamaz mı? Mahkeme ve kişisel kaygılar nedeniyle on binlerce doları ve benim hayatımı riske atmak gerçekten gerekli mi? düşündü.
"Evet, yarın seni öldürmeleri çok olası," diye düşündü. Ve birdenbire, bu ölüm düşüncesiyle, hayal gücünde en uzak ve en samimi bir dizi hatıra canlandı; babasına ve karısına son vedasını hatırladı; ona olan aşkının ilk günlerini hatırladı! Hamileliğini hatırladı ve hem kendisi hem de kendisi için üzüldü ve gergin bir şekilde yumuşamış ve heyecanlı bir halde Nesvitsky ile birlikte durduğu kulübeden ayrıldı ve evin önünde yürümeye başladı.
Gece pusluydu ve ay ışığı sisin arasından gizemli bir şekilde parlıyordu. “Evet, yarın, yarın! düşündü. “Yarın belki benim için her şey bitecek, tüm bu anılar artık olmayacak, tüm bu anıların artık benim için hiçbir anlamı olmayacak. Yarın, belki, hatta büyük olasılıkla yarın, ilk kez nihayet yapabileceğim her şeyi göstermek zorunda kalacağımı öngörüyorum. Ve savaşı, kaybını, savaşın bir noktada yoğunlaşmasını ve tüm komutanların kafa karışıklığını hayal etti. Ve şimdi, uzun zamandır beklediği o mutlu an, o Toulon sonunda karşısına çıkıyor. Fikrini hem Kutuzov'a, hem Weyrother'e hem de imparatorlara kesin ve net bir şekilde söylüyor. Herkes fikirlerinin doğruluğuna şaşırır, ancak kimse bunu yerine getirmeyi taahhüt etmez ve bu nedenle bir alay, bir tümen alır, emirlerine kimsenin karışmamasını şart koşar ve tümenini belirleyici bir noktaya götürür ve tek başına kazanır. Peki ya ölüm ve acı? diyor başka bir ses. Ancak Prens Andrei bu sese cevap vermez ve başarılarına devam eder. Bir sonraki savaşın düzeni, yalnızca kendisi tarafından yapılır. Kutuzov komutasındaki ordu görevlisi rütbesini taşıyor, ancak her şeyi tek başına yapıyor. Bir sonraki savaş sadece onun tarafından kazanılır. Kutuzov değiştirildi, atandı ... Peki ya sonra? başka bir ses tekrar der ve sonra, daha önce on kez yaralanmamış, öldürülmemiş veya aldatılmamışsanız; Peki, sonra ne olacak? "Pekala," diye yanıtlıyor Prens Andrei kendi kendine, "Bundan sonra ne olacağını bilmiyorum, istemiyorum ve bilemem: ama bunu istiyorsam, şöhret istiyorum, insanlar tarafından tanınmak istiyorum, onlar tarafından sevilmek istiyorum, o zaman bunu istemem, bunu tek başıma istemem, yalnız bunun için yaşamam benim hatam değil. Evet, bunun için! Bunu asla kimseye söylemeyeceğim ama, Tanrım! Zaferden, insan sevgisinden başka hiçbir şeyi sevmiyorsam ne yapacağım? Ölüm, yaralar, aile kaybı, hiçbir şey beni korkutamaz. Ve birçok insan benim için ne kadar değerli ve değerli olursa olsun - babam, kız kardeşim, karım - benim için en değerli insanlar - ama ne kadar korkunç ve doğal görünse de, şimdi hepsini bir an için onlara zafer vereceğim, tanımadığım ve tanımayacağım insanların sevgisi için, bu insanların sevgisi için, ”diye düşündü Kutuzov'un avlusundaki konuşmayı dinlerken. Kutuzov'un bahçesinde toplanan hademelerin sesleri duyuldu; Prens Andrei'nin tanıdığı ve adı Tit olan eski Kutuzovsky aşçısıyla dalga geçen bir ses, muhtemelen arabacı, "Tit ve Tit?"
"Pekala," diye yanıtladı yaşlı adam.
"Titus, harman at," dedi şakacı.
"Pah, canı cehenneme," bir ses duyuldu, batmenlerin ve hizmetkarların kahkahalarıyla kaplı.
"Yine de sadece hepsinin üzerindeki zaferi seviyorum ve değer veriyorum, bu sisin içinde üzerime koşan bu gizemli gücü ve ihtişamı besliyorum!"

Rostov o gece, Bagration'ın müfrezesinin önünde, kanat zincirinde bir müfrezeyle birlikteydi. Süvarileri zincirler halinde çiftler halinde dağılmıştı; kendisini karşı konulmaz bir şekilde saran uykunun üstesinden gelmeye çalışarak bu zincir hattı boyunca kendisi atını sürdü. Arkasında, ordumuzun sisin içinde belirsiz bir şekilde yanan devasa bir ateş alanı görülebiliyordu; önünde puslu bir karanlık vardı. Rostov bu sisli mesafeye ne kadar bakarsa baksın hiçbir şey görmedi: griye döndü, sonra bir şeyler kararmış gibi oldu; sonra düşmanın olması gereken yerde ışıklar gibi parladı; sonra sadece gözlerinde parıldadığını düşündü. Gözleri kapalıydı ve hayal gücünde şimdi hükümdarı, sonra Denisov'u, ardından Moskova hatıralarını hayal etti ve aceleyle gözlerini tekrar açtı ve önünde oturduğu atın başını ve kulaklarını, bazen altı adımda onlara çarptığında hafif süvarilerin siyah figürlerini ve uzakta aynı sisli karanlığı gördü. "Neyden? Rostov, benimle tanışan hükümdarın herhangi bir subaya vereceği gibi bir emir vermesinin çok olası olduğunu düşündü: "Git, orada ne olduğunu bul" diyecek. Kazara bir memuru bu şekilde nasıl tanıdığını ve onu kendisine yaklaştırdığını çok şey anlattılar. Ya beni kendisine yaklaştırırsa! Ah, onu nasıl korurdum, ona tüm gerçeği nasıl anlatırdım, aldatıcılarını nasıl ifşa ederdim ”ve Rostov, hükümdara olan sevgisini ve bağlılığını canlı bir şekilde hayal etmek için, sadece zevkle öldürmekle kalmayıp aynı zamanda hükümdarın gözünde onu yanaklarına dövdüğü Alman düşmanını veya aldatıcısını hayal etti. Aniden uzaktan gelen bir çığlık Rostov'u uyandırdı. Kıkırdadı ve gözlerini açtı.
"Neredeyim? Evet zincirde: Slogan ve parola çeki demiridir Olmutz. Filomuzun yarın yedekte olacak olması ne yazık... diye düşündü. - Çalışmak isteyeceğim. Hükümdarı görmek için tek şans bu olabilir. Evet, değişikliğin üzerinden çok zaman geçmedi. Tekrar dolaşacağım ve döndüğümde generale gidip ona soracağım. Eyerde toparlandı ve süvarilerinin etrafından dolanmak için ata bir kez daha dokundu. Daha parlak olduğunu düşündü. Sol tarafta yumuşak, ışıklı bir yokuş ve tam karşısında, bir duvar gibi dik görünen siyah bir tümsek görülüyordu. Bu tepede Rostov'un hiçbir şekilde anlayamadığı beyaz bir nokta vardı: ormanda ayın aydınlattığı bir açıklık mı yoksa kalan kar mı yoksa beyaz evler mi? Hatta ona bu beyaz lekenin üzerinde bir şeyler kıpırdanıyormuş gibi geldi. “Kar bir leke olmalı; leke une tache, diye düşündü Rostov. “Burada tash yapmıyorsun ...”

Herhangi bir yüzey üzerinde yine iki rakam ile noktanın konumunu tanımlayarak koordinat sistemi kurabilirsiniz. Bunu yapmak için, bir şekilde, tüm yüzeyi iki çizgi ailesiyle kaplarız, böylece her bir noktadan (belki az sayıda istisna dışında) her aileden bir ve yalnızca bir çizgi geçer. Şimdi, istenen aile soyunu sayısal işaretle bulmayı sağlayan bazı kesin kurallara göre her ailenin soylarına sayısal işaretler sağlamak yeterlidir (Şekil 22).

nokta koordinatları M yüzeyler sayı görevi görür sen, v, Nerede sen-- geçen ilk ailenin hattının sayısal işareti M, Ve v-- ikinci ailenin işaretleme çizgileri. Yazmaya devam edeceğiz: M(u; v), sayılar Ve, v noktanın eğrisel koordinatları olarak adlandırılır M. Bir örnek için küreye dönersek, söylenenler oldukça netleşecektir. Hepsi meridyenler (ilk aile) tarafından kapsanabilir; her biri sayısal bir işarete, yani boylam değerine karşılık gelir sen(veya c). Tüm paralellikler ikinci bir aile oluşturur; her biri sayısal bir işarete karşılık gelir - enlem v(veya ve). Kürenin her noktasında (kutuplar hariç) yalnızca bir meridyen ve bir paralel vardır.

Başka bir örnek olarak, bir dik dairesel yükseklik silindirinin yan yüzeyini ele alalım. H, yarıçap A(Şek. 23). İlk aile için jeneratörlerinin sistemini alacağız, bunlardan biri ilk olarak alınacaktır. Her generatrix'e bir işaret atarız sen, ilk generatrix ile verilen arasındaki tabanın çevresi üzerindeki yayın uzunluğuna eşittir (yayı örneğin saat yönünün tersine sayacağız). İkinci aile için yüzeyin yatay bölümleri sistemini alıyoruz; sayısal işaret v kesitin tabanın üzerine çizildiği yüksekliği dikkate alacağız. Uygun eksen seçimi ile x, y, z uzayda herhangi bir nokta için sahip olacağımız M(x;y; z) yüzeyimiz:

(Burada kosinüs ve sinüs argümanları derece cinsinden değil, radyan cinsindendir.) Bu denklemler, bir silindirin yüzeyi için parametrik denklemler olarak görülebilir.

Problem 9. Düzgün bir bükülmeden sonra yarıçaplı bir silindir elde etmek için bir drenaj borusu dirseği yapmak için bir kalay parçası hangi eğriye göre kesilmelidir? A, taban düzlemine 45° açı yapan bir düzlem tarafından mı kesilmiş?

Çözüm. Silindir yüzeyinin parametrik denklemlerini kullanalım:

Kesme düzlemini eksen boyunca çiziyoruz Ah, onun denklemi z=y Az önce yazılan denklemlerle birleştirerek, denklemi elde ederiz.

eğrisel koordinatlardaki kesişme çizgileri. Yüzeyi bir düzleme açtıktan sonra, eğrisel koordinatlar Ve Ve v Kartezyen koordinatlara dönüşür.

Bu nedenle, bir sinüzoidal boyunca yukarıdan bir kalay parçası çizilmelidir.

Burada sen Ve v zaten uçakta Kartezyen koordinatlar (Şek. 24).

Hem küre hem de silindirik bir yüzey durumunda ve genel durumda, bir yüzeyin parametrik denklemlerle tanımlanması, yüzey üzerinde eğrisel bir koordinat sisteminin kurulmasını gerektirir. Gerçekten de, Kartezyen koordinatlar için ifade x, y, z keyfi nokta M (x;y;z) iki parametre üzerinden yüzeyler sen, v(Bu genellikle şöyle yazılır: X\u003d c ( sen; v),y= C (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - iki argümanın işlevleri) bir çift sayıyı bilmeyi mümkün kılar sen, v, eşleşen koordinatları bul x, y, z, yani noktanın konumu M bir yüzeyde; sayılar sen, v koordinatları olarak hizmet eder. Bunlardan birine sabit bir değer vermek, örneğin sen=sen 0 , ifadeyi alırız x, y, z bir parametre aracılığıyla v, yani eğrinin parametrik denklemi. Bu, bir ailenin koordinat çizgisi, denklemi sen=sen 0 . Sadece aynı çizgi v=v 0 -- başka bir ailenin koordinat çizgisi.

koordinat kartezyen yarıçap vektörü