Matematiksel modellemenin genel şeması. Matematiksel modellerin sınıflandırılması. Optimal planlama probleminin ifadesi

1. Grafik modeller

2. Simülasyon modelleri

3. Matematiksel modeller

4. Optimum planlama süreçlerinin modellenmesi

5. Küresel süreçlerin modellenmesi

7. Ekolojik sistemlerin ve süreçlerin modellenmesi

8. Nesne bilgi modelleri

9. Sistem analizi

10. İstatistiksel modeller

11. Tablolu modeller

12. Biçimlendirme ve modelleme

Okul bilişim dersinde, geleneksel olarak anlamlı bir biçimlendirme ve modelleme çizgisi vardır. Model kavramı, temel genel bilimsel kavramları ifade eder ve modelleme, çeşitli bilimler tarafından kullanılan bir gerçeklik biliş yöntemidir.

Neredeyse tüm doğal ve sosyal bilimlerde, model oluşturmak ve kullanmak güçlü bir araştırma aracıdır. Gerçek nesneler ve süreçler o kadar çok yönlü ve karmaşıktır ki, onları incelemenin en iyi yolu, gerçekliğin yalnızca bir kısmını yansıtan ve dolayısıyla bu gerçeklikten kat kat daha basit bir model oluşturmaktır. Bilgisayar biliminin araştırma ve geliştirme konusu, bilgisayar ekipmanı ve teknolojilerinin kullanımıyla ilgili bilgi modelleme metodolojisidir. Bu anlamda söz edilen bilgisayar simülasyonu. Bilişimin disiplinler arası önemi, büyük ölçüde çeşitli bilimsel ve uygulamalı alanlarda bilgisayar modellemesinin tanıtılmasıyla kendini gösterir: fizik ve teknoloji, biyoloji ve tıp, ekonomi, yönetim ve diğerleri.

bilgisayar modelleme bir bilgisayarda bir bilgi modeli uygulama ve bu modeli kullanarak bir simülasyon nesnesini araştırma sürecini içerir - hesaplamalı bir deney yapmak. Bilgisayar simülasyonu yardımıyla birçok bilimsel ve endüstriyel problem çözülmektedir.

Bilgi modelleme, modelleme nesnesi hakkındaki verilerin resmileştirilmesiyle ilişkilidir (bkz. Biçimlendirme ve Modelleme”). Bir bilgi modeli oluşturmak, modele yansıyan özellikleri ve aralarındaki ilişkileri vurgulamanın gerekli olduğu karmaşık bir sistem olarak modelleme ve modelleme nesnesini analiz etme hedeflerini tanımlamakla başlar (bkz. Sistem Analizi"). Bilgi modelleri, modelleme nesnesi hakkındaki bilgilerin sunumu şeklinde farklılık gösterir. Matematiksel modellermodelleme nesnesini temsil etmek için matematik dilini kullanmak. Ayrı bir matematiksel model türü, istatistiksel modeller- işleme odaklı toplu veri(örneğin, nüfus araştırmaları) bir şans unsurunun olduğu. Tablo biçiminde düzenlenen modelleme nesnesi hakkındaki veriler, tablo modeli. Oluşturmak için grafiksel araçlar kullanılır. grafik modeller. Geçen yüzyılın sonunda ortaya çıkan programlamaya yönelik nesne yönelimli yaklaşım, bilgi modellemede yeni bir paradigmaya yol açtı: nesne bilgi modelleme. Kesin bir matematiksel aparat bulunmayan karmaşık sistemlerin davranışını yeniden üreten bilgisayar modellerine denir. simülasyon modelleri.

Bilgisayar bilgi modellemesi, çeşitli nitelikteki süreçleri tanımlamak ve analiz etmek için kullanılır. Fizik bilimleri bu konuda en büyük deneyime sahiptir (bkz. Fiziksel sistemlerin ve süreçlerin modellenmesi”). Bilgisayar modellemesi, önemli çevre sorunlarının çözülmesine yardımcı olur (bkz. Ekolojik Sistemlerin ve Süreçlerin Modellenmesi”). Bilgi modelleme, ekonomi ve yönetimde önemli bir rol oynar. Bu alandaki en önemli görevler planlama görevleridir (bkz. Optimal planlama süreçlerinin modellenmesi”). Bilim adamları, bilgisayar simülasyonu aracılığıyla, insan uygarlığının kaderi gibi küresel bir sorunu bile çözmeye çalışıyorlar (bkz. Küresel süreçlerin modellenmesi”).

1. Grafik modeller

Grafik modellerin çeşitliliği oldukça fazladır. Bazılarını düşünelim.

Sistemlerin bileşimini ve yapısını gösteren görsel bir araç (bkz. Sistemoloji”) grafiklerdir.

Bir örnek düşünün. Bazı bölgelerin sözlü bir açıklaması var: “İlçemiz beş köyden oluşuyor: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino ve Myshkino. Dedkino ve Babkino, Dedkino ve Koshkino, Babkino ve Myshkino, Babkino ve Koshkino, Koshkino ve Repkino arasında otomobil yolları döşeniyor”. Bu tanımdan, bu alanı hayal etmek oldukça zordur. Aynı bilgileri bir diyagram yardımıyla algılamak çok daha kolaydır (şekle bakın). Bu bölgenin haritası değil. Burada ana noktalara yönelik yönler korunmaz, ölçeğe uyulmaz. Bu şema sadece beş köyün varlığı ve aralarındaki yol bağlantısını yansıtmaktadır. Çok sistemin temel bileşimini ve bağların yapısını gösteren diyagram, denir saymak.

Grafiği oluşturan parçalar, zirveler Ve pirzola. Köşeler şekilde daireler olarak gösterilmiştir. sistem elemanları ve kenarlar çizgiler olarak gösterilir - bu bağlantılar(ilişki) elemanlar arasında. Bu grafiğe bakıldığında, belirli bir alandaki yol sisteminin yapısını anlamak kolaydır.

Oluşturulan grafik, örneğin şu soruyu yanıtlamaya izin verir: Repkino'dan Myshkino'ya gitmek için hangi köylerden geçmeniz gerekiyor? Görüldüğü gibi iki olası yol vardır: 1) R K B M ve) R K D B M. Bundan 1. yolun 2. yoldan daha kısa olduğu sonucuna varabilir miyiz? Hayır yapamazsın. Bu grafik nicel özellikler içermez. Ölçeğe uyulduğu ve mesafenin ölçülebildiği bir harita değil bu.

Aşağıdaki şekilde gösterilen grafik nicel özellikler içermektedir. Kenarlara yakın rakamlar, yolların kilometre cinsinden uzunluğunu gösterir. bu bir örnek ağırlıklı grafik. Ağırlıklı bir grafik şunları içerebilir: kantitatif özellikler sadece bağlantılar değil, aynı zamanda zirveler. Örneğin, köşeler her bir köyün nüfusunu gösterebilir. Ağırlıklı grafiğin verilerine göre birinci yolun ikinciden daha uzun olduğu ortaya çıkıyor.

Bu tür grafiklere ayrıca denir. ağ. Ağ karakterize edilir bazı köşe çiftleri arasında kenarlar boyunca hareket etmek için birçok farklı yolun olasılığı. Ağlar aynı zamanda kapalı yolların varlığıyla da karakterize edilir. döngüler. Bu durumda bir döngü vardır: K D B K.

Ele alınan diyagramlarda, her bir kenar, iki nokta arasında bir yol bağlantısının varlığını göstermektedir. Ancak yol bağlantısı her iki yönde de aynı şekilde çalışır: yol B'den M'ye gidilebiliyorsa, M'den B'ye de gidilebilir (iki yönlü trafik olduğunu varsayıyoruz). Bu tür grafikler zor ve bağlantılarına denir simetrik.

Niteliksel olarak farklı bir grafik örneği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Kan grubu uyumluluk grafiği

Bu örnek tıpla ilgilidir. Farklı insanların farklı kan gruplarına sahip olduğu bilinmektedir. Dört kan grubu vardır. Kan bir kişiden diğerine transfüze edildiğinde, tüm grupların uyumlu olmadığı ortaya çıktı. Grafik, kan transfüzyonu için olası seçenekleri göstermektedir. Kan grupları, grafiğin karşılık gelen sayılarla köşeleridir ve oklar, bir kan grubunun farklı bir kan grubuna sahip bir kişiye transfüzyon olasılığını gösterir. Örneğin bu grafik, I grubu kanın herhangi bir kişiye transfüze edilebileceğini ve I kan grubuna sahip bir kişinin sadece kendi grubunun kanını kabul ettiğini göstermektedir. Ayrıca IV kan grubuna sahip bir kişiye herhangi bir kan grubu ile transfüzyon yapılabileceği ancak kendi kanının sadece aynı gruba transfüzyon yapılabileceği de görülebilir.

Belirli bir grafiğin köşeleri arasındaki bağlantılar asimetrik ve bu nedenle oklarla yönlendirilmiş çizgilerle tasvir edilmiştir. Bu tür çizgiler denir yaylar(yönlendirilmemiş grafiklerin kenarlarının aksine). Bu özelliklere sahip bir grafiğe denir. odaklı. Aynı tepe noktasına giren ve çıkan çizgiye denir. döngü. Bu örnekte dört döngü vardır.

Bir kan transfüzyon sistemi modelini grafik olarak göstermenin, aynı kuralların sözlü olarak tanımlanmasına kıyasla avantajlarını görmek zor değildir. Grafiğin anlaşılması ve hatırlanması kolaydır.

Çok yaygın bir sistem türü, hiyerarşik bir yapıya sahip sistemlerdir. Hiyerarşik bir yapı, nesneler veya bazı özellikleri bir tabiiyet ilişkisi (gömme, kalıtım) içinde olduğunda doğal olarak ortaya çıkar. Kural olarak, idari yönetim sistemleri, hiyerarşik bir yapıya sahiptir ve bu yapılar arasında bağlılık ilişkileri kurulur. Örneğin: fabrika müdürü - dükkanların şefleri - bölümlerin başkanları - ustabaşı - işçiler. Sistemler ayrıca, elemanları arasında bazılarının diğerlerine dönüşme ilişkilerinin olduğu hiyerarşik bir yapıya sahiptir.

Hiyerarşik yapı grafiği denir ağaç. Bir ağacın ana özelliği, herhangi iki köşesi arasında yalnızca bir yol olmasıdır. Ağaçlar döngüler ve döngüler içermez.

Devletimizin hiyerarşik idari yapısını yansıtan grafiğe bakın: Rusya Federasyonu yedi idari bölgeye ayrılmıştır; ilçeler, şehirleri ve diğer yerleşim yerlerini içeren bölgelere (oblastlar ve ulusal cumhuriyetler) bölünmüştür. Böyle bir grafiğe denir ağaç.

Rusya Federasyonu'nun idari yapısının ağacı

Ağacın adı verilen bir ana tepe noktası vardır. ağaç kökü. Bu tepe noktası en üstte gösterilir; ondan gel dallar ağaç. Ağaç seviyeleri kökten sayılır. Doğrudan köke bağlı köşeler birinci seviyeyi oluşturur. Bağlantılar onlardan ikinci seviyenin tepelerine gider vb. Ağacın her köşesi (kök hariç) bir tanedir. orijinal tepe noktası önceki düzeydedir ve bir kümeye sahip olabilir oluşturulan bir sonraki seviyede köşeler. Bu tür bağlantıya denir birden çoğa". Çocuğu olmayan köşelere denir yapraklar(grafiğimizde bunlar şehirleri gösteren köşelerdir).

Bilimsel grafiğin genel amacı şu şekilde formüle edilebilir: Görünmeyeni ve soyutu “görünür” kılmak. Bu "görünüm" genellikle çok şartlı olduğundan, son kelime tırnak içine alınmıştır. Karmaşık bir şekle sahip homojen olmayan bir şekilde ısıtılmış bir gövdenin içindeki sıcaklık dağılımını, içine yüzlerce mikrosensör sokmadan, yani özünde onu yok etmeden görmek mümkün müdür? - Evet, uygun bir matematiksel model varsa ve çok önemli olan, şekildeki belirli kuralların algılanması konusunda bir anlaşma varsa mümkündür. Kazı yapılmadan yeraltındaki metal cevherlerinin dağılımını görmek mümkün mü? Radar sonuçlarına göre yabancı bir gezegenin yüzeyinin yapısı? Bu ve diğer pek çok sorunun cevabı evet, bilgisayar grafikleri ve ondan önce gelen matematiksel işlemler sayesinde mümkündür.

Dahası, tam anlamıyla "görmek" kelimesine pek uymayan bir şeyi "görebilir". Böylece kimya ve fiziğin kesiştiği noktada ortaya çıkan bilim - kuantum kimyası - bize molekülün yapısını "görme" fırsatı verir. Bu görüntüler, soyutlamanın doruğu ve bir uzlaşmalar sistemidir, çünkü atom dünyasında alışılagelmiş parçacık kavramlarımız (çekirdek, elektronlar, vb.) temelde uygulanamaz. Ancak bir molekülün bilgisayar ekranındaki rengarenk “görüntüsü”, konvansiyonelliğini tam olarak anlayanlar için, hesap sonucu oluşan binlerce sayıdan daha faydalıdır.

konturlar

Hesaplamalı bir deneyin sonuçlarını işlemek için kullanılan standart teknik, çizgilerin (yüzeylerin) oluşturulmasıdır. izolinler(eş yüzeyler), boyunca bazı fonksiyonların sabit bir değere sahip olduğu. Bu, sürekli bir ortamın yaklaşımında bir skaler alanın özelliklerini görselleştirmek için çok yaygın bir tekniktir: izotermler - eşit sıcaklıktaki çizgiler, izobarlar - eşit basınçlı çizgiler, sıvı veya gaz akış fonksiyonunun izolinleri; akışlarını, yerdeki ekolojik popülasyonun izolinlerini, çevredeki zararlı kirliliklerin konsantrasyonunu vs. hayal edin.

akımın izolinleri

Şekil, dikdörtgen bir akış bölgesinde eşit olmayan şekilde ısıtılan bir sıvının akış fonksiyonunun izolinlerini göstermektedir. Bu resimden, akım akışlarının yönü ve yoğunlukları açıkça yargılanabilir.

Koşullu renkler, koşullu kontrast

Modern bilimsel grafiklerin bir başka ilginç tekniği de koşullu renklendirmedir. Bilimin çeşitli uygulamalarında en geniş uygulamayı bulur ve bilgisayar simülasyonu sonuçlarının en uygun şekilde görselleştirilmesi için bir dizi tekniktir.

Sıcaklık alanlarıyla ilgili çeşitli çalışmalarda, örneğin meteorolojik haritalardaki sıcaklıklar gibi sonuçların görsel sunumu sorunu ortaya çıkar. Bunu yapmak için haritanın arka planına izotermler çizebilirsiniz. Ancak çoğu insanın kırmızıyı "sıcak", maviyi "soğuk" olarak algılama eğiliminde olduğu göz önüne alındığında, daha da fazla görselleştirme elde edilebilir. Spektrum boyunca kırmızıdan maviye geçiş, ara sıcaklıkları yansıtır.

Aynısı, hem işlenmiş bir parçanın yüzeyinde hem de uzak bir gezegenin yüzeyinde sıcaklık alanını gösterirken yapılabilir.

Bir bilgisayar, karmaşık organik molekülleri modellerken, hidrojen atomlarının bir renkte, karbon atomlarının başka bir renkte vb. gösterildiği ve atomun bir top (daire) ile temsil edildiği çok renkli bir resim biçiminde sonuçlar üretebilir. , elektron yoğunluğunun dağılımına göre renk yoğunluğunun değiştiği. Bilgisayarlar, uçak veya uzay uydularından hava fotoğrafçılığını kullanarak mineral ararken, Dünya yüzeyinin altındaki yoğunluk dağılımlarının koşullu renkli görüntülerini oluşturur.

Koşullu renklerdeki ve kontrastlardaki görüntüler, bilimsel grafiklerin en güçlü yöntemidir. Sadece düz değil, aynı zamanda üç boyutlu (üç boyutlu) nesnelerin yapısını anlamanıza izin verir, araştırmacıya harika biliş yöntemlerinden birini verir.

Grafik bilgi modelleme çalışması, grafik bilgi işleme teknolojileri çalışması ile karıştırılmamalıdır. Öğrenciler modelleme eğitimi almaya başladıklarında, genellikle bilgisayar grafiklerinin temel teknolojilerine zaten aşinadırlar: basit grafik editörlerini nasıl kullanacaklarını bilirler, bir hesap tablosunda veya başka bir uygun programda diyagramları nasıl oluşturacaklarını bilirler.

Grafikler ve hiyerarşik yapılar şeklinde basit grafik modellerin oluşturulması, “Biçimlendirme ve Modelleme” konusunun çalışmasının bir parçası olarak temel bilgisayar bilimi dersinde zaten uygundur. Ailenin soy ağacını oluşturmak, hiyerarşik bir okul yönetimi sistemi vb. çoğu öğrencinin erişebileceği nispeten basit bir etkinliktir. Bu durumda, bilgisayar grafik sistemlerinin açıklayıcı yeteneklerinin kullanılması uygundur.

Bilimsel grafik modellerin programlama yoluyla bağımsız olarak uygulanmasına gelince, bu, uygulamalı gelişimi profil bilgisayar bilimleri dersinde veya modellemenin derinlemesine incelenmesini amaçlayan seçmeli bir dersin parçası olarak uygun olan, zorluğu artırılmış bir materyaldir. fiziksel ve diğer süreçlerin

simülasyon modeli Etkileşen öğelerden oluşan karmaşık bir sistemin davranışını yeniden üretir. Simülasyon modelleme, aşağıdaki koşulların varlığı ile karakterize edilir (aynı anda hepsi veya bir kısmı):

Modellemenin amacı, karmaşık homojen olmayan bir sistemdir;

· simüle edilmiş sistemde rastgele davranış faktörleri vardır;

Zaman içinde gelişen sürecin bir tanımını elde etmek gerekir;

· Bilgisayar kullanmadan simülasyon sonuçları elde etmek temelde imkansızdır.

Simüle edilen sistemin her bir elemanının durumu, bilgisayar belleğinde tablolar şeklinde saklanan bir dizi parametre ile tanımlanır. Sistemin elemanlarının etkileşimleri algoritmik olarak açıklanmıştır. Modelleme, adım adım modda gerçekleştirilir. Her simülasyon adımında, sistem parametrelerinin değerleri değişir. Simülasyon modelini uygulayan program, sistemin durumundaki değişikliği yansıtır, istenen parametrelerin değerlerini zaman adımlarında veya sistemde meydana gelen olaylar dizisinde tablolar şeklinde verir. Simülasyon sonuçlarını görselleştirmek için genellikle grafiksel bir sunum kullanılır. animasyonlu

Simülasyon modeli, gerçek bir sürecin taklidine (simülasyon) dayanmaktadır. Örneğin, bir kolonideki mikroorganizmaların sayısındaki değişikliğin (dinamiklerin) modellenmesi, birçok ayrı nesneyi göz önünde bulundurabilir ve hayatta kalması, üremesi için belirli koşullar belirleyerek her birinin kaderini izleyebilir.
vesaire. Bu koşullar genellikle sözlü olarak belirtilir. Örneğin: Belli bir süre sonra mikroorganizma ikiye ayrılır ve bir (daha uzun) süre sonra ölür. Açıklanan koşulların yerine getirilmesi, modelde algoritmik olarak gerçekleştirilir.

Başka bir örnek: Her molekül belirli bir hareket yönü ve hızına sahip bir top olarak temsil edildiğinde, bir gazdaki moleküllerin hareketinin modellenmesi. İki molekülün veya bir molekülün damar duvarı ile etkileşimi, mutlak elastik çarpışma yasalarına göre gerçekleşir ve kolayca algoritmik olarak tanımlanır. Sistemin integral (genel, ortalama) özelliklerinin elde edilmesi, simülasyon sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesi düzeyinde gerçekleştirilir.

Böyle bir bilgisayar deneyi aslında tam ölçekli bir deneyi yeniden üretme iddiasındadır. Soruya: "Bunu neden yapmanız gerekiyor?" şu yanıtı verebiliriz: Simülasyon modellemesi, mikro olaylar kavramına (yani sistem öğeleri düzeyinde) gömülü hipotezlerin sonuçlarını "saf biçimde" ayırmamıza izin vererek onları diğerlerinin etkisinden kurtarır. tam ölçekli bir deneyde kaçınılmaz olan, bizim bile bilmediğimiz faktörlerden şüpheleniyoruz. Böyle bir modelleme, mikro düzeyde süreçlerin matematiksel bir açıklamasının unsurlarını da içeriyorsa ve araştırmacı sonuçları düzenlemek için bir strateji bulma görevini belirlemezse (örneğin, bir mikroorganizma kolonisinin sayısını kontrol etmek), o zaman fark simülasyon modeli ile matematiksel (tanımlayıcı) model arasında oldukça keyfi olduğu ortaya çıkıyor.

Yukarıda verilen simülasyon modellerinin örnekleri (bir mikroorganizma kolonisinin evrimi, bir gazdaki moleküllerin hareketi) deterministik sistemlerin tanımı . Simüle edilmiş sistemlerde olasılık unsurlarından, olayların rastgeleliğinden yoksundurlar. Bu niteliklere sahip bir sistemi modelleme örneğini ele alalım.

Kim kuyruğunda durup sabırsızca emrinde olan bir zamanda bir şey satın alıp alamayacağını (veya kira ödeyebileceğini, atlı karıncaya binebileceğini vb.) merak etmemiştir? Ya da yardım masasını telefonla arayıp kısa bip sesleriyle birkaç kez çarpmaya çalışmak, gerilip geçip geçmeyeceğimi değerlendirmek mi? 20. yüzyılın başındaki bu tür "basit" problemlerden yeni bir matematik dalı doğdu - kuyruk teorisi, olasılık teorisi ve matematiksel istatistikler, diferansiyel denklemler ve sayısal yöntemler kullanarak. Daha sonra, bu teorinin ekonomi, askeri işler, üretim organizasyonu, biyoloji ve ekoloji vb.

Formda uygulanan kuyruk problemlerinin çözümünde bilgisayar simülasyonu istatistiksel test yöntemi(Monte Carlo yöntemi) önemli bir rol oynar. Analitik yöntemlerin gerçek hayattaki kuyruk problemlerini çözme olasılıkları çok sınırlıdır, oysa istatistiksel test yöntemi evrensel ve nispeten basittir.

Bu sınıfın en basit problemini ele alalım. Rastgele alıcıları içeren tek satıcılı bir dükkan var. Satıcı serbestse hemen alıcıya hizmet vermeye başlar, aynı anda birkaç alıcı girmişse bir kuyruk oluşturulur. Buna benzer birçok başka durum vardır:

arıza nedeniyle hattan ayrılan filo ve otobüslerdeki onarım alanı;

· acil servis ve yaralanma durumunda (yani randevu sistemi olmadan) resepsiyona gelen hastalar;

Bir girişi (veya bir telefon operatörü) olan bir telefon santrali ve giriş meşgul olduğunda sıraya giren aboneler (bazen böyle bir sistem uygulanır);

· Bir defada birden fazla mesajı kabul etme ve işleme kapasitesine sahip bir sunucuya mesaj gönderen bir yerel ağ sunucusu ve işyerindeki kişisel makineler.

Müşterilerin mağazaya gelme süreci rastgele bir süreçtir. Herhangi bir ardışık alıcı çiftinin gelişleri arasındaki zaman aralıkları, yalnızca çok sayıda gözlemle (veya modelleme için bunun bazı makul varyantları alınarak) oluşturulabilen bazı yasalara göre dağıtılan bağımsız rastgele olaylardır. Bu problemde ilki ile ilgisi olmayan ikinci rastgele süreç, müşterilerin her biri için hizmet süresidir.

Bu tür modelleme sistemlerinin amacı, bir dizi soruyu yanıtlamaktır. Nispeten basit bir soru - yukarıdaki rasgele değişkenlerin verilen dağılım kanunları için sırada beklemeniz gereken ortalama süre nedir? Daha zor bir soru şudur: Kuyruktaki hizmet bekleme sürelerinin dağılımı nedir? Eşit derecede zor bir soru da şudur: Girdi dağılım parametrelerinin hangi oranlarında, yeni giren alıcının sırasının asla ulaşmayacağı bir kriz meydana gelecektir? Bu nispeten basit görev hakkında düşünürseniz, olası sorular artacaktır.

Modelleme yaklaşımı genel hatlarıyla bu şekildedir. Kullanılan matematiksel formüller - ilk rasgele değişkenlerin dağılım yasaları; kullanılan sayısal sabitler, bu formüllerde yer alan ampirik parametrelerdir. Bu problemin analitik çalışmasında kullanılacak hiçbir denklem çözülmemiştir. Bunun yerine, verilen dağıtım yasalarıyla rastgele sayılar üreten bilgisayar programlarının yardımıyla oynanan bir sıra taklidi vardır. Daha sonra verilen modelleme hedefleri ile belirlenen niceliklerin elde edilen değerlerinin toplamının istatistiksel olarak işlenmesi gerçekleştirilir. Örneğin, farklı mağaza operasyon dönemleri için kuyrukların olmamasını sağlayacak en uygun satıcı sayısı bulunur. Burada kullanılan matematiksel aygıta denir. matematiksel istatistik yöntemleri.

“Modelling Ecological Systems and Processes” 2 makalesi başka bir simülasyon örneğini anlatıyor: “yırtıcı-av” sisteminin birçok modelinden biri. Bu ilişkiler içinde olan türlerin bireyleri, belirli kurallara göre, şans unsurları içeren, hareket eden, avcıların avını yiyen, her ikisini de çoğaltan vb. Böyle bir model herhangi bir matematiksel formül içermez, ancak sonuçların istatistiksel olarak işlenmesini gerektirir.

Deterministik simülasyon modeli algoritmasına bir örnek

Herhangi bir programlama dilinde uygulaması kolay olan ve "Yaşam" olarak bilinen canlı organizma popülasyonunun evriminin bir simülasyon modelini düşünün.

Bir oyun algoritması oluşturmak için, N 0'dan normal numaralandırmaya sahip + 1 sütun ve satır N. Kolaylık sağlamak için, uç sınır sütunlarını ve sıralarını "ölü bölge" olarak tanımlarız, bunlar yalnızca yardımcı bir rol oynar.

Alanın koordinatları olan herhangi bir dahili hücresi için ( Ben, J) 8 komşu tanımlayabilirsiniz. Hücre “canlı” ise üzerini boyarız, hücre “ölü” ise boyarız. boş.

Oyunun kurallarını belirleyelim. Eğer hücre ( Ben, J) "canlıdır" ve üçten fazla "canlı" hücre ile çevrilidir, ölür (aşırı nüfustan). Bir "canlı" hücre, çevresinde ikiden az "canlı" hücre varsa da ölür (yalnızlıktan). Etrafında üç "canlı" hücre belirirse "ölü" bir hücre canlanır.

Kolaylık sağlamak için iki boyutlu bir dizi sunuyoruz A karşılık gelen hücre boşsa elemanları 0, hücre "canlı" ise 1 değerini alır. Ardından, hücrenin durumunu koordinatla belirlemek için algoritma ( Ben, J) aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Ö:= Bir + Bir +

bir + bir

bir + bir +

bir + bir;

Eğer(A=1) Ve((S > 3) Veya

(S<)) Daha sonra B := 0;

Eğer(A=0) Ve(Ö=3)

O zaman B := 1;

İşte bir dizi B sonraki adımda alanın koordinatlarını belirler. Tüm iç hücreler için Ben= 1 ila N– 1 ve J= 1 ila N- 1 yukarıdaki doğrudur. Sonraki nesillerin benzer şekilde tanımlandığını unutmayın, yalnızca yeniden atama prosedürünün gerçekleştirilmesi gerekir:

Ben için:= 1 İle N - 1 Yapmak

J için:= 1 İle N - 1 Yapmak

bir := B;

Görüntü ekranında, alanın durumunu bir matriste değil, grafik bir biçimde görüntülemek daha uygundur.

Geriye sadece oyun alanının ilk konfigürasyonunu ayarlama prosedürünü belirlemek kalır. Hücrelerin ilk durumunu rastgele belirlerken, algoritma uygundur

Ben için:= 1 İle K Yapmak

K1'e Başlayın:= Rastgele(N - 1);

K2:= Rastgele(N - 1) + 1;

Kullanıcının, uygulaması kolay olan ilk yapılandırmayı kendisinin ayarlaması daha ilginçtir. Bu modelle yapılan deneyler sonucunda, örneğin, hiç ölmeyen, değişmeden kalan veya belirli bir süre ile konfigürasyonlarını değiştiren canlı organizmaların istikrarlı yerleşimleri bulunabilir. Kesinlikle kararsız (ikinci nesilde yok olan), "haç" ın yeniden yerleşimidir.

Temel bilgisayar bilimleri dersinde, öğrenciler "Programlamaya Giriş" bölümünün bir parçası olarak "Hayat" simülasyon modelini uygulayabilirler. Simülasyon modellemede daha kapsamlı bir ustalık, lisede bilgisayar bilimlerinde bir profil veya seçmeli derste yer alabilir. Bu seçenek daha sonra tartışılacaktır.

Çalışmanın başlangıcı, rastgele süreçlerin simülasyon modellemesi üzerine bir derstir. Rus okulunda, olasılık teorisi ve matematiksel istatistik kavramları matematik dersine yeni yeni girmeye başlıyor ve öğretmen, bir dünya görüşü ve matematik kültürünün oluşması için bu en önemli materyale giriş yapmaya hazırlanmalıdır. Tartışılan kavramlar dizisine temel bir girişten bahsettiğimizi vurguluyoruz; bu 1-2 saat içinde yapılabilir.

Ardından, belirli bir dağılım yasasına sahip rastgele sayı dizilerinin bir bilgisayarda üretilmesiyle ilgili teknik konuları tartışıyoruz. Bu durumda, her evrensel programlama dilinde, 0'dan 1'e kadar segmentte düzgün dağılmış bir rasgele sayı algılayıcısı bulunduğuna güvenebilirsiniz. Bu aşamada, uygulama ilkelerinin zor sorusuna girmek uygun değildir. Mevcut rasgele sayı üreteçlerine bağlı olarak, nasıl düzenleyebileceğinizi gösteriyoruz.

a) herhangi bir aralıkta düzgün dağılmış rasgele sayılar üreteci [ A, B];

b) hemen hemen her dağıtım yasası için bir rasgele sayı üreteci (örneğin, sezgisel olarak net bir "seçme-reddetme" yöntemi kullanılarak).

Yukarıda açıklanan kuyruk sorununun değerlendirilmesine, kuyruk sorunlarının (telefon santralinde hizmet taleplerine ilişkin Erlang sorunu) çözüm geçmişinin tartışılmasıyla başlanması tavsiye edilir. Bunu, tek satıcılı bir mağazada kuyruk oluşturma ve hizmet verme örneği kullanılarak formüle edilebilecek en basit sorunun ele alınması izler. Modellemenin ilk aşamasında, girdideki rasgele değişkenlerin dağılımının eşit derecede olası kabul edilebileceğini unutmayın; bu, gerçekçi olmasa da bir dizi zorluğu ortadan kaldırır (rastgele sayılar üretmek için, programlama dilinde yerleşik sensörü kullanabilirsiniz). ).

Öğrencilerin dikkatini, bu tür sistemleri modellerken ilk etapta hangi soruların sorulduğuna çekiyoruz. İlk olarak, bu, bazı rastgele değişkenlerin ortalama değerlerinin (matematiksel beklentiler) hesaplanmasıdır. Örneğin, gişede sıraya girmeniz gereken ortalama süre nedir? Veya: satıcının alıcıyı beklerken harcadığı ortalama süreyi bulun.

Özellikle öğretmenin görevi, örneklem araçlarının kendilerinin rastgele değişkenler olduğunu açıklamaktır; aynı büyüklükteki başka bir örneklemde farklı değerlere sahip olacaklardır (büyük örneklem büyüklükleri için birbirlerinden çok farklı olmayacaktır). Daha fazla seçenek mümkündür: daha hazırlıklı bir kitleye, belirli güven olasılıkları için karşılık gelen rasgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin bulunduğu bir güven aralıklarını tahmin etme yöntemini gösterebilirsiniz (doğrulamaya çalışmadan matematiksel istatistiklerden bilinen yöntemleri kullanarak). Daha az hazırlıklı bir izleyici kitlesinde, tamamen ampirik bir ifadeyle sınırlanabilir: eşit büyüklükteki birkaç örnekte ortalama değerler bir ondalık basamakta çakışıyorsa, bu işaret büyük olasılıkla doğrudur. Simülasyon istenen doğruluğu elde edemezse, örneklem büyüklüğü artırılmalıdır.

Matematiksel olarak daha da hazırlıklı bir dinleyici kitlesinde şu soru sorulabilir: Girdi parametreleri olan rastgele değişkenlerin dağılımları verildiğinde, istatistiksel modellemenin sonuçları olan rastgele değişkenlerin dağılımı nedir? Bu durumda karşılık gelen matematiksel teorinin sunumu imkansız olduğundan, kişi kendini ampirik yöntemlerle sınırlandırmalıdır: son dağılımların histogramlarını oluşturmak ve bunları birkaç tipik dağılım fonksiyonuyla karşılaştırmak.

Bu modellemenin temel becerilerini çalıştıktan sonra, örneğin Poisson'a göre rastgele olayların girdi akışlarının dağıtıldığı daha gerçekçi bir modele geçiyoruz. Bu, öğrencilerin ek olarak belirtilen dağıtım yasasıyla rasgele sayı dizileri oluşturma yönteminde ustalaşmasını gerektirecektir.

Ele alınan problemde, kuyruklarla ilgili daha karmaşık problemlerde olduğu gibi, kuyruğun zamanla sonsuza kadar büyüdüğü kritik bir durum ortaya çıkabilir. Parametrelerden biri arttıkça kritik bir duruma yaklaşımı modellemek, en hazırlıklı öğrenciler için ilginç bir araştırma görevidir.

Sırayla ilgili görev örneğinde, aynı anda birkaç yeni kavram ve beceri üzerinde çalışılır:

rastgele süreç kavramları;

simülasyon modelleme kavramları ve temel becerileri;

optimizasyon simülasyon modellerinin oluşturulması;

· çok kriterli modellerin oluşturulması (mağaza sahibinin çıkarları ile birlikte en rasyonel müşteri hizmeti problemlerini çözerek).

Matematiksel model - matematiksel semboller kullanılarak ifade edilen, modelleme nesnesinin yaklaşık bir açıklaması.

Matematiksel modeller yüzyıllar önce matematikle birlikte ortaya çıktı. Bilgisayarların ortaya çıkması, matematiksel modellemenin gelişimine büyük bir ivme kazandırdı. Bilgisayarların kullanımı, daha önce analitik araştırmaya uygun olmayan birçok matematiksel modeli analiz etmeyi ve uygulamaya koymayı mümkün kıldı. Bilgisayar destekli matematiksel model isminde bilgisayar matematiksel modeli, A bir bilgisayar modeli kullanarak hedeflenen hesaplamaları yapmak isminde hesaplamalı deney.

Bilgisayar matematiksel modellemesinin aşamaları şekilde gösterilmiştir. İlk aşama- modelleme hedeflerinin tanımı. Bu hedefler farklı olabilir:

1) belirli bir nesnenin nasıl çalıştığını, yapısının ne olduğunu, temel özelliklerini, gelişim yasalarını ve dış dünyayla etkileşimini (anlayış) anlamak için bir modele ihtiyaç vardır;

2) bir nesnenin (veya sürecin) nasıl yönetileceğini öğrenmek ve verilen hedefler ve kriterler (yönetim) için yönetmenin en iyi yollarını belirlemek için modele ihtiyaç vardır;

3) belirtilen yöntemlerin uygulanmasının doğrudan ve dolaylı sonuçlarını ve nesne üzerindeki etki biçimlerinin (tahmin) tahmin edilmesi için modele ihtiyaç vardır.

Örneklerle açıklayalım. Çalışmanın amacı, bir sıvı veya gaz akışının bu akışa engel olan bir cisimle etkileşimi olsun. Deneyimler, vücudun yan tarafından akışa karşı direnç kuvvetinin artan akış hızıyla arttığını, ancak yeterince yüksek bir hızda, bu kuvvetin, hızın daha fazla artmasıyla tekrar artması için aniden azaldığını göstermektedir. Direnç kuvvetinin azalmasına ne sebep oldu? Matematiksel modelleme net bir cevap almamızı sağlar: Dirençte ani bir düşüş anında, aerodinamik gövdenin arkasındaki sıvı veya gaz akışında oluşan girdaplar ondan ayrılmaya başlar ve akış tarafından taşınır.

Tamamen farklı bir alandan bir örnek: ortak bir besin tabanına sahip iki tür bireyin sabit sayıda popülasyonuyla barış içinde bir arada var olmak, "aniden" sayılarını önemli ölçüde değiştirmeye başlar. Ve burada matematiksel modelleme (belirli bir kesinlikle) nedeni belirlemeye (veya en azından belirli bir hipotezi çürütmeye) izin verir.

Nesne yönetimi kavramının geliştirilmesi, modellemenin başka bir olası hedefidir. Uçuşun güvenli ve ekonomik açıdan en avantajlı şekilde gerçekleşmesi için hangi uçak uçuş modu seçilmelidir? Büyük bir tesisin inşasında yüzlerce iş türü bir an önce bitecek şekilde nasıl planlanır? Bu tür pek çok sorun sistematik olarak ekonomistlerin, tasarımcıların ve bilim adamlarının önünde ortaya çıkar.

Son olarak, bir nesne üzerindeki belirli etkilerin sonuçlarını tahmin etmek, hem basit fiziksel sistemlerde nispeten basit bir konu hem de biyolojik, ekonomik, sosyal sistemlerde - fizibilitenin eşiğinde - son derece karmaşık olabilir. İnce bir çubukta ısı yayılma modundaki değişiklik hakkındaki soruyu, onu oluşturan alaşımdaki değişikliklerle cevaplamak nispeten kolaysa, o zaman bir inşaatın çevresel ve iklimsel sonuçlarını izlemek (tahmin etmek) kıyaslanamayacak kadar daha zordur. büyük hidroelektrik santrali veya vergi mevzuatındaki değişikliklerin sosyal sonuçları. Belki burada da matematiksel modelleme yöntemleri gelecekte daha önemli yardımlar sağlayacaktır.

İkinci aşama: modelin girdi ve çıktı parametrelerinin belirlenmesi; girdi parametrelerinin, değişikliklerinin çıktı üzerindeki etkisinin önem derecesine göre bölünmesi. Bu işleme sıralama veya sıralamaya göre bölme denir (bkz. . “Biçimlendirme ve modelleme”).

Üçüncü aşama: matematiksel bir model oluşturmak. Bu aşamada, modelin soyut formülasyonundan, belirli bir matematiksel temsili olan bir formülasyona geçiş vardır. Matematiksel bir model, denklemler, denklem sistemleri, eşitsizlik sistemleri, diferansiyel denklemler veya bu tür denklem sistemleri vb.'dir.

Dördüncü aşama: matematiksel modeli incelemek için bir yöntem seçimi. Çoğu zaman, burada programlamaya iyi bir şekilde katkıda bulunan sayısal yöntemler kullanılır. Kural olarak, aynı sorunu çözmek için doğruluk, kararlılık vb. açısından farklılık gösteren birkaç yöntem uygundur. Tüm modelleme sürecinin başarısı genellikle doğru yöntem seçimine bağlıdır.

Beşinci aşama: bir algoritmanın geliştirilmesi, bir bilgisayar programının derlenmesi ve hatalarının ayıklanması resmileştirilmesi zor bir süreçtir. Programlama dilleri arasında, matematiksel modelleme için birçok profesyonel FORTRAN'ı tercih ediyor: hem gelenek nedeniyle hem de derleyicilerin eşsiz verimliliği (hesaplama çalışması için) ve matematiksel yöntemlerin standart programlarının büyük, dikkatlice ayıklanmış ve optimize edilmiş kitaplıklarının varlığından dolayı. BT. Görevin niteliğine ve programcının eğilimlerine göre PASCAL, BASIC, C gibi diller de kullanımdadır.

Altıncı aşama: programın test edilmesi. Programın işleyişi, cevabı bilinen bir test problemi üzerinde test edilir. Bu, resmi olarak kapsamlı bir şekilde açıklanması zor olan bir test prosedürünün sadece başlangıcıdır. Genellikle test, kullanıcı profesyonel özelliklerine göre programı doğru bulduğunda sona erer.

Yedinci aşama: modelin gerçek bir nesneye (sürece) karşılık gelip gelmediğinin ortaya çıktığı gerçek hesaplama deneyi. Bir bilgisayarda elde edilen sürecin bazı özellikleri, belirli bir doğruluk derecesinde deneysel olarak elde edilen özelliklerle örtüşüyorsa, model gerçek süreç için yeterince yeterlidir. Model gerçek sürece uymuyorsa, önceki aşamalardan birine geri döneriz.

Matematiksel modellerin sınıflandırılması

Matematiksel modellerin sınıflandırılması çeşitli ilkelere dayanabilir. Modelleri bilim dallarına göre (fizik, biyoloji, sosyoloji vb. matematiksel modeller) sınıflandırmak mümkündür. Uygulanan matematiksel aygıta göre sınıflandırılabilir (sıradan diferansiyel denklemlerin kullanımına dayalı modeller, kısmi diferansiyel denklemler, stokastik yöntemler, ayrık cebirsel dönüşümler, vb.). Son olarak, matematiksel aygıttan bağımsız olarak, farklı bilimlerdeki modellemenin genel görevlerinden yola çıkarsak, aşağıdaki sınıflandırma en doğal olanıdır:

tanımlayıcı (tanımlayıcı) modeller;

· optimizasyon modelleri;

· çok kriterli modeller;

oyun modelleri.

Bunu örneklerle açıklayalım.

Tanımlayıcı (tanımlayıcı) modeller. Örneğin, güneş sistemini işgal eden bir kuyruklu yıldızın uçuş yolunu, Dünya'dan kat edeceği mesafeyi vb. tahmin etmek için hareketinin simülasyonları yapılır. Bu durumda, kuyruklu yıldızın hareketini etkilemenin, içindeki bir şeyi değiştirmenin bir yolu olmadığı için modellemenin hedefleri tanımlayıcıdır.

Optimizasyon modelleri, belirli bir hedefe ulaşma girişiminde etkilenebilecek süreçleri tanımlamak için kullanılır. Bu durumda, model etkilenebilecek bir veya daha fazla parametre içerir. Örneğin, bir tahıl ambarındaki termal rejimi değiştirerek, maksimum tahıl muhafazasını elde etmek için böyle bir rejimi seçme hedefi belirlenebilir, örn. depolama sürecini optimize edin.

çok kriterli modeller Genellikle süreci birkaç parametrede aynı anda optimize etmek gerekir ve hedefler çok çelişkili olabilir. Örneğin, yiyecek fiyatlarını ve bir kişinin yiyecek ihtiyacını bilmek, büyük insan grupları için (orduda, çocuk yaz kampında vb.) Yemekleri fizyolojik olarak doğru ve aynı zamanda mümkün olduğunca ucuza organize etmek gerekir. Bu hedeflerin hiç örtüşmediği açıktır; modelleme yaparken, aralarında bir dengenin aranması gereken birkaç kriter kullanılacaktır.

Oyun modelleri sadece bilgisayar oyunlarıyla değil çok ciddi şeylerle de ilgili olabilir. Örneğin, bir savaştan önce, karşı ordu hakkında eksik bilgi varsa, bir komutan bir plan geliştirmelidir: düşmanın olası tepkisini dikkate alarak belirli birimleri savaşa hangi sırayla vb. Eksik bilgi koşulları altında karar verme yöntemlerini inceleyen modern matematiğin - oyun teorisi - özel bir bölümü vardır.

Bilgisayar bilimi okul kursunda, öğrenciler temel kursun bir parçası olarak bilgisayar matematiksel modellemesi hakkında bir başlangıç ​​fikri alırlar. Lisede, matematiksel modelleme, fizik ve matematik dersleri için genel bir eğitim dersinde ve ayrıca özel bir seçmeli derste derinlemesine incelenebilir.

Lisede bilgisayar matematiksel modelleme öğretiminin ana biçimleri dersler, laboratuvar ve kredi dersleridir. Genellikle, her yeni modelin incelenmesi için yaratma ve hazırlama çalışmaları 3-4 ders alır. Materyalin sunumu sırasında, gelecekte öğrenciler tarafından kendi başlarına çözülmesi gereken görevler belirlenir, genel olarak bunları çözmenin yolları ana hatlarıyla belirtilir. Görevleri yerine getirirken cevapları alınması gereken sorular formüle edilir. Görevlerin daha başarılı bir şekilde tamamlanması için yardımcı bilgilerin elde edilmesini sağlayan ek literatür belirtilmiştir.

Yeni materyal çalışmasında sınıf düzenleme şekli genellikle bir derstir. Bir sonraki modelin tartışmasını tamamladıktan sonra, öğrencilerin emrinde gerekli teorik bilgiler ve daha fazla çalışma için bir dizi görev vardır. Göreve hazırlanırken, öğrenciler bilinen bazı özel çözümleri kullanarak uygun çözüm yöntemini seçerler, geliştirilen programı test ederler. Görevlerin yerine getirilmesinde oldukça olası zorluklar olması durumunda, istişare yapılır, bu bölümlerin literatürde daha ayrıntılı olarak çalışılması için bir teklifte bulunulur.

Bilgisayarla modelleme öğretiminin pratik kısmıyla en ilgili olanı, proje yöntemidir. Görev, öğrenci için bir eğitim projesi şeklinde formüle edilir ve birkaç ders üzerinden gerçekleştirilir ve bu durumda ana organizasyon şekli bilgisayar laboratuvarı çalışmasıdır. Öğrenme projesi yöntemini kullanarak modellemeyi öğrenmek, farklı seviyelerde uygulanabilir. İlki, öğretmen tarafından yönetilen proje uygulama sürecinin bir problem ifadesidir. İkincisi, projenin bir öğretmenin rehberliğinde öğrenciler tarafından uygulanmasıdır. Üçüncüsü, bir eğitim araştırma projesinin öğrenciler tarafından bağımsız olarak uygulanmasıdır.

Çalışmanın sonuçları sayısal biçimde, grafikler, diyagramlar şeklinde sunulmalıdır. Mümkünse süreç dinamik olarak bilgisayar ekranında sunulur. Hesaplamaların tamamlanması ve sonuçların alınması üzerine analiz edilirler, teoriden bilinen gerçeklerle karşılaştırılır, güvenilirlik doğrulanır ve daha sonra yazılı bir rapora yansıtılan anlamlı bir yorum yapılır.

Sonuçlar öğrenciyi ve öğretmeni tatmin ederse, çalışma tamamlanmış sayılır ve son aşaması bir raporun hazırlanmasıdır. Rapor, çalışılan konuyla ilgili kısa teorik bilgiler, problemin matematiksel formülasyonu, çözüm algoritması ve gerekçesi, bir bilgisayar programı, programın sonuçları, sonuçların ve sonuçların analizi, bir referans listesi içerir.

Tüm raporlar hazırlandıktan sonra, test oturumunda öğrenciler yapılan çalışmalar hakkında kısa raporlar hazırlar ve projelerini savunurlar. Bu, proje ekibinin sınıfa problem belirleme, resmi bir model oluşturma, modelle çalışma yöntemlerini seçme, modeli bilgisayarda uygulama, bitmiş modelle çalışma, sonuçları yorumlama dahil olmak üzere etkili bir rapor şeklidir. tahmin Sonuç olarak, öğrenciler iki not alabilir: birincisi - projenin detaylandırılması ve savunmasının başarısı için, ikincisi - program için, algoritmasının, arayüzünün vb. Öğrenciler ayrıca teori üzerine anketler sırasında not alırlar.

Temel bir soru, okul bilişim dersinde matematiksel modelleme için ne tür araçların kullanılacağıdır? Modellerin bilgisayar uygulaması gerçekleştirilebilir:

bir elektronik tablo kullanarak (genellikle MS Excel);

· geleneksel programlama dillerinde (Pascal, BASIC, vb.) ve bunların modern sürümlerinde (Delphi, Visual Basic for Application, vb.) programlar oluşturarak;

· matematik problemlerini çözmek için özel yazılım paketleri yardımıyla (MathCAD, vb.).

İlkokul düzeyinde ilk çözüm yolu tercih edilen çözüm olarak görünmektedir. Bununla birlikte, lisede programlama, modelleme ile birlikte bilgisayar biliminin önemli bir konusu olduğunda, bunun bir modelleme aracı olarak dahil edilmesi arzu edilir. Programlama sürecinde, matematiksel prosedürlerin detayları öğrencilerin kullanımına açılır; dahası, basitçe ustalaşmaya zorlanırlar ve bu aynı zamanda matematik eğitimine de katkıda bulunur. Özel yazılım paketlerinin kullanımına gelince, bu, diğer araçlara ek olarak bir profil bilgisayar bilimi dersinde uygundur.

Çeşitli bilimlerde (fizik, biyoloji, ekonomi vb.) kullanılan modeller, nispeten izole edilmiş süreçlerin ve fenomenlerin matematiksel görüntüleridir. Her biri, belirli bir bilim veya faaliyet türü için önemli olan sorunları çözmenize olanak tanır. Ancak tüm bunlar, evrensel insani önemi açısından, insanlar için en önemli sorudan daha aşağıdır: bir bütün olarak bir tür olarak insanlığın yakın geleceği nedir? Öngörülebilir gelecekte dünya nasıl gelişecek? Belirli bir ülke veya toplum için siyasi veya ekonomik tahminlerden değil, bir bütün olarak insanlıktan bahsettiğimizi vurguluyoruz - geleceği nedir (hepimiz Dünya'da yaşıyoruz)?

Mevcut yaşamdaki insanların birçok özel sorunu vardır ve bu tür genel düşüncelere pek eğilimli değildirler. Bir bireyin hayatı çok kısa ve hatta bir veya iki yüzyıl önce, oldukça çalkantılı bir çağda yaşamış olsa bile, bir kişinin hayatı boyunca dünyadaki küresel değişimler neredeyse hiç fark edilmiyordu. Ancak 20. yüzyılda olayların hızı insanlık tarihinde hiç olmadığı kadar hızlandı. Gelecekteki küresel felaketlerin tahminleri giderek daha sık duyulmaya başlandı: endüstriyel kirlilik nedeniyle doğanın ölümü, stratosferde bizi kozmik radyasyondan koruyan "ozon deliklerinin" ortaya çıkması, büyük ormansızlaşma nedeniyle oksijen üreme tesislerinin tükenmesi, vesaire. Daha az yıkıcı bir olay bile - örneğin doğal kaynakların tükenmesi - insanlığın yaşam biçiminde ve özellikle de günümüzün en sanayileşmiş ülkelerinde köklü değişikliklere yol açabilir.

İnsanlığın geleceği, kısmen onun tarafından kontrol edilen, kısmen kontrol edilmeyen çok sayıda süreç tarafından belirlenir ve bu süreçler o kadar birbirine bağlıdır ve o kadar çelişkili sonuçlara sahiptir ki, modern bilgisayarlarda uygulanan tüm makul setlerinde yalnızca bunların matematiksel modellemesi olabilir. niteliksel olarak doğru bir tahmin verin. Böyle bir simülasyonda gerçekliğin kaçınılmaz olarak kabalaşması ne kadar büyük olursa olsun, en güçlü zihin bile bunların etkileşimini izleyemeyecek kadar çok önemli faktör vardır.

Adlandırılmış karşılık gelen modeller küresel(kapsamlı), ilk olarak geçen yüzyılın 70'lerinde ortaya çıktı. En ünlü modeller, D.Kh. Meadows ve D. Forrester. Bir seferde çalışmalarının sonuçları dünyada bir sansasyon yarattı, çünkü olayların olası gelişimi için senaryoların çoğu, dünyanın sonu olarak adlandırılabilecek finallere yol açtı (tabii ki bakış açısından). insanlık). Aynı zamanda, yazarlar bunun önceden belirlenmiş bir gelecekle ilgili olmadığını, ancak insanlığın gelişimi için istikrara, insanlığın müreffeh varlığına götürenlerin de bulunduğu yolların seçimi ile ilgili olduğunu defalarca vurguladılar.

Olası istikrarsızlığın nedeni ne olabilir? Sanayi devriminin başlamasından sonraki dönemde insan yaşamının karakteristik bir özelliği, birçok göstergenin hızlı - genellikle katlanarak hızlı - büyümesiydi. Dünya nüfusunun iki katına çıkma süresi yaklaşık 40 yıldır (böyle sabit bir sürenin varlığı, üstel büyümenin karakteristik bir özelliğidir). Biyologlar ve ekolojistler, nüfusun üstel büyümesinin çoğu zaman felaketle sonuçlandığının farkındalar - varlığını destekleyen kaynaklar tükeniyor. Bir türün varlığı açısından bakıldığında, bu bir trajedi değildir (belirli bir türün tek bir popülasyona indirgendiği benzersiz durumlar dışında). Bununla birlikte, zamanımızda insanlık, kapsamlı büyüme ve "genişlikte" genişleme için neredeyse tüm kaynakları tüketti. 20. yüzyılda endüstriyel üretim hacmi de yıllık ortalama %3,3'lük bir büyüme oranıyla neredeyse katlanarak arttı. Bu, doğal kaynakların - mineraller, temiz su, temiz hava - tükenmesine yol açar. Fosil yakıtların yakılması ve ormanların tükenmesi sonucu atmosferdeki kararlı karbon bileşiklerinden birinin (dioksit) içeriği yüzyılın başından bu yana üçte bir oranında arttı; potansiyel olarak bu, Dünya üzerinde en feci sonuçlarla birlikte küresel ısınmaya yol açar. Ne kadar çok insan, o kadar çok gıdaya ihtiyaç var ve dünyadaki mineral gübre uygulaması katlanarak artıyor ve yaklaşık 15 yılda ikiye katlanıyor. Her şeyin ve her şeyin sınırsız büyümesiyle böyle bir yaşamın uzun süremeyeceği açıktır ve herhangi bir modelleme olmadan - ve şimdi "uzun", iki veya üç kuşaklık yaşam süresiyle karşılaştırılabilir.

Böyle bir olay akışının sonuçlarını izlemenin zorluğu, aynı zamanda, her bir küresel sürecin, insanlığın kaderini etkileme açısından açık bir şekilde "iyi" veya "kötü" olarak adlandırılamaması gerçeğinde de yatmaktadır. Örneğin, gübre üretimindeki bir artış, gıda üretiminde bir artışa yol açar - bu “iyidir”. Ancak aynı sürecin, yağmurla birlikte topraktan nehirlere ve yer altı kaynaklarına geçen gübrelerle bozulan temiz tatlı su arzında azalmaya yol açması "kötü". Ek olarak, gübre üretimindeki bir artış, enerji üretimini ve buna bağlı olarak toprağın, atmosferin vb. kimyasal ve termal kirliliğini artırma ihtiyacına yol açar. Bu tür durumların insanlığın gelişimi üzerindeki etkisini ancak tüm faktörleri aynı anda dikkate alarak ölçmek mümkündür.

İnsan gelişimi için yıkıcı sonuçlardan kaçınmak için fırsatlar var mı? Modelleme sonucunda, modellerin yazarlarına göre küresel sürdürülebilirlik için uyulması gerekli olan aşağıdaki üç kural formüle edilmiştir:

1. Yenilenebilir kaynaklar için (orman, su, balık vb.) tüketim oranı doğal geri kazanım oranını geçmemelidir.

2. Yenilenemeyen kaynaklar için (kömür, petrol, cevher vb.) tüketim oranı, yenilenebilir kaynaklarla ikame oranını (güneş ve rüzgar enerjisinin geliştirilmesi, orman dikimi vb.) ve kaynakların değişmesini sağlamak için yeni teknolojilerin gelişme hızı; böylece örneğin petrolün ortadan kalkmasından sonra yeni bir kaynaktan enerji akışı sağlanır.

3. Kirleticiler için maksimum emisyon oranı, bu maddelerin işlenme veya çevreye zararlı özelliklerini kaybetme hızını geçmemelidir.

Şu anda insanlık maalesef bu kurallar tarafından yönlendirilmiyor. Geçmiş yüzyıllarda bu, türler için bir bütün olarak tehlike oluşturmadıysa, o zaman bugün durum değişti.

Küresel modellerden biri olan DÜNYA-3'ü (MIR-3) kısaca açıklayalım. Model beş sektörden oluşmaktadır:

kalıcı kirlilik;

yenilenemez kaynaklar;

· nüfus;

tarım (gıda üretimi, toprak verimliliği, arazi geliştirme);

Ekonomi (endüstriyel üretim, hizmet üretimi, işler).

Birincil ilişkiler başlangıçtır, örneğin:

sanayi sermayesinin nüfusu ve stokları;

nüfus ve ekili arazi alanı;

· ekili arazi alanı ve endüstriyel sermayenin hacmi;

· hizmet sektörünün nüfus sayısı ve sermayesi;

· hizmet sektörünün sermayesi ve sanayi sermayesi vb.

Her sektörde, tüm birincil ilişkiler izlenir ve matematiksel ilişkilerle ifade edilir. Gerekirse, malzeme ve bilgi gecikme süreçleri dikkate alınır, çünkü örneğin nüfusun iyileştirilmiş beslenmeye tepkisi anlık değil, gecikmelidir. Bu, incelenmekte olan süreçlerin çoğu için tipiktir.

WORLD-3 modeli tanımlayıcı ve optimizasyon özelliklerine sahiptir. Ana amacı, ekonominin (terimin geniş anlamıyla) çevre tarafından süresiz olarak desteklenebilecek bir gezegen popülasyonuna ulaşması için olası yolları sunmaktır. Belirli bir ülkenin gelişimini öngörmez, herhangi bir yerel sorunu çözmez. Model, Dünya üzerinde küresel bir topluluk olduğunu varsayar.

Nüfus dinamikleri, tüm faktörleri içeren ayrılmaz bir özelliktir. Tamamen spekülatif olarak, iki tür kararlı dinamik mümkündür (sürekli büyüme veya dengeye yumuşak bir yaklaşım) ve izin verilen sınırların ötesine geçmekle ilişkili üç tür kararsız dinamik (daha sonra durağan bir duruma ulaşan salınımlar, kaotik salınımlar ve çökme, yani kaybolma). türün). Sürekli büyüme tamamen gerçekçi görünmüyor, istikrarsız dinamiklerin sonuncusu insanlık için bir trajedi ve tahmin edebileceğiniz gibi keskin dalgalanmaların arkasında savaşlar, salgın hastalıklar, kıtlık var - gerçekte sıklıkla olan şeyler.

Matematiksel yollarla (diferansiyel ve "sıradan" denklemler) ifadeler bulan WORLD modeli için tipik ilişkiler şekilde gösterilmiştir. Nüfus, sanayi sermayesi, ekili arazi alanı ve çevre kirliliği arasındaki bağlantıları gösterir. Şekildeki her ok, ani veya gecikmeli, pozitif veya negatif olabilen nedensel bir ilişkinin varlığını gösterir.

Nüfus büyüklüğü, sermaye, tarımsal üretim ve çevre kirliliğine ilişkin geri bildirim döngüleri

Olumlu ve olumsuz geri bildirim kavramları, otomatik kontrol teorisinden (sibernetik bölümü) alınmıştır. İki unsur arasındaki nedensellik ilişkisine denir. olumsuz, bir elemandaki değişiklik ikinciye aktarılırsa, ondan birinciye döner ve orijinalin tersi yönde değiştirir (bastırır), ve pozitif eğer bu değişiklik, birinciye dönerek onu güçlendirirse. İki unsur değil, daha fazlası varsa, o zaman hakkında derler. geribildirim döngüsü, sinyalin bir daire içinde geçtiği, kaynağa geri döndüğü ve onu etkilediği.

Bu tür çizimlerden bazıları, DÜNYA modelini grafik olarak tüketir. Bununla birlikte, her okun arkasında birincil ilişkiler ve her birinin arkasında bir dizi parametre içeren denklemler vardır. Aslında, sonuçları belirleyen bu parametrelerin değerleridir, bu nedenle analizleri hem çok sayıda dar uzmanı hem de düzinelerce referans kitabında, BM raporlarında ve bireysel devletlerde toplanan birçok ampirik (istatistiksel) veriyi içerir. WORLD-3 modelinde birbiriyle ilişkili değişken sayısı 225 olup, daha da fazla parametre bulunmaktadır.

Küresel Simülasyon Sonuçları

DÜNYA modellerinden yola çıkarak yayınlanan insani gelişme "senaryoları" 1900'den 2100'e kadar olan dönemi kapsamaktadır. Zaten geçmiş olan ilk 100 yıl, güvenilirlik derecesini belirlemek için modeli "ayarlamayı" mümkün kılar.

Senaryolardan ilki, kaynakları korumak ve çevre kirliliğini azaltmak için büyük değişiklikler, küresel siyasi felaketler olmadan her şeyin gelişeceği hipotezine dayanmaktadır. Model, böyle bir gelişmenin feci sonuçlarını öngörüyor.

Aynı zamanda, DÜNYA modeli, ana değişkenlerin pürüzsüz (“sigmoid”) davranışına yol açan düzenlenmiş geliştirme yolları bulmayı mümkün kılar. Bu yol, kendini sınırlama ve gelişmiş endüstriyel ve tarımsal teknolojilere geçiş ile ilişkilidir.

5. Optimum planlama süreçlerinin modellenmesi

Optimal planlama probleminin ifadesi

Planlama, ekonomik ve yönetsel faaliyetin en önemli aşamasıdır. Planlamanın amacı, bir alt bölümün faaliyeti veya tüm işletme, sanayi veya tarım, bir bölge ve son olarak bir devlet olabilir.

Genel durumda planlama probleminin formülasyonu aşağıdaki gibidir:

Bazı planlanmış göstergeler vardır: X, Y, …;

Bazı kaynaklar mevcuttur: R 1, R 2, ..., bu planlanan göstergelere ulaşılabilmesi nedeniyle;

· Planlamanın yönlendirilmesi gereken, planlanan göstergelerin değerlerine bağlı olarak belirli bir stratejik hedef vardır.

Optimal planlama problemi stratejik hedefe ulaşılmasına bağlı olarak sınırlı kaynakları dikkate alarak planlanan göstergelerin değerlerini belirlemektir.

Örnekler verelim. Planlama nesnesinin bir anaokulu olmasına izin verin. Kendimizi yalnızca iki planlanmış göstergeyle sınırlıyoruz: çocuk sayısı ve eğitimci sayısı. Anaokulunun faaliyetleri için ana kaynaklar, fon miktarı ve tesisin büyüklüğüdür. Stratejik hedefler nelerdir? Doğal olarak bunlardan biri de çocuk sağlığının korunması ve güçlendirilmesidir. Bu hedefin nicel ölçüsü, anaokulu öğrencilerinin görülme sıklığını en aza indirmektir.

Diğer bir örnek ise devletin ekonomik faaliyetlerinin planlanmasıdır. Tabii ki, bu ayrıntılı bir analiz için çok karmaşık bir görevdir. Planlanan birçok gösterge var: çeşitli endüstriyel ve tarımsal ürünlerin üretimi, uzmanların eğitimi, elektrik üretimi, kamu sektörü çalışanlarının ücretleri ve çok daha fazlası. Kaynaklar şunları içerir: sağlam nüfus sayısı, devlet bütçesi, doğal kaynaklar, enerji, ulaşım sistemlerinin olanakları vb. Elbette, bu tür kaynakların her biri sınırlıdır. Ayrıca en önemli kaynak, planın uygulanması için ayrılan zamandır.

Bu durumda stratejik hedefler sorunu çok karmaşıktır. Devletin birçoğu var, ancak tarihin farklı dönemlerinde öncelikler değişebilir. Örneğin savaş zamanlarında asıl amaç, ülkenin maksimum savunma kabiliyeti, askeri gücüdür. Barış zamanında, modern uygar bir devlette öncelikli hedef, nüfus için maksimum yaşam standardına ulaşmak olmalıdır.

Optimal planlama problemlerinin çözümü çoğu zaman karmaşıktır ve yalnızca insan deneyimi (ampirik yöntemler) kullanılarak erişilemez. Bu tür sorunları çözmek için bir matematiksel model Görev parametreleri arasında bir ilişki kuran A. Buradan, optimal planlama, matematiksel modelleme uygulanarak gerçekleştirilir. Kural olarak, gerçek durumlar için bu tür modeller analitik çözüme uygun değildir, bu nedenle bilgisayarda uygulanan sayısal çözüm yöntemleri kullanılır.

Optimal planlamanın matematiksel modeline bir örnek

Optimal planlama problemlerinin sınıflarından biri hakkında fikir edinebileceğimiz basit bir örneği ele alalım.

Okul pastanesi turta ve kek hazırlar. Depo kapasitesinin sınırlı olması nedeniyle günde 700 adetten fazla ürün hazırlanamamaktadır. Şekerleme dükkanındaki çalışma günü 8 saat sürer. Kek üretimi daha emek yoğun olduğu için, o zaman üretilse günde 250'den fazla üretilemezken, 1000 turta üretilebilir (aynı anda hiç kek üretilmezse). Bir pastanın maliyeti, bir pastanın iki katıdır. Şekerleme dükkanına en büyük geliri sağlayan günlük bir üretim planı hazırlamak gerekir.

Bu problemi matematiksel olarak formüle edelim. Planlanan göstergeler şunlardır:

x - turtaların serbest bırakılması için günlük plan;

y - kek üretimi için günlük plan.

Üretim kaynakları şunlardır:

Çalışma saatleri - 8 saat;

· Depolama kapasitesi - 700 yer.

Atölyenin sınırlı süresi ve deponun kapasitesi, yani koşullardan aşağıdaki oranları elde edeceğiz. toplam ürün sayısı. Sorunun ifadesinden, bir pastanın üretiminin 1 pastadan 4 kat daha fazla zaman aldığı anlaşılmaktadır. Pastanın yapım zamanını belirtirseniz T dk., sonra kek yapma süresi 4 T dk. Bu nedenle, toplam üretim süresi X turtalar ve y Kekler tx + 4ty=(X+ 4y)T. Ancak bu süre işgününün uzunluğundan fazla olamaz. Bu, eşitsizliği ima eder ( X + 4y)T 8? 60 veya ( X + 4y)T 480.

Bir iş gününde 1000 turta yapılabileceğinden, bir tanesi için 480/1000 = 0,48 dakika harcanır. Bu değeri eşitsizliğe yerleştirerek şunu elde ederiz: ( X + 4y) ? 0,48 480. Buradan X + 4y 1000. Toplam ürün sayısındaki sınır bariz bir eşitsizlik verir. X+ y 700.

Elde edilen iki eşitsizliğe, niceliklerin değerlerinin pozitifliği için koşulları eklemeliyiz. X Ve y(negatif turta ve kek sayısı olamaz). Sonuç olarak, bir eşitsizlik sistemimiz var:

X + 4y 1000,X + y 700, X 0, y 0 ()

Stratejik hedefi resmileştirelim: maksimum geliri elde etmek. Gelir, satılan tüm ürünlerin değeridir. Bir pastanın fiyatı olsun R ruble. Sorunun durumuna göre bir pastanın fiyatı iki kat yani 2 R ruble. Bu nedenle, günde üretilen tüm çıktının maliyeti eşittir rx + 2ry = R(X + 2y). Üretimin amacı geliri maksimize etmektir. Yazılı ifadeyi bir fonksiyon olarak ele alacağız. X,y:F(x, y)= r(X + 2y). Çünkü R bir sabittir, o zaman maksimum değer F(x, y) ifadenin maksimum değerine ulaşılacaktır X + 2y. Bu nedenle, maksimumu stratejik hedefe karşılık gelen bir fonksiyon olarak alabiliriz.

F(X, y) = X + 2y ()

Bu nedenle, optimal planı elde etmek aşağıdaki matematiksel probleme indirgenmiştir: eşitsizlik sistemini karşılayan planlanan x ve y göstergelerinin değerlerini bulun()ve amaç fonksiyonunun maksimum değerini vermek().

Yukarıdaki örnek, görevler sınıfına aittir. doğrusal programlama. Optimal planlama teorisinde, doğrusal programlamanın en basiti olduğu birkaç problem sınıfı vardır. Bu tür problemleri çözmek için matematiksel yöntemlerin incelenmesi, okul eğitiminin amaçlarının ötesine geçer.

Aynı zamanda, kendimizi optimal planlama problemlerinin teorik formülasyonuyla sınırlamak mantıksız olacaktır. Modern bilgi teknolojileri, uygulanan matematiksel yöntemlerin özüne girmeden bazı optimal planlama problemlerini (ve özellikle doğrusal programlamayı) çözmeyi mümkün kılar. Özellikle, bu tür araçlar Excel elektronik tablosunda mevcuttur ve bunlara dayalı olarak öğrencilere belirli sorunları nasıl çözecekleri gösterilebilir. Söz konusu araca Çözüm Bul denir.İlgili komut Araçlar menüsündedir. Yukarıdaki sorunu çözmek için belirtilen aracın nasıl kullanılacağını kısaca açıklayalım.

Öncelikle optimal planlama probleminin çözümü için bir tablo hazırlayalım.

B5 ve C5 hücreleri sırasıyla değerler için ayrılmıştır. X(turta yapmayı planlayın) ve y(kek yapmayı planlayın). Eşitsizliklerin sol tarafları B sütununda, sağ tarafları ise D sütununda; işaretler "<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Optimizasyon programını çağıralım ve ona verilerin nerede olduğunu söyleyelim. Bunu yapmak için, Yu Service Yu Search for a solution komutunu yürütün. Ekranda uygun form açılacaktır. Aşağıdaki algoritmaya göre hareket edeceğiz:

1. Amaç fonksiyonu ile hücre koordinatını girin. Bizim durumumuzda bu B15'tir. (İmleci önce B15 hücresine yerleştirirseniz, girişin otomatik olarak gerçekleşeceğini unutmayın.)

2. "Maksimum değere eşit" kutusunu işaretleyin, örn. Programa amaç fonksiyonunun maksimumunu bulmakla ilgilendiğimizi söyleyelim.

3. "Changing cell" alanına B5:C5 girin, örn. değişkenlerin - planlanan göstergelerin değerleri için hangi yerin ayrıldığını size söyleyeceğiz.

4. "Kısıtlamalar" alanına, kısıtlama eşitsizlikleri hakkında şuna benzer bilgiler girin: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Kısıtlamalar şu şekilde girilir:

“Ekle” düğmesine tıklayın;

Görünen "Kısıtlama ekleme" iletişim kutusunda, B10 hücresine bir referans girin, " eşitsizlik işaretini seçin "<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Kısıtlama Ekle iletişim kutusunu kapatın. Önümüzde hazırlanmış bir “Çözüm ara” formu var.

6. "Çalıştır" düğmesine tıklayın - en uygun çözüm B5 ve C5 hücrelerinde (600 ve 100 sayıları) ve ayrıca B15 hücresinde - amaç fonksiyonunun maksimum değeri olan 800 sayısında görünür.

6. Fiziksel sistemlerin ve süreçlerin modellenmesi

Fizik bilimi, Isaac Newton'un zamanından (XVII-XVIII yüzyıllar) beri matematiksel modelleme ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. I. Newton, mekaniğin temel yasalarını, evrensel yerçekimi yasasını matematik dilinde tanımlayarak keşfetti. I. Newton (G. Leibniz ile birlikte), fiziğin matematiksel aparatının temeli haline gelen diferansiyel ve integral hesabı geliştirdi. Sonraki tüm fiziksel keşifler (termodinamik, elektrodinamik, atom fiziği vb.), Matematiksel dilde açıklanan yasalar ve ilkeler biçiminde sunuldu; matematiksel modeller biçimindedir.

Teorik olarak herhangi bir fiziksel problemin çözümünün matematik modelleme. Bununla birlikte, problemin teorik bir çözümünün olasılığı, matematiksel modelinin karmaşıklık derecesi ile sınırlıdır. Matematiksel model ne kadar karmaşıksa, onun yardımıyla açıklanan fiziksel süreç o kadar karmaşık ve hesaplamalar için böyle bir modeli kullanmak o kadar sorunlu hale geliyor.

En basit durumda, problemin çözümü analitik olarak “manuel” olarak elde edilebilir. Pratikte önemli olan çoğu durumda, modelin matematiksel karmaşıklığından dolayı analitik bir çözüm bulmak mümkün değildir. Bu durumda, kullanın Sayısal yöntemler etkili uygulaması yalnızca bir bilgisayarda mümkün olan problem çözme. Başka bir deyişle, karmaşık matematiksel modellere dayalı fiziksel araştırma, bilgisayar matematiksel modelleme. Bu bağlamda, 20. yüzyılda, fiziğin geleneksel olarak teorik ve deneysel olarak bölünmesiyle birlikte, yeni bir yön ortaya çıktı - "hesaplamalı fizik".

Bir bilgisayardaki fiziksel süreçlerin incelenmesine hesaplamalı deney denir. Böylece hesaplamalı fizik, matematiksel modeller çıkardığı teorik fizik ile deneysel fizik arasında bir köprü kurarak bilgisayarda sanal bir fiziksel deney gerçekleştiriyor. Hesaplama sonuçlarının işlenmesinde bilgisayar grafiklerinin kullanılması, bu sonuçların araştırmacı tarafından algılanması ve yorumlanması için en önemli koşul olan görünürlüğünü sağlar.

Mekaniğin temel yasası, bir cisme etki eden kuvveti, kütlesini ve kuvvetin etkisinden kaynaklanan ivmeyi ilişkilendiren Newton'un ikinci yasasıdır. Okul fiziğinde bu yasa aşağıdaki biçimde sunulur:

Bu, kuvvet ve kütlenin sabit olduğu anlamına gelir. Bu durumda ivme de sabit bir değer olacaktır. Bu nedenle, denklem (1), sabit bir kuvvetin etkisi altında sabit bir kütleye sahip bir cismin düzgün ivmeli hareketini modeller.

Bu modelin uygulanabilirliği sınırlıdır. Değişken kütle ve değişken kuvvete sahip cisimlerin hareketini hesaplamak için kullanılamaz. Örneğin, bir roketin uçuşu sırasında yakıtın yanması nedeniyle kütlesi azalır, yani. kütle zamanın bir fonksiyonudur: M(T). Sonuç olarak, ivme de bir değişken olur ve matematiksel model değişir:

İvmenin hızın bir türevi olduğunu dikkate alıyoruz ( v) zamanla ve zamanla kütle değişiminin işlevini tanımlayın (doğrusal olsun); aşağıdaki matematiksel hareket modelini elde ederiz:

(2)

Burada M 0 - roketin ilk kütlesi, Q(kg / s) - yakıtın yanma oranını belirleyen bir parametre. Denklem (2), doğrusal bir cebirsel denklemin (1) aksine bir diferansiyel denklemdir. Matematiksel model daha karmaşık hale geldi! Denklem (2)'yi çözmek (1)'den çok daha zordur. Kuvvetin zamanla değişme olasılığını da hesaba katarsak F(T) (fırlatma sırasında roket motorunun itişi bir değişkendir), o zaman model daha da karmaşık hale gelecektir:

(3)

Vücutlar atmosferde (veya sıvı bir ortamda) hareket ettiğinde, ortamın direncini - sürtünme kuvvetini hesaba katmak gerekir. Sürtünme kuvvetinin iki bileşeni vardır: cismin hızının birinci kuvvetiyle orantılı ve karesiyle orantılı. Şimdi hareket denklemi şu şekli alacaktır:

, (4), (5)

Burada k 1 Ve k 2 - ampirik katsayılar. Denklem (5), hızı yer değiştirmeyle ilişkilendirir. Model (4)–(5) fiziksel olarak gerçek bir duruma daha yakın hale geldi, ancak matematiksel açıdan daha karmaşık hale geldi. Bunu kullanarak, pratik olarak önemli soruların yanıtlarını alabilirsiniz. Örneğin: verilen F(T) roketin ilk kozmik hıza ne kadar süre ve hangi yükseklikte ulaşacağını belirlemek. Veya ters problemi çözün: roketin belirli bir yükseklikte ilk uzay hızına ulaşması için motorun itme kuvveti ne olmalıdır? Katsayıların olduğu gerçeğini de göz önünde bulundurarak k 1 Ve k 2 - değişkenler, yükseklikle azalan atmosferik havanın yoğunluğuna bağlı olduklarından, matematiksel model (4)–(5) oldukça karmaşık hale gelir. Yukarıda formüle edilen problemlerin böyle bir modele dayalı çözümü, sayısal yöntemlerin ve bir bilgisayarın kullanılmasını gerektirir.

Sayısal yöntemler herhangi bir matematik probleminin çözümünü aritmetik hesaplamalara indirgeyen yöntemler. Mekanikte roket uçuşu probleminden daha basit bir problem örneği üzerinde sayısal çözüm yönteminin uygulamasını gösterelim. Sabit kütleli bir cismin serbest düşüş problemini ele alalım. M sabit yer çekiminin etkisi altındadır. Hava direncini hesaba katan hareket denklemleri (bu yukarıda tartışılmıştır) şu şekildedir:

, (6)

Burada v- hız vektörünün dikey bileşeni. Cismin yerden ilk yüksekliği şu olsun: S 0 ve ilk hız - v 0 .

Euler yöntemi olarak adlandırılan yöntemin düşen bir cismin hareketinin hesaplanmasına uygulanmasını göstereceğiz. Hesaplama zamanın ilk anından yapılır T= 0, küçük bir sonlu zaman adımıyla

(N = 0, 1, 2, …). (8)

Denklem (7)'ye benzer bir yaklaşım uygulayarak, düşen bir cismin zamanla yer değiştirmesini hesaplamak için Euler yönteminin formülünü elde ederiz:

Başlangıç ​​hız ve yer değiştirme değerlerine sahip olan ve (8), (9) formüllerini kullanarak, değerleri adım adım hesaplamak mümkündür. v Ve S art arda zamanlarda. Bu işlemin programlanması kolaydır ve elde edilen sonuçlar sayısal tablo şeklinde gösterilir ve grafiksel olarak sunulur.

Şekil, belirli bir parametre seti için vücudun düşme hızının zamana göre sayısal olarak elde edilen bağımlılığının grafiksel olarak işlenmesinin sonucunu göstermektedir. M, k 1 ve k 2 .

Hava direncini hesaba katarak düşme hızının zamana bağlılığı

Bağımlılığın, hava direnci dikkate alınmadan elde edilen hızdaki doğrusal değişimle hiçbir ilgisi yoktur. Hava direnci kuvvetinin yerçekimi kuvvetine yaklaşma sürecinde hız sabit bir değere ulaşır. Eşit olduklarında, hareket tekdüze hale gelir.

Kararlı durum hız sınırının, sayısal yöntemlere başvurmadan analitik olarak hesaplanabileceğini unutmayın. Formül (6)'da eşitleme dv/dt(hızlanma) sıfıra, sabit hızın şuna eşit olacağını anlıyoruz:

Bu modele dayanarak, örneğin, bir optimizasyon problemini aşağıdaki koşulu formüle ederek çözmek mümkündür: bir paraşütçü belirli bir yükseklikten atlar ve paraşüt açmadan uçar; iniş anında güvenli bir hıza sahip olması için paraşütünü hangi yükseklikte (veya hangi saatten sonra) açmalıdır? Başka bir sorun: paraşütün enine kesit alanıyla ilgili atlama yüksekliği nasıldır (dahil k 2) böylece iniş hızı güvenli mi?

Açıklanan sayısal yöntemi kullanırken önemli bir sorun, zaman adımının seçimidir. T. Elde edilen sonuçların doğruluğu ve hesaplama prosedürünün kararlılığı bu değere bağlıdır. Tüm bu problemler, "Sayısal Yöntemler" veya "Hesaplamalı Matematik" adı verilen matematik disiplininde incelenir.

Öğrencilerin temel bilişim dersinde fiziksel süreçlerin bilgisayar modelleriyle tanışması, gösteri örnekleri düzeyinde gerçekleşebilir. Şekil, toptan ateşlenen bir merminin uçuşunu simüle eden bir eğitim demosu örneğini göstermektedir. Öğrenciler için belirlenen görev, merminin hedefi vurmasını sağlayan parametreleri (ilk hız ve atış açısı) seçmektir (bu program, federal dijital eğitim kaynakları koleksiyonuna dahildir). Diğer eğitim kaynaklarında da benzer gelişmeler mevcuttur.

Bir toptan ateşlenen bir merminin uçuşu

Fiziksel ve matematiksel profilin son sınıflarında, fiziksel süreçlerin modellenmesi konuları profil eğitim programında yer almalıdır. Vücutların hareketiyle ilgili modelleme nesnelerinin aşağıdaki listesini sunabiliriz:

Çevrenin direncini hesaba katan cisimlerin hareketi (serbest düşüş, ufka açılı olarak atılan bir cismin hareketi, roket kalkışı, vb.);

· ortamın direncini, zorunlu salınımları, rezonansı vb. hesaba katarak sarkacın salınım hareketi;

· gök cisimlerinin hareketi (iki cisim sorunu);

· Elektrik alanlarındaki yüklü parçacıkların hareketi.

Fiziksel süreçlerin modellenmesinin uygulanmasının mümkün olduğu diğer problem türleri, fiziksel süreçlerin sürekli ortam yaklaşımında ve elektromanyetik alanlarda tanımlanmasıyla ilişkilidir:

· ısı iletim sürecinin modellenmesi, vb.;

· statik - elektrik ve manyetik - alanların dağılımlarının modellenmesi.

Yukarıda, bir cismin atmosferdeki serbest düşüşünü modellemenin bir örneği, diferansiyel denklemlerin ve bunları çözmek için sayısal yöntemlerin kullanıldığı ayrıntılı olarak analiz edilmiştir. Öğrencilerin matematik eğitimi bu yaklaşımı anlamak için yeterli değilse, diferansiyel denklemler kullanmadan sonlu farklar formunda hemen bir matematiksel model oluşturmak mümkündür. Bu yaklaşımın nasıl uygulanacağını gösterelim.

Öğrencilere ivmenin birim zaman başına hız artışı olduğunu ve hızın birim zaman başına yer değiştirme artışı olduğunu hatırlatırız: .

Yaklaşık eşitlik işaretleri, bu oranların daha doğru olduğunu, aralığın ne kadar küçük olduğunu gösterir. T; limit dahilinde T 0 hassas hale gelirler.

Eğer zamanın bir noktasında T 0 değer S anlamı var s(t 0) ve değer v- Anlam v(t) 0), sonra bir dahaki sefere T 1 = T 0 + T sahip olacak:

Bu süre zarfında ivmenin değişmediği ve eşit kaldığı varsayılmıştır. A(T 0). Burada F notasyonunu da kullanıyoruz. 0 = F(t0), m = m(t0), yani yani kuvvet ve kütle genellikle değişken olabilir.

Değerleri hesaplarken v Ve S sonraki anlarda aynısını yapabilirsiniz. Değerler biliniyorsa v ben Ve benşu anda ben, O

Böylece, Euler yönteminin aynı formülleri elde edilir, ancak yöntemsel olarak farklıdır. Bu durumda, diferansiyel denklemlerden hiç bahsedilmez.

Öğrenciler bu ve benzeri modelleri kurarken sürekli zamanın uzunluk dilimlerine bölünmesinde dikkat etmelidirler. T ayrık bir bilgi temsili biçiminin evrenselliği hakkındaki temel bilişim fikirlerinden biri, hem bilgisayar tasarımında hem de birçok bilişim uygulamasında yansıtılarak kendini gösterir.

Basit fiziksel süreçleri simüle eden birçok bilgisayar programı olduğunu unutmayın. Ekranda parametreler girmenize, tablolar, grafikler ve hareketli görüntüler almanıza izin veren bir iletişim arabirimi uygularlar. Ancak bunları kullanırken, süreci belirleyen fiziksel yasalar, modelin sınırlamaları ve iyileştirme olasılıkları gizli kalır. Bu tür programlar, açıklayıcı, gerçekleri bulmaktan çok faydalıdır. Profil düzeyinde bilgisayar bilimi okuyan öğrenciler, matematiksel modellerin ayrıntılı bir analizine ve bağımsız program geliştirmeye yönlendirilmelidir.

Herhangi bir bilgi alanında sınıflandırma gereklidir. Birikmiş deneyimi genelleştirmenize, konu alanının kavramlarını düzene sokmanıza olanak tanır. Matematiksel modelleme yöntemlerinin hızlı gelişimi ve uygulama alanlarının çeşitliliği, çeşitli türlerde çok sayıda modelin ortaya çıkmasına ve modelleri tüm modeller için evrensel olan veya tüm modeller için gerekli olan kategorilere ayırma ihtiyacına yol açmıştır. Örneğin, oluşturulmuş modelin alanı. Bazı kategorilere örnek verelim: kullanım alanı; modeldeki zaman faktörünü (dinamikleri) dikkate alarak; bilgi dalı; modellerin sunulma şekli; rastgele (veya belirsiz) faktörlerin varlığı veya yokluğu; verimlilik kriteri türü ve uygulanan kısıtlamalar vb.

Matematiksel literatürü inceleyerek, sınıflandırmaların en yaygın özelliklerini belirledik:

1. Uygulama yöntemine göre (resmi dil dahil), tüm matematiksel modeller bölünebilir analitik ve algoritmik.

Analitik - standart bir matematik dili kullanan modeller. Simülasyon - özel bir modelleme dili veya evrensel bir programlama dili kullanan modeller.

Analitik modeller, analitik ifadeler olarak yazılabilir, örn. sayılabilir sayıda aritmetik işlem ve sınıra geçiş içeren ifadeler biçiminde, örneğin: . Cebirsel ifade, analitik ifadenin özel bir halidir ve sonuç olarak tam bir değer üretir. Elde edilen değeri belirli bir doğrulukla bulmanızı sağlayan yapılar da vardır (örneğin, bir kuvvet serisindeki temel bir fonksiyonun açılımı). Bu tekniği kullanan modellere yaklaşık denir.

Buna karşılık, analitik modeller ayrılır teorik ve ampirik modeller. Teorik modeller, incelenen nesnelerdeki gerçek yapıları ve süreçleri yansıtır, yani çalışmalarının teorisine dayanır. Ampirik modeller, bir nesnenin çevresel koşullardaki değişikliklere verdiği tepkilerin incelenmesi temelinde inşa edilir. Aynı zamanda, nesnenin çalışma teorisi dikkate alınmaz, nesnenin kendisi sözde bir "kara kutu" ve model bir tür enterpolasyon bağımlılığıdır. Ampirik modeller, deneysel verilere dayanarak inşa edilebilir. Bu veriler doğrudan incelenen nesneler üzerinde veya fiziksel modelleri yardımıyla elde edilir.

Herhangi bir süreç analitik model şeklinde tanımlanamıyorsa, özel bir algoritma veya program kullanılarak tarif edilir. Bu model algoritmiktir. Algoritmik modeller oluştururken, sayısal veya simülasyon yaklaşımları kullanılır. Sayısal yaklaşımda, matematiksel ilişkiler kümesinin yerini sonlu boyutlu bir analog alır (örneğin, sürekli bir argümanın bir fonksiyonundan ayrık bir argümanın bir fonksiyonuna geçiş). Daha sonra hesaplama algoritması oluşturulur, yani aritmetik ve mantıksal işlem dizileri. Ayrık analoğun bulunan çözümü, orijinal problemin yaklaşık çözümü olarak alınır. Simülasyon yaklaşımında, simülasyon nesnesinin kendisi ayrıklaştırılır, sistemin ayrı elemanlarının modelleri oluşturulur.

2. Matematiksel modellerin temsil biçimlerine göre şunlar vardır:

1) Değişmeyen model - bu denklemleri çözme yöntemlerini hesaba katmadan bir denklem sistemi (diferansiyel, cebirsel) ile temsil edilen matematiksel bir model.

2) Cebirsel model - modellerin oranı, seçilen sayısal çözüm yöntemiyle ilişkilendirilir ve bir algoritma (hesaplama dizisi) şeklinde yazılır.

3) Analitik model - istenen değişkenlerin verilen değerlere açık bir bağımlılığıdır. Bu tür modeller, fizik yasalarına dayalı olarak veya orijinal diferansiyel denklemlerin tabular integraller kullanılarak doğrudan entegrasyonunun bir sonucu olarak elde edilir. Deney sonuçlarına dayalı olarak elde edilen regresyon modellerini de içerirler.

4) Grafik model, grafikler, eşdeğer devreler, diyagramlar ve benzerleri şeklinde sunulur. Grafik modelleri kullanmak için, grafik elemanların koşullu görüntüleri ile değişmez bir matematiksel modelin bileşenleri arasında bire bir karşılık gelme kuralı olmalıdır.

3. Verimlilik kriterinin türüne ve uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak, modeller ayrılır doğrusal ve doğrusal olmayan. Doğrusal modellerde, performans kriteri ve uygulanan kısıtlamalar, model değişkenlerinin doğrusal fonksiyonlarıdır (aksi halde doğrusal olmayan modeller). Verimlilik kriterinin doğrusal bir bağımlılığı varsayımı ve modelin değişkenlerine uygulanan kısıtlamalar kümesi pratikte oldukça kabul edilebilir. Bu, iyi geliştirilmiş bir doğrusal programlama cihazının çözümler üretmek için kullanılmasına izin verir.

4. Zaman faktörünü ve kullanım alanını dikkate alarak, tahsis edin statik ve dinamik modeller. Modele dahil edilen tüm nicelikler zamana bağlı değilse, o zaman bir nesnenin veya sürecin statik bir modeline sahibiz (bir nesne hakkında tek seferlik bir bilgi dilimi). Onlar. statik model, zamanın bir değişken olmadığı bir modeldir. Dinamik model, bir nesnenin zaman içinde nasıl değiştiğini görmenizi sağlar.

5. Karar veren tarafların sayısına bağlı olarak iki tür matematiksel model vardır: tanımlayıcı ve normatif. Tanımlayıcı modelde karar verici yoktur. Resmi olarak, tanımlayıcı modelde bu tür kenarların sayısı sıfırdır. Bu tür modellerin tipik bir örneği, kuyruk sistemlerinin modelleridir. Tanımlayıcı modeller oluşturmak için güvenilirlik teorisi, grafik teorisi, olasılık teorisi, istatistiksel test yöntemi (Monte Carlo yöntemi) de kullanılabilir.

Normatif modelin birçok yönü vardır. Temel olarak, iki tür normatif model ayırt edilebilir: optimizasyon modelleri ve oyun-teorik modeller. Optimizasyon modellerinde, çözüm geliştirmenin ana görevi, teknik olarak verimlilik kriterinin katı maksimizasyonuna veya minimizasyonuna indirgenir, örn. kontrol edilen değişkenlerin bu tür değerleri, verimlilik kriterinin aşırı bir değere (maksimum veya minimum) ulaştığı noktada belirlenir.

Optimizasyon modellerinin gösterdiği çözümleri geliştirmek için, klasik ve yeni varyasyonel yöntemlerin (ekstremum arama) yanı sıra, matematiksel programlama yöntemleri (doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik) en yaygın şekilde kullanılmaktadır. Oyun teorisi modeli, taraf sayısının çokluğu (en az iki) ile karakterize edilir. Zıt çıkarlara sahip iki taraf varsa oyun teorisi kullanılır, tarafların sayısı ikiden fazlaysa ve aralarında koalisyonlar ve uzlaşmalar imkansızsa o zaman işbirlikçi olmayan oyunlar teorisi uygulanır. N kişiler.

6. Rastgele (veya belirsiz) faktörlerin varlığına veya yokluğuna bağlı olarak, deterministik ve stokastik Matematiksel modeller. Deterministik modellerde, tüm ilişkiler, değişkenler ve sabitler tam olarak belirtilir, bu da ortaya çıkan fonksiyonun benzersiz bir tanımına yol açar. Operasyonun sonucunu etkileyen faktörlerin yeterli doğrulukla ölçülebildiği veya tahmin edilebildiği ve rastgele faktörlerin bulunmadığı veya ihmal edilebildiği durumlarda deterministik bir model oluşturulur.

Modele dahil edilen parametrelerin bir kısmı veya tamamı doğası gereği rasgele değişkenler veya rasgele fonksiyonlar ise, model stokastik model olarak sınıflandırılır. Stokastik modellerde, rasgele değişkenlerin dağılım yasaları belirlenir, bu da sonuçtaki fonksiyonun olasılıksal bir tahminine yol açar ve gerçeklik, gidişatı ve sonucu rasgele değişkenlerin belirli özellikleriyle tanımlanan bir tür rasgele süreç olarak gösterilir: matematiksel beklentiler, varyanslar, dağılım fonksiyonları vb. Böyle bir modelin inşası, gerekli olasılık dağılımlarını tahmin etmek için yeterli olgusal materyal varsa veya söz konusu olgunun teorisi bu dağılımları teorik olarak belirlemeyi mümkün kılıyorsa (olasılık teorisi formüllerine, limit teoremlerine vb. dayanarak) mümkündür. ).

7. Modellemenin amaçlarına bağlı olarak, tanımlayıcı, optimizasyon ve yönetsel modeller. Açıklayıcı (lat. tanımdan - açıklama) modellerde, modelin parametrelerini değiştirme yasaları incelenir. Örneğin, Newton'un ikinci yasasına dayanan uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki bir malzeme noktasının hareket modeli: . Belirli bir zamanda bir noktanın konumunu ve ivmesini (giriş parametreleri), kütleyi (kendi parametresi) ve uygulanan kuvvetlerin değişim yasasını (dış etkiler) ayarlayarak, noktanın ve hızın koordinatlarını belirlemek mümkündür herhangi bir zamanda (çıkış verileri).

Optimizasyon modelleri, bazı kriterlere, modellenen nesnenin parametrelerine veya bu nesneyi kontrol etme yollarına dayalı olarak en iyiyi (optimal) belirlemek için kullanılır. Optimizasyon modelleri, bir veya daha fazla tanımlayıcı model kullanılarak oluşturulur ve optimalliği belirlemek için çeşitli kriterlere sahiptir. Söz konusu nesnenin veya sürecin özellikleriyle ilişkili eşitlikler veya eşitsizlikler biçimindeki kısıtlamalar, girdi parametreleri aralığına uygulanabilir. Optimizasyon modeline bir örnek, bir diyetin belirli bir diyet içinde derlenmesidir (giriş verileri, ürünün kalori içeriği, fiyat değerleri vb.dir).

Yönetim modelleri, tüm alternatifler arasından birkaç alternatif seçildiğinde ve genel karar verme süreci bu tür alternatiflerin bir dizisi olduğunda, amaçlı insan faaliyetinin çeşitli alanlarında karar vermek için kullanılır. Örneğin, öğrenciler tarafından hazırlanan birkaç taneden terfi için bir rapor seçmek. Görevin karmaşıklığı, hem girdi verileri (bağımsız olarak bir rapor hazırlandı veya başka birinin çalışması kullanıldı) hakkındaki belirsizlikte hem de amaçlarda (çalışmanın bilimsel doğası ve yapısı, sunum düzeyi ve öğrenci düzeyi) yatmaktadır. hazırlık, deneyin sonuçları ve çıkarılan sonuçlar). Aynı durumda verilen kararın optimalliği farklı şekillerde yorumlanabileceğinden, yönetim modellerinde optimallik kriterinin türü önceden sabit değildir. Belirsizliğin türüne bağlı olarak optimallik kriterlerinin oluşturulmasına yönelik yöntemler, oyun teorisi ve yöneylem araştırmasına dayalı seçim ve karar verme teorisinde ele alınmaktadır.

8. Araştırma yöntemine göre ayırt ederler analitik, sayısal ve simülasyon modeller. Analitik bir model, bilinen matematiksel aparatları kullanarak denklemin çözümünü açık bir biçimde elde etmenizi sağlayan, sistemin böyle resmileştirilmiş bir açıklamasıdır. Sayısal model, belirli başlangıç ​​koşulları ve modelin nicel parametreleri için yalnızca kısmi sayısal çözümlere izin veren bir bağımlılık ile karakterize edilir. Bir simülasyon modeli, sistemin ve dış etkilerin bir dizi açıklaması, sistemin işleyişi için algoritmalar veya dış ve iç bozulmaların etkisi altında sistemin durumunu değiştirmek için kurallardır. Bu algoritmalar ve kurallar, analitik ve sayısal çözüm için mevcut matematiksel yöntemlerin kullanılmasını mümkün kılmaz, ancak sistemin işleyişinin simülasyonunu ve ilgilenilen özelliklerin sabitlenmesini sağlar. Ayrıca, bazı analitik ve simülasyon modelleri daha ayrıntılı olarak ele alınacak, bu belirli model türlerinin incelenmesi, öğrencilerin bu eğitim alanındaki mesleki faaliyetlerinin özellikleri ile ilişkilendirilecektir.

1.4. Matematiksel modellerin grafik gösterimi

Matematikte, nicelikler arasındaki bağlantı biçimleri, bağımsız değişken (argüman) biçimindeki denklemlerle temsil edilebilir, y– bağımlı değişken (fonksiyon). Matematiksel modelleme teorisinde, bağımsız bir değişkene faktör, bağımlı bir değişkene yanıt denir. Ayrıca, matematiksel modelin yapım alanına bağlı olarak terminoloji biraz değiştirilir. Çalışma alanına bağlı olarak bazı faktör ve yanıt tanımları örnekleri Tablo 1'de verilmiştir.

Tablo 1. "Faktör" ve "tepki" kavramlarının bazı tanımları

Matematiksel modeli grafiksel olarak temsil ederek, faktörleri ve yanıtları, değerleri gerçek sayılar kümesine ait olan değişkenler olarak ele alacağız.

Matematiksel modelin grafik gösterimi noktaların konumuna karşılık gelen bazı yanıt yüzeyidir. k- boyutlu faktör uzayı X. Sadece bir boyutlu ve iki boyutlu yanıt yüzeyleri görselleştirilebilir. İlk durumda, bu, gerçek bir düzlemde bir dizi noktadır ve ikincisinde, uzayda bir yüzey oluşturan bir dizi noktadır (bu tür noktaları temsil etmek için, seviye çizgilerini kullanmak uygundur - tasvir etmenin bir yolu iki boyutlu bir faktör uzayında oluşturulmuş bir uzay yüzeyinin kabartması X(Şek. 8).

Tepki yüzeyinin tanımlandığı alana denir. etki alanı X * . Bu bölge kural olarak toplam faktör uzayının sadece bir parçasıdır. X(X*Ì X) ve kontrol değişkenlerine uygulanan kısıtlamalarla ayırt edilir x ben, eşitlik olarak yazılır:

x ben = C ben , ben = 1,…, M;

fj(X) = Cj, j = 1,…, ben

veya eşitsizlikler:

x ben min £ x ben£ x ben maksimum, Ben= 1,…, k;

fj(X) £ Cj, j = 1,…, N,

Aynı zamanda, fonksiyonlar fj(X) hem tüm değişkenlere hem de bunların bir kısmına aynı anda bağlı olabilir.

Eşitsizlik tipi kısıtlamalar, incelenen nesnedeki süreçler üzerindeki fiziksel kısıtlamaları (örneğin, sıcaklık kısıtlamaları) veya nesnenin çalışma koşullarıyla ilişkili teknik kısıtlamaları (örneğin, kesme hızı sınırı, ham madde rezervleri üzerindeki kısıtlamalar) karakterize eder.

Modelleri inceleme olanakları, esasen yanıt yüzeyinin özelliklerine (kabartma), özellikle üzerinde bulunan “köşelerin” sayısına ve kontrastına bağlıdır. Piklerin (çukurların) sayısı belirler modalite tepki yüzeyleri Tepki yüzeyindeki tanımlama alanında bir tepe (dip) varsa modele denir. tek modlu.

Bu durumda işlev değişikliğinin doğası farklı olabilir (Şekil 9).

Model, birinci tür süreksizlik noktalarına (Şekil 9 (a)), ikinci tür süreksizlik noktalarına (Şekil 9(b)) sahip olabilir. Şekil 9(c), sürekli türevlenebilen tek modlu bir modeli göstermektedir.

Şekil 9'da sunulan her üç durum için, genel tek modluluk şartı karşılanır:

eğer W(x*) W'nin uç noktası ise, o zaman x 1 koşulundan< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) W(x 1)'i takip eder< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) , ekstremum minimum ise yani uç noktadan uzaklaştıkça W(x) fonksiyonunun değeri sürekli azalır (artar).

Tek modlu modellerin yanı sıra, çok modlu modeller de ele alınmaktadır (Şekil 10).

Yanıt yüzeyinin bir diğer önemli özelliği, ortaya çıkan fonksiyonun değişen faktörlere duyarlılığını gösteren kontrastıdır. Kontrast, türevlerin değerleri ile karakterize edilir. Kontrast özelliklerini iki boyutlu bir yanıt yüzeyi örneği üzerinde gösterelim (Şekil 11).

Nokta A tüm değişkenler için eşit kontrastı karakterize eden "eğim" üzerinde bulunur x ben (Ben=1,2), nokta Bçeşitli değişkenler için farklı bir kontrastın olduğu "dağ geçidinde" bulunur (işlevin kötü bir koşulluluğuna sahibiz), nokta İle tüm değişkenler arasında düşük kontrastlı bir "plato" üzerinde konumlanmış x ben uç noktanın yakınlığını gösterir.

1.5. Matematiksel modeller oluşturmak için temel yöntemler

Simüle edilmiş sistemlerin resmileştirilmiş temsili için yöntemlerin bir sınıflandırmasını verelim Volkova V.N. ve Denisova A.A.. Yazarlar analitik, istatistiksel, set-teorik, dilbilimsel, mantıksal, grafiksel yöntemler belirlediler. Temel terminoloji, açıklanan yöntem sınıflarına dayalı olarak geliştirilen teori örnekleri ve uygulamalarının kapsamı ve olasılıkları Ek 1'de sunulmaktadır.

Modelleme sistemlerinin pratiğinde, analitik ve istatistiksel yöntemler en yaygın şekilde kullanılmaktadır.

1) Matematiksel modeller oluşturmak için analitik yöntemler.

Matematiksel modeller oluşturmak için analitik yöntemlerin terminolojik aparatının temeli, klasik matematik kavramlarıdır (formül, fonksiyon, denklem ve denklem sistemi, eşitsizlik, türev, integral, vb.). Bu yöntemler, klasik matematik dilini kullanan terminolojinin netliği ve geçerliliği ile karakterize edilir.

Analitik kavramlara dayanarak, klasik matematiksel analiz (örneğin, fonksiyonları inceleme yöntemleri) gibi matematiksel teoriler ve matematiksel programlama ve oyun teorisinin modern temelleri ortaya çıktı ve geliştirildi. Ek olarak, matematiksel programlama (doğrusal, doğrusal olmayan, dinamik, tamsayı vb.), matematiğin diğer bazı alanlarından farklı olarak, hem problem kurma araçlarını içerir hem de modelin yeterliliğini kanıtlama olanaklarını genişletir. Ekonomik (özellikle, bir kontrplak levhanın optimum şekilde kesilmesi problemini çözme) problemlerini çözmek için optimal matematiksel programlama fikirleri L.V. Kantoroviç.

Yöntemin özelliklerini bir örnekle açıklayalım.

Örnek. Diyelim ki iki tür ürünün üretimi için A Ve İÇİNDEüç çeşit hammadde kullanılmalıdır. Aynı zamanda, tipte bir üretim biriminin imalatı için A 4 adet tüketilmektedir. birinci tip hammaddeler, 2 adet. 2. ve 3. 3. tür. tipinde bir üretim biriminin üretimi için İÇİNDE 2 birim tüketir. 1. tip hammaddeler, 5 adet. 2. tip ve 4 adet. 3. tür hammadde. Fabrika deposunda 35 adet bulunmaktadır. 1. tip hammaddeler, 43 - 2. tip, 40 - 3. tip. tipindeki bir üretim biriminin satışından A fabrikanın 5 bin ruble karı var ve bu tür bir üretim biriminin satışından İÇİNDE kar 9 bin ruble. Maksimum karı elde etmeyi sağlayan problemin matematiksel bir modelini oluşturmak gerekir.

Bu tür bir ürünün bir biriminin üretimi için her türdeki hammaddelerin tüketim oranları tabloda verilmiştir. Ayrıca, her bir ürün türünün satışından elde edilen karı ve bu türdeki işletmenin kullanabileceği toplam hammadde miktarını da gösterir.

ile göster x 1 Ve x 2 tür çıktısı A Ve İÇİNDE sırasıyla. Plan için birinci sınıf malzemenin maliyeti 4x1 + 2x 2 ve stokları aşmamalıdır, yani. 35kg:

4x 1 + 2x 2 35.

İkinci sınıf malzeme üzerindeki benzer kısıtlamalar:

2x 1 + 5x 2 43,

ve üçüncü sınıf malzeme üzerinde

3x 1 + 4x 2 40.

Satışlardan elde edilen kar x 1üretim birimleri A ve x 2üretim birimleri B olacak z = 5x 1+ 9x2(amaç fonksiyonu).

Görev modelini aldık:

Problemin grafik çözümü Şekil 11'de gösterilmiştir.

Optimal (en iyi, yani maksimum işlev z) problemin çözümü A noktasındadır (çözüm 5. bölümde anlatılmaktadır).

Anladım x 1=4,x 2=7, işlev değeri z A noktasında: .

Böylece maksimum kârın değeri 83 bin ruble.

Grafik olana ek olarak, sorunu çözmek için bir dizi özel yöntem vardır (örneğin, tek yönlü yöntem) veya bunları uygulayan uygulama paketleri kullanılır. Amaç fonksiyonunun türüne bağlı olarak, doğrusal ve doğrusal olmayan programlama, değişkenlerin doğasına bağlı olarak tamsayılı programlama ayırt edilir.

Matematiksel programlamanın ortak özelliklerini şu şekilde ayırt edebiliriz:

1) amaç fonksiyonu kavramının tanıtılması ve kısıtlamalar, sorunu belirlemenin araçlarıdır;

2) heterojen kriterleri tek bir modelde birleştirmek mümkündür (örnekte farklı boyutlar - hammadde stokları ve kar);

3) matematiksel programlama modeli, değişkenlerin kabul edilebilir değerleri bölgesinin sınırına ulaşmayı sağlar;

4) sonuç elde etmek için adım adım bir algoritma uygulama olasılığı (en uygun çözüme adım adım yaklaşım);

5) sorunun resmi olarak çözülmesinin imkansız olduğu durumlarda yardımcı olan, sorunun geometrik yorumuyla elde edilen netlik.

2) Matematiksel modeller oluşturmak için istatistiksel yöntemler.

Matematiksel modeller oluşturmak için istatistiksel yöntemler yaygınlaştı ve 19. yüzyılda olasılık teorisinin gelişmesiyle yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Gerçek olayları yansıtan rastgele (rastlantısal) olayların olasılık modellerine dayanırlar. "Rastgele" kavramının geliştirilmiş hali olan "stokastik" terimi, süreci etkileyen önceden belirlenmiş, belirli nedenleri belirtir ve "rastgele" kavramı, etkiden bağımsızlık veya bu tür nedenlerin yokluğu ile karakterize edilir.

İstatistiksel düzenlilikler, ayrı rastgele değişkenler ve değerlerinin görünümündeki düzenlilikler veya olayların (süreçlerin) dağılımının sürekli bağımlılıkları şeklinde sunulur. Stokastik modeller oluşturmak için teorik temeller, Bölüm 2'de ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Kontrol soruları

1. Matematiksel modellemenin ana problemini formüle edin.

2. Bir matematiksel model tanımlayın.

3. Araştırmada deneysel yaklaşımın başlıca dezavantajlarını listeleyebilecektir.

4. Bir model oluşturmanın ana aşamalarını listeleyin.

5. Matematiksel model türlerini listeler.

6. Model türlerinin kısa bir açıklamasını verin.

7. Geometrik olarak sunulan matematiksel model hangi formu alır?

8. Analitik tipteki matematiksel modeller nasıl tanımlanır?

Görevler

1. Problemi çözmek için matematiksel bir model yapın ve modeli sınıflandırın:

1) Yüzeyi (kapaksız) S'ye eşit olan silindirik bir kovanın en büyük kapasitesini belirleyin.

2) İşletme, iki taşerondan bileşenlerin sorunsuz bir şekilde teslim edilmesiyle ürünlerin düzenli üretimini sağlar. Alt yüklenicilerin birincisinden tedariki reddetme olasılığı , ikincisinden - . İşletmenin işleyişindeki başarısızlık olasılığını bulun.

2. Malthus'un (1798) modeli, bir popülasyonun büyüklüğüyle orantılı bir oranda çoğalmasını tanımlar. Ayrık formda, bu yasa geometrik bir ilerlemedir: ; veya Diferansiyel denklem olarak yazılan yasa, üstel popülasyon artışının bir modelidir ve herhangi bir sınırlama olmaksızın hücre popülasyonlarının büyümesini iyi tanımlar: . Başlangıç ​​koşullarını belirleyin ve modelin nasıl çalıştığını gösterin.

Sistemlerin işleyişi için MM süreçlerinin oluşturulmasındaki ilk bilgiler, incelenen (tasarlanan) sistemin amacı ve çalışma koşulları hakkındaki verilerdir. Bu bilgi, modellemenin ana amacını, MM için gereklilikleri, soyutlama seviyesini ve matematiksel modelleme şemasının seçimini belirler.

Matematiksel bir şema kavramı, matematiği bir hesaplama yöntemi olarak değil, bir düşünme yöntemi, bir kavram oluşturma aracı olarak görmemizi sağlar; bu, sözlü bir açıklamadan sürecin resmi bir temsiline geçişte en önemlisidir. bazı MM'ler şeklinde işleyişi.

Matematiksel bir şema kullanırken, her şeyden önce, sistem araştırmacısı, bir cevap alma olasılığı ile değil, incelenen sistemdeki gerçek süreçlerin belirli şemaları biçimindeki ekranın yeterliliği sorusuyla ilgilenmelidir. (çözüm sonucu) belirli bir araştırma sorusuna.

Örneğin, toplu kullanım için IVS'nin işleyiş sürecinin bir kuyruk şemaları ağı biçiminde temsili, sistemde meydana gelen süreçleri iyi tanımlamayı mümkün kılar, ancak gelen akışların ve hizmet akışlarının karmaşık yasalarıyla, sonuçların açık bir şekilde elde edilmesini mümkün kılmamaktadır.

matematiksel şema dış ortamın etkisini dikkate alarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi açıklamasına geçişte bir bağlantı olarak tanımlanabilir. Onlar. bir zincir vardır: tanımlayıcı model - matematiksel şema - simülasyon modeli.

Her bir özel sistem, simüle edilen nesnenin (gerçek sistem) davranışını yansıtan ve dış çevre (sistem) E ile etkileşimde işleyiş koşullarını dikkate alan değerler olarak anlaşılan bir dizi özellik ile karakterize edilir.

Bir MM sistemi inşa ederken, bütünlük sorununu çözmek gerekir. Modellemenin eksiksizliği esas olarak "Sistem-ortam E" sınırlarının seçimi ile düzenlenir. MM'yi basitleştirme görevi de çözülmelidir, bu da sistemin ana özelliklerini vurgulamaya yardımcı olur, ikincil, amaç, modelleme açısından atılır.

Simülasyon nesnesinin MM'si, yani sistemler, gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan ve genel durumda aşağıdaki alt kümeleri oluşturan bir nicelikler kümesi olarak temsil edilebilir:

Girdi etkilerinin toplamı

Çevresel etkilerin toplamı

Sistemin dahili (kendi) parametreleri kümesi

Sistemin çıkış özelliklerinin toplamı

Numaralandırılmış kümelerde kontrollü ve kontrolsüz miktarları ayırt etmek mümkündür. Genel durumda, X, V, H, Y, hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içeren kesişmeyen kümelerdir.

Böylece, bir nesnenin MM'si altında, bunlar ve özellikler arasındaki matematiksel ilişkilerle birlikte sonlu bir değişkenler kümesini anlıyoruz.

F, Ф operatörleri deterministik ise modelleme deterministik olarak adlandırılır, yani belirli bir girdi için girdi deterministiktir. Deterministik modelleme, stokastik modellemenin özel bir durumudur. Uygulamada, araştırmanın ilk aşamalarında sistem analizi alanındaki nesneleri modellemek için, tipik matematiksel şemaları kullanmak daha mantıklıdır: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıklı otomatlar, QS, vb.

Deterministik modeller olarak, çalışmada rastgele bir olgu dikkate alınmadığında, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için diferansiyel, integral ve diğer denklemler, kesikli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için sonlu otomata ve fark şemaları kullanılır.

Genel kurallar

"Optimal çözüm yöntemleri" disiplininin amacı, analizleri ve optimal yönetimi için ticari ve ekonomik süreçleri modelleme metodolojisine hakim olmaktır.

Bu kılavuzun amacı, öğrencilere ekonomik ve matematiksel modellemenin temellerini incelemede yardımcı olmak, ticaret uygulama problemlerinin göstergeleri arasındaki ilişkinin modellerini oluşturmak için matematiksel yöntemlerin uygulanmasında gerekli pratik becerileri göstermek ve bunlara dayalı olarak bilimsel gerekçe sağlamaktır. yönetim kararlarının seçimi için.

Kursun çalışmanın amacı, ticari organizasyonların ve işletmelerin ekonomik yönetim mekanizmalarıdır.

Dersin konusu, ticari ve ekonomik sistemlerin bilgilendirici ve işlevsel bağlantılarıdır.

"Optimal çözüm yöntemleri" disiplinindeki teste kabul edilmenin sonucu, tüm görevlerin öğretmen tarafından "Geçti" olarak işaretlendiği çözülmüş bir testtir. Kredilendirilen kontrol çalışması öğretmende kalır, eğitim ve metodoloji departmanına bir inceleme sunulur. Görev koşullarının belirsiz olması ve problem çözmede güçlüklerin ortaya çıkması durumunda, öğrenciyi lider öğretmene danışmak gerekir. Çözülen çalışma kredilendirilmemişse, öğrenci yorumları eleyerek yeniden inceleme için kontrolü teslim etmelidir.

İŞ KAYIT KURALLARI

Defterin başlık sayfasında disiplin adı, fakülte adı, ders, soyad, ad, soyadı bulunmalıdır.

Çalışmanın başında veya başlık sayfasında, kontrol görevinde tamamlanan görevlerin sayısı belirtilmelidir.

Her problemi çözmeden önce, durumunu tam olarak yazmak gerekir. Problem çözme, ayrıntılı hesaplamaları ve kısa açıklamaları, elde edilen sonuçların ekonomik analizini içermelidir. Testin sonunda, kullanılmış literatürün bir listesini verin ve imzanızı atın.

görev numarası 1

Aşağıdaki tablo 1'de sunulan birinci ve ikinci kurslar için ürünlerin maliyeti için belirtilen standartlara göre maksimum kar sağlayan bir toplu yemek işletmesindeki yemeklerin yapısını belirlemek için ekonomik-matematiksel bir model oluşturun.

Görevler için veriler Tablo 2'den öğrencinin soyadının, adının ve soyadının ilk harflerine göre seçilmelidir. Örneğin, öğrenci Kornienko Nikolai Sergeevich a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 verileriyle bir problem çözmelidir. =9 , a 42 = 6, a 44 = 4, a 54 = 19, b 1 = 450, b 2 = 310, b 3 = 410, b 4 = 315, b 5 = 400, c 1 = 89, c 2 = 41 , c3 =50.

Bilgisayarları uygulamalı problemlerin çözümünde kullanmak için, her şeyden önce, uygulanan problemin resmi bir matematik diline "çevrilmesi" gerekir, örn. gerçek bir nesne, süreç veya sistem için, onun matematiksel model.

Mantıksal ve matematiksel yapıların yardımıyla nicel bir biçimde matematiksel modeller, bir nesnenin, sürecin veya sistemin ana özelliklerini, parametrelerini, iç ve dış bağlantılarını tanımlar.

İçin matematiksel bir model oluşturmak gerekli:

1. gerçek nesneyi veya süreci dikkatlice analiz edin;
2. en önemli özelliklerini ve özelliklerini vurgulayın;
3. değişkenleri tanımlayın, yani değerleri nesnenin ana özelliklerini ve özelliklerini etkileyen parametreler;
4. mantıksal ve matematiksel ilişkileri (denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar) kullanarak bir nesnenin, sürecin veya sistemin temel özelliklerinin değişkenlerin değerine bağımlılığını tanımlar;
5. vurgulamak iç iletişim kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar yardımıyla nesne, süreç veya sistem;
6. dış ilişkileri belirler ve bunları kısıtlamalar, denklemler, eşitlikler, eşitsizlikler, mantıksal ve matematiksel yapılar kullanarak tanımlar.

matematik modelleme, bir nesneyi, süreci veya sistemi incelemeye ve bunların matematiksel tanımını derlemeye ek olarak şunları da içerir:

1. bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını modelleyen bir algoritmanın oluşturulması;
2. sınav model yeterliliği hesaplamalı ve doğal deneye dayalı nesne, süreç veya sistem;
3. model ayarı;
4. modeli kullanarak.

İncelenen süreçlerin ve sistemlerin matematiksel açıklaması şunlara bağlıdır:

1. Gerçek bir sürecin veya sistemin doğası ve fizik, kimya, mekanik, termodinamik, hidrodinamik, elektrik mühendisliği, plastiklik teorisi, esneklik teorisi vb.
2. gerçek süreçlerin ve sistemlerin incelenmesi ve incelenmesi için gereken güvenilirlik ve doğruluk.

Matematiksel bir model seçme aşamasında, aşağıdakiler belirlenir: bir nesnenin, sürecin veya sistemin doğrusallığı ve doğrusal olmaması, dinamizm veya statik, durağanlık veya durağan olmama ve ayrıca nesnenin veya sürecin determinizm derecesi çalışmak. Matematiksel modellemede, kasıtlı olarak nesnelerin, süreçlerin veya sistemlerin belirli fiziksel doğasından soyutlanır ve esas olarak bu süreçleri tanımlayan nicelikler arasındaki niceliksel bağımlılıkların incelenmesine odaklanır.

Matematiksel model söz konusu nesne, süreç veya sistemle asla tamamen aynı değildir. Sadeleştirmeye, idealleştirmeye dayalı, nesnenin yaklaşık bir açıklamasıdır. Bu nedenle, modelin analizinde elde edilen sonuçlar yaklaşıktır. Doğrulukları, modelin ve nesnenin yeterlilik derecesi (uygunluk) ile belirlenir.

Genellikle söz konusu nesnenin, sürecin veya sistemin en basit, en kaba matematiksel modelinin oluşturulması ve analizi ile başlar. Gelecekte, gerekirse model rafine edilir, nesneye uygunluğu daha eksiksiz hale getirilir.

Basit bir örnek verelim. Masanın yüzey alanını belirlemeniz gerekiyor. Genellikle bunun için uzunluğu ve genişliği ölçülür ve ardından elde edilen sayılar çarpılır. Böyle bir temel prosedür aslında şu anlama gelir: gerçek nesne (masa yüzeyi), soyut bir matematiksel model olan bir dikdörtgen ile değiştirilir. Masa yüzeyinin uzunluğunun ve genişliğinin ölçülmesi sonucunda elde edilen boyutlar dikdörtgene atfedilir ve böyle bir dikdörtgenin alanı yaklaşık olarak masanın istenen alanı olarak alınır.

Ancak masa dikdörtgen modeli en basit, en kaba modeldir. Soruna daha ciddi bir yaklaşımla, masa alanını belirlemek için dikdörtgen modeli kullanmadan önce bu modelin kontrol edilmesi gerekir. Kontroller şu şekilde yapılabilir: tablonun karşılıklı kenarlarının uzunluklarını ve köşegenlerinin uzunluklarını ölçün ve birbirleriyle karşılaştırın. Gerekli doğruluk derecesiyle, karşılıklı kenarların uzunlukları ve köşegenlerin uzunlukları ikili olarak eşitse, o zaman tablonun yüzeyi gerçekten bir dikdörtgen olarak kabul edilebilir. Aksi takdirde, dikdörtgen modelinin reddedilmesi ve genel bir dörtgen modeli ile değiştirilmesi gerekecektir. Doğruluk için daha yüksek bir gereksinim söz konusu olduğunda, örneğin tablonun köşelerinin yuvarlatılmasını hesaba katmak için modeli daha da hassaslaştırmak gerekebilir.

Bu basit örnekle gösterildi ki, matematiksel model incelenen nesne, süreç veya sistem tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmez. Aynı tablo için, bir dikdörtgen modeli veya daha karmaşık bir genel dörtgen modelini veya köşeleri yuvarlatılmış bir dörtgeni kabul edebiliriz. Bir veya başka bir modelin seçimi, doğruluk gerekliliğine göre belirlenir. Artan doğrulukla, incelenen nesnenin, sürecin veya sistemin yeni ve yeni özelliklerini dikkate alarak modelin karmaşık olması gerekir.

Başka bir örneği ele alalım: krank mekanizmasının hareketinin incelenmesi (Şekil 2.1).

Pirinç. 2.1.

Bu mekanizmanın kinematik analizi için öncelikle kinematik modelini oluşturmak gerekir. Bunun için:

1. Mekanizmayı, tüm bağlantıların değiştirildiği kinematik diyagramıyla değiştiriyoruz. sert bağlar;
2. Bu şemayı kullanarak, mekanizmanın hareket denklemini türetiyoruz;
3. İkincisini farklılaştırarak, 1. ve 2. mertebeden diferansiyel denklemler olan hız ve ivme denklemlerini elde ederiz.

Bu denklemleri yazalım:

burada C 0, C kaydırıcısının en sağdaki konumudur:

r, AB krankının yarıçapıdır;

l BC bağlantı çubuğunun uzunluğudur;

- krankın dönme açısı;

Kabul edilmiş aşkın denklemler aşağıdaki basitleştirici varsayımlara dayanan düz eksenel krank mekanizmasının hareketinin matematiksel bir modelini temsil eder:

1. gövdelerin mekanizmasında yer alan kütlelerin konstrüktif formları ve dizilişi ile ilgilenmeyip, mekanizmanın tüm gövdelerini çizgi parçaları ile değiştirdik. Aslında, mekanizmanın tüm halkaları bir kütleye ve oldukça karmaşık bir şekle sahiptir. Örneğin, bir biyel kolu, şekli ve boyutları elbette mekanizmanın hareketini etkileyecek olan karmaşık bir prefabrike bağlantıdır;
2. Söz konusu mekanizmanın hareketi sırasında, mekanizmaya dahil olan gövdelerin esnekliğini de dikkate almadık, yani. tüm bağlantılar soyut, kesinlikle katı cisimler olarak kabul edildi. Gerçekte mekanizmaya dahil olan tüm cisimler elastik cisimlerdir. Mekanizma hareket ettiğinde bir şekilde deforme olurlar, hatta içlerinde elastik titreşimler oluşabilir. Bütün bunlar elbette mekanizmanın hareketini de etkileyecektir;
3. baklaların üretim hatalarını, A, B, C kinematik çiftlerindeki boşlukları vb. hesaba katmadık.

Bu nedenle, problem çözme sonuçlarının doğruluğu için gereksinimler ne kadar yüksekse, dikkate alma ihtiyacının o kadar fazla olduğunu bir kez daha vurgulamak önemlidir. matematiksel bir model oluşturmakçalışılan nesnenin, sürecin veya sistemin özellikleri. Ancak, zor olduğu için o sırada burada durmak önemlidir. matematiksel model zor bir göreve dönüşebilir.

Model, bir nesnenin, sürecin veya sistemin davranışını ve özelliklerini belirleyen yasalar iyi bilindiğinde ve bunların uygulanmasında çok fazla pratik deneyim olduğunda en basit şekilde oluşturulur.

İncelenen nesne, süreç veya sistem hakkındaki bilgimiz yetersiz olduğunda daha karmaşık bir durum ortaya çıkar. Bu durumda, ne zaman matematiksel bir model oluşturmak hipotezlerin doğasında olan ek varsayımlar yapmanız gerekir, böyle bir modele varsayımsal denir. Böyle bir varsayımsal modelin çalışmasından çıkarılan sonuçlar koşulludur. Sonuçları doğrulamak için, bilgisayardaki model çalışmasının sonuçlarını tam ölçekli bir deneyin sonuçlarıyla karşılaştırmak gerekir. Bu nedenle, belirli bir matematiksel modelin söz konusu nesne, süreç veya sistemin incelenmesine uygulanabilirliği sorusu matematiksel bir soru değildir ve matematiksel yöntemlerle çözülemez.

Gerçeğin ana kriteri deneydir, kelimenin en geniş anlamıyla pratiktir.

Matematiksel bir model oluşturma uygulamalı problemlerde, işin en karmaşık ve sorumlu aşamalarından biridir. Deneyimler, birçok durumda doğru modeli seçmenin sorunu yarıdan fazla çözmek anlamına geldiğini göstermektedir. Bu aşamanın zorluğu, matematiksel ve özel bilgilerin bir kombinasyonunu gerektirmesidir. Bu nedenle, uygulamalı problemleri çözerken, matematikçilerin nesne hakkında özel bilgilere sahip olmaları ve ortakları olan uzmanların belirli bir matematik kültürüne, kendi alanlarında araştırma deneyimine, bilgisayar ve programlama bilgisine sahip olmaları çok önemlidir.

Sistem modelleme için matematiksel şemalar

Simülasyon modellemenin avantajları ve dezavantajları

Ana itibar karmaşık sistemlerin incelenmesinde simülasyon modellemesi:

S sisteminin işleyiş sürecinin özelliklerini her koşulda keşfetme yeteneği;

· bilgisayarların kullanılması nedeniyle, tam ölçekli bir deneye kıyasla testlerin süresi önemli ölçüde azalır;

· gerçek bir sistemin veya parçalarının tam ölçekli testlerinin sonuçları, simülasyon modellemesi için kullanılabilir;

· optimal sistem varyantını ararken modellenen sistemin yapısını, algoritmalarını ve parametrelerini değiştirme esnekliği;

Karmaşık sistemler için, sistemlerin işleyiş sürecini incelemek için pratik olarak uygulanan tek yöntem budur.

Ana kusurlar simülasyon modellemesi:

· sistemlerin işleyiş sürecinin özelliklerinin tam bir analizi ve en uygun değişkenin araştırılması için, problemin ilk verilerini değiştirerek simülasyon deneyini tekrar tekrar üretmek gerekir;

büyük makine zamanı harcaması.

Makine simülasyonunun verimliliği. Modelleme yaparken, sistem modelinin maksimum verimini sağlamak gerekir. Yeterlik genellikle, modelin çalışması sırasında elde edilen sonuçların değerinin bazı göstergeleri ile geliştirilmesi ve oluşturulmasına yatırılan maliyetler arasındaki bazı farklar olarak tanımlanır.

Simülasyon modellemenin etkinliği bir dizi kriterle değerlendirilebilir:

simülasyon sonuçlarının doğruluğu ve güvenilirliği,

modeli oluşturma ve çalışma süresi M,

makine kaynaklarının maliyeti (zaman ve bellek),

modeli geliştirme ve çalıştırma maliyeti.

Etkililiğin en iyi ölçüsü, elde edilen sonuçların gerçek çalışmalarla karşılaştırılmasıdır. İstatistiksel bir yaklaşımın yardımıyla, belirli bir doğruluk derecesi ile (bir bilgisayar deneyinin uygulama sayısına bağlı olarak), sistem davranışının ortalama özellikleri elde edilir.

Bilgisayar süresinin toplam maliyeti, her bir simülasyon algoritması için giriş ve çıkış süresinin toplamı, RAM ve harici cihazlara erişimin yanı sıra her bir simülasyon algoritmasının ve deney planlamasının karmaşıklığı dikkate alınarak hesaplama işlemleri için geçen sürenin toplamıdır.

Matematiksel şemalar.Matematiksel model oluşturulan teknik nesnenin fiziksel özelliklerini yeterince yansıtan matematiksel nesneler (sayılar, değişkenler, kümeler, vektörler, matrisler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkiler kümesidir. Matematiksel bir model oluşturma ve onu analiz ve sentez için kullanma sürecine denir. matematiksel modelleme.

Sistemin matematiksel bir modelini oluştururken, bütünlük sorununu çözmek gerekir. Modelin eksiksizliği esas olarak “sistem” seçimi ile düzenlenir. S- Çarşamba e". Modellemenin amacına bağlı olarak, ikincil özellikleri atarak sistemin ana özelliklerini belirlemeye yardımcı olan modeli basitleştirme sorunu da çözülmelidir.

Dış çevrenin etkisini dikkate alarak, sistemin işleyiş sürecinin anlamlı bir resmi tanımına geçişte, uygulanır. matematiksel şema"tanımlayıcı model - matematiksel şema - matematiksel (analitik ve (ve) simülasyon) model" zincirindeki bir halka olarak.

Resmi nesne modeli. Nesne modeli (sistem S) gerçek bir sistemin işleyiş sürecini tanımlayan bir dizi nicelik olarak temsil edilebilir:

sistemdeki bir dizi giriş eylemi

x ben = X,ben =;

bir dizi çevresel etki

v J = v, J= ;

sistemlerin bir dizi dahili (kendi) parametresi

h k = H, k =;

sistemin bir dizi çıktı özelliği

y j = Y, j = .

Genel olarak x ben , v j , h k , y j ayrık alt kümelerin öğeleridir ve hem deterministik hem de stokastik bileşenleri içerir.

Girdi etkileri, çevresel etkiler e ve sistemin dahili parametreleri bağımsız (eksojen) vektör biçimindeki değişkenler, sırasıyla ( T) = (X 1 (T), X 2 (T), …, x nX(T)); (T) = (v 1 (T), v 2 (T), …, v nV(T)); (T) = (H 1 (T), H 2 (T), …, h nH(T)) ve çıkış özellikleri bağımlı (içsel) değişkenler ve vektör formunda şu forma sahiptir: ( T) = (de 1 (T), de 2 (T), …, nY'de(T)). Yönetilen ve yönetilmeyen değişkenler arasında ayrım yapabilirsiniz.

Sistem işletim süreci S operatör tarafından zamanında açıklanan FS dışsal değişkenleri formdaki ilişkilere göre içsel değişkenlere dönüştüren

(T) = FS(,,, T). (2.1)

Sistemin çıktı özelliklerinin zamana bağımlılıkları kümesi yj(T) tüm türler için j = isminde çıkış yörüngesi (T). Bağımlılık (2.1) denir sistem işleyen yasa F S, bir fonksiyon şeklinde, fonksiyonel, mantıksal koşullarda, algoritmik, tablo formlarında veya sözlü bir yazışma kuralı şeklinde belirtilen. İşleyen algoritma A S girdi eylemlerini dikkate alarak çıktı özelliklerini elde etmek için bir yöntemdir ( T), çevresel etkiler ( T) ve sistemin kendi parametreleri ( T). Aynı çalışma yasası FS sistemler Sçeşitli şekillerde uygulanabilir, örn. birçok farklı işleyiş algoritması kullanarak GİBİ.

Matematiksel modeller denir dinamik(2.1) eğer matematiksel ilişkiler simülasyon nesnesinin (sistem) davranışını zaman içinde tanımlıyorsa T, yani dinamik özellikleri yansıtır.

İçin statik modeller matematiksel bir model, modellenen nesnenin özelliklerinin iki alt kümesi arasındaki eşlemedir Y Ve ( X, V, H) bir noktada, vektör biçiminde şu şekilde yazılabilir:

= F(, , ). (2.2)

İlişkiler (2.1) ve (2.2) çeşitli şekillerde belirtilebilir: analitik (formüller kullanılarak), grafiksel, tablosal vb. Bu ilişkiler, sistemin özellikleri aracılığıyla elde edilebilir. S belirli zamanlarda, devletler denir. sistemin durumu S vektörlerle karakterize

" = (z" 1, z " 2, …, z" k) Ve "" = (z"" 1 ,z"" 2 , …, z"" k),

Nerede z" 1 = z 1 (T"), z" 2 = z 2 (T"), …, z"k= zk(T") şu anda T"Î ( T 0 , T); z"" 1 = z 1 (T""), z"" 2 = z 2 (T""), …, z""k = zk(T"") şu anda T""Î ( T 0 , T) vesaire. k = .

Sistemin işleyiş sürecini ele alırsak S art arda devlet değişikliği olarak z 1 (T), z 2 (T), …, zk(T), o zaman bir noktanın koordinatları olarak yorumlanabilirler. k-boyutlu faz boşluğu. Ayrıca, sürecin her uygulaması belirli bir aşama yörüngesine karşılık gelecektir. Tüm olası durum değerleri kümesine () denir durum uzayı simülasyon nesnesi Z, Ve
zkÎ Z.

Sistem durumları S o zaman T 0 < T* £ T tamamen başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Nerede z 0 1 = z 1 (T 0),
z 0 2 = z 2 (T 0), …, z 0 k = zk(T 0)], giriş eylemleri ( T), dahili parametreler ( T) ve çevresel etkiler ( T) zaman aralığında gerçekleşen T* – T 0 , iki vektör denklemi kullanılarak

(T) = Ф( 0 , , , , T); (2.3)

(T) = F(, T). (2.4)

Başlangıç ​​durumu 0 ve dışsal değişkenler için ilk denklem vektör fonksiyonunu belirler ( T) ve elde edilen durum değerine göre ikincisi ( T) sistemin çıkışındaki içsel değişkenlerdir ( T). Böylece, "giriş - durumlar - çıkış" nesnesinin denklem zinciri, sistemin özelliklerini belirlemenizi sağlar.

(T) = F[Ф( 0 , , , , T)]. (2.5)

Genel durumda, sistem modelindeki süre S simülasyon aralığında (0, T) hem sürekli hem de ayrık, yani D uzunluğundaki parçalara nicelenmiş T zaman birimlerinin her biri, ne zaman T = M D T, Nerede M = ayrıklaştırma aralıklarının sayısıdır.

Böylece, altında matematiksel model nesne (gerçek sistem) sonlu bir değişken alt kümesini anlar (( T), (T), (T)) aralarındaki matematiksel ilişkiler ve özelliklerle birlikte ( T).

Simülasyon nesnesinin matematiksel tanımı rastgelelik unsurları içermiyorsa veya dikkate alınmıyorsa, örn. bu durumda dış ortamın stokastik etkilerinin ( T) ve stokastik dahili parametreler ( T) yoksa, model çağrılır deterministiközelliklerin benzersiz bir şekilde deterministik girdi eylemleri tarafından belirlenmesi anlamında

(T) = F(, T). (2.6)

Açıkçası, deterministik model, stokastik modelin özel bir durumudur.

Tipik matematiksel şemalar. Sistem mühendisliği ve sistem analizi alanındaki nesneleri modelleme uygulamasında, sistem araştırmasının ilk aşamalarında, kullanmak daha rasyoneldir. tipik matematiksel şemalar Anahtar Sözcükler: diferansiyel denklemler, sonlu ve olasılıksal otomatlar, kuyruk sistemleri, Petri ağları, toplama sistemleri, vb.

Tipik matematiksel şemalar, basitlik ve netlik avantajlarına sahiptir. Deterministik modeller olarak, çalışmada rasgele faktörler dikkate alınmadığında, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için diferansiyel, integral, integro-diferansiyel ve diğer denklemler, sürekli zamanda çalışan sistemleri temsil etmek için sonlu otomatlar ve sonlu farklar şemaları kullanılır. ayrık zaman Stokastik modeller olarak (rasgele faktörleri dikkate alarak), ayrık zamanlı sistemleri temsil etmek için olasılıksal otomatlar kullanılır ve sürekli zamanlı sistemleri temsil etmek için kuyruk sistemleri kullanılır. Petri ağları, birkaç işlemin aynı anda paralel olarak çalıştığı karmaşık sistemlerde neden-sonuç ilişkilerini analiz etmek için kullanılır. Sürekli ve ayrık, deterministik ve stokastik sistemlerin (örneğin, ASOIU) davranışını tanımlamak için, toplu bir sisteme dayalı genelleştirilmiş (evrensel) bir yaklaşım uygulanabilir. Toplu bir açıklamada, karmaşık bir nesne (sistem), parçaların etkileşimini sağlayan bağlantıları korurken sınırlı sayıda parçaya (alt sistemler) bölünür.

Böylece, sistemlerin işleyiş süreçlerinin matematiksel modellerini oluştururken, aşağıdaki ana yaklaşımlar ayırt edilebilir: sürekli deterministik ( D-şema); ayrık deterministik ( F-şema); ayrık stokastik ( R-şema); sürekli stokastik ( Q-şema); ağ ( N-şema); genelleştirilmiş veya evrensel ( A-şema).

2.2. Sürekli deterministik modeller ( D-şema)

Temel oranlar. Örnek olarak matematiksel modeller olarak diferansiyel denklemleri kullanan sürekli deterministik bir yaklaşımın özelliklerini düşünün. Diferansiyel denklemler bir veya daha fazla değişkenin fonksiyonlarının bilinemeyeceği bu tür denklemlere denir ve denklem sadece fonksiyonları değil, aynı zamanda bunların çeşitli sıralardaki türevlerini de içerir. Birkaç değişkenin bilinmeyen fonksiyonları varsa, denklemler denir. kısmi diferansiyel denklemler, aksi takdirde, bir bağımsız değişkenin fonksiyonu dikkate alındığında, denklemler denir adi diferansiyel denklemler.

Deterministik sistemler (2.6) için matematiksel ilişki genel olarak şu şekilde olacaktır:

" (T) = (, T); (T 0) = 0 , (2.7)

Nerede " = D/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) ve = ( F 1 , F 2 , …, fn) – N-boyutlu vektörler; (, T), bazılarında tanımlanan bir vektör fonksiyonudur ( N+1)-boyutlu (, T) ayarlıdır ve süreklidir.

Bu tür matematiksel şemalara denir. D-şemaları(İngiliz dinamiği), incelenen sistemin dinamiklerini yansıtırlar ve zaman genellikle bilinmeyen istenen fonksiyonların bağlı olduğu bağımsız bir değişken olarak kullanılır. T.

En basit durumda, sıradan bir diferansiyel denklem şu şekildedir:

sen"(T) = F(y, T). (2.8)

Farklı nitelikteki iki temel devrenin işleyiş sürecinin resmileştirilmesinin en basit örneğini ele alalım: mekanik S M (sarkaç salınımı, şekil 2.1, A) ve elektrik S K (salınım devresi, Şekil 2.1, B).

Pirinç. 2.1. temel sistemler

Sarkacın küçük salınım süreci, sıradan bir diferansiyel denklem ile tanımlanır.

M M ben M2( D 2 F(T)/dt 2) + m M gl M F(T) = 0,

Nerede M M , ben M, sarkaç süspansiyonunun kütlesi ve uzunluğudur; G- yerçekimi ivmesi; F(T) zaman anında sarkacın sapma açısıdır T.

Sarkacın bu serbest salınım denkleminden, ilgilenilen özelliklerin tahminleri bulunabilir. Örneğin, bir sarkacın periyodu

T M = 2p.

Benzer şekilde, bir elektrik salınım devresindeki işlemler, sıradan bir diferansiyel denklemle tanımlanır.

L K( D 2 Q(T)/dt 2) + (Q(T)/C k) = 0,

Nerede L k , C K - kapasitörün endüktansı ve kapasitansı; Q(T) kondansatörün andaki yüküdür T.

Bu denklemden, salınımlı bir devredeki sürecin özelliklerine ilişkin çeşitli tahminler elde edilebilir. Örneğin, elektriksel salınımların periyodu

T M = 2p.

Açıkçası, gösterimi tanıtarak H 2 = M M ben M2= L k , H 1 = 0,
H 0 = M M gl M = 1/ C k , F(T) = Q(T) = z(T), bu kapalı sistemin davranışını tanımlayan ikinci dereceden bir adi diferansiyel denklem elde ederiz:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (gün(T)/dt) + H 0 z(T) = 0, (2.9)

Nerede H 0 , H 1 , H 2 – sistem parametreleri; z(T) sistemin şu anki durumudur
zaman T.

Böylece, bu iki nesnenin davranışı genel matematiksel model (2.9) temelinde incelenebilir. Ek olarak, sarkacın davranışının (sistem S M) bir elektrik salınım devresi kullanılarak incelenebilir (sistem SİLE).

İncelenen sistem ise S(sarkaç veya devre) çevre ile etkileşime girer e, ardından giriş işlemi görünür X(T) (sarkaç için bir dış kuvvet ve devre için bir enerji kaynağı) ve böyle bir sistemin sürekli deterministik modeli şöyle görünecektir:

H 2 (D 2 z(T)/dt 2) + H 1 (gün(T)/dt) + H 0 z(T) = X(T). (2.10)

Genel matematiksel model açısından (bkz. Bölüm 2.1) X(T) giriş (kontrol) eylemidir ve sistemin durumudur S bu durumda, bir çıktı karakteristiği olarak kabul edilebilir, örn. çıkış değişkeni, sistemin belirli bir zaman noktasındaki durumudur. y = z.

Olası uygulamalar Dşema. Herhangi bir dinamik sistem gibi doğrusal kontrol sistemlerini tanımlamak için homojen olmayan diferansiyel denklemlerin sabit katsayıları vardır.

, ,…, zamanın ve türevlerinin bilinmeyen fonksiyonudur; ve bilinen fonksiyonlardır.

Örneğin, diferansiyel denklemlerle tanımlanabilen kontrol sistemlerindeki süreçleri simüle etmek için tasarlanmış VisSim yazılım paketini kullanarak, sıradan bir homojen olmayan diferansiyel denklemin çözümünü simüle ediyoruz.

sıfır başlangıç ​​koşulları altında segmentte istenen bazı zaman fonksiyonları nerede, H 3 =1, H 2 =3, H 1 =1, H 0 =3:

Verilen denklemi türevlerin en yükseğine göre temsil ederek, denklemi elde ederiz.

VisSim paketinin bir dizi yapı taşı kullanılarak modellenebilen: aritmetik bloklar - Kazanç (bir sabitle çarpma), Summing-Junction (toplayıcı); entegrasyon blokları - Entegratör (sayısal entegrasyon), Transfer Fonksiyonu (transfer fonksiyonu olarak sunulan bir denklemi ayarlama); ayar sinyalleri için bloklar - Sabit (sabit), Adım ("adım" şeklinde tek fonksiyon), Rampa (doğrusal olarak artan sinyal); sinyal alıcı blokları - Grafik (simülasyon sırasında araştırmacı tarafından analiz edilen sinyallerin zaman alanında gösterimi).

Şek. 2.2, bu diferansiyel denklemin grafiksel bir temsilini gösterir. En soldaki bütünleyicinin girişi değişkene karşılık gelir, ortadaki bütünleyicinin girişi ile ve en sağdaki bütünleyicinin girişi ile karşılık gelir. En sağdaki entegratörün çıktısı değişkene karşılık gelir y.

Tarafından açıklanan özel bir dinamik sistem durumu D-şemalar otomatik kontrol sistemleri(ACS)ve düzenleme(SAR). Gerçek nesne iki sistem şeklinde sunulur: kontrol ve yönetilen (kontrol nesnesi). Genel bir görünümün çok boyutlu bir otomatik kontrol sisteminin yapısı, Şek. 2.3, nerede içsel değişkenler: ( T) giriş (ayar) eylemlerinin vektörüdür; ( T) rahatsız edici etkilerin vektörüdür; " (T) hata sinyallerinin vektörüdür; "" (T) kontrol eylemlerinin vektörüdür; eksojen değişkenler: ( T) sistem durum vektörüdür S; (T) çıktı değişkenlerinin bir vektörüdür, genellikle ( T) = (T).

Pirinç. 2.2. Bir denklemin grafik gösterimi

Kontrol sistemi, kontrol nesnesi tarafından belirli bir hedefe ulaşılmasını sağlayan bir dizi yazılım ve donanım aracıdır. Bir nesnenin belirli bir hedefe ne kadar doğru ulaştığı (tek boyutlu bir sistem için) durum koordinatıyla değerlendirilebilir. y(T). verilen arasındaki fark y eşek ( T) ve geçerli y(T) kontrol hatası kontrol hatasıdır " (T) = y eşek ( T) – y(T). Kontrol edilen değişkeni değiştirmek için öngörülen yasa, giriş (ayar) eylemini değiştirme yasasına karşılık geliyorsa, örn. X(T) = y eşek ( T), O " (T) = X(T) – y(T).

Kontrol hatalarının olduğu sistemler " (T) = 0 her zaman denir ideal. Pratikte ideal sistemlerin uygulanması imkansızdır. Otomatik kontrol sisteminin görevi değişkeni değiştirmektir. y(T) belirli bir doğrulukla (izin verilen bir hata ile) belirli bir yasaya göre. Sistem parametreleri, geçici süreçte sistemin kararlılığının yanı sıra gerekli kontrol doğruluğunu sağlamalıdır. Sistem kararlıysa, sistemin zaman içindeki davranışını, kontrol edilen değişkenin maksimum sapmasını analiz edin. y(T) geçici süreçte, geçici sürecin süresi vb. Diferansiyel denklemin sırası ve katsayılarının değeri tamamen sistemin statik ve dinamik parametreleri tarafından belirlenir.

Pirinç. 2.3. Otomatik kontrol sisteminin yapısı:

CS kontrol sistemidir; OS - kontrol nesnesi

Yani kullanım D-şemalar, sürekli deterministik sistemlerin işleyiş sürecini resmileştirmenizi sağlar S ve sürekli sistemleri modellemek için uygun bir dil biçiminde uygulanan bir analitik veya simülasyon yaklaşımı kullanarak veya analog ve hibrit hesaplama araçlarını kullanarak ana özelliklerini değerlendirin.

2.3. Ayrık deterministik modeller ( F-şema)

Temel oranlar. Otomata teorisini matematiksel bir aparat olarak kullanma örneğinde ayrık deterministik yaklaşımın özelliklerini düşünün. Sistem, ayrık bilgileri işleyen ve dahili durumlarını yalnızca kabul edilebilir zamanlarda değiştiren giriş ve çıkış sinyallerine sahip bir cihaz olarak bir otomat olarak temsil edilir. durum makinesi iç durum kümeleri, giriş ve çıkış sinyalleri sonlu kümeler olan bir otomat olarak adlandırılır.

Soyut olarak, sonlu bir otomata matematiksel bir şema olarak temsil edilebilir ( F-plan) altı öğe ile karakterize edilir: sonlu bir küme X giriş sinyalleri (giriş alfabesi); Sınırlı set Yçıkış sinyalleri (çıkış alfabesi); Sınırlı set Z dahili durumlar (dahili alfabe veya durumların alfabesi); başlangıç ​​hali z 0 , z 0 Î Z; geçiş fonksiyonu j( z, X); çıkış fonksiyonu y( z, X). Verilen otomat F-şema: F = á Z, X, Y y, j, z 0 ñ, her biri giriş ve çıkış sinyallerinin ve dahili durumların sabit değerlerine karşılık gelen anları döngü olan ayrık zamanda çalışır. Durumu ve bunlara karşılık gelen giriş ve çıkış sinyallerini gösterelim. T-inci vuruş T= 0, 1, 2, …, ile z(T), X(T)y(T). Aynı zamanda duruma göre z(0) = z 0 ve z(T)Î Z, X(T)Î X, y(T)Î Y.

Bir soyut durum makinesinin bir giriş ve bir çıkış kanalı vardır. her an T= 0, 1, 2, ... ayrık zaman F- makine belirli bir durumda z(T) setten Z otomatın durumları ve zamanın ilk anında T= 0 her zaman başlangıç ​​durumundadır z(0) = z 0 . şu anda T, yapabilmek z(T), otomat giriş kanalındaki bir sinyali algılayabilir X(T)Î X ve çıkış kanalında bir sinyal verin y(T) = y[ z(T),X(T)], z( T+1) = J[ z(T), X(T)], z(T)Î Z, y(T)Î Y. Soyut bir sonlu otomat, giriş alfabesindeki sözcük kümesinin bazı eşlemelerini uygular X hafta sonunun birçok sözü için
alfabe Y. Başka bir deyişle, sonlu durum makinesinin girişi başlangıç ​​durumuna ayarlanırsa z 0 , giriş alfabesinin harflerini belirli bir sırayla sağlar X(0), X(1), X(2), …, yani kelimeyi girin, ardından otomatın çıktısı, çıktı alfabesinin harfleri sırayla görünecektir y(0), y(1), y(2), …, çıkış kelimesini oluşturur.

Böylece, sonlu otomatın çalışması aşağıdaki şemaya göre gerçekleşir: her birinde T durumunda olan otomatın girişine -th döngüsü z(T), bazı sinyaller verilir X(T), bir geçişle tepki verdiği ( T+1)th döngüsü yeni bir duruma z(T+1) ve bir miktar çıkış sinyali veriyor. Yukarıdakiler aşağıdaki denklemlerle açıklanabilir: F- birinci türden bir otomat, aynı zamanda Mil makinesi,

z(T+1) = j[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(T) = y[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.16)

İçin F- ikinci türden otomat

z(T+1) = j[ z(T), X(T)], T= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(T) = y[ z(T), X(T- 1)], T= 1, 2, 3,…. (2.18)

İkinci türden bir otomat, bunun için

y(T) = y[ z(T)], T= 0, 1, 2, …, (2.19)

onlar. çıkış işlevi giriş değişkenine bağlı değildir X(T), denir Moore makinesi.

Böylece, tamamen tanımlayan (2.15)-(2.19) denklemleri
F-otomat, (2.3) ve (2.4) denklemlerinin özel bir durumudur,
sistem S- deterministik ve tek girişi ayrı bir sinyal alıyor X.

Durum sayısına göre, hafızalı ve hafızasız sonlu otomatlar ayırt edilir. Hafızalı otomatlar birden fazla duruma sahipken, hafızasız otomatlar (kombinasyon veya mantık devreleri) yalnızca bir duruma sahiptir. Aynı zamanda, (2.16)'ya göre, kombinasyonel devrenin çalışması, her bir giriş sinyaline atamasıdır. X(T) tanımlı çıkış sinyali y(T), yani formun mantıksal bir işlevini uygular

y(T) = y[ X(T)], T= 0, 1, 2, … .

Bu fonksiyon, eğer alfabe ise boolean olarak adlandırılır. X Ve Y sinyal değerlerine ait olan X Ve y, iki harften oluşur.

Ayrık zaman sayımının doğasına göre, sonlu otomatlar senkron ve asenkron olarak ayrılır. senkronize olarak F- otomatlarda, otomatın giriş sinyallerini "okuduğu" zaman noktaları, zorunlu senkronizasyon sinyalleri tarafından belirlenir. Bir sonraki senkronizasyon sinyalinden sonra, "okuma" dikkate alınarak ve (2.15) - (2.19) denklemlerine uygun olarak, yeni bir duruma geçiş gerçekleşir ve bir çıkış sinyali verilir, ardından otomat bir sonraki değeri algılayabilir. giriş sinyali Böylece, otomatın giriş sinyalinin her değerine yanıtı, süresi bitişik senkronizasyon sinyalleri arasındaki aralık tarafından belirlenen bir döngüde sona erer. eşzamansız F- makine sürekli olarak giriş sinyalini okur ve bu nedenle, sabit bir değere sahip yeterince uzun bir giriş sinyaline tepki verir X, (2.15)-(2.19)'dan itibaren aşağıdaki gibi, durumu birkaç kez değiştirebilir, karşılık gelen sayıda çıkış sinyali vererek, verilen giriş sinyaliyle artık değiştirilemeyen kararlı bir sinyale geçene kadar.

Olası uygulamalar F-şema. Finali ayarlamak için F-otomat, setin tüm elemanlarını tanımlamak için gereklidir F= <Z, X, Y y, j, z 0 >, yani giriş, iç ve çıkış alfabelerinin yanı sıra geçişlerin ve çıkışların işlevleri ve durum kümesi arasından durumu seçmek gerekir z 0 , otomatın durumunda olduğu T= 0. İşi ayarlamanın birkaç yolu vardır. F-makineler, ancak en sık kullanılan tablo, grafik ve matris.

Tablo yönteminde, satırları otomatın giriş sinyallerine karşılık gelen ve sütunları durumlarına karşılık gelen geçiş ve çıkış tabloları belirtilir. Soldaki ilk sütun başlangıç ​​durumuna karşılık gelir z 0 . kavşakta Ben-inci satır ve k geçiş tablosunun inci sütunu, karşılık gelen değer j( zk, x ben) geçiş fonksiyonları ve çıktı tablosunda - karşılık gelen değer y( z k , x ben) çıkış fonksiyonları. İçin F-Moore makinesi, her iki masa birleştirilebilir.

İş tanımı F j geçişlerinin ve y çıkışlarının kaba otomat tabloları Tablo'da gösterilmektedir. 2.1 ve açıklama F-Moore otomatı - geçiş tablosuna göre (Tablo 2.2).

Tablo 2.1

Tablo 2.2

Tablo şeklinde ayar örnekleri F- Mil makinesi F 1 tabloda verilmiştir. 2.3 ve için F-Moore makinesi F 2 - tabloda. 2.4.

Tablo 2.3

Tablo 2.4

Sonlu bir otomatın grafiksel olarak belirlenmesinde, yönlendirilmiş grafik kavramı kullanılır. Otomat grafiği, otomatın farklı durumlarına karşılık gelen ve otomatın belirli geçişlerine karşılık gelen grafik yaylarının köşelerini birleştiren bir dizi tepe noktasıdır. Eğer giriş sinyali xk durum geçişine neden olur z ben bir duruma zj, ardından otomat grafiğinde köşeyi birleştiren yay z ben tepe zj, belirtilen xk. Çıkışların işlevini tanımlamak için, grafiğin yayları karşılık gelen çıkış sinyalleriyle işaretlenmelidir. Mealy otomata için bu etiketleme şu şekilde yapılır: eğer giriş sinyali xk devleti etkiler z ben, sonra çıkan bir yay elde ederiz z ben ve etiketli xk; bu ark ayrıca bir çıkış sinyali ile işaretlenir y= y( z ben, xk). Bir Moore otomatı için grafiğin benzer bir etiketlemesi şu şekildedir: eğer giriş sinyali xk, otomatın bazı durumlarına etki ederek duruma geçişe neden olur zj, ardından ark yönlendirildi z ben ve etiketli xk, ek olarak hafta sonunu kutlayın
sinyal y= y( zj, xk).

Şek. 2.4. A, B daha önce verilen tablolar F- Mil otomatları F 1 ve Mura F sırasıyla 2.

Pirinç. 2.4. Otomata grafikleri a - Mealy ve b - Moore

Sonlu bir otomatın matris özelliğiyle, otomatın bağlantı matrisi karedir İLE=||ij ile||, satırlar başlangıç ​​durumlarına karşılık gelir ve sütunlar geçiş durumlarına karşılık gelir. eleman ij ile = xk/y ler kavşakta durmak
Ben-inci satır ve J inci sütun, Mealy otomatı durumunda giriş sinyaline karşılık gelir xk durumundan geçişe neden olan z ben bir duruma zj ve çıkış sinyali y ler bu geçiş tarafından yayınlandı. Mil makinesi için F Yukarıda tartışılan 1, bağlantı matrisi şu şekildedir:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Devletten geçiş ise z ben bir duruma zj birkaç sinyalin etkisi altında meydana gelir, matris elemanı c ij bu geçiş için bir ayrılma işaretiyle bağlanan bir "giriş-çıkış" çiftleri kümesidir.

İçin F-Moore makine elemanı ij ile geçişteki giriş sinyalleri kümesine eşittir ( z ben z j) ve çıktı, çıktıların vektörü ile tanımlanır

= sen( zk) ,

Ben-inci bileşen, durumu gösteren çıkış sinyalidir z ben.

Yukarıdaki için F-Moore makinesi F2 bağlantı matrisleri ve çıkış vektörü şu şekildedir:

–X 1 –X 2 –de 1

–X 2 – –X 1 de 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –de 2

X 2 –X 1 – –de 3

Deterministik otomatlar için, geçiş benzersizliği koşulu karşılanır: belirli bir durumdaki bir otomat, herhangi bir giriş sinyalinin etkisi altında birden fazla duruma gidemez. Grafik ayar yöntemiyle ilgili olarak F-otomat, bu, bir otomatın grafiğinde, aynı giriş sinyaliyle işaretlenmiş iki veya daha fazla kenarın herhangi bir tepe noktasından çıkamayacağı anlamına gelir. Ve otomatın bağlantı matrisinde İLE her satırda herhangi bir giriş sinyali bir defadan fazla oluşmamalıdır.

İçin F-makine durumu zk isminde sürdürülebilir, herhangi bir giriş için ise x ben ОX, bunun için j( zk, x ben) = z k , J( zk,x ben) = y k. F- makine denir eşzamansız eğer her devlet z k ОZ sürekli.

Bu nedenle, modellerde nesne özelliklerinin incelenmesine yönelik ayrık deterministik yaklaşımdaki kavram, otomatik kontrol sistemlerinde gerçek nesnelerin işleyiş süreçlerinin geniş bir sınıfını tanımlamak için uygun olan matematiksel bir soyutlamadır. Kullanarak F- Bir otomatın, ayrı durumların varlığı ve zaman içinde işin ayrı doğası ile karakterize edilen nesneleri tanımlaması mümkündür - bunlar bir bilgisayarın elemanları ve düğümleri, kontrol, düzenleme ve kontrol cihazları, zamansal ve mekansal sistemlerdir. bilgi alışverişi teknolojisinde geçiş vb.

2.4. Ayrık stokastik modeller ( R-şema)

Temel oranlar. Olasılıksal (stokastik) otomata üzerinde ayrık-rasgele yaklaşımda matematiksel şemalar oluşturmanın özelliklerini ele alalım. Genel olarak olasılıksal otomat
P-şemaları(İngilizce olasılıksal otomat), her döngüde işleyişi yalnızca içindeki belleğin durumuna bağlı olan ve istatistiksel olarak tanımlanabilen, belleğe sahip ayrı bir adım adım bilgi dönüştürücü olarak tanımlanabilir.

Matematiksel kavramı tanıtalım R-otomatik, için tanıtılan kavramları kullanarak F-makine. seti düşünün G elemanlarının tümü olası çiftler olan ( x ben , z s), Nerede x ben Ve z ler girdi alt kümesinin öğeleridir X ve sırasıyla Z durumlarının alt kümeleri. Eşlemeler olacak şekilde j ve y gibi iki işlev varsa G®Z ve G®Y, sonra öyle derler F = X, Y j, y> deterministik tipte bir otomat tanımlar.

Daha genel bir matematiksel şemayı ele alalım. İzin vermek
Ф, formun tüm olası çiftlerinin kümesidir ( z k , y ben), Nerede Bençıktı alt kümesinin bir öğesidir Y. Kümenin herhangi bir elemanının GΦ setinde indüklenen aşağıdaki formun bazı dağılım kanunları:

nerede bkj= 1, burada bkj otomatın duruma geçiş olasılıkları zk ve çıkışta bir sinyalin görünümü yj yapabilseydi z ler ve bu noktada girişinde bir sinyal alındı x ben. Tablolar şeklinde sunulan bu tür dağılımların sayısı, kümenin eleman sayısına eşittir. G. Bu tabloların kümesini B ile göster. Sonra dört eleman P= olasılıksal otomat denir
(R- otomatik).

Olası uygulamalar P-şema. Kümenin elemanları olsun G alt kümeler üzerinde bazı dağıtım yasalarını tetikler Y Ve Z, aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

nerede z k = 1 ve q j = 1, nerede zk Ve q j - geçiş olasılıkları
R-durum için makine zk ve çıkış sinyalinin görünümü ykşartıyla
R z ler ve girişinde bir giriş sinyali alındı x ben .

eğer herkes için k Ve J bir ilişki var q j z k = b kj , o zaman böyle
R- makine denir Mealy olasılık otomatı. Bu gereklilik, yeni durum için dağıtımların bağımsızlık koşulunun yerine getirilmesi anlamına gelir. R-makine ve çıkış sinyali.

Şimdi çıkış sinyalinin tanımına izin verin R- Otomatın durumu, yalnızca otomatın belirli bir iş döngüsünde bulunduğu duruma bağlıdır. Başka bir deyişle, çıktı altkümesinin her elemanı Y aşağıdaki forma sahip çıktıların bir olasılık dağılımına neden olur:

Burada ben = 1, nerede bençıkış sinyalinin oluşma olasılığıdır sen ben de de koşullar R- makine bir durumdaydı zk.

eğer herkes için k Ve Ben bir ilişki var z ks ben =bki, sonra böyle
R- makine denir olasılıklı Moore otomatı. kavram
R-Mealy ve Moore otomatları, deterministik ile analoji yoluyla tanıtıldı
F- otomatik. özel durum R- olarak verilen otomat P=X, Y, B> yeni bir duruma geçişin veya çıkış sinyalinin deterministik olarak belirlendiği otomatlardır. Eğer çıkış sinyali
R-otomat deterministik olarak belirlenir, o zaman böyle bir otomat denir
Y-. Aynı şekilde,
Z-deterministik olasılık otomatı isminde R yeni bir durum seçimi deterministik olan bir otomattır.

Örnek 2.1. verilmiş olsun Y-deterministik P-makine

Şek. 2.5 bu otomatın yönlendirilmiş geçiş grafiğini göstermektedir. Grafiğin köşeleri, otomatın durumlarıyla ilişkilendirilir ve yaylar, bir durumdan diğerine olası geçişlerle ilişkilendirilir. Yaylar, geçiş olasılıklarına karşılık gelen ağırlıklara sahiptir. p ij, ve bu durumların indüklediği çıkış sinyallerinin değerleri grafiğin köşelerine yakın yazılır. Bunun kalması için toplam nihai olasılıkların tahmin edilmesi gerekmektedir. P-durumlarda makine z 2 ve z 3 .

Pirinç. 2.5. Olasılıklı bir otomatın grafiği

Analitik yaklaşımı kullanarak, Markov zincirleri teorisinden bilinen ilişkiler yazılabilir ve nihai olasılıkları belirlemek için bir denklem sistemi elde edilebilir. Bu durumda başlangıç ​​durumu zİlk dağılım nihai olasılıkların değerlerini etkilemediğinden 0 göz ardı edilebilir. O zaman elimizde

Nerede k ile kalmanın son olasılığıdır R-otomatik mümkün zk.

bir denklem sistemi elde ederiz

Bu denklemlere normalizasyon koşulunu ekleyelim İle 1 + İle 2 + İle 3 + İle 4 = 1. Sonra, denklem sistemini çözerek şunu elde ederiz: İle 1 = 5/23, İle 2 = 8/23, İle 3 = 5/23,
İle 4 = 5/23. Böylece, İle 2 + İle 3 = 13/23 = 0,5652. Başka bir deyişle, bu örnekte verilenin sonsuz işlemi ile Y-deterministik
R-makine, çıkışında, 0.5652'ye eşit bir oluşma olasılığı olan bir ikili dizi oluşturulur.

Benzer R- otomatlar, sistem işleyen süreçlerin inşasında ve uygulanmasında gerekli olan Markov dizilerinin üreteçleri olarak kullanılabilir. S veya çevresel etkiler E.

2.5. Sürekli stokastik modeller ( Q-şema)

Temel oranlar. Tipik matematiksel örnek kullanarak sürekli-rasgele yaklaşımın özelliklerini ele alacağız. Q-şemalar - kuyruk sistemleri(İngilizce kuyruk sistemi).

Bir hizmet süreci olarak, fiziksel yapılarında farklı olan ekonomik, endüstriyel, teknik ve diğer sistemlerin işleyiş süreçleri temsil edilebilir, örneğin: belirli bir işletmeye ürün tedarik akışları, montaj hattındaki parça ve bileşen akışları bir atölyenin, uzak terminallerden bilgisayar bilgilerinin işlenmesine yönelik uygulamalar vb. Aynı zamanda, bu tür nesnelerin işleyişi, hizmet taleplerinin (gereksinimlerinin) rastgele ortaya çıkması ve hizmetin rastgele zamanlarda tamamlanması, yani; işleyiş sürecinin stokastik doğası.

olayların akışı rastgele bir zamanda birbiri ardına meydana gelen olaylar dizisi denir. Homojen ve homojen olmayan olayların akışları vardır. Olay akışı isminde homojen yalnızca bu olayların (neden olan anların) geliş anları ile karakterize edilir ve sekans tarafından verilirse ( t n} = {0 £ T 1 £ T 2 ... £ t n£ … }, Nerede t n - oluş anı P- inci olay negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Tekdüze bir olay akışı, olaylar arasındaki zaman aralıklarının bir dizisi olarak da belirtilebilir. P- M ve (n – 1)-inci olaylar (t N), arama anlarının dizisiyle benzersiz bir şekilde ilişkilidir ( t n} , nerede n = tn– t n -1 ,P³ 1, T 0 = 0, onlar. t1 = t 1 . Heterojen olaylar akışı dizi denir ( t n , f n} , Nerede t n - zorlu anlar; f n - olay öznitelikleri kümesi. Örneğin, bir veya başka bir istek kaynağına ait heterojen bir talep akışı için hizmet süreciyle ilgili olarak, bir önceliğin varlığı, belirli bir kanal türü tarafından hizmet verme olasılığı belirtilebilir.

Herhangi bir temel hizmet eyleminde, iki ana bileşen ayırt edilebilir: bir uygulama tarafından hizmet beklentisi ve bir uygulamanın gerçek hizmeti. Bu bazı olarak temsil edilebilir Ben alet bakımı P ben(Şekil 2.6), bir istek akümülatöründen oluşur MERHABA, aynı anda olabilecek j ben= uygulamalar, nerede L ben H– kapasite
Ben-th sürücü ve bir istek hizmeti kanalı (veya yalnızca bir kanal) Ki. Servis cihazının her elemanı için P ben olay akışları varır: akümülatöre MERHABA uygulama akışı ben, kanal başına K ben - hizmet akışı ve ben.

Pirinç. 2.6. Uygulama servis cihazı

Kanal tarafından sunulan uygulamalar ki, ve cihazdan ayrılan istekler P bençeşitli nedenlerle hizmet verilmedi (örneğin, sürücünün taşması nedeniyle) MERHABA), çıkış akışını oluşturur y ben О Y, onlar. uygulamaların serbest bırakıldığı anlar arasındaki zaman aralıkları, çıktı değişkenlerinin bir alt kümesini oluşturur.

Genellikle uygulama akışı ben ОW, onlar. girişte uygulamaların ortaya çıktığı anlar arasındaki zaman aralıkları ben, yönetilmeyen değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur ve hizmet akışı sen ben ОU, onlar. hizmet talebinin başlangıcı ile bitişi arasındaki zaman aralıkları, kontrol edilen değişkenlerin bir alt kümesini oluşturur.

Servis cihazının çalışma süreci P ben elemanlarının durumlarını zaman içinde değiştirme süreci olarak temsil edilebilir. z ben(T). için yeni bir duruma geçiş P ben içinde bulunan uygulamaların sayısındaki değişiklik anlamına gelir (kanalda ben ve depoda MERHABA). Böylece, için durum vektörü P benşuna benziyor: , Nerede Z ben H- sürücü durumu MERHABA (Z ben H= 0 – sürücü boş, Z ben H= 1 – akümülatörde bir müşteri var, ..., Z ben H = L ben H – sürücü dolu) L ben H- depolama kapasitesi MERHABA , içine sığabilecek uygulama sayısıyla ölçülür; z ben k – kanal durumu ben(z ben k = 0 – kanal ücretsiz z ben k= 1 – kanal meşgul).

Olası uygulamalar Q-şemalar. Daha karmaşık yapısal ilişkilere ve davranış algoritmalarına sahip modelleme sistemlerinin pratiğinde, resmileştirme için ayrı hizmet cihazları kullanılmaz, ancak
Q- plan , birçok temel hizmet cihazının birleşiminden oluşur ben . Eğer kanallar ben farklı servis cihazları paralel bağlanır, o zaman çok kanallı bir servis vardır ( çok kanallı Q-şema) , ve eğer cihazlar P ben ve paralel bileşimleri seri olarak bağlanır, ardından çok fazlı bir hizmet vardır ( çok fazlı Q-şema) . Böylece görev için Q-şemalar konjugasyon operatörünü kullanmalıdır R, yapının elemanları (kanallar ve depolar) arasındaki ilişkiyi kendi aralarında yansıtır.