Matris kavramı. Ters matrisi bulma

Tanım 1. Matris A boyutuM N m satır ve n sütundan oluşan, sayılardan veya diğer matematiksel ifadelerden (matris elemanları olarak adlandırılır) oluşan dikdörtgen bir tablodur, i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, veya

Tanım 2. İki matris
Ve
aynı boyuta denir eşit, eğer element element çakışıyorlarsa, yani =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matrisleri kullanarak bazı ekonomik bağımlılıkları, örneğin ekonominin belirli sektörlerine ilişkin kaynak dağıtım tablolarını kaydetmek kolaydır.

Tanım 3. Bir matrisin satır sayısı sütun sayısıyla çakışıyorsa; m = n ise matris denir kare düzenN, aksi takdirde dikdörtgen.

Tanım 4. Sırayı koruyarak satır ve sütunların yer değiştirdiği A matrisinden A m matrisine geçişe denir. aktarma matrisler.

Matris türleri: kare (boyut 33) -
,

dikdörtgen (boyut 25) -
,

çapraz -
, Bekar -
, sıfır -
,

matris satırı -
, matris-sütun -.

Tanım 5. Aynı indekslere sahip n mertebesinden bir kare matrisin elemanlarına ana köşegenin elemanları denir, yani. bunlar unsurlardır:
.

Tanım 6. N dereceli bir kare matrisin elemanlarına, endekslerinin toplamı n + 1'e eşitse, ikincil köşegenin elemanları denir; bunlar unsurlardır: .

1.2. Matrisler üzerinde işlemler.

1 0 . Miktar iki matris
Ve
elemanları ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Matris toplama işleminin özellikleri.

Aynı büyüklükteki herhangi bir A, B, C matrisi için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

1) A + B = B + A (değişme),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ilişkililik).

2 0 . İş matrisler
sayı başına  matris denir
A matrisiyle aynı boyuttadır ve b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Bir matrisi bir sayıyla çarpma işleminin özellikleri.

(A) = ()A (çarpımın ilişkilendirilebilirliği);

(A+B) = A+B (matris toplamaya göre çarpmanın dağılımı);

(+)A = A+A (sayıların toplamına göre çarpmanın dağılımı).

Tanım 7. Matrislerin doğrusal kombinasyonu
Ve
aynı boyuttaki ifadelere A+B formundaki bir ifade denir; burada  ve  isteğe bağlı sayılardır.

3 0 . Ürün A  Matrislerde Sırasıyla mn ve nk boyutunda A ve B'ye mk boyutunda bir C matrisi denir, öyle ki ij'li eleman i'inci satırdaki elemanların çarpımlarının toplamına eşit olur A matrisinin ve B matrisinin j'inci sütununun, yani ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj ile.

AB çarpımı yalnızca A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısıyla çakışırsa var olur.

Matris çarpma işleminin özellikleri:

(AB)C = A(BC) (ilişkililik);

(A+B)C = AC+BC (matris toplamına göre dağılım);

A(B+C) = AB+AC (matris toplamına göre dağılım);

AB  BA (değişmeli değil).

Tanım 8. AB = BA olan A ve B matrislerine değişme veya değişme denir.

Herhangi bir mertebeden bir kare matrisin karşılık gelen birim matrisle çarpılması matrisi değiştirmez.

Tanım 9. Temel dönüşümler Aşağıdaki işlemlere matris denir:

İki satırı (sütunları) değiştirin.

Bir satırın (sütun) her bir öğesinin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması.

Bir satırın (sütun) elemanlarına, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi.

Tanım 10. A matrisinden temel dönüşümler kullanılarak elde edilen B matrisine denir. eş değer(BA ile gösterilir).

Örnek 1.1. Aşağıdaki durumda 2A–3B matrislerinin doğrusal birleşimini bulun:

,
.

,
,

.

Örnek 1.2. Matrislerin çarpımını bulun
, Eğer

.

Çözüm: Birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısıyla çakıştığı için matrislerin çarpımı vardır. Sonuç olarak yeni bir matris elde ederiz
, Nerede

Sonuç olarak elde ederiz
.

Ders 2. Determinantlar. İkinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanması. Belirleyicilerin özellikleriN-inci sipariş.

Matris boyut, satırlar ve sütunlar içeren bir sayı tablosudur. Sayılara bu matrisin elemanları denir, burada satır numarası, bu elemanın bulunduğu kesişimdeki sütun numarasıdır. Satır ve sütunlardan oluşan bir matris şu şekildedir: .

Matris türleri:

1) – kare ve arıyorlar matris sırası ;

2) köşegen olmayan tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matris

– diyagonal ;

3) tüm köşegen elemanların eşit olduğu çapraz bir matris

birim – Bekar ve ile gösterilir;

4) – dikdörtgen ;

5) ne zaman – satır matrisi (satır vektörü);

6) ne zaman – matris sütunu (vektör sütunu);

7) hepsi için – sıfır matris.

Bir kare matrisin ana sayısal özelliğinin onun determinantı olduğunu unutmayın. . dereceden bir matrise karşılık gelen determinant da th. derecedendir.

1. dereceden bir matrisin determinantı numarayı aradı.

2. Dereceden Bir Matrisin Determinantı aranan numara . (1.1)

3. Dereceden Bir Matrisin Determinantı aranan numara . (1.2)

Daha ileri sunum için gerekli tanımları sunalım.

Küçük M ben eleman A ben matrisler N- A derecesine matrisin determinantı denir ( n-1)- A matrisinden silinerek elde edilen sıra Ben-inci satır ve J sütun.

Cebirsel Tümleyen A ben eleman A ben matrisler N- A mertebesinden olan, bu elemanın işaretiyle alınan küçüğüdür.

Tüm mertebelerin determinantlarında bulunan determinantların temel özelliklerini formüle edelim ve hesaplamalarını basitleştirelim.

1. Bir matrisin yeri değiştirildiğinde determinantı değişmez.

2. Bir matrisin iki satırı (sütunları) yeniden düzenlenirken determinantı işaret değiştirir.

3. İki orantılı (eşit) satırı (sütun) olan bir determinant sıfıra eşittir.

4. Determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının ortak faktörü, determinantın işaretinden çıkarılabilir.

5. Bir determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanları iki terimin toplamı ise, bu durumda determinant, karşılık gelen iki determinantın toplamına ayrıştırılabilir.

6. Daha önce herhangi bir sayı ile çarpılmış olan diğer satırın (sütununun) karşılık gelen elemanları, herhangi bir satırın (sütunların) elemanlarına eklenirse determinant değişmeyecektir.

7. Bir matrisin determinantı, herhangi bir satırının (sütunlarının) elemanlarının çarpımlarının, bu elemanların cebirsel tamamlayıcıları ile toplamına eşittir.

Bu özelliği 3. dereceden determinant örneğini kullanarak açıklayalım. Bu durumda özellik 7 şu anlama gelir: – determinantın 1. sıranın elemanları tarafından genişletilmesi. Ayrıştırma için, ayrıştırmada karşılık gelen terimler sıfıra dönüştüğünden, sıfır öğenin bulunduğu satırı (sütun) seçin.

Özellik 7, Laplace tarafından formüle edilen determinant bir ayrıştırma teoremidir.

8. Bir determinantın herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, diğer satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir.

Son özelliğe genellikle determinantın sözde ayrıştırılması adı verilir.

Kendi kendine test soruları.

1. Matris neye denir?

2. Hangi matrise kare denir? Onun emri ne anlama geliyor?

3. Hangi matrise köşegen, özdeşlik denir?

4. Hangi matrise satır matrisi ve sütun matrisi denir?

5. Bir kare matrisin temel sayısal özelliği nedir?

6. 1., 2. ve 3. derecenin determinantı hangi sayıya denir?

7. Bir matris elemanının küçük ve cebirsel tümleyenine ne denir?

8. Belirleyicilerin temel özellikleri nelerdir?

9. Herhangi bir mertebenin determinantı hangi özelliği kullanarak hesaplanabilir?

Matris Eylemleri(şema 2)

Bir dizi matris üzerinde bir dizi işlem tanımlanmıştır; başlıcaları şunlardır:

1) aktarma – matris satırlarının sütunlarla ve sütunların satırlarla değiştirilmesi;

2) bir matrisin bir sayıyla çarpılması öğe öğe gerçekleştirilir, yani , Nerede , ;

3) yalnızca aynı boyuttaki matrisler için tanımlanan matris toplama;

4) yalnızca tutarlı matrisler için tanımlanan iki matrisin çarpımı.

İki matrisin toplamı (farkı) her bir elemanı matris komutlarının karşılık gelen elemanlarının toplamına (farkına) eşit olan böyle bir sonuçta ortaya çıkan matris denir.

İki matris denir kabul İlkinin sütun sayısı diğerinin satır sayısına eşitse. Eşleşen iki matrisin çarpımı ve ortaya çıkan böyle bir matris denir , Ne , (1.4)

Nerede , . Bundan, matrisin inci satırının ve inci sütununun elemanının, matrisin inci satırındaki elemanların ve matrisin inci sütununun elemanlarının ikili çarpımlarının toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.

Matrislerin çarpımı değişmeli değildir, yani A . B B . A. Bunun bir istisnası, örneğin kare matrisler ile A biriminin çarpımıdır. . E = E . A.

Örnek 1.1. Aşağıdaki durumlarda A ve B matrislerini çarpın:

.

Çözüm. Matrisler tutarlı olduğundan (matris sütunlarının sayısı matris satırlarının sayısına eşittir), formül (1.4)'ü kullanacağız:

Kendi kendine test soruları.

1. Matrisler üzerinde hangi eylemler gerçekleştirilir?

2. İki matrisin toplamına (farkına) ne denir?

3. İki matrisin çarpımına ne denir?

Doğrusal cebirsel denklemlerin ikinci dereceden sistemlerini çözmek için Cramer yöntemi(şema 3)

Gerekli bazı tanımları verelim.

Doğrusal denklem sisteminin adı heterojen , serbest koşullarından en az biri sıfırdan farklıysa ve homojen , eğer tüm serbest terimleri sıfıra eşitse.

Bir denklem sistemini çözme bir sistemdeki değişkenlerin yerine geçtiğinde denklemlerin her birini bir kimliğe dönüştüren sıralı bir sayı kümesidir.

Denklem sisteminin adı eklem yeri En az bir çözümü varsa ve ortak olmayan , eğer hiçbir çözümü yoksa.

Eş zamanlı denklem sistemine denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz birden fazla çözümü varsa.

Aşağıdaki genel forma sahip homojen olmayan ikinci dereceden doğrusal cebirsel denklemler sistemini ele alalım:

. (1.5) Sistemin ana matrisi doğrusal cebirsel denklemler bilinmeyenlerle ilişkili katsayılardan oluşan bir matristir: .

Sistemin ana matrisinin determinantına denir ana belirleyici ve belirlenir.

Yardımcı determinant, i'inci sütunun serbest elemanların sütunu ile değiştirilmesiyle ana determinanttan elde edilir.

Teorem 1.1 (Cramer teoremi).İkinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sisteminin ana belirleyicisi sıfır değilse, sistemin aşağıdaki formüllerle hesaplanan benzersiz bir çözümü vardır:

Ana determinant ise, sistemin ya sonsuz bir çözüm kümesi vardır (tüm sıfır yardımcı determinantlar için) ya da hiç çözümü yoktur (yardımcı determinantlardan en az biri sıfırdan farklıysa)

Yukarıdaki tanımların ışığında Cramer teoremi farklı şekilde formüle edilebilir: Eğer bir doğrusal cebirsel denklemler sisteminin temel determinantı sıfırdan farklıysa, o zaman sistem ortak olarak tanımlanır ve ayrıca, ; eğer ana determinant sıfır ise, sistem ya ortaklaşa belirsizdir (tümü için) ya da tutarsızdır (eğer bunlardan en az biri sıfırdan farklıysa).

Bundan sonra ortaya çıkan çözüm kontrol edilmelidir.

Örnek 1.2. Sistemi Cramer yöntemiyle çözün

Çözüm. Sistemin temel belirleyicisi olduğundan

sıfırdan farklı ise sistemin tek bir çözümü vardır. Yardımcı determinantları hesaplayalım

Cramer'in formüllerini (1.6) kullanalım: , ,

Kendi kendine test soruları.

1. Denklem sistemini çözmeye ne denir?

2. Hangi denklem sistemine uyumlu veya uyumsuz denir?

3. Hangi denklem sistemine belirli veya belirsiz denir?

4. Denklem sisteminin hangi matrisine ana matris denir?

5. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin yardımcı determinantları nasıl hesaplanır?

6. Cramer'in doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yönteminin özü nedir?

7. Ana determinantı sıfır olan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi nasıl olabilir?

Ters matris yöntemini kullanarak ikinci dereceden doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme(şema 4)

Determinantı sıfır olmayan bir matrise denir dejenere olmayan ; determinantı sıfıra eşit olan – dejenere .

Matrise ters denir Belirli bir kare matris için, matrisi hem sağda hem de solda tersiyle çarptığınızda birim matris elde edilirse, yani. (1.7)

Bu durumda matrislerin çarpımının değişmeli olduğunu unutmayın.

Teorem 1.2. Belirli bir kare matris için ters bir matrisin varlığı için gerekli ve yeterli koşul, verilen matrisin determinantının sıfırdan farklı olmasıdır.

Test sırasında sistemin ana matrisinin tekil olduğu ortaya çıkarsa, bunun tersi yoktur ve söz konusu yöntem uygulanamaz.

Ana matris tekil değilse, yani determinant 0 ise, aşağıdaki algoritma kullanılarak bunun için ters matris bulunabilir.

1. Tüm matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesaplayın.

2. Bulunan cebirsel toplamaları transpoze edilmiş matrise yazın.

3. Aşağıdaki formülü kullanarak ters bir matris oluşturun: (1.8)

4. Formül (1.7)'ye göre bulunan A-1 matrisinin doğruluğunu kontrol edin. Bu kontrolün sistem çözümünün son kontrolüne dahil edilebileceğini unutmayın.

Lineer cebirsel denklem sistemi (1.5) bir matris denklemi olarak temsil edilebilir: burada sistemin ana matrisi, bilinmeyenler sütunu ve serbest terimler sütunudur. Soldaki bu denklemi ters matrisle çarparsak şunu elde ederiz:

Ters matrisin tanımı gereği denklem şu şekli alır: veya . (1.9)

Bu nedenle, ikinci dereceden bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için, soldaki serbest terimler sütununu sistemin ana matrisinin tersi matris ile çarpmanız gerekir. Bundan sonra elde edilen çözümü kontrol etmelisiniz.

Örnek 1.3. Sistemi ters matris yöntemini kullanarak çözün

Çözüm. Sistemin ana belirleyicisini hesaplayın

. Bu nedenle matris tekil değildir ve ters matrisi mevcuttur.

Ana matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulun:

Matrise aktarılan cebirsel toplamaları yazıyoruz

. Sisteme bir çözüm bulmak için (1.8) ve (1.9) formüllerini kullanırız

Kendi kendine test soruları.

1. Hangi matrise dejenere, dejenere olmayan denir?

2. Belirli bir matris için hangi matrise ters denir? Varlığının şartı nedir?

3. Belirli bir matrisin ters matrisini bulma algoritması nedir?

4. Hangi matris denklemi doğrusal cebirsel denklemler sistemine eşdeğerdir?

5. Sistemin ana matrisi için ters matris kullanılarak bir doğrusal cebirsel denklem sistemi nasıl çözülür?

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin incelenmesi(şema 5)

Herhangi bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin incelenmesi, genişletilmiş matrisinin Gauss yöntemiyle dönüştürülmesiyle başlar. Sistemin ana matrisinin boyutu şöyle olsun.

Matris genişletilmiş denir sistemin matrisi , bilinmeyenlerin katsayılarıyla birlikte bir serbest terimler sütunu içeriyorsa. Bu nedenle boyut .

Gauss yöntemi dayanmaktadır temel dönüşümler , içeren:

– matris satırlarının yeniden düzenlenmesi;

– matrisin satırlarının direksiyon simidinden farklı bir sayı ile çarpılması;

– matris satırlarının eleman bazında eklenmesi;

– sıfır satırının silinmesi;

– matris aktarımı (bu durumda dönüşümler sütunlar tarafından gerçekleştirilir).

Temel dönüşümler orijinal sistemi ona eşdeğer bir sisteme yönlendirir. Sistemler eşdeğer denir , aynı çözüm kümesine sahiplerse.

Matris sıralaması sıfır olmayan küçüklerin en yüksek mertebesi denir. Temel dönüşümler matrisin sıralamasını değiştirmez.

Aşağıdaki teorem, homojen olmayan bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin varlığı hakkındaki soruyu yanıtlamaktadır.

Teorem 1.3 (Kronecker-Capelli teoremi). Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasının ana matrisinin sıralamasına eşit olması durumunda tutarlıdır;

Gauss yöntemi sonrasında matriste kalan satır sayısını (buna göre sistemde kalan denklem sayısı) ile gösterelim. Bunlar çizgiler matrisler denir temel .

Eğer , o zaman sistemin benzersiz bir çözümü vardır (ortak olarak tanımlanır), matrisi temel dönüşümlerle üçgen forma indirgenir. Böyle bir sistem Cramer yöntemi, ters matris veya evrensel Gauss yöntemi kullanılarak çözülebilir.

Eğer (sistemdeki değişken sayısı denklemlerden büyükse), matris temel dönüşümlerle adım adım forma indirgenir. Böyle bir sistemin birçok çözümü vardır ve hepsi birden belirsizdir. Bu durumda sisteme çözüm bulmak için bir takım işlemlerin yapılması gerekmektedir.

1. Bilinmeyenler sistemini denklemlerin sol taraflarında bırakın ( temel değişkenler ), bilinmeyenlerin geri kalanı sağ tarafa taşınır ( serbest değişkenler ). Değişkenleri temel ve serbest olarak ayırdıktan sonra sistem şu şekli alır:

. (1.10)

2. Temel değişkenlerin katsayılarından küçük ( temel yan dal ), sıfırdan farklı olmalıdır.

3. Sistemin (1.10) temel küçük değeri sıfıra eşitse, temel değişkenlerden birini serbest olanla değiştirin; Ortaya çıkan temel minörün sıfırdan farklı olup olmadığını kontrol edin.

4. Cramer yönteminin (1.6) formüllerini uygulayarak, denklemlerin sağ taraflarını serbest terimler olarak kabul ederek, temel değişkenler için genel formda serbest olanlar cinsinden bir ifade bulun. Ortaya çıkan sıralı sistem değişkenleri kümesi, genel karar .

5. Serbest değişkenleri (1.10)'da keyfi değerler vererek, temel değişkenlerin karşılık gelen değerlerini hesaplayın. Tüm değişkenlerin sonuçta ortaya çıkan sıralı değer kümesine denir özel çözüm serbest değişkenlerin verilen değerlerine karşılık gelen sistemler. Sistemin sonsuz sayıda özel çözümü vardır.

6. Al temel çözüm sistem – serbest değişkenlerin sıfır değerleri için elde edilen özel bir çözüm.

Sistemin (1.10) değişkenlerinin temel setlerinin sayısının, elemanların eleman kombinasyonlarının sayısına eşit olduğuna dikkat edin. Her temel değişken kümesinin kendine ait temel çözümü olduğundan sistemin de temel çözümleri vardır.

Homojen bir denklem sistemi her zaman tutarlıdır, çünkü en az bir sıfır (önemsiz) çözümü vardır. Değişkenli homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümlere sahip olabilmesi için ana determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Bu, ana matrisinin sıralamasının bilinmeyenlerin sayısından daha az olduğu anlamına gelir. Bu durumda, genel ve özel çözümler için homojen bir denklem sisteminin incelenmesi, homojen olmayan bir sistemin çalışmasına benzer şekilde gerçekleştirilir. Homojen bir denklem sisteminin çözümlerinin önemli bir özelliği vardır: Eğer homojen bir doğrusal denklem sisteminin iki farklı çözümü biliniyorsa, bunların doğrusal birleşimi de bu sistemin bir çözümüdür. Aşağıdaki teoremin geçerliliğini doğrulamak kolaydır.

Teorem 1.4. Homojen olmayan bir denklem sisteminin genel çözümü, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümünün ve homojen olmayan denklem sisteminin bazı özel çözümlerinin toplamıdır.

Örnek 1.4.

Verilen sistemi inceleyin ve belirli bir çözüm bulun:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve ona temel dönüşümleri uygulayalım:

. ve olduğundan, Teorem 1.3'e (Kronecker-Capelli) göre verilen doğrusal cebirsel denklem sistemi tutarlıdır. Değişken sayısı, yani sistemin belirsiz olduğu anlamına gelir. Sistem değişkenlerinin temel setlerinin sayısı eşittir

. Sonuç olarak, 6 değişken seti temel olabilir: . Bunlardan birini ele alalım. Daha sonra Gauss yöntemi sonucunda elde edilen sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

. Ana belirleyici. Cramer'in yöntemini kullanarak sisteme genel bir çözüm arıyoruz. Yardımcı elemeler

Formül (1.6)'ya göre elimizde

. Temel değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden bu ifadesi sistemin genel çözümünü temsil eder:

Serbest değişkenlerin belirli değerleri için genel çözümden sistemin özel bir çözümünü elde ederiz. Örneğin, özel bir çözüm serbest değişkenlerin değerlerine karşılık gelir. Sistemin temel çözümünü elde ettiğimizde

Kendi kendine test soruları.

1. Hangi denklem sistemine homojen veya homojen olmayan denir?

2. Hangi matrise genişletilmiş denir?

3. Matrislerin temel elemanter dönüşümlerini listeleyin. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için hangi yöntem bu dönüşümlere dayanmaktadır?

4. Bir matrisin rütbesi nedir? Bunu nasıl hesaplayabilirsiniz?

5. Kronecker-Capelli teoremi ne diyor?

6. Bir lineer cebirsel denklem sistemi, Gauss yöntemiyle çözümü sonucunda hangi forma indirgenebilir? Bu ne anlama gelir?

7. Matrisin hangi satırlarına temel denir?

8. Hangi sistem değişkenlerine temel, hangilerine serbest denir?

9. Homojen olmayan bir sistemin hangi çözümüne özel denir?

10.Hangi çözümlerine temel denir? Homojen olmayan bir doğrusal denklem sisteminin kaç temel çözümü vardır?

11.Homojen olmayan bir lineer cebirsel denklem sisteminin hangi çözümüne genel denir? Homojen olmayan bir denklem sisteminin genel çözümüne ilişkin bir teorem formüle edin.

12. Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümlerinin temel özellikleri nelerdir?

Bir matris üzerindeki eylemler

1. Matrislerin toplanması ve çıkarılması:

Matrislerin toplanması ve çıkarılması- onlar üzerindeki en basit eylemlerden biri çünkü iki matrisin karşılık gelen elemanlarını eklemek veya çıkarmak gerekir. Hatırlanması gereken en önemli şey, yalnızca matrislerin toplanıp çıkarılabileceğidir aynı boyutlar yani Aynı sayıda satıra ve aynı sayıda sütuna sahip olanlar.

Örneğin, 2x3 boyutunda eşit büyüklükte iki matris verilsin; iki satır ve üç sütundan oluşan:

İki matrisin toplamı:

İki matrisin farkı:

2. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak:

Bir matrisi bir sayıyla çarpmak - bir sayının bir matrisin her elemanıyla çarpılması işlemi.

Örneğin A matrisi verilsin:

3 sayısını A matrisiyle çarpalım:

3. İki matrisin çarpılması:

İki matrisin çarpılması ancak birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması koşuluyla mümkündür. Matrislerin çarpılmasıyla elde edilecek yeni matris, birinci matrisin sütun sayısı kadar satır ve ikinci matrisin satır sayısı kadar sütundan oluşacaktır.

3x4 ve 4x2 boyutunda iki matris olduğunu varsayalım; birinci matriste 3 satır ve 4 sütun, ikinci matriste ise 4 satır ve 2 sütun bulunmaktadır. Çünkü birinci matrisin (4) sütun sayısı ikinci matrisin (4) satır sayısına eşitse, matrisler çarpılabilir, yeni matrisin boyutu 3x2 olacaktır, yani. 3 satır ve 2 sütun.

Bütün bunları bir diyagram şeklinde hayal edebilirsiniz:

İki matrisin çarpılmasıyla elde edilecek yeni matrisin boyutuna karar verdikten sonra bu matrisi elemanlarla doldurmaya başlayabilirsiniz. Bu matrisin ilk sütununun ilk satırını doldurmanız gerekiyorsa, o zaman ilk matrisin ilk satırının her bir elemanını, ikinci matrisin ilk sütununun her bir elemanı ile çarpmanız gerekir. ilk sütun, sonra ilk matrisin ikinci satırının her bir elemanını alıp ikinci matrisin ilk sütunuyla çarpacağız, vb.

Diyagramda neye benzediğine bakalım:

Bir örnekle neye benzediğini görelim:

İki matris verilmiştir:

Bu matrislerin çarpımını bulalım:

4. Matris bölümü:

Matris bölümü- bu kavramda ders kitaplarında bulunamayan matrisler üzerinde bir eylem. Ancak A matrisini B matrisine bölmeye ihtiyaç varsa, bu durumda derecelerin özelliklerinden biri kullanılır:

Bu özelliğe göre A matrisini B matrisine bölüyoruz:

Sonuç olarak, matrisleri bölme problemi çarpma işlemine indirgenir ters matris B matrisinden A matrisine.

ters matris

n'inci dereceden bir kare matris olsun

Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir.

Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:

ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için.

Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem

Bir matrisin ters matrise sahip olması için dejenere olmaması gerekli ve yeterlidir.

A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan, eğer sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.

Ters matrisi bulmak için algoritma

Denklem sistemlerini Gauss yöntemiyle çözmek için tabloya A matrisini yazın ve sağda (denklemlerin doğru kısımlarının yerine) ona E matrisini atayın.

Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini tek sütunlardan oluşan bir matrise getirin; bu durumda E matrisini eş zamanlı olarak dönüştürmek gerekir.

Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini), orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisini elde edecek şekilde yeniden düzenleyin.

Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda yer alan ters matris A -1'i yazın.

örnek 1

A matrisi için ters A -1 matrisini bulun

Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atadık.Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgedik.Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir.

Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.

Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır.

Cevap:

Matrislerin Determinantları (Determinantlar) Matrislerin Determinantları (Determinantlar)

Matris belirleyicileri, yöntem No. 1:

Bir kare matrisin determinantı(det A) elemanlarından hesaplanabilen bir sayıdır matrisler formüle göre:

Nerede M 1k - matris determinantı(belirleyici) orijinalden elde edilmiştir matrisler ilk satırın ve k'inci sütunun üzerini çizerek. bu not alınmalı elemeler sadece karesi var matrisler yani Satır sayısının sütun sayısına eşit olduğu matrisler. İlk formül hesaplamanıza izin verir matris determinantı ilk satıra göre hesaplama formülü de geçerlidir matrisin determinantı ilk sütun için:

Genel konuşma, matris determinantı herhangi bir satır veya sütunda hesaplanabilir matrisler yani formül doğrudur:

Açıkçası farklı matrisler aynısı olabilir elemeler. Kimlik matrisinin determinantı 1'e eşittir. Belirtilenler için matrisler Ve M 1k sayısına elementin ek küçükleri denir matrisler 1k. Böylece, her bir unsurun olduğu sonucuna varabiliriz. matrisler kendi ek yan dalına sahiptir. Ek küçükler yalnızca karede bulunur matrisler.

Rastgele bir kare öğenin ek minörü matrisler a ij eşittir matrisin determinantı, orijinalinden elde edilmiştir matrisler i'inci satırın ve j'inci sütunun üzerini çizerek.

Matris belirleyicileri, yöntem No. 2:

Matris determinantı ilk sipariş veya belirleyici birinci dereceden, a 11 elemanı denir:

Matris determinantı ikinci dereceden veya belirleyici ikinci derece, aşağıdaki formülle hesaplanan bir sayıdır:

Matris determinantıüçüncü dereceden veya belirleyiciüçüncü derece, aşağıdaki formülle hesaplanan bir sayıdır:

Bu sayı altı terimden oluşan cebirsel bir toplamı temsil eder. Her terim, her satırdan ve her sütundan tam olarak bir öğe içerir matrisler. Her terim üç faktörün çarpımından oluşur.

Hangi üyelerin birlikte olduğu işaretler matrisin determinantı formüle dahil matrisin determinantını bulmaüçüncü derece, üçgenler kuralı veya Sarrus kuralı olarak adlandırılan verilen şema kullanılarak belirlenebilir. İlk üç terim artı işaretiyle alınıp soldaki şekilden, sonraki üç terim ise eksi işaretiyle alınıp sağdaki şekilden belirlenir.

Yorum:

Hesaplama matris belirleyicileri Dördüncü ve daha yüksek derece büyük hesaplamalara yol açar çünkü:

İçin birinci dereceden bir faktörden oluşan bir terim buluyoruz;

İçin matrisin determinantını bulma ikinci dereceden, her terimin iki faktörün çarpımından oluştuğu iki terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir;

İçin matrisin determinantını bulmaüçüncü dereceden, her terimin üç faktörün çarpımından oluştuğu altı terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir;

İçin matrisin determinantını bulma dördüncü dereceden, her terimin dört faktörün ürününden oluştuğu yirmi dört terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir, vb.

Bulunacak terim sayısını belirleyin matrisin determinantı Cebirsel toplamda faktöriyeli hesaplayabilirsiniz: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...

Matrislerin temel kavramlarını tanır. Bir matrisin tanımlayıcı elemanları köşegenleri ve yan köşegenleridir. Home, ilk satırdaki, ilk sütundaki öğeyle başlar ve son sütundaki, son satırdaki öğeye kadar devam eder (yani soldan sağa doğru gider). Yan köşegen ise tam tersine ilk satırda, ancak son sütunda başlar ve ilk sütunun ve son satırın koordinatlarına sahip olan elemana kadar devam eder (sağdan sola gider).

Matrislerle ilgili aşağıdaki tanımlara ve cebirsel işlemlere geçmek için matris türlerini inceleyin. En basit olanları kare, birim, sıfır ve terstir. Sütun ve satır sayısı eşleşiyor. Transpoze matris, buna B diyelim, sütunların satırlarla değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilir. Birimde, ana köşegenin tüm elemanları birdir, diğerleri ise sıfırdır. Ve sıfırda köşegenlerin elemanları bile sıfırdır. Ters matris, orijinal matrisin birim forma geldiği matristir.

Ayrıca matris, ana veya ikincil eksenlere göre simetrik olabilir. Yani, 1'in satır numarası ve 2'nin sütun numarası olduğu a(1;2) koordinatlarına sahip bir eleman, a(2;1)'e eşittir. A(3;1)=A(1;3) vb. Eşleşen matrisler, birinin sütun sayısının diğerinin satır sayısına eşit olduğu matrislerdir (bu tür matrisler çarpılabilir).

Matrislerle yapılabilecek ana işlemler toplama, çarpma ve determinantı bulmadır. Matrisler aynı büyüklükteyse, yani eşit sayıda satır ve sütuna sahiplerse toplanabilirler. Matrislerde aynı yerlerde bulunan elemanların eklenmesi, yani (m; n)'de c ile bir (m; n) eklenmesi gerekir; burada m ve n, sütun ve satırın karşılık gelen koordinatlarıdır. Matrisleri eklerken, sıradan aritmetik toplamanın ana kuralı geçerlidir - terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez. Dolayısıyla, basit bir a elemanı yerine a + b ifadesi varsa, o zaman a + (b + c) = (a + b) + c kurallarına göre başka bir orantılı matrisin c elemanına eklenebilir.

Yukarıda verilen eşleşen matrisleri çarpabilirsiniz. Bu, her elemanın A matrisinin bir satırı ile B matrisinin bir sütununun ikili olarak çarpılmış elemanlarının toplamı olduğu bir matris üretir. Çarpma sırasında eylemlerin sırası çok önemlidir. m*n, n*m'ye eşit değildir.

Ayrıca ana eylemlerden biri bulmaktır. Aynı zamanda determinant olarak da adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: det. Bu değer modulo olarak belirlenir, yani hiçbir zaman negatif olmaz. Determinantı bulmanın en kolay yolu 2x2 kare matristir. Bunu yapmak için, ana köşegenin elemanlarını çarpmanız ve ikincil köşegenin çarpılan elemanlarını onlardan çıkarmanız gerekir.

1. yıl, yüksek matematik, okuyorum matrisler ve bunlarla ilgili temel eylemler. Burada matrislerle yapılabilecek temel işlemleri sistematik hale getiriyoruz. Matrisleri tanımaya nereden başlamalı? Tabii ki, en basit şeylerden - tanımlar, temel kavramlar ve basit işlemler. Matrislerin, onlara en azından biraz zaman ayıran herkes tarafından anlaşılacağını garanti ediyoruz!

Matris Tanımı

Matris dikdörtgen bir eleman tablosudur. Basit bir ifadeyle, bir sayı tablosu.

Tipik olarak matrisler büyük Latin harfleriyle gösterilir. Örneğin, matris A , matris B ve benzeri. Matrisler farklı boyutlarda olabilir: dikdörtgen, kare ve ayrıca vektör adı verilen satır ve sütun matrisleri de vardır. Matrisin boyutu satır ve sütun sayısına göre belirlenir. Örneğin, dikdörtgen boyutlu bir matris yazalım. M Açık N , Nerede M – satır sayısı ve N - sütun sayısı.

Hangi öğeler için ben=j (a11, a22, .. ) matrisin ana köşegenini oluşturur ve köşegen olarak adlandırılır.

Matrislerle ne yapabilirsiniz? Ekle/Çıkar, bir sayıyla çarpmak, kendi aralarında çoğalmak, devrik. Şimdi matrisler üzerindeki tüm bu temel işlemlere sırasıyla bakalım.

Matris toplama ve çıkarma işlemleri

Yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebileceğiniz konusunda sizi hemen uyaralım. Sonuç aynı boyutta bir matris olacaktır. Matrisleri eklemek (veya çıkarmak) basittir - sadece karşılık gelen öğeleri eklemeniz gerekir . Bir örnek verelim. A ve B boyutunda iki matrisin ikişer ikişer toplama işlemini gerçekleştirelim.

Çıkarma işlemi sadece zıt işaretle benzetme yoluyla yapılır.

Herhangi bir matris isteğe bağlı bir sayı ile çarpılabilir. Bunu yapmak için, elemanlarının her birini bu sayıyla çarpmanız gerekir. Örneğin, ilk örnekteki A matrisini 5 sayısıyla çarpalım:

Matris çarpma işlemi

Tüm matrisler birlikte çarpılamaz. Örneğin, iki matrisimiz var - A ve B. Bunlar ancak A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşitse birbirleriyle çarpılabilirler. Bu durumda ortaya çıkan matrisin i'inci satırda ve j'inci sütunda yer alan her bir öğesi, birinci faktörün i'inci satırında ve j'inci sütununda karşılık gelen öğelerin çarpımlarının toplamına eşit olacaktır. ikinci. Bu algoritmayı anlamak için iki kare matrisin nasıl çarpıldığını yazalım:

Ve gerçek sayılarla bir örnek. Matrisleri çarpalım:

Matris devrik işlemi

Matris aktarımı, karşılık gelen satır ve sütunların değiştirildiği bir işlemdir. Örneğin, ilk örnekteki A matrisinin transpozesini alalım:

Matris determinantı

Determinant veya determinant, doğrusal cebirin temel kavramlarından biridir. Bir zamanlar insanlar doğrusal denklemlerle geldiler ve onlardan sonra bir determinant bulmaları gerekiyordu. Sonuçta tüm bunlarla başa çıkmak size kalmış, yani son hamle!

Determinant, kare matrisin birçok problemi çözmek için gerekli olan sayısal bir özelliğidir.
En basit kare matrisin determinantını hesaplamak için, ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının çarpımları arasındaki farkı hesaplamanız gerekir.

Birinci dereceden yani tek elemanlı bir matrisin determinantı bu elemana eşittir.

Ya matris üçe üç ise? Bu daha zordur ama başarabilirsiniz.

Böyle bir matris için, determinantın değeri, ana köşegenin elemanlarının çarpımlarının ve ana köşegene paralel bir yüze sahip üçgenler üzerinde yer alan elemanların çarpımlarının toplamına eşittir; ikincil köşegenin elemanları ile paralel ikincil köşegenin yüzü ile üçgenler üzerinde yer alan elemanların çarpımı çıkarılır.

Neyse ki pratikte büyük boyutlu matrislerin determinantlarını hesaplamak nadiren gerekli olur.

Burada matrislerdeki temel işlemlere baktık. Elbette gerçek hayatta matris denklem sisteminin en ufak bir ipucuna bile rastlamayabilirsiniz veya tam tersine, gerçekten kafanızı karıştırmanız gerektiğinde çok daha karmaşık durumlarla karşılaşabilirsiniz. Bu tür durumlar için profesyonel öğrenci hizmetleri mevcuttur. Yardım isteyin, kaliteli ve detaylı çözüm bulun, akademik başarının ve boş zamanın tadını çıkarın.