Matris sıralaması. Matris sıralaması ve matris esası minör

Bir matrisin sırası önemli bir sayısal özelliktir. Bir matrisin rütbesini bulmayı gerektiren en tipik problem, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin tutarlılığını kontrol etmektir. Bu yazıda matris sıralaması kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Materyali daha iyi anlamak için çeşitli örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfada gezinme.

Bir matrisin rütbesinin ve gerekli ek kavramların belirlenmesi.

Bir matrisin rütbesinin tanımını dile getirmeden önce, küçük kavramını iyi anlamalısınız ve bir matrisin küçüklerini bulmak, determinantı hesaplama becerisi anlamına gelir. Bu nedenle, gerekirse makalenin teorisini, bir matrisin determinantını bulma yöntemlerini ve determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.

mertebesinden bir A matrisi alalım. k, m ve n sayılarının en küçüğünü aşmayan bir doğal sayı olsun; .

Tanım.

Küçük k'inci sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütunda yer alan A matrisinin elemanlarından oluşan sıralı bir kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin elemanlarının düzeni korunur.

Başka bir deyişle, A matrisinde (p–k) satırları ve (n–k) sütunları silersek ve geri kalan öğelerden, A matrisinin öğelerinin düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, o zaman determinantı ortaya çıkan matris, A matrisinin k mertebesinden bir minördür.

Bir örnek kullanarak matris minör tanımına bakalım.

Matris'i düşünün .

Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, bu durumda seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. . Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için A matrisinin birinci ve ikinci satırlarının yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarının da üzerini çizdik ve kalan elemandan bir determinant oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. .

Dikkate alınan birinci dereceden reşit olmayanların elde edilmesine ilişkin prosedürü açıklayalım
Ve .

Dolayısıyla bir matrisin birinci dereceden küçükleri matris elemanlarının kendisidir.

Birkaç ikinci dereceden küçükleri gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin birinci ve ikinci satırları, üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle ikinci dereceden bir minörümüz var . Bu minör, A matrisinin üçüncü satırı, birinci ve ikinci sütunları silinerek de oluşturulabilir.

A matrisinin ikinci dereceden bir diğer minörü ise .

Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim
Ve .

Benzer şekilde A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri de bulunabilir. A matrisinde yalnızca üç satır olduğundan hepsini seçiyoruz. Bu satırların ilk üç sütununu seçersek üçüncü dereceden bir minör elde ederiz.

A matrisinin son sütununun üzeri çizilerek de oluşturulabilir.

Başka bir üçüncü derece minör

A matrisinin üçüncü sütununun silinmesiyle elde edilir.

İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapımını gösteren bir resim
Ve .

Belirli bir A matrisi için üçüncüden daha yüksek dereceli küçükler yoktur, çünkü .

Mertebeden bir A matrisinin k'inci mertebeden kaç tane küçük elemanı vardır?

K dereceli reşit olmayanların sayısı şu şekilde hesaplanabilir: burada Ve - sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyonların sayısı.

p'ye n düzeyindeki A matrisinin k düzeyindeki tüm küçüklerini nasıl oluşturabiliriz?

Birçok matris satır numarasına ve birçok sütun numarasına ihtiyacımız olacak. Her şeyi yazıyoruz p elemanlarının k'ye göre kombinasyonları(k dereceli bir minör oluştururken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, k sütun numarasının n elemanının tüm kombinasyonlarını sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarından oluşan bu kombinasyonlar, k mertebesindeki tüm küçüklerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.

Bir örnekle bakalım.

Örnek.

Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.

Çözüm.

Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, ikinci dereceden küçüklerin toplamı şu şekilde olacaktır: .

A matrisinin 3 ila 2 satır sayısının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3 ila 2 sütun numarasının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alalım. Bu satırlar için sırasıyla birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek küçükleri elde ederiz.

Birinci ve üçüncü satırlar için benzer sütun seçenekleriyle şunu elde ederiz:

İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor:

Böylece, A matrisinin ikinci dereceden dokuz minörünün tümü bulundu.

Artık matrisin rütbesini belirlemeye geçebiliriz.

Tanım.

Matris sıralaması matrisin sıfır olmayan minörünün en yüksek mertebesidir.

A matrisinin rütbesi Rank(A) olarak gösterilir. Ayrıca Rg(A) veya Rang(A) isimlerini de bulabilirsiniz.

Matris rütbesi ve matris minör tanımlarından, sıfır matrisin sırasının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin sırasının birden az olmadığı sonucuna varabiliriz.

Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma.

Yani bir matrisin rütbesini bulmanın ilk yöntemi şudur: küçükleri sayma yöntemi. Bu yöntem matrisin rütbesinin belirlenmesine dayanmaktadır.

A mertebesinden bir matrisin rütbesini bulmamız gerekiyor.

Kısaca anlatalım algoritma reşit olmayanları numaralandırarak bu sorunu çözmek.

Matrisin sıfırdan farklı en az bir elemanı varsa, o zaman matrisin sıralaması en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir minör vardır).

Daha sonra ikinci dereceden küçüklere bakıyoruz. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşittir. İkinci dereceden sıfır olmayan en az bir küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden küçükleri numaralandırmaya devam ederiz ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.

Benzer şekilde, üçüncü dereceden tüm küçüklerin sıfır olması durumunda matrisin sıralaması ikidir. Sıfır dışında en az bir üçüncü dereceden küçük varsa, o zaman matrisin sırası en az üç olur ve dördüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçeriz.

Matrisin sıralamasının p ve n sayılarından en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.

Örnek.

Matrisin rütbesini bulun .

Çözüm.

Matris sıfırdan farklı olduğundan sıralaması birden az değildir.

İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır, dolayısıyla A matrisinin rütbesi en az ikidir. Üçüncü dereceden küçükleri saymaya devam ediyoruz. Bunların toplamı şeyler.

Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle matrisin rütbesi ikidir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma.

Daha az hesaplama çalışmasıyla sonucu elde etmenize olanak tanıyan bir matrisin rütbesini bulmanın başka yöntemleri de vardır.

Böyle bir yöntem kenar küçük yöntemi.

Hadi ilgilenelim kenar minör kavramı.

Eğer minör Mok'a karşılık gelen matris, minöre karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", A matrisinin (k+1)'inci mertebesindeki küçük bir M ok'un, A matrisinin k düzeyindeki küçük bir M ile komşu olduğu söylenir. M .

Başka bir deyişle, sınırdaki küçük M'ye karşılık gelen matris, sınırdaki küçük M ok'a karşılık gelen matristen bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek elde edilir.

Örneğin, matrisi düşünün ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım:

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanmaktadır (formülasyonunu kanıt olmadan sunuyoruz).

Teorem.

Eğer p'ye n düzeyindeki bir A matrisinin k'inci dereceden küçüklerini çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k+1) düzeyindeki tüm küçükleri sıfıra eşittir.

Bu nedenle, bir matrisin rütbesini bulmak için yeterince sınırlayıcı olan tüm küçüklerin üzerinden geçmek gerekli değildir. A mertebesinden bir matrisin k'inci mertebesinden küçük olanın sınırındaki küçüklerin sayısı aşağıdaki formülle bulunur: . A matrisinin k'inci derecedeki küçüklerinin sınırında, A matrisinin (k + 1) dereceli küçüklerinin sayısından daha fazla küçük olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçükleri basitçe numaralandırmaktan daha karlıdır.

Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin rütbesini bulmaya devam edelim. Kısaca anlatalım algoritma Bu method.

A matrisi sıfırdan farklıysa, A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir elemanını birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçüklere bakalım. Hepsi sıfıra eşitse matrisin rütbesi bire eşittir. Sıfırdan farklı en az bir sınırdaki küçük varsa (sıralaması ikidir), o zaman onun sınırdaki küçüklerini dikkate almaya devam ederiz. Hepsi sıfırsa Rank(A) = 2 olur. En az bir sınırdaki küçük sıfır değilse (sıralaması üçtür), o zaman onun sınırdaki küçüklerini dikkate alırız. Ve benzeri. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1)'inci mertebesindeki tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya olmayan bir matris varsa Rank(A) = min(p, n) sıranın küçük sınırındaki sıfır küçük (min( p, n) – 1) .

Bir örnek kullanarak bir matrisin rütbesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemine bakalım.

Örnek.

Matrisin rütbesini bulun küçükleri sınırlama yöntemiyle.

Çözüm.

A matrisinin a 1 1 elemanı sıfırdan farklı olduğundan, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan farklı bir sınırdaki küçük aramaya başlayalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir kenar minör bulunur. Sınırdaki küçüklere bakalım (onların şeyler):

İkinci dereceden minörün sınırındaki tüm minörler sıfıra eşittir, dolayısıyla A matrisinin rütbesi ikiye eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Örnek.

Matrisin rütbesini bulun sınırdaki küçükleri kullanmak.

Çözüm.

Birinci dereceden sıfır olmayan bir küçük olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden çevredeki minör sıfıra eşit değil. Bu küçük, üçüncü dereceden bir küçükle sınırlanmıştır
. Sıfıra eşit olmadığından ve onu çevreleyen tek bir minör olmadığından, A matrisinin rütbesi üçe eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 3 .

Temel matris dönüşümlerini kullanarak sıralamayı bulma (Gauss yöntemi).

Bir matrisin rütbesini bulmanın başka bir yolunu düşünelim.

Aşağıdaki matris dönüşümlerine temel denir:

• bir matrisin satırlarının (veya sütunlarının) yeniden düzenlenmesi;
• bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfırdan farklı rastgele bir k sayısıyla çarpılması;
• Bir satırın (sütun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

B matrisine A matrisinin eşdeğeri denir, eğer B, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A'dan elde ediliyorsa. Matrislerin denkliği “~” simgesiyle gösterilir yani A ~ B şeklinde yazılır.

Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: eğer B matrisi, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak A matrisinden elde ediliyorsa, Rank(A) = Rank(B) .

Bu ifadenin geçerliliği matrisin determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

• Bir matrisin satırları (veya sütunları) yeniden düzenlenirken determinantının işareti değişir. Sıfıra eşitse satırlar (sütunlar) yeniden düzenlendiğinde sıfıra eşit kalır.
• Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısı ile çarparken, elde edilen matrisin determinantı, orijinal matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm elemanlarını k sayısıyla çarptıktan sonra ortaya çıkan matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
• Bir matrisin belirli bir satırının (sütununun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının belirli bir k sayısıyla çarpılması, onun determinantını değiştirmez.

Temel dönüşüm yönteminin özü rütbesini bulmamız gereken matrisin, temel dönüşümleri kullanarak yamuk olana (belirli bir durumda üst üçgen olana) indirgenmesinden oluşur.

Bu neden yapılıyor? Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak çok kolaydır. En az bir sıfır olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve temel dönüşümler yapılırken matrisin sıralaması değişmediğinden, ortaya çıkan değer orijinal matrisin sıralaması olacaktır.

Dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin örneklerini veriyoruz. Görünümleri matrisin sırasına bağlıdır.

Bu resimler A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.

Hadi tarif edelim yöntem algoritması.

Sıfır olmayan bir A matrisinin (p, n'ye eşit olabilir) rütbesini bulmamız gerekiyor.

Bu yüzden, . A matrisinin ilk satırının tüm elemanlarını ile çarpalım. Bu durumda A(1) ile gösterilen eşdeğer bir matris elde ederiz:

Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Üçüncü satırın elemanlarına, ilk satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz. Ve bu şekilde p'inci satıra kadar devam eder. Eşdeğer bir matris alalım, onu A (2) olarak gösterelim:

Ortaya çıkan matrisin ikinciden p'ye kadar sıralarda yer alan tüm elemanları sıfıra eşitse, bu matrisin sırası bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sırası eşittir. birine.

İkinciden p'ye kadar olan satırlarda sıfır olmayan en az bir öğe varsa, dönüşümler yapmaya devam ederiz. Üstelik tamamen aynı şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca A (2) matrisinin şekilde işaretlenen kısmı ile.

Eğer öyleyse, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını “yeni” eleman sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz.

Matris sırası kavramıyla çalışmak için "Cebirsel tümleyenler ve küçükler. Küçüklerin ve cebirsel tümleyenlerin türleri" konusundan bilgiye ihtiyacımız olacak. Her şeyden önce bu, “matris minör” terimiyle ilgilidir, çünkü matrisin rütbesini tam olarak minörler aracılığıyla belirleyeceğiz.

Matris sıralaması sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu küçüklerin maksimum sırasıdır.

Eşdeğer matrisler- rütbeleri birbirine eşit olan matrisler.

Daha ayrıntılı olarak açıklayalım. İkinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olduğunu varsayalım. Ve mertebesi ikiden büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 2'dir. Veya örneğin onuncu sıranın küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Sırası 10'dan büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: Matrisin sırası 10'dur.

$A$ matrisinin sırası şu şekilde gösterilir: $\rang A$ veya $r(A)$. Sıfır matrisi $O$'ın sıralamasının sıfır olduğu varsayılır, $\rang O=0$. Size bir matris minör oluşturmak için satır ve sütunların üzerini çizmeniz gerektiğini, ancak matrisin içerdiğinden daha fazla satır ve sütunun üzerini çizmenin imkansız olduğunu hatırlatmama izin verin. Örneğin, $F$ matrisinin boyutu $5\times 4$ ise (yani 5 satır ve 4 sütun içeriyorsa), bu durumda küçüklerinin maksimum sırası dörttür. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturmak mümkün olmayacak çünkü 5 sütun gerektirecekler (ve elimizde sadece 4 tane var). Bu, $F$ matrisinin sıralamasının dörtten fazla olamayacağı anlamına gelir; $\rang F≤4$.

Daha genel bir biçimde, yukarıdaki, eğer bir matris $m$ satır ve $n$ sütun içeriyorsa, bu durumda onun sıralaması $m$ ve $n$'ın en küçüğünü aşamaz, yani. $\rang A≤\min(m,n)$.

Prensip olarak, rütbenin tanımından itibaren onu bulma yöntemi izlenir. Tanım gereği bir matrisin rütbesini bulma süreci şematik olarak aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Bu diyagramı daha detaylı açıklayayım. En baştan akıl yürütmeye başlayalım, yani. $A$ matrisinin birinci dereceden küçüklerinden.

1. Birinci dereceden tüm küçükler (yani, $A$ matrisinin elemanları) sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=0$. Birinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 1$ olur. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
2. İkinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, $\rang A=1$ olur. İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 2$ olur. Üçüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
3. Üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=2$. Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 3$ olur. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.
4. Eğer dördüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=3$. Dördüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 4$ olur. Beşinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçiyoruz vb.

Bu sürecin sonunda bizi neler bekliyor? K'inci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olması ve tüm (k+1) mertebeden küçüklerin sıfıra eşit olması mümkündür. Bu, k'nin, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tanenin bulunduğu, küçüklerin maksimum sırası olduğu anlamına gelir; rütbe k'ye eşit olacaktır. Farklı bir durum söz konusu olabilir: k'inci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak, ancak artık (k+1) mertebesinden küçüklerin oluşması mümkün olmayacaktır. Bu durumda matrisin rütbesi de k'ye eşittir. Kısacası, sıfır olmayan son minörün sırası matrisin sırasına eşit olacaktır.

Bir matrisin rütbesini bulma sürecinin tanımı gereği açıkça gösterileceği örneklere geçelim. Bu konudaki örneklerde matrislerin rütbesini sadece rütbe tanımını kullanarak bulmaya başlayacağımızı bir kez daha vurgulamak isterim. Diğer yöntemler (küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak, temel dönüşümler yöntemini kullanarak bir matrisin sıralamasını hesaplamak) aşağıdaki konularda tartışılmaktadır.

Bu arada, 1 ve 2 numaralı örneklerde yapıldığı gibi, sıralamayı bulma prosedürünü en küçük sıradaki küçüklerle başlatmak hiç de gerekli değildir. Hemen daha yüksek düzeydeki reşit olmayanlara geçebilirsiniz (bkz. örnek No. 3).

Örnek No.1

$A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matrisinin rütbesini bulun & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Bu matrisin boyutu $3\time 5$'dır, yani. üç satır ve beş sütun içerir. 3 ve 5 sayılarından minimumu 3'tür, bu nedenle $A$ matrisinin sıralaması 3'ten fazla değildir, yani. $\rang A≤ 3$. Ve bu eşitsizlik açıktır, çünkü artık dördüncü dereceden küçükler oluşturamayacağız - onlar 4 satır gerektiriyor ve bizde sadece 3 tane var. Doğrudan belirli bir matrisin rütbesini bulma sürecine geçelim.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfır olmayanlar vardır. Örneğin 5, -3, 2, 7. Genel olarak sıfır olmayan elemanların toplam sayısıyla ilgilenmiyoruz. Sıfır olmayan en az bir öğe var ve bu yeterli. Birinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane olduğundan, $\rang A≥ 1$ olduğu sonucuna varırız ve ikinci dereceden küçükleri kontrol etmeye devam ederiz.

İkinci dereceden küçükleri keşfetmeye başlayalım. Örneğin, 1, No. 2 satırları ve 1, No. 4 numaralı sütunların kesişiminde şu küçük öğenin öğeleri vardır: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. Bu determinant için ikinci sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, dolayısıyla determinantın kendisi de sıfıra eşittir, yani. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların özellikleri konusundaki 3 numaralı özelliğe bakın). Veya bu determinantı, ikinci ve üçüncü dereceden determinantların hesaplanması bölümündeki 1 numaralı formülü kullanarak kolayca hesaplayabilirsiniz:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Test ettiğimiz ilk ikinci dereceden minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. Bu ne anlama gelir? İkinci dereceden küçükleri daha fazla kontrol etme ihtiyacı hakkında. Ya hepsi sıfır olacak (ve sonra sıralama 1'e eşit olacak) ya da aralarında sıfırdan farklı en az bir küçük olacak. Öğeleri 1 numaralı, 2 numaralı satırlar ile 1 ve 5 numaralı sütunların kesişiminde bulunan ikinci dereceden bir minör yazarak daha iyi bir seçim yapmaya çalışalım: $\left|\begin( dizi)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Bu ikinci dereceden minörün değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minör sıfıra eşit değil. Sonuç: İkinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır. Bu nedenle $\rang A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçükleri incelemeye geçmeliyiz.

Üçüncü dereceden küçükler oluşturmak için 2 numaralı sütunu veya 4 numaralı sütunu seçersek, bu tür küçükler sıfıra eşit olacaktır (çünkü sıfır sütunu içereceklerdir). Elemanları 1, 3, 5 numaralı sütunların ve 1, 2, 3 numaralı satırların kesişme noktasında bulunan yalnızca üçüncü dereceden bir minörü kontrol etmek kalır. Bu minörü yazıp değerini bulalım:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Yani üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir. Derlediğimiz sıfır olmayan son minör ikinci derecedendi. Sonuç: Aralarında sıfır olmayan en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırası 2'dir. Bu nedenle $\rang A=2$.

Cevap: $\rang A=2$.

Örnek No.2

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matrisinin rütbesini bulun \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Dördüncü dereceden bir kare matrisimiz var. Bu matrisin rütbesinin 4'ü geçmediğini hemen belirtelim. $\rang A≤ 4$. Matrisin rütbesini bulmaya başlayalım.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, dolayısıyla $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim. Örneğin, 2 No.lu, 3 No.lu satırlar ile 1 No.lu ve 2 No.lu sütunların kesişiminde, aşağıdaki ikinci dereceden küçük değeri elde ederiz: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Hadi hesaplayalım:

$$\sol| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 2$.

Üçüncü dereceden küçüklere geçelim. Örneğin, elemanları 1, 3, 4 numaralı satırların ve 1, 2, 4 numaralı sütunların kesişiminde bulunan bir minör bulalım:

$$\sol | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Bu üçüncü derece minörün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktığı için başka bir üçüncü derece minörün araştırılması gerekir. Ya hepsi sıfıra eşit olacak (o zaman sıralama 2'ye eşit olacak) ya da aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak (o zaman dördüncü dereceden küçükleri incelemeye başlayacağız). Elemanları 2, 3, 4 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında bulunan üçüncü dereceden bir minör ele alalım:

$$\sol| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane vardır, yani $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye geçelim.

Dördüncü dereceden herhangi bir küçük, $A$ matrisinin dört satırının ve dört sütununun kesişiminde bulunur. Başka bir deyişle, dördüncü dereceden küçük, $A$ matrisinin determinantıdır, çünkü bu matris 4 satır ve 4 sütun içerir. Bu matrisin determinantı, "Determinantın sırasının azaltılması. Determinantın bir satırda (sütun) ayrıştırılması" konusunun 2 numaralı örneğinde hesaplanmıştır, o halde hadi bitmiş sonucu alalım:

$$\sol| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (dizi)\sağ|=86. $$

Yani dördüncü dereceden minör sıfıra eşit değil. Artık beşinci dereceden reşit olmayanlar oluşturamıyoruz. Sonuç: Aralarında sıfırdan farklı en az bir kişinin bulunduğu küçüklerin en yüksek sırası 4'tür. Sonuç: $\rang A=4$.

Cevap: $\rang A=4$.

Örnek No.3

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matrisinin rütbesini bulun \end( dizi) \right)$.

Hemen bu matrisin 3 satır ve 4 sütun içerdiğini, yani $\rang A≤ 3$ olduğunu belirtelim. Önceki örneklerde sıralamayı bulma sürecine en küçük (birinci) mertebeden küçükleri dikkate alarak başladık. Burada reşit olmayanları mümkün olan en yüksek düzende hemen kontrol etmeye çalışacağız. $A$ matrisi için bunlar üçüncü dereceden küçüklerdir. Öğeleri 1, 2, 3 numaralı satırların ve 2, 3, 4 numaralı sütunların kesişme noktasında yer alan üçüncü dereceden bir minör ele alalım:

$$\sol| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Yani, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane bulunan en yüksek minör sırası 3'tür. Bu nedenle matrisin rütbesi 3'tür, yani. $\rang A=3$.

Cevap: $\rang A=3$.

Genel olarak, bir matrisin rütbesini tanım gereği bulmak, genel durumda oldukça emek yoğun bir iştir. Örneğin, $5\time 4$ boyutunda nispeten küçük bir matrisin 60 ikinci dereceden küçükleri vardır. Ve bunlardan 59'u sıfıra eşit olsa bile, 60. minör sıfırdan farklı olabilir. O zaman bu matrisin 40 parçasından oluşan üçüncü dereceden küçükleri incelemeniz gerekecek. Genellikle küçüklerin sınırlanması yöntemi veya eşdeğer dönüşüm yöntemi gibi daha az hantal yöntemler kullanmaya çalışırlar.

>>Matris sıralaması

Matris sıralaması

Bir matrisin rütbesini belirleme

Dikdörtgensel bir matris düşünün. Bu matriste keyfi olarak seçim yaparsak kçizgiler ve k sütunlar seçilirse, seçilen satır ve sütunların kesişimindeki öğeler k'inci mertebeden bir kare matris oluşturur. Bu matrisin determinantına denir k'inci dereceden küçük A matrisi. Açıkçası, A matrisinin 1'den m ve n sayılarının en küçüğüne kadar herhangi bir düzende küçükleri vardır. A matrisinin sıfırdan farklı tüm küçükleri arasında, sırası en büyük olan en az bir küçük vardır. Belirli bir matrisin sıfırdan farklı küçük derecelerinin en büyüğüne denir rütbe matrisler. A matrisinin rütbesi ise R, bu, A matrisinin sıfırdan farklı bir mertebeye sahip olduğu anlamına gelir R, ancak her küçük mertebeden büyük R, sıfıra eşittir. A matrisinin sırası r(A) ile gösterilir. Açıkçası, ilişki devam ediyor

Küçükleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Matrisin sırası ya küçüklerin sınırlanması yöntemiyle ya da temel dönüşüm yöntemiyle bulunur. Birinci yöntemi kullanarak bir matrisin sırasını hesaplarken, düşük dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru hareket etmelisiniz. A matrisinin k'inci dereceden sıfırdan farklı bir küçük D'si zaten bulunmuşsa, o zaman yalnızca küçük D'yi çevreleyen (k+1) sıradaki küçüklerin hesaplanması gerekir, yani. onu reşit olmayan bir çocuk olarak içeriyor. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası eşittir k.

Örnek 1.Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulun

.

Çözüm.1. dereceden küçüklerle başlıyoruz, yani. A matrisinin elemanlarından. Örneğin, ilk satırda ve ilk sütunda yer alan bir küçük (element) M 1 = 1'i seçelim. İkinci sıra ve üçüncü sütunun yardımıyla sınırlayarak sıfırdan farklı bir küçük M 2 = elde ederiz. Şimdi M2 sınırındaki 3. dereceden küçüklere dönüyoruz. Bunlardan yalnızca iki tane var (ikinci veya dördüncü bir sütun ekleyebilirsiniz). Bunları hesaplayalım: = 0. Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçüklerin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. A matrisinin rütbesi ikidir.

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

İlköğretimAşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna), belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satıra (veya sütuna) ekleme.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde ediliyorsa.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğer ise şu şekilde yazılır: A~B.

KanonikBir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç tanenin bulunduğu (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

.

Satır ve sütunların temel dönüşümleri kullanılarak herhangi bir matris kanonik hale getirilebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm.İkinci satırdan birinciyi çıkarın ve şu satırları yeniden düzenleyin:

.

Şimdi ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarıyoruz:

;

birincisini üçüncü satırdan çıkarın; bir matris elde ederiz

B = ,

A matrisine eşdeğerdir, çünkü ondan sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde edilir. Açıkçası, B matrisinin rütbesi 2'dir ve dolayısıyla r(A)=2'dir. Matris B kolaylıkla kanonik hale indirgenebilir. Uygun sayılarla çarpılan ilk sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ilk satırın ilk hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve geri kalan satırların öğeleri değişmez. Daha sonra, uygun sayılarla çarpılan ikinci sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ikinci satırın ikinci hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve kanonik matrisi elde ederiz:

.

A'nın m\çap n boyutunda bir matris ve k'nın m ve n'yi aşmayan bir doğal sayı olduğunu varsayalım: k\leqslant\min\(m;n\). Küçük k'inci sıra A matrisi, A matrisinin keyfi olarak seçilmiş k satır ve k sütunlarının kesişimindeki elemanlar tarafından oluşturulan k'inci dereceden bir matrisin determinantıdır. Küçükleri belirtirken, seçilen satırların numaralarını üst endeks olarak, seçilen sütunların numaralarını ise alt endeks olarak artan sırada düzenleyerek göstereceğiz.

Örnek 3.4. Matrisin farklı derecelerindeki küçükleri yazın

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Çözüm. Matris A'nın boyutları 3\times4'tür. Şunlara sahiptir: 1. dereceden 12 küçük, örneğin küçük M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2. dereceden küçükler, örneğin, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 3. dereceden küçükler, örneğin,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Boyutları m\times n olan bir A matrisinde, r'inci dereceden küçük olana denir temel, sıfır değilse ve (r+1)-ro sırasının tüm küçükleri sıfıra eşitse veya hiç mevcut değilse.

Matris sıralaması temel minörün sırası denir. Sıfır matrisinde minör tabanı yoktur. Bu nedenle sıfır matrisinin rütbesi tanım gereği sıfıra eşittir. A matrisinin sırası şu şekilde gösterilir: \operatöradı(rg)A.

Örnek 3.5. Tüm temel küçükleri ve matris sıralamasını bulun

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Çözüm. Bu determinantların üçüncü satırı sıfır olduğundan, bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfıra eşittir. Bu nedenle, matrisin yalnızca ilk iki satırında yer alan ikinci dereceden bir minör temel olabilir. 6 olası küçük arasından geçerek sıfır olmayanı seçiyoruz

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Bu beş küçükten her biri temeldir. Bu nedenle matrisin rütbesi 2'dir.

Notlar 3.2

1. Bir matristeki k'inci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, daha yüksek dereceli küçükler de sıfıra eşit olur. Aslında (k+1)-ro mertebesinin minörünü herhangi bir satıra genişleterek, bu sıranın elemanlarının k'inci mertebeden minörlerle çarpımının toplamını elde ederiz ve bunlar sıfıra eşittir.

2. Bir matrisin rütbesi, bu matrisin sıfır olmayan minörünün en yüksek mertebesine eşittir.

3. Bir kare matris tekil değilse rütbesi mertebesine eşittir. Bir kare matris tekil ise sıralaması mertebesinden küçüktür.

4. Unvanlar aynı zamanda rütbe için de kullanılır \operatöradı(Rg)A,~ \operatöradı(rang)A,~ \operatöradı(rank)A.

5. Blok matris sıralaması normal (sayısal) bir matrisin sırası olarak tanımlanır, yani blok yapısından bağımsız olarak. Bu durumda, bir blok matrisinin sıralaması, bloklarının sıralamasından daha az değildir: \operatöradı(rg)(A\mid B)\geqslant\operatöradı(rg)A Ve \operatöradı(rg)(A\mid B)\geqslant\operatöradı(rg)Bçünkü A (veya B) matrisinin tüm küçükleri aynı zamanda (A\mid B) blok matrisinin de küçükleridir.

Minör bazında ve matrisin rütbesine ilişkin teoremler

Bir matrisin sütunlarının (satırlarının) doğrusal bağımlılığının ve doğrusal bağımsızlığının özelliklerini ifade eden ana teoremleri ele alalım.

Teorem 3.1 minör bazında. Rastgele bir A matrisinde, her bir sütun (satır), temelin bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.

Aslında, genelliği kaybetmeden, m\çap n boyutunda bir A matrisinde küçük temelin ilk r satır ve ilk r sütunda yer aldığını varsayıyoruz. Belirleyiciyi düşünün

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

s'inci satır ve k'inci sütunun karşılık gelen elemanlarının A matrisinin temel minörüne atanmasıyla elde edilir. Herhangi biri için şunu unutmayın 1\leqslant s\leqslant m ve bu determinant sıfıra eşittir. Eğer s\leqslant r veya k\leqslant r ise, o zaman determinant D iki özdeş satır veya iki özdeş sütun içerir. Eğer s>r ve k>r ise, (r+l)-ro mertebesinin minörü olduğundan D determinantı sıfıra eşittir. Determinantı son çizgi boyunca genişleterek şunu elde ederiz:

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

burada D_(r+1\,j) son satırın elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarıdır. Bu bir temel küçük olduğundan D_(r+1\,r+1)\ne0 olduğuna dikkat edin. Bu yüzden

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Nerede \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1))),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

onlar. k'inci sütun (herhangi bir 1\leqslant k\leqslant n) küçük tabanın sütunlarının doğrusal birleşimidir, bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Temel minör teoremi aşağıdaki önemli teoremlerin kanıtlanmasına hizmet eder.

Determinantın sıfır olması koşulu

Teorem 3.2 (determinantın sıfır olması için gerekli ve yeterli koşul). Bir determinantın sıfıra eşit olması için sütunlarından birinin (satırlarından birinin) geri kalan sütunların (satırların) doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Aslında zorunluluk, küçük teoremin temelinden kaynaklanır. Eğer n mertebesindeki bir kare matrisin determinantı sıfıra eşitse, bu durumda rütbesi n'den küçüktür, yani. en az bir sütun temel minöre dahil değildir. O halde Teorem 3.1'e göre seçilen bu sütun, temel minörün bulunduğu sütunların doğrusal bir birleşimidir. Gerekirse bu kombinasyona sıfır katsayılı diğer sütunları ekleyerek, seçilen sütunun matrisin geri kalan sütunlarının doğrusal bir birleşimi olduğunu elde ederiz. Yeterlilik determinantın özelliklerinden kaynaklanır. Örneğin, determinantın son sütunu A_n ise \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) geri kalanı aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

daha sonra A_n'ye A_1 sütununun (-\lambda_1) çarpımını, ardından A_2 sütununun (-\lambda_2) çarpımını vb. ekleyin. A_(n-1) sütunu (-\lambda_(n-1)) ile çarpıldığında determinantı elde ederiz \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) sıfıra eşit bir boş sütunla (determinantın özelliği 2).

Temel dönüşümler altında matris sıralamasının değişmezliği

Teorem 3.3 (temel dönüşümler altında rütbenin değişmezliği hakkında). Bir matrisin sütunlarının (satırlarının) temel dönüşümleri sırasında sıralaması değişmez.

Gerçekten öyle olsun. A matrisinin sütunlarının bir temel dönüşümünün sonucu olarak A" matrisini elde ettiğimizi varsayalım. Eğer bir I. tip dönüşüm gerçekleştirilmişse (iki sütunun permütasyonu), o zaman mertebeden herhangi bir küçük (r+l)-ro A" matrisinin değeri ya A matrisinin mertebesindeki karşılık gelen minör (r+l)-ro'ya eşittir ya da işareti bakımından ondan farklıdır (determinantın özelliği 3). Eğer II. tip bir dönüşüm gerçekleştirilmişse (sütun \lambda\ne0 sayısıyla çarpılırsa), o zaman A" matrisinin mertebesindeki herhangi bir küçük (r+l)-ro, karşılık gelen küçük (r+l) değerine eşit olur - A matrisinin mertebesinden veya ondan farklı faktör \lambda\ne0 (determinantın özelliği 6). Tip III bir dönüşüm gerçekleştirilmişse (bir sütuna başka bir sütunun \Lambda sayısıyla çarpılmasıyla), o zaman herhangi A" matrisinin (r+1)'inci mertebesinin minörü ya A matrisinin karşılık gelen minör (r+1)'inci mertebesine (determinantın 9 özelliği) eşittir ya da ikinin toplamına eşittir A matrisinin mertebesinden küçükler (r+l)-ro (determinantın özelliği 8). Bu nedenle, herhangi bir türdeki temel dönüşüm altında, A" matrisinin mertebesindeki tüm küçükler (r+l)-ro sıfıra eşittir, çünkü A matrisinin mertebesindeki tüm küçükler (r+l)-ro, sıfıra eşittir.Böylece, sütunların temel dönüşümleri altında sıra matrisinin artamayacağı kanıtlanmıştır.Temel olanlara ters dönüşümler temel olduğundan, sütunların temel dönüşümleri altında matrisin sırası azalamaz, yani. değişmez. Benzer şekilde satırların elemanter dönüşümleri altında matrisin rütbesinin değişmediği kanıtlanmıştır.

Sonuç 1. Bir matrisin bir satırı (sütun) diğer satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimi ise, o zaman bu satır (sütun), sıralamasını değiştirmeden matristen silinebilir.

Aslında böyle bir dizi, temel dönüşümler kullanılarak sıfır yapılabilir ve sıfır dizisi, temel minöre dahil edilemez.

Sonuç 2. Matris en basit forma (1.7) indirgenirse, o zaman

\operatöradı(rg)A=\operatöradı(rg)\Lambda=r\,.

Aslında, en basit formdaki (1.7) matrisin r'inci dereceden bir minör tabanı vardır.

Sonuç 3. Tekil olmayan herhangi bir kare matris temeldir, başka bir deyişle tekil olmayan herhangi bir kare matris, aynı dereceden bir birim matrise eşdeğerdir.

Aslında, eğer A n'inci dereceden tekil olmayan bir kare matris ise, o zaman \operatöradı(rg)A=n(bkz. yorum 3.2 paragraf 3). Bu nedenle, A matrisini temel dönüşümlerle en basit forma (1.7) getirerek \Lambda=E_n birim matrisini elde ederiz, çünkü \operatöradı(rg)A=\operatöradı(rg)\Lambda=n(bkz. Sonuç 2). Bu nedenle, A matrisi E_n birim matrisine eşdeğerdir ve sonlu sayıda temel dönüşümün bir sonucu olarak ondan elde edilebilir. Bu, A matrisinin temel olduğu anlamına gelir.

Teorem 3.4 (matrisin sırası hakkında). Bir matrisin rütbesi, bu matrisin doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısına eşittir.

Aslında izin ver \operatöradı(rg)A=r. O halde A matrisinin r adet doğrusal bağımsız satırı vardır. Bunlar temel minörün bulunduğu çizgilerdir. Eğer bunlar doğrusal olarak bağımlı olsaydı, bu küçük, Teorem 3.2'ye göre sıfıra eşit olurdu ve A matrisinin rütbesi r'ye eşit olmazdı. r'nin doğrusal olarak bağımsız satırların maksimum sayısı olduğunu gösterelim; herhangi bir p satırı p>r için doğrusal olarak bağımlıdır. Aslında B matrisini bu p satırlardan oluşturuyoruz. B matrisi A matrisinin bir parçası olduğundan, o zaman \operatöradı(rg)B\leqslant \operatöradı(rg)A=r

Bu, B matrisinin en az bir satırının bu matrisin temel minörüne dahil olmadığı anlamına gelir. Daha sonra temel minör teoremine göre, temel minörün bulunduğu satırların doğrusal kombinasyonuna eşittir. Bu nedenle B matrisinin satırları doğrusal bağımlıdır. Dolayısıyla A matrisinin en fazla r doğrusal bağımsız satırı vardır.

Sonuç 1. Bir matristeki maksimum doğrusal bağımsız satır sayısı, maksimum doğrusal bağımsız sütun sayısına eşittir:

\operatöradı(rg)A=\operatöradı(rg)A^T.

Bu ifade, eğer bunu transpoze edilmiş bir matrisin satırlarına uygularsak ve minörlerin transpozisyon sırasında değişmediğini (determinantın 1 özelliği) dikkate alırsak, Teorem 3.4'ten gelir.

Sonuç 2. Bir matrisin satırlarının temel dönüşümleri sırasında, bu matrisin herhangi bir sütun sisteminin doğrusal bağımlılığı (veya doğrusal bağımsızlığı) korunur.

Aslında, belirli bir A matrisinin herhangi bir k sütununu seçip bunlardan B matrisini oluşturalım. A matrisinin satırlarının temel dönüşümleri sonucunda A" matrisi elde edilsin ve B matrisinin satırlarının aynı dönüşümleri sonucunda B" matrisi elde edilsin. Teorem 3.3'e göre \operatöradı(rg)B"=\operatöradı(rg)B. Bu nedenle, B matrisinin sütunları doğrusal olarak bağımsız olsaydı; k=\operatöradı(rg)B(bkz. Sonuç 1), bu durumda B" matrisinin sütunları da doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü k=\operatöradı(rg)B". B matrisinin sütunları doğrusal olarak bağımlı olsaydı (k>\operatöradı(rg)B) ise B" matrisinin sütunları da doğrusal olarak bağımlıdır (k>\operatöradı(rg)B"). Sonuç olarak, A matrisinin herhangi bir sütunu için, temel satır dönüşümleri altında doğrusal bağımlılık veya doğrusal bağımsızlık korunur.

Notlar 3.3

1. Teorem 3.4'ün Sonuç 1'ine göre, Sonuç 2'de belirtilen sütunların özelliği, temel dönüşümlerin yalnızca sütunları üzerinde gerçekleştirilmesi durumunda herhangi bir matris satır sistemi için de geçerlidir.

2. Teorem 3.3'ün Sonuç 3'ü aşağıdaki şekilde geliştirilebilir: tekil olmayan herhangi bir kare matris, yalnızca satırlarının (veya yalnızca sütunlarının) temel dönüşümleri kullanılarak aynı düzende bir birim matrise indirgenebilir.

Aslında, yalnızca temel satır dönüşümleri kullanılarak, herhangi bir A matrisi basitleştirilmiş \Lambda biçimine indirgenebilir (Şekil 1.5) (bkz. Teorem 1.1). A matrisi tekil olmadığı için (\det(A)\ne0), sütunları doğrusal olarak bağımsızdır. Bu, \Lambda matrisinin sütunlarının da doğrusal olarak bağımsız olduğu anlamına gelir (Teorem 3.4'ün Sonuç 2'si). Bu nedenle, tekil olmayan bir A matrisinin basitleştirilmiş formu \Lambda, onun en basit formuyla örtüşür (Şekil 1.6) ve birim matris \Lambda=E'dir (bkz. Teorem 3.3'ün Sonuç 3'ü). Böylece tekil olmayan bir matrisin yalnızca satırları dönüştürülerek birim matrise indirgenebilir. Benzer bir mantık, tekil olmayan bir matrisin sütunlarının elemanter dönüşümleri için de geçerlidir.

Çarpım sıralaması ve matrislerin toplamı

Teorem 3.5 (matrislerin çarpımının mertebesine göre). Matrislerin çarpımının sırası, faktörlerin sırasını aşmaz:

\operatöradı(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatöradı(rg)A,\operatöradı(rg)B\).

Aslında, A ve B matrislerinin boyutları m\times p ve p\times n olsun. A matrisine matrisi atayalım C=AB\iki nokta üst üste\,(A\orta C). elbette ki \operatöradı(rg)C\leqslant\operatöradı(rg)(A\mid C) C, matrisin bir parçası olduğundan (A\orta C) (bkz. açıklama 3.2 paragraf 5). Matris çarpım işlemine göre her C_j sütununun, sütunların doğrusal bir birleşimi olduğuna dikkat edin. A_1,A_2,\ldots,A_p matrisler A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Böyle bir sütun, sırası değiştirilmeden matristen (A\orta C) silinebilir (Teorem 3.3'ün Sonuç 1'i). C matrisinin tüm sütunlarının üzerini çizerek şunu elde ederiz: \operatöradı(rg)(A\mid C)=\operatöradı(rg)A. Buradan, \operatöradı(rg)C\leqslant\operatöradı(rg)(A\mid C)=\operatöradı(rg)A. Benzer şekilde koşulun eş zamanlı olarak sağlandığını kanıtlayabiliriz. \operatöradı(rg)C\leqslant\operatöradı(rg)B ve teoremin geçerliliği hakkında bir sonuca varın.

Sonuçlar. Eğer A tekil olmayan bir kare matristir, o halde \operatöradı(rg)(AB)= \operatöradı(rg)B Ve \operatöradı(rg)(CA)=\operatöradı(rg)C yani Bir matrisin sıralaması, tekil olmayan bir kare matrisle soldan veya sağdan çarpıldığında değişmez.

Matris toplamlarının mertebesine ilişkin Teorem 3.6. Matrislerin toplamının sırası, terimlerin sıralarının toplamını aşmaz:

\operatöradı(rg)(A+B)\leqslant \operatöradı(rg)A+\operatöradı(rg)B.

Aslında bir matris oluşturalım (A+B\orta A\orta B). A+B matrisinin her sütununun, A ve B matrislerinin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olduğuna dikkat edin. Bu yüzden \operatöradı(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatöradı(rg)(A\mid B). Matristeki doğrusal bağımsız sütun sayısının (A\mid B) geçmediği dikkate alındığında \operatöradı(rg)A+\operatöradı(rg)B, A \operatöradı(rg)(A+B)\leqslant \operatöradı(rg)(A+B\mid A\mid B)(bkz. Açıklamalar 3.2, bölüm 5), eşitsizliğin kanıtlandığını elde ederiz.

\((m,n)\) türünde bir \(A\) matrisi düşünün. Kesinlik için \(m \leq n\) olsun. \(m\) satır alalım ve \(A\) matrisinin \(m\) sütununu seçelim, bu satır ve sütunların kesişiminde determinantı \(m\) düzeyinde bir kare matris elde ederiz. denir küçük sipariş \(m\) matrisler \(A\). Bu minör 0'dan farklı ise buna denir. temel yan dal ve \(A\) matrisinin rütbesinin \(m\)'ye eşit olduğunu söylüyorlar. Bu determinant 0'a eşitse, diğer \(m\) sütunları seçilir, bunların kesişiminde \(m\) mertebesinden başka bir küçük oluşturan öğeler vardır. Eğer minör 0 ise işleme devam ediyoruz. Eğer \(m\) mertebesinden tüm olası küçükler arasında sıfırdan farklı bir tane yoksa, \(A\) matrisinden \(m-1\) satır ve sütunları seçeriz; bunların kesişiminde \(m-) mertebesinden bir kare matris seçeriz. 1\) göründüğünde, determinantına orijinal matrisin \(m-1\) mertebesinden bir minör denir. Prosedüre devam ederek sıfır olmayan bir küçük arıyoruz, olası tüm küçükleri gözden geçirerek sıralarını düşürüyoruz.

Tanım.

Belirli bir matrisin en yüksek mertebeden sıfır olmayan minörüne denir temel yan dal orijinal matrisin sırası denir rütbe Kesişme noktalarında bir temel küçük bulunan matrisler \(A\), satırlar ve sütunlara temel satırlar ve sütunlar denir. Bir matrisin rütbesi \(rang(A)\) ile gösterilir.

Bu tanımdan bir matrisin rütbesinin basit özellikleri izlenebilir: matris bir tam sayıdır ve sıfır olmayan bir matrisin rütbesi eşitsizlikleri karşılar: \(1 \leq rütbe(A) \leq \min(m,n)\ ).

Bir satır silinirse matrisin sıralaması nasıl değişir? Biraz satır ekle?

Cevabı kontrol et

1) Sıralama 1 düşebilir.

2) Sıralama 1 birim artabilir.

\(A\) \((m,n)\) tipinde bir matris olsun. \(A\) matrisinin sütunlarını düşünün; bunların her biri \(m\) sayıdan oluşan sütunlardır. Bunları \(A_1,A_2,...,A_n\) olarak gösterelim. \(c_1,c_2,...,c_n\) bazı sayılar olsun.

Tanım.

\[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] sütununa, sütunlar \(A_1,A_2,...,A_n\), sayılar \('ın doğrusal birleşimi denir c_1,c_2 ,...,c_n\) bu doğrusal birleşimin katsayıları olarak adlandırılır.

Tanım.

\(p\) sütunları \(A_1, A_2, ..., A_p\) verilsin. Eğer \(c_1,c_2,...,c_p\) sayıları varsa, öyle ki

1. bu sayıların hepsi sıfıra eşit değil,

2. \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) doğrusal kombinasyonu sıfır sütununa (yani tüm elemanları sıfır olan bir sütun) eşitse, o zaman sütunlara şunu söyleriz: \( A_1, A_2, ..., A_p\) doğrusal olarak bağımlıdır. Belirli bir sütun kümesi için \(c_1,c_2,...,c_n\) gibi sayılar mevcut değilse, sütunlara doğrusal bağımsız denir.

Örnek. 2 sütunu düşünün

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] o zaman herhangi bir \(c_1,c_2\) sayısı için şunu elde ederiz: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Bu doğrusal kombinasyon, ancak ve ancak her iki \(c_1,c_2\) sayısının da sıfıra eşit olması durumunda sıfır sütununa eşittir. Dolayısıyla bu sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır.

İfade. Sütunların doğrusal bağımlı olabilmesi için bir tanesinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

\(A_1,A_2,...,A_m\) sütunlarının doğrusal bağımlı olmasına izin verin, yani. Tamamı 0'a eşit olmayan bazı sabitler \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\) için aşağıdakiler geçerlidir: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (sağ tarafta sıfır sütunu var). Örneğin \(\lambda _1 \neq 0\) olsun. Sonra \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] yani. ilk sütun diğerlerinin doğrusal birleşimidir.

Sıfır olmayan herhangi bir matris \(A\) için aşağıdakiler doğrudur:

1. Temel sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Herhangi bir matris sütunu, temel sütunlarının doğrusal birleşimidir.

(Aynı şey dizeler için de geçerlidir).

Kesinlik açısından, \((m,n)\) \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) matrisinin türü olsun ve küçük temel ilk \(r'de yer alsın) \) satır ve sütun matrisleri \(A\). \(s\) 1 ile \(m\ arasında herhangi bir sayı olsun), \(k\) 1 ile \(n\) arasında herhangi bir sayı olsun. Aşağıdaki formun küçük bir kısmını düşünün: \[ D=\left| \begin(array)(cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] yani \(s-\)'inci sütunu ve \(k-\)'inci satırı temel minöre atadık. Bir matrisin derecesinin tanımı gereği, bu determinant sıfıra eşittir (eğer \(s\leq r\) veya \(k \leq r\'yi seçersek), bu durumda bu minörün 2 özdeş sütunu veya 2 özdeş satırı vardır, eğer \(s>r\) ve \(k>r\) - rütbe tanımı gereği, \(r\)'den büyük olan küçük değer sıfır olur). Bu determinantı son satır boyunca genişletirsek şunu elde ederiz: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \dört \dört(16) \]

Burada \(A_(kp)\) sayıları alt satırdaki \(D\) elemanların cebirsel tamamlayıcılarıdır. Değerleri \(k\)'ye bağlı değildir çünkü ilk \(r\) satırındaki elemanlar kullanılarak oluşturulur. Bu durumda \(A_(ks)\) değeri 0'dan farklı bir temel minördür. \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)'i gösterelim. =c_s \neq 0 \). (16)'yı yeni gösterimle yeniden yazalım: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] veya \(c_s\)'ye bölerek, \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Bu eşitlik herhangi bir \(k\ değeri için geçerlidir) dolayısıyla \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ .................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Yani \(s-\)'inci sütun, ilk \(r\) sütunun doğrusal birleşimidir. Teorem kanıtlandı.

Yorum.

Temel küçük teoremden, bir matrisin rütbesinin doğrusal olarak bağımsız sütunlarının sayısına (doğrusal olarak bağımsız satırların sayısına eşit) eşit olduğu sonucu çıkar.

Sonuç 1.

Determinant sıfırsa, diğer sütunların doğrusal birleşimi olan bir sütunu vardır.

Sonuç 2.

Bir matrisin rütbesi sütun sayısından küçükse, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Bazı matris dönüşümleri sırasını değiştirmez. Bu tür dönüşümlere temel denilebilir. Karşılık gelen gerçekler, determinantların özellikleri kullanılarak ve bir matrisin derecesi belirlenerek kolayca doğrulanabilir.

1. Sütunların yeniden düzenlenmesi.

2. Herhangi bir sütunun elemanlarını sıfırdan farklı bir faktörle çarpmak.

3. Herhangi bir sütunun herhangi bir sayıyla çarpılarak bir sütuna eklenmesi.

4. Sıfır sütununun üzerini çizin.

Aynı şey dizeler için de geçerlidir.

Bu dönüşümleri kullanarak matris, ana köşegenin altında yalnızca sıfırların bulunduğu "yamuk" formuna dönüştürülebilir. Bir "yamuk" matris için, sıra ana köşegen üzerindeki sıfır olmayan elemanların sayısıdır ve temel küçük, köşegeni dönüştürülmüş matrisin ana köşegeni üzerindeki sıfır olmayan elemanlar kümesiyle çakışan küçük olandır.

Örnek. Matris'i düşünün

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right). \] Yukarıdaki dönüşümleri kullanarak dönüştüreceğiz. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(dizi)\sağ). \]

Burada sırasıyla şu adımları gerçekleştiriyoruz: 1) ikinci satırı en üste yeniden düzenleyin, 2) ilk satırı uygun bir faktörle geri kalanlardan çıkarın, 3) ikinci satırı üçüncü satırdan 4 kez çıkarın, ikinci satırı ikinci satıra ekleyin. dördüncü, 4) sıfır çizgilerinin üzerini çizin - üçüncü ve dördüncü . Son matrisimiz istenilen şekli aldı: ana köşegende sıfır olmayan sayılar, ana köşegenin altında sıfırlar var. Bundan sonra prosedür durur ve ana köşegendeki sıfır olmayan elemanların sayısı matrisin rütbesine eşit olur. Temel minör ilk iki satır ve ilk iki sütundur. Kesişme noktalarında determinantı sıfır olmayan 2. dereceden bir matris vardır. Aynı zamanda, dönüşüm zinciri boyunca geriye giderek, son matristeki şu veya bu satırın (bu veya bu sütun) nereden geldiğini izleyebilirsiniz, yani. Orijinal matristeki temel satır ve sütunları belirler. Bu durumda ilk iki satır ve ilk iki sütun temel minörü oluşturur.