Bulanık Mantık Araç Kutusu bölümü. SD Shtovba. Bulanık Küme Teorisine ve Bulanık Mantığa Giriş

dilsel değişkenler( LP ) tarif etmenin bir yolu karmaşık sistemler, parametreleri nicel konumlardan değil, nitel olarak kabul edilir. Aynı zamanda, dilsel değişkenler eşleşmemize izin verir. kalite özellikleri Niteliksel verilerin bir bilgisayarda işlenmesini mümkün kılan, belirli bir güven derecesi ile bazı nicel yorumlar. Dilsel değişkenlerin başka bir uygulama alanı, mantıksal ifadelerin gerçeğinin iki değerle değil, aralıktaki bir dizi değerle belirlenmesi bakımından normalden farklı olan bulanık mantıksal çıkarımdır. .

Dilsel değişken kavramı, tek değişken kavramına dayanmaktadır.

bulanık değişkenüç unsurun birleşimi denir:

< X, sen, µ A(sen) >,

Nerede X– bulanık değişkenin adı; sen evrensel kümedir; µ A(sen) bulanık bir alt kümedir A Evrensel set sen. Başka bir deyişle, bir bulanık değişken adlandırılmış bir bulanık kümedir.

dilsel değişken beş elemanlı bir küme olarak adlandırılır:

< L, T(X), sen, G, M >,

Nerede L– dilsel değişkenin adı;

T(X), dilsel değişkenlerin değerleri için bir dizi isimden oluşan bir dilsel değişkenin temel terimleri kümesidir ( T 1 , T 2 , …, T n), her biri bir bulanık değişkene karşılık gelir X Evrensel set sen;

sen dilsel bir değişkenin tanımlandığı evrensel bir kümedir;

G- isimler üreten bir sözdizimsel kural X değişken değerler;

M her bulanık değişkeni ilişkilendiren anlamsal bir kuraldır. X anlamı M(X), yani evrensel kümenin bulanık alt kümesi sen.

Sıralama gereksinimi, bir dilsel değişkenin terimlerine empoze edilir: T 1 < T 2 < … < T n .

Bir dilsel değişkenin temel terimlerinin niceliksel anlamını oluşturan bulanık kümelerin üyelik fonksiyonları aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

2. : ;

4. : .

Burada N dilsel değişkenin temel terimlerinin sayısıdır; sen min, umax evrensel kümenin sınırlarıdır sen, dilsel değişkenin tanımlandığı yer. Eğer sen R (R gerçek sayılar kümesidir, o zaman sen = [sen min, umax].

sözdizimi kuralı G dört unsurun birleşimidir: G = < VT, V N, T, P >,

Nerede VT– terminal sembolleri veya kelimeleri seti; V N– bir dizi terminal olmayan sembol veya kelime öbeği; T– temel terimler dizisi; R– ifadelerin eşdeğerliğini belirleyen bir dizi ikame kuralı.

anlamsal kural M her ifadeyi yeni olmayan bir ifadeyle eşleştirir

temel terimlerin üyelik fonksiyonları temelinde tanımlanan açık bir küme ve bulanık kümelerle bir işlemler kümesi.

Örnek olarak, "insan boyu" sayısal dil değişkenini ele alalım. Değişkenin değerleri "düşük", "orta", "yüksek" olmak üzere üç temel terim kullanılarak verilsin. Şartlar sıralanmıştır. evrensel sayı seti sen V bu durum aralık sen = .

Terimlerin üyelik fonksiyonları Şek. 7.6 ve yukarıda tartışılan gereklilikleri karşılamalıdır.

Pirinç. 7.6 Dil değişkeni "İnsan boyu"

Sözdizimsel bir kural olarak, terminal olmayan semboller kümesinin, "düşük" temel terimlerle birleştirilebilen "ve", "veya", "az ya da çok", "değil", "çok" sözcüklerini içerdiğini tanımlarız. ”, “orta”, “yüksek” ve aşağıdaki kurallara uyulmalıdır:

"Ve" ve "veya" sembolleri yalnızca iki cümleyi veya temel terimi bağlayabilir ve geri kalan uç olmayan semboller teklidir, yani. bir ifadeden veya temel terimden önce gelebilir; örneğin, "yüksek değil", "çok düşük", "düşük veya orta";

İki temel terimin, örneğin "düşük değil ve yüksek değil" eşzamanlı olumsuzlaması, kalan temel terime eşdeğerdir, yani. "ortalama".

Bu kuralları uygulayarak, birçok kelime öbeği ve ikame kuralı oluşturulabilir. Sözdizimsel kural algoritmik olarak belirlenemezse, olası tüm ifadeler basitçe listelenir.

Anlamsal bir kural olarak, uç olmayan semboller ile bulanık kümeler üzerindeki işlemler arasındaki yazışmayı tanımlarız:

"değil" - ekleme;

"ve" - ​​kesişme;

"veya" - birlik;

"çok" - konsantrasyon;

"az ya da çok" bir uzantıdır.

Ele alınan dilsel değişkeni kullanarak, tahmin edilebilir

Kesin ölçümlere başvurmadan insanların boyunu hesaplayın.

Böylece, dilsel değişkenlerin yardımıyla, özelliklerinin tam olarak ölçülmesi ya çok zahmetli ya da hiç imkansız olan nesneleri tanımlamak mümkündür.

Bir dil değişkeninin oluşumu, kural olarak, LP'nin inşa edildiği alandaki uzmanlar - uzmanlar anketi temelinde gerçekleştirilir. Aynı zamanda, bir dilsel değişkenin temel terimleri olan bulanık kümelerin üyelik fonksiyonlarının oluşumuna özel önem verilir, çünkü çoğu dilsel değişken için sözdizimsel ve anlamsal kuralların tanımı standarttır ve pratikte listelemeye indirgenir. olası tüm ifadeler ve terminal olmayan sembollerin yorumlanması, yukarıda gösterildiği gibi.

Dilsel bir değişken oluşturma süreci şunları içerir: sonraki adımlar:

1. LP terimleri kümesinin tanımı ve sıralaması.

2. LP tanımının sayısal alanının oluşturulması.

3. Anket uzmanlarının planını bulmak ve anket yapmak.

4. Her LP dönemi için üyelik fonksiyonlarının oluşturulması.

Aşama 1, uzman tarafından LP terimlerinin sayısını ve karşılık gelen bulanık değişkenlerin adlarını belirlemeyi içerir. Aralıktan seçilen terim sayısı N= 7±2.

2. aşamada evrensel küme tanımlanır. sen, sayısal veya sayısal olmayan olabilir. Evrensel kümenin tipi tanımlanan nesnelere bağlıdır ve LP terimlerinin üyelik fonksiyonlarını oluşturma şeklini belirler.

Aşama 3, LP'nin oluşumunda anahtardır. iki çeşit var

uzmanların anketi: doğrudan ve dolaylı. Bu yöntemlerin her biri bireysel veya grup olabilir. Organizasyon açısından en basit ve

yazılım uygulaması uzmanlarla görüşmenin bireysel bir yöntemidir.

Doğrudan bir uzman anketinde, üyelik fonksiyonlarının tüm parametreleri doğrudan belirtilir. Buradaki dezavantaj, yargılardaki öznelliğin tezahürü olduğu kadar, bulanık mantığın temellerini bilen bir uzmana duyulan ihtiyaçtır. Dolaylı yoklamada, üyelik fonksiyonları, uzmanın "yönlendirici" sorulara verdiği yanıt temelinde oluşturulur. Bu, değerlendirmenin nesnelliğini arttırır ve bulanık mantık bilgisi gerektirmez, ancak uzmanın yargılarında tutarsızlık riski artar.

Grup araştırması yöntemlerinde, birkaç uzmanın görüşlerinin birleştirilmesi temelinde sonuç oluşturulur. Uygulamada, çoğunlukla bireysel bir dolaylı anket kullanılır.

Ders. Bulanık Hesaplama

bulanık sayı kavramı

Bulanık mantığın uygulama alanlarından biri de bulanık kümelerle aritmetik işlemlerin yapılmasıdır. Bu tür işlemlerin karmaşıklığını azaltmak için, özel bir tür bulanık küme kullanılır - bulanık sayılar.

bulanık sayı(LF), aşağıdaki özelliklere sahip bulanık bir değişkendir: ; .

Başka bir deyişle, bir bulanık sayı, evrensel kümenin geçerli olduğu adlandırılmış bir bulanık kümedir. sen gerçek eksenin aralığıdır R.

Gerçek problemlerde, parçalı lineer bulanık sayılar kullanılır.Aritmetik işlemleri basitleştirmek için, parçalı lineer üyelik fonksiyonları ayrıca özel bir tür bulanık sayı - parametrik bulanık sayılar veya bulanık sayılar - elde etmek için yaklaştırılır.

(L–R kompakt temsil ve basit ile karakterize edilen )-tipi

aritmetik işlemlerin uygulanması.

bulanık sayı A isminde bulanık sayı (L–R)–tip, eğer üyelik fonksiyonu aşağıdaki forma sahipse (Şekil 7.8):

0,

bulanık sayı parametreleri nerede; L(X), R(X) bazı işlevlerdir.

Bulanık parametrik sayı ( A, B, C, D)sol.

Böylece, bulanık sayı ( L–R)-tip altı parametre ile tanımlanır: sınırlarını gösteren dört sayı ve üyelik fonksiyonunun biçimini tanımlayan iki fonksiyon.

Şekil.7.8 Parametrik bulanık sayılar

bulanık sayı denir tek modlu, üyelik fonksiyonunun bire eşit olduğu tek bir noktası varsa, yani parametreleri B Ve C eşittir, aksi halde bulanık sayı denir hoşgörülü(bkz. şekil 7.8). Tek modlu bulanık sayılar beş parametre ile gösterilir ( A, B, D)sol.

Gibi sol–en sık kullanılan işlevler doğrusal bağımlılıklar aşağıdaki ilişkilerle verilir:

sol– işlevler ayrıca ikinci dereceden, üstel ve diğer bağımlılıklarla da belirtilebilir.

kullanım durumunda doğrusal fonksiyonlar tek modlu ve toleranslı bulanık sayılar sırasıyla üçgen ve yamuk olarak adlandırılır ve ( ile gösterilir) A, B, D) Ve ( A, B, C, D).

Bulanık sayılar için işaret ve sıfır değeri kavramı özel bir şekilde tanımlanmıştır.

bulanık sayı A isminde pozitif, tabanı pozitif gerçek yarı eksende bulunuyorsa veya

bulanık sayı A isminde olumsuz, tabanı negatif gerçek yarı eksende bulunuyorsa veya

Parametrik bulanık sayılar için işaret, parametre değerleri tarafından belirlenir: eğer pozitif bir bulanık sayı A> 0; olumsuz ise D < 0; нечеткий ноль, если .

Bulanık ve dilsel değişkenler kavramı, nesneleri ve olguları bulanık kümeler kullanarak tanımlamada kullanılır.

bulanık değişkenüçlü ile karakterize (α, X, A), Nerede

α — değişkenin adı;

X— evrensel küme (alan α);

A bulanık bir kümedir X, kısıtlamaları açıklayan (örn. µ bir(X) ) bulanık değişkenin değerleri üzerinde α.

dilsel bir değişken (LP) bir kümedir ( β , T, X, G, M), nerede

β — dilsel değişkenin adı;

T- bulanık değişkenlerin adları olan değerlerinin kümesi (terim-kümesi), her birinin tanım alanı kümedir. X. Bir demet T temel denir terim seti dil değişkeni;

G, özellikle yeni terimler (değerler) oluşturmak için T terim kümesinin öğeleriyle çalışmanıza izin veren sözdizimsel bir prosedürdür. G(T)'nin üretilmiş terimler kümesi olduğu T∪G(T) kümesine dilsel değişkenin genişletilmiş terim kümesi denir;

M- G prosedürü tarafından oluşturulan bir dilsel değişkenin her yeni değerini bulanık bir değişkene, yani ilgili bulanık kümeyi oluşturur.

Yorum. Kaçınmak Büyük bir sayı karakterler:

1) karakter β hem değişkenin adı hem de tüm değerleri için kullanılır;

2) bir bulanık kümeyi ve onun adını belirtmek için aynı sembolü kullanın, örneğin, bir dilsel değişkenin değeri olan "Genç" terimi β = "yaş", aynı zamanda bulanık bir küme vardır. M("Genç").

Sembollere birden fazla anlam atamak, bağlamın olası belirsizliklerin çözülmesine izin verdiğini gösterir.

Örnek.Üretilen ürünün kalınlığını "Küçük kalınlık", "Orta kalınlık" ve "Büyük kalınlık" kavramlarını kullanarak, minimum kalınlık 10 mm, maksimum 80 mm olacak şekilde uzmanına bırakınız.

Böyle bir açıklamanın resmileştirilmesi, aşağıdaki dil değişkeni kullanılarak gerçekleştirilebilir ( β , T, X, G, M ), Nerede

β - ürün kalınlığı;

T— (“Küçük kalınlık”, “Orta kalınlık”, “Büyük kalınlık”);

X— ;

G, "ve", "veya" bağlaçlarını ve "çok", "değil", "biraz" vb. değiştiricileri kullanarak yeni terimlerin oluşturulması prosedürüdür. Örneğin: "Küçük veya orta kalınlıkta", "Çok ince kalınlıkta" vb.;

M- ayarlama prosedürü X= bulanık alt kümeler A 1 = "Küçük kalınlık", A 2 = "Orta kalınlık", A 3 = "Geniş kalınlık" ve ayrıca G'den terimler için bulanık kümeler (T)"ve", "veya", "değil", "çok", "biraz" bulanık bağlaçların ve değiştiricilerin ve formun bulanık kümeleri üzerindeki diğer işlemlerin çeviri kurallarına uygun olarak: A⋂İÇİNDE,A∪İÇİNDEA, KONU bir =A 2 , Dil A \u003d A 0,5 ve benzeri.

Yorum. Yukarıda tartışılan temel değerlerle birlikte, "Kalınlık" dilsel değişkeni (T =(“Küçük kalınlık”, “Orta kalınlık”, “Büyük kalınlık”)), X tanım alanına bağlı olarak değerler mümkündür. Bu durumda, “Ürün kalınlığı” dil değişkeninin değerleri tanımlanabilir. "yaklaşık 20 mm", "yaklaşık 50 mm", "yaklaşık 70 mm", yani bulanık sayılar şeklinde.

Terim kümesi ve uzatılmış terim kümesi, örneğin koşulları altında şekil 2'de gösterilen üyelik fonksiyonları ile karakterize edilebilir. 1.5 ve 1.6.

Pirinç. 1.5. Bulanık kümelerin üyelik fonksiyonları: "Küçük kalınlık" = bir 1 ,"Orta kalınlık" = A 2 , "Daha fazla kalınlık" = A 3

Pirinç. 1.6. Bulanık kümenin üyelik fonksiyonu "Küçük veya orta kalınlıkta" = A 1 ∪ A 2

bulanık sayılar

bulanık sayılar- sayı ekseninde tanımlanan bulanık değişkenler, örn. bir bulanık sayı bir bulanık küme olarak tanımlanır Aüyelik fonksiyonu ile ℝ gerçek sayılar kümesinde μ bir(X) ϵ , nerede X gerçek bir sayıdır, yani X ϵ ℝ.

bulanık sayı Ve sorun değil eğer maksimum μ bir(X) = 1; dışbükey eğer herhangi biri için X ≤ de ≤ z gerçekleştirilen

μ bir (x)≥ μ bir(de) ˄ µ bir(z).

Bir demet α - bulanık sayı seviyesi A olarak tanımlanmış

aa= {X/μ α (X) ≥ α } .

altküme SA⊂ ℝ bulanık sayının taşıyıcısı olarak adlandırılır A, Eğer

SA= { X/μ A(X) > 0 }.

bulanık sayı ve tek modlu eğer koşul μ bir(X) = 1, gerçek eksenin yalnızca bir noktası için geçerlidir.

dışbükey bulanık sayı A isminde bulanık sıfır, Eğer

μ bir(0) = sağ ( µ bir(X)).

bulanık sayı Ve pozitif olarak eğer ∀ Xϵ SA, X> 0 ve olumsuz eğer ∀ X ϵ SA, X< 0.

bulanık sayılar üzerinde işlemler

Genişletilmiş ikili Aritmetik işlemler Bulanık sayılar için (toplama, çarpma vb.) genelleme ilkesi kullanılarak kesin sayılar için karşılık gelen işlemler aşağıdaki gibi belirlenir.

İzin vermek A Ve İÇİNDE- bulanık sayılar ve - sıradan sayılar üzerinde keyfi bir cebirsel işleme * karşılık gelen bulanık işlem. O zaman ( yerine burada ve altındaki gösterimi kullanarak ) yazabiliriz

Bulanık Sayılar (L-R) tipi

(L-R) tipi bulanık sayılar, özel türden bir tür bulanık sayılardır, örn. üzerlerindeki işlemler sırasında hesaplama miktarını azaltmak için belirli kurallara göre belirlenir.

(L-R) tipi bulanık sayıların üyelik fonksiyonları, L( gerçek değişkeninin fonksiyonları kullanılarak belirtilir. X) ve R( X) özellikleri karşılama:

bir) L(- X) = L( X), R(- X) = R( X);

b) L(0) = R(0).

Açıkçası, (L-R)-fonksiyonları sınıfı, grafikleri Şekil 1'de gösterilen forma sahip fonksiyonları içerir. 1.7.

Pirinç. 1.7. (L-R)-fonksiyonlarının olası formu

(L-R)-fonksiyonlarının analitik spesifikasyonuna örnekler şunlar olabilir:

L( de) ve R( de) (L-R) tipi (beton) fonksiyonlardır. Tek modlu bulanık sayı Aİle moda bir(yani μ bir(A) = 1) kullanarak L( de) ve R( de) aşağıdaki gibi verilir:

burada a moddur; α > 0, β > 0 — sol ve sağ bulanıklık katsayıları.

Böylece, verilen L( de) ve R( de) bulanık sayı (tek modlu) üçlü tarafından verilir A = (A, α, β ).

Toleranslı bulanık sayı sırasıyla dört parametre tarafından verilir. A = (A 1 , A 2 , α, β ), Nerede A 1 ve A 2 - tolerans sınırları, yani. arada [ A 1 , A 2 ] üyelik fonksiyonunun değeri 1'e eşittir.

Bulanık sayılar (L-R) tipi üyelik fonksiyonlarının grafik örnekleri şekil 2'de gösterilmektedir. 1.8.

Pirinç. 1.8. Bulanık sayılar (L-R) tipi üyelik fonksiyonlarının grafik örnekleri

Belirli durumlarda L fonksiyonlarının (y), R (y), parametrelerin yanı sıra A, β bulanık sayılar (A, α, β ) Ve ( A 1 , A 2 , α, β ) işlemin sonucu (toplama, çıkarma, bölme vb.) aynı L'ye sahip bir bulanık sayıya tam veya yaklaşık olarak eşit olacak şekilde seçilmelidir. (y) ve R (y), ve parametreler α" Ve β" sonucun orijinal bulanık sayılar için bu parametreler üzerindeki limitlerin ötesine geçmediği, özellikle sonucun daha sonra katılacağı işlemler.

Yorum. Bulanık kümeler aparatını kullanarak karmaşık sistemlerin matematiksel modelleme problemlerini çözmek, çeşitli dilbilimsel ve diğer bulanık değişkenler üzerinde büyük miktarda işlem gerçekleştirmeyi gerektirir. Giriş-çıkış ve veri depolamanın yanı sıra işlem gerçekleştirme kolaylığı için, standart bir formun üyelik fonksiyonlarıyla çalışmak istenir.

Çoğu problemde çalıştırılması gereken bulanık kümeler, kural olarak tek modlu ve normaldir. Biri olası yöntemler tek modlu bulanık kümelerin yaklaşımı, (L-R)-tipi fonksiyonları kullanan bir yaklaşımdır.

Bazı dilsel değişkenlerin (L-R) gösterimlerine ilişkin örnekler Tablo'da verilmiştir. 1.2.

Tablo 1.2. Olası (L- R)-bazı dilsel değişkenlerin temsili

2.9.1. Tanım. Bulanık küme teorisi yöntemleri anlamsal kavramları tanımlar, örneğin, "düğüm güvenilirliği" kavramı için, "düğüm güvenilirliğinin küçük bir değeri", "düğüm güvenilirliğinin ortalama değeri", "düğüm güvenilirliğinin büyük değeri" gibi bileşenleri tanımlayabilirsiniz. ”, güvenilirlik değerlerinin tüm olası değerleri ile tanımlanan temel küme üzerinde bulanık kümeler olarak verilir.

Biçimsel bir bakış açısından dilsel değişkenlerin tanımının genelleştirilmesi, bulanık ve dilsel değişkenlerin tanıtılmasıdır.

H bulanık değişkenüçlü küme denir, burada A- bulanık değişkenin adı, X- tanım alanı, - değişkenin olası değerleri üzerindeki kısıtlamaları açıklayan X kümesindeki bulanık alt küme A.

dilsel değişken kümeler kümesi denir , Nerede B- dilsel değişkenin adı, T(b) değişkenin dilsel (sözel) değerleri kümesidir B, dilsel bir değişkenin terim kümesi olarak da adlandırılır, X- ihtisas, G- isimler üreten bir dilbilgisi biçimindeki sözdizimsel bir kural aОT(b) dilsel değişkenlerin sözel anlamları B, M- her bulanık değişkeni ilişkilendiren anlamsal bir kural A bulanık küme, - bulanık değişkenin anlamı A.

Tanımdan, bir dilsel değişkenin nicel (ölçülen) bir ölçekte verilen ve doğal iletişim dilinin kelimeleri veya cümleleri olan değerleri alan bir değişken olduğu anlaşılmaktadır. Bulanık değişkenler, dilsel bir değişkenin değerlerini tanımlar. Şek. 2.20 temel kavramların ilişkisini gösterir.

Böylece, dilbilimsel değişkenler, niteliksel, sözlü bir açıklama biçiminde formüle edilmesi zor olan kavramları tanımlayabilir. Bir dil değişkeni ve tüm değerleri, açıklamada, temel kümeye benzetilerek bazen temel ölçek olarak adlandırılan belirli bir nicel ölçekle ilişkilendirilir.

Dil değişkenlerini kullanarak, uzmanlar (uzmanlar) tarafından sözlü biçimde formüle edilen yönetim sistemlerinde nitel bilgileri resmileştirmek mümkündür. Bu, kontrol sistemlerinin bulanık modellerini (bulanık denetleyiciler) oluşturmanıza olanak tanır.

2.9.2. Üyelik fonksiyonlarının türü. Dilsel değişkenlerin terimlerini tanımlayan bulanık kümelerin üyelik fonksiyonlarının türü için öne sürülen gereklilikleri göz önünde bulundurun.

Dilsel değişkene izin ver temel terim kümesini içerir T=(T ben ),. Terime karşılık gelen bulanık değişken ben, küme tarafından verilir, burada bir bulanık kümedir. Bir küme tanımlayalım C ben bir bulanık kümenin taşıyıcısı olarak Bunu varsayacağız XÍR 1, Nerede R1 sıralı gerçek sayılar kümesidir. Kümenin alt sınırını belirtin X başından sonuna kadar infX=x 1 ve üst sınır destekX=x2.

Bir demet T ifadeye göre sırala

"T ben ,T j нT i>j"($xнC i)("yнC j)(x>y). (2.5)

İfade (2.5), desteği solda bulunan terimin daha küçük bir sayı almasını gerektirir. O halde, herhangi bir dilsel değişkenin terim-kümesi aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

("T i нT)($xнX)( ); (2.8)

("b)($x 1 ОR 1)($x 2 ОR 2)("xОX)(x 1 . (2.9)