Doğrusal dizi bağımlılığı. Matris sıralaması. Reşit olmayanları sınırlama yöntemi. Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımsızlığı

A e ben = (a ben 1 a ben 2 ..., a in) matrisinin her satırını belirtiriz (örneğin,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), vb.). Her biri bir sayı ile çarpılabilen veya başka bir satıra eklenebilen bir satır matrisidir. Genel kurallar matrislerle işlemler.

Doğrusal kombinasyon e l , e 2 ,...e k dizilerinin keyfi gerçek sayılarla bu dizilerin çarpımlarının toplamıdır:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , burada l l , l 2 ,..., l k keyfi sayılardır (doğrusal kombinasyon katsayıları).

Matris satırları e l , e 2 ,...e m olarak adlandırılır lineer bağımlı, matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde aynı anda sıfıra eşit olmayan l l , l 2 ,..., l m sayıları varsa:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, burada 0 = (0 0...0).

Matrisin satırlarının doğrusal bağımlılığı, matrisin en az bir satırının olduğu anlamına gelir. lineer kombinasyon geri kalan. Aslında, kesinlik için son katsayının l m ¹ 0 olmasına izin verin. Ardından, eşitliğin her iki tarafını l m'ye bölerek, son satır için kalan satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak bir ifade elde ederiz:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Satırların doğrusal bir kombinasyonu sıfırsa, ancak ve ancak tüm katsayılar sıfırsa, yani l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, ardından çizgiler çağrılır Doğrusal bağımsız.

Matris sıra teoremi. Bir matrisin sıralaması, diğer tüm satırlarının veya sütunlarının doğrusal olarak ifade edilebildiği, doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

Bu teoremi kanıtlayalım. Bir m x n A matrisinin rankı r (r(A) £ min (m; n)) olsun. Bu nedenle, r mertebesinin sıfır olmayan bir minörü vardır. Böyle bir reşit olmayan çağrılacak temel. Kesinlik için bu bir minör olsun

Bu minörün satırları da çağrılacak temel.

O halde e l , e 2 ,...e r matrisinin satırlarının doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtlayalım. Tersini varsayalım, yani bu sıralardan biri, örneğin r'inci sıra, diğerlerinin lineer birleşimidir: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. r-inci elemanlar 1. sıranın elemanları l l ile çarpılır, 2. sıranın elemanları l 2 ile çarpılır, vb. son olarak, (r-1)inci sıranın elemanları l r-1 ile çarpılır, sonra sağ satır sıfır olacak. Aynı zamanda determinantın özelliklerine göre yukarıdaki determinant değişmemeli ve aynı zamanda sıfıra eşit olmalıdır. Bir çelişki elde edilir, dizilerin doğrusal bağımsızlığı ispatlanır.

Şimdi herhangi bir (r+1) matris satırının doğrusal olarak bağımlı olduğunu, yani herhangi bir dizi, temel diziler cinsinden ifade edilebilir.

Daha önce düşünülen küçük olanı bir satır (i-th) ve bir sütun daha (j-th) ile tamamlayalım. Sonuç olarak, rank tanımı gereği sıfıra eşit olan (r+1)'inci dereceden bir minör elde ederiz.

bazı sayılar nerede (bu sayıların bazıları veya hatta tümü sıfıra eşit olabilir). Bu, sütunların öğeleri arasında aşağıdaki eşitliklerin olduğu anlamına gelir:

(3.3.1)'den şu sonuç çıkar:

Eşitlik (3.3.3) yalnızca ve ancak doğruysa, satırlara doğrusal bağımsız denir. İlişki (3.3.2), satırlardan biri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu gösterir.

Bunun tersini görmek de kolaydır: eğer satırlar doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman diğer satırların doğrusal birleşimi olan bir satır vardır.

Örneğin, (3.3.3)'te, o zaman .

Tanım. A matrisinde r'inci mertebeden bazı minörler seçilsin ve aynı matrisin (r + 1)'inci mertebeden minörleri içindeki minörü tamamen içersin. Bu durumda minörün minörü sınırladığını (veya için sınırladığını) söyleyeceğiz.

Şimdi önemli bir önermeyi kanıtlıyoruz.

Lemma sınırdaki küçükler hakkında. A= matrisinin r mertebesinin küçüğü sıfır değilse ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), onu oluşturan satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir. .

Kanıt. Akıl yürütmenin genelliğini bozmadan, r'inci mertebeden sıfır olmayan bir minörün solda olduğunu varsayacağız. üst köşe matrisler A=:

A matrisinin ilk k satırı için, önermenin ifadesi açıktır: aynı satırı katsayı ile doğrusal kombinasyona dahil etmek yeterlidir. bire eşit ve geri kalanı - sıfıra eşit katsayılarla.

Şimdi, A matrisinin geri kalan satırlarının, ilk k satır cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğini kanıtlıyoruz. Bunu yapmak için, kinci sırayı () minöre ekleyerek (r + 1)inci mertebeden bir minör oluştururuz ve ben-inci sütun():

Ortaya çıkan minör, tüm k ve l için sıfırdır. Eğer , o zaman iki özdeş sütun içerdiğinden sıfıra eşittir. Eğer , o zaman ortaya çıkan minör, sınırdaki minördür ve bu nedenle, lemmanın hipotezine göre sıfıra eşittir.

İkincinin unsurları açısından minörü genişletelim ben-inci sütun:

varsayarsak, şunu elde ederiz:

(3.3.6)

İfade (3.3.6) şu anlama gelir: k-inci sıra A matrisi, ilk r sıra boyunca doğrusal olarak ifade edilir.

Küçüklerinin değerleri bir matris aktarıldığında değişmediğinden (belirleyicilerin özelliğinden dolayı), o zaman kanıtlanmış olan her şey sütunlar için de doğrudur. Teorem kanıtlanmıştır.

Sonuç I. Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonudur. Gerçekten mi, temel minör matris sıfır değildir ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir.

Sonuç II. n'inci dereceden bir determinant, ancak ve ancak doğrusal olarak bağımlı satırlar (sütunlar) içeriyorsa sıfıra eşittir. Yeterlilik doğrusal bağımlılık sıfıra determinant için satırlar (sütunlar), determinantların bir özelliği olarak daha önce kanıtlanmıştır.

Gerekliliği kanıtlayalım. Sadece küçüğü sıfıra eşit olan n'inci dereceden bir kare matris verilsin. Bu matrisin sıralamasının n'den küçük olduğu, yani, bu matrisin temel satırlarının doğrusal birleşimi olan en az bir satır vardır.

Bir matrisin rankı ile ilgili bir teoremi daha kanıtlayalım.

teorem. Bir matrisin maksimum lineer bağımsız satır sayısı, lineer bağımsız sütunlarının maksimum sayısına eşittir ve bu matrisin sırasına eşittir.

Kanıt. A= matrisinin rankı r'ye eşit olsun. O zaman k taban sıralarından herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde küçük taban sıfıra eşit olur. Öte yandan, herhangi bir r+1 veya daha fazla satır doğrusal olarak bağımlıdır. Aksini varsayarsak, bir önceki lemmanın Corollary 2'sine göre r'den büyük mertebeden sıfır olmayan bir minör bulabiliriz. İkincisi, sıfır olmayan minörlerin maksimum sırasının r olduğu gerçeğiyle çelişir. Satırlar için kanıtlanmış olan her şey sütunlar için de geçerlidir.

Sonuç olarak, bir matrisin sırasını bulmak için bir yöntem daha sunuyoruz. Bir matrisin rankı, maksimum mertebeden sıfırdan farklı bir minör bulunarak belirlenebilir.

İlk bakışta, bu, bu matrisin sonlu, ancak belki de çok sayıda minörünün hesaplanmasını gerektirir.

Bununla birlikte, aşağıdaki teorem, önemli basitleştirmelerin yapılmasına izin verir.

teorem. A matrisinin küçüğü sıfır değilse ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin sıralaması r'dir.

Kanıt. S>r için matris satırlarının herhangi bir alt sisteminin teoremin koşulları altında doğrusal olarak bağımlı olacağını göstermek yeterlidir (bundan, r'nin doğrusal olarak bağımsız matris satırlarının maksimum sayısı veya onun alt sıralarından herhangi biri olduğu sonucu çıkar. k sıfıra eşittir).

Tersini varsayalım. Satırlar doğrusal olarak bağımsız olsun. Kenarlıktaki minörlere ilişkin lemma ile, her biri minörün bulunduğu ve sıfırdan farklı olması nedeniyle doğrusal olarak bağımsız olan satırlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilecektir:

Şimdi aşağıdaki doğrusal kombinasyonu göz önünde bulundurun:

veya

(3.3.7) ve (3.3.8)'i kullanarak şunu elde ederiz:

bu da dizelerin doğrusal bağımsızlığıyla çelişir.

Sonuç olarak, varsayımımız yanlıştır ve bu nedenle, teoremin koşulları altındaki herhangi bir S>r satırı doğrusal olarak bağımlıdır. Teorem kanıtlanmıştır.

Bir matrisin sırasını hesaplama kuralını - bu teoreme dayalı olarak küçükleri sınırlama yöntemi - düşünün.

Bir matrisin rankı hesaplanırken, alt mertebeden minörlerden yüksek mertebeden minörlere geçilmelidir. Sıfırdan farklı bir r-th mertebe minör zaten bulunduysa, o zaman sadece minörü çevreleyen (r+1)-th mertebe minörlerin hesaplanması gerekir. Sıfırlarsa, matrisin sıralaması r'dir. Bu yöntem ayrıca, yalnızca matrisin sırasını hesaplamak değil, aynı zamanda matrisin temel minörünü hangi sütunların (satırların) oluşturduğunu belirlemek için de kullanılır.

Örnek. Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını hesaplayın

Çözüm. A matrisinin sol üst köşesindeki ikinci dereceden minör sıfır değildir:

Ancak, onu çevreleyen tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir:

;	;
;	;
;	.

Bu nedenle, A matrisinin rankı ikiye eşittir: .

Bu matristeki birinci ve ikinci satırlar, birinci ve ikinci sütunlar temeldir. Kalan satırlar ve sütunlar, bunların doğrusal kombinasyonlarıdır. Aslında, dizeler için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Sonuç olarak, aşağıdaki özelliklerin geçerliliğine dikkat çekiyoruz:

1) matrislerin çarpım sıralaması, faktörlerin her birinin sıralamasından büyük değildir;

2) rastgele bir A matrisinin sağda veya solda tekil olmayan bir kare matris Q ile çarpımının sıralaması, A matrisinin sırasına eşittir.

polinom matrisleri

Tanım. Bir polinom matrisi veya -matris denir dikdörtgen matris elemanları, sayısal katsayılı tek değişkenli polinomlardır.

Temel dönüşümler -matrisler üzerinde gerçekleştirilebilir. Bunlar şunları içerir:

İki sıranın (sütunların) permütasyonu;

Bir satırı (sütun) sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak;

Herhangi bir polinomla çarpılarak bir satıra (sütun) başka bir satıra (sütun) ekleme.

Aynı büyüklükteki iki matrise eşdeğer denir: matristen sonlu sayıda temel dönüşüm kullanmaya geçmek mümkünse.

Örnek. Matrislerin denkliğini kanıtlayın

1. Matristeki birinci ve ikinci sütunları değiştirin:

2. İkinci satırdan, birinciyi () ile çarparak çıkarın:

3. İkinci satırı (-1) ile çarpın ve şunu unutmayın:

4. İkinci sütundan birinciyi çıkararak , ile çarparız, elde ederiz

Belirli boyutlardaki tüm matrisler kümesi, örtüşmeyen sınıflara bölünür eşdeğer matrisler. Birbirine eşdeğer olan matrisler bir sınıf oluşturur, eşdeğer değil - başka bir sınıf.

Eşdeğer matrislerin her sınıfı, belirli boyutlarda bir kanonik veya normal - matrisi ile karakterize edilir.

Tanım. Kanonik veya normal, boyutların matrisi, ana köşegen üzerinde polinomlara sahip olan -matristir; burada p, m ve n sayılarından daha küçüktür ( ) ve sıfıra eşit olmayan polinomların baş katsayıları 1'e eşittir ve sonraki her polinom bir öncekine bölünebilir. Ana köşegenin dışındaki tüm elemanlar 0'dır.

Tanımdan, polinomlar arasında sıfır dereceli polinomlar varsa, o zaman ana köşegenin başında oldukları sonucu çıkar. Sıfırlar varsa, ana köşegenin sonundadırlar.

Önceki örneğin matrisi kanoniktir. Matris

ayrıca kanonik.

Her -matrix sınıfı, benzersiz bir kanonik -matriks içerir, örn. her matris, adı verilen tek bir kanonik matrise eşdeğerdir kanonik biçim veya verilen matrisin normal formu.

Verilen -matrisin kanonik formunun ana köşegenindeki polinomlara, verilen matrisin değişmez çarpanları denir.

Değişmeyen faktörleri hesaplama yöntemlerinden biri, verilen - matrisini kanonik forma indirgemektir.

Dolayısıyla, önceki örneğin matrisi için değişmez faktörler şu şekildedir:

, , , .

Aynı değişmez faktörler kümesinin varlığının -matrislerin denkliği için gerekli ve yeterli bir koşul olduğu söylenenlerden çıkar.

-matrislerin kanonik forma indirgenmesi, değişmez faktörlerin tanımına indirgenir

, ; ,

burada r, matrisin sıralamasıdır; - en yüksek katsayı 1'e eşit olarak alınan k'inci mertebeden minörlerin en büyük ortak böleni.

Örnek. Let -matris

Çözüm. Açıkçası, birinci dereceden en büyük ortak bölen, yani. .

İkinci dereceden küçükleri tanımlarız:

vesaire.

Zaten bu veriler bir sonuca varmak için yeterli: bu nedenle, .

biz tanımlarız

Buradan, .

Böylece, bu matrisin kanonik formu aşağıdaki matristir:

Bir matris polinomu, formun bir ifadesidir

nerede bir değişken; - sayısal elemanlarla n mertebesinden kare matrisler.

Eğer , o zaman S, matris polinomunun derecesi olarak adlandırılır ve n, matris polinomunun mertebesidir.

Herhangi bir ikinci dereceden matris, bir matris polinomu olarak temsil edilebilir. Açıkçası, sohbet ifadesi de doğrudur, yani. herhangi bir matris polinomu, bir kare matris olarak temsil edilebilir.

Bu ifadelerin geçerliliği, matrisler üzerindeki işlemlerin özelliklerinden açıkça kaynaklanmaktadır. Aşağıdaki örneklere bakalım:

Örnek. Bir polinom matrisini temsil edin

bir matris polinomu şeklinde aşağıdaki gibi olabilir

Örnek. matris polinomu

aşağıdaki polinom matrisi ( -matris) olarak temsil edilebilir

Matris polinomlarının ve polinom matrislerinin bu değiştirilebilirliği, matematiksel aparat faktör ve bileşen analizi yöntemleri.

Aynı sıradaki matris polinomları, sayısal katsayıları olan sıradan polinomlarla aynı şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bununla birlikte, genel olarak konuşursak, matris polinomlarının çarpımının değişmeli olmadığı unutulmamalıdır, çünkü matris çarpımı değişmeli değildir.

Katsayıları eşitse, iki matris polinomu eşit olarak adlandırılır, yani. değişkenin aynı güçleri için karşılık gelen matrisler .

İki matris polinomunun toplamı (farkı), değişkenin her derecesindeki katsayısı, polinomlarda aynı derecede katsayıların toplamına (farkına) eşit olan bir matris polinomudur ve .

Bir matris polinomunu bir matris polinomuyla çarpmak için, matris polinomunun her terimini matris polinomunun her terimiyle çarpmanız, elde edilen çarpımları toplamanız ve benzer terimleri getirmeniz gerekir.

Bir matris polinomunun derecesi, faktörlerin derecelerinin toplamından küçük veya ona eşit bir çarpımdır.

Matris polinomları üzerindeki işlemler, karşılık gelen matrisler üzerindeki işlemler kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Matris polinomlarını toplamak (çıkarmak) için karşılık gelen -matrisleri toplamak (çıkarmak) yeterlidir. Aynısı çarpma için de geçerlidir. matris polinomlarının çarpımının matrisi, faktörlerin matrislerinin çarpımına eşittir.

Öte yandan, ve şeklinde yazılabilir.

burada B 0 tekil olmayan bir matristir.

Bölme işleminde, benzersiz bir şekilde tanımlanmış bir doğru bölüm ve bir sağ kalan vardır.

burada R 1 derecesi dereceden küçüktür , veya (kalansız bölme), ayrıca sol bölüm ve sol kalan ancak ve ancak, ancak, nerede, sıra

Bir matrisin sıralaması kavramı, satırlarının veya sütunlarının doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramıyla yakından ilgilidir. Gelecekte, satırlar için malzeme sunacağız, sütunlar için sunum benzer.

matriste AÇizgilerini aşağıdaki gibi gösterelim:

, , …. ,

Bir matrisin iki satırının eşit olduğu söylenir, karşılık gelen elemanları eşitse: , eğer , .

Aritmetik işlemler matrisin satırları üzerinde (bir satırın bir sayı ile çarpılması, satırların eklenmesi), öğe öğe gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır:

Astar e dizilerin doğrusal kombinasyonu denir..., matrisler, eğer keyfi gerçek sayılarla bu satırların çarpımlarının toplamına eşitse:

Matrisin satırları denir lineer bağımlı, matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde, aynı anda sıfıra eşit olmayan bu tür sayılar varsa:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorem 3.3Matrisin en az bir satırı diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu ise, matrisin satırları doğrusal olarak bağımlıdır.

□ Aslında, kesinlik için formül (3.3)'e izin verin , Daha sonra

Yani sıra, diğer sıraların doğrusal birleşimidir. ■

Satırların (3.3) doğrusal kombinasyonu sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm katsayılar sıfıra eşitse, satırlara doğrusal olarak bağımsız denir.

Teorem 3.4.(bir matrisin sıralaması hakkında) Bir matrisin sıralaması, diğer tüm satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak ifade edildiği, doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

□ matrise izin verin A boyut m n rütbeye sahiptir R(R dak). Bu, sıfır olmayan bir minör olduğu anlamına gelir. R-inci sıra. Sıfır olmayan her minör R inci sıra temel minör olarak adlandırılacaktır.

Kesinlik için, temel minör olsun lider veya köşe minör. O zaman matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır. Bunun tersini, yani bu dizilerden birinin, örneğin geri kalanının doğrusal bir kombinasyonu olduğunu varsayalım. Öğelerden çıkarma R- 1. sıranın 1. satırındaki elemanları ile çarpılır, ardından 2. sıradaki elemanları , ... ile çarpılır ve () R- 1) - inci satır, ile çarpılır. Özellik 8'e dayalı olarak, bu tür matris dönüşümleri altında, onun determinantı D değişmez, fakat çünkü R- i string şimdi sadece sıfırlardan oluşacak, o zaman D = 0 - bir çelişki. Bu nedenle, matrisin satırlarının doğrusal olarak bağımlı olduğu varsayımımız yanlıştır.

Dizeleri arayalım temel. Matrisin herhangi bir (r+1) satırının doğrusal olarak bağımlı olduğunu, yani herhangi bir dizi, temel diziler cinsinden ifade edilir.

Küçük (r + 1) -inci sırayı düşünün, bu küçük sırayı başka bir sıranın elemanlarıyla tamamlayarak elde edilir. Ben ve sütun J. Matrisin rankı olduğu için bu minör sıfırdır. R, bu nedenle herhangi bir üst düzey minör sıfırdır.

Son (eklenen) sütunun öğeleriyle genişleterek, şunu elde ederiz:

Son cebirsel tümleyenin modülü temel minör ile aynı olduğunda D ve bu nedenle sıfırdan farklı, yani 0.

Lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık kavramları satırlar ve sütunlar için aynı şekilde tanımlanmıştır. Dolayısıyla sütunlar için formüle edilen bu kavramlarla ilişkilendirilen özellikler, elbette satırlar için de geçerlidir.

1. Sütun sistemi sıfır sütun içeriyorsa, doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Bir sütun sisteminde iki eşit sütun varsa, o zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

3. Bir sütun sisteminin iki orantılı sütunu varsa, o zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

4. Bir sütun sistemi, ancak ve ancak sütunlardan en az birinin diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

5. Doğrusal olarak bağımsız bir sisteme dahil edilen herhangi bir sütun, doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem oluşturur.

6. Doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içeren bir kolon sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

7. Sütun sistemi doğrusal olarak bağımsızsa ve ona bir sütun ekledikten sonra doğrusal olarak bağımlı olduğu ortaya çıkarsa, sütun sütunlara ayrıştırılabilir ve ayrıca benzersiz bir şekilde, yani. genişleme katsayıları benzersiz olarak bulunur.

Örneğin, kanıtlayalım, son özellik. Sütun sistemi lineer bağımlı olduğu için hepsi 0'a eşit olmayan sayılar vardır.

bu eşitlikte Gerçekten, eğer , o zaman

Bu nedenle, önemsiz olmayan bir doğrusal sütun kombinasyonu, sistemin doğrusal bağımsızlığıyla çelişen sıfır sütuna eşittir. Bu nedenle ve sonra , yani. sütun, sütunların doğrusal birleşimidir. Geriye böyle bir temsilin benzersizliğini göstermek kalır. Tersini varsayalım. İki açılım olsun ve ve tüm genişleme katsayıları sırasıyla birbirine eşit değildir (örneğin, ). O zaman eşitlikten

(\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o elde ederiz

sırayla, sütunların doğrusal birleşimi boş sütuna eşittir. Tüm katsayıları sıfıra eşit olmadığından (en az ), bu kombinasyon önemsiz değildir ve bu da sütunların doğrusal bağımsızlığı koşuluyla çelişir. Ortaya çıkan çelişki, ayrışmanın benzersizliğini doğrular.

Örnek 3.2.İki sıfır olmayan sütunun ve ancak ve ancak orantılı olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlı olduklarını kanıtlayın, yani .

Çözüm. Gerçekten de, eğer ve sütunları doğrusal olarak bağımlıysa, aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar vardır, öyle ki . Ve bu eşitlikte. Aslında, olduğunu varsayarsak, sütun da sıfır olmadığı için bir çelişki elde ederiz. Araç, . Bu nedenle, öyle bir sayı var ki . İhtiyaç kanıtlanmıştır.

Tersine, eğer , o zaman . Sıfır sütuna eşit, önemsiz olmayan doğrusal bir sütun kombinasyonumuz var. Yani sütunlar doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek 3.3. Sütunlardan oluşan tüm olası sistemleri göz önünde bulundurun

Her sistemi doğrusal bir ilişki için inceleyin.
Çözüm. Her biri bir sütun içeren beş sistemi ele alalım. Açıklamalar 3.1'in 1. paragrafına göre: sistemler doğrusal olarak bağımsızdır ve bir sıfır sütunundan oluşan sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

Her biri iki sütun içeren sistemleri göz önünde bulundurun:

– dört sistemin her biri ve sıfır sütun içerdiğinden doğrusal olarak bağımlıdır (özellik 1);

– sütunlar orantılı olduğu için sistem doğrusal olarak bağımlıdır (özellik 3): ;

- beş sistemin her biri ve sütunlar orantısız olduğundan doğrusal olarak bağımsızdır (bkz. örnek 3.2'deki ifade).

Üç sütun içeren sistemleri düşünün:

– altı sistemin her biri ve sıfır sütun içerdiğinden doğrusal olarak bağımlıdır (özellik 1);

– sistemler doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü doğrusal olarak bağımlı bir alt sistem içerirler (özellik 6);

sistemlerdir ve doğrusal olarak bağımlıdır, çünkü son sütun geri kalanı cinsinden doğrusal olarak ifade edilir (özellik 4): ve sırasıyla.

Son olarak, dört veya beş sütunlu sistemler doğrusal olarak bağımlıdır (özellik 6'ya göre).

Matris sıralaması

Bu bölümde, bir matrisin satırlarının (sütunlarının) birbirine ne kadar bağlı olduğuyla ilgili bir başka önemli sayısal özelliğini ele alacağız.

Tanım 14.10 Bir boyutlar matrisi ve sayıların en küçüğünü geçmeyen bir sayı olsun ve : . Matrisin satır ve sütunlarını keyfi olarak seçelim (satır sayıları sütun sayılarından farklı olabilir). Seçilen satır ve sütunların kesiştiği noktadaki elemanlardan oluşan bir matrisin determinantına matris mertebesi minör denir.

Örnek 14.9İzin vermek .

Birinci dereceden minör, matrisin herhangi bir elemanıdır. Yani 2, , birinci dereceden minörlerdir.

İkinci dereceden küçükler:

1. 1., 2. satırları, 1., 2. sütunları alın, bir minör elde ederiz ;

2. 1., 3. sıralar, 2., 4. sütunları alın, bir minör elde ederiz ;

3. 2., 3. sıralar, 1., 4. sütunları alın, bir minör elde ederiz

Üçüncü dereceden küçükler:

buradaki satırlar yalnızca tek bir şekilde seçilebilir,

1. sütun 1, 3, 4'ü alın, yandal yapın ;

2. 1, 2, 3 sütunlarını alın, yandal yapın .

Teklif 14.23 Derece matrisinin tüm küçükleri sıfıra eşitse, mertebenin tüm küçükleri de sıfıra eşittir.

Kanıt. İsteğe bağlı olarak küçük bir sipariş alın. Bu, sipariş matrisinin determinantıdır. İlk satır kadar genişletelim. Daha sonra, açılımın her teriminde, çarpanlardan biri orijinal matrisin mertebesinden küçük olacaktır. Varsayım olarak, küçükler sırası sıfıra eşittir. Bu nedenle, minör mertebesi de sıfıra eşit olacaktır.

Tanım 14.11 Bir matrisin rankı, matrisin minörlerinin sıfır olmayan sıralarının en büyüğüdür. Rütbe sıfır matris sıfır olarak kabul edilir.

Bir matrisin sıralaması için tek bir standart notasyon yoktur. Öğreticiyi takiben, buna şu şekilde atıfta bulunacağız.

Örnek 14.10Örnek 14.9'daki matrisin derecesi 3'tür çünkü sıfır olmayan üçüncü dereceden bir minör vardır, ancak dördüncü dereceden minör yoktur.

Matris sıralaması 1'e eşittir, çünkü sıfır olmayan birinci dereceden bir minör (matrisin bir elemanı) vardır ve tüm ikinci dereceden minörler sıfıra eşittir.

Dejenere olmayan bir kare mertebe matrisinin sırası eşittir , çünkü determinantı mertebenin küçük bir değeridir ve dejenere olmayan matris sıfır değildir.

Teklif 14.24 Bir matris transpoze edilirken sıralaması değişmez, yani, .

Kanıt. Orijinal matrisin devrik küçüğü, devrik matrisin küçüğü olacaktır ve tam tersi, herhangi bir küçük, orijinal matrisin devrik küçüğüdür. Aktarırken, determinant (minör) değişmez (Önerme 14.6). Bu nedenle, orijinal matristeki tüm minörler sıfıra eşitse, aynı mertebedeki tüm minörler de sıfıra eşittir. Orijinal matristeki minör mertebesi sıfır değilse, aynı mertebeden sıfır olmayan minör vardır. Buradan, .

Tanım 14.12 Matrisin rankı şöyle olsun. O zaman sıfır olmayan herhangi bir minör, temel minör olarak adlandırılır.

Örnek 14.11İzin vermek . Üçüncü satır ilk ikisinin toplamına eşit olduğu için matrisin determinantı sıfırdır. İlk iki sıra ve ilk iki sütunda yer alan ikinci dereceden minör, . Bu nedenle, matrisin sıralaması ikiye eşittir ve küçük sayılan temeldir.

Temel bir minör, örneğin birinci ve üçüncü sıralarda, birinci ve üçüncü sütunlarda bulunan bir minördür: . Taban, ikinci ve üçüncü sıralarda, birinci ve üçüncü sütunlarda küçük olacaktır: .

Birinci ve ikinci sıradaki minör, ikinci ve üçüncü sütundakiler sıfıra eşittir ve bu nedenle temel olmayacaktır. Okuyucu, diğer ikinci dereceden reşit olmayanların hangilerinin temel olup hangilerinin olmadığını bağımsız olarak kontrol edebilir.

Matrisin sütunları (satırları) eklenebildiğinden, sayılarla çarpıldığından, doğrusal kombinasyonlar oluşturulduğundan, matrisin sütunları (satırları) sisteminin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığının tanımlarını yapmak mümkündür. Bu tanımlar, vektörler için 10.14, 10.15 ile aynı tanımlara benzer.

Tanım 14.13 En az biri sıfır olmayan bir katsayılar dizisi varsa, bu katsayılarla sütunların (satırların) doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olacaksa, bir sütun (satır) sistemi doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılır.

Tanım 14.14 Bir sütun (sıra) sistemi, bu sütunların (sıraların) doğrusal bir kombinasyonunun eşitliğinden, bu doğrusal kombinasyonun tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa, doğrusal olarak bağımsızdır.

Önerme 10.6'ya benzeyen aşağıdaki önerme de doğrudur.

Teklif 14.25 Sütunlardan (sıralardan) oluşan bir sistem, ancak ve ancak sütunlardan birinin (sıralardan biri) bu sistemin diğer sütunlarının (sıralarının) doğrusal bir kombinasyonu olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

adlı bir teorem formüle ediyoruz. temel küçük teorem.

Teorem 14.2 Bir matrisin herhangi bir sütunu, küçük tabandan geçen sütunların doğrusal bir kombinasyonudur.

Kanıtı ders kitaplarında bulunabilir. lineer Cebir, örneğin, içinde , .

Teklif 14.26 Bir matrisin sıralaması, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

Kanıt. Matrisin rankı şöyle olsun. Alt minörden geçen sütunları ele alalım. Bu sütunların doğrusal olarak bağımlı bir sistem oluşturduğunu varsayalım. O zaman sütunlardan biri diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir. Bu nedenle, temel minörde, bir sütun diğer sütunların doğrusal bir kombinasyonu olacaktır. Önermeler 14.15 ve 14.18 ile bu temel minör sıfıra eşit olmalıdır ki bu da temel minörün tanımıyla çelişir. Bu nedenle minör tabandan geçen sütunların lineer bağımlı olduğu varsayımı doğru değildir. Bu nedenle, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan maksimum sütun sayısı, 'den büyük veya eşittir.

Sütunların doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturduğunu varsayalım. Bunlardan bir matris yapalım. Tüm matris minörleri matris minörleridir. Bu nedenle, matrisin temel minörünün en fazla mertebesi vardır. Baz minör teoremine göre, bir matrisin baz minöründen geçmeyen bir kolon, baz minörden geçen kolonların lineer birleşimidir, yani matrisin kolonları lineer bağımlı bir sistem oluşturur. Bu, matrisi oluşturan sütunların seçimiyle çelişir. Bu nedenle, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan sütunların maksimum sayısı 'den büyük olamaz. Dolayısıyla, belirtildiği gibi eşittir.

Teklif 14.27 Bir matrisin sıralaması, doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan satırlarının maksimum sayısına eşittir.

Kanıt. Önerme 14.24'e göre, bir matrisin sıralaması transpozisyon üzerine değişmez. Bir matrisin satırları onun sütunları olur. Doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturan devrik matrisin (orijinal olanın eski satırları) maksimum yeni sütun sayısı, matrisin sırasına eşittir.

Teklif 14.28 Matris determinantı sıfıra eşitse, sütunlarından biri (satırlardan biri), kalan sütunların (satırların) doğrusal bir kombinasyonudur.

Kanıt. matrisin mertebesi şöyle olsun. Determinant, mertebeye sahip bir kare matrisin tek küçüğüdür. Sıfıra eşit olduğuna göre . Bu nedenle, sütunlar (satırlar) sistemi doğrusal olarak bağımlıdır, yani sütunlardan biri (satırlardan biri) diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonudur.

Önerme 14.15, 14.18 ve 14.28'in sonuçları aşağıdaki teoremi verir.

Teorem 14.3 Bir matrisin determinantı, ancak ve ancak sütunlarından biri (satırlardan biri) diğer sütunların (satırlar) doğrusal bir kombinasyonuysa sıfırdır.

Tüm minörlerini hesaplayarak bir matrisin rankını bulmak çok fazla şey gerektirir. bilgisayar işi. (Okuyucu bunu kontrol edebilir. Kare matris dördüncü mertebeden ikinci mertebeden 36 minör.) Bu nedenle mertebeyi bulmak için farklı bir algoritma kullanılır. Bunu açıklamak için bazı ek bilgiler gereklidir.

Tanım 14.15 Aşağıdaki işlemleri matrislerin temel dönüşümleri olarak adlandırıyoruz:

1) satırların veya sütunların permütasyonu;
2) bir satırı veya sütunu sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;
3) satırlardan birine bir sayı ile çarpılmış başka bir satır eklemek veya başka bir sütunun sütunlarından birine bir sayı ile çarparak eklemek.

Teklif 14.29 -de temel dönüşümler matrisin rankı değişmez.

Kanıt. Matrisin rankı , -- temel dönüşümden elde edilen matrise eşit olsun.

Dizelerin bir permütasyonunu düşünün. Matrisin bir minörü olsun, o zaman matrisin bir minörü vardır, bu matris ya onunla çakışır ya da satır permütasyonuyla ondan farklılık gösterir. Ve tam tersi, herhangi bir küçük matris, satır sırasına göre onunla çakışan veya ondan farklı olan bir küçük matris ile ilişkilendirilebilir. Bu nedenle, matriste mertebenin tüm minörlerinin sıfıra eşit olması gerçeğinden, matriste bu mertebenin tüm minörlerinin de sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Ve matrisin sıfırdan farklı bir minörü olduğundan, matrisin ayrıca sıfırdan farklı bir minörü de vardır, yani .

Bir dizeyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmayı düşünün. Bir matristen bir minör, bir matristen minörüne karşılık gelir ve bu, minör satırın sıfır olmayan bir sayı ile çarpılmasıyla elde edilen, kendisiyle çakışan veya ondan yalnızca bir satır farklılık gösterir. Son durumda . Her durumda, veya ve aynı anda sıfıra eşittir veya aynı anda sıfırdan farklıdır. Buradan, .

bazı sayılar nerede (bu sayıların bazıları veya hatta tümü sıfıra eşit olabilir). Bu, sütunların öğeleri arasında aşağıdaki eşitliklerin olduğu anlamına gelir:

veya , .

(3.3.1)'den şu sonuç çıkar:

(3.3.2)

boş dize nerede.

Tanım. A matrisinin satırları, aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa, doğrusal olarak bağımlıdır.

(3.3.3)

Bunun tersini görmek de kolaydır: eğer satırlar doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman diğer satırların doğrusal birleşimi olan bir satır vardır.

Örneğin, (3.3.3)'te, o zaman .

Tanım. A matrisinde bazı minörlerin seçilmesine izin verin R inci sıra ve minör ( R Aynı matrisin +1)-inci mertebesi tamamen minör içerir. Bu durumda minörün minörü sınırladığını (veya için sınırladığını) söyleyeceğiz.

Şimdi önemli bir önermeyi kanıtlıyoruz.

Lemmasınırdaki küçükler hakkında. Sipariş küçük ise R A matrisi = sıfır değildir ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir, o zaman A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), oluşturan satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonudur.

Kanıt. Akıl yürütmenin genelliğini bozmadan, sıfırdan farklı minör olduğunu varsayacağız. R inci sıra A= matrisinin sol üst köşesindedir:

ilk k için A matrisinin satırları, lemmanın ifadesi açıktır: doğrusal kombinasyona aynı satırı bire eşit bir katsayı ile ve geri kalanını sıfıra eşit katsayılarla dahil etmek yeterlidir.

Şimdi A matrisinin geri kalan satırlarının ilk satır cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğini kanıtlayalım. k çizgiler. Bunu yapmak için bir minör ( R +1)th mertebesi minöre eklenerek k -inci satır () ve ben-inci sütun():

Ortaya çıkan minör, tümü için sıfırdır k ve ben . Eğer , o zaman iki özdeş sütun içerdiğinden sıfıra eşittir. Eğer , o zaman ortaya çıkan minör, sınırdaki minördür ve bu nedenle, lemmanın hipotezine göre sıfıra eşittir.

İkincinin unsurları açısından minörü genişletelimben-inci sütun:

(3.3.4)

elemanlara cebirsel eklemeler nerede . cebirsel toplama A matrisinin bir minörüdür, yani . (3.3.4)'ü şuna bölün ve şu şekilde ifade edin:

(3.3.5)

Nerede , .

varsayarsak, şunu elde ederiz:

(3.3.6)

İfade (3.3.6) şu anlama gelir: k A matrisinin inci satırı, ilk olarak lineer olarak ifade edilir. satırlar.

sonuç ben . Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonudur. Aslında, matrisin temel küçüğü sıfırdan farklıdır ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir.

Sonuç II. belirleyici n inci sıra, ancak ve ancak doğrusal olarak bağımlı satırlar (sütunlar) içeriyorsa sıfıra eşittir. Determinantın sıfıra eşitliği için satırların (sütunların) doğrusal bağımlılığının yeterliliği, daha önce determinantların bir özelliği olarak kanıtlanmıştır.

Gerekliliği kanıtlayalım. Bir kare matris verilsin N tek minörü sıfıra eşit olan inci mertebe. Bu matrisin sırasının daha az olduğu sonucu çıkar. N , yani bu matrisin temel satırlarının doğrusal birleşimi olan en az bir satır vardır.

Bir matrisin rankı ile ilgili bir teoremi daha kanıtlayalım.

teorem.Bir matrisin maksimum lineer bağımsız satır sayısı, lineer bağımsız sütunlarının maksimum sayısına eşittir ve bu matrisin sırasına eşittir.

Kanıt. A= matrisinin rankı şuna eşit olsun: R . O zaman herhangi bir k temel satırlar doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde temel minör sıfır olur. Öte yandan, herhangi bir R +1 veya daha fazla satır doğrusal olarak bağımlıdır. Tersini varsayarsak, daha büyük bir minör düzen bulabiliriz. R , önceki önermenin Sonuç 2'sine göre sıfır olmayan. İkincisi, sıfır olmayan küçüklerin maksimum sırasının şuna eşit olduğu gerçeğiyle çelişiyor: R . Satırlar için kanıtlanmış olan her şey sütunlar için de geçerlidir.

Sonuç olarak, bir matrisin sırasını bulmak için bir yöntem daha sunuyoruz. Bir matrisin rankı, maksimum mertebeden sıfırdan farklı bir minör bulunarak belirlenebilir.

İlk bakışta, bu, bu matrisin sonlu, ancak belki de çok sayıda minörünün hesaplanmasını gerektirir.

Bununla birlikte, aşağıdaki teorem, önemli basitleştirmelerin yapılmasına izin verir.

teorem.A matrisinin küçüğü sıfırdan farklıysa ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin sıralaması eşittir R .

Kanıt. için matris satırlarının herhangi bir alt sisteminin olduğunu göstermek yeterlidir. S > r teoremin koşulları altında doğrusal olarak bağımlı olacaktır (bundan, r'nin matrisin doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısı veya herhangi bir minör mertebesinden daha büyük olduğu sonucu çıkar). k sıfırdır).

(3.3.7)

Doğrusal ifadelerin (3.3.7) katsayılarından K matrisini ele alalım:

Bu matrisin satırları şu şekilde gösterilecektir: . Lineer olarak bağımlı olacaklar, çünkü K matrisinin rankı, yani. doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısı geçmez R< S . Bu nedenle, hepsi sıfıra eşit olmayan öyle sayılar vardır ki,

Bileşenlerin eşitliğine geçelim

(3.3.8)

Şimdi aşağıdaki doğrusal kombinasyonu göz önünde bulundurun:

veya