Satırların doğrusal bağımlılığı. Slough teorisi

A matrisinin her satırı e i = (a i 1 a i 2 …, a in) ile gösterilir (örneğin,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), vb.). Her biri bir sayıyla çarpılabilen veya başka bir satıra eklenebilen bir satır matrisidir. Genel kurallar Matrislerle işlemler.

Doğrusal kombinasyon el , e 2 ,...e k doğrularına bu doğruların çarpımlarının keyfi gerçek sayılarla toplamı denir:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, burada l l, l 2,..., l k keyfi sayılardır (doğrusal kombinasyonun katsayıları).

el , e 2 ,...e m matrisinin satırlarına denir doğrusal bağımlı, eğer aynı anda sıfıra eşit olmayan l l , l 2 ,..., l m sayıları varsa, öyle ki matris satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacaktır:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, burada 0 = (0 0...0).

Bir matrisin satırları arasındaki doğrusal ilişki, matrisin en az bir satırının doğrusal kombinasyon geri kalan. Aslında kesinlik için son katsayı l m ¹ 0 olsun. Daha sonra eşitliğin her iki tarafını da l m'ye bölerek şu ifadeyi elde ederiz: son satır, kalan çizgilerin doğrusal birleşimi olarak:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Satırların doğrusal birleşimi sıfıra eşitse ancak ve ancak tüm katsayılar sıfıra eşitse; l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k ise çizgilere denir Doğrusal bağımsız.

Matris sıralama teoremi. Bir matrisin rütbesi, diğer tüm satır veya sütunlarının doğrusal olarak ifade edilebildiği doğrusal olarak bağımsız satır veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

Bu teoremi kanıtlayalım. Bir m x n matris A'nın derecesi r (r(A) £ min (m; n)) olsun. Dolayısıyla r mertebesinden sıfır olmayan bir minör vardır. Bu tür reşit olmayan herhangi biri çağrılacak temel. Kesinlik için bu küçük olsun

Bu minörün satırları da çağrılacak temel.

O halde el , e 2 ,...e r matrisinin satırlarının doğrusal olarak bağımsız olduğunu kanıtlayalım. Bunun tersini varsayalım, yani. bu çizgilerden biri, örneğin r-th, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Sonra, eğer elementler r'inci sıra 1. sıranın elemanları l l ile çarpılır, 2. sıranın elemanları l 2 ile çarpılır, vb., son olarak (r-1)'inci satırın elemanları l r-1 ile çarpılır, sonra r'inci çizgi sıfır olacak. Bu durumda determinantın özelliklerine göre yukarıdaki determinantın değişmemesi aynı zamanda sıfıra eşit olması gerekir. Bir çelişki elde edilir ve satırların doğrusal bağımsızlığı kanıtlanır.

Şimdi matrisin herhangi bir (r+1) satırının doğrusal bağımlı olduğunu kanıtlıyoruz; herhangi bir dize temel olanlarla ifade edilebilir.

Daha önce ele alınan minöre bir satır daha (i-th) ve bir sütun daha (j-th) ekleyelim. Sonuç olarak, rütbe tanımı gereği sıfıra eşit olan (r+1) mertebesinden bir minör elde ederiz.

İzin vermek

Boyut matrisi sütunları. Matris sütunlarının doğrusal kombinasyonu bazı gerçek veya karmaşık sayıların çağrıldığı sütun matrisi denir doğrusal kombinasyon katsayıları. Doğrusal bir kombinasyonda tüm katsayıları sıfıra eşit alırsak, o zaman doğrusal kombinasyon sıfır sütun matrisine eşit olur.

Matrisin sütunlarına denir Doğrusal bağımsız , eğer doğrusal kombinasyonları sıfıra eşitse, yalnızca doğrusal kombinasyonun tüm katsayıları sıfıra eşit olduğunda. Matrisin sütunlarına denir doğrusal bağımlı , aralarında en az birinin sıfır olmadığı bir sayı kümesi varsa ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal birleşimi sıfıra eşitse

Tanımlar benzer şekilde verilebilir doğrusal bağımlılık Ve doğrusal bağımsızlık matris satırları. Aşağıda tüm teoremler matrisin sütunları için formüle edilmiştir.

Teorem 5

Matris sütunları arasında sıfır varsa matris sütunları doğrusal bağımlıdır.

Kanıt. Tüm katsayıların sıfır olmayan tüm sütunlar için sıfıra ve tüm sıfır sütunlar için bire eşit olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün. Sıfıra eşittir ve doğrusal kombinasyonun katsayıları arasında sıfır olmayan bir katsayı vardır. Bu nedenle matrisin sütunları doğrusal bağımlıdır.

Teorem 6

Eğer matris sütunları doğrusal olarak bağımlıdır, hepsi bu matris sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Kesinlik açısından matrisin ilk sütunlarının doğrusal bağımlı. Daha sonra, doğrusal bağımlılığın tanımı gereği, aralarında en az birinin sıfır olmadığı ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonunun sıfıra eşit olduğu bir dizi sayı vardır.

Sıfır katsayılı kalan sütunlar da dahil olmak üzere matrisin tüm sütunlarının doğrusal bir kombinasyonunu yapalım

Ancak . Bu nedenle matrisin tüm sütunları doğrusal bağımlıdır.

Sonuçlar. Doğrusal arasında bağımsız sütunlar Herhangi bir matris doğrusal olarak bağımsızdır. (Bu ifade çelişkiyle kolayca kanıtlanabilir.)

Teorem 7

Bir matrisin sütunlarının doğrusal bağımlı olabilmesi için matrisin en az bir sütununun diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

Gereklilik. Matrisin sütunlarının doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, yani aralarında en az birinin sıfırdan farklı olduğu bir dizi sayı vardır ve sütunların bu katsayılarla doğrusal kombinasyonu sıfıra eşittir.

Kesin olarak şunu varsayalım. O halde, ilk sütun geri kalanların doğrusal bir birleşimidir.

Yeterlilik. Matrisin en az bir sütunu diğerlerinin doğrusal birleşimi olsun; örneğin, bazı sayılar burada.

O halde, yani sütunların doğrusal birleşimi sıfıra eşittir ve doğrusal bileşimdeki sayılar arasında en az biri (at) sıfırdan farklıdır.

Matrisin rütbesi olsun. 1. dereceden sıfır olmayan herhangi bir minör denir temel . Kesişme noktasındaki satırlar ve sütunlar temel yan dal, arandı temel .

Matrisin satır ve sütunlarının boyutların aritmetik vektörleri olarak değerlendirilebileceğini unutmayın. M Ve N, sırasıyla. Böylece boyut matrisi bir küme olarak yorumlanabilir. M N boyutlu veya N M boyutlu aritmetik vektörler. Geometrik vektörlere benzetme yaparak, bir matrisin satır ve sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı kavramlarını tanıtıyoruz.

4.8.1. Tanım. Astar
isminde dizelerin doğrusal birleşimi ihtimalli
, eğer bu satırın tüm elemanları aşağıdaki eşitliğe sahipse:

,
.

4.8.2. Tanım.

Teller
arandı doğrusal bağımlı, bunların sıfır satırına eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa, yani. hepsi sıfıra eşit olmayan sayılar var

,
.

4.8.3. Tanım.

Teller
arandı Doğrusal bağımsız, eğer yalnızca önemsiz doğrusal kombinasyonları sıfır satırına eşitse, yani.

,

4.8.4. Teorem. (Matris satırlarının doğrusal bağımlılığı kriteri)

Satırların doğrusal bağımlı olabilmesi için en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

Gereklilik. Bırakın çizgiler
doğrusal olarak bağımlıysa, bunların sıfır satırına eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır:

.

Genelliği kaybetmeden, doğrusal kombinasyonun katsayılarından ilkinin sıfırdan farklı olduğunu varsayalım (aksi takdirde satırlar yeniden numaralandırılabilir). Bu oranı bölerek , alıyoruz

,

yani ilk satır diğerlerinin doğrusal birleşimidir.

Yeterlilik. Mesela satırlardan biri şöyle olsun: , diğerlerinin doğrusal birleşimidir, o halde

yani, dizelerin önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimi vardır
, sıfır dizeye eşit:

yani çizgiler
doğrusal olarak bağımlıdır ve bunun kanıtlanması gerekir.

Yorum.

Matrisin sütunları için de benzer tanımlar ve ifadeler formüle edilebilir.

§4.9. Matris sıralaması.

4.9.1. Tanım. Küçük emir matrisler boyut
sıra determinantı denir bazılarının kesişiminde bulunan öğelerle çizgiler ve sütunlar.

4.9.2. Tanım. Sıfır olmayan küçük sıra matrisler boyut
isminde temel küçük, eğer matrisin tüm küçükleri sıralıysa
sıfıra eşittir.

Yorum. Bir matrisin birden fazla temel minörü olabilir. Açıkçası hepsi aynı düzende olacak. Ayrıca matrisin olması da mümkündür. boyut
küçük sipariş sıfırdan farklıdır ve küçükler sıralıdır
mevcut değil, yani
.

4.9.3. Tanım. Minörün temelini oluşturan satırlara (sütunlara) denir temel satırlar (sütunlar).

4.9.4. Tanım. Rütbe bir matrisin temelinin minör mertebesine denir. Matris sıralaması ile gösterilir
veya
.

Yorum.

Determinantın satır ve sütunlarının eşitliği nedeniyle matrisin sırasının yer değiştirme sırasında değişmediğine dikkat edin.

4.9.5. Teorem. (Temel dönüşümler altında matris sırasının değişmezliği)

Bir matrisin rütbesi, temel dönüşümleri sırasında değişmez.

Kanıt yok.

4.9.6. Teorem. (Temel minör hakkında).

Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

Kanıt:

Hadi dizeler için ispat yapalım. Sütunlara ilişkin iddianın ispatı kıyas yoluyla yapılabilir.

Matrisin rütbesi olsun boyutlar
eşittir , A
− temel minör. Genelliği kaybetmeden, temel minörün sol üst köşede bulunduğunu varsayıyoruz (aksi takdirde, temel dönüşümler kullanılarak matris bu forma indirgenebilir):

.

Öncelikle taban satırlarının doğrusal bağımsızlığını kanıtlayalım. Çelişkiyle kanıtlayacağız. Temel satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Daha sonra Teorem 4.8.4'e göre dizilerden biri, geri kalan temel dizilerin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edilebilir. Dolayısıyla belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarırsak sıfır satır elde ederiz, bu da küçük olanın olduğu anlamına gelir.
sıfıra eşittir, bu da minör tabanının tanımıyla çelişir. Böylece bir çelişki elde ettik ve dolayısıyla taban satırlarının doğrusal bağımsızlığı kanıtlanmış oldu.

Şimdi bir matrisin her satırının temel satırların doğrusal birleşimi olarak temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Söz konusu satır numarası ise 1'den R, o zaman açıkçası, çizgi için 1'e eşit bir katsayıya sahip doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir. ve kalan satırlar için sıfır katsayılar. Şimdi gösterelim ki satır numarası itibaren
önce
temel dizelerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Matrix minör'ü düşünün
, esas minörden elde edilen
satır ekleme ve rastgele bir sütun
:

Bu küçük şeyin olduğunu gösterelim
itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den .

Aslında, eğer sütun numarası 1'den R O zaman elimizde sıfıra eşit olan iki özdeş sütunlu bir determinantımız var. Sütun numarası ise itibaren R+1 ila ve satır numarası itibaren
önce
, O
orijinal matrisin temel minörden daha yüksek dereceli bir minörüdür, bu da temel minör tanımından sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Böylece küçüklerin olduğu kanıtlandı.
herhangi bir satır numarası için sıfırdır itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den . Bunu son sütuna genişleterek şunu elde ederiz:

Burada
- karşılık gelen cebirsel eklemeler. dikkat et ki
, bu nedenle
temel bir yan daldır. Bu nedenle çizginin elemanları k temel satırların ilgili elemanlarının sütun sayısından bağımsız katsayılarla doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir :

Böylece, bir matrisin rastgele bir satırının, temel satırlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtladık. Teorem kanıtlandı.

Ders 13

4.9.7. Teorem. (Dejenere olmayan bir kare matrisin mertebesinde)

Bir kare matrisin tekil olmaması için matrisin rütbesinin bu matrisin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

Gereklilik. Kare matris olsun boyut N dejenere değildir, o zaman
bu nedenle matris determinantı temel bir minördür, yani.

Yeterlilik.İzin vermek
o zaman küçük temelin sırası matrisin boyutuna eşittir, dolayısıyla küçük temel matrisin determinantıdır yani
temel minörün tanımı gereği.

Sonuçlar.

Bir kare matrisin tekil olmaması için satırlarının doğrusal bağımsız olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

Gereklilik. Bir kare matris tekil olmadığından rütbesi matrisin boyutuna eşittir
yani matrisin determinantı bir temel minördür. Bu nedenle Teorem 4.9.6'ya göre minör bazında matrisin satırları doğrusal olarak bağımsızdır.

Yeterlilik. Matrisin tüm satırları doğrusal olarak bağımsız olduğundan sıralaması matris boyutundan küçük değildir; bu şu anlama gelir:
bu nedenle önceki Teorem 4.9.7'ye göre matris dejenere değildir.

4.9.8. Bir matrisin rütbesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemi.

Bu yöntemin bir kısmının temel minör teoremin ispatında örtük olarak tanımlandığına dikkat edin.

4.9.8.1. Tanım. Küçük
isminde sınırlayıcı küçük ile ilgili olarak
reşit olmayan birinden türetilmişse
bir tane eklemek Yeni hat ve orijinal matrisin yeni bir sütunu.

4.9.8.2. Sınırdaki küçükler yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma prosedürü.

Matrisin sıfırdan farklı herhangi bir güncel minörünü buluruz.

Sınırdaki tüm küçükleri hesaplıyoruz.

Hepsi sıfıra eşitse, o zaman mevcut minör temel birdir ve matrisin sırası mevcut minörün sırasına eşittir.

Sınırdaki küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane varsa, o zaman güncel kabul edilir ve prosedür devam eder.

Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin rütbesini buluruz

.

Mevcut sıfır olmayan ikinci dereceden küçük değeri belirtmek kolaydır;

.

Sınırındaki küçükleri hesaplıyoruz:

Sonuç olarak, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, o zaman küçük
temel yani

Yorum. Ele alınan örnekten, yöntemin oldukça emek yoğun olduğu açıktır. Bu nedenle, pratikte, aşağıda tartışılacak olan temel dönüşüm yöntemi çok daha sık kullanılmaktadır.

4.9.9. Temel dönüşüm yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma.

Teorem 4.9.5'e dayanarak, temel dönüşümler altında matrisin sırasının değişmediği (yani eşdeğer matrislerin sıralarının eşit olduğu) ileri sürülebilir. Bu nedenle matrisin rütbesi rütbeye eşit orijinal dönüşümlerden temel dönüşümlerle elde edilen adım matrisi. Bir adım matrisinin sıralaması açıkça sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.

Matrisin rütbesini belirleyelim

Temel dönüşümler yöntemi.

Matris'i sunalım adım görünümüne geçmek için:

Ortaya çıkan basamak matrisinin sıfır olmayan satır sayısı üçtür, bu nedenle,

4.9.10. Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin rütbesi.

Vektör sistemini düşünün
biraz doğrusal uzay . Doğrusal olarak bağımlıysa, içinde doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem ayırt edilebilir.

4.9.10.1. Tanım. Vektör sisteminin sıralaması
doğrusal uzay bu sistemin doğrusal bağımsız vektörlerinin maksimum sayısına denir. Vektör sisteminin sıralaması
olarak gösterilir
.

Yorum. Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, bu durumda sıralaması sistemdeki vektörlerin sayısına eşittir.

Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin rütbesi ile bir matrisin rütbesi kavramları arasındaki bağlantıyı gösteren bir teorem formüle edelim.

4.9.10.2. Teorem. (Doğrusal uzayda bir vektörler sistemi düzeyinde)

Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin sıralaması, sütunları veya satırları doğrusal uzayın bir bazındaki vektörlerin koordinatları olan bir matrisin sıralamasına eşittir.

Kanıt yok.

Sonuçlar.

Doğrusal uzayda bir vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımsız olabilmesi için, sütunları veya satırları belirli bir bazdaki vektörlerin koordinatları olan matrisin rütbesinin, vektörlerin sayısına eşit olması gerekli ve yeterlidir. Sistemdeki vektörler.

Kanıt ortada.

4.9.10.3. Teorem (Doğrusal kabuğun boyutu hakkında).

Doğrusal gövde vektörlerinin boyutu
doğrusal uzay bu vektör sisteminin rütbesine eşit:

Kanıt yok.

Mxn boyutunda keyfi, kare olması gerekmeyen bir A matrisi düşünün.

Matris sıralaması.

Matris sırası kavramı, matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramıyla ilişkilidir. Bu kavramı dizeler için ele alalım. Sütunlar için - benzer şekilde.

A matrisinin drenajlarını gösterelim:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s eğer a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetik işlemler matrisin satırları üzerinde (toplama, bir sayıyla çarpma) eleman eleman yürütülen işlemler olarak tanıtılır: λе k =(λа k1,λа k2,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

e hattı denir doğrusal kombinasyon satırlar e 1 , e 2 ,…,ek k , eğer bu satırların çarpımlarının keyfi gerçek sayılarla toplamına eşitse:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

e 1, e 2,…, em doğrularına denir doğrusal bağımlı, eğer hepsi sıfıra eşit olmayan λ 1 ,λ 2 ,…,λ m gerçek sayıları varsa, bu satırların doğrusal birleşimi sıfır satırına eşittir: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Nerede 0 =(0,0,…,0) (1)

Doğrusal kombinasyon sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm λ i katsayıları sıfıra eşitse (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), o zaman e 1 , e 2 ,…,e m satırları denir Doğrusal bağımsız.

Teorem 1. e 1 ,e 2 ,…,e m dizilerinin doğrusal bağımlı olması için bu dizelerden birinin diğer dizelerin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. gereklilik. e 1, e 2,…, em dizileri doğrusal olarak bağımlı olsun. Kesinlik için, (1) λm ≠0 ise

O. e m dizisi geri kalan dizelerin doğrusal bir birleşimidir. Vesaire.

Yeterlilik. Satırlardan birinin, örneğin em'in, diğer satırların doğrusal birleşimi olmasına izin verin. Daha sonra eşitliğin geçerli olduğu ve şu şekilde yeniden yazılabilecek sayılar vardır:

burada katsayılardan en az biri (-1) sıfıra eşit değildir. Onlar. satırlar doğrusal olarak bağımlıdır. Vesaire.

Tanım. Küçük k'inci sıra mxn boyutunda bir A matrisine, A matrisinin herhangi bir k satırının ve herhangi bir k sütununun kesişiminde yer alan elemanlara sahip, k'inci dereceden determinant denir. (k≤min(m,n)). .

Örnek., 1. dereceden küçükler: =, =;

2. dereceden reşit olmayanlar: , 3. dereceden

3. dereceden bir matriste 9 adet 1. dereceden minör, 9 adet 2. dereceden minör ve 1 adet 3. dereceden minör bulunur (bu matrisin determinantı).

Tanım. A matrisinin sırası bu matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek mertebesidir. Tanım - rg A veya r(A).

Matris sıralaması özellikleri.

1) A nxm matrisinin sırası, boyutlarından küçük olanı aşmaz, yani.

r(A)≤min(m,n).

2) tüm matris elemanları 0'a eşit olduğunda r(A)=0, yani. A=0.

3) İçin Kare matris Ve A dejenere olmadığında n'inci dereceden r(A)=n.

(Köşegen bir matrisin sırası, sıfır olmayan köşegen elemanlarının sayısına eşittir).

4) Bir matrisin rütbesi r ise, o zaman matris sıfıra eşit olmayan r dereceli en az bir küçük parçaya sahiptir ve daha yüksek dereceli tüm küçük parçalar sıfıra eşittir.

Matrisin safları için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(AT A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), eğer B tekil olmayan bir kare matrisse.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, burada n, A matrisinin sütun veya B matrisinin satır sayısıdır.

Tanım. r(A) mertebesinden sıfır olmayan bir minör denir temel yan dal. (Matris A'nın birkaç temel minörü olabilir). Kesişme noktalarında temel minör bulunan satır ve sütunlar sırasıyla çağrılır temel dizeler Ve temel sütunlar.

Teorem 2 (temel minör hakkında). Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (herhangi bir sütunu), temel satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir.

Kanıt. (Dizeler için). Temel satırlar doğrusal olarak bağımlı olsaydı, Teorem (1)'e göre bu satırlardan biri diğer temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olurdu, o zaman temel minörün değerini değiştirmeden, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu satırdan çıkarabilirsiniz ve sıfır satır elde ederiz ve bu çelişkilidir çünkü temel minör sıfırdan farklıdır. O. taban sıraları doğrusal olarak bağımsızdır.

A matrisinin herhangi bir satırının temel satırların doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. Çünkü satırların (sütunların) keyfi değişiklikleriyle determinant sıfıra eşit olma özelliğini korur, bu durumda genelliği kaybetmeden küçük temelin matrisin sol üst köşesinde olduğunu varsayabiliriz.

bir=, onlar. ilk r satırlarda ve ilk r sütunlarda bulunur. 1 £ j £ n, 1 £ i £ m olsun. (r+1) mertebesinin determinantının olduğunu gösterelim.

Eğer j£r veya i£r ise bu determinant sıfıra eşittir çünkü iki özdeş sütuna veya iki özdeş satıra sahip olacaktır.

Eğer j>r ve i>r ise, bu determinant A matrisinin (r+1)'inci mertebesinden bir minördür. Matrisin rütbesi r'dir; bu, daha yüksek dereceden herhangi bir minörün 0'a eşit olduğu anlamına gelir.

Son (eklenen) sütunun öğelerine göre genişleterek şunu elde ederiz:

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, burada sonuncusu cebirsel tamamlayıcı A ij, temel minör M r ile çakışır ve bu nedenle A ij = M r ≠0.

Son eşitliği A ij'ye bölerek a ij öğesini doğrusal bir kombinasyon olarak ifade edebiliriz: , burada .

i (i>r) değerini sabitleyelim ve bunu herhangi bir j (j=1,2,…,n) için bulalım. i-inci elemanlar e i dizeleri, e 1, e 2,…, e r dizelerinin elemanları aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir, yani. i'inci çizgi temel dizelerin doğrusal bir birleşimidir: . Vesaire.

Teorem 3. (Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul). N'inci dereceden D determinantının sıfıra eşit olması için satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt (s.40). gereklilik. N'inci dereceden determinant D sıfıra eşitse, matrisinin küçük tabanı r düzeyindedir.

Dolayısıyla bir satır diğerlerinin doğrusal birleşimidir. O halde Teorem 1'e göre determinantın satırları doğrusal olarak bağımlıdır.

Yeterlilik. D satırları doğrusal olarak bağımlıysa, Teorem 1'e göre bir satır Ai, diğer satırların doğrusal bir birleşimidir. Belirtilen doğrusal kombinasyonu A i satırından çıkararak, D'nin değerini değiştirmeden sıfır çizgisi elde ederiz. Dolayısıyla determinantların özelliklerine göre D=0 olur. vesaire.

Teorem 4. Temel dönüşümler sırasında matrisin sırası değişmez.

Kanıt. Belirleyicilerin özellikleri göz önüne alındığında gösterildiği gibi, kare matrisleri dönüştürürken determinantları ya değişmez ya da sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Bu durumda, orijinal matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek sırası korunur, yani. matrisin rütbesi değişmez. Vesaire.

r(A)=r(B) ise A ve B eşdeğer: A~B.

Teorem 5. Temel dönüşümleri kullanarak matrisi şu şekilde azaltabilirsiniz: kademeli görünüm. Matris denir adım adım, eğer şu forma sahipse:

A=, burada a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

r≤k koşulları her zaman aktarımla elde edilebilir.

Teorem 6. Bir adım matrisinin sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir .

Onlar. Adım matrisinin sırası r'dir çünkü sıfır olmayan r dereceli bir küçük var:

Aynı mertebeden vektörlerden oluşan bir sisteme, eğer bu vektörlerden uygun bir doğrusal kombinasyon yoluyla sıfır bir vektör elde edilebiliyorsa, bu sisteme doğrusal bağımlı sistem adı verilir. (Doğrusal bir kombinasyonun tüm katsayılarının sıfıra eşit olmasına izin verilmez, çünkü bu önemsiz olacaktır.) Aksi takdirde, vektörlere doğrusal bağımsız denir. Örneğin aşağıdaki üç vektör:

Kontrol edilmesi kolay olduğundan doğrusal bağımlıdırlar. Doğrusal bağımlılık durumunda, herhangi bir vektör her zaman diğer vektörlerin doğrusal birleşimi yoluyla ifade edilebilir. Örneğimizde: ya ya da Uygun hesaplamalarla bunu kontrol etmek kolaydır. Bu, aşağıdaki tanıma yol açar: Bir vektör, eğer bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilemiyorsa, diğer vektörlerden doğrusal olarak bağımsızdır.

Doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu belirtmeden bir vektörler sistemini ele alalım. Sütun vektörleri a'dan oluşan her sistem için mümkün olan maksimum sayıda doğrusal bağımsız vektörün tanımlanması mümkündür. Harfiyle gösterilen bu sayı, bu vektör sisteminin rütbesidir. Her matris bir sütun vektörleri sistemi olarak görülebildiğinden, bir matrisin rütbesi, içerdiği doğrusal olarak bağımsız sütun vektörlerinin maksimum sayısı olarak tanımlanır. Satır vektörleri aynı zamanda bir matrisin sıralamasını belirlemek için de kullanılır. Her iki yöntem de aynı matris için aynı sonucu verir ve en küçüğünü aşamaz. Bir kare matrisin mertebesi 0 ile 0 arasında değişir. Tüm vektörler sıfırsa, böyle bir matrisin sıralaması sıfırdır. Tüm vektörler birbirinden doğrusal olarak bağımsızsa, matrisin sıralaması eşittir. Yukarıdaki vektörlerden bir matris oluşturursak bu matrisin rütbesi 2 olur. Her iki vektör doğrusal bir kombinasyonla üçte bire indirgenebildiğinden sıra 3'ten küçüktür.

Ancak bunların herhangi iki vektörünün doğrusal olarak bağımsız olduğundan emin olabiliriz, dolayısıyla rütbe

Sütun vektörleri veya satır vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, kare matrise tekil denir. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşittir ve yukarıda belirtildiği gibi ters matrisi mevcut değildir. Bu sonuçlar birbirine eşdeğerdir. Sonuç olarak, sütun vektörleri veya satır vektörleri birbirinden bağımsızsa, kare matrise tekil olmayan veya tekil olmayan denir. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşit değildir ve ters matrisi mevcuttur (s. 43 ile karşılaştırın)

Matrisin sıralamasının oldukça açık bir geometrik yorumu vardır. Matrisin rütbesi eşitse, boyutlu uzayın vektörler tarafından kapsandığı söylenir. Eğer rütbe bu durumda vektörler, hepsini içeren boyutlu bir altuzayda yer alır. Dolayısıyla, matrisin rütbesi "tüm vektörleri içeren" uzayın gerekli minimum boyutuna karşılık gelir; boyutlu bir uzaydaki boyutlu bir alt uzaya, boyutlu hiperdüzlem denir. Matrisin sırası, tüm vektörlerin hala içinde bulunduğu hiperdüzlemin en küçük boyutuna karşılık gelir.

Diklik. Skaler çarpımları sıfır ise, a ve b vektörlerinin karşılıklı dik olduğu söylenir. D'nin köşegen bir matris olduğu sıra matrisi eşitliğe sahipse, A matrisinin sütun vektörleri ikili olarak karşılıklı diktir. Bu sütun vektörleri normalleştirilirse, yani 1'e eşit bir uzunluğa indirgenirse eşitlik oluşur ve ortonormal vektörlerden söz ederiz. Eğer B bir kare matris ise ve eşitlik sağlanıyorsa, B matrisine dik matris denir. Bu durumda formül (1.22)'den Ortogonal matrisin her zaman tekil olmadığı sonucu çıkar. Dolayısıyla matrisin dikliğinden, satır vektörlerinin veya sütun vektörlerinin doğrusal bağımsızlığı ortaya çıkar. Tersi ifade doğru değildir: Bir vektörler sisteminin doğrusal bağımsızlığı, bu vektörlerin ikili dikliği anlamına gelmez.