Doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak bağımsız matris sütunlarının özellikleri. Matris satırlarının doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı

bazı sayılar nerede (bu sayıların bazıları veya hatta tümü sıfıra eşit olabilir). Bu, sütunların öğeleri arasında aşağıdaki eşitliklerin olduğu anlamına gelir:

veya , .

(3.3.1)'den şu sonuç çıkar:

boş dize nerede.

Tanım. A matrisinin satırları, aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa, doğrusal olarak bağımlıdır.

Eşitlik (3.3.3) yalnızca ve ancak doğruysa, satırlara doğrusal bağımsız denir. İlişki (3.3.2), satırlardan biri diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilirse, satırların doğrusal olarak bağımlı olduğunu gösterir.

Bunun tersini görmek de kolaydır: eğer satırlar doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman diğer satırların doğrusal birleşimi olan bir satır vardır.

Örneğin, (3.3.3)'te, o zaman .

Tanım. A matrisinde bazı minörlerin seçilmesine izin verin R inci sıra ve minör ( R Aynı matrisin +1)-inci mertebesi tamamen minör içerir. Bu durumda minörün minörü sınırladığını (veya için sınırladığını) söyleyeceğiz.

Şimdi önemli bir önermeyi kanıtlıyoruz.

Lemmasınırdaki küçükler hakkında. Sipariş küçük ise R A matrisi = sıfır değildir ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir, o zaman A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), oluşturan satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonudur.

Kanıt. Akıl yürütmenin genelliğini bozmadan, sıfırdan farklı minör olduğunu varsayacağız. R -inci sıra solda duruyor üst köşe matrisler A=:

.

ilk k için A matrisinin satırları, lemmanın ifadesi açıktır: doğrusal kombinasyona aynı satırı bire eşit bir katsayı ile ve geri kalanını sıfıra eşit katsayılarla dahil etmek yeterlidir.

Şimdi A matrisinin geri kalan satırlarının ilk satır cinsinden doğrusal olarak ifade edildiğini kanıtlayalım. k çizgiler. Bunu yapmak için bir minör ( R +1)th mertebesi minöre eklenerek k -inci satır () ve ben-inci sütun():

.

Ortaya çıkan minör, tümü için sıfırdır k ve ben . Eğer , o zaman iki özdeş sütun içerdiğinden sıfıra eşittir. Eğer , o zaman ortaya çıkan minör, sınırdaki minördür ve bu nedenle, lemmanın hipotezine göre sıfıra eşittir.

İkincinin unsurları açısından minörü genişletelimben-inci sütun:

elemanlara cebirsel eklemeler nerede . cebirsel toplama A matrisinin bir minörüdür, yani . (3.3.4)'ü şuna bölün ve şu şekilde ifade edin:

Nerede , .

varsayarsak, şunu elde ederiz:

İfade (3.3.6) şu anlama gelir: k A matrisinin inci satırı, ilk olarak lineer olarak ifade edilir. satırlar.

Küçüklerinin değerleri bir matris aktarıldığında değişmediğinden (belirleyicilerin özelliğinden dolayı), o zaman kanıtlanmış olan her şey sütunlar için de doğrudur. Teorem kanıtlanmıştır.

sonuç ben . Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonudur. Gerçekten mi, temel minör matris sıfır değildir ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşittir.

Sonuç II. belirleyici n inci sıra, ancak ve ancak doğrusal olarak bağımlı satırlar (sütunlar) içeriyorsa sıfıra eşittir. Determinantın sıfıra eşitliği için satırların (sütunların) doğrusal bağımlılığının yeterliliği, daha önce determinantların bir özelliği olarak kanıtlanmıştır.

Gerekliliği kanıtlayalım. Bir kare matris verilsin N tek minörü sıfıra eşit olan inci mertebe. Bu matrisin sırasının daha az olduğu sonucu çıkar. N , yani bu matrisin temel satırlarının doğrusal birleşimi olan en az bir satır vardır.

Bir matrisin rankı ile ilgili bir teoremi daha kanıtlayalım.

teorem.Bir matrisin maksimum lineer bağımsız satır sayısı, lineer olarak maksimum satır sayısına eşittir. bağımsız sütunlar ve bu matrisin rankına eşittir.

Kanıt. A= matrisinin rankı şuna eşit olsun: R . O zaman herhangi bir k temel satırlar doğrusal olarak bağımsızdır, aksi takdirde temel minör sıfır olur. Öte yandan, herhangi bir R +1 veya daha fazla satır doğrusal olarak bağımlıdır. Tersini varsayarsak, daha büyük bir minör düzen bulabiliriz. R , önceki önermenin Sonuç 2'sine göre sıfır olmayan. İkincisi, sıfır olmayan küçüklerin maksimum sırasının şuna eşit olduğu gerçeğiyle çelişiyor: R . Satırlar için kanıtlanmış olan her şey sütunlar için de geçerlidir.

Sonuç olarak, bir matrisin sırasını bulmak için bir yöntem daha sunuyoruz. Bir matrisin rankı, maksimum mertebeden sıfırdan farklı bir minör bulunarak belirlenebilir.

İlk bakışta, bu, bu matrisin sonlu, ancak belki de çok sayıda minörünün hesaplanmasını gerektirir.

Bununla birlikte, aşağıdaki teorem, buna önemli basitleştirmeler getirmeye izin verir.

teorem.A matrisinin küçüğü sıfırdan farklıysa ve onu çevreleyen tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin sıralaması eşittir R .

Kanıt. için matris satırlarının herhangi bir alt sisteminin olduğunu göstermek yeterlidir. S > r teoremin koşulları altında doğrusal olarak bağımlı olacaktır (bundan, r'nin matrisin doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısı veya herhangi bir minör mertebesinden daha büyük olduğu sonucu çıkar). k sıfırdır).

Tersini varsayalım. Satırlar doğrusal olarak bağımsız olsun. Kenarlıktaki minörlere ilişkin lemma ile, her biri minörün bulunduğu ve sıfırdan farklı olması nedeniyle doğrusal olarak bağımsız olan satırlar cinsinden doğrusal olarak ifade edilecektir:

Doğrusal ifadelerin (3.3.7) katsayılarından K matrisini ele alalım:

.

Bu matrisin satırları şu şekilde gösterilecektir: . Lineer olarak bağımlı olacaklar, çünkü K matrisinin rankı, yani. doğrusal olarak bağımsız satırlarının maksimum sayısı geçmez R< S . Bu nedenle, hepsi sıfıra eşit olmayan öyle sayılar vardır ki,

Bileşenlerin eşitliğine geçelim

Şimdi aşağıdaki doğrusal kombinasyonu göz önünde bulundurun:

veya

İzin vermek

Boyut matrisi sütunları. Matris sütunlarının doğrusal kombinasyonu sütun matrisi olarak adlandırılırken - bazı gerçek veya karmaşık sayılar, lineer kombinasyon katsayıları. Doğrusal bir kombinasyonda tüm katsayıları sıfıra eşit alırsak, o zaman lineer kombinasyon sıfır sütun matrisine eşittir.

Matrisin sütunlarına denir Doğrusal bağımsız , eğer lineer kombinasyonları sadece lineer kombinasyonun tüm katsayıları sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşitse. Matrisin sütunlarına denir lineer bağımlı , aralarında en az birinin sıfır olmadığı ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı varsa

Benzer şekilde, doğrusal bağımlılığın tanımları ve doğrusal bağımsızlık matris satırları. Aşağıda, tüm teoremler matrisin sütunları için formüle edilmiştir.

teorem 5

Matrisin sütunları arasında sıfır varsa, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Tüm katsayıların sıfır olmayan tüm sütunlar için sıfıra ve sıfır sütun için bire eşit olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün. Sıfıra eşittir ve doğrusal kombinasyonun katsayıları arasında sıfır olmayan bir tane vardır. Bu nedenle, matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

teorem 6

Eğer matris sütunları lineer bağımlı, o zaman hepsi matris sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt. Kesinlik için, matrisin ilk sütunlarının lineer bağımlı Daha sonra, doğrusal bir bağımlılığın tanımına göre, aralarında en az birinin sıfır olmadığı ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı vardır.

Sıfır katsayılı kalan sütunlar da dahil olmak üzere matrisin tüm sütunlarının doğrusal bir kombinasyonunu oluşturun

Ancak . Bu nedenle, matrisin tüm sütunları doğrusal olarak bağımlıdır.

Sonuçlar. Bir matrisin doğrusal olarak bağımsız sütunlarından herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır. (Bu iddia kolayca çelişki ile kanıtlanır.)

teorem 7

Matris kolonlarının lineer bağımlı olması için en az bir matris kolonunun diğerlerinin lineer kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt.

gereklilik. Matrisin sütunlarının doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, yani aralarında en az birinin sıfırdan farklı olduğu ve bu katsayılara sahip sütunların doğrusal kombinasyonu sıfıra eşit olan bir dizi sayı vardır.

Kesinlik için varsayalım ki . O halde, ilk sütun geri kalanının doğrusal bir birleşimidir.

Yeterlilik. Matrisin en az bir sütununun diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olmasına izin verin, örneğin, burada bazı sayılar vardır.

O halde , yani sütunların lineer kombinasyonu sıfıra eşittir ve lineer kombinasyonun sayıları arasında en az biri ( için ) sıfır değildir.

Matrisin rankı şöyle olsun. Sıfır olmayan herhangi bir minör mertebeye denir temel . Kesişim noktalarında temel minör bulunan satır ve sütunlara denir. temel .

Aynı mertebeden vektörlerden oluşan bir sistem, eğer sıfır vektörü bu vektörlerden uygun bir lineer kombinasyonla elde edilebiliyorsa, lineer bağımlı olarak adlandırılır. (Bu durumda, önemsiz olacağı için doğrusal bir kombinasyonun tüm katsayılarının sıfıra eşit olmasına izin verilmez.) Aksi takdirde, vektörler doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır. Örneğin, aşağıdaki üç vektör:

kontrol edilmesi kolay olduğu için doğrusal olarak bağımlıdır. Doğrusal bir bağımlılık durumunda, herhangi bir vektör her zaman geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu cinsinden ifade edilebilir. Örneğimizde: veya veya Bu, uygun hesaplamalarla kolayca kontrol edilebilir. Dolayısıyla takip eder aşağıdaki tanım: Bir vektör, bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilemiyorsa, diğer vektörlerden doğrusal olarak bağımsızdır.

Lineer olarak bağımlı mı yoksa lineer olarak bağımsız mı olduğunu belirtmeden bir vektör sistemi düşünün. a sütun vektörlerinden oluşan her sistem için, mümkün olan maksimum sayıda lineer bağımsız vektörü belirlemek mümkündür. Harfi ile gösterilen bu sayı, verilen vektör sisteminin sıralamasıdır. Her matris bir sütun vektör sistemi olarak görülebildiğinden, bir matrisin sıralaması, içerdiği doğrusal olarak bağımsız sütun vektörlerinin maksimum sayısı olarak tanımlanır. Bir matrisin sırasını belirlemek için satır vektörleri de kullanılır. Her iki yöntem de aynı matris için aynı sonucu verir ve en küçüğünü geçemez veya Kare sıralı bir matrisin rankı 0 ile . Tüm vektörler sıfırsa, böyle bir matrisin sıralaması sıfırdır. Tüm vektörler doğrusal olarak birbirinden bağımsızsa, matrisin sıralaması eşittir. Yukarıdaki vektörlerden bir matris oluşturursanız, bu matrisin sıralaması 2'dir. Her iki vektör doğrusal bir kombinasyonla üçte bire indirgenebildiğinden, sıralama 3'ten küçüktür.

Ancak herhangi ikisinin doğrusal olarak bağımsız olduğu doğrulanabilir, dolayısıyla sıra

Sütun vektörleri veya satır vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bir kare matrisin dejenere olduğu söylenir. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşittir ve yukarıda belirtildiği gibi ona ters bir matris yoktur. Bu sonuçlar birbirine eşdeğerdir. Sonuç olarak, sütun vektörleri veya satır vektörleri birbirinden bağımsızsa, bir kare matrise tekil olmayan veya tekil olmayan denir. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşit değildir ve ters matrisi mevcuttur (cf. s. 43)

Bir matrisin rankının oldukça açık bir geometrik yorumu vardır. Matrisin rankı ise, o zaman -boyutlu uzayın vektörler tarafından yayıldığını söyleriz. Eğer vektörlerin rankı hepsini içeren -boyutlu altuzayda yer alıyorsa. Dolayısıyla, matrisin sıralaması, "tüm vektörleri içeren" uzayın gerekli minimum boyutuna karşılık gelir, -boyutlu uzayda -boyutlu alt uzay -boyutlu hiperdüzlem olarak adlandırılır. Matrisin sıralaması, tüm vektörlerin hala içinde bulunduğu hiper düzlemin en küçük boyutuna karşılık gelir.

dikeylik. İki vektör a ve b, skaler çarpımları sıfıra eşitse karşılıklı olarak ortogonal olarak adlandırılır. Eşitlik, D'nin köşegen bir matris olduğu mertebe matrisi için geçerliyse, A matrisinin sütun vektörleri çiftler halinde karşılıklı olarak ortogonaldir. Bu sütun vektörleri normalleştirilirse, yani 1'e eşit bir uzunluğa indirgenirse, eşitlik gerçekleşir ve ortonormal vektörlerden söz edilir. B bir kare matrisse ve eşitlik sağlanıyorsa, B'ye ortogonal matris denir. Bu durumda, formül (1.22)'den ortogonal matrisin her zaman tekil olmadığı sonucu çıkar. Bu nedenle, bir matrisin dikliği, satır vektörlerinin veya sütun vektörlerinin doğrusal bağımsızlığını ifade eder. Tersi doğru değildir: Bir vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığı, bu vektörlerin ikili ortogonalliği anlamına gelmez.

Boyutları (m; n) olan bir A matrisinin keyfi olarak seçilmiş k satırı ve k sütunu olsun (k ≤ min(m; n)). Seçilen satırların ve sütunların kesişme noktasında bulunan matris elemanları, determinantı k y mertebesinden minör M kk veya A matrisinin k'inci mertebeden minörü olarak adlandırılan, k mertebesinden bir kare matris oluşturur.

Bir matrisin sıralaması, A matrisinin sıfır olmayan minörlerinin maksimum sırası r'dir ve r mertebesinin sıfır olmayan herhangi bir minörü, temel minör olarak adlandırılır. Tanımlama: derece A = r. Eğer rang A = rang B ise ve A ve B matrislerinin boyutları aynıysa, A ve B matrislerinin eşdeğer olduğu söylenir. Tanımlama: A ~ B.

Bir matrisin sırasını hesaplamak için ana yöntemler, küçükler yöntemi ve .

Saçak Küçük Yöntemi

Küçükleri sınırlama yönteminin özü aşağıdaki gibidir. Sıfırdan farklı olan k mertebesinden bir minör zaten matriste bulunsun. O zaman yalnızca k + 1 mertebesindeki minörler, sıfırdan farklı k'inci mertebe minörü içeren (yani sınır) aşağıda kabul edilir. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası k'ye eşittir, aksi takdirde (k + 1) inci mertebenin sınırdaki küçükleri arasında sıfır olmayan bir tane vardır ve tüm prosedür şu şekildedir: tekrarlandı.

Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımsızlığı

Bir matrisin sıralaması kavramı, satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımsızlığı kavramıyla yakından ilgilidir.

eşitliğin doğru olduğu λ 1 , λ 2 , λ k sayıları varsa doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılırlar:

A matrisinin satırları, yukarıdaki eşitlik yalnızca tüm sayıların λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 olduğu durumda mümkünse, doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır.

A matrisinin sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı benzer şekilde tanımlanır.

A matrisinin herhangi bir satırı (a l) (burada (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) şu şekilde temsil edilebilir:

Sütunların doğrusal kombinasyonu kavramı da benzer şekilde tanımlanır. Minör bazında aşağıdaki teorem geçerlidir.

Temel satırlar ve temel sütunlar doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (veya sütunu), temel satırların (sütunlar), yani temel minörü kesen satırların (sütunlar) doğrusal bir kombinasyonudur. Böylece, A matrisinin sıralaması: rang A = k, A matrisinin doğrusal olarak bağımsız maksimum satır (sütun) sayısına eşittir.

Onlar. bir matrisin rankı, determinantı sıfıra eşit olmayan, rankını belirlemek istediğiniz matris içindeki en büyük kare matrisin boyutudur. Orijinal matris kare değilse veya kare ise ancak determinantı sıfırsa, daha küçük sıradaki kare matrisler için satırlar ve sütunlar keyfi olarak seçilir.

Belirleyiciler dışında, bir matrisin sıralaması, matrisin doğrusal olarak bağımsız satır veya sütunlarının sayısıyla hesaplanabilir. Hangisi daha azsa, doğrusal olarak bağımsız satır veya sütun sayısına eşittir. Örneğin, bir matrisin 3 lineer bağımsız satırı ve 5 lineer bağımsız sütunu varsa, o zaman rankı üçtür.

Bir matrisin rankını bulma örnekleri

Kenarlık küçükleri yöntemiyle matrisin sırasını bulun

Çözüm İkinci dereceden minör

sınır minör M 2 de sıfırdan farklıdır. Bununla birlikte, her iki reşit de M3 ile sınırlanan dördüncü derecedendir.

sıfıra eşittir. Bu nedenle, A matrisinin rankı 3'tür ve temel minör, örneğin yukarıda sunulan minör M3'tür.

Yöntem temel dönüşümler bir matrisin temel dönüşümlerinin sıralamasını değiştirmediği gerçeğine dayanır. Bu dönüşümleri kullanarak matrisi a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)) dışındaki tüm öğeleri sıfıra eşit olduğunda forma getirebilirsiniz. Bu açıkça, rank A = r anlamına gelir. n'inci dereceden bir matris, bir üst üçgen matris, yani ana köşegenin altındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matris biçimindeyse, o zaman üzerindeki elemanların çarpımına eşit olarak belirlenir. ana köşegen. Bu özellik, temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını hesaplarken kullanılabilir: matrisi bir üçgene indirgemek için bunları kullanmak gerekir ve ardından uygun determinantı seçerek, mertebenin matris, ana köşegenin sıfır olmayan elemanlarının sayısına eşittir.

Temel dönüşümler yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını bulun

ÇÖZÜM. i. satır matris A sembolü α ben . İlk aşamada, temel dönüşümler gerçekleştiriyoruz

İkinci aşamada dönüşümleri gerçekleştiriyoruz.

Matris– dikdörtgen masa belirli bir sırada düzenlenmiş keyfi sayılar, boyut m * n (sütun başına satır). Matris elemanları, i'nin satır numarası ve j'nin sütun numarası olduğu yerde gösterilir.

Ek (çıkarma) matrisler yalnızca tek boyutlu matrisler için tanımlanır. Matrislerin toplamı (farkı), elemanları sırasıyla orijinal matrislerin elemanlarının toplamı (farkı) olan bir matristir.

Çarpma (bölme)sayı başına– matrisin her elemanının bu sayı ile çarpılması (bölünmesi).

Matris çarpımı yalnızca birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olan matrisler için tanımlanır.

matris çarpımı elemanları aşağıdaki formüllerle verilen bir matristir:

Matris aktarımı satırları (sütunları) orijinal A matrisindeki sütunlar (satırlar) olan bir B matrisidir. belirtilen

ters matris

matris denklemleri– A*X=B şeklindeki denklemler matrislerin çarpımıdır, cevap verilen denklem kurallar kullanılarak bulunan matrixX'tir:

1. Matrisin sütunlarının (satırlarının) doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı. Doğrusal bağımlılık kriteri, matrisin sütunlarının (satırlarının) doğrusal bağımlılığı için yeterli koşullar.

Satır (sütun) sistemine denir Doğrusal bağımsız, doğrusal kombinasyon önemsiz ise (eşitlik yalnızca a1…n=0 olduğunda geçerlidir), burada A1…n sütunlardır (satırlar) ve a1…n genişleme katsayılarıdır.

kriter: Bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olması için, sistemin vektörlerinden en az birinin sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi gerekli ve yeterlidir.

yeterli koşul:

1. Matris belirleyicileri ve özellikleri

Matris belirleyici (belirleyici) bir kare matris için A'nın matrisin elemanlarından aşağıdaki formülle hesaplanabileceği bir sayıdır:

, öğenin tamamlayıcı minörü nerede

Özellikler:

1. Ters matris, ters matrisi hesaplamak için algoritma.

ters matris X ile birlikte bir kare matris Kare matris A aynı mertebedendir, şu koşulu karşılar: burada E, A ile aynı mertebeden birim matristir. Sıfır olmayan determinantlı herhangi bir kare matrisin 1'i vardır ters matris. Temel dönüşümler yöntemi kullanılarak ve aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Bir matrisin rankı kavramı. Temel minör teoremi. Matris determinantının sıfıra eşit olma kriteri. Matrislerin temel dönüşümleri. Sıralamanın temel dönüşümler yöntemiyle hesaplanması. Temel dönüşümler yöntemiyle ters matrisin hesaplanması.

Matris sıralaması - temel küçük sipariş (rg A)

Temel minör - r mertebesinden bir minör sıfıra eşit değildir, öyle ki r+1 mertebesinden ve daha yüksek tüm minörler sıfıra eşittir veya yoktur.

Temel minör teorem - Rastgele bir A matrisinde, her sütun (satır), minör tabanın bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir kombinasyonudur.

Kanıt: Temel minör, boyutları m*n olan bir A matrisinin ilk r satırında ve ilk r sütununda yer alsın. Karşılık gelen elemanları A matrisinin temel minörüne atayarak elde edilen determinantı düşünün. s-inci çizgi ve k'inci sütun.

Herhangi biri için ve bu determinantın sıfıra eşit olduğuna dikkat edin. veya ise, o zaman determinant D iki özdeş satır veya iki özdeş sütun içerir. Eğer u ise, (r + λ)-ro sırasının minörü olduğu için D determinantı sıfıra eşittir. Determinantı son satır boyunca genişleterek şunu elde ederiz: son satırın elemanlarının cebirsel tümleyenleri burada. Bunun temel bir küçük olduğundan beri unutmayın. Bu nedenle, nerede İçin son eşitliği yazarak, elde ederiz , yani k'inci sütun(herhangi biri için) kanıtlanacak olan temel minör sütunlarının doğrusal bir kombinasyonu vardır.

kriter detA=0– Determinant, ancak ve ancak satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa sıfıra eşittir.

temel dönüşümler:

1) bir diziyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

2) bir satırın öğelerine başka bir satırın öğelerinin eklenmesi;

3) çizgilerin permütasyonu;

4) aynı satırlardan (sütunlardan) birinin silinmesi;

5) yer değiştirme;

Derece Hesaplama - Temel küçük teoremden, A matrisinin sırasının maksimum doğrusal olarak bağımsız satır sayısına (matristeki sütunlar) eşit olduğu sonucu çıkar, bu nedenle temel dönüşümlerin görevi, tüm doğrusal olarak bağımsız satırları (sütunları) bulmaktır.

Ters Matris Hesaplaması- Dönüşümler, karşılık gelen temel matrislerin ürünü olan bazı T matrislerini A matrisiyle çarparak uygulanabilir: TA = E.

Bu denklem, dönüşüm matrisinin (T) matrisin tersi olduğu anlamına gelir. O zaman ve bu nedenle,