N'inci dereceden determinant kavramı. N'inci dereceden determinantlar; küçükler ve cebirsel tümleyenler. N'inci dereceden determinantların özellikleri ve hesaplanması

BELİRLEYİCİLER. MATRİSLER

1. N'inci dereceden determinant kavramı.

2. 2. ve 3. derecenin determinantlarını hesaplama yöntemleri.

3. Laplace teoremi.

4. Matrisler ve çeşitleri. Matrisler üzerindeki eylemler.

5. Ters matris.

6. Matris sıralaması.

1. N'inci dereceden determinant kavramı.

N'inci dereceden determinant, n satır ve n sütun içeren kare bir tablo olarak yazılır:

Sayılar ve ij determinantın elemanlarıdır, i satır numarasıdır, j sütun numarasıdır, n determinantın sırasıdır.

Aynı indekse sahip elemanlardan oluşan bir determinantın köşegenine denir ana , diğeri denir taraf .

N'inci derecenin determinantı, n'nin cebirsel toplamı olan bir sayıdır! Her biri n elemanın çarpımı olan terimler, her satır ve her sütundan birer tane alınır ve her terimin işareti, bileşiminde yer alan elemanlar tarafından belirlenir.

Belirleyicilerin temel özellikleriN - sipariş.

1. Satırları sütunlarla değiştirirken determinantın değeri değişmez.

2. İki satır (sütun) yeniden düzenlendiğinde determinantın işareti değişir.

3. Determinantın herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, determinant sıfıra eşittir.

4. Bir determinantın iki aynı veya orantılı satırı (sütunları) varsa, böyle bir determinant sıfıra eşittir.

5. Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ortak faktörü, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

6. Bir satırın (sütun) elemanları aynı sayıyla çarpılarak başka bir satırın (sütun) elemanları toplanırsa determinantın değeri değişmeyecektir.

7. Bir satırın (sütun) elemanları, diğer iki (veya daha fazla) satırın (sütunların) karşılık gelen elemanlarının doğrusal bir kombinasyonu ise, o zaman böyle bir determinant sıfıra eşittir.

2. 2. ve 3. derecenin determinantlarını hesaplama yöntemleri.

Boyut determinant denir ikinci emir ve belirtir.

Böylece,

Belirleyici üçüncü derece miktarı adlandırın

Bu formül denir Sarrus kuralı 3. dereceden determinantların hesaplanması için (“üçgenler kuralı”). Formülü daha iyi hatırlamak için birinci ve ikinci sütunları determinantına ekleyerek bir Sarrus tablosu oluşturabilirsiniz. O zaman tüm terimler köşegenler boyunca uzanan elemanların çarpımı olacaktır.

Örnekler: Belirleyicileri hesaplayın:

A)

3. Laplace teoremi.

Yüksek dereceli determinantların doğrudan hesaplanması çok zordur, bu nedenle bunları hesaplamak için, belirli bir determinantın sırasını azaltmaya izin veren Laplace teoreminin yanı sıra determinantların özellikleri de kullanılır.

Determinant verilsin:

Bu determinantın kesişiminde a ij öğesinin bulunduğu i'inci satırın ve j'inci sütunun üzerini çizelim. Daha sonra M ij determinantını elde ederiz.

(n-1) -inci sıra, buna denir küçük eleman a ben .

Cebirsel Tümleyen A ben a ij elemanına bu elemanın minörü denir ve i+j indekslerinin toplamı çift sayı ise (+) işaretiyle, bu toplam tek sayı ise (-) işaretiyle alınır;

A ben = (-1) Ben + J M ben

Örnek.Üçüncü dereceden bir determinant verildiğinde

a 32 öğesinin küçük ve cebirsel tümleyenini bulun.

Çözüm. ,

Laplace teoremi: Bir satırın (sütun) elemanlarının çarpımlarının karşılık gelenlerine göre toplamı cebirsel eklemeler determinantına eşit, yani

Bu teorem, determinantı bazı satır veya sütunların elemanlarına ayırmayı ve hesaplamasını daha düşük dereceli determinantların hesaplanmasına indirgemeyi mümkün kılar. Bu durumda, belirli bir satırın (sütun) elemanları arasında sıfırlar varsa determinantın hesaplanması büyük ölçüde basitleştirilir.

4. Matrisler ve türleri. Matrisler üzerindeki eylemler.

kxn boyutunda bir matris dikdörtgen masa sayılar:

.

a ij sayılarına onun elemanları denir. Kompakt formda matris şu şekilde yazılabilir:, i=1, …, k, j=1, …, n. Matrisler büyük harflerle A, B, C, ... ile gösterilir, matris elemanları çift indeksli küçük harflerle gösterilir.

Matris türleri.

Matris denir kare N-inci sıra satır sayısı sütun sayısına eşitse ve n'ye eşitse.

Tek satırlı matris denir matris satırı.

Tek sütunlu matrise denir matris-sütun.

A matrisindeki satır ve sütunları yeniden düzenlersek yeni bir A T matrisi elde ederiz. aktarılmış A matrisine:

Tüm elemanları 0'a eşit olan matrise denir hükümsüz.

Ana köşegeni boyunca elemanları 1 ve geri kalan elemanları sıfır olan kare matrise denir. Bekar matris. E harfi ile gösterilir.

N'inci dereceden bir kare matris denir dejenere (özel), elemanlarından oluşan n'inci derecenin determinantı sıfıra eşitse. Bu determinant sıfır değilse matris denir dejenere olmayan (tekil olmayan).

İki matris denir eşit, karşılık gelen elemanları aynı şekilde eşitse.

Matrisler üzerindeki eylemler.

1. Matrislerin toplanması (çıkarılması).

Aynı boyuttaki iki matris, yani Aynı sayıda satıra ve aynı sayıda sütuna sahip matrisler toplanabilir (çıkarılabilir). Bu durumda, iki matrisin toplamı (farkı), elemanları bu matrislerin karşılık gelen elemanlarının toplamına (farkına) eşit olan yeni bir matris olarak anlaşılır.

2. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak.

Bir matrisi bir sayıyla çarpmak için bu matrisin her elemanını o sayıyla çarpmanız gerekir.

3. Matris çarpımı.

İki matris ancak şu durumlarda çarpılabilir: birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısıyla çakışıyor.

A matrisi ile B matrisinin çarpımı, i-inci satırın ve j-inci sütununun kesişiminde bulunan ijj'li elemanın, i-'nin elemanlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğu yeni bir C matrisidir. A matrisinin inci satırı ve B matrisinin j'inci sütununun elemanları. C matrisinin A matrisi kadar satırı ve B matrisi kadar sütunu vardır. Matrisleri çarpma kuralına “satır sütun” denir.

Yorum : genel durumda matris çarpma işlemi değiştirilemez yani AB ≠ BA.

Örnek. A ve B matrislerinin çarpımını bulun: C=AB,

Nerede , .

n'inci dereceden determinant

N'inci derecenin determinantı veya determinantı şu şekilde yazılmış bir sayıdır:

Ve bu rakamlardan hesaplanıyor(gerçek veya karmaşık) - determinantın unsurları

2. ve 3. derecelerin belirleyicilerini hesaplama şemaları

Cramer teoremi.

(delta) matrisin determinantı olsun A,a sistemleri Matrisin (delta)i-determinantı, serbest sayıların sütunlarının j'inci sütununun değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilir.Bu durumda, (delta) 0'a eşit değilse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır. , formülde tanımlıdır:

1. 2. dereceden determinant aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

2. Üçüncü dereceden determinant aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Üçüncü dereceden determinantın hesaplanması için uygun bir şema vardır (bkz. Şekil 1 ve Şekil 2).

Belirleyicilerin özelliği

1. Matrisin herhangi bir satırı (sütun) yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa determinantı 0'dır.

2. Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanları sayıyla (lambda) çarpılırsa, determinantı bu sayıyla (lambda) çarpılır.

3. Bir matrisin yeri değiştirildiğinde determinantı değişmez.

Transpoze-matematikte bu bir dönüşümdür Kare matris- Sütunları satırlarla değiştirmek veya tam tersi.

4. Bir matrisin iki satırı (sütunları) yeniden düzenlendiğinde determinantının işareti ters yönde değişir.

5. Bir kare matris iki özdeş satır (sütun) içeriyorsa, determinantı 0'dır.

6. Bir matrisin iki satırının (sütunlarının) elemanları orantılıysa determinantı 0'dır

7. Bir matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarının, bu matrisin başka bir satırının (sütununun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı 0'a eşittir.

8. Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarına daha önce aynı sayıyla çarpılmış başka bir satırın (sütun) elemanları eklenirse matrisin determinantı değişmez.

9. Herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tümleyeninin b1,b2,...,bn sayılarının çarpımlarının toplamı, bu satırın elemanlarının bu şekilde değiştirilmesinden elde edilen matrisin determinantına eşittir. (sütun) b1,b2,...bn.

10. İki kare matrisin çarpımının determinantı, |C|=|A|*|B| determinantlarının çarpımına eşittir; burada C=A*B;A ve n'inci dereceden B matrisleri.

Belirleyiciler için genişletilmiş ifade dikkate alındığında

Her terimin, determinantın her satırından ve her sütunundan bir öğeyi faktörler olarak içerdiğini ve bu türden tüm olası çarpımların, artı veya eksi işaretiyle determinantın içine dahil edildiğini not ediyoruz. Bu özellik, determinant kavramını herhangi bir mertebeden kare matrislere genelleştirmek için temel olarak kullanılır. Yani: sıralı bir kare matrisin determinantı veya kısaca sıranın determinantı, matris elemanlarının her satırdan birer ve her sütundan birer alınan tüm olası çarpımlarının cebirsel toplamıdır ve elde edilen ürünler şu şekilde donatılmıştır: iyi tanımlanmış bir kurala göre artı ve eksi işaretleriyle. Bu kural getirildi

oldukça karmaşık bir şekilde ve bunun formülasyonu üzerinde durmayacağız. Belirleyicinin aşağıdaki en önemli temel özelliğini sağlayacak şekilde kurulduğuna dikkat etmek önemlidir:

1. İki satır yeniden düzenlendiğinde determinantın işareti ters yönde değişir.

2. ve 3. dereceden bir determinant için bu özellik doğrudan hesaplamayla kolayca doğrulanabilir. Genel durumda, burada formüle etmediğimiz işaretler kuralına dayanarak kanıtlanır.

Determinantlar, determinantın aşırı hantallığına rağmen, determinantların çeşitli teorik ve sayısal hesaplamalarda başarılı bir şekilde kullanılmasını mümkün kılan bir dizi başka dikkate değer özelliğe sahiptir: sonuçta, n'inci dereceden determinant, görülmesi kolay olduğu gibi, terimler içerir, her terim faktörlerden oluşur ve terimler bazı karmaşık kurallara göre donatılmış işaretlerdir.

Determinantların detaylı ispatlarına fazla girmeden temel özelliklerini sıralamaya geçiyoruz.

Bu özelliklerden ilki yukarıda zaten formüle edilmişti.

2. Matrisin yeri değiştirildiğinde, yani sırayı korurken satırları sütunlarla değiştirirken determinant değişmez.

Kanıt, determinantın terimlerine işaret yerleştirme kurallarının ayrıntılı bir çalışmasına dayanmaktadır. Bu özellik, determinantın satırlarına ilişkin herhangi bir ifadenin sütunlara aktarılmasını mümkün kılar.

3. Bir belirleyici var doğrusal fonksiyon herhangi bir satırının (veya sütununun) öğelerinden. Daha fazla detay

burada dizenin öğelerine bağlı olmayan ifadeler temsil edilir.

Bu özellik, her terimin, özellikle her satırdan bir ve yalnızca bir faktör içermesi gerçeğinden açıkça kaynaklanmaktadır.

Eşitlik (5), determinantın dizenin elemanlarına açılımı olarak adlandırılır ve katsayılara, determinanttaki elemanların cebirsel tamamlayıcıları denir.

4. Bir elemanın cebirsel tümleyeni, determinantın, yani determinantın minörüne işarete kadar eşittir

verilen bir satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen sıralama oranı. Cebirsel tümleyeni elde etmek için küçük işaretiyle birlikte alınmalıdır. Özellikler 3 ve 4, sıra belirleyicinin hesaplamasını sıra belirleyicilerin hesaplanmasına indirger

Belirleyicilerin bir dizi ilginç özelliği, listelenen temel özelliklerden kaynaklanmaktadır. Bunlardan bazılarını listeleyelim.

5. İki özdeş çizgiye sahip bir determinant, bir madde işaretine eşittir.

Nitekim determinantın iki özdeş satırı varsa, bunlar yeniden düzenlendiğinde determinant değişmez çünkü satırlar aynıdır, ancak aynı zamanda ilk özellik nedeniyle işaretini tersine değiştirir. Bu nedenle sıfıra eşittir.

Herhangi bir satırın elemanları ile diğer satırın cebirsel tümleyenlerinin çarpımlarının toplamı sıfırdır.

Aslında böyle bir toplam, bir determinantın, birinde iki özdeş satır bulunan bir şekilde genişletilmesinin sonucudur.

Herhangi bir satırın elemanlarının ortak çarpanı determinant işaretinden çıkarılabilir.

Bu özellik 3'ten kaynaklanmaktadır.

8. İki orantılı satırı olan bir determinant sıfıra eşittir.

Orantılılık faktörünü kaldırmak yeterlidir ve iki eşit doğruya sahip bir determinant elde edeceğiz.

9. Bir satırın elemanlarına başka bir satırın elemanlarıyla orantılı sayılar eklenirse determinant değişmez.

Aslında, özellik 3 sayesinde, dönüştürülmüş determinant: sıfıra eşit olan iki orantılı satıra sahip determinantın orijinal determinantının toplamına eşittir.

Son özellik verir iyi çare Belirleyicileri hesaplamak için. Bu özelliği kullanarak, determinantın değerini değiştirmeden matrisini, herhangi bir satırda (veya sütunda) biri hariç tüm öğeler sıfıra eşit olacak şekilde dönüştürebilirsiniz. Daha sonra, determinantı bu satırın (sütun) elemanlarına genişlettikten sonra, sıranın determinantının hesaplamasını, bir sıranın determinantının, yani seçilen satırın sıfır olmayan tek elemanının cebirsel tamamlayıcısının hesaplanmasına indirgeriz. .

A kare tablosunu düşünün.

Tanım. N'inci dereceden determinant, belirli bir tablonun elemanlarından aşağıdaki kurala göre elde edilen bir sayıdır:

1 .N'inci derecenin determinantı cebirsel toplam n'ye eşittir! üyeler.

Her terim, tablonun her satırından ve her sütunundan alınan n-elemanların çarpımıdır.

2 Elementlerin birinci ve ikinci indislerinin oluşturduğu permütasyonlar aynı paritedeki (hem çift hem de tek) çarpımlarda yer alıyorsa terim artı işaretiyle, aksi durumda ise eksi işaretiyle alınır.

Determinant şu sembolle gösterilir:

veya kısaca det A=.(determinant A)

Tanıma göre = -.

3. dereceden determinantı hesaplama kuralı:

=

Küçükler ve cebirsel tamamlayıcılar

n'inci dereceden (n>1) bir determinant verilsin

Tanım 1. N'inci dereceden determinantın bir elemanının küçüğü, verilen elemanın bulunduğu kesişim noktasında i'inci satır ve j'inci sütunun üzerinin çizilmesiyle A'dan elde edilen (n-1)'inci derecenin determinantıdır.

Örneğin:

=

Tanım 2. Bir elemanın cebirsel tamamlayıcısı sayıdır

N'inci dereceden determinantların temel özellikleri

1. Satır ve sütunların denkliği hakkında.

N'inci dereceden determinantın değeri, satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirilirse değişmez.

2. Eğer determinantların iki satırı (sütun) yer değiştirirse, determinantın işareti ters yönde değişecektir.

= k

Bir determinantın herhangi bir satırının (veya sütununun) tüm elemanları ortak bir faktöre sahipse, bu durumda bu ortak çarpan belirleyici bir işaret olarak çıkarılabilir.

4. Bir determinantın herhangi bir satırının (veya sütununun) tüm elemanları sıfırsa değeri sıfırdır.

5. İki orantılı satırı olan bir determinant 0'a eşittir.

Örneğin:

6. Bir başka satırın karşılık gelen elemanları aynı sayı ile çarpılarak herhangi bir satırın elemanlarına eklenirse determinantın değeri değişmeyecektir.

7. Eğer determinantın herhangi bir i satırının elemanları iki terimin toplamı olarak sunulursa, bu durumda determinant iki determinantın toplamına eşittir; burada i'inci hariç tüm satırlar verilen determinanttakiyle aynıdır, ve bir determinantın i'inci çizgisi ilk terimlerden ve ikincinin ikincisinden oluşur.

8. Determinant, herhangi bir satırındaki tüm elemanların ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir.

=

9. Determinantın herhangi bir satırının tüm elemanlarının, başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir.

Örneğin:

=

Laplace teoremi

Teorem. N, 1 düzeyindeki d determinantında k satır (veya k sütun) keyfi olarak seçilmiş olsun. Bu durumda, seçilen satırlarda bulunan k düzeyindeki tüm küçüklerin ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamı d determinantına eşittir.

Sonuçlar. Laplace teoreminin özel bir durumu, determinantın bir satır veya sütundaki genişlemesidir. Bir kare matrisin determinantını, satır veya sütunlarından herhangi birinin elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamı olarak temsil etmenizi sağlar.

boyutunda bir kare matris olsun. Ayrıca A matrisinin bazı satır numarası i veya sütun numarası verilsin. O zaman A'nın determinantı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

İ'inci satırdaki ayrıştırma:

J. satır boyunca ayrıştırma:

i. satır ve j. sütunda bulunan minörün cebirsel tümleyeni nerededir?

Bu ifade Laplace teoreminin özel bir durumudur. K'yı 1'e eşitleyip inci satırı seçmeniz yeterli, o zaman bu satırda yer alan küçükler elementlerin kendisi olacaktır.

Kendi kendine çözüm örnekleri.

1. Denklemlerden x'i bulun ve kökü determinantın yerine koyarak kontrol edin.

A); B)

N'inci dereceden determinantların hesaplanmasına yönelik yöntemler.

Sıralı bir set verilsin N elementler. Herhangi bir düzenleme N belirli bir sıraya göre sıralanan elementlere denir yeniden düzenleme bu unsurlardan.

Her element numarasına göre belirlendiğinden, şunu söyleyeceğiz: N doğal sayılar.

Farklı permütasyonların sayısı N sayılar n'ye eşittir!

Bazı permütasyonlarda ise N sayılar numarası Ben maliyetler daha erken J, Ancak Ben > J yani daha büyük sayı küçük olanın önünde duruyor, sonra çiftin Ben, Jşuna eşittir: ters çevirme.

Örnek 1. Permütasyondaki ters çevirme sayısını belirleyin (1, 5, 4, 3, 2)

Çözüm.

5 ve 4, 5 ve 3, 5 ve 2, 4 ve 3, 4 ve 2, 3 ve 2 sayıları ters çevrilmeleri oluşturur. Bu permütasyondaki toplam ters çevirme sayısı 6'dır.

Permütasyon denir eşit, eğer içindeki ters çevirmelerin toplam sayısı çift ise, aksi takdirde denir garip. Yukarıda tartışılan örnekte eşit bir permütasyon verilmiştir.

Biraz permütasyon verilsin..., Ben, …, J, … (*) . Hangi sayılarda dönüşüm Ben Ve J yer değiştirip geri kalanların yerinde kalmasına denir. aktarma. Numara aktarımından sonra Ben Ve J permütasyonda (*) yeniden düzenleme yapılacak... J, …, Ben, ..., hariç tüm öğeler Ben Ve J, yerlerinde kaldı.

Herhangi bir permütasyondan N sayılar, birkaç transpozisyon kullanarak bu sayıların başka herhangi bir permütasyonuna gidebilirsiniz.

Her transpozisyon permütasyonun paritesini değiştirir.

Şu tarihte: N ≥ 2 çift ​​ve tek permütasyonların sayısı N sayılar aynı ve eşittir.

İzin vermek M– sipariş edilen set N elementler. Bir kümenin her bijektif dönüşümü M isminde ikameNderece.

Değişiklikler şu şekilde yazılır: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> ve hepsi bu pek farklıdır.

ikame isminde eşit, eğer her iki satırı (permütasyon) aynı pariteye sahipse, yani her ikisi de çift veya her ikisi de tekse. Aksi takdirde ikame isminde garip.

Şu tarihte: N ≥ 2 çift ​​ve tek oyuncu değişikliği sayısı No dereceleri aynı ve eşittir.

İkinci dereceden A= kare matrisinin determinantı şuna eşit olan sayıdır: a11a22–a12a21.

Bir matrisin determinantına aynı zamanda denir belirleyici. A matrisinin determinantı için şu gösterim kullanılır: det A, ΔA.

Belirleyici kare matrisler bir= üçüncü derece│A│='a eşit olan sayıyı arayın a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Son formülün sağ tarafındaki cebirsel toplamın her terimi, her sütundan ve her satırdan bir ve yalnızca bir tane alınan matris elemanlarının çarpımıdır. Ürünün işaretini belirlemek için, Şekil 1'de şematik olarak gösterilen kuralı (buna üçgen kuralı denir) bilmek faydalıdır:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" genişlik = "73" yükseklik = "75 src = ">.

Çözüm.

A, karmaşık elemanlara sahip n'inci dereceden bir matris olsun:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width = "112" height = "27 src = "> (1) ..gif" genişlik = "111" yükseklik = "51"> (2) .

n'inci derecenin determinantı veya n>1 için A=(aij) kare matrisinin determinantı, formun tüm olası çarpımlarının cebirsel toplamıdır. (1) ve iş (1) karşılık gelen değişiklik ise “+” işaretiyle alınır (2) çift ​​ve eğer değişiklik tek ise “-” işaretiyle.

Küçük Mben eleman aij determinant, orijinalden silinerek elde edilen bir determinanttır Bençizgi ve J- sütun.

Cebirsel tamamlayıcı Aben eleman aij determinantına sayı denir Aben=(–1) Ben+ JMben, Nerede Mben – küçük öğe aij.

Belirleyicilerin özellikleri

1. Tüm satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirirken determinant değişmez (değiştirirken determinant değişmez).

2. İki satır (sütun) yer değiştirdiğinde determinantın işareti değişir.

3. İki özdeş (orantılı) satıra (sütuna) sahip bir determinant sıfıra eşittir.

4. Bir satırın (sütun) tüm elemanları için ortak olan faktör, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

5. Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanları, belirli bir satırın (sütun) elemanlarına sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa eklenirse determinant değişmeyecektir.

6. Bir determinantın belirli bir satırının (sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, sıfıra eşittir.

7. Belirleyici, herhangi bir sıranın (sütun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir (determinantı bir satırda (sütun) ayrıştırma özelliği).

Bazılarına bakalım Sıra belirleyicilerini hesaplamanın yolları N .

1. Eğer n'inci dereceden bir determinantta en az bir satır (veya sütun) sıfırlardan oluşuyorsa determinant sıfıra eşittir.

2. N'inci dereceden determinanttaki bazı satırların sıfırdan farklı öğeler içermesine izin verin. Bu durumda n'inci dereceden determinantın hesaplanması, n-1 dereceli determinantın hesaplanmasına indirgenebilir. Aslında, determinantın özelliklerini kullanarak, bir satırın bir hariç tüm öğelerini sıfır yapabilir ve ardından determinantı belirtilen satır boyunca genişletebilirsiniz. Örneğin, determinantın satırlarını ve sütunlarını, yerinde olacak şekilde yeniden düzenleyelim. a11 sıfır olmayan bir elementti.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" genişlik = "32 yükseklik=37" yükseklik = "37">.gif" genişlik = "307" yükseklik = "101 src = ">

Satırları (veya sütunları) yeniden düzenlemenin gerekli olmadığını unutmayın. Determinantın herhangi bir satırında (veya sütununda) sıfır alabilirsiniz.

Belirli bir derecenin determinantının tanım gereği doğrudan hesaplanması dışında, n. derecenin determinantlarını hesaplamak için genel bir yöntem yoktur. Bir veya başka bir özel türün determinantına uygulanır çeşitli metodlar Daha basit belirleyicilere yol açan hesaplamalar.

3. Üçgen formuna alalım. Determinantın özelliklerini kullanarak, onu ana köşegenin bir tarafında duran tüm elemanların sıfıra eşit olduğu üçgen formuna indirgeyebiliriz. Ortaya çıkan üçgen determinantı ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir. İkincil köşegenin bir tarafında sıfır almak daha uygunsa, https://pandia.ru/text/78/456/ işaretiyle alınan ikincil köşegen elemanlarının çarpımına eşit olacaktır. resimler/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Örnek 3. Satır genişletmeye göre determinantı hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Örnek 4. Dördüncü dereceden determinantı hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width = "373" height = "96 src = ">.

2. yöntem(determinantı doğru boyunca genişleterek hesaplamak):

Bu determinantı, bazı satırlarda biri hariç tüm elemanların sıfır olacağı şekilde önceden dönüştürerek satır genişletme yoluyla hesaplayalım. Bunu yapmak için determinantın ilk satırını üçüncüye ekleyin. Daha sonra üçüncü sütunu (-5) ile çarpın ve dördüncü sütuna ekleyin. Dönüştürülen determinantı üçüncü çizgi boyunca genişletiyoruz. Üçüncü dereceden minörü ana köşegene göre üçgen forma indirgedik.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width = "202" height = "121 src = ">

Çözüm.

İkinciyi ilk satırdan, üçüncüyü ikinciden vb. çıkaralım ve son olarak sondan bir önceki satırdan sonuncuyu çıkaralım (son satır değişmeden kalır).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width = "445" height = "126 src = ">

Toplamdaki ilk determinant ana köşegene göre üçgen olduğundan köşegen elemanların çarpımına yani (n–1)n'ye eşittir. Toplamdaki ikinci determinantı ekleyerek dönüştürüyoruz son satır determinantın önceki tüm satırlarına. Bu dönüşümden elde edilen determinant ana köşegene göre üçgen olacağından köşegen elemanların çarpımına eşit olacaktır, yani nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Laplace teoremini kullanarak determinantın hesaplanması. Determinantta k satır (veya sütun) seçilirse (1 £ k £ n-1), bu durumda determinant, seçilen k satırda (veya sütunda) bulunan tüm k'inci dereceden küçüklerin çarpımlarının toplamına eşittir. ve bunların cebirsel tamamlayıcıları.

Örnek 6. Hesaplama belirleyicisi

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width = "538" height = "209 src = ">

BİREYSEL GÖREV No. 2

“N'İNCİ DERECE BELİRTİCİLERİNİN HESAPLANMASI”

seçenek 1

Hesaplama belirleyicileri

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width = "114" height = "94 src = ">

seçenek 2

Hesaplama belirleyicileri