Matris, dikdörtgen bir sayı tablosudur. matris kavramı
Matris Eylemleri
1. Matris toplama ve çıkarma:
Matris toplama ve çıkarma- üzerlerindeki en basit eylemlerden biri, çünkü iki matrisin karşılık gelen elemanlarını eklemek veya çıkarmak gerekir. Hatırlanması gereken en önemli şey, yalnızca matrisleri toplayıp çıkarabileceğinizdir. aynı beden, yani aynı sayıda satıra ve aynı sayıda sütuna sahip olanlar.
Örneğin, 2x3 boyutunda iki matris verilsin, yani iki satır ve üç sütun ile:
İki matrisin toplamı:
İki matrisin farkı:
2. Bir matrisi bir sayı ile çarpmak:
Bir matrisi bir sayı ile çarpmak - bir matrisin her elemanı ile bir sayıyı çarpma işlemi.
Örneğin, bir A matrisi verildiğinde:
3 sayısını matris A ile çarpın:
3. İki matrisin çarpımı:
iki matrisin çarpımı ancak birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması koşuluyla mümkündür. Matrislerin çarpılmasıyla elde edilecek yeni matris, birinci matrisin sütun sayısına eşit satır sayısından ve ikinci matrisin satır sayısına eşit sütun sayısından oluşacaktır.
3x4 ve 4x2 boyutlarında iki matris olduğunu varsayalım, yani birinci matris 3 satır ve 4 sütundan, ikinci matris ise 4 satır ve 2 sütundan oluşmaktadır. Çünkü birinci matrisin (4) sütun sayısı ikinci matrisin (4) satır sayısına eşittir, bu durumda matrisler çarpılabilir, yeni matrisin boyutu: 3x2, yani 3 satır ve 2 sütun.
Tüm bunları bir diyagram şeklinde gösterebilirsiniz:
İki matrisin çarpılmasıyla elde edilecek yeni matrisin boyutuna karar verdikten sonra bu matrisi elemanlarla doldurmaya başlayabilirsiniz. Bu matrisin ilk sütununun ilk satırını doldurmanız gerekiyorsa, ikinciyi doldurursak, birinci matrisin ilk satırının her bir öğesini ikinci matrisin ilk sütununun her bir öğesiyle çarpmanız gerekir. sırasıyla birinci sütunun satırı, birinci matrisin ikinci satırının her bir elemanını alacağız ve ikinci matrisin birinci sütunu ile çarpacağız, vb.
Diyagramda nasıl göründüğünü görelim:
Bir örnek üzerinde nasıl göründüğüne bakalım:
Verilen iki matris:
Bu matrislerin ürününü bulun:
4. Matris bölümü:
Matris bölümü- bu konseptte ders kitaplarında bulamayacağınız matrisler üzerinde bir eylem. Ancak A matrisini B matrisine bölme ihtiyacı varsa, bu durumda derecenin özelliklerinden biri kullanılır:
Bu özelliğe göre, A matrisini B matrisine böleriz:
Sonuç olarak, matris bölme sorunu çarpmaya indirgenir. ters matris B matrisinden A matrisine.
ters matris
n'inci dereceden bir kare matris olsun
Matris A -1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci mertebenin birim matrisidir.
Kimlik matrisi- tüm elemanların soldan geçen ana köşegen boyunca olduğu böyle bir kare matris üst köşe sağ alt köşeye, - birler ve geri kalan - sıfırlar, örneğin:
ters matris var olabilir sadece kare matrisler için onlar. aynı sayıda satır ve sütuna sahip matrisler için.
Ters Matris Varlık Koşulu Teoremi
Bir matrisin ters matris olması için dejenere olmaması gerekli ve yeterlidir.
A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal olarak bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rankı denir. Dolayısıyla bir ters matrisin var olması için matrisin rankının boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.
Ters matrisi bulmak için algoritma
A matrisini denklem sistemlerini Gauss yöntemiyle çözmek için tabloya yazın ve sağ tarafa (denklemlerin doğru kısımlarının yerine) matris E'yi atayın.
Jordan dönüşümlerini kullanarak, A matrisini tek sütunlardan oluşan bir matrise getirin; bu durumda, E matrisini aynı anda dönüştürmek gerekir.
Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini) yeniden düzenleyin, böylece orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisi elde edilir.
Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda bulunan A -1 ters matrisini yazın.
örnek 1
A matrisi için A -1 ters matrisini bulun
Çözüm: A matrisini yazıyoruz ve sağda birim matris E'yi atayacağız. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini birim matris E'ye indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de gösterilmektedir. 
Orijinal A matrisi ile A -1 ters matrisini çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.
Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edilir. Bu nedenle, hesaplamalar doğrudur.
Cevap: 
Matrislerin Determinantları (Determinantlar) Matrislerin Determinantları (Determinantlar)
Matris belirleyicileri, yöntem numarası 1:
belirleyici Kare matris (det A) elemanlar üzerinden hesaplanabilen bir sayıdır. matrisler formüle göre:
nerede M 1k - matris determinantı(belirleyici) orijinalden elde edilir matrisler ilk satırı ve k -inci sütunu silerek. bu not alınmalı belirleyiciler sadece kare var matrisler, yani sütun sayısı ile aynı satır sayısına sahip matrisler. İlk formül hesaplamanıza izin verir matris determinantı ilk satırda hesaplama formülü de geçerlidir matris determinantı ilk sütunda: 
Genel konuşma, matris determinantı herhangi bir satır veya sütunda hesaplanabilir matrisler, yani doğru formül şudur:
Açıkçası, farklı matrisler aynı olabilir belirleyiciler. Kimlik matrisi belirleyicisi 1'e eşittir. Belirtilen matrisler Ve M 1k sayısına, öğenin ek minörü denir matrisler bir 1k. Böylece, her bir elemanın olduğu sonucuna varılabilir. matrisler kendi ek yan dalına sahiptir. Ek küçükler yalnızca karede bulunur matrisler.
Karenin isteğe bağlı bir öğesinin tamamlayıcı minörü matrisler a ij eşittir matris determinantı orijinalinden elde edilen matrisler i'inci satırı ve j'inci sütunu silerek.
Matris belirleyicileri, yöntem numarası 2:
matris determinantı ilk sipariş veya belirleyici birinci dereceden, a 11 elemanı şöyle adlandırılır:
matris determinantı ikinci dereceden veya belirleyici ikinci sıra, formülle hesaplanan sayı olarak adlandırılır:
matris determinantıüçüncü dereceden veya belirleyiciüçüncü sıra, formülle hesaplanan sayı olarak adlandırılır:
Bu sayı, altı terimden oluşan cebirsel bir toplamı temsil eder. Her terim, her satırdan ve her sütundan tam olarak bir öğe içerir matrisler. Her terim üç faktörün çarpımından oluşur.
Hangi üyelerle işaretler matris determinantı formüle dahildir bulma matrisi determinantıüçüncü sıra, üçgenler kuralı veya Sarrus kuralı olarak adlandırılan yukarıdaki şema kullanılarak belirlenebilir. İlk üç terim artı işaretiyle alınır ve soldaki şekilden belirlenir, sonraki üç terim eksi işaretiyle alınır ve sağdaki şekilden belirlenir.
Yorum:
hesaplama matris belirleyicileri dördüncü ve daha yüksek mertebe, büyük hesaplamalara yol açar, çünkü:
İçin birinci dereceden, bir faktörden oluşan bir terim buluyoruz;
İçin bulma matrisi determinantı ikinci dereceden, iki terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir; burada her terim iki faktörün çarpımından oluşur;
İçin bulma matrisi determinantıüçüncü dereceden, her terimin üç faktörün çarpımından oluştuğu altı terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir;
İçin bulma matrisi determinantı dördüncü dereceden, yirmi dört terimin cebirsel toplamını hesaplamanız gerekir; burada her terim dört çarpanın çarpımından oluşur ve bu böyle devam eder.
Bulunacak terim sayısını belirleyin matris determinantı, cebirsel bir toplamda faktöriyeli hesaplayabilirsiniz: 1!=1 2!=1×2=2 3!=1×2×3=6 4!=1×2×3×4=24 5! = 1x2x3x4x5 = 120...
Matematikteki matrisler, uygulamalı öneme sahip en önemli nesnelerden biridir. Genellikle matris teorisine bir gezi şu sözlerle başlar: "Bir matris dikdörtgen bir tablodur ...". Bu geziye biraz farklı bir açıdan başlayacağız.
Herhangi bir boyutta ve herhangi bir sayıda abone verisi içeren telefon defterleri, matrislerden başka bir şey değildir. Bu matrisler şöyle görünür:
Hepimizin bu tür matrisleri neredeyse her gün kullandığımız açıktır. Bu matrisler farklı sayıda satırla birlikte gelir (binlerce, yüzbinlerce hatta milyonlarca hattan oluşan bir telefon şirketi tarafından yayınlanan bir telefon rehberi ve yeni başladığınız yeni bir hat olarak farklılık gösterirler. Not defteri, içinde on satırdan az olan) ve sütunlar (bazı kuruluşların görevlilerinin bulunduğu, içinde konum ve ofis numarası gibi sütunların olabileceği bir dizin ve aynı defter, başka hiçbir verinin olmayabileceği) ad ve bu nedenle, yalnızca iki sütunu vardır - ad ve telefon numarası).
Herhangi bir matris eklenebilir ve çarpılabilir, ayrıca bunlar üzerinde başka işlemler yapılabilir, ancak toplamaya ve çarpmaya gerek yoktur. telefon rehberleri, bundan bir fayda yok, ayrıca zihninizi hareket ettirebilirsiniz.
Ancak pek çok matris toplanabilir ve çarpılmalıdır ve çeşitli acil görevler bu şekilde çözülebilir. Aşağıda bu tür matrislerin örnekleri verilmiştir.
Sütunların belirli bir ürün tipinin birimlerinin çıktısı olduğu ve satırların bu ürünün çıktısının kaydedildiği yıl olduğu matrisler:
Sektör için özet veriler elde etmek için çeşitli işletmelerin benzer ürünlerin üretimini dikkate alan bu tür matrisler ekleyebilirsiniz.
Veya satırların belirli bir ürün türünün ortalama maliyeti olduğu, örneğin bir sütundan oluşan matrisler:
Son iki türün matrisleri çarpılabilir ve sonuç, tüm ürün türlerinin yıllara göre maliyetini içeren bir satır matrisidir.
Matrisler, temel tanımlar
Düzenlenmiş sayılardan oluşan dikdörtgen tablo Mçizgiler ve N sütun denir mn matrisi (ya da sadece matris ) ve şöyle yazılır:
(1)
Matris (1) 'deki sayılara onun adı verilir. elementler (belirleyicide olduğu gibi, ilk indeks satır sayısı anlamına gelir, ikincisi - kesiştiği noktada bir öğenin bulunduğu sütun; Ben = 1, 2, ..., M; J = 1, 2, N).
matris denir dikdörtgen , Eğer .
Eğer M = N, sonra matris denir kare ve n sayısı onun sırayla .
A kare matrisinin determinantı elemanları matrisin elemanları olan determinant olarak adlandırılır. A. | sembolü ile gösterilir. A|.
Kare matris denir özel olmayan (veya dejenere olmayan , tekil olmayan ) determinantı sıfıra eşit değilse ve özel (veya dejenere , tekil ) determinantı sıfır ise.
matrisler denir eşit aynı sayıda satır ve sütuna sahiplerse ve eşleşen tüm öğeler aynıysa.
matris denir hükümsüz tüm elemanları sıfıra eşitse. sıfır matris sembolü ile gösterilecektir. 0 veya .
Örneğin,
satır matrisi (veya küçük harf ) 1 denir N-matris ve sütun matrisi (veya sütunlu ) – M 1-matris.
Matris A matrisinden elde edilen " A içindeki satırları ve sütunları değiştirmeye denir devrik matrise göre A. Böylece, matris (1) için, devrik matris
Matris işlemine geçiş A" , matrise göre aktarılmış A, matrisin transpozisyonu olarak adlandırılır A. İçin mn- matris devrik deniz mili-matris.
Matrise göre devrik matris, A, yani
(A")" = A .
örnek 1 Matrisi Bul A" , matrise göre aktarılmış
ve orijinal ve devrik matrislerin determinantlarının eşit olup olmadığını öğrenin.
ana köşegen Bir kare matris, her iki indeksin de aynı olduğu öğelerini birbirine bağlayan hayali bir çizgidir. Bu elemanlar denir diyagonal .
Ana köşegenin dışındaki tüm elemanları sıfıra eşit olan kare matrise ne ad verilir? diyagonal . Köşegen bir matrisin tüm köşegen elemanları mutlaka sıfır değildir. Bazıları sıfıra eşit olabilir.
Ana köşegendeki elemanları sıfır olmayan aynı sayıya ve diğerlerinin sıfıra eşit olduğu bir kare matrise denir. skaler matris .
kimlik matrisi tüm köşegen elemanlarının bire eşit olduğu köşegen matris denir. Örneğin, üçüncü dereceden kimlik matrisi, matristir.
Örnek 2 Matris verileri:
Çözüm. Bu matrislerin determinantlarını hesaplayalım. Üçgenler kuralını kullanarak buluruz
Matris belirleyici B formülle hesapla 
bunu kolayca anlarız 
Bu nedenle, matrisler A ve tekil değildir (dejenere olmayan, tekil olmayan) ve matris B- özel (dejenere, tekil).
Herhangi bir mertebeden bir birim matrisin determinantı açıkça bire eşit.
Matris problemini kendiniz çözün ve sonra çözümü görün
Örnek 3 Matris verileri
,
,
Hangilerinin tekil olmadığını (dejenere olmayan, tekil olmayan) belirleyin.
Matrislerin matematiksel ve ekonomik modellemede uygulanması
Matris biçiminde, belirli bir nesneyle ilgili yapılandırılmış veriler basit ve kullanışlı bir şekilde yazılır. Matris modelleri sadece bu yapılandırılmış verileri depolamak için değil, aynı zamanda bu verilerle çeşitli sorunları çözmek için de oluşturulur. lineer Cebir.
Nitekim ekonominin bilinen matris modeli, Rus asıllı Amerikalı iktisatçı Wassily Leontiev tarafından ortaya atılan girdi-çıktı modelidir. Bu model, ekonominin tüm imalat sektörünün bölümlere ayrıldığı varsayımına dayanmaktadır. N temiz endüstriler Endüstrilerin her biri yalnızca bir tür ürün üretir ve farklı endüstriler farklı ürünler üretir. Endüstriler arasındaki bu işbölümü nedeniyle, endüstriler arası ilişkiler vardır ve bunun anlamı, her endüstrinin üretiminin bir kısmının üretim kaynağı olarak diğer endüstrilere aktarılmasıdır.
Üretim hacmi Ben- raporlama dönemi boyunca üretilen, ile gösterilen ve toplam çıktı olarak adlandırılan (belirli bir ölçü birimiyle ölçülen) sektör Ben inci endüstri. Sorunlar uygun bir şekilde yerleştirilir N matrisin bileşen satırı.
Ürün birimi sayısı Ben-harcanacak sektör Jçıktısının bir biriminin üretimi için -inci endüstri, doğrudan maliyet katsayısı olarak adlandırılır ve belirtilir.
Bu konuda, matris kavramının yanı sıra matris türlerini de ele alacağız. Bu konuda çok fazla terim olduğundan, materyalde gezinmeyi kolaylaştırmak için bir özet ekleyeceğim.
Bir matrisin tanımı ve elemanı. Gösterim.
Matris$m$ satır ve $n$ sütun içeren bir tablodur. Bir matrisin öğeleri, tamamen farklı nitelikteki nesneler olabilir: sayılar, değişkenler veya örneğin diğer matrisler. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matrisinin 3 satırı ve 2 sütunu vardır; elemanları tam sayıdır. $\left(\begin(dizi) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(dizi) \right)$ matrisi 2 satır ve 4 sütun içerir.
Matris yazmanın farklı yolları: show\hide
Matris sadece yuvarlak parantez içinde değil, kare veya çift düz parantez içinde de yazılabilir. Yani, aşağıdaki girişler aynı matrisi ifade eder:
$$ \left(\begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \sağ);\;\; \left[ \begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \sağ]; \;\; \left \Vert \begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \right \Vert $$
$m\times n$ çarpımı denir matris boyutu. Örneğin, matris 5 satır ve 3 sütun içeriyorsa, $5\time 3$ matrisinden söz edilir. $\left(\begin(dizi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ matrisinin boyutu $3 \times 2$'dir.
Matrisler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: $A$, $B$, $C$, vb. Örneğin, $B=\left(\begin(dizi) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Satır numaralandırma yukarıdan aşağıya doğru gider; sütunlar - soldan sağa. Örneğin, $B$ matrisinin ilk satırı 5 ve 3 öğelerini içerir ve ikinci sütun 3, -87, 0 öğelerini içerir.
Matrislerin elemanları genellikle küçük harflerle gösterilir. Örneğin, $A$ matrisinin elemanları $a_(ij)$ ile gösterilir. Çift dizin $ij$, matristeki öğenin konumu hakkında bilgi içerir. $i$ sayısı satır numarasıdır ve $j$ sayısı, kesişme noktasında $a_(ij)$ öğesinin bulunduğu sütunun numarasıdır. Örneğin, matrisin ikinci satırı ile beşinci sütununun kesiştiği noktada $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(dizi) \sağ)$ eleman $ a_(25)= $59:
Benzer şekilde, ilk satır ile ilk sütunun kesiştiği noktada $a_(11)=51$; üçüncü satır ile ikinci sütunun kesiştiği noktada - $a_(32)=-15$ öğesi vb. $a_(32)$ öğesinin "a üç iki" olarak okunduğunu ancak "a otuz iki" olarak okunmadığını unutmayın.
Boyutu $m\times n$'ye eşit olan $A$ matrisinin kısaltılmış gösterimi için $A_(m\times n)$ gösterimi kullanılır. Biraz daha detaylı yazabilirsiniz:
$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$
burada $(a_(ij))$ gösterimi, $A$ matrisinin öğelerini belirtir. Tamamen genişletilmiş bir biçimde, $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(dizi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(dizi) \right) $$
Başka bir terimi tanıtalım - eşit matrisler.
Aynı boyutta iki matris $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ olarak adlandırılır eşit karşılık gelen elemanları eşitse, yani Tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için $a_(ij)=b_(ij)$.
$i=\overline(1,m)$ girişi için açıklama: show\hide
"$i=\overline(1,m)$" girişi, $i$ parametresinin 1'den m'ye değiştiği anlamına gelir. Örneğin, $i=\overline(1,5)$ girişi, $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini aldığını söylüyor.
Dolayısıyla, matrislerin eşitliği için iki koşul gereklidir: boyutların çakışması ve karşılık gelen elemanların eşitliği. Örneğin, $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ matrisi, matrise eşit değildir $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ çünkü $A$ matrisi $3\times 2$ ve $B$ matrisi 2$\çarpı 2$. Ayrıca $A$ matrisi $C=\left(\begin(dizi)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(dizi)\sağ) matrisine eşit değildir $ çünkü $a_( 21)\neq c_(21)$ (yani $0\neq 98$). Ancak $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ matrisi için, güvenle $A yazabiliriz =F$ çünkü $A$ ve $F$ matrislerinin hem boyutları hem de karşılık gelen öğeleri çakışıyor.
Örnek 1
Matrisin boyutunu belirleyin $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(dizi) \sağ)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ öğelerinin neye eşit olduğunu belirtin.
Bu matris 5 satır ve 3 sütun içerir, dolayısıyla boyutu $5\× 3$'dir. Bu matris için $A_(5\times 3)$ gösterimi de kullanılabilir.
$a_(12)$ öğesi birinci satır ile ikinci sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(12)=-2$. $a_(33)$ öğesi üçüncü satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(33)=23$. $a_(43)$ öğesi dördüncü satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(43)=-5$.
Cevap: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Boyutlarına bağlı olarak matris türleri. Ana ve yan köşegenler. Matris izi.
Bazı $A_(m\times n)$ matrisi verilsin. $m=1$ ise (matris bir satırdan oluşuyor), verilen matrise denir. matris satırı. $n=1$ ise (matris bir sütundan oluşur), o zaman böyle bir matris denir sütun matrisi. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ bir satır matrisidir ve $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(dizi) \sağ)$ - sütun matrisi.
$A_(m\times n)$ matrisi için $m\neq n$ koşulu doğruysa (yani, satır sayısı sütun sayısına eşit değildir), o zaman genellikle $A$ olduğu söylenir. bir dikdörtgen matristir. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ matrisinin boyutu $2\times 4'tür $, olanlar. 2 satır ve 4 sütun içerir. Satır sayısı sütun sayısına eşit olmadığı için bu matris dikdörtgendir.
$A_(m\times n)$ matrisi için $m=n$ koşulu doğruysa (yani, satır sayısı sütun sayısına eşittir), o zaman $A$'ın bir kare matris olduğu söylenir. $n$ sipariş edin. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikinci dereceden bir kare matristir; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ 3. dereceden bir kare matristir. İÇİNDE Genel görünüm$A_(n\times n)$ kare matrisi şu şekilde yazılabilir:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(dizi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(dizi) \right) $$
$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ öğelerinin açık olduğu söyleniyor ana köşegen$A_(n\times n)$ matrisleri. Bu elemanlar denir ana çapraz elemanlar(veya sadece çapraz elemanlar). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ öğeleri açık yan (ikincil) köşegen; arandılar ikincil çapraz elemanlar. Örneğin $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() matrisi için dizisi) \right)$ elimizde:
$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ öğeleri ana köşegen öğelerdir; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ öğeleri ikincil köşegen öğelerdir.
Ana köşegen elemanların toplamına denir ardından bir matris ve $\Tr A$ (veya $\Sp A$) ile gösterilir:
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Örneğin $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- matrisi için 4 & -9 & 5 & 6 \end(dizi)\right)$ elimizde:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Köşegen elemanlar kavramı, kare olmayan matrisler için de kullanılır. Örneğin $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 matrisi için & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ana köşegen elemanlar $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ olacaktır.
Öğelerinin değerlerine bağlı olarak matris türleri.
$A_(m\times n)$ matrisinin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matrise denir hükümsüz ve genellikle $O$ harfi ile gösterilir. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sıfır matrislerdir.
$A_(m\times n)$ matrisinin şöyle görünmesine izin verin:
Sonra bu matris denir yamuk. Sıfır satır içermeyebilir, ancak varsa, matrisin altında bulunurlar. Daha genel bir formda, bir yamuk matris şu şekilde yazılabilir:
Yine, sondaki boş dizeler isteğe bağlıdır. Onlar. resmi olarak, bir yamuk matris için aşağıdaki koşulları ayırabiliriz:
- Ana köşegenin altındaki tüm elemanlar sıfıra eşittir.
- Ana köşegen üzerinde yer alan $a_(11)$ ile $a_(rr)$ arasındaki tüm elemanlar sıfıra eşit değildir: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
- Ya son $m-r$ satırlarının tüm öğeleri sıfıra eşittir ya da $m=r$ (yani hiç sıfır satır yoktur).
Yamuk matris örnekleri:
Bir sonraki tanıma geçelim. $A_(m\times n)$ matrisi çağrılır adım attı aşağıdaki koşulları karşılıyorsa:
Örneğin, adım matrisleri şöyle olacaktır:
Karşılaştırma için $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & matrisi 0 & 0 \end(array)\right)$ basamaklı değildir çünkü üçüncü satır ikinci satırla aynı sıfır kısmına sahiptir. Yani, "çizgi ne kadar düşükse - sıfır kısmı o kadar büyük" ilkesi ihlal edilir. Trapezoidal bir matris olduğunu ekleyeceğim özel durum adım matrisi.
Bir sonraki tanıma geçelim. Ana köşegenin altında bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matris denir üst üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(dizi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - üst üçgen matris. Üst üçgen matrisinin tanımının, ana köşegenin üzerinde veya ana köşegen üzerinde bulunan elemanların değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Sıfır olabilirler veya olmayabilirler, önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ aynı zamanda bir üst üçgen matrisidir.
Ana köşegenin üzerinde bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matrise denir. alt üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(dizi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alt üçgen matris. Alt üçgen matris tanımının, ana köşegenin altındaki veya üzerindeki öğelerin değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Boş olabilirler veya olmayabilirler, önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ ve $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ da alt üçgen matrislerdir.
Kare matris denir diyagonal bu matrisin ana köşegen üzerinde olmayan tüm elemanları sıfıra eşitse. Örnek: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(dizi)\sağ)$. Ana köşegendeki öğeler herhangi bir şey olabilir (sıfıra eşit veya değil) - bu zorunlu değildir.
Köşegen matris denir Bekar bu matrisin ana köşegende bulunan tüm elemanları 1'e eşitse. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. dereceden birim matris; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$, ikinci dereceden birim matristir.
1. yıl, yüksek matematik, çalışma matrisler ve bunlarla ilgili temel eylemler. Burada matrislerle yapılabilecek ana işlemleri sistematize ediyoruz. Matrislere nasıl başlanır? Tabii ki, en basitinden - tanımlar, temel kavramlar ve en basit işlemler. Sizi temin ederiz ki matrisler, onlara en azından biraz zaman ayıran herkes tarafından anlaşılacaktır!
Matris Tanımı
Matris elemanların dikdörtgen bir tablosudur. Peki, eğer sade dil- sayı tablosu.
Matrisler genellikle büyük harflerle gösterilir. latin harfleriyle. örneğin, matris A , matris B ve benzeri. Matrisler olabilir farklı boyutlar: Dikdörtgen, kare, vektör denilen satır matrisleri ve sütun matrisleri de vardır. Matrisin boyutu satır ve sütun sayısına göre belirlenir. Örneğin, dikdörtgen boyutlu bir matris yazalım. M Açık N , Nerede M satır sayısıdır ve N sütun sayısıdır.
Hangi elementler için ben=j (a11, a22, .. ) matrisin ana köşegenini oluşturur ve köşegen olarak adlandırılır.
Matrislerle neler yapılabilir? Ekle/Çıkar, bir sayı ile çarpmak, kendi aralarında çoğalmak, devrik. Şimdi sırayla matrisler üzerindeki tüm bu temel işlemler hakkında.
Matris toplama ve çıkarma işlemleri
Yalnızca aynı boyuttaki matrisleri ekleyebileceğiniz konusunda sizi hemen uyarıyoruz. Sonuç, aynı boyutta bir matristir. Matrisleri toplamak (veya çıkarmak) kolaydır - sadece karşılık gelen öğelerini ekleyin . Bir örnek alalım. A ve B boyutlu iki matrisin toplamını ikişer ikişer yapalım.
Çıkarma, sadece zıt işaretli, analoji ile gerçekleştirilir.
Herhangi bir matris rastgele bir sayı ile çarpılabilir. Bunu yapmak için, elemanlarının her birini bu sayı ile çarpmanız gerekir. Örneğin ilk örnekteki A matrisini 5 sayısıyla çarpalım:
Matris çarpma işlemi
Tüm matrisler birbiriyle çarpılamaz. Örneğin, iki matrisimiz var - A ve B. Sadece A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşitse birbirleriyle çarpılabilirler. Ayrıca, elde edilen matrisin i'inci satırdaki her elemanı ve j'inci sütun, karşılık gelen elemanların çarpımlarının toplamına eşit olacaktır. i. satır birinci faktör ve ikincinin j. sütunu. Bu algoritmayı anlamak için iki kare matrisin nasıl çarpıldığını yazalım:
Ve gerçek sayılarla bir örnek. Matrisleri çarpalım:
Matris aktarma işlemi
Matris transpozisyonu, karşılık gelen satırların ve sütunların değiştirildiği bir işlemdir. Örneğin, A matrisini birinci örnekten transpoze ederiz:
Matris belirleyici
Determinant, oh determinant, lineer cebirin temel kavramlarından biridir. İnsanlar bir kez ortaya çıktı lineer denklemler ve onların arkasında bir determinant icat etmek zorunda kaldık. Sonunda, tüm bunlarla başa çıkmak size kalmış, o yüzden son hamle!
Determinant, birçok problemi çözmek için gerekli olan bir kare matrisin sayısal bir özelliğidir.
En basit kare matrisin determinantını hesaplamak için, ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının çarpımı arasındaki farkı hesaplamanız gerekir.
Birinci dereceden, yani bir elemandan oluşan bir matrisin determinantı bu elemana eşittir.
Ya matris üçe üç ise? Bu daha zor ama yapılabilir.
Böyle bir matris için, determinantın değeri, ana köşegenin elemanlarının çarpımlarının ve yüzü ana köşegene paralel olan üçgenler üzerinde yatan elemanların çarpımlarının toplamına eşittir; İkincil köşegen ile yüzü ikincil köşegene paralel olan üçgenler üzerinde bulunan elemanların çarpımı çıkarılır.
Neyse ki, matrislerin determinantlarını hesaplamak için büyük bedenler pratikte nadiren olur.
Burada matrisler üzerindeki temel işlemleri ele aldık. Tabii ki, içinde gerçek hayat bir matris denklem sisteminin en ufak bir ipucuyla bile karşılaşamazsınız veya tam tersi - çok daha fazlasıyla yüzleşmek için zor vakalar gerçekten kafanı kırman gerektiğinde. Bu tür durumlar için profesyonel bir öğrenci servisi vardır. Yardım isteyin, kaliteyi alın ve detaylı çözüm, akademik başarının ve boş zamanın tadını çıkarın.
Matrix, temel kavramları ile tanışın. Matrisin tanımlayıcı öğeleri, köşegenleri ve yanlarıdır. Ana olan, birinci satır, birinci sütundaki öğeden başlar ve son sütun, son satırdaki öğeye kadar devam eder (yani soldan sağa gider). Yan köşegen ilk sırada ters yönde başlar, ancak son sütun ve ilk sütunun ve son satırın koordinatlarına sahip olan öğeye devam eder (sağdan sola gider).
gitmek için aşağıdaki tanımlar ve matrislerle cebirsel işlemler, matris türlerini inceleme. En basitleri kare, birim, sıfır ve terstir. Aynı sayıda sütun ve satırda. Transpoze matris, buna B diyelim, A matrisinden sütunları satırlarla değiştirerek elde edilir. Birimde, ana köşegenin tüm elemanları bir, diğerleri sıfırdır. Ve sıfırda, köşegenlerin elemanları bile sıfırdır. Ters matris, orijinal matrisin kimlik formuna geldiği matristir.
Ayrıca, matris ana veya yan eksenlere göre simetrik olabilir. Yani, 1'in satır numarası ve 2'nin sütun numarası olduğu a(1;2) koordinatlarına sahip eleman, a(2;1)'e eşittir. A(3;1)=A(1;3) vb. Eşleştirilmiş matrisler, birinin sütun sayısının diğerinin satır sayısına eşit olduğu matrislerdir (bu tür matrisler çarpılabilir).
Matrislerle yapılabilecek ana işlemler toplama, çarpma ve determinantı bulmadır. Matrisler aynı boyuttaysa yani eşit sayıda satır ve sütuna sahiplerse toplanabilirler. Matrislerde aynı yerde bulunan elemanların toplanması yani a (m;n) ile (m;n) eklenmesi gerekir ki burada m ve n karşılık gelen sütun ve satır koordinatlarıdır. Matrisleri toplarken, sıradan aritmetik toplamanın ana kuralı geçerlidir - terimlerin yerleri değiştiğinde toplam değişmez. Böylece, basit bir a elemanı yerine a + b ifadesi varsa, a + (b + c) \u003d (a + c) + c kurallarına göre başka bir orantılı matristen bir elemana eklenebilir.
Yukarıda verilen tutarlı matrisleri çarpabilirsiniz. Bu durumda, her elemanın A matrisinin satırının ve B matrisinin sütununun ikili olarak çarpılan elemanlarının toplamı olduğu bir matris elde edilir. Çarpma sırasında işlem sırası çok önemlidir. m*n, n*m'ye eşit değildir.
Ayrıca, ana eylemlerden biri bulmaktır. Buna determinant da denir ve şu şekilde gösterilir: det. Bu değer modulo belirlenir, yani asla negatif değildir. Determinantı bulmanın en kolay yolu kare 2x2 matris içindir. Bunu yapmak için, ana köşegenin öğelerini çarpmanız ve bunlardan ikincil köşegenin çarpılmış öğelerini çıkarmanız gerekir.