Gösterim. Konumsal olmayan sayı sistemleri Hangi sayı sistemleri konumsal değildir

Ölçek

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri

Geçmişte var olan ve günümüzde kullanılan çeşitli sayı sistemleri konumsal olmayan ve konumsal olarak ikiye ayrılabilir. Sayıları yazmak için kullanılan işaretlere rakam denir.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde rakamın sayı gösterimindeki konumu temsil ettiği değere bağlı değildir. Konumsal olmayan sayı sistemine bir örnek, sayı olarak Latin harflerini kullanan Roma sistemidir.

Konumsal sayı sistemlerinde bir sayının içindeki rakamın gösterdiği değer, o sayının konumuna bağlıdır. Kullanılan rakam sayısına sayı sisteminin tabanı denir. Bir sayıdaki her rakamın yerine konum denir. Konum ilkesine dayalı olarak bildiğimiz ilk sistem Babil altmışlık sistemidir. İçindeki sayılar iki türdendi; biri birimleri, diğeri onlarcayı gösteriyordu.

Şu anda konumsal sayı sistemleri konumsal olmayan sayı sistemlerine göre daha yaygındır. Bunun nedeni, nispeten az sayıda karakter kullanılarak büyük sayıların yazılmasına izin vermeleridir. Konumsal sistemlerin daha da önemli bir avantajı, bu sistemlerde yazılan sayılar üzerinde aritmetik işlem yapmanın basitliği ve kolaylığıdır.

En yaygın olarak kullanılan Hint-Arap ondalık sistemidir. Bir sayı dizisindeki bir miktarın konumsal önemini belirtmek için sıfırı ilk kullananlar Kızılderililerdi. Bu sisteme on basamaklı olduğundan ondalık sayı sistemi denir.

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri arasındaki fark, en kolay şekilde iki sayının karşılaştırılmasıyla anlaşılır. Konumsal sayı sisteminde iki sayının karşılaştırılması şu şekilde gerçekleşir: Söz konusu sayılarda soldan sağa aynı konumdaki rakamlar karşılaştırılır. Daha büyük bir sayı, daha büyük bir sayı değerine karşılık gelir. Örneğin 123 ve 234 sayıları için 1, 2'den küçüktür, dolayısıyla 234, 123'ten büyüktür. Konumsal olmayan sayı sisteminde bu kural geçerli değildir. Bunun bir örneği iki sayı IX ve VI'nın karşılaştırılması olabilir. I, V'den küçük olmasına rağmen IX, VI'dan büyüktür.

Bir sayının yazıldığı sayı sisteminin tabanı genellikle bir alt simge ile gösterilir. Örneğin 555 7 ondalık sayı sisteminde yazılan bir sayıdır. Bir sayı ondalık sistemde yazılmışsa, taban genellikle belirtilmez. Sistemin tabanı da bir sayıdır ve olağan ondalık sistemde gösterilir. Konumsal sistemdeki herhangi bir tam sayı polinom biçiminde yazılabilir:

Х s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 ·S 1 +A 1 ·S 0

burada S sayı sisteminin tabanını, n ise bu sayı sisteminde yazılan sayının rakamlarını, n ise sayının rakam sayısını göstermektedir.

Yani örneğin 6293 10 sayısı polinom formunda şu şekilde yazılacaktır:

6293 10 =6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Konumsal sayı sistemlerine örnekler:

· İkili (veya 2 tabanı), farklı sayısal değerlerin iki sembol kullanılarak temsil edilmesine olanak tanıyan pozitif tamsayı konumsal (yer) sayı sistemidir. Çoğu zaman bunlar 0 ve 1'dir.

· Sekizli, 8 tabanını temel alan konumsal bir tamsayı sistemidir.Sayıları temsil etmek için 0'dan 7'ye kadar olan rakamları kullanır.Sekizli genellikle dijital cihazların bulunduğu alanlarda kullanılır. Daha önce programlama ve bilgisayar dokümantasyonunda yaygın olarak kullanılıyordu, ancak artık neredeyse tamamen onaltılık sayı ile değiştirildi.

· Ondalık sayı sistemi, 10 tamsayı tabanına dayalı konumsal bir sayı sistemidir. Dünyadaki en yaygın sayı sistemidir. Sayıları yazmak için en sık kullanılan semboller Arap rakamları olarak adlandırılan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur.

· Onikiparmak bağırsağı (antik çağlarda yaygın olarak kullanılmaktadır, bazı belirli bölgelerde bugün hala kullanılmaktadır) - 12 tabanlı bir konumsal sayı sistemi. Kullanılan sayılar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Nijerya ve Tibet'in bazı halkları hala on ikilik sayı sistemini kullanıyor, ancak bunun yankıları hemen hemen her kültürde bulunabilir. Rusça'da "dozen" kelimesi var, İngilizce'de "dozen", bazı yerlerde yuvarlak bir sayı olarak "on" yerine on iki kelimesi kullanılıyor, örneğin 12 dakika bekleyin.

· Onaltılık (programlamada ve yazı tiplerinde en yaygın olanı), 16 tamsayı tabanını temel alan konumsal bir sayı sistemidir. Tipik olarak, 0'dan 9'a kadar olan ondalık basamaklar, onaltılık basamaklar olarak kullanılır ve temsil etmek için A'dan F'ye kadar olan Latin harfleri kullanılır. 10'dan 15'e kadar sayılar. Düşük seviyeli programlamada ve genel olarak bilgisayar belgelerinde yaygın olarak kullanılır, çünkü modern bilgisayarlarda minimum bellek birimi, değerleri uygun şekilde iki onaltılık basamakla yazılan 8 bitlik bir bayttır.

· Onaltılı sistem (açıların ve özellikle enlem ve boylamın ölçülmesi), 60 tamsayı tabanına dayanan konumsal bir sayı sistemidir. Orta Doğu'da eski çağlarda kullanılmıştır. Bu sayı sisteminin sonuçları, açısal ve yay derecelerinin (aynı zamanda saatlerin) 60 dakikaya ve dakikanın da 60 saniyeye bölünmesidir.

Bir bilgisayarda çalışırken en büyük ilgi, 2, 8 ve 16 tabanlı sayı sistemleridir. Bu sayı sistemleri genellikle hem kişinin hem de bilgisayarın tam çalışması için yeterlidir, ancak bazen çeşitli koşullar nedeniyle yine de çevirmeniz gerekir. diğer sayı sistemlerine, örneğin üçlü, septal veya 32 tabanlı sayı sistemlerine.

Bu tür geleneksel olmayan sistemlerde yazılan sayılarla işlem yapabilmek için bunların temelde alışılagelmiş ondalık sistemden hiçbir farkı olmadığını unutmamanız gerekir. İçlerinde toplama, çıkarma ve çarpma aynı şemaya göre yapılır.

Diğer sayı sistemleri esas olarak kullanılmaz çünkü günlük yaşamda insanlar ondalık sayı sistemini kullanmaya alışkındır ve başka bir sayı sistemine gerek yoktur. Bilgisayarlarda ikili biçimde yazılan sayılarla işlem yapmak oldukça basit olduğundan ikili sayı sistemi kullanılır.

Onaltılık sistem, bilgisayar bilimlerinde sıklıkla kullanılır, çünkü sayıların bu sisteme yazılması, ikili sistemde sayıların yazılmasından çok daha kısadır. Şu soru ortaya çıkabilir: Çok büyük sayıları yazmak için neden 50 tabanı gibi bir sayı sistemi kullanmıyorsunuz? Böyle bir sayı sistemi, 10 sıradan rakam artı 10'dan 49'a kadar olan sayılara karşılık gelen 40 işaret gerektirir ve herhangi birinin bu kırk karakterle çalışmak istemesi pek olası değildir. Bu nedenle gerçek hayatta 16'dan büyük tabanlara dayalı sayı sistemleri pratikte kullanılmamaktadır.

Fraktallara Giriş

Problemlerde logaritmik fonksiyon

Örnek43. Denklem sistemini çözün Çözüm Logaritmanın tanımını uygulayarak ve logaritma işaretinin altındaki ifadenin kesinlikle pozitif olması gerektiğini dikkate alarak ikinci denklemi sisteme dönüştürelim: Cevap: . Örnek 44...

Konumsal oyunlar

Modern öğretim araçlarını kullanarak "Numaralandırma" konulu matematik dersleri tasarlamak

Konumsal sayı sistemi ilk olarak eski Babil'de ortaya çıktı. Hindistan'da sistem, sıfır kullanarak konumsal ondalık numaralandırma şeklinde çalışıyor; Arap milleti bu sayı sistemini Hintlilerden ve onlardan ödünç aldı...

Sayı sistemi, sayıları kaydetmenin (temsil etmenin) bir yoludur. Daha önce var olan ve şu anda kullanımda olan çeşitli sayı sistemleri iki gruba ayrılır: · konumsal, · konumsal olmayan...

Gösterim. Sayılarla ilgili eylemleri kaydetme

Geçmişte var olan ve günümüzde kullanılan çeşitli sayı sistemleri konumsal olmayan ve konumsal olarak ikiye ayrılabilir. Sayıları yazmak için kullanılan işaretlere rakam denir...

Gösterim. Sayılarla ilgili eylemleri kaydetme

İkili sayı sistemi, bilgisayarların ortaya çıkmasından önce (XVII - XIX yüzyıllar) matematikçiler ve filozoflar tarafından icat edildi. İkili sistemin arkasındaki fikirlerden bazıları aslında eski Çin'de biliniyordu...

Gösterim. Sayılarla ilgili eylemleri kaydetme

En yaygın sayı sistemleri ikili, onaltılık ve ondalık ve sekizliktir...

1.1 Çeşitli sayı sistemlerinin ortaya çıkış tarihi İlkel insanın neredeyse sayması gerekmiyordu. "Bir", "iki" ve "çok" - bunların hepsi onun sayılarıdır. Ama biz, yani modern insanlar, her adımda tam anlamıyla sayılarla uğraşmak zorundayız...

Sayı sistemleri ve ikili kodlamanın temelleri

En eski numaralandırmada yalnızca “|” işareti kullanılıyordu. bir için ve her doğal sayı, o sayının birim sayısı kadar birim simgesinin tekrarlanmasıyla yazılıyordu...

Sayı sistemleri ve ikili kodlamanın temelleri

Ondalık sayı sistemine ek olarak, başka herhangi bir doğal tabana sahip konumsal sayı sistemleri de mümkündür. Farklı tarihsel dönemlerde birçok halk farklı sayı sistemlerini yaygın olarak kullandı...

Sayı sistemleri ve ikili kodlamanın temelleri

1.5.1 Toplama ve çıkarma i tabanlı sistemde doğal sayıların sıfırını ve ilk c-1'ini belirtmek için 0, 1, 2, ..., c - 1 sayıları kullanılır. ve çıkarma, tek basamaklı sayıların toplanması için bir tablo derlenir.. .

Sayı sistemleri ve ikili kodlamanın temelleri

Bize çok tanıdık gelen ondalık sistemin bilgisayarlar için elverişsiz olduğu ortaya çıktı. Ondalık sistemi kullanan mekanik bilgi işlem cihazlarında, çok durumlu bir elemanın (dokuz dişli bir tekerlek) kullanılması yeterlidir ...

Fraktallar - matematiğin yeni bir dalı

Kendine benzer fraktallarla yakından ilişkili olan L sistemleri kavramı, Aristrid Lindenmayer sayesinde ancak 1968'de ortaya çıktı. Başlangıçta, biçimsel dillerin incelenmesinde L sistemleri tanıtıldı ...

giriiş

“Bilişim-1” dersinin makale konusu “Sayı Sistemleri”dir.

Özet yazmanın amacı: Sayı sistemi ve sınıflandırma kavramına aşina olmak; sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme.

Sayı sistemi kavramı. Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri

tamsayı cebirsel ikili

Sayı sistemi, herhangi bir sayı ile bu sayının sonlu sayıda sembol kümesi olarak temsili arasında bire bir yazışma kurmayı mümkün kılan bir teknikler ve kurallar sistemidir. Bu gösterim için kullanılan semboller kümesine rakam denir.

Gösterim:

bir sayı kümesinin (tamsayılar ve/veya gerçek sayılar) temsillerini verir;

her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;

sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtır.

Sayı sistemleri konumsal ve konumsal olmayan olarak ikiye ayrılır. Konumsal olmayan sistemlerde herhangi bir sayı, bu sayıyı temsil eden rakamlar kümesinin sayısal değerlerinin bir fonksiyonu olarak tanımlanır. Konumsal olmayan sayı sistemlerindeki rakamlar belirli sabit sayılara karşılık gelir. Konumsal olmayan bir sisteme örnek olarak Romen rakamı sistemi verilebilir.

Tarihsel olarak ilk sayı sistemleri konumsal olmayan sistemlerdi. Ana dezavantajlardan biri büyük sayıları yazmanın zorluğudur. Bu tür sistemlerde büyük sayıların yazılması oldukça zahmetli olup, sistemin alfabesi de son derece büyüktür.

Konumsal olmayan sistemler bilgi işlemde kullanılmaz. 3

Belirli bir sayıyı temsil eden basamaklar kümesindeki bu basamağın basamak sayısına bağlı olarak aynı basamak farklı sayısal değerler alabiliyorsa sayı sistemine konumsal denir. Böyle bir sistemin örneği Arap ondalık sayı sistemidir.

Konumsal sayı sisteminin tabanı, adını belirler. Hesaplamada ikili, sekizli, ondalık ve onaltılı sistemler kullanılır.

Konumsal sayı sistemlerinin kullanımını bulabileceğiniz örnekler:

ayrık matematik, bilgisayar bilimi, programlamada ikili;

ondalık sayı - her yerde kullanılır;

on ikilik - düzinelerce sayma;

onaltılık - programlamada, bilgisayar bilimlerinde kullanılır;

altmışlık - zaman birimleri, açıların ölçümü ve özellikle koordinatlar, boylam ve enlem.

Kodlamalar üzerinde çalışırken sayı sistemlerini yeterince anlamadığımı fark ettim. Yine de sık sık 2-, 8-, 10-, 16'lı sistemleri kullandım, birini diğerine dönüştürdüm ama her şey "otomatik" olarak yapılıyordu. Pek çok yayın okumuş biri olarak, bu kadar temel materyal üzerine basit bir dille yazılmış tek bir makalenin olmayışı beni şaşırttı. Bu yüzden sayı sistemlerinin temellerini erişilebilir ve düzenli bir şekilde sunmaya çalıştığım kendi yazımı yazmaya karar verdim.

giriiş

Gösterim sayıları kaydetmenin (temsil etmenin) bir yoludur.

Bu ne anlama gelir? Örneğin önünüzde birkaç ağaç görüyorsunuz. Göreviniz onları saymaktır. Bunu yapmak için parmaklarınızı bükebilir, bir taşa çentikler açabilir (bir ağaç - bir parmak/çentik) veya 10 ağacı bir taş gibi bir nesneyle ve tek bir örneği bir çubukla eşleştirip bunları yerleştirebilirsiniz. saydıkça yerde. İlk durumda, sayı bir dizi bükülmüş parmak veya çentik olarak temsil edilir, ikincisinde - taşların solda ve çubukların sağda olduğu taş ve çubuklardan oluşan bir bileşim

Sayı sistemleri konumsal ve konumsal olmayan, konumsal ise homojen ve karışık olarak ikiye ayrılır.

Konumsal olmayan- en eskisi, içinde bir sayının her basamağının konumuna (rakama) bağlı olmayan bir değeri vardır. Yani, 5 satırınız varsa, o zaman sayı da 5'tir, çünkü her satır, satırdaki yerine bakılmaksızın yalnızca 1 öğeye karşılık gelir.

Konumsal sistem- her rakamın anlamı sayı içindeki konumuna (rakamına) bağlıdır. Örneğin bize tanıdık gelen 10. sayı sistemi konumsaldır. 453 sayısını ele alalım. 4 sayısı yüzler sayısını ifade eder ve 400 sayısına karşılık gelir, 5 onlar sayısı ve 50 değerine, 3 sayısı ise birler ve 3 değerine benzer. rakam büyüdükçe değer de artar. Son sayı 400+50+3=453 toplamı olarak gösterilebilir.

Homojen sistem- bir sayının tüm rakamları (konumları) için geçerli karakter (rakamlar) kümesi aynıdır. Örnek olarak daha önce bahsettiğimiz 10. sistemi ele alalım. Homojen 10'uncu sistemde bir sayı yazarken, her rakamda 0'dan 9'a kadar yalnızca bir rakam kullanabilirsiniz, dolayısıyla 450 sayısına izin verilir (1. rakam - 0, 2. - 5, 3. - 4), ancak 4F5'e izin verilmez, Çünkü F karakteri 0'dan 9'a kadar olan sayılar kümesinde yer almamaktadır.

Karışık sistem- bir sayının her rakamında (konumunda), geçerli karakterler (rakamlar) seti diğer rakam setlerinden farklı olabilir. Çarpıcı bir örnek, zaman ölçüm sistemidir. Saniye ve dakika kategorisinde 60 farklı sembol (“00”dan “59”a kadar), saat kategorisinde – 24 farklı sembol (“00”dan “23”e kadar), gün kategorisinde – 365 vb.

Konumsal olmayan sistemler

İnsanlar saymayı öğrenir öğrenmez sayıları yazma ihtiyacı ortaya çıktı. Başlangıçta her şey basitti; yüzeydeki bir çentik veya çizgi tek bir nesneye, örneğin bir meyveye karşılık geliyordu. İlk sayı sistemi bu şekilde ortaya çıktı - birim.

Birim numarası sistemi

Bu sayı sistemindeki bir sayı, sayısı verilen sayının değerine eşit olan bir çizgi dizisidir (çubuklar). Böylece 100 hurma hasadı 100 çizgiden oluşan bir sayıya eşit olacaktır.
Ancak bu sistemin bariz sakıncaları var - sayı ne kadar büyük olursa, çubuk dizisi de o kadar uzun olur. Ayrıca bir sayıyı yazarken yanlışlıkla fazladan bir çubuk ekleyerek veya tam tersi yazmayarak kolayca hata yapabilirsiniz.

Kolaylık sağlamak için insanlar çubukları 3, 5 ve 10 parçaya ayırmaya başladı. Aynı zamanda her grup belirli bir işarete veya nesneye karşılık geliyordu. Başlangıçta saymak için parmaklar kullanıldı, bu nedenle ilk işaretler 5 ve 10 parçadan (birimlerden) oluşan gruplar için ortaya çıktı. Bütün bunlar, sayıları kaydetmek için daha uygun sistemler oluşturmayı mümkün kıldı.

Eski Mısır ondalık sistemi

Eski Mısır'da 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 rakamlarını temsil etmek için özel semboller (sayılar) kullanılıyordu. Bunlardan bazıları:

Neden ondalık sayı denir? Yukarıda belirtildiği gibi insanlar sembolleri gruplandırmaya başladı. Mısır'da 1 rakamını değiştirmeden 10'lu gruplamayı seçtiler. Bu durumda 10 sayısına temel ondalık sayı sistemi denir ve her simge bir ölçüde 10 sayısını temsil eder.

Eski Mısır sayı sistemindeki sayılar bunların birleşimi olarak yazılıyordu.
Her biri dokuz defadan fazla tekrarlanmayan karakterler. Nihai değer, sayının unsurlarının toplamına eşitti. Bu değer elde etme yönteminin konumsal olmayan her sayı sisteminin özelliği olduğunu belirtmekte fayda var. Bir örnek 345 sayısı olabilir:

Babil altmışlık sistemi

Mısır sisteminden farklı olarak Babil sistemi yalnızca 2 sembol kullanıyordu: birimleri belirtmek için "düz" bir kama ve onlukları belirtmek için "yatık" bir kama. Bir sayının değerini belirlemek için sayının görüntüsünü sağdan sola doğru rakamlara bölmeniz gerekir. Yeni bir akıntı, yatay bir kamanın ardından düz bir kamanın ortaya çıkmasıyla başlar. Örnek olarak 32 sayısını ele alalım:

60 sayısı ve onun tüm kuvvetleri de “1” gibi düz bir kama ile gösterilir. Bu nedenle Babil sayı sistemine altmışlık sayı sistemi adı verildi.
Babilliler 1'den 59'a kadar olan tüm sayıları konumsal olmayan ondalık sistemde, büyük değerleri ise 60 tabanlı konumsal sistemde yazdılar. Sayı 92:

Sıfırı gösteren bir rakam olmadığı için numaranın kaydı belirsizdi. 92 sayısının temsili sadece 92=60+32 değil aynı zamanda örneğin 3632=3600+32 anlamına da gelebilir. Bir sayının mutlak değerini belirlemek için, ondalık sayı gösteriminde 0 sayısının görünümüne karşılık gelen eksik altmışlık rakamı belirtmek için özel bir sembol eklenmiştir:

Şimdi 3632 sayısı şu şekilde yazılmalıdır:

Babil altmışlık sistemi, kısmen konum ilkesine dayanan ilk sayı sistemidir. Bu sayı sistemi bugün hala kullanılmaktadır, örneğin zamanı belirlerken - bir saat 60 dakikadan ve bir dakika 60 saniyeden oluşur.

Roma sistemi

Roma sistemi Mısır sisteminden pek farklı değil. Sırasıyla 1, 5, 10, 50, 100, 500 ve 1000 rakamlarını temsil etmek için büyük Latin harfleri I, V, X, L, C, D ve M'yi kullanır. Romen rakamı sistemindeki bir sayı, ardışık rakamlardan oluşan bir dizidir.

Bir sayının değerini belirleme yöntemleri:

Bir sayının değeri, rakamlarının değerlerinin toplamına eşittir. Örneğin Romen rakamı sisteminde 32 sayısı XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32 şeklindedir.
Büyük rakamın solunda küçük rakam varsa, değer büyük rakam ile küçük rakam arasındaki farka eşittir. Aynı zamanda, soldaki rakam sağdaki rakamdan en fazla bir kat daha küçük olabilir: örneğin, “en düşük” olanlar arasında yalnızca X(10) L(50) ve C(100)'den önce görünebilir. ve yalnızca D(500) ve M(1000)'den önce C(100), V(5)'ten önce - yalnızca I(1); ele alınan sayı sisteminde 444 sayısı CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444 şeklinde yazılacaktır.
Değer, 1 ve 2 noktalarına uymayan grup ve sayıların değerlerinin toplamına eşittir.

Dijital olanların yanı sıra harf (alfabetik) sayı sistemleri de vardır, işte bunlardan bazıları:
1) Slav
2) Yunanca (İyonca)

Konumsal sayı sistemleri

Yukarıda bahsedildiği gibi konumsal bir sistemin ortaya çıkmasının ilk önkoşulları eski Babil'de ortaya çıktı. Hindistan'da sistem, sıfır kullanarak konumsal ondalık numaralandırma biçimini aldı ve bu sayı sistemi, Avrupalıların benimsediği Araplar tarafından Hintlilerden ödünç alındı. Avrupa'da nedense bu sisteme "Arap" adı verildi.

Ondalık sayı sistemi

Bu en yaygın sayı sistemlerinden biridir. Bir ürünün fiyatını isimlendirdiğimizde ve otobüs numarasını söylediğimizde bunu kullanırız. Her rakam (pozisyon) 0'dan 9'a kadar olan aralıktan yalnızca bir rakam kullanabilir. Sistemin tabanı 10 rakamıdır.

Örneğin 503 sayısını ele alalım. Bu sayı konumsal olmayan bir sistemde yazılsaydı değeri 5+0+3 = 8 olurdu. Ama bizim konumsal bir sistemimiz var ve bu da sayının her basamağının bir olması gerektiği anlamına geliyor. sistemin tabanıyla (bu durumda “10” sayısı) çarpılarak rakamın üssüne eşit bir sayıya yükseltilir. Değerin 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503 olduğu ortaya çıktı. Aynı anda birden fazla sayı sistemiyle çalışırken karışıklığı önlemek için taban, bir alt simge olarak belirtilir. Böylece 503 = 503 10 olur.

Ondalık sisteme ek olarak 2'li, 8'li ve 16'ncı sistemler de özel ilgiyi hak ediyor.

İkili sayı sistemi

Bu sistem esas olarak bilgisayarlarda kullanılır. Neden her zamanki 10'uncuyu kullanmadılar? İlk bilgisayar, 10 eyalette çalışabilen cihazların üretimini gerektirdiği için modern elektronik makinelerde sakıncalı olduğu ortaya çıkan ondalık sistemi kullanan Blaise Pascal tarafından yaratıldı, bu da fiyatlarını ve son boyutunu artırdı. makine. 2. Sistemde çalışan elemanlarda bu eksiklikler bulunmamaktadır. Ancak söz konusu sistem, bilgisayarların icadından çok önce oluşturulmuştu ve "kökleri", quipus'un (karmaşık halat örgüleri ve düğümler) kullanıldığı İnka uygarlığına kadar uzanıyordu.

İkili konumsal sayı sisteminin tabanı 2'dir ve sayıları yazmak için 2 sembol (rakam) kullanır: 0 ve 1. Her rakamda yalnızca bir rakama izin verilir - 0 veya 1.

Örnek olarak 101 sayısı verilebilir. Ondalık sayı sistemindeki 5 sayısına benzer. 2'yi 10'a dönüştürmek için, ikili sayının her basamağını basamak değerine eşit bir kuvvete yükseltilmiş "2" tabanıyla çarpmanız gerekir. Böylece, 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 sayısı.

Makineler için 2. sayı sistemi daha kullanışlıdır ama bilgisayarda 10. sistemdeki sayıları sıklıkla görüyor ve kullanıyoruz. Peki makine kullanıcının hangi sayıyı girdiğini nasıl belirliyor? Yalnızca 2 sembolü (0 ve 1) olduğuna göre, bir sayıyı bir sistemden diğerine nasıl çevirir?

Bir bilgisayarın ikili sayılarla (kodlarla) çalışabilmesi için bunların bir yerde saklanması gerekir. Her bir rakamı saklamak için elektronik devre olan bir tetikleyici kullanılır. Biri sıfıra, diğeri bire karşılık gelen 2 durumda olabilir. Tek bir sayıyı hatırlamak için, sayısı ikili sayıdaki basamak sayısına karşılık gelen bir tetikleyici grubu olan bir kayıt kullanılır. Ve kayıt kümesi RAM'dir. Kayıtta bulunan sayı bir makine sözcüğüdür. Kelimelerle yapılan aritmetik ve mantıksal işlemler, bir aritmetik mantık birimi (ALU) tarafından gerçekleştirilir. Kayıtlara erişimi kolaylaştırmak için numaralandırılmışlardır. Numaraya kayıt adresi denir. Örneğin, 2 sayı eklemeniz gerekiyorsa, sayıların kendisini değil, bulundukları hücrelerin (kayıtların) sayısını belirtmeniz yeterlidir. Adresler sekizlik ve onaltılık sistemlerde yazılır (aşağıda tartışılacaktır), çünkü onlardan ikili sisteme ve geriye geçiş oldukça basittir. 2'den 8'e geçiş yapmak için sayının sağdan sola 3 haneli gruplara bölünmesi ve 16 - 4'e taşınması gerekir. En soldaki rakam grubunda yeterli rakam yoksa doldurulur. soldan, önde gelen sıfırlarla. Örnek olarak 101100 2 sayısını ele alalım. Sekizli sistemde 101 100 = 54 8, onaltılı sistemde ise 0010 1100 = 2C 16'dır. Harika ama neden ekranda ondalık sayıları ve harfleri görüyoruz? Bir tuşa bastığınızda, bilgisayara belirli bir elektriksel uyarı dizisi iletilir ve her sembolün kendi elektriksel uyarı dizisi (sıfırlar ve birler) vardır. Klavye ve ekran sürücüsü programı, karakter kodu tablosuna erişir (örneğin, 65536 karakteri kodlamanıza izin veren Unicode), ortaya çıkan kodun hangi karaktere karşılık geldiğini belirler ve ekranda görüntüler. Böylece metinler ve sayılar bilgisayarın belleğinde ikili kod olarak depolanır ve programlı olarak ekrandaki görüntülere dönüştürülür.

Sekizli sayı sistemi

8'inci sayı sistemi, ikili sistem gibi, dijital teknolojide sıklıkla kullanılır. Tabanı 8'dir ve sayıları yazmak için 0'dan 7'ye kadar olan rakamları kullanır.

Sekizli sayıya bir örnek: 254. 10'uncu sisteme dönüştürmek için orijinal sayının her basamağının 8 n ile çarpılması gerekir; burada n, basamak sayısıdır. 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 olduğu ortaya çıktı.

Onaltılık sayı sistemi

Onaltılık sistem modern bilgisayarlarda yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin rengi belirtmek için kullanılır: #FFFFFF - beyaz. Söz konusu sistemin tabanı 16'dır ve yazmak için şu sayıları kullanır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.C, D, E, F, burada harfler sırasıyla 10, 11, 12, 13, 14, 15'tir.

Örnek olarak 4F5 16 sayısını ele alalım. Sekizli sisteme dönüştürmek için önce onaltılık sayıyı ikiliye, ardından 3 basamaklı gruplara bölerek sekizli sayıya dönüştürüyoruz. Bir sayıyı 2'ye dönüştürmek için her rakamı 4 bitlik ikili sayı olarak temsil etmeniz gerekir. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ancak 1. ve 3. gruplarda yeterli rakam yok, bu yüzden her birini baştaki sıfırlarla dolduralım: 0100 1111 0101. Şimdi ortaya çıkan sayıyı sağdan sola 3 haneli gruplara bölmeniz gerekiyor: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Her ikili grubu sekizli sisteme dönüştürelim, her rakamı 2 n ile çarpalım, burada n rakam sayısıdır: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Dikkate alınan konumsal sayı sistemlerine ek olarak, örneğin başkaları da vardır:
1) Üçlü
2) Kuaterner
3) Onikilik sayı

Konumsal sistemler homojen ve karışık olarak ikiye ayrılır.

Homojen konumsal sayı sistemleri

Makalenin başında verilen tanım homojen sistemleri oldukça ayrıntılı bir şekilde tanımlamaktadır, bu nedenle açıklamaya gerek yoktur.

Karışık sayı sistemleri

Daha önce verilen tanıma şu teoremi ekleyebiliriz: “Eğer P=Q n (P,Q,n pozitif tam sayılar, P ve Q ise tabanlar ise), o zaman herhangi bir sayının karışık (P-Q) sayı sisteminde aynı şekilde kaydedilmesi aynı sayının sayı sisteminde Q tabanıyla yazılmasına denk gelir.”

Teoreme dayanarak, P-th'den Q-th sistemlere ve tersi yönde aktarım için kurallar formüle edebiliriz:

Q'uncu sayıyı P'inci sayıya dönüştürmek için, Q'uncu sistemdeki sayıyı sağ basamaktan başlayarak n basamaklı gruplara bölmeniz ve P'inci sistemdeki her grubu bir basamakla değiştirmeniz gerekir. .
P-th'den Q-th'e dönüştürmek için, P-th sistemindeki bir sayının her basamağını Q-th'e dönüştürmek ve eksik basamakları soldaki hariç baştaki sıfırlarla doldurmak gerekir, böylece Q tabanlı sistemdeki her sayı n rakamdan oluşur.

Çarpıcı bir örnek, ikiliden sekizliye dönüşümdür. 10011110 2 ikili sayısını sekizliye dönüştürmek için alalım - bunu sağdan sola 3 basamaklı gruplara böleceğiz: 010 011 110, şimdi her basamağı 2 n ile çarpın, burada n, basamak sayısıdır, 010 011 110 = (0*2 2 +1 *2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) = 236 8 . 10011110 2 = 236 8 olduğu ortaya çıktı. İkili-sekizli bir sayının görüntüsünü netleştirmek için üçe bölünür: 236 8 = (10 011 110) 2-8.

Karışık sayı sistemleri ayrıca örneğin:
1) Faktöriyel
2) Fibonacci

Bir sayı sisteminden diğerine dönüşüm

Bazen bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmeniz gerekebilir; o halde gelin farklı sistemler arasında dönüştürmenin yollarına bakalım.

Ondalık sayı sistemine dönüştürme

B tabanlı sayı sisteminde a 1 a 2 a 3 sayısı vardır. 10'uncu sisteme dönüştürmek için sayının her basamağını b n ile çarpmak gerekir; burada n, basamak sayısıdır. Böylece, (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 *b 2 + a 2 *b 1 + a 3 *b 0) 10.

Örnek: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Ondalık sayı sisteminden diğerlerine dönüşüm

Bütün parça:

Ondalık sayının tam sayı kısmını, dönüştüğümüz sistemin tabanına, ondalık sayı sıfıra eşit olana kadar art arda bölüyoruz.
Bölme işleminde elde edilen kalanlar istenilen sayının rakamlarıdır. Yeni sistemde sayı son kalandan başlanarak yazılmaktadır.

Kesir:

Ondalık sayının kesirli kısmını dönüştürmek istediğimiz sistemin tabanıyla çarpıyoruz. Bütün kısmı ayırın. Kesirli kısmı yeni sistemin tabanıyla 0'a eşit olana kadar çarpmaya devam ediyoruz.
Yeni sistemdeki sayılar, çarpma sonuçlarının üretim sırasına göre bütün parçalarından oluşuyor.

Örnek: 15 10'u sekizliye dönüştürün:
15\8 = 1, kalan 7
1\8 = 0, kalan 1

Kalanları aşağıdan yukarıya doğru yazdıktan sonra son sayı olan 17'yi elde ederiz. Dolayısıyla 15 10 = 17 8 olur.

İkiliden sekizli ve onaltılıya dönüştürme

Sekizli sayıya dönüştürmek için ikili sayıyı sağdan sola 3 basamaklı gruplara böleriz ve eksik olan en dıştaki basamakları baştaki sıfırlarla doldururuz. Daha sonra, rakamları sırasıyla 2n ile çarparak her grubu dönüştürüyoruz; burada n, rakamın sayısıdır.

Örnek olarak 1001 2 sayısını ele alalım: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Onaltılı sayıya dönüştürmek için ikili sayıyı sağdan sola 4 basamaklı gruplara böleriz, ardından 2'den 8'e dönüştürmeye benzer.

Sekizli ve onaltılıdan ikiliye dönüştürme

Sekizliden ikiliye dönüştürme - sekizli bir sayının her basamağını 2'ye bölerek 3 basamaklı ikili bir sayıya dönüştürürüz (bölme hakkında daha fazla bilgi için yukarıdaki "Ondalık sayı sisteminden diğerlerine dönüştürme" paragrafına bakın), baştaki sıfırlarla birlikte en dıştaki rakamlar eksik.

Örneğin 45 8 sayısını düşünün: 45 = (100) (101) = 100101 2

16'dan 2'ye çeviri - onaltılık bir sayının her basamağını 2'ye bölerek, eksik dış basamakları baştaki sıfırlarla doldurarak ikili 4 basamaklı bir sayıya dönüştürürüz.

Herhangi bir sayı sisteminin kesirli kısmını ondalık sayıya dönüştürme

Dönüşüm, tamsayı kısımlarla aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak sayının rakamları, n'nin 1'den başladığı "-n" üssü ile çarpılır.

Örnek: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

İkili sayının kesirli kısmını 8. ve 16. sayıya dönüştürme

Kesirli kısmın çevirisi, bir sayının tam kısımlarıyla aynı şekilde gerçekleştirilir; tek istisna, 3 ve 4 basamaklı gruplara bölünmenin ondalık noktanın sağına gitmesi, eksik rakamların eklenmesidir. sağa doğru sıfırlar.

Örnek: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Ondalık sistemin kesirli kısmını başka bir sayıya dönüştürme

Bir sayının kesirli kısmını diğer sayı sistemlerine dönüştürmek için tam kısmı sıfıra çevirip elde edilen sayıyı dönüştürmek istediğiniz sistemin tabanıyla çarpmaya başlamanız gerekir. Çarpma sonucunda tüm parçalar yeniden ortaya çıkarsa, elde edilen tüm parçanın değeri ilk olarak hatırlandıktan (yazıldıktan) sonra yeniden sıfıra çevrilmeleri gerekir. Kesirli kısım tamamen sıfır olduğunda işlem sona erer.

Örneğin, 10.625 10'u ikiliye dönüştürelim:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Tüm kalanları yukarıdan aşağıya yazarsak 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2 elde ederiz.

Temel konseptler

Gösterim sonlu bir sembol (rakam) kümesi kullanarak sayıları yazmak için bir kurallar dizisidir.

Sayı sistemleri şunlardır:

konumsal olmayan (bu sistemlerde bir rakamın değeri, sayı kaydındaki konumuna - konumuna bağlı değildir);
konumsal (sayının anlamı konuma bağlıdır).

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Örnekler: tekli, Romalı, Eski Rusça vb.

Konumsal sayı sistemleri

Bir sayı sisteminin temeli, o sistemde kullanılan farklı rakamların sayısıdır. Bir rakamın ağırlığı, bu rakamdaki rakamın niceliksel eşdeğerinin, sıfır rakamındaki aynı rakamın niceliksel eşdeğerine oranıdır.

p ben = s ben,

Sayının rakamları sağdan sola doğru numaralandırılır ve tamsayı kısmının en az anlamlı rakamı (ayırıcının önünde duran - virgül veya nokta) sıfır rakamına sahiptir. Kesirli kısmın rakamları negatif sayılara sahiptir:

Ondalık sayı sistemine dönüştürme

Boşaltım ağırlığının tanımı gereği

p ben = s ben,
burada i rakamlı sayıdır ve s sayı sisteminin tabanıdır.

Daha sonra sayının rakamlarını i olarak göstererek, konumsal sayı sisteminde yazılan herhangi bir sayıyı şu biçimde temsil edebiliriz:

x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...

Örneğin 4'lü sayı sistemi için:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Hesaplamaları tamamladıktan sonra, ondalık sayı sisteminde (daha doğrusu hesaplamaları yaptığımız sistemde) yazılan orijinal sayının değerini alacağız. Bu durumda:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Bu nedenle, bir sayıyı herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek için şunları yapmalısınız:

orijinal numaranın rakamlarını numaralandırın;
terimleri, sayı sisteminin tabanına göre bir sonraki basamağın çarpımı olarak elde edilen toplamı, basamak numarasına eşit bir kuvvete yükseltilmiş olarak yazın;
hesaplamaları yapın ve sonucu yazın (yeni sayı sisteminin tabanını belirterek - 10).

Örnekler:

Ondalık sayı sisteminden dönüştürme

4 tabanlı sayı sisteminden ondalık sayıya dönüşüm örneğini hatırlayalım:

1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4

Buradan, 114'ün 4'e bölünmesinden kalanın 2 olması gerektiğini görebiliriz; bu, dörtlü sistemde yazıldığında en düşük rakamdır. Bölüm eşit olacak

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Bunu 4'e bölmek kalanı verecektir - bir sonraki rakam (0) ve bölüm 1 ⋅ 4 + 3. Adımlara devam ederek kalan rakamları aynı şekilde elde edeceğiz.

Genel olarak, bir sayının tam sayı kısmını ondalık sayı sisteminden başka bir tabana sahip bir sisteme dönüştürmek için şunları yapmanız gerekir:

Sıralı bölme işlemini gerçekleştirin geri kalanıyla orijinal sayı ve yeni sayı sistemine dayalı olarak elde edilen her bölüm.
Hesaplanan bakiyeleri sondan başlayarak (yani ters sırada) yazın.

Örnekler:

Çoklu tabanlı sayı sistemleri

Bilgisayarlarla çalışırken, ikili sayı sistemi (bilgisayardaki bilgilerin temsili buna dayandığından) ve ayrıca kaydın insanlar için daha kompakt ve kullanışlı olduğu sekizlik ve onaltılık sayı sistemi yaygın olarak kullanılır. Öte yandan 8 ve 16'nın 2'nin kuvvetleri olması nedeniyle ikili gösterimle bu sistemlerden biri arasındaki geçiş hesaplama yapılmadan gerçekleştirilir.

Tabloya göre onaltılık gösterimin her basamağını dört (16=24) ikili basamakla (ve tersi) değiştirmek yeterlidir.

onaltılık -> ikili
A	3	2	e
1010	0011	0010	1110
ikili -> onaltılık
(00)10	1010	0111	1101
2	A	7	D

İkili ve sekizli sistemler arasındaki çeviri benzer şekilde gerçekleşir; yalnızca sekizlik basamak üç ikili basamağa karşılık gelir (8 = 2 3)

sekizlik -> ikili
	5	3	2	1
	101	011	010	001
ikili -> sekizli
(0)10	101	001	111	101
2	5	1	7	5

Aritmetik

Herhangi bir tabana sahip konumsal bir sistemdeki aritmetik işlemler aynı kurallara göre gerçekleştirilir: "bir sütunda" toplama, çıkarma ve çarpma ve "köşede" bölme. İkili, sekizli ve onaltılık sayı sistemlerinde toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl yapıldığına bir örnek bakalım.

Ek

İkili sistem:

								(Aktar)
1	0	0	1	1	0	1	1
	1	0	0	1	1	1	0

1	1	1	0	1	0	0	1
7	6	5	4	3	2	1	0	(rakamlı sayılar)

Sıfır hanesinde: 1 + 0 = 0

İlk hanede: 1 + 1 = 2. 2, en yüksek (2.) haneye aktarılarak taşıma birimine dönüşür. İlk hane 2 - 2 = 0 olarak kalır.

İkinci hanede: 0 + 1 + 1 (taşıma) = 2; Kıdemli rütbeye taşındı

Hesaplamalara devam edersek şunu elde ederiz:

10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2

Sekizli sistem:

					(Aktar)
3	4	2	6	1
	4	4	3	5

4	0	7	1	6
4	3	2	1	0	(rakamlı sayılar)

Hesaplamaları ikili sisteme benzer şekilde yapıyoruz ancak 8'i en anlamlı basamağa aktarıyoruz.

34261 8 + 4435 8 = 40716 8

Onaltılık sistem:

					(Aktar)
	A	3	9	1
	8	5	3	4

1	2	8	C	5
4	3	2	1	0	(rakamlı sayılar)

A391 16 + 8534 16 = 128C5 16

Çıkarma

İkili sistem:

								(Aktar)
1	0	0	1	1	0	1	1
	1	0	0	1	1	1	0

	1	0	0	1	1	0	1
7	6	5	4	3	2	1	0	(rakamlı sayılar)

Birim numarası sistemi

Antik çağlarda insanlar arasında saymayı öğrendikten sonra sayıları yazma ihtiyacı ortaya çıkmaya başladı. Bunun kanıtı, ilkel insanların kamp yerlerindeki, Paleolitik döneme (MÖ 10$-11$ bin yıl) kadar uzanan arkeolojik buluntulardır. Başlangıçta, nesnelerin sayısı belirli işaretler kullanılarak tasvir ediliyordu: çizgiler, çentikler, taş, ahşap veya kil üzerine işaretlenmiş daireler ve ayrıca iplerdeki düğümler.

Resim 1.

Bilim adamları bu sayıları not etme sistemini adlandırıyor birim (tekli)Çünkü içindeki sayı, onu simgeleyen bir işaretin tekrarından oluşuyor.

Sistemin dezavantajları:

çok sayıda yazarken çok sayıda çubuk kullanmak gerekir;

Çubukları uygularken hata yapmak kolay olabilir.

Daha sonra saymayı kolaylaştırmak için insanlar bu işaretleri birleştirmeye başladı.

örnek 1

Birim sayı sisteminin kullanımına dair örnekler hayatımızda bulunabilir. Örneğin, küçük çocuklar kaç yaşında olduklarını parmaklarıyla tasvir etmeye çalışırlar veya birinci sınıfta saymayı öğretmek için sayma çubukları kullanılır.

Birim sistemi girişler çok uzun göründüğünden ve yazımı oldukça sıkıcı olduğundan, zamanla daha pratik sayı sistemleri ortaya çıkmaya başladı.

İşte bazı örnekler.

Eski Mısır ondalık konumsal olmayan sayı sistemi

Bu sayı sistemi MÖ 3000 civarında ortaya çıktı. Eski Mısır sakinlerinin kendi sayısal sistemlerini geliştirmelerinin bir sonucu olarak, anahtar sayıları belirlerken $1$, $10$, $100$, vb. Kağıdın yerini alan kil tabletlere yazarken uygun olan hiyeroglifler kullanıldı. Toplama kullanılarak onlardan başka sayılar yapıldı. Önce en yüksek sıranın numarası, ardından en düşük sıranın numarası yazıldı. Mısırlılar sayıları art arda ikiye katlayarak çoğaldı ve bölündü. Her rakam $9$ katına kadar tekrarlanabilir. Bu sisteme ait sayı örnekleri aşağıda verilmiştir.

Şekil 2.

Roma sayı sistemi

Bu sistem temelde öncekinden pek farklı değildir ve günümüze kadar gelmiştir. Aşağıdaki işaretlere dayanmaktadır:

$1$ sayısı için $I$ (tek parmak);

$5$ sayısı için $V$ (açık avuç içi);

$10$ karşılığında $X$ (iki katlanmış avuç içi);

$100$, $500$ ve $1000$ rakamlarını belirtmek için karşılık gelen Latince kelimelerin ilk harfleri kullanıldı ( Kentum- yüz, Demimil- yarım bin, Mille- bin).

Romalılar sayıları oluştururken aşağıdaki kuralları kullandılar:

Sayı, birinci türden bir grup oluşturan, arka arkaya yerleştirilmiş birkaç aynı "rakamın" değerlerinin toplamına eşittir.

Sayı, küçük olanın büyük olanın solunda olması durumunda iki "basamağın" değerleri arasındaki farka eşittir. Bu durumda büyük değerden küçük olanın değeri çıkarılır. Birlikte ikinci türden bir grup oluştururlar. Bu durumda soldaki “rakam” sağdaki rakamdan en fazla $1$ sırası kadar küçük olabilir: $L(50)$ ve $C(100$) rakamlarının önünde yalnızca $X(10$) olabilir, “en düşük” olanlar arasında, yalnızca $X(10$), $D(500$ ) ve $M(1000$)'ın önünde olabilir – yalnızca $C(100$), $V(5)'ten önce – I( 1)$.

Sayı, $1$ veya $2$ gruplarına dahil olmayan grup değerlerinin ve “rakamların” toplamına eşittir.

Figür 3.

Roma rakamları eski çağlardan beri kullanılmaktadır: tarihleri, cilt numaralarını, bölümleri ve bölümleri belirtirler. Sıradan Arap rakamlarının kolayca taklit edilebileceğini düşünürdüm.

Alfabetik sayı sistemleri

Bu sayı sistemleri daha gelişmiştir. Bunlara Yunan, Slav, Fenike, Yahudi ve diğerleri dahildir. Bu sistemlerde, $1$'dan $9$'a kadar olan sayıların yanı sıra onlarca ($10$'dan $90$'a kadar), yüzlerce ($100$'dan $900$'a kadar) sayılar da alfabenin harfleriyle belirtiliyordu.

Antik Yunan alfabetik sayı sisteminde $1, 2, ..., 9$ sayıları Yunan alfabesinin ilk dokuz harfiyle temsil ediliyordu. Aşağıdaki $9$ harfleri $10, 20, ..., 90$ rakamlarını belirtmek için kullanıldı ve son $9$ harfleri $100, 200, ..., 900$ rakamlarını belirtmek için kullanıldı.

Slav halkları arasında harflerin sayısal değerleri, başlangıçta Glagolitik alfabeyi, ardından Kiril alfabesini kullanan Slav alfabesinin sırasına göre oluşturulmuştur.

Şekil 4.

Not 1

Alfabetik sistem eski Rusya'da da kullanılıyordu. 17. yüzyılın sonuna kadar sayı olarak 27$ Kiril harfleri kullanılıyordu.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinin bir takım önemli dezavantajları vardır:

Büyük sayıların kaydedilmesi için yeni sembollerin tanıtılmasına sürekli bir ihtiyaç vardır.

Kesirli ve negatif sayıları temsil etmek imkansızdır.

Aritmetik işlemleri gerçekleştirmek zordur çünkü bunları gerçekleştirecek algoritmalar yoktur.