Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme yöntemleri. Sayıları ikili, onaltılı, ondalık, sekizli sayı sistemlerine dönüştürme

Not 1

Bir sayıyı bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek istiyorsanız, önce onu ondalık sayı sistemine dönüştürmek ve ancak daha sonra ondalık sayı sisteminden başka herhangi bir sayı sistemine dönüştürmek daha uygundur.

Sayıları herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayıya dönüştürme kuralları

Makine aritmetiğini kullanan bilgi işlem teknolojisinde, sayıların bir sayı sisteminden diğerine dönüştürülmesi önemli bir rol oynar. Aşağıda bu tür dönüşümler (çeviriler) için temel kuralları veriyoruz.

İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürürken, ikili sayıyı bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bunun her bir öğesi, sayının bir basamağı ile temel sayının karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir, bu durumda $2$, ve sonra ondalık aritmetik kurallarını kullanarak polinomu hesaplamanız gerekir:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Şekil 1. Tablo 1

örnek 1

$11110101_2$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$2$ tabanının $1$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Bir sayıyı sekizli sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomda, her bir öğesi sayının bir rakamının ve taban sayısının karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir. $8$ durumunda, polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Şekil 2. Tablo 2

Örnek 2

$75013_8$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$8$ tabanının $2$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Bir sayıyı onaltılı sayıdan ondalık sayıya dönüştürmek için, onu bir polinom olarak temsil etmeniz gerekir; bu polinomun her bir öğesi, sayının bir rakamı ile taban sayının buna karşılık gelen kuvvetinin çarpımı olarak temsil edilir (bu durumda $16$) ve sonra polinomu ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplamanız gerekir:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Şekil 3. Tablo 3

Örnek 3

$FFA2_(16)$ sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm.$8$ tabanının $3$ kuvvetlerinin verilen tablosunu kullanarak, sayıyı bir polinom olarak temsil ederiz:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Sayıları ondalık sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden ikili sisteme dönüştürmek için, $1$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar bu sayının $2$'a sırayla bölünmesi gerekir. İkili sistemdeki bir sayı, bölmenin son sonucu ve bölmeden kalanların ters sırada sıralanmasıyla temsil edilir.

Örnek 4

$22_(10)$ sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden sekizli sayıya dönüştürmek için, $7$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sırayla $8$'a bölünmesi gerekir. Sekizli sayı sisteminde bir sayı, son bölme sonucu ve bölmeden kalanların ters sırada yer aldığı basamak dizisi olarak temsil edilir.

Örnek 5

$571_(10)$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden onaltılık sisteme dönüştürmek için, 15$'dan küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar bu sayının art arda $16$'a bölünmesi gerekir. Onaltılı sistemdeki bir sayı, son bölme sonucunun ve bölmenin geri kalanının ters sırada yer aldığı basamak dizisi olarak temsil edilir.

Örnek 6

$7467_(10)$ sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm:

Şekil 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Uygun bir kesri ondalık sayı sisteminden ondalık olmayan sayı sistemine dönüştürmek için, dönüştürülen sayının kesirli kısmını dönüştürülmesi gereken sistemin tabanıyla sıralı olarak çarpmak gerekir. Yeni sistemdeki kesirler, ilkinden başlayarak ürünlerin bütün parçaları olarak temsil edilecek.

Örneğin: sekizlik sayı sisteminde $0.3125_((10))$ $0.24_((8))$ gibi görünecektir.

Bu durumda ondalık olmayan sayı sisteminde sonlu bir ondalık kesirin sonsuz (periyodik) bir kesire karşılık gelebilmesi sorunuyla karşılaşabilirsiniz. Bu durumda yeni sistemde temsil edilen kesirdeki basamak sayısı gerekli doğruluğa bağlı olacaktır. Ayrıca herhangi bir sayı sisteminde tam sayıların tam sayı olarak kaldığı ve uygun kesirlerin de kesir olarak kaldığı unutulmamalıdır.

Sayıları ikili sayı sisteminden diğerine dönüştürme kuralları

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden sekizli sayıya dönüştürmek için, en az anlamlı basamaktan başlayarak, gerekirse baştaki üçlüye sıfırlar eklenerek üçlülere (basamak üçlüleri) bölünmeli ve ardından her üçlü, karşılık gelen sekizli basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4'e göre.

Şekil 7. Tablo 4

Örnek 7

$1001011_2$ sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Çözüm. Tablo 4'ü kullanarak sayıyı ikili sayı sisteminden sekizliye dönüştürüyoruz:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Bir sayıyı ikili sayı sisteminden onaltılı sayıya dönüştürmek için, dörtlü sayılara (dört basamak) bölünmeli, en az anlamlı basamaktan başlayarak gerekirse en anlamlı dörtlüye sıfırlar eklenmeli ve ardından her dörtlü, karşılık gelen sekizli basamakla değiştirilmelidir. Tablo 4'e göre.

Çeşitli boyutlarda ağlar kurarken ve her gün hesaplamalarla uğraşırken, bu tür kopyalar oluşturmanıza gerek yoktur, her şey koşulsuz bir refleksle yapılır. Ancak ağları çok nadiren karıştırdığınızda, 21 öneki için ondalık formdaki maskenin ne olduğunu veya aynı önek için ağ adresinin ne olduğunu her zaman hatırlayamazsınız. Bu bağlamda, sayıları çeşitli sayı sistemlerine, ağ adreslerine, maskelere vb. dönüştürme konusunda birkaç küçük makale-kısa notlar yazmaya karar verdim. Bu bölümde sayıları farklı sayı sistemlerine dönüştürmekten bahsedeceğiz.

1. Sayı sistemleri

Bilgisayar ağları ve BT ile ilgili herhangi bir şey yaptığınızda zaten bu kavramla karşılaşacaksınız. Ve akıllı bir BT uzmanı olarak, pratikte çok nadiren kullanacak olsanız bile, bunu en azından biraz anlamalısınız.
Bir IP adresinden her rakamın çevirisine bakalım 98.251.16.138 aşağıdaki sayı sistemlerinde:

• İkili
• Sekizli
• Ondalık
• Onaltılık

1.1 Ondalık

Sayılar ondalık sistemde yazıldığı için ondalık sayıdan ondalık sayıya dönüşümü atlayacağız :)

1.1.1 Ondalık → İkili

Bildiğimiz gibi ikili sayı sistemi hemen hemen tüm modern bilgisayarlarda ve diğer birçok bilgi işlem cihazında kullanılmaktadır. Sistem çok basit; elimizde yalnızca 0 ve 1 var.
Ondalık değeri olan bir sayıyı ikili biçime dönüştürmek için, bölme modulo 2'yi (yani 2'ye tamsayı bölme) kullanmanız gerekir; bunun sonucunda her zaman 1 veya 0 kalanını elde ederiz. Bu durumda sonuç şöyle olur: sağdan sola yazılmıştır. Bir örnek her şeyi yerine koyacaktır:

Şekil 1.1 – Sayıları ondalık sistemden ikili sisteme dönüştürme

Şekil 1.2 – Sayıları ondalık sistemden ikili sisteme dönüştürme

98 sayısının bölünmesini anlatacağım. 98'i 2'ye bölüyoruz, sonuç 49, kalan 0 oluyor. Sonra bölmeye devam edip 49'u 2'ye bölüyoruz, sonuçta 24 ve kalan 1 oluyor. Aynı şekilde bölünebilmede de 1 veya 0'a ulaşıyoruz. Daha sonra sonucu sağdan sola yazıyoruz.

1.1.2 Ondalık → Sekizli

Sekizli sistem, 8 tabanlı bir tamsayı sistemidir. içindeki tüm sayılar 0 – 7 aralığında temsil edilir ve ondalık sistemden dönüştürmek için bölme modulo 8'i kullanmanız gerekir.

Şekil 1.3 – Sayıları ondalık sistemden sekizli sisteme dönüştürme

Bölme 2 puanlık sisteme benzer.

1.1.3 Ondalık → Onaltılı

Onaltılı sistem neredeyse tamamen sekizli sistemin yerini almıştır. Tabanı 16'dır, ancak 0'dan 9'a kadar ondalık rakamları + A'dan (10 sayısı) F'ye (15 sayısı) kadar Latin harfleri kullanır. Ağ bağdaştırıcısı ayarlarınızı her kontrol ettiğinizde bununla karşılaşırsınız - bu MAC adresidir. IPv6 kullanıldığında da aynıdır.

Şekil 1.4 – Sayıları ondalıktan onaltılığa dönüştürme

1.2 İkili

Önceki örnekte, tüm ondalık sayıları, biri ikili olan diğer sayı sistemlerine dönüştürdük. Şimdi her sayıyı ikili formdan dönüştürelim.

1.2.1 İkili → Ondalık

Sayıları ikiliden ondalığa dönüştürmek için iki nüansı bilmeniz gerekir. Birincisi, her sıfırın ve birin 2 üzeri n'inci kuvveti vardır; burada n sağdan sola tam olarak bir artar. İkincisi ise çarptıktan sonra tüm sayıların toplanması gerekiyor ve sayıyı ondalık formda elde ediyoruz. Sonuç olarak şöyle bir formülümüz olacak:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Nerede,
D aradığımız ondalık sayıdır;
N– ikili sayıdaki karakter sayısı;
a – n'inci konumda ikili biçimde bir sayı (yani birinci karakter, ikinci karakter vb.);
p – katsayı 2,8 veya 16'ya eşit N(sayı sistemine bağlı olarak)

Örnek olarak 110102 sayısını alalım. Formüle bakıp şunu yazıyoruz:

• Numara 5 karakterden oluşur ( N=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (ikiliden ondalığa dönüştürdüğümüz için)

Sonuç olarak elimizde:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Sağdan sola yazmaya alışkın olanlar için form şu şekilde görünecektir:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Ancak bildiğimiz gibi terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez. Şimdi sayılarımızı ondalık sayıya çevirelim.

Şekil 1.5 – Sayıları ikili sistemden ondalık sisteme dönüştürme

1.2.2 İkili → Sekizli

Çeviri yaparken ikili sayıyı sağdan sola doğru üç karakterlik gruplara ayırmamız gerekir. Son grup üç karakterden oluşmuyorsa, eksik bitleri sıfırlarla değiştiririz. Örneğin:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Her bit grubu sekizlik sayılardan biridir. Hangisi olduğunu bulmak için her bit grubu için yukarıda yazılan 1.2.1 formülünü kullanmanız gerekir. Sonuç olarak şunu alıyoruz.

Şekil 1.6 – Sayıları ikili sistemden sekizli sisteme dönüştürme

1.2.3 İkili → Onaltılık

Burada ikili sayıyı sağdan sola dört karakterlik gruplara ayırmamız ve ardından yukarıda açıklandığı gibi grubun eksik bitlerine sıfırlar eklememiz gerekiyor. Son grup sıfırlardan oluşuyorsa bunlar göz ardı edilmelidir.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Her bit grubu onaltılık sayılardan biridir. Her bit grubu için formül 1.2.1'i kullanıyoruz.

Şekil 1.7 – Sayıları ikiliden onaltılıya dönüştürme

1.3 Sekizli

Bu sistemde çevirinin geri kalanı sorunsuz gittiği için yalnızca onaltılık sayıya dönüştürürken zorluk yaşayabiliriz.

1.3.1 Sekizli → İkili

Sekizli sistemdeki her sayı, yukarıda açıklandığı gibi ikili sistemdeki üç bitlik bir gruptur. Çeviri yapmak için bir kopya sayfası kullanmamız gerekiyor:

Şekil 1.8 - Sekizli sistemdeki sayıları dönüştürmek için mahmuz

Bu tableti kullanarak sayılarımızı ikili sisteme çevireceğiz.

Şekil 1.9 – Sayıları sekizliden ikiliye dönüştürme

Sonucu biraz açıklayacağım. İlk sayımız 142, yani her biri üç bitlik üç grup olacak. Spur'u kullandığımızda 1 sayısının 001, 4 sayısının 100 ve 2 sayısının da 010 olduğunu görüyoruz. Sonuç olarak 001100010 sayısını elde ediyoruz.

1.3.2 Sekizli → Ondalık

Burada formül 1.2.1'i yalnızca 8 katsayısıyla kullanıyoruz (yani p=8). Sonuç olarak elimizde

Şekil 1.10 – Sayıları sekizli sistemden ondalık sisteme dönüştürme

• Numara 3 karakterden oluşur ( N=3)

bir 3 = 1, bir 2 = 4, bir 1 = 2

• p = 8 (sekizliden ondalığa dönüştürdüğümüz için)

Sonuç olarak elimizde:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Sekizli → Onaltılı

Daha önce yazıldığı gibi, tercüme etmek için önce sayıları ikili sisteme, ardından ikili sistemden onaltılı sisteme dönüştürerek 4 bitlik gruplara ayırmamız gerekir. Aşağıdaki teşviki kullanabilirsiniz.

Şekil 1.11 – Onaltılık sistemden sayıları dönüştürmek için teşvik

Bu tablo ikiliden onaltılıya dönüştürmenize yardımcı olacaktır. Şimdi sayılarımızı dönüştürelim.

Şekil 1.12 – Sayıları sekizliden onaltılıya dönüştürme

1.4 Onaltılık

Bu sistem sekizliye dönüştürürken aynı sorunu yaşıyor. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

1.4.1 Onaltılı → İkili

Onaltılı sistemdeki her sayı, yukarıda açıklandığı gibi ikili sistemdeki dört bitlik bir gruptur. Çeviri yapmak için yukarıda bulunan kopya sayfasını kullanabiliriz. Sonuç olarak:

Şekil 1.13 – Sayıları onaltılı sistemden ikili sisteme dönüştürme

İlk sayıyı alalım - 62. Tabloyu kullanarak (Şekil 1.11) 6'nın 0110, 2'nin 0010 olduğunu görüyoruz, sonuç olarak 01100010 sayısını elde ediyoruz.

1.4.2 Onaltılı → Ondalık

Burada formül 1.2.1'i yalnızca 16 katsayısıyla kullanıyoruz (yani p=16). Sonuç olarak elimizde

Şekil 1.14 – Sayıları onaltılı sayıdan ondalık sayıya dönüştürme

İlk sayıyı alalım. Formül 1.2.1'e göre:

• Numara 2 karakterden oluşur ( N=2)

bir 2 = 6, bir 1 = 2

• p = 16 (onaltılı sayıdan ondalık sayıya dönüştürdüğümüz için)

Sonuç olarak elimizde.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Onaltılı → Sekizli

Sekizli sisteme dönüştürmek için önce ikiliye dönüştürmeniz, ardından onu 3 bitlik gruplara ayırmanız ve tabloyu kullanmanız gerekir (Şekil 1.8). Sonuç olarak:

Şekil 1.15 – Sayıları onaltılı sayıdan sekizliye dönüştürme

IP adresleri, maskeler ve ağlar hakkında konuşacağız.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme yöntemleri.

Sayıları bir konumsal sayı sisteminden diğerine dönüştürme: tam sayıları dönüştürme.

Bir tamsayıyı d1 tabanlı bir sayı sisteminden d2 tabanlı başka bir sayı sistemine dönüştürmek için, bu sayıyı ve elde edilen bölümleri d2 tabanından daha küçük bir bölüm elde edene kadar yeni sistemin d2 tabanına sırayla bölmeniz gerekir. Son bölüm, yeni sayı sisteminde d2 tabanlı bir sayının en anlamlı rakamı olup, onu takip eden rakamlar, alındıkları sıranın tersiyle yazılan bölmeden kalanlardır. Çevrilecek sayının yazıldığı sayı sisteminde aritmetik işlemleri gerçekleştirin.

Örnek 1. 11(10) sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 11(10)=1011(2).

Örnek 2. 122(10) sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 122(10)=172(8).

Örnek 3. 500(10) sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 500(10)=1F4(16).

Sayıları bir konumsal sayı sisteminden diğerine dönüştürme: uygun kesirleri dönüştürme.

Düzgün bir kesri d1 tabanlı bir sayı sisteminden d2 tabanlı bir sisteme dönüştürmek için, orijinal kesri ve elde edilen çarpımların kesirli kısımlarını yeni d2 sayı sisteminin tabanıyla sırayla çarpmak gerekir. Yeni sayı sisteminde d2 tabanlı bir sayının doğru kesri, ilkinden başlayarak ortaya çıkan çarpımların tamsayı parçaları şeklinde oluşturulur.
Eğer çeviri sonsuz ya da ıraksak seri şeklinde bir kesirle sonuçlanırsa, gerekli doğruluk sağlandığında işlem tamamlanabilir.

Karışık sayıları çevirirken, tamsayı ve kesirli kısımları tam sayıları ve uygun kesirleri çevirme kurallarına göre ayrı ayrı yeni bir sisteme çevirmek ve ardından yeni sayı sisteminde her iki sonucu tek bir karışık sayı halinde birleştirmek gerekir.

Örnek 1. 0,625(10) sayısını ikili sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 0,625(10)=0,101(2).

Örnek 2. 0,6(10) sayısını sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 0,6(10)=0,463(8).

Örnek 2. 0,7(10) sayısını onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 0,7(10)=0,B333(16).

İkili, sekizli ve onaltılı sayıları ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Bir sayıyı P-ary sisteminden ondalık sayıya dönüştürmek için aşağıdaki genişletme formülünü kullanmanız gerekir:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Örnek 1. 101.11(2) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 101,11(2)= 5,75(10) .

Örnek 2. 57.24(8) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Örnek 3. 7A,84(16) sayısını ondalık sayı sistemine dönüştürün.

Cevap: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Sekizlik ve onaltılık sayıları ikili sayı sistemine (veya tersi) dönüştürme.

Sekizli sayı sisteminden bir sayının ikili sayıya dönüştürülmesi için bu sayının her basamağının üç basamaklı ikili sayı (triad) olarak yazılması gerekir.

Örnek: 16,24(8) sayısını ikili sayı sisteminde yazın.

Cevap: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

İkili bir sayıyı tekrar sekizli sayı sistemine dönüştürmek için, orijinal sayıyı ondalık noktanın solunda ve sağında üçlülere bölmeniz ve her grubu sekizli sayı sisteminde bir rakamla temsil etmeniz gerekir. Aşırı tamamlanmamış üçlüler sıfırlarla tamamlanır.

Örnek: 1110.0101(2) sayısını sekizli sayı sistemine yazın.

Cevap: 1110.0101(2)= 16,24(8) .

Bir sayıyı onaltılık sayı sisteminden ikili sisteme dönüştürmek için bu sayının her basamağını dört basamaklı ikili sayı (tetrad) olarak yazmanız gerekir.

Örnek: 7A,7E(16) sayısını ikili sayı sisteminde yazınız.


Cevap: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Not: Tam sayılar için soldaki, kesirler için sağdaki sıfırlar yazılmaz.

İkili bir sayıyı tekrar onaltılık sayı sistemine dönüştürmek için, orijinal sayıyı ondalık noktanın solunda ve sağında dörtlü sayılara bölmeniz ve her grubu onaltılık sayı sisteminde bir rakamla temsil etmeniz gerekir. Aşırı tamamlanmamış üçlüler sıfırlarla tamamlanır.

Örnek: 1111010.0111111(2) sayısını onaltılık sayı sisteminde yazın.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek makine aritmetiğinin önemli bir parçasıdır. Çevirinin temel kurallarını ele alalım.

1. İkili bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının basamaklarının çarpımları ve 2'nin karşılık gelen gücünden oluşan bir polinom biçiminde yazmak ve kurallarına göre hesaplamak gerekir. ondalık aritmetik:

Çeviri yaparken iki kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 4. 2 sayısının kuvvetleri

Örnek.

2. Sekizli bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının rakamları ile 8 sayısının karşılık gelen kuvvetlerinin çarpımlarından oluşan bir polinom olarak yazıp ondalık kurallara göre hesaplamak gerekir. aritmetik:

Çeviri yaparken sekizli kuvvetler tablosunu kullanmak uygundur:

Tablo 5. 8 sayısının kuvvetleri

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

3. Onaltılık bir sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için, sayının rakamları ile 16 sayısının karşılık gelen kuvvetlerinin çarpımlarından oluşan bir polinom biçiminde yazmak ve buna göre hesaplamak gerekir. ondalık aritmetik kuralları:

Çeviri yaparken kullanımı uygundur 16 numaranın güçlerinin saldırısı:

Tablo 6. 16 sayısının kuvvetleri

Örnek. Sayıyı ondalık sayı sistemine dönüştürün.

4. Bir ondalık sayının ikili sisteme dönüştürülmesi için, 1'den küçük veya 1'e eşit bir kalan kalana kadar sırayla 2'ye bölünmesi gerekir.İkili sistemde bir sayı, son bölme sonucu ile kalanların dizisi olarak yazılır. bölme işlemi ters sırada yapılır.

Örnek. Sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürün.

5. Bir ondalık sayıyı sekizli sisteme dönüştürmek için, 7'den küçük veya 7'ye eşit bir kalan kalana kadar sırayla 8'e bölünmelidir.Sekizli sistemde bir sayı, son bölme sonucunun basamak dizisi olarak yazılır ve bölümün geri kalanı ters sırada.

Örnek. Sayıyı sekizlik sayı sistemine dönüştürün.

6. Ondalık sayının onaltılık sisteme dönüştürülmesi için, 15'ten küçük veya ona eşit bir kalan kalana kadar sırayla 16'ya bölünmesi gerekir. Onaltılık sistemde bir sayı, son bölme sonucunun basamak dizisi olarak yazılır ve Bölme işleminden kalanlar ters sırayla.

Örnek. Sayıyı onaltılık sayı sistemine dönüştürün.

Etiketler: Sayı sistemi, sayı sistemi çevirisi, ilgili sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemlerinin tabanını değiştirme

Q tabanına sahip konumsal bir sayı sisteminde, bir sayı bir polinom olarak temsil edilebilir

… + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + …

burada a i katsayıları q tabanlı sayı sisteminin rakamlarıdır.

Örneğin ondalık sayı sisteminde

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Q tabanlı bir sayı sisteminde basamak sayısı q'ya eşittir ve maksimum basamak q - 1'dir. Bir basamak q'ya eşit olamaz çünkü bu durumda birim yeni bir basamağa aktarılacaktır.

Örneğin 7832 sayısının yazılı olduğu sayı sisteminin minimum tabanını bulmanız gerekiyor, maksimum rakam 8 olduğuna göre minimum değeri q = 8 + 1 = 9 olur.

Bir sayı sisteminin temeli prensipte herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, negatif, rasyonel, irrasyonel, karmaşık vb. Yalnızca pozitif tam sayı tabanlarını ele alacağız.

Bizim için özellikle ilgi çekici olan 2 tabanı ve ikinin kuvvetleri olan 8 ve 16 tabanları olacaktır.

Tabanın olması durumunda. İle. ondan fazla ise alfabeden sırayla yeni sayılar alınır. Örneğin onaltılık sistem için bunlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F sayıları olacaktır.

Ondalık sayı sisteminin tamamını dönüştürme

Ondalık sayı sisteminden n'li sayı sistemine dönüştürmenin ilk yolu, sayıyı yeni bir tabana sırayla bölmektir.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

Ters sırayla önce son değeri (bu 0) sonra yukarıdan aşağıya tüm kalanları topluyoruz. 0A3 = A3 elde ederiz

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Tekrar bir araya getirdiğimizde 10723 elde ederiz.

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Bir araya getirirsek: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

01000100001 = 1000100001 topluyoruz

Kağıt üzerinde çeviri genellikle sütunlara bölünerek yapılır. Bölme sıfırla sonuçlanana kadar sonraki her cevap c tabanına bölünür. İle. Sonunda cevap bölümün geri kalanlarından toplanır.

Bir sayıyı başka bir e'ye dönüştürmek de sıklıkla mümkündür. İle. , bunu zihinsel olarak sayıyı dönüştürmek istediğimiz tabanın kuvvetlerinin toplamı olarak hayal edersek.

Örneğin 129 açıktır 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Tam sayı kısmını ondalık sayı sistemine dönüştürme

Çeviri, sayının konumsal sayı sistemindeki gösterimi kullanılarak gerçekleştirilir. Çevirmek gerekirse A3 12 → X 10 A3'ün 3∙q 0 + A∙q 1 yani 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123 olduğu biliniyor.

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Kağıt üzerinde çeviri genellikle aşağıdaki şekilde yapılır. Derece numarası her sayının üstüne sırasıyla yazılır. Daha sonra tüm şartlar yazılır.

Kesirli kısmı ondalık sistemden dönüştürme

Kesirli bir kısmı dönüştürürken, genellikle sonlu bir ondalık kesirin sonsuz kesir haline dönüştüğü bir durum ortaya çıkar. Bu nedenle, genellikle çeviri sırasında çevirinin gerekli olduğu doğruluk belirtilir. Çeviri, kesirli kısmın sayı sisteminin tabanıyla sırayla çarpılmasıyla gerçekleştirilir. Parçanın tamamı geriye katlanır ve fraksiyonun bir parçası haline gelir.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 – daha fazla çarpma yalnızca sıfır üretecektir
Yukarıdan aşağıya topladığımızda 0,101 elde ederiz.

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2 (1 )

0,2 ... periyodik bir kesir elde ederiz
Topladığımızda 0,0100110011001... = 0,0(1001) elde ederiz.

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,875 * 5 = 4,375 (4) 0,375 * 5 = 1,87 5 (1) ...

0.3111414… = 0.311(14)

Kesirli kısmı ondalık sisteme dönüştürme

Bir tamsayı kısmının çevirisine benzer şekilde, rakamın rakamının taban ile rakamın sayı içindeki konumuna eşit bir dereceye kadar çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Keyfi bir sayı sisteminden keyfi bir sayı sistemine geçiş

Rasgele sayı sisteminden keyfi sayı sistemine dönüşüm. İle. ondalık sayı kullanılarak gerçekleştirilir. İle.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Örneğin

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

İlgili sayı sistemleri

Tabanları aynı sayının kuvvetleri olduğunda sayı sistemlerine ilişkili denir. Örneğin 2, 4, 8, 16. Tablo kullanılarak ilgili sayı sistemleri arasında çeviri yapılabilir.

İlgili bir sayı sisteminden diğerine dönüştürmek için öncelikle sayıyı ikili sisteme dönüştürmeniz gerekir. İkili sayı sistemine dönüştürmek için, bir sayının her basamağı karşılık gelen iki (dörtlü), üç (sekizli) veya dört (onaltılık) ile değiştirilir.

123 4 için bir yerine 01, iki yerine 10, üç yerine 11 koyarsak 11011 2 elde ederiz.

5721 8 için sırasıyla 101, 111, 010, 001, toplam 101111010001 2

E12 16 için 111000010010 2 elde ederiz

İkili sistemden dönüştürmek için, sayıyı ikili (4'üncü), üçlü (8'inci) veya dörtlü sayılara (16'ncı) bölmeniz ve ardından bunları karşılık gelen değerlerle değiştirmeniz gerekir.