Darbe ve aktarım özellikleri arasındaki ilişki. Transfer fonksiyonunun genel özellikleri. Ders Saati Tahsisi

Devrenin zaman ve frekans özellikleri, Fourier dönüşüm formülleri ile birbirine bağlanır. Madde 2.1'de bulunan geçici yanıta göre devrenin impuls yanıtı hesaplanır (Şekil 1)

Hesaplama sonucu, Bölüm 2.2'de elde edilen H(jш) formülü ile örtüşmektedir.

Giriş sinyali örneklemesi ve dürtü yanıtı

Giriş sinyali spektrumunun üst sınırı olarak alınsın, o halde Kotelnikov teoremine göre örnekleme frekansı kHz'dir. Örnekleme periyodu nerede T=0.2ms

Şekil 2'de gösterilen grafiğe göre, t örnekleme zamanı için U 1 (n) giriş sinyalinin ayrık örneklerinin değerlerini belirliyoruz.

Dürtü yanıtının ayrık değerleri formülle hesaplanır

burada T=0.0002 s; n=0, 1, 2,…., 20.

Tablo 3. Giriş sinyali fonksiyonunun ve dürtü yanıtının ayrık değerleri

Devrenin çıkışındaki sinyalin ayrık değerleri, ayrık evrişim formülü kullanılarak ilk 8 örnek için hesaplanır.

Tablo 4. Devrenin çıkışındaki ayrık sinyal.

Hesaplama sonuçlarının Tablo 1'deki verilerle karşılaştırılması, Duhamel integrali kullanılarak ve sinyal ve dürtü yanıtının örneklenmesiyle hesaplanan U2 (t) değerlerindeki farkın, kabul edilebilir bir değer olan birkaç onda bir farklılık gösterdiğini göstermektedir. verilen başlangıç ​​parametreleri için sapma.

Şekil 9. Devrenin girişindeki ayrık sinyalin değeri.

Şekil 10. Devrenin çıkışındaki ayrık sinyalin değeri.

Şekil 11. H(n) devresinin impuls yanıtının ayrık okumalarının değeri.

2.3 Transfer fonksiyonunun genel özellikleri.

Ayrık bir devrenin kararlılık kriteri, bir analog devrenin kararlılık kriteriyle örtüşür: transfer fonksiyonunun kutupları, birim çember içindeki kutupların konumuna karşılık gelen karmaşık değişkenin sol yarım düzleminde bulunmalıdır. uçak

Genel bir devrenin transfer fonksiyonu (2.3)'e göre aşağıdaki gibi yazılır:

burada a i , b j , b 0 =1 katsayılarında terimlerin işaretleri dikkate alınır.

Genel bir devrenin transfer fonksiyonunun özelliklerini, Z'nin rasyonel bir fonksiyonunun fiziksel uygulanabilirliği için gereksinimler şeklinde formüle etmek uygundur: Z'nin herhangi bir rasyonel fonksiyonu, sabit bir ayrık devrenin transfer fonksiyonu olarak uygulanabilir. bir faktör H 0 PH Q, eğer bu fonksiyon gereklilikleri karşılıyorsa:

1. katsayılar a ben , b j - gerçek sayılar,

2. V(Z)=0 denkleminin kökleri, yani H(Z) kutupları, Z düzleminin birim çemberi içinde yer alır.

H 0 × Z Q çarpanı, H 0 sinyalinin sabit amplifikasyonunu ve QT ile zaman ekseni boyunca sabit sinyal kaymasını hesaba katar.

2.4 Frekans özellikleri.

Ayrık devre transfer fonksiyonu kompleksi

devrenin frekans özelliklerini belirler

AFC, - PFC.

(2.6)'ya dayanarak, genel transfer fonksiyonu kompleksi şu şekilde yazılabilir:

Dolayısıyla frekans yanıtı ve faz yanıtı için formüller

Ayrık bir devrenin frekans özellikleri periyodik fonksiyonlardır. Tekrarlama periyodu örnekleme frekansı wd'ye eşittir.

Frekans özellikleri genellikle frekans ekseni boyunca örnekleme frekansına göre normalleştirilir

burada W normalleştirilmiş frekanstır.

Bilgisayar kullanımı ile yapılan hesaplamalarda frekans normalizasyonu bir zorunluluk haline gelir.

Örnek. Transfer fonksiyonu şu olan devrenin frekans özelliklerini belirleyin:

H(Z) \u003d 0 + a 1 × Z -1.

Transfer fonksiyonu kompleksi: H(jw) = a 0 + a 1 e -j w T .

frekans normalizasyonu dikkate alınarak: wT = 2p × W.

H(jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW .

Frekans yanıtı ve faz yanıtı için formüller

H(W) =, j(W) = - arctan .

a 0 > a 1 koşulu altında a 0 ve a 1 pozitif değerleri için frekans yanıtı ve faz yanıtı grafikleri Şekil'de gösterilmiştir. (2.5, a, b.)

Frekans yanıtının logaritmik ölçeği - zayıflama A:

; . (2.10)

Transfer fonksiyonunun sıfırları, Z düzleminin herhangi bir noktasında bulunabilir.Sıfırlar birim çember içinde yer alıyorsa, o zaman böyle bir devrenin frekans yanıtı ve faz yanıtının özellikleri Hilbert dönüşümü ile bağlanır ve şu şekilde olabilir: biri diğerinden benzersiz bir şekilde belirlenir. Böyle bir devreye minimum faz devresi denir. Birim çemberin dışında en az bir sıfır görünüyorsa, devre, Hilbert dönüşümünün uygulanamadığı doğrusal olmayan faz tipi bir devreye aittir.

2.5 Darbe yanıtı. Evrişim.

Transfer fonksiyonu, frekans alanındaki devreyi karakterize eder. Zaman alanında, devre h(nT) bir impuls yanıtına sahiptir. Ayrık bir devrenin impuls yanıtı, devrenin ayrı bir d-fonksiyonuna verdiği yanıttır. Darbe tepkisi ve transfer fonksiyonu, sistem özellikleridir ve Z-dönüşüm formülleri ile birbirine bağlıdır. Bu nedenle, dürtü yanıtı belirli bir sinyal olarak kabul edilebilir ve H(Z) - Z transfer fonksiyonu bu sinyalin görüntüsüdür.

Normlar sistemin frekans özelliklerine göre ayarlanmışsa, transfer işlevi tasarımdaki ana özelliktir. Buna göre, normlar zaman alanında verilirse, ana karakteristik dürtü tepkisidir.

Darbe yanıtı, devrenin d-fonksiyonuna yanıtı olarak doğrudan devreden veya x(nT) = d(t) varsayılarak devrenin fark denklemini çözerek belirlenebilir.

Örnek. Şeması Şekil 2.6, b'de gösterilen devrenin dürtü tepkisini belirleyin.

Fark devre denklemi y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).

Fark denkleminin x(nT)=d(t) olması koşuluyla sayısal biçimde çözümü

n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;

n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;

n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;

n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; vesaire. ...

Dolayısıyla h(nT) = (0 ; 0.4 ; -0.032 ; 0.00256 ; ...)

Kararlı bir devre için, impuls yanıtının sayısı zamanla sıfır olma eğilimindedir.

Darbe tepkisi, bilinen bir transfer fonksiyonundan belirlenebilir.

A. ters Z dönüşümü,

B. ayrıştırma teoremi,

V. pay polinomunun payda polinomuna bölünmesinin sonuçlarına gecikme teoremi.

Listelenen yöntemlerin sonuncusu, sorunu çözmek için sayısal yöntemleri ifade eder.

Örnek. Transfer fonksiyonundan Şekil (2.6, b)'deki devrenin impuls yanıtını belirleyin.

Burada H(Z) = .

Payı paydaya böl

Gecikme teoremini bölmenin sonucuna uygulayarak, şunu elde ederiz:

h(nT) = (0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0,00256 ; ...)

Sonuç, önceki örnekteki fark denklemini kullanan hesaplamalarla karşılaştırılarak, hesaplama prosedürlerinin güvenilirliği doğrulanabilir.

Şekil 2.6, a'daki devrenin dürtü tepkisinin bağımsız olarak belirlenmesi, her iki dikkate alınan yöntemin de sırasıyla uygulanması önerilmektedir.

Transfer fonksiyonunun tanımına göre, devrenin çıkışındaki sinyalin Z - görüntüsü, devrenin girişindeki sinyalin Z - görüntüsü ile devrenin transfer fonksiyonunun çarpımı olarak tanımlanabilir. :

Y(Z) = X(Z) x H(Z). (2.11)

Dolayısıyla, evrişim teoremine göre, giriş sinyalinin darbe yanıtıyla evrişimi, devrenin çıkışındaki sinyali verir.

y(nT) =x(kT)Chh(nT - kT) =h(kT)Chx(nT - kT). (2.12)

Evrişim formülü ile çıkış sinyalinin tanımı, sadece hesaplama prosedürlerinde değil, aynı zamanda teknik sistemlerin işleyişi için bir algoritma olarak da kullanılır.

x (nT) = (1.0; 0.5) ise, devresi Şekil (2.6, b)'de gösterilen devrenin çıkışındaki sinyali belirleyin.

Burada h(nT) = (0 ; 0.4 ; -0.032 ; 0.00256 ; ...)

(2.12)'ye göre hesaplama

n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;

n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0,4;

n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0,168;

Böylece y(nT) = ( 0; 0.4; 0.168; ... ).

Teknik sistemlerde, doğrusal evrişim (2.12) yerine daha çok dairesel veya döngüsel evrişim kullanılır.

220352 grubunun öğrencisi Chernyshev D. A. Referans - patent ve bilimsel ve teknik araştırma raporu Mezuniyet yeterlilik çalışmasının konusu: dijital sinyal işlemeli televizyon alıcısı. Arama başlangıcı 2. 02. 99. Arama sonu 25.03.99 Arama konusu Ülke, Dizin (MKI, NKI) No. ...

Tek bir yan bant (AFM-SBP) ile taşıyıcı ve genlik-faz modülasyonu. 3. Çıkış sinyalini oluşturmak için kullanılan temel sinyallerin süresinin ve sayısının seçimi Gerçek iletişim kanallarında, sinyalleri frekans sınırlı bir kanal üzerinden iletmek için formdaki bir sinyal kullanılır, ancak zaman içinde sonsuzdur, bu nedenle yumuşatılır kosinüs yasasına göre. , Nerede - ...

Radyo devrelerinde, yük dirençleri genellikle büyüktür ve dört kutuplu devreyi etkilemez veya yük direnci standarttır ve dört kutuplu devrede zaten dikkate alınmıştır.

Daha sonra dört terminalli ağ, yük akımını ihmal ederken çıkış ve giriş voltajları arasındaki ilişkiyi kuran bir parametre ile karakterize edilebilir. Sinüzoidal bir sinyalle, böyle bir karakteristik, çıkış sinyalinin karmaşık genliğinin girişteki sinyalin karmaşık genliğine oranına eşit olan devrenin transfer fonksiyonudur (transfer katsayısı): , faz frekansı nerede karakteristik, devrenin genlik-frekans karakteristiğidir.

Bir lineer devrenin transfer fonksiyonu, süperpozisyon ilkesinin geçerliliğinden dolayı, karmaşık bir sinyalin devreden geçişini analiz ederek sinüzoidal bileşenlere ayırmayı mümkün kılar. Süperpozisyon ilkesini kullanmanın başka bir olasılığı, sinyali zaman kaydırmalı d-fonksiyonlarının d(t) toplamına ayrıştırmaktır. Devrenin d-fonksiyonları biçimindeki bir sinyalin eylemine tepkisi, impuls yanıtı g (t)'dir, yani giriş sinyali bir d-fonksiyonu ise bu çıkış sinyalidir. . Bu durumda t için g(t) = 0< 0 – выходной сигнал не может возникнуть ранее момента появления входного сигнала.

Deneysel olarak, darbe yanıtı, girişe birim alandan kısa bir darbe uygulanarak ve çıkış sinyalinin değişimi durana kadar alanı korurken darbe süresini azaltarak belirlenebilir. Bu, devrenin dürtü yanıtı olacaktır.

Devrenin giriş ve çıkışındaki gerilimleri birbirine bağlayan yalnızca bir bağımsız parametre olabileceğinden, darbe yanıtı ile transfer fonksiyonu arasında bir bağlantı vardır.

Girdi, spektral yoğunluğa sahip bir d-fonksiyonu biçiminde bir sinyal olsun. Giriş sinyalinin tüm spektral bileşenleri karşılık gelen frekansın transfer fonksiyonu ile çarpılırken, devrenin çıkışında bir impuls yanıtı olacaktır: . Böylece, devrenin impuls yanıtı ve transfer fonksiyonu Fourier dönüşümü ile ilişkilidir:

Bazen, h(t) devresinin sözde geçici yanıtı, birim atlama adı verilen bir sinyale yanıt olarak verilir:

ben(t) = 1 için t ³ 0

ben(t) = t'de 0< 0

bu durumda t için h(t) = 0< 0.

Transfer fonksiyonu ile dürtü yanıtı arasındaki ilişki nedeniyle, transfer fonksiyonuna aşağıdaki kısıtlamalar uygulanır:

· g(t)'nin gerçek olması koşulu, transfer fonksiyonunun (AFC) modülünün çift olması ve faz açısının (PFC) frekansın tek bir fonksiyonu olması gerekliliğine yol açar.

t'deki koşul< 0, g(t) = 0 приводит к критерию Пэли-Винера: .

Örneğin, transfer fonksiyonlu ideal bir alçak geçiren filtre düşünün.

Burada, Paley-Wiener kriterindeki integral, frekans ekseninin sonlu bir parçasındaki herhangi bir kaymada olduğu gibi ıraksar.

Böyle bir filtrenin impuls yanıtı,

g(t) t'de sıfıra eşit değildir< 0, тем сильнее, чем меньше время задержки , которое определяет ее угол наклона . Это указывает на нереализуемость идеального ФНЧ, имеющего близкое приближение при достаточно больших .

En basit dürtü sistemlerinden (geri besleme tipi, seri ve paralel bağlantılar) standart bağlantılardan oluşan bir dizi olan bir blok diyagramla keyfi bir dürtü sistemi verilsin. Daha sonra, bu sistemin transfer fonksiyonunu elde etmek için, bağlı impuls sistemlerinin transfer fonksiyonlarından standart bağlantıların transfer fonksiyonunu bulabilmek yeterlidir, çünkü ikincisi bilinmektedir (ya tam olarak ya da yaklaşık olarak) (bkz. § 3.1).

Tamamen impuls sistemlerinin bağlantıları.

Bağlı tamamen itici elemanların z-transfer fonksiyonlarına göre tamamen itici sistemlerin standart bağlantılarının -transfer fonksiyonlarını hesaplama formülleri, sürekli sistemler teorisindeki benzer formüllerle örtüşür. Bu çakışma, formül (3.9)'un yapısının, sürekli sistemler teorisindeki benzer bir formülün yapısı ile örtüştüğü için oluşur; formül (3.9), tamamen itici bir sistemin çalışmasını tam olarak tanımlar.

Örnek. Tamamen dürtü sisteminin blok diyagramı ile verilen z-transfer fonksiyonunu bulun (Şekil 3.2).

Şekil l'de gösterilen blok şemasından (3.9) dikkate alındığında. 3.2, şunu elde ederiz:

Son ifadeyi ilk ifadeyle değiştirin:

(sürekli sistemler teorisindeki iyi bilinen formülle karşılaştırın).

Darbe sistemlerinin bağlantıları.

Örnek 3.2. Darbe sisteminin bir blok diyagramla gösterilmesine izin verin (bkz. Şekil .3.3, noktalı çizgi ve kesikli çizgiyi hesaba katmadan). Daha sonra

Çıktının ayrık değerlerini belirlemeniz gerekirse (Şekil 3.3'teki çıkış - noktalı çizgideki hayali senkron anahtarına bakın), o zaman (3.7)'nin türetilmesinde kullanılana benzer bir şekilde, bağlantı:

Bir öncekinden yalnızca anahtarın konumunda farklı olan başka bir sistemi ele alalım (Şekil 3.4, noktalı çizgi hariç). Onun için

Hayali bir anahtarla (Şekil 3.4'teki noktalı çizgiye bakın)

Bu örnekte elde edilen ilişkilerden sonuçlar çıkarılabilir.

Sonuç 1. Girişin analitik bağlantı türü sürekli olduğu gibi [bkz. (3.10), (3.12)] ve ayrık olanlarla [bkz. (3.11), (3.13)] keyfi bir itici sistemin çıkışının değerleri, esasen anahtarın konumuna bağlıdır.

Sonuç 2. 3.1'de açıklanan en basit sistem için olduğu gibi keyfi bir darbe sistemi için, giriş ve çıkışı her zaman birbirine bağlayan transfer fonksiyonuna benzer bir özellik elde etmek mümkün değildir. En basit dürtüsel sistem için yapılan (bkz. § 3.1) girdi ve çıktıyı birbirine bağlayan ve ayrık zamanlarda nın katlarını birbirine bağlayan benzer bir karakteristik elde etmek mümkün değildir. Bu, sırasıyla (3.10), (3.12) ve (3.11), (3.13) bağıntılarından açıkça görülmektedir.

Sonuç 3. Darbe sistemlerinin bazı özel bağlantı durumları için, örneğin, blok diyagramı Şekil 2'de gösterilen bir darbe sistemi için. Şekil 3.5'te (noktalı çizgi olmadan), girişi ve çıkışı ayrık zamanlarda bağlayan transfer fonksiyonunu bulmak mümkündür. Nitekim, (3.10)'dan sonra Ama sonra [bkz. formül (3.7)'nin türetilmesi]

Bu durumda açık ve kapalı sistemlerin z-transfer fonksiyonunun bağlantı yapısı, sürekli sistemler teorisindeki ile aynıdır.

Bu özel bir durum olmasına rağmen, darbeli servo sistemleri sınıfından birçok sistem buna indirgendiği için büyük pratik öneme sahip olduğuna dikkat edilmelidir.

Sonuç 4. Keyfi bir itici sistem durumunda z-transfer işlevine benzer uygun bir ifade elde etmek için (örneğin, bkz. Şekil 3.3), yalnızca sistemin çıkışında değil, eşzamanlı hayali anahtarların tanıtılması gerekir. (Şekil 3.3'teki noktalı çizgiye bakın), ancak ve diğer noktalarında (örneğin, Şekil 3.3'teki içi dolu kısım yerine kesik çizgili bölüme bakın). Daha sonra

ve formüller (3.10), (3.11) sırasıyla aşağıdaki formu alacaktır:

ve dolayısıyla

Şek. 3.3 kesikli çizgi ve noktalı çizgi önemli ölçüde farklıdır, çünkü ikincisi tüm sistemin işleyişinin doğasını değiştirmez, sadece zaman içinde ayrı noktalarda onun hakkında bilgi sağlar.

İlki, geri besleme bağlantısına giren sürekli sinyali bir darbeye dönüştürerek, orijinal sistemi tamamen farklı bir sisteme dönüştürür. Bu yeni sistem, kabul edilirse (bkz. § 5.4) ve orijinal sistemin işleyişini oldukça iyi temsil edebilecektir.

1) Kotelnikov teoreminin (2.20) koşulları karşılanmıştır;

2) geri bildirim bağlantısının bant genişliği daha azdır:

geri besleme bağlantısının kesme frekansı nerede;

3) kesme frekansı bölgesindeki bağlantının genlik frekans tepkisi (AFC) oldukça keskin bir şekilde azalır (bkz. Şekil 3.6).

Ardından, sürekli bir sinyale karşılık gelen darbe sinyali spektrumunun yalnızca o kısmı geri besleme bağlantısından geçer.

Bu nedenle, genel durumda formül (3.16), ayrık zamanlarda bile orijinal sistemin çalışmasını yalnızca yaklaşık olarak temsil eder. Ayrıca, normal çalışması hayali bir anahtar tarafından ihlal edilen bağlantı için (2.20), (3.17) koşulları ve genlik-frekans özelliğinde dik bir düşüş için koşullar daha güvenilir, daha doğru bir şekilde yapar, karşılanır.

Böylece, z-dönüşümünü kullanarak, tamamen dürtüsel bir sistemin işleyişini doğru bir şekilde inceleyebilirsiniz; sürekli bir sistemin çalışmasını doğru bir şekilde araştırmak için Laplace dönüşümünü kullanma.

Bu dönüşümlerden birinin (herhangi birinin) yardımıyla dürtü sistemi yalnızca yaklaşık olarak ve hatta belirli koşullar altında incelenebilir. Bunun nedeni, darbe sisteminde hem sürekli hem de darbe sinyallerinin bulunmasıdır (bu nedenle, bu tür darbe sistemleri sürekli darbedir ve bazen sürekli ayrık olarak adlandırılır). Bu bağlamda, sürekli sinyallerle çalışırken uygun olan Laplace dönüşümü, kesikli sinyaller söz konusu olduğunda kullanışsız hale gelmektedir. Ayrık sinyaller için uygun olan z-dönüşüm, sürekli sinyaller için sakıncalıdır.

Yani bu durumda, aporialarda not edilen ortaya çıkar)