Normal olarak dağılmış bir rasgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı. Bir rasgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı x rasgele değişkeninin bir aralığa düşme olasılığı
SÜREKLİ RASTGELE DEĞİŞKENLER İÇİN DAĞILIM YASASINI OLUŞTURMA ŞEKİLLERİ
AYRINTILI RASTGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMI YASASINI OLUŞTURMA ŞEKİLLERİ
1). Dağıtım tablosu (sıra) - ayrık rasgele değişkenlerin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli.
Tablo, rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listelediğinden.
2). dağıtım poligonu . Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir dağılım serisinin grafiksel gösteriminde, bir rastgele değişkenin tüm olası değerleri apsis ekseni boyunca ve karşılık gelen olasılıklar ordinat ekseni boyunca çizilir. Daha sonra noktalar uygulanır ve düz çizgi parçalarıyla birleştirilir. Ortaya çıkan şekil - dağıtım çokgeni - aynı zamanda ayrık bir rasgele değişkenin dağıtım yasasını belirtmenin bir biçimidir.
3). dağıtım işlevi - rastgele bir X değişkeninin verilen bir x değerinden daha düşük bir değer alma olasılığı, yani
| . |
Geometrik açıdan rastgele bir noktaya gelme olasılığı olarak düşünülebilir. X sayısal eksenin sabit noktanın solundaki bölümüne X.
2) ; ;
Görev 2.1. rastgele değer X- 3 atışla hedefe yapılan vuruş sayısı (bkz. görev 1.5). Bir dağıtım serisi, bir dağıtım poligonu oluşturun, dağıtım fonksiyonunun değerlerini hesaplayın ve grafiğini oluşturun.
Çözüm:
1) Bir rastgele değişkenin dağılım serisi X tabloda sunulan
| -de | , |
| -de | , |
| -de | , |
| -de | |
| de | . |
Değerin apsisi boyunca çizim X, ve y ekseni boyunca - değerler ve belirli bir ölçek seçerek, dağılım fonksiyonunun bir grafiğini elde ederiz (Şekil 2.2). Ayrık bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, rasgele değişkenin olduğu noktalarda sıçramalara (süreksizliklere) sahiptir. X dağıtım tablosunda belirtilen belirli değerleri alır. Dağılım fonksiyonundaki tüm atlamaların toplamı bire eşittir.
Pirinç. 2.2 - Ayrık değer dağıtım işlevi
1). dağıtım işlevi .
Sürekli bir rasgele değişken için, dağılım fonksiyonu grafiği (Şekil 2.3) düz bir eğri biçimine sahiptir.
Dağıtım işlevi özellikleri:
c) eğer .
Pirinç. 2.3 - Sürekli bir değerin dağıtım işlevi
2). dağıtım yoğunluğu olarak tanımlanmış dağılım fonksiyonunun türevi, yani
| . |
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğunu gösteren eğri, denir dağılım eğrisi (Şekil 2.4).
Yoğunluk özellikleri:
ve bunlar. yoğunluk negatif olmayan bir fonksiyondur;
b), yani alan sınırlı dağılım eğrisi ve x ekseni her zaman 1'dir.
Rastgele değişkenin tüm olası değerleri ise X içine alınmış Aönce B, ardından ikinci yoğunluk özelliği şu şekli alır:
Pirinç. 2.4 - Dağıtım eğrisi
Uygulamada, genellikle bir rasgele değişkenin olma olasılığını bilmek gerekir. X a'dan b'ye gibi bir aralıkta bir değer alacaktır. için istenen olasılık Ayrık rassal değişken X formül tarafından belirlenir
sürekli bir rasgele değişkenin herhangi bir tek değerinin olasılığı sıfıra eşit olduğundan: .
Sürekli bir rasgele değişkene ulaşma olasılığı X(a,b) aralığında ayrıca şu ifade ile belirlenir:
Görev 2.3. rastgele değer X dağılım fonksiyonu tarafından verilir
Test sonucunda rasgele değişkenin yoğunluğunu ve olasılığını bulun. X aralığındaki değeri alacaktır.
Çözüm:
2. Rastgele bir değişkene ulaşma olasılığı X aralıktaki formül tarafından belirlenir. alarak ve buluruz
Normal bir rastgele değişkenin dağılımı.
Dağılım rastgele değişken karşılık gelen merkezli rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisidir.
Rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre yayılma derecesini karakterize eder, yani. değer aralığı genişliği.
Hesaplama formülleri:
Dağılım, ikinci başlangıç momenti cinsinden hesaplanabilir:
(6.10)
Rastgele bir değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılım derecesini (dağılımını) karakterize eder. SW dağılımı (hem ayrık hem de sürekli) rastgele olmayan (sabit) bir niceliktir.
SW'nin varyansı, rastgele bir değişkenin karesi boyutuna sahiptir. Netlik için, saçılma özellikleri, boyutu SW'ninkiyle çakışan bir nicelik kullanır.
Standart sapma (RMS) GB X karakteristik denir
. (6.11)
RMS, SW ile aynı fiziksel birimlerde ölçülür ve SW değerleri aralığının genişliğini karakterize eder.
Dispersiyon Özellikleri
dağılım sabiti İle sıfıra eşittir.
Kanıt: varyansın tanımı gereği
Rastgele bir değişkene eklendiğinde X rastgele olmayan değer İle varyansı değişmez.
D[X+C] = D[X].
Kanıt: varyansın tanımı gereği
(6.12)
3. Rastgele bir değişkeni çarparken X rastgele bir miktarda İle varyansı ile çarpılır 2'den beri.
Kanıt: varyansın tanımı gereği
. (6.13)
Standart sapma için bu özellik şu şekildedir:
(6.14)
Nitekim ½C½>1 olduğunda cX'in değeri X'in değerinden daha büyük (mutlak değer olarak) olası değerlere sahiptir. Dolayısıyla bu değerler matematiksel beklenti etrafına dağılmıştır. M[cX] olası değerlerden daha büyük X etrafında M[X], yani 
. 0 ise<½с½<1, то 
.
Kural 3s. Rastgele bir değişkenin çoğu değeri için, matematiksel beklentiden sapmasının mutlak değeri, standart sapmanın üç katını geçmez veya başka bir deyişle, hemen hemen tüm CV değerleri şu aralıktadır:
[ M - 3S; M + 3 S; ].(6.15)
Normal bir rasgele değişkenin belirli bir aralığına düşme olasılığı
Önceden belirlendiği gibi, sürekli bir rasgele değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı, uygun sınırlar içinde alınan dağılım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir: 
.
Sırasıyla normal dağılmış bir rasgele değişken için şunu elde ederiz: 
.
Yeni bir değişken ekleyerek son ifadeyi dönüştürelim 
. Bu nedenle, integral altındaki ifadenin üssü şuna dönüştürülür: 
.
Bir değişkeni belirli bir integralde değiştirmek için, değişkeni daha önce değiştirme formülünden ifade ettikten sonra, diferansiyel ve entegrasyon sınırlarını değiştirmek hala gereklidir: 
;
;
entegrasyonun alt sınırıdır;
entegrasyonun üst sınırıdır;
(yeni değişkene göre entegrasyon limitlerini bulmak için ve eski değişkene göre entegrasyon limitleri değişken değişim formülüne yerleştirildi).
Olasılığı bulmak için formüllerin sonundaki her şeyi yerine koyun: 
Nerede 
Laplace işlevidir.
Sonuç: Normal dağılan rastgele bir değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı şuna eşittir: 
,
burada matematiksel beklenti, verilen rastgele değişkenin standart sapmasıdır.
23. Ki-kare dağılımları, Student ve Fisher
Normal dağılım, artık istatistiksel veri işlemede yaygın olarak kullanılan üç dağılımı tanımlar. Kitabın ilerleyen bölümlerinde bu dağıtımlara birçok kez rastlanmaktadır.
Pearson dağılımı (ki - kare) - rastgele bir değişkenin dağılımı
nerede rastgele değişkenler X 1 , X 2 ,…, X n bağımsızdır ve aynı dağılıma sahiptir N(0.1). Bu durumda, terim sayısı, yani. N, ki-kare dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır.
Ki-kare dağılımı varyansı tahmin etmede (bir güven aralığı kullanarak), uyum, homojenlik, bağımsızlık hipotezlerini test etmede, öncelikle sonlu sayıda değer alan nitel (kategorize edilmiş) değişkenler için ve istatistiksel veri analizinin diğer birçok görevinde kullanılır.
Dağıtım TÖğrenci rastgele bir değişkenin dağılımıdır
nerede rastgele değişkenler sen Ve X bağımsız, sen standart bir normal dağılıma sahiptir N(0,1) ve X– dağıtım ki – ile kare Nözgürlük derecesi. nerede N Student dağılımının "serbestlik derecesi sayısı" olarak adlandırılır.
Öğrenci dağılımı, 1908'de bir bira fabrikasında çalışan İngiliz istatistikçi W. Gosset tarafından tanıtıldı. Bu fabrikada ekonomik ve teknik kararlar almak için olasılıksal-istatistiksel yöntemler kullanıldı, bu nedenle fabrika yönetimi V. Gosset'in kendi adı altında bilimsel makaleler yayınlamasını yasakladı. Bu şekilde bir ticari sır, W. Gosset tarafından geliştirilen olasılıksal-istatistiksel yöntemler biçimindeki "know-how" korunmuştur. Ancak "Öğrenci" takma adıyla yayın yapabildi. Gosset-Student'in geçmişi, yüz yıl önce, olasılıksal-istatistiksel yöntemlerin büyük ekonomik verimliliğinin İngiliz yöneticiler için açık olduğunu gösteriyor.
Şu anda Student dağılımı, gerçek verilerin analizinde kullanılanlar arasında en iyi bilinen dağılımlardan biridir. Güven aralıklarını kullanarak matematiksel beklentiyi, tahmin değerini ve diğer özellikleri tahmin etmede, matematiksel beklentilerin değerleri hakkındaki hipotezleri test etmede, regresyon katsayılarında, numune homojenliği hipotezlerinde vb. kullanılır. .
Nerede 
- integral Laplace işlevi, bir tablo halinde verilir.
Belirli bir integralin özelliklerinden Ф (- X)= - Ç( X), yani işlev Ф( X) garip.
Bundan aşağıdaki (türev) formüller türetilir:
Varsayalım: a) d=s
Üç Sigma Kuralı (3s): tek bir testte normal dağılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının standart sapmanın üç katını geçmediği neredeyse kesindir.
Görev: Gölette yakalanan aynalı sazanların kütlesinin rastgele bir değişken olduğu varsayılmıştır. X matematiksel beklenti ile normal dağılıma sahip olan A\u003d 375 g ve standart sapma s \u003d 25 g Aşağıdakileri belirlemek gerekir:
A) Rastgele yakalanan bir sazanın kütlesinin en az a=300 g ve en fazla b=425 g olma olasılığı.
B) Mutlak değerde belirtilen kütlenin ortalama değerden (matematiksel beklenti) sapmasının d = 40 g'dan küçük olma olasılığı.
C) Üç sigma kuralını kullanarak aynalı sazanların tahmin edilen kütlelerinin minimum ve maksimum limitlerini bulunuz.
Çözüm:
A) 
Çözüm: Havuzda yüzen sazanların yaklaşık %98'i en az 300 gr en fazla 425 gr ağırlığındadır.
B) 
Çözüm: Yaklaşık %89'unun kütlesi ad-d= 375-40 = 335 ila A+ d \u003d 375 + 40 \u003d 415 gr.
C) Üç sigma kuralına göre:
Çözüm: Neredeyse tüm sazanların kütlesi (yaklaşık %100) 300 ila 450 gram aralığındadır.
Bağımsız çözüm için görevler
1. Atıcı hedefi 0,8 olasılıkla vurur. Üç atışla hedefin tam olarak iki kez vurulma olasılığı nedir? En azından iki kere?
2. Ailede dört çocuk var. Bir erkek ve bir kızın doğumunu eşit olasılıklı olaylar olarak kabul ederek, ailede iki kız olma olasılığını tahmin edin. Üç kız ve bir erkek. Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası oluşturun X ailedeki olası kız sayısına karşılık gelir. Özellikleri hesapla: M(X), S.
3. Bir zar üç kez atılıyor. Bir "6" gelme olasılığı nedir? Birden fazla değil mi?
4. Rastgele değer X aralık boyunca düzgün bir şekilde dağılmıştır. Rastgele bir X değişkeninin aralık içinde olma olasılığı nedir?
5. Belirli bir bölgede yaşayan insanların (kesinlikle - yetişkinler, erkekler) büyümesinin matematiksel beklenti ile normal dağılım yasasına uyduğu varsayılır. A\u003d 170 cm ve standart sapma s \u003d 5 cm Rastgele seçilen bir kişinin boyunun:
A) 180 cm'den fazla ve 165 cm'den az olmayacak mı?
B) mutlak değerde ortalamadan en fazla 10 cm sapma gösteriyor mu?
C) “üç sigma” kuralına göre bir kişinin mümkün olan minimum ve maksimum boyunu tahmin edin.
Kontrol soruları
1. Bernoulli formülü nasıl yazılır? Ne zaman uygulanır?
2. Binom dağılım yasası nedir?
3. Düzgün dağılımlı olarak adlandırılan rastgele değişken hangisidir?
4. [ aralığında düzgün dağılmış rastgele bir değişken için integral ve diferansiyel dağılım fonksiyonlarının hangi formu vardır? A, B]?
5. Hangi rastgele değişkenin normal dağılım yasası vardır?
6. Çan eğrisi neye benziyor?
7. Normal dağılan bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı nasıl bulunur?
8. Üç Sigma Kuralı nasıl formüle edilir?
Rastgele süreçler teorisine giriş
rastgele fonksiyon bağımsız değişkenin her değeri için değeri rastgele bir değişken olan bir işlev çağırın.
Rastgele (veya stokastik) süreç bağımsız değişkeni zaman olan rastgele bir fonksiyon olarak adlandırılır. T.
Başka bir deyişle, rasgele bir süreç zamanla değişen bir rasgele değişkendir. rastgele süreç X(T) on belirli bir eğridir, belirli eğriler kümesi veya ailesidir x ben (t) (Ben= 1, 2, …, N) bireysel deneyler sonucunda elde edilmiştir. Bu kümedeki her eğri denir uygulama (veya yörünge) rastgele süreç.
Rastgele bir sürecin kesiti rastgele değişken denir X(T 0) bazı sabit zamanda rastgele sürecin değerine karşılık gelen t = t0.
Normal dağılan rasgele değişkenlerle ilgili birçok problemde, parametrelerle normal yasaya uyan bir rasgele değişkenin ile arasındaki aralığa düşme olasılığını belirlemek gerekir. Bu olasılığı hesaplamak için genel formülü kullanırız.
miktarın dağılım fonksiyonu nerede .
Normal yasaya göre dağılan rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunu parametrelerle bulalım. Değerin dağılım yoğunluğu:
.
(6.3.2)
Buradan dağıtım fonksiyonunu buluyoruz
. (6.3.3)
(6.3.3) integralinde değişken değişimini yapalım.
ve forma getirin:
(6.3.4)
İntegral (6.3.4), temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez, ancak ifadenin belirli bir integralini ifade eden özel bir fonksiyon veya tabloların derlendiği (olasılık integrali) cinsinden hesaplanabilir. Bu tür işlevlerin birçok çeşidi vardır, örneğin:
;
vesaire. Bu işlevlerden hangisinin kullanılacağı bir zevk meselesidir. Böyle bir fonksiyon olarak seçeceğiz
. (6.3.5)
Bu fonksiyonun parametreli normal dağılımlı bir rasgele değişken için dağılım fonksiyonundan başka bir şey olmadığını görmek kolaydır.
Fonksiyonu normal dağılım fonksiyonu olarak adlandırmayı kabul ediyoruz. Ek (Tablo 1) fonksiyon değerleri tablolarını gösterir.
Miktarın dağılım fonksiyonunu (6.3.3) parametrelerle ve normal dağılım fonksiyonu cinsinden ifade edelim. Açıkça,
.
(6.3.6)
Şimdi, ile arasındaki segmentte rastgele bir değişkeni bulma olasılığını bulalım. Formül (6.3.1)'e göre
Böylece herhangi bir parametre ile normal yasaya göre dağılan bir rasgele değişkenin grafiğe düşme olasılığını en basit normal yasaya karşılık gelen standart dağılım fonksiyonu cinsinden 0.1 parametresiyle ifade etmiş olduk. Formül (6.3.7)'deki işlev bağımsız değişkenlerinin çok basit bir anlamı olduğuna dikkat edin: bölümün sağ ucundan dağılımın merkezine standart sapmalarla ifade edilen bir mesafe vardır; - bölümün sol ucu için aynı mesafe ve bu mesafe, uç dağılım merkezinin sağında yer alıyorsa pozitif, solda ise negatif kabul edilir.
Herhangi bir dağıtım işlevi gibi, işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
3. - azalmayan fonksiyon.
Ek olarak, normal dağılımın orijine ilişkin parametrelerle simetrisinden şu sonuç çıkar:
Aslında bu özelliği kullanarak, işlev tablolarını argümanın yalnızca pozitif değerleriyle sınırlamak mümkün olacaktır, ancak gereksiz bir işlemden (birinden çıkarma) kaçınmak için, ekin Tablo 1'i hem pozitif hem de negatif argümanlar için değerler sağlar.
Uygulamada, normal olarak dağılan bir rasgele değişkenin dağılım merkezine göre simetrik olan bir alana düşme olasılığını hesaplama sorunuyla sıklıkla karşılaşılır. Böyle bir uzunluk kesiti düşünün (Şekil 6.3.1). (6.3.7) formülünü kullanarak bu siteye ulaşma olasılığını hesaplayalım:
Fonksiyonun (6.3.8) özelliğini göz önünde bulundurarak ve formülün (6.3.9) sol tarafını daha kompakt bir form vererek, normal yasaya göre dağılan rastgele bir değişkenin saçılma merkezine göre simetrik bir kesite düşme olasılığı için bir formül elde ederiz:
.
(6.3.10)
Aşağıdaki problemi çözelim. Saçılma merkezinden (Şekil 6.3.2) ardışık uzunluk dilimlerini bir kenara bırakalım ve her birine rastgele bir değişkenin düşme olasılığını hesaplayalım. Normal yasanın eğrisi simetrik olduğundan, bu tür bölümleri yalnızca bir yönde ertelemek yeterlidir.
(6.3.7) formülüne göre şunları buluruz:
(6.3.11)
Bu verilerden de görülebileceği gibi, sonraki segmentlerin (beşinci, altıncı vb.) her birine 0,001 doğrulukla ulaşma olasılıkları sıfıra eşittir.
Segmentlere ulaşma olasılığını 0,01'e (%1'e kadar) yuvarlayarak, hatırlaması kolay üç sayı elde ederiz:
0,34; 0,14; 0,02.
Bu üç değerin toplamı 0,5'tir. Bu, normal olarak dağıtılan bir rasgele değişken için, tüm dağılımların (yüzdenin kesirlerine kadar) bölüme sığdığı anlamına gelir.
Bu, rastgele bir değişkenin standart sapmasını ve matematiksel beklentisini bilmek, pratik olarak mümkün değerlerinin aralığını yaklaşık olarak belirtmeye izin verir. Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin aralığını tahmin etmenin bu yöntemi, matematiksel istatistikte “üç sigma kuralı” olarak bilinir. Üç sigma kuralı aynı zamanda bir rasgele değişkenin standart sapmasını belirlemek için yaklaşık bir yöntemi de ima eder: ortalamadan pratik olarak mümkün olan maksimum sapmayı alır ve onu üçe bölerler. Tabii ki, bu kaba yöntem yalnızca belirlemenin daha doğru başka yolları yoksa önerilebilir.
Örnek 1. Normal yasaya göre dağıtılan rastgele bir değişken, belirli bir mesafeyi ölçmedeki bir hatadır. Ölçerken, fazla tahmin yönünde 1,2 (m) sistematik bir hataya izin verilir; ölçüm hatasının standart sapması 0,8 (m)'dir. Ölçülen değerin gerçek değerden sapmasının mutlak değerde 1,6 (m)'yi geçmeme olasılığını bulun.
Çözüm. Ölçüm hatası, ve parametreleri ile normal yasaya uyan rastgele bir değişkendir. Bu miktarın ile arasındaki aralığa düşme olasılığını bulmamız gerekiyor. (6.3.7) formülüne göre:
Fonksiyon tablolarını (Ek, Tablo 1) kullanarak şunu buluruz:
;
,
Örnek 2. Önceki örnekteki ile aynı olasılığı bulun, ancak sistematik bir hata olmaması şartıyla.
Çözüm. Formül (6.3.10) ile, varsayarak şunu buluruz:
.
Örnek 3. Genişliği 20 m olan bir şeride (otoyol) benzeyen bir hedefte, otoyola dik yönde atış yapılır. Nişan alma, otoyolun merkez hattı boyunca gerçekleştirilir. Atış yönündeki standart sapma m'ye eşittir Atış yönünde sistematik bir hata var: hedefin altında kalan mesafe 3 m Tek atışla otoyola çarpma olasılığını bulun.
Normal bir rasgele değişkenin belirli bir aralığına düşme olasılığı
Bir rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f (x) tarafından verilirse, X'in (a, b) aralığına ait bir değer alma olasılığının aşağıdaki gibi olduğu zaten bilinmektedir:
Rastgele değişken X'in normal yasaya göre dağılmasına izin verin. O zaman X'in (a,b) aralığına ait bir değer alma olasılığı şuna eşittir:
Hazır tabloları kullanabilmeniz için bu formülü dönüştürelim. Yeni bir z = (x-a)/--s değişkeni tanıtalım. Dolayısıyla x = sz+a, dx = sdz . Entegrasyonun yeni sınırlarını bulalım. x= a ise z=(a-a)/--s; x \u003d b ise, z \u003d (b-a) / - s.
Böylece, elimizde
Laplace işlevini kullanma
sonunda aldık
Rastgele bir olayın olasılığını hesaplama
14 parçalık bir partide standart olmayan 2 parça vardır. 3 öğe rastgele seçilir. Rastgele bir X değişkeninin dağıtım yasasını oluşturun - seçilenler arasındaki standart parçaların sayısı. Sayısal özellikleri bulun, . Çözüm Açıktır...
Patiska şeritlerinin çekme mukavemetinin incelenmesi
Onlar söylüyor...
Bilinmeyen Dağılım Parametrelerini Tahmin Etme Yöntemleri
Bir X rasgele değişkeni bir dağılım yoğunluğu ile veriliyorsa, X'in aralığa ait bir değer alma olasılığı şu şekildedir: X rasgele değişkeninin normal yasaya göre dağılmasına izin verin. O zaman X'in değeri alma olasılığı...
Sürekli rastgele değişken
X rasgele değişkeninin x noktasındaki olasılık dağılım fonksiyonu F(x), deneyin sonucunda rasgele değişkenin x'ten küçük bir değer alma olasılığıdır, yani F(x)=P(X)< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...
Sürekli rastgele değişkenler. Normal dağılım yasası
Dağılım yoğunluğunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa ait bir değer alma olasılığını hesaplayabiliriz. Hesaplama aşağıdaki teoreme dayanmaktadır. teorem. Olasılık...
Nihai matematiksel beklenti mx=5 Standart sapma yx=3 Örnek boyutu n=335 Güven olasılığı r=0.95 Anlamlılık düzeyi Örneklenen değerlerin sayısı N=13 Rastgele bir değişkenin simülasyonu...
Statik sistem modelleme
Statik sistem modelleme
3. Rastgele bir sürecin istatistiksel özelliklerinin değerlendirilmesi Görevler bölümlere göre belirlenir ...
Statik sistem modelleme
Dağılım: f(x)=b(3-x), b>0 Dağılım limitleri 1 Statik sistem modelleme rastgele değişken nedir rasgele değişken olasılık teorisi Bir rasgele değişkenin dağılımı için yukarıdaki kurallar, yalnızca ayrık niceliklerle ilgili olarak geçerlidir, çünkü ... Olasılık Teorisinin Unsurları Pratik uygulama açısından önemli bir sorunu ele alalım. Dağılım yoğunluğuna sahip sürekli bir rastgele değişken olsun. İlişkiyle ilişkili miktarın dağılım yoğunluğunu bulma sorunuyla ilgileniyoruz: ...