Представление периодических сигналов рядом фурье. Примеры разложения в ряд фурье

Общие описания

Французский математик Фурье (Ж. Б. Ж. Фурье 1768-1830) провоз гласил достаточно смелую для своего времени гипотезу. Согласно этой гипотезе не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Однако, к сожалению, в то время такая идея не была воспринята всерьез. И это естественно. Сам Фурье не смог привести убедительных доказательств, а интуитивно поверить в гипотезу Фурье очень трудно. Особенно нелегко представить тот факт, что при сложении простых функций, подобных тригонометрическим, воспроизводятся функции, совершенно на них не похожие. Но если предположить, что гипотеза Фурье верна, то периодический сигнал любой формы можно разложить на синусоиды различных частот, или наоборот, посредством соответствующего сложения синусоид с разными частотами возможно синтезировать сигнал какой угодно формы. Следовательно, если эта теория верна, то ее роль в обработке сигналов может быть очень велика. В этой главе первым делом попы­таемся проиллюстрировать правильность гипотезы Фурье.

Рассмотрим функцию

f(t)= 2sin t – sin 2t

Простой тригонометрический ряд

Функция является суммой тригонометрических функций, иными словами, представлена в виде тригонометрического ряда из двух членов. Добавим одно слагаемое и создадим новый ряд из трех членов

Снова добавив несколько слагаемых, получим новый тригонометрический ряд из десяти членов:

Коэффициенты этого тригонометрического ряда обозначим как b k , где k - целые числа. Если внимательно посмотреть на последнее соотношение, то видно, что коэффициенты можно описать следующим выражением:

Тогда функцию f(t) можно представить следующим образом:

Коэффициенты b k - это амплитуды синусоид с угловой частотой к. Иначе говоря, они задают величину частотных составляющих.

Рассмотрев случай, когда верхний индекс к равен 10, т.е. М= 10. Увеличив значение М до 100, получим функцию f(t).

Эта функция, будучи тригонометрическим рядом, по форме приближается к пилообразному сигналу. И, похоже, гипотеза Фурье совершенно верна по отноше­нию к физическим сигналам, с которыми мы имеем дело. К тому же в этом примере форма сигнала не гладкая, а включает точки разрыва. И то, что функция воспроизводится даже в точках разрыва, выглядит многообещающим.

В физическом мире действительно много явлений, которые можно представить как суммы колебаний различных частот. Типичным примером этих явлений является свет. Он представляет собой сумму электромагнитных волн с длиной волны от 8000 до 4000 ангстрем (от красного цвета свечения до фиолетового). Вы, конечно, знаете, что если белый свет пропустить через призму, то появится спектр из семи чистых цветов. Это происходит потому, что коэффициент преломления стекла, из которого сделана призма, изменяется в зависимости от длины электромагнитной волны. Это как раз и является доказательством того, что белый свет - это сумма световых волн различной дли­ны. Итак, пропустив свет через призму и получив его спектр, мы можем проанализировать свойства света, исследуя цветовые комбинации. Подобно этому, посредством разложения принятого сигнала на различные частотные составляющие, мы можем узнать, как возник первоначальный сигнал, по какому пути он следовал или, наконец, какому внешнему влиянию он подвергался. Одним словом, мы можем получить информацию для выяснения происхождения сигнала.

Подобный метод анализа называется спектральным анализом или анализом Фурье.

Рассмотрим следующую систему ортонормированных функций:

Функцию f(t) можно разложить по этой системе функций на отрезке [-π, π] следующим образом:

Коэффициенты α k , β k , как было показано ранее, можно выразить через скалярные произведения:

В общем виде функцию f(t) можно представить следующим образом:

Коэффициенты α 0 , α k , β k называют коэффициентами Фурье, а подобное представление функции называется разложением в ряд Фурье. Иногда такое представление называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты - действительными коэффициентами Фурье. Термин «действительный» вводится для того, чтобы отличить представленное разложение от разложения в ряд Фурье в комплексной форме.

Как уже было сказано ранее, произвольную функцию можно разложить по системе ортогональных функций, даже если функции из этой системы не представляются в виде тригонометрического ряда. Обычно под разложением в ряд Фурье подразумевается разложение в тригонометрический ряд. Если коэффициенты Фурье выразить через α 0 , α k , β k получим:

Поскольку при k = 0 coskt = 1, то константа а 0 /2 выражает общий вид коэффициента а k при k = 0.

В соотношении (5.1) колебание самого большого периода, представленное суммой cos t и sin t, называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом, равным половине основного периода, называют второй гармоникой. Колебание с периодом, равным 1/3 основного периода, называют третьей гармоникой и т.д. Как видно из соотношения (5.1) a 0 является постоянной величиной, выражающей среднее значение функции f{t) . Если функция f(t) представляет собой электрический сигнал, то а 0 представляет его постоянную составляющую. Следовательно, все остальные коэффициенты Фурье выражают его переменные составляющие.

На Рис. 5.2 представлен сигнал и его разложение в ряд Фурье: на постоянную составляющую и гармоники различных частот. Во временной области, где переменной величиной является время, сигнал выражается функцией f(t), а в частотной области, где переменной величиной является частота, сигнал представляется коэффициен­тами Фурье (a k , b к).

Первая гармоника является периодической функцией с периодом 2 π.Прочие гармоники также имеют период, кратный 2 π. Исходя из этого, при формировании сигнала из составляющих ряда Фу­рье мы, естественно, получим периодическую функцию с периодом 2 π. А если это так, то разложение в ряд Фурье - это, собственно говоря, способ представления периодических функций.

Разложим в ряд Фурье сигнал часто встречающегося вида. Например, рассмотрим упомянутую ранее пилообразную кривую (Рис. 5.3). Сигнал такой формы на отрезке - π < t < π я выражается функцией f(t) = t , поэтому коэффициенты Фурье могут быть выражены следующим образом:

Пример 1.

Разложение в ряд Фурье сигнала пилообразной формы

f(t) = t,

а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, которое называется скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер. Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , т.е. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

1.3 Сделать общие выводы.

Часть 2

Цель работы: углубление теоретических знаний, полученных в ходе изучения преобразования Фурье (Fourier Transform)

Необходимые теоретические сведения.

Изменяя период Т и длительность импульса как показано на рис. 7, можно изменять спектр сигнала. С увеличением периода гармоники сближаются, не изменяя форму огибающей.

Рис.7 – Изменение спектра

Смоделируем одиночный прямоугольный импульс, периодическую последовательность импульсов с периодом Т и 10Т .

Проведем спектральный анализ полученных сигналов. Непериодические процессы - таковыми являются информационные сигналы , одиночные импульсы , хаотические колебания (шумы ) - обладают сплошным или непрерывным спектром. Интуитивно к такому выводу можно прийти, представляя одиночный импульс частью периодической последовательности, период которой неограниченно увеличивается. Действительно, при увеличении интервала между импульсами гармоники на спектральных диаграммах периодических последовательностей импульсов сближаются: чем реже следуют импульсы, тем меньше расстояние между соседними гармониками (оно равно 1/T ). Спектр одиночного импульса (предельный случай увеличения периода) становится непрерывным, и вводится он не рядами, а интегралами Фурье .

Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом спектрально­го анализа непериодических сигналов.

В описанных ниже функциях реализован особый метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) - Fast Fourier Transform (FFT ), позволяющий резко уменьшить число арифметических операций в ходе приведенных выше преобразований. Метод особенно эффективен, если число обрабатываемых элементов (отсчетов) составляет 2 n , где n - целое положительное число. В MatLab используются следующие функции:

fft(X ) - возвращает для вектора X дискретное преобразование Фурье, по возможности используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если X - матрица, функция fft возвращает преобразование Фурье для каждого столбца матрицы;

fft(X.n) - возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше п, то лишние элементы удаляются. Когда X - матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

ft(X,[ Ldirn) и fft(X,n,dim) - применяют преобразование Фурье к одной из размерностей массива в зависимости от значения параметра dim .

Возможно одномерное обратное преобразование Фурье, реализуемое следующими функциями:

ifft(F) - возвращает результат дискретного обратного преобразования Фурье вектора F . Если F - матрица, то ifft возвращает обратное преобразование Фурье для каждого столбца этой матрицы;

ifft(F.n) - возвращает результат n-точечного дискретного обратного преобразования Фурье вектора F ;

ifft(F.,dim) иу = ifft(X,n,dim) - возвращают результат обратного дискретного преобразования Фурье массива F по строкам или по столбцам в зависимости от значения скаляра dim .

Для любого X результат последовательного выполнения прямого и обратного преобразований Фурье ifft(fft(x)) равен X с точностью до погрешности округления. Если X - массив действительных чисел, ifft(fft(x)) может иметь малые мнимые части.

Получим спектры смоделированных сигналов.

Вызовем программу SPTool (Signal Processing Tool) . Импортируем смоделированные сигналы и рассчитаем спектр сигнала. С этой целью выделяем сигнал в списке сигналов и нажмите кнопку Create , расположенную под списком спектров. В окне Spectrum Viewer в поле Parameters нужно указать метод спектрального анализа. Указываем метод ДПФ (используется быстрое преобразование Фурье БПФ (FFT)). Указав метод, следует щёлкнуть мышью по кнопке Apply . Будет выведен график спектральной плотности мощности. Имеется возможность выводить спектры в линейном или в логарифмическом масштабе (меню Options ).

Непрерывным (сплошным) является спектр хаотических (шумовых ) колебаний . В этом случае спектральная характеристика, как функция частоты, также представляет собой хаотический (случайный ) процесс , статистические параметры которого определяются спецификой конкретного случайного временного процесса. Сформируем сигнал, содержащий регулярные составляющие с частотами 50 Гц и 120 Гц и случайную аддитивную компоненту с нулевым средним.

ЗАДАНИЕ 2

Примеры разложения в ряд Фурье.

а) Последовательность прямоугольных импульсов .

Рис 2. Последовательность прямоугольных импульсов.

Данный сигнал является четной функцией и для его представления удобно использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье:

. (17)

Длительность импульсов и период их следования входят в полученную формулу в виде отношения, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ принято называть скважностью последовательности импульсов :.

. (18)

Значение постоянного слагаемого ряда с учетом соответствует:

.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье имеет вид:

. (19)

График функции носит лепестковый характер.
Размещено на реф.рф
Горизонтальную ось градуируют в номерах гармоник и в частотах.

Рис 3. Представление последовательности прямоугольных импульсов

в виде ряда Фурье.

Ширина лепестков , измеренная в количестве гармоник, равна скважности (при , имеем , в случае если ). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов – в нем отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности . Расстояние по частоте между сосœедними гармониками равно частоте следования импульсов . Ширина лепестков, измеренная в единицах частоты, равна , ᴛ.ᴇ. обратно пропорциональна длительности сигнала. Можно сделать вывод: чем короче импульс, тем шире спектр .

б) Пилообразный сигнал.

Рис 4. Пилообразный сигнал.

Пилообразный сигнал в пределах периода описывается линœейной функцией

, . (20)

Данный сигнал является нечетной функцией, в связи с этим его ряд Фурье в синусно-косинусной форме содержит только синусные составляющие:

Ряд Фурье пилообразного сигнала имеет вид:

Важно заметить, что для спектров прямоугольного и пилообразного сигналов характерно, что амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально .

в) Последовательность треугольных импульсов .

Ряд Фурье имеет вид:

Рис 5. Последовательность треугольных импульсов.

Как видим, в отличие от последовательности прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник. Это связано с тем, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала.

Лекция №3. Преобразование Фурье.

Свойства преобразования Фурье.

Примеры разложения в ряд Фурье. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Примеры разложения в ряд Фурье." 2017, 2018.

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

А 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

u(t) =

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.