Obecné schéma pro konstrukci matematického modelu. Příklad matematického modelu. Definice, klasifikace a vlastnosti. Sestavení ekonomického a matematického modelu

Modelování Modelování je studium reálného systému (původního), jeho nahrazením novým objektem s jeho modelem, který s ním má určitou objektovou korespondenci a umožňuje predikovat jeho funkční vlastnosti, tzn. při modelování neexperimentují s objektem samotným, ale s objektem, kterému se říká náhražka.

Proces modelování zahrnuje několik fází:

1. Stanovení problému a určení vlastností skutečného zkoumaného objektu.

2. Prohlášení o obtížnosti nebo nemožnosti studia skutečného předmětu.

3. Volba modelu, dobře fungující základní vlastnosti objektu na jedné straně a snadno bádatelné na straně druhé. Model by měl odrážet hlavní vlastnosti objektu a neměl by být gramatický.

4. Studie modelu v souladu s cílem.

5. Kontrola přiměřenosti objektu a modelu. Pokud nedojde ke shodě, musí se první čtyři body opakovat.

Existuje klasický a systematický přístup k řešení problémů modelování. Podstata metody je následující: Skutečný objekt, který má být studován, je rozdělen do samostatných složek D a vyberte cíle C formování jednotlivých komponent modelu NA. Poté jsou na základě výchozích dat vytvořeny komponenty modelu, jejichž celek se s přihlédnutím k jejich vztahům spojí do modelu. Tato metoda je induktivní, tzn. konstrukce modelu postupuje od konkrétního k obecnému.

Klasická metoda se používá k modelování relativně jednoduchých systémů, jako jsou systémy automatického řízení. Systémový přístup Podstatou metody je, že na základě výchozích dat D, které jsou známy z analýzy vnějšího prostředí s přihlédnutím k omezením, která jsou na systém kladena a v souladu s cílem C, tvoří se požadavky T a objektové modely. Na základě těchto požadavků je vybudován subsystém P a prvky subsystémů E a pomocí výběrového kritéria CV je vybrán nejlepší model, tzn. konstrukce modelu postupuje od obecného ke konkrétnímu.

Systémový přístup se používá k modelování složitých systémů.

Klasifikace typů modelování 1. Podle způsobu sestavení modelu a) Teoretické (analytické) - jsou sestaveny podle údajů o vnitřní struktuře na základě vztahů vyplývajících z fyzických dat. b) Formální - podle vztahu mezi výstupem a vstupem do systému. Je postavena na principu černé skříňky c) Kombinovaná.2. Měněním proměnných v průběhu času a) Statické b) Dynamické Statický model popisuje stav objektu a neobsahuje derivace X A na(vstupní a výstupní) signály v čase Matematický model b) popisuje statiku objemu se souřadnicemi rozmístěnými po délce Dynamický model popisuje přechodné děje v čase a obsahuje derivace naidt Dynamický model je v závislosti na způsobu získání reprezentován jako diferenciální rovnice přechodové impulsní nebo frekvenční charakteristiky ve formě přenosové funkce Dynamika objektů se soustředěnými parametry je popsána obyčejnými diferenciálními rovnicemi a objektů s distribuované parametry jsou popsány diferenciálními rovnicemi ve frekvenčních derivacích.3. Podle závislosti proměnných modulů na prostorových souřadnicích.a) S rozloženými parametry.b) Se soustředěnými parametry.4. Principem konstrukce.a) Stochastické.b) Deterministické.Pokud X A na(vstup a výstup) konstantní nebo známé hodnoty (deterministický), pak se model nazývá stochastický X A na náhodné (pravděpodobné) proměnné, pak se model nazývá stochastický.

Stochastické modely obsahují pravděpodobné prvky a představují závislostní systém získaný jako výsledek statické studie provozního objektu.

Deterministický je systém funkčních závislostí vybudovaný pomocí teoretického přístupu.

Deterministické modely mají řadu výhod. Mohou být vyvinuty i v nepřítomnosti funkčního objektu, jak tomu často v designu bývá. Kvalitativně a správněji charakterizují procesy probíhající v objektu i za přítomnosti parametrů modelu, které nejsou dostatečně kvantitativně přesné.

Pokud informace o modelovaném objektu nemají dostatečně vysokou úplnost nebo z důvodu značné složitosti není možné popsat všechny vstupní akce ve formě modelu a vliv nepozorovaných proměnných na výstupní souřadnice je významný, pak používá se statický model.

5. Podle závislosti parametrů modelu na proměnných.

a) Závislý (nelineární).

b) Nezávislé (lineární).

Pokud parametry (koeficienty) modelu závisí na proměnných nebo jsou tyto proměnné multiplikativní, pak je model nelineární.

Model je považován za lineární s plynulou odezvou na vstupní akci a s aditivitou od parametrů modelu.

Adativita veličin je vlastnost, že hodnota velikosti celého objektu se rovná součtu hodnot odpovídajících frekvencí celku při jakémkoli rozdělení objektu na části.

Multiplikativita hodnot je vlastnost, že hodnota hodnoty celého objektu se rovná součinu hodnoty odpovídajících částí celku při jakémkoli rozdělení objektu na části.

6. Podle přizpůsobivosti modelu.

a) Adaptivní.

b) Neadaptivní.

Adaptivní model je model, jehož struktura a parametry jsou změněny tak, aby určitá míra chyby mezi výstupními proměnnými modelu a objektu byla minimální.

Dělí se na vyhledávací a nehledací.

Ve vyhledávacích modelech automatický optimalizátor mění parametry modelu tak, aby byla získána minimální míra chyby mezi výstupními modely objektu.

Přednáška č. 2

Schémata matematického modelování

Základní přístupy k sestavení matematického modelu systému

Výchozí informací při konstrukci matematického modelu, procesu fungování systémů jsou údaje o účelu a stavu zkoumaného systému. Tyto informace definují hlavní cíl modelování systému S a umožňuje formulovat požadavky a vyvinutý matematický model M.

Matematické schéma je spojnicí při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování procesu s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tzn. existuje řetězec: deskriptivní model → matematické schéma → matematický model.

Každý systém S vyznačující se souborem vlastností, které odrážejí chování systému a podmínky pro jeho fungování v interakci s vnějším prostředím ε .

Úplnost modelu je řízena především volbou hranice systémem S a vnější prostředí E.

Úkol zjednodušit model pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému a vyřadit ty sekundární.

Představme si následující zápis:

1) Součet vstupních akcí v systému

.

2) Souhrn vlivů prostředí

.

3) Sada interních nebo proprietárních systémových parametrů

.

4) Souhrn výstupních charakteristik systému

Největší potíže a nejzávažnější chyby v modelování vznikají při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu předmětů studia, což se vysvětluje účastí na tomto tvůrčím procesu týmů různých specializací: specialistů v oblasti systémů, které potřebují být modelován (zákazníci) a specialisté v oblasti strojového modelování (provozovatelé). Účinným nástrojem k nalezení vzájemného porozumění mezi těmito skupinami specialistů je jazyk matematických schémat, který umožňuje postavit do popředí otázku adekvátnosti přechodu od smysluplného popisu systému k jeho matematickému schématu, a to pouze poté se rozhodnout pro konkrétní metodu získávání výsledků pomocí počítače: analytickou nebo simulační a případně kombinovanou, tj. analytickou a simulační. S ohledem na konkrétní objekt modelování, tedy na komplexní systém, by vývojáři modelu měla pomáhat konkrétní matematická schémata, která již byla pro tuto třídu systémů testována a která prokázala svou účinnost v aplikovaném výzkumu na počítači a jsou tzv. typická matematická schémata.

ZÁKLADNÍ PŘÍSTUPY K STAVBĚ MATEMATICKÝCH MODELŮ SYSTÉMŮ

Výchozí informací při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů jsou údaje o účelu a podmínkách provozu studovaného (navrhovaného) systému 5. Tyto informace určují hlavní cíl modelování systému £ a umožňují nám formulovat požadavky na vyvinutý matematický model A/. Úroveň abstrakce navíc závisí na rozsahu těch otázek, na které chce systémový výzkumník pomocí modelu odpovědět, a do jisté míry určuje výběr matematického schématu.

Matematická schémata.

Zavedení pojmu „matematické schéma“ nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, za prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému. k formálnímu znázornění procesu jeho fungování ve formě nějakého matematického modelu (analytického nebo simulačního) . Při použití matematického schématu řešitele systému 5* by měla být především zajímavá otázka adekvátnosti zobrazení v podobě konkrétních schémat reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli možnost získání odpovědi (výsledku řešení) na konkrétní výzkumnou otázku. Například znázornění procesu fungování informačního a výpočetního systému pro kolektivní použití ve formě sítě řadicích schémat umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale se složitými distribučními zákony pro příchozí toky a toků služeb, neumožňuje získat explicitní výsledky.

Matematické schéma lze definovat jako článek přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tj. existuje řetězec „popisný model – matematické schéma – matematický [ analytický a (a) simulační] model“.

Každý konkrétní systém L 1 je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako veličiny odrážející chování modelovaného objektu (reálného systému) a zohledňující podmínky jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E. Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou hraničního "systému. Y-prostředí £>>. Také by měl být vyřešen problém zjednodušení modelu, který pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému, odhodit sekundární Klasifikace vlastností systému na primární nebo sekundární navíc výrazně závisí na účelu modelování systému (např. analýza pravděpodobnostně-časových charakteristik procesu fungování systému, syntéza struktury systému atd.).

Formální objektový model. Model simulačního objektu, tj. systému 5, lze reprezentovat jako soubor veličin, které v obecném případě popisují proces fungování reálného systému a formy. následující podmnožiny: agregát vstupní akce na systém

celek vlivy prostředí

celek vnitřní (vlastní) parametry systémy

celek výstupní charakteristiky systémy

Zároveň lze v uvedených podmnožinách rozlišit řízené a neřízené proměnné. V obecném případě xn r/, A*,

na y jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Při modelování systému 5, vstupní akce, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislé (exogenní) proměnné, které ve vektorovém tvaru mají tvar x (/) = (*! (O, x 2 (0> - " x *x(0)*

" (0=("1) (0. "2(0. . "^(0; l (/)=(*!) (0. l 2 (0. ■ . l -n (0). a výstupní charakteristiky systém jsou závislé (endogenní) proměnné a ve vektorové podobě mají tvar y (0 = (y 1 0), y 2 ( 0" > U.gSh

Proces fungování systému 5 je popsán v čase operátorem /* 5 , který v obecném případě transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy tvaru

Součet závislostí výstupních charakteristik systému na čase p y volal výstupní trajektorie y ((). Nazývá se závislost (2.1). zákon fungování systému B a označeny G5. V obecném případě zákon fungování systému E 5 může být zadána jako funkce, funkční, logické podmínky, v algoritmické a tabulkové formě nebo jako pravidlo verbální korespondence.

Velmi důležitý pro popis a studium systému 5 je koncept funkční algoritmus L 5 , což je chápáno jako metoda pro získávání výstupních charakteristik se zohledněním vstupních akcí X(/), vlivy prostředí PROTI d) a vlastní parametry systému A(/). Je zřejmé, že stejný zákon fungování systému 5 lze implementovat různými způsoby, tj. pomocí mnoha různých algoritmů fungování. L $.

Relace (2.1) jsou matematickým popisem chování simulačního objektu (systému) v čase / tj. odrážejí jeho dynamické vlastnosti. Proto se obvykle nazývají matematické modely tohoto typu dynamické modely (systémy) .

U statických modelů je matematický model (2.1) mapováním mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Na A (X, V, I), které ve vektorové podobě lze zapsat jako

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. V řadě případů lze takové vztahy získat

prostřednictvím vlastností systému 5 v určitých okamžicích, tzv státy. Stav systému 5 je charakterizován vektory

Kde *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 v čase /"e(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(П" , *£=**(*") momentálně /"b(/ 0 , 7) atd., £=1, p Mr.

Uvažujeme-li proces fungování systému 5 jako postupnou změnu stavů (/), r 2 (/), G Kdo jsou oni

lze interpretovat jako souřadnice bodu v ^-rozměrném fázovém prostoru a každá realizace procesu bude odpovídat nějaké fázové trajektorii. Množina všech možných hodnot stavu (G) volal státní prostor simulační objekt Zt a g do E Z.

Systém uvádí 5 v čase úplně

jsou určeny počátečními podmínkami 7° = (2° 1 ,. 2 2 °, G° k) [kde

*°1 = *1(*o)" *°r = *2 (^o)" - "*°*=**(*o)]" vstupní akce X(/), vnitřní parametry Na(/) a vlivy prostředí PROTI(0, která proběhla v časovém intervalu - / 0 , pomocí dvou vektorových rovnic

První rovnice v počátečním stavu g° a exogenních proměnných x, v, i definuje vektorovou funkci (/) a druhou podle získané hodnoty stavů G(/) - endogenní proměnné na výstupu systému na(/). Řetězec rovnic objektu „vstup – stavy – výstup“ tedy umožňuje definovat charakteristiky systému

V obecném případě čas v modelu systému já lze uvažovat o intervalu simulace (0, T) spojité i diskrétní, tj. kvantované v neg ezki dřádek A / časové jednotky každý, kdy T=tA1, Kde T- 1, t T- počet diskretizačních intervalů.

Tedy pod matematický model objektu(reálného systému) rozumět konečné podmnožině proměnných (X (/), b (/), A d)) spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami na (/) .

Pokud matematický popis simulačního objektu neobsahuje prvky náhodnosti nebo nejsou brány v úvahu, tzn.

můžeme předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí PROTI(/) a stochastické vnitřní parametry A(/) chybí, pak se zavolá model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními akcemi

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická schémata.

Výše uvedené matematické vztahy jsou matematická schémata obecného tvaru a umožňují nám popsat širokou třídu systémů. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je však v počátečních fázích studia systému racionálnější použít typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě atd.

Typická matematická schémata, která nemají takový stupeň obecnosti jako uvažované modely, mají výhody jednoduchosti a přehlednosti, avšak s výrazným zúžením možností aplikace. Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se k reprezentaci systémů pracujících ve spojitém čase používají diferenciální, integrální, integro-diferenciální a jiné rovnice a k reprezentaci systémů fungujících v diskrétní časové schéma. Jako stochastické modely (s přihlédnutím k náhodným faktorům) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem se používají systémy řazení.

Uvedená typická matematická schémata si samozřejmě nemohou tvrdit, že jsou schopna na jejich základě popsat všechny procesy probíhající ve velkých informačních a řídicích systémech. Pro takové systémy je v některých případech perspektivnější použití agregačních modelů. Agregační modely (systémy) umožňují popsat širokou škálu výzkumných objektů s projevem systémové povahy těchto objektů. Právě při agregačním popisu je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišovat tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické (například diferenciální rovnice); diskrétně-deterministické (konečné automaty); diskrétní stochastické (pravděpodobnostní automaty); kontinuálně-stochastické (systémy řazení); zobecněné, nebo univerzální (agregační systémy).

Matematická schémata probíraná v následujících částech této kapitoly by měla pomoci pracovat s různými přístupy v praktické práci při modelování konkrétních systémů.

MODELOVÁNÍ SYSTÉMU

PRACOVNÍ PROGRAM, SMĚRNICE

PRO SAMOSTATNÉ PRACOVNÍ A KONTROLNÍ ÚKOLY

Fakulty ELEKTROENERGIE, ZDO

Specialita 220201 - ŘÍZENÍ A INFORMACE V

TECHNICKÉ SYSTÉMY

Vysokoškolský směr 220200 - AUTOMATIZACE A ŘÍZENÍ

Modelovací systémy: pracovní program, směrnice pro samostatnou práci a kontrolní úkoly. - Vologda: VoGTU, 2008. - 22 s.

Je uveden pracovní program oboru s uvedením témat hlavních sekcí, pokyny s odkazy na zdroje informací, kontrolní úkoly a seznam literatury.

Je určen pro studenty prezenční i kombinované formy studia v oboru: 220200 - Automatizace a řízení a specializace 220201 - Řízení a informatika v technických systémech a v bakalářském studiu: 220200 - Automatizace a řízení.

Schváleno redakční a vydavatelskou radou VoGTU

Sestavil: V.N. Tyukin, Ph.D. tech. vědy, docent

Recenzent: E.V. Nesgovorov, Ph.D. tech. vědy, docent

Katedra UiVS VOGTU

Program vychází z požadavků Státního vzdělávacího standardu vyššího odborného vzdělávání na minimální obsah a úroveň přípravy inženýrů v oboru 210100 - management a informatika v technických systémech, zavedeného od 10.03.2000.

Požadavky na znalosti a dovednosti v oboru

V důsledku studia oboru by studenti měli:

1. Student musí mít nápad:

O modelu a simulaci;

O úloze modelování při studiu, návrhu a provozu systémů;

O jmenování počítačů při modelování systémů;

K softwarovým a technickým prostředkům modelování systémů.

2. Student musí vědět:

Účel a požadavky na model;

Klasifikace typů systémového modelování;

Principy přístupu v modelování systémů;

Matematická schémata pro modelování systémů;

Hlavní fáze modelování systému.

3. Student musí být schopen:

Získejte matematické modely systémů;

Provést formalizaci a algoritmizaci procesu fungování systémů;

Vytvářejte koncepční a strojové modely systémů;

Přijímat a interpretovat výsledky simulace.

Požadavky na minimální obsah disciplíny

Klasifikace modelů a typů modelování; příklady modelů systémů; základní ustanovení teorie podobnosti; etapy matematického modelování; principy konstrukce a základní požadavky na matematické modely systémů; cíle a cíle studia matematických modelů systémů; obecné schéma pro vývoj matematických modelů; formalizace procesu fungování systému; koncept agregovaného modelu; formy reprezentace matematických modelů; metody studia matematických modelů systémů a procesů; simulační modelování; metody pro zjednodušení matematických modelů; technické a softwarové simulační nástroje.

stůl 1

Rozdělení hodin učiva podle forem vzdělávání a typů tříd

Tabulka 2

Rozdělení hodin samostatné práce studenta podle druhu práce

PROGRAM KURZU

ÚVOD

V 1. Současný stav problematiky modelování systémů.

AT 2. Využití simulace ve výzkumu, designu a

správa systémů.

Literatura: s. 4-6.

1. ZÁKLADNÍ POJMY MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

1.1. Definice modelu a simulace. požadavky na model. Zadání modelu.

1.2. Principy přístupu v modelování systémů.

1.3. Klasifikace typů systémového modelování.

1.4. Možnosti a efektivita modelování systémů na počítačích.

Literatura: s. 6-34.

2. MATEMATICKÁ SCHÉMATA SIMULACE SYSTÉMŮ

2.1. Základní přístupy ke konstrukci matematických modelů systémů. Matematické schéma obecného tvaru.

2.2. Spojitě deterministické modely (D - schémata).

2.3. Diskrétně-deterministické modely (F - schémata).

2.4. Diskrétní stochastické modely (P-schéma).

2.5. Spojité-stochastické modely (Q - schémata).

2.6. Zobecněné modely (A - schémata).

Literatura: s. 35-67, s. 168-180.

3. FORMALIZACE A ALGORITMIZACE PROCESU

FUNGOVÁNÍ SYSTÉMU

3.1. Sled vývoje a strojové implementace modelů systémů.

3.2. Konstrukce konceptuálního modelu systému a jeho formalizace.

3.3. Algoritmizace modelu a jeho strojová implementace.

3.4. Získávání a interpretace výsledků simulace.

Literatura: s. 68-89.

4. MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ

4.1. Kanonické formy modelů dynamických systémů a metody jejich výzkumu.

4.2. Simulační modelování.

4.3. Statistické modelování.

4.4. Software a hardware pro modelování systémů.

Literatura: .

ÚČEL KURZU

"Porozumět znamená postavit model."

W. Thomson (Kelvin)

Reálná výrobní zařízení jsou zpravidla velké systémy, jejichž studium je velmi obtížný úkol. Hlavním cílem předmětu je vyvinout metodický přístup k problému modelování velkých systémů a jejich řídicích systémů. Tento hlavní úkol lze rozdělit do několika dílčích úkolů, které jsou zároveň cíli kurzu:

Seznámení s metodami analýzy a principy přístupu k modelování systémů;

Studium základů matematického modelování systémů;

Studium principů a aparátu modelování systémů;

Seznámení s metodami modelování při návrhu a provozu systémů;

Studium modelování softwarových a hardwarových systémů;

Získání praktických dovedností při budování modelů velkých systémů a metod zpracování výsledků simulací.

METODICKÉ POKYNY

Předmět "Modelování řídicích systémů" by měl poskytnout studentovi moderní výkonný pracovní nástroj inženýra pro efektivní vývoj a provoz automatizovaných výrobních systémů. Právě modelování je prostředkem, který umožňuje řešit problém budování velkých systémů bez kapitálových nákladů, mezi které patří i moderní automatizovaná výroba.

Význam studovaného předmětu spočívá také ve zvládnutí technik a technologií pro praktické řešení problémů modelování procesů fungování systémů na počítači.

Studenti by si měli látku studovat převážně samostatně. Přednášky jsou věnovány nejobtížnějším problémům předmětu a také problémům, které nejsou dostatečně zpracovány v literatuře. Studenti získají praktické modelovací dovednosti v praktických a laboratorních hodinách. Studenti dálkového studia navíc v procesu studia kurzu vykonávají kontrolní práci.

ÚVOD

Studium předmětu by mělo začít seznámením s moderní výrobou, kterou lze považovat za komplexní systém vzájemně propojených a vzájemně se ovlivňujících prvků, v nichž materiálový a výrobní systém působí jako technologický objekt řízení a roli informační a řídicí systém regulátora. Zvyšování efektivity zavádění procesů řízení ve výrobě vyžaduje plošné zavádění automatizovaných řídicích systémů vytvářených pomocí ekonomických a matematických metod a informační a výpočetní techniky. Kompletní a komplexní studie automatizovaných systémů řízení ve všech fázích vývoje, počínaje průzkumem objektu řízení a vypracováním technických specifikací pro návrh a konče uvedením systému do provozu, je bez metod počítačové simulace nemožné. .

Je třeba pochopit, že metodologickým základem modelování je dialekticko-materialistická metoda poznávání a vědeckého bádání. Obecně lze modelování definovat jako metodu nepřímého poznání, ve které je studovaný objekt-originál v určité korespondenci s jiným objektovým-modelem a model je schopen originál tak či onak v některých fázích procesu nahradit. kognitivní proces.

Základní principy modelování jsou .

Princip informační dostatečnosti. Určuje úroveň apriorních znalostí, na které lze vytvořit adekvátní model.

Princip proveditelnosti. Je určena pravděpodobností dosažení cíle simulace v konečném čase.

Princip více modelů. Vytvořený model by měl především odrážet ty vlastnosti reálného systému, které ovlivňují zvolený ukazatel výkonnosti.

Princip agregace. Objektový model by měl být reprezentován z agregátů (subsystémů), které jsou vhodné pro popis standardními matematickými schématy.

Princip parametrizace. Model by měl zahrnovat subsystémy charakterizované parametry.

Základní pojmy modelování systémů

"Určit význam slov,

A ty vysvobodíš lidstvo

Z poloviny jeho bludů.“

Při studiu této části je důležité porozumět základním pojmům, definicím, cílům a principům modelování.

Model je obraz originálu založený na přijatých hypotézách a analogiích a modelování je reprezentace objektu modelem za účelem získání informací o tomto objektu prováděním experimentů s jeho modelem.

Hlavním požadavkem, který musí model splňovat, je přiměřenost objektu. Adekvátnost modelu závisí na účelu modelování a přijatých kritériích. Model je adekvátní objektu, pokud jsou potvrzeny výsledky simulace a může sloužit jako základ pro predikci procesů probíhajících ve studovaných objektech.

Modelování řeší problémy studia a zkoumání objektů, předpovídání jejich fungování, syntetizuje strukturu, parametry a algoritmy chování.

Při řízení modely umožňují odhadovat nepozorované procesní proměnné, předpovídat stav procesu při existujících nebo vybraných řízeních a automaticky syntetizovat optimální strategie řízení.

Při navrhování a provozu automatizovaných systémů vyvstává řada úkolů, které vyžadují posouzení kvantitativních a kvalitativních vzorců procesů fungování systémů, provádění strukturální, algoritmické a parametrické syntézy. Řešení těchto problémů je v současné době nemožné bez použití různých typů modelování, což je způsobeno zvláštnostmi velkých systémů, jako je složitost struktur, stochastický charakter vztahů mezi prvky a prostředím, nejednoznačnost algoritmů chování , velké množství parametrů a proměnných, neúplnost a neurčitost výchozí informace. Matematické modelování může výrazně zkrátit dobu návrhu, v mnoha případech umožňuje najít optimální řešení, eliminovat metodu pokusů a omylů v plném rozsahu a přejít na paralelní proces návrhu.

V současné době se při analýze a syntéze velkých systémů vyvinul systematický přístup, který znamená důsledný přechod od obecného ke konkrétnímu, kdy je úvaha založena na cíli a zkoumaný objekt je odlišen od prostředí. . V tomto případě je model vytvořen pro daný problém a modelování spočívá v řešení problému cíle, problému sestavení modelu, problému práce s modelem. Pro správně zvolený model je charakteristické, že odhaluje pouze ty vzorce, které výzkumník potřebuje, a nebere v úvahu vlastnosti systému, které nejsou pro tuto studii podstatné.

Klasifikace typů systémového modelování je založena na různých vlastnostech, jako je stupeň úplnosti modelu, povaha matematického popisu. Důležité místo zaujímá matematické modelování, což je proces stanovení korespondence s daným reálným objektem nějakého matematického objektu, nazývaný matematický model, a studium tohoto modelu, které umožňuje získat charakteristiky uvažovaného reálného objektu. Matematické modelování zahrnuje analytické a simulační. Simulační modelování je založeno na přímém popisu modelovaného objektu s využitím strukturální podobnosti objektu a modelu, tzn. každému podstatnému prvku objektu z hlediska řešeného problému je přiřazen prvek modelu.

Počítač je technický nástroj pro řešení inženýrských problémů založených na modelování. Počítačový experiment s modelem umožňuje zkoumat proces fungování za jakýchkoli podmínek, zkracuje dobu trvání testů ve srovnání s experimentem v plném rozsahu, má flexibilitu měnit parametry, strukturu, algoritmy simulovaného systému a je jediná prakticky implementovaná metoda pro studium procesu fungování systémů ve fázi jejich návrhu.

Otázky k samovyšetření

1.Co je model a simulace?

2. Formulujte základní požadavky na model.

3. Jaká je role modelování ve výzkumu a návrhu systémů a řízení?

4. Uveďte definice systému, prostředí, fungování systému.

5. Co znamená systematický přístup v modelování?

6. Vyjmenujte znaky klasifikace typů systémového modelování.

7. Řekněte nám o matematickém modelování a jeho typech.

8. Jaký je rozdíl mezi analytickým a simulačním modelováním?

9. Co je kybernetické modelování?

10. Úloha a účel počítačů v modelování.

Matematická schémata pro modelování systémů

„Nejvyšším účelem matematiky je

Najděte řád v chaosu

která nás obklopuje."

Při studiu této části je v první řadě nutné věnovat pozornost pojmům schémat matematického modelování, obecným i typickým.

Matematické schéma je definováno jako vazba přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí, tzn. existuje řetězec „popisný model – matematické schéma – matematický model“. Matematické schéma nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, za prostředek formulování pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu systému k formální reprezentaci procesu. jeho fungování v podobě určitého matematického modelu.

Model simulačního objektu, tzn. systém lze reprezentovat jako soubor veličin popisujících proces fungování reálného systému a tvořících v obecném případě tyto podmnožiny: soubor vstupních akcí na systém, soubor vlivů prostředí, soubor vnitřních (vnitřních) parametry systému a soubor výstupních charakteristik systému. Vstupní dopady, environmentální dopady, vnitřní parametry jsou nezávislé (exogenní) proměnné a výstupní charakteristiky systému jsou závislé (endogenní) proměnné. Matematické schéma obecného modelování je dáno operátorem, který transformuje exogenní proměnné na endogenní.

V modelovací praxi používá typická matematická schémata, která nemají obecnost, ale mají výhody jednoduchosti a přehlednosti. Patří mezi ně deterministické, stochastické a agregované generické modely. Diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice se používají jako deterministické modely a diferenční rovnice a konečné automaty se používají k reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase. Pravděpodobnostní automaty se používají jako stochastické modely k reprezentaci systémů s diskrétním časem a řadicí systémy se používají k reprezentaci systémů se spojitým časem. Agregátní modely odrážejí systémovou povahu objektů, které jsou rozděleny na konečný počet částí, při zachování vazeb, které zajišťují interakci částí.

Typická matematická schémata (D-, F-, P-, Q-, A-) umožňují formalizovat dosti širokou třídu velkých systémů, se kterými je třeba se v praxi výzkumu a návrhu výrobních problémů vypořádat.

Otázky k samovyšetření

1. Jakou roli hraje schéma matematického modelování?

2. Co je to obecné matematické schéma?

3. Vyjmenujte hlavní formy zobrazení spojitě deterministických modelů.

4. Uveďte popis diskrétního konečného automatu.

5. Vyjmenujte způsoby nastavení práce F - automatů.

6. Jak je definován pravděpodobnostní automat?

7. Co je CMO? Vyjmenujte hlavní prvky společné organizace trhu.

8.Co je to transakce?

9. Řekněte nám o symbolice Q-schémat. Jak graficky znázornit: zdroj požadavků, servisní kanál, akumulátor, ventil, toky událostí. Uveďte příklad obrazu QS v symbolice Q-schémat.

10. Jaká je struktura agregátního systému?

Model komplexního systému, o kterém jsme uvažovali dříve, je obecným matematickým modelovacím schématem. V praxi je pro formalizaci konceptuálních modelů řady systémů výhodnější použít typická schémata matematického modelování, která zohledňují na jedné straně způsob reprezentace času v modelu (spojitý nebo diskrétní), a na druhé straně míra náhodnosti modelovaných procesů. Podle těchto znaků se rozlišují následující schémata matematického modelování (třídy MM).

Spojitě - deterministické modely (D - schémata).

Diskrétní - deterministické modely (F - schémata).

Diskrétní - pravděpodobnostní modely (P - schémata).

Spojitě - pravděpodobnostní modely (Q - schémata).

Síťové modely (N - schémata).

Agregátní modely (A - schémata).

Kontinuálně deterministické modely. V těchto modelech čas t se předpokládá, že je spojitá proměnná a náhodné faktory v systému jsou zanedbávány. Matematickým aparátem modelů je teorie diferenciálních a integrálních rovnic, s jejichž pomocí je dosaženo adekvátního popisu dynamických systémů. Nejhlouběji se rozvinula operátorská metoda pro popis a studium procesů fungování dynamických systémů a jejich struktur.

Příkladem spojitě deterministického modelu jednokanálového automatického řídicího systému je nehomogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

V této rovnici x(t)- vstupní akce; y(t)– výstupní hodnota charakterizující polohu řídicího objektu; - vnitřní parametry systému.

Pokud je dynamický systém popsán nelineární diferenciální rovnicí, pak je linearizován a řešen jako lineární.

Použití spojitě deterministických modelů umožňuje kvantitativně provádět nejen analýzu dynamických systémů, ale také jejich optimální syntézu.

Diskrétní deterministické modely. V diskrétních deterministických (DD) modelech čas t je diskrétní proměnná , kde je krok diskretizace a jsou diskrétní časy.

Hlavním matematickým aparátem používaným při konstrukci DD - modelů je teorie diferenčních rovnic a aparát diskrétní matematiky, zejména teorie konečných automatů.

Diferenční rovnice je rovnice obsahující konečné rozdíly požadované funkce

kde je stav systému a vnější vliv v jednotlivých časových okamžicích .

V aplikovaných úlohách se DD-modely ve tvaru (2.6) často objevují jako meziprodukty při studiu ND-modelů na počítači, kdy nelze získat analytické řešení diferenciální rovnice a je nutné použít diferenční schémata.

Pojďme se krátce zamyslet nad teorií konečných automatů, která se používá k sestavení DD - modelů.

Konečný automat je matematický model diskrétního systému, který působením vstupních signálů generuje výstupní signály a který může mít některé proměnlivé vnitřní stavy; zde jsou konečné množiny.

Stavový automat je charakterizován: vstupní abecedou ; výstupní abeceda; vnitřní stavová abeceda ; výchozí stav ; přechodová funkce; výstupní funkce.

Proces fungování konečného automatu je následující. V -tém cyklu je přijímán vstupní signál automatu, který je ve stavu , na který automat reaguje přepnutím do stavu u -tého cyklu a vydáním výstupního signálu.Například stavový automat Mealy je popsána následujícími rekurentními vztahy:

Diskrétní pravděpodobnostní modely. Diskrétně-pravděpodobnostní model bere v úvahu náhodné prvky zkoumaného komplexního systému. Hlavním matematickým aparátem používaným při konstrukci a studiu DV modelů je teorie diferenčních stochastických rovnic a teorie pravděpodobnostních automatů.

Stochastická diferenční rovnice je rovnice, která obsahuje náhodné parametry nebo náhodné vstupy.

Nechť je na pravděpodobnostním prostoru definován náhodný - vektor parametrů a náhodná posloupnost vstupních akcí

Nelineární diferenční rovnice stochastického řádu má tvar , (2.8)

kde jsou uvedeny počáteční stavy systému; daná funkce proměnných.

Řešením této rovnice je náhodná sekvence stavů simulovaného systému definovaná na množině:

Pokud je funkce lineární v , pak (2.8) má tvar:

(2.9)

kde je vektor parametru.

Dalším matematickým aparátem pro konstrukci DV - modelů komplexních systémů je teorie pravděpodobnostních automatů.

Pravděpodobnostní automat definovaný na množině je konečný automat, ve kterém přechodová funkce a výstupní funkce jsou náhodné funkce mající určitá rozdělení pravděpodobnosti.

Pro rozdělení pravděpodobnosti akceptujeme označení - počáteční rozdělení pravděpodobnosti, - pravděpodobnost události spočívající v tom, že automat, který je v -tém cyklu ve stavu, pod vlivem vstupního signálu vygeneruje výstupní signál a přejde do stavu na -tém cyklu

Matematický model pravděpodobnostního automatu je zcela určen pěti prvky: .

Spojité - pravděpodobnostní modely. Při konstrukci a výzkumu HB-modelů se využívá teorie stochastických diferenciálních rovnic a teorie front.

Stochastická diferenciální rovnice (ve formě Itô) je:

kde je náhodný proces, který určuje stav systému v čase; je standardní Wienerův náhodný proces; jsou koeficienty difúze a přenosu. HB - model se často používá při modelování stochastických řídicích systémů, výměnných procesů.

Teorie front rozvíjí a zkoumá matematické modely procesů fungování systémů, které se liší svou povahou, například: dodávky surovin a komponentů do určitého podniku; úlohy přicházející do počítače ze vzdálených terminálů; volání na telefonní ústředny apod. Fungování takových systémů je charakterizováno stochasticitou: náhodností časových okamžiků výskytu požadavků na služby atd.

Systém, označovaný jako systém řazení do front (QS), se skládá ze servisních zařízení. Obslužné zařízení sestává z akumulátoru požadavků, ve kterém mohou být požadavky současně lokalizovány, a kanálu pro obsluhu požadavků; – kapacita úložiště, tj. počet míst ve frontě pro obsluhu požadavků v kanálu.

Každý prvek zařízení přijímá proudy událostí; do jednotky - tok požadavků, do kanálu - tok "služeb". Tok požadavků představuje posloupnost časových intervalů mezi okamžiky výskytu aplikací na vstupu QS a tvoří podmnožinu neřízených proměnných QS. A tok je sled časových intervalů mezi okamžiky začátku a konce požadavků na obsluhu a tvoří podmnožinu řízených proměnných.

Požadavky obsluhované QS tvoří výstupní proud - sled časových intervalů mezi okamžiky uvolnění požadavků. Neobsloužené požadavky, které z různých důvodů opouštějí QS, tvoří výstupní proud ztracených požadavků.

síťové modely se používají k formalizaci vztahů příčina-následek ve složitých systémech s paralelními procesy. Tyto modely jsou založeny na Petriho síti. Když je Petriho síť interpretována graficky, je to graf zvláštního druhu, který se skládá z vrcholů dvou typů - pozice A přechody, spojené orientovanými oblouky a každý oblouk může spojovat pouze vrcholy různých typů (pozice s přechodem nebo přechodka s pozicí). Vrcholy-pozice jsou označeny kroužky, vrcholy-přechody pomlčkami. Z obsahového hlediska přechody odpovídají událostem vlastní zkoumanému systému a pozice odpovídají podmínkám jejich vzniku.

Souhrn přechodů, poloh a oblouků tedy umožňuje popsat vztahy příčiny a následku vlastní systému, ale ve statice. Aby Petriho síť „ožila“, zavádí se další typ síťových objektů – tzv bramborové hranolky nebo štítky pozice, které se pohybují podél síťových přechodů, za předpokladu, že na vstupní pozici je štítek a na výstupní pozici není žádný štítek. Uspořádání čipů v pozicích sítě se nazývá síťové značení.

Agregátní modely. Analýza existujících problémů vede k závěru, že komplexní řešení problémů je možné pouze tehdy, pokud jsou modelovací systémy založeny na jediném matematickém modelovacím schématu. Takový přístup k formalizaci procesu fungování složitého systému navrhl Buslenko N.P. a je založen na konceptu „agregátu“.

V souhrnném popisu je komplexní systém rozdělen na subsystémy, přičemž jsou zachovány vazby, které zajišťují jejich interakci. Pokud se ukáže, že subsystém je složitý, pak proces dělení pokračuje, dokud se nevytvoří subsystémy, které lze za podmínek uvažovaného problému považovat za vhodné pro matematický popis.

Výsledkem je získání víceúrovňové struktury z propojených prvků kombinovaných do subsystémů různých úrovní. Agregáty jsou prvky agregačního modelu. Spojení mezi agregáty a vnějším prostředím se provádí pomocí konjugačních operátorů. Samotný agregát lze také považovat za agregátní model, to znamená, že jej lze rozdělit na prvky další úrovně.

Jakýkoli agregát je charakterizován množinami: časovými okamžiky T, vstup X a víkendy Y signály, stavy jednotek Z v každém okamžiku t. Proces fungování jednotky sestává ze skoků stavů v okamžicích příjmu vstupních signálů X a změny stavu mezi těmito okamžiky a .

Okamžiky skoků, které nejsou okamžiky příjmu vstupních signálů, se nazývají speciální okamžiky času a stavy se nazývají speciální stavy agregovaného obvodu. Ve více státech Z alokovat podmnožinu, která pokud dosáhne , pak tento stav je okamžikem vydání výstupního signálu y.

Matematická schémata pro modelování systémů

Výhody a nevýhody simulačního modelování

Hlavní důstojnost simulační modelování při studiu složitých systémů:

schopnost prozkoumat rysy procesu fungování systému S za jakýchkoli podmínek;

· díky použití počítačů je doba trvání testů výrazně zkrácena ve srovnání s experimentem v plném rozsahu;

· výsledky plnohodnotných testů reálného systému nebo jeho částí lze použít pro simulační modelování;

· flexibilita změny struktury, algoritmů a parametrů modelovaného systému při hledání optimální varianty systému;

Pro komplexní systémy je to jediná prakticky implementovaná metoda pro studium procesu fungování systémů.

Hlavní nedostatky simulační modelování:

· pro kompletní analýzu charakteristik procesu fungování systémů a hledání optimální varianty je nutné opakovaně reprodukovat simulační experiment s obměnou výchozích dat problému;

velká spotřeba strojového času.

Efektivita strojové simulace. Při modelování je nutné zajistit maximální efektivitu modelu systému. Účinnost je obvykle definován jako nějaký rozdíl mezi některými ukazateli hodnoty výsledků získaných při provozu modelu a nákladů, které byly investovány do jeho vývoje a tvorby.

Efektivitu simulačního modelování lze hodnotit podle řady kritérií:

přesnost a spolehlivost výsledků simulace,

čas stavby a práce s modelem M,

náklady na strojové zdroje (čas a paměť),

náklady na vývoj a provoz modelu.

Nejlepším měřítkem účinnosti je porovnání získaných výsledků s reálnými studiemi. Pomocí statistického přístupu se s určitou mírou přesnosti (v závislosti na počtu implementací počítačového experimentu) získávají zprůměrované charakteristiky chování systému.

Celkové náklady na počítačový čas jsou součtem vstupního a výstupního času pro každý simulační algoritmus, času pro výpočetní operace, přičemž se bere v úvahu přístup k RAM a externím zařízením, stejně jako složitost každého simulačního algoritmu a plánování experimentu.

Matematická schémata.Matematický model je soubor matematických objektů (čísla, proměnné, množiny, vektory, matice atd.) a vztahů mezi nimi, odpovídajícím způsobem odrážející fyzikální vlastnosti vytvářeného technického objektu. Proces vytváření matematického modelu a jeho použití pro analýzu a syntézu se nazývá matematické modelování.

Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou „systému S– středa E". Měl by být také vyřešen problém zjednodušení modelu, který pomáhá identifikovat v závislosti na účelu modelování hlavní vlastnosti systému a vyřadit ty vedlejší.

Při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí uplatňovat matematické schéma jako článek řetězu "deskriptivní model - matematické schéma - matematický (analytický a (a) simulační) model".

Formální objektový model. Objektový model (systém S) lze reprezentovat jako soubor veličin popisujících proces fungování reálného systému:

sada vstupních akcí v systému

x i = X,i =;

soubor vlivů prostředí

proti j = PROTI, j= ;

soubor vnitřních (vlastních) parametrů systémů

h k = H, k =;

soubor výstupních charakteristik systému

yj = Y, j =.

Obecně x i, vj, hk, yj jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislý (exogenní) proměnné, které ve vektorovém tvaru mají tvar ( t) = (X 1 (t), X 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (proti 1 (t), proti 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nH(t)) a výstupní charakteristiky jsou závislý (endogenní) proměnné a ve vektorovém tvaru mají tvar: ( t) = (na 1 (t), na 2 (t), …, v nY(t)). Můžete rozlišovat mezi spravovanými a nespravovanými proměnnými.

Proces provozu systému S popsaný včas provozovatelem F S, který transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy formy

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Množina závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j(t) pro všechny typy j = volal výstupní trajektorii (t). Nazývá se závislost (2.1). zákon o fungování systému F S, který je specifikován ve formě funkce, funkčních, logických podmínek, v algoritmické, tabulkové formě nebo ve formě slovního korespondenčního pravidla. Funkční algoritmus AS je metoda pro získání výstupních charakteristik s přihlédnutím k vstupním akcím ( t), vlivy prostředí ( t) a vlastní parametry systému ( t). Stejný zákon fungování F S systémy S lze realizovat různými způsoby, tzn. pomocí mnoha různých algoritmů fungování TAK JAKO.

Matematické modely jsou tzv dynamický(2.1), pokud matematické vztahy popisují chování simulačního objektu (systému) v čase t, tj. odráží dynamické vlastnosti.

Pro statický modely matematický model je mapování mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y A ( X, V, H) v určitém bodě, který ve vektorové podobě lze zapsat jako

= F(, , ). (2.2)

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Tyto vztahy lze získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních časech, nazývaných státy. Stav systému S charakterizované vektory

" = (z" 1, z " 2, …, z" k) A "" = (z"" 1 ,z"" 2 , …, z"" k),

Kde z" 1 = z 1 (t"), z" 2 = z 2 (t"), …, z" k= zk(t") v tuto chvíli t"Î ( t 0 , T); z"" 1 = z 1 (t""), z"" 2 = z 2 (t""), …, z"" k = zk(t"") v tuto chvíli t""Î ( t 0 , T) atd. k = .

Pokud vezmeme v úvahu proces fungování systému S jako postupná změna stavů z 1 (t), z 2 (t), …, zk(t), pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v k-dimenzionální fázový prostor. Navíc každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Zavolá se množina všech možných stavových hodnot ​​(). státní prostor simulační objekt Z, a
zkÎ Z.

Stavy systému S v době, kdy t 0 < t* £ T jsou zcela určeny počátečními podmínkami 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Kde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = zk(t 0)], vstupní akce ( t), vnitřní parametry ( t) a vlivy prostředí ( t), který se odehrál v časovém intervalu t* – t 0 pomocí dvou vektorových rovnic

(t) = Ф( 0 , , , , t); (2.3)

(t) = F(, t). (2.4)

První rovnice pro počáteční stav 0 a exogenní proměnné , , určuje vektorovou funkci ( t), a druhý podle získané hodnoty stavů ( t) jsou endogenní proměnné na výstupu systému ( t). Řetězec rovnic objektu "vstup - stavy - výstup" tedy umožňuje určit vlastnosti systému

(t) = F[Ф( 0 , , , , t)]. (2.5)

V obecném případě čas v modelu systému S lze uvažovat o intervalu simulace (0, T) spojité i diskrétní, tzn. kvantované do segmentů délky D tčasové jednotky každý, kdy T = m D t, Kde m = je počet diskretizačních intervalů.

Tedy pod matematický model objekt (reálný systém) rozumí konečné podmnožině proměnných (( t), (t), (t)) spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami ( t).

Pokud matematický popis simulačního objektu neobsahuje prvky náhodnosti nebo se s nimi nepočítá, tzn. pokud můžeme předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí ( t) a stochastické vnitřní parametry ( t) chybí, pak se zavolá model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními akcemi

(t) = F(, t). (2.6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická matematická schémata. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je v počátečních fázích systémového výzkumu racionálnější používat typická matematická schémata Klíčová slova: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě, agregační systémy atd.

Typická matematická schémata mají výhodu v jednoduchosti a srozumitelnosti. Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se používají diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice pro reprezentaci systémů pracujících v nepřetržitém čase a pro reprezentaci systémů fungujících v diskrétní čas. Jako stochastické modely (beroucí v úvahu náhodné faktory) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem se používají systémy řazení. Petriho sítě se používají k analýze vztahů příčina-následek ve složitých systémech, kde paralelně běží několik procesů. K popisu chování spojitých a diskrétních, deterministických a stochastických systémů (například ASOIU) lze použít zobecněný (univerzální) přístup založený na agregačním systému. V agregačním popisu je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány souvislosti, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišit tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické ( D-systém); diskrétní deterministický ( F-systém); diskrétní stochastický ( R-systém); spojitý-stochastický ( Q-systém); síť ( N-systém); zobecněné nebo univerzální ( A-systém).

2.2. Kontinuálně deterministické modely ( D-systém)

Základní poměry. Zvažte vlastnosti spojitě deterministického přístupu využívajícího jako příklad diferenciální rovnice jako matematické modely. Diferenciální rovnice nazýváme takové rovnice, ve kterých funkce jedné nebo více proměnných budou neznámé a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Pokud jsou neznámé funkce několika proměnných, pak se nazývají rovnice parciální diferenciální rovnice, jinak se při uvažování funkce jedné nezávisle proměnné volají rovnice obyčejné diferenciální rovnice.

Matematický vztah pro deterministické systémy (2.6) v obecné podobě bude

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

Kde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) a = ( F 1 , F 2 , …, f n) – n-rozměrné vektory; (, t) je vektorová funkce, která je definována na některých ( n+1)-rozměrný (, t) nastaven a je nepřetržitý.

Matematická schémata tohoto druhu se nazývají D-schémata(anglicky dynamic), odrážejí dynamiku zkoumaného systému a čas se obvykle používá jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé požadované funkce. t.

V nejjednodušším případě má obyčejná diferenciální rovnice tvar:

y"(t) = F(y, t). (2.8)

Zvažte nejjednodušší příklad formalizace procesu fungování dvou elementárních obvodů různé povahy: mechanického S M (kyvadlo, obr. 2.1, A) a elektrické S K (oscilační obvod, obr. 2.1, b).

Rýže. 2.1. Elementární systémy

Proces malých kmitů kyvadla popisuje obyčejná diferenciální rovnice

m M l M2( d 2 F(t)/dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

Kde m M , l M je hmotnost a délka závěsu kyvadla; G- gravitační zrychlení; F(t) je úhel vychýlení kyvadla v časovém okamžiku t.

Z této rovnice volného kmitání kyvadla lze nalézt odhady sledovaných charakteristik. Například perioda kyvadla

T M = 2p.

Podobně procesy v elektrickém oscilačním obvodu jsou popsány obyčejnou diferenciální rovnicí

L K( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

Kde L K , C K - indukčnost a kapacita kondenzátoru; q(t) je nabití kondenzátoru v okamžiku času t.

Z této rovnice lze získat různé odhady charakteristik procesu v oscilačním obvodu. Například perioda elektrických oscilací

T M = 2p.

Pochopitelně zavedením notace h 2 = m M l M2= L K , h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/ C K , F(t) = q(t) = z(t), získáme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu popisující chování tohoto uzavřeného systému:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

Kde h 0 , h 1 , h 2 – parametry systému; z(t) je aktuální stav systému
čas t.

Chování těchto dvou objektů lze tedy studovat na základě obecného matematického modelu (2.9). Kromě toho je třeba poznamenat, že chování kyvadla (systém S M) lze studovat pomocí elektrického oscilačního obvodu (systém S NA).

Pokud je studovaný systém S(kyvadlo nebo okruh) interaguje s okolím E, poté se objeví vstupní akce X(t) (vnější síla pro kyvadlo a zdroj energie pro obvod) a spojitě deterministický model takového systému bude vypadat takto:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = X(t). (2.10)

Z hlediska obecného matematického modelu (viz část 2.1) X(t) je vstupní (řídicí) akce a stav systému S v tomto případě lze považovat za výstupní charakteristiku, tzn. výstupní proměnná je stav systému v daném čase y = z.

Možné aplikace D-systém. Pro popis lineárních řídicích systémů, jako každý dynamický systém, mají nehomogenní diferenciální rovnice konstantní koeficienty

kde , ,…, jsou neznámá funkce času a její deriváty; a jsou to známé funkce.

Pomocí např. softwarového balíku VisSim, určeného pro simulační modelování procesů v řídicích systémech, které lze popsat diferenciálními rovnicemi, simulujeme řešení obyčejné nehomogenní diferenciální rovnice

kde je nějaká požadovaná funkce času na segmentu za nulových počátečních podmínek, vezmeme h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Znázorněním dané rovnice vzhledem k nejvyšší z derivací dostaneme rovnici

které lze modelovat pomocí sady stavebních bloků balíčku VisSim: aritmetické bloky - Gain (násobení konstantou), Summing-Junction (sčítání); integrační bloky - Integrátor (numerická integrace), Přenosová funkce (nastavení rovnice prezentované jako přenosová funkce); bloky pro nastavení signálů - Const (konstanta), Step (jediná funkce ve formě "kroku"), Ramp (lineárně rostoucí signál); bloky přijímače signálu - Plot (zobrazení v časové oblasti signálů, které jsou analyzovány výzkumníkem během simulace).

Na Obr. 2.2 ukazuje grafické znázornění této diferenciální rovnice. Vstup levého integrátoru odpovídá proměnné , vstup prostředního integrátoru odpovídá a vstup pravého integrátoru odpovídá . Výstup pravého integrátoru odpovídá proměnné y.

Speciální případ dynamických systémů popsaných D- schémata jsou automatické řídicí systémy(ACS)a regulace(SAR). Reálný objekt je prezentován ve formě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt). Struktura vícerozměrného automatického řídicího systému obecného pohledu je znázorněna na Obr. 2.3, kde endogenní proměnné: ( t) je vektor vstupních (nastavení) akcí; ( t) je vektorem rušivých vlivů; " (t) je vektor chybových signálů; "" (t) je vektor řídících akcí; exogenní proměnné: ( t) je vektor stavu systému S; (t) je vektor výstupních proměnných, obvykle ( t) = (t).

Rýže. 2.2. Grafické znázornění rovnice

Řídicí systém je soubor softwarových a hardwarových nástrojů, které zajišťují dosažení určitého cíle řídicím objektem. Jak přesně objekt dosáhne daného cíle, lze (pro jednorozměrný systém) posoudit podle souřadnic stavu y(t). Rozdíl mezi danými y zadek ( t) a platné y(t) chyba kontroly je chyba kontroly " (t) = y zadek ( t) – y(t). Pokud předepsaný zákon změny regulované veličiny odpovídá zákonu změny vstupní (nastavení) akce, tzn. X(t) = y zadek ( t), Že " (t) = X(t) – y(t).

Systémy, které řídí chyby " (t) = 0 jsou vždy volány ideál. V praxi je implementace ideálních systémů nemožná. Úkolem automatického řídicího systému je měnit proměnnou y(t) podle daného zákona s určitou přesností (s dovolenou chybou). Parametry systému musí poskytovat požadovanou přesnost řízení a také stabilitu systému v přechodném procesu. Pokud je systém stabilní, pak analyzujte chování systému v čase, maximální odchylku regulované veličiny y(t) v přechodném procesu, doba přechodného procesu atd. Řád diferenciální rovnice a hodnota jejích koeficientů jsou zcela určeny statickými a dynamickými parametry systému.

Rýže. 2.3. Struktura automatického řídicího systému:

CS je řídicí systém; OS - ovládací objekt

Takže použití D-schemes umožňuje formalizovat proces fungování spojitě deterministických systémů S a vyhodnocovat jejich hlavní charakteristiky pomocí analytického nebo simulačního přístupu implementovaného ve formě vhodného jazyka pro modelování spojitých systémů nebo pomocí analogových a hybridních výpočetních nástrojů.

2.3. Diskrétně-deterministické modely ( F-systém)

Základní poměry. Zvažte rysy diskrétně-deterministického přístupu na příkladu použití teorie automatů jako matematického aparátu. Systém je reprezentován jako automat jako zařízení se vstupními a výstupními signály, které zpracovává diskrétní informace a mění své vnitřní stavy pouze v přípustných časech. státní automat se nazývá automat, jehož množiny vnitřních stavů, vstupních a výstupních signálů jsou konečné množiny.

Abstraktně lze konečný automat reprezentovat jako matematické schéma ( F-systém) charakterizované šesti prvky: konečnou množinou X vstupní signály (vstupní abeceda); konečná množina Y výstupní signály (výstupní abeceda); konečná množina Z vnitřní stavy (vnitřní abeceda nebo abeceda států); výchozí stav z 0 , z 0 Î Z; přechodová funkce j( z, X); výstupní funkce y( z, X). Daný automat F-systém: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, pracuje v diskrétním čase, jehož momenty jsou cykly, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupních a výstupních signálů a vnitřním stavům. Označme stav, jakož i odpovídající vstupní a výstupní signály t-th beat at t= 0, 1, 2, …, až z(t), X(t),y(t). Zároveň podle stavu z(0) = z 0 a z(t)Î Z, X(t)Î X, y(t)Î Y.

Abstraktní stavový automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál. V každém okamžiku t= 0, 1, 2, ... diskrétní čas F- stroj je v určitém stavu z(t) ze sady Z stavy automatu a v počátečním okamžiku t= 0 je vždy v počátečním stavu z(0) = z 0 V tuto chvíli t, být schopen z(t), je automat schopen vnímat signál na vstupním kanálu X(t)Î X a dát signál na výstupním kanálu y(t) = y[ z(t),X(t)], přecházející do stavu z( t+1) = j[ z(t), X(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y. Abstraktní konečný automat implementuje určité mapování množiny slov ve vstupní abecedě X za mnoho slov víkendu
abeceda Y. Jinými slovy, pokud je vstup konečného automatu nastaven na počáteční stav z 0 , zadejte písmena vstupní abecedy v určitém pořadí X(0), X(1), X(2), …, tzn. vstupní slovo, pak se na výstupu automatu postupně objeví písmena výstupní abecedy y(0), y(1), y(2), …, tvořící výstupní slovo.

Provoz konečného automatu tedy probíhá podle následujícího schématu: v každém t-tý cyklus na vstup automatu, který je ve stavu z(t), je dán nějaký signál X(t), na který reaguje přechodem ( t+1) cyklus do nového stavu z(t+1) a vydává nějaký výstupní signál. Výše uvedené lze popsat následujícími rovnicemi: pro F- automat prvního druhu, zvaný též Miles stroj,

z(t+1) = j[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

Pro F- automat druhého druhu

z(t+1) = j[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y[ z(t), X(t- 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Automat druhého druhu, pro který

y(t) = y[ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

těch. výstupní funkce nezávisí na vstupní proměnné X(t), je nazýván Mooreův stroj.

Tedy rovnice (2.15)-(2.19), které zcela definují
F-automat, jsou speciálním případem rovnic (2.3) a (2.4), kdy
Systém S- deterministický a jeho jediný vstup přijímá diskrétní signál X.

Podle počtu stavů se rozlišují konečné automaty s pamětí a bez paměti. Automaty s pamětí mají více než jeden stav, zatímco automaty bez paměti (kombinační nebo logické obvody) mají pouze jeden stav. Přitom podle (2.16) funguje kombinační obvod tak, že každému vstupnímu signálu přiřadí X(t) definovaný výstupní signál y(t), tj. implementuje logickou funkci formuláře

y(t) = y[ X(t)], t= 0, 1, 2, … .

Tato funkce se nazývá booleovská abeceda X A Y, které patří k hodnotám signálu X A y, se skládá ze dvou písmen.

Podle povahy počítání diskrétního času se konečné automaty dělí na synchronní a asynchronní. V synchronním F-v automatech jsou časové body, ve kterých automat "čte" vstupní signály, určeny vynucenými synchronizačními signály. Po dalším synchronizačním signálu, s přihlédnutím ke "čtenému" a v souladu s rovnicemi (2.15) - (2.19), dojde k přechodu do nového stavu a je vydán výstupní signál, po kterém může automat vnímat další hodnotu vstupní signál. Odezva automatu na každou hodnotu vstupního signálu tedy končí v jednom cyklu, jehož trvání je určeno intervalem mezi sousedními synchronizačními signály. Asynchronní F- stroj čte vstupní signál nepřetržitě, a proto reaguje na dostatečně dlouhý vstupní signál konstantní hodnoty X, může, jak vyplývá z (2.15)-(2.19), několikrát změnit stav vydáním odpovídajícího počtu výstupních signálů, dokud nepřejde do stabilního stavu, který již nelze daným vstupním signálem změnit.

Možné aplikace F-systém. K nastavení finále F-automat, je nutné popsat všechny prvky sestavy F= <Z, X, Y, y, j, z 0 >, tzn. vstupní, vnitřní a výstupní abecedy a také funkce přechodů a výstupů a mezi množinou stavů je nutné vybrat stav z 0 , ve kterém je automat ve stavu t= 0. Existuje několik způsobů, jak nastavit práci F-stroje, ale nejčastěji se používají tabulkové, grafické a maticové.

V tabulkové metodě jsou zadány tabulky přechodů a výstupů, jejichž řádky odpovídají vstupním signálům automatu a sloupce jeho stavům. První sloupec vlevo odpovídá výchozímu stavu z 0 Na křižovatce i-tý řádek a k sloupec tabulky přechodů, odpovídající hodnota j( zk, x i) přechodové funkce a ve výstupní tabulce - odpovídající hodnota y( z k, x i) výstupní funkce. Pro F-Moore stroj, oba stoly lze kombinovat.

Popis práce F-mealy automat tabulky přechodů j a výstupů y jsou znázorněny v tabulce. 2.1 a popis F-Mooreův automat - podle přechodové tabulky (tabulka 2.2).

Tabulka 2.1

Tabulka 2.2

Příklady tabulkového způsobu nastavení F- Mili stroj F 1 jsou uvedeny v tabulce. 2.3 a pro F-Mooreův stroj F 2 - v tabulce. 2.4.

Tabulka 2.3

Tabulka 2.4

V grafickém způsobu zadání konečného automatu se používá koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholů odpovídajících různým stavům automatu a spojujících vrcholy oblouků grafu odpovídající určitým přechodům automatu. Pokud je vstupní signál x k způsobí přeměnu stavu z i do stavu z j, pak na grafu automatu oblouk spojující vrchol z i horní z j, označené x k. Aby bylo možné definovat funkci výstupů, musí být oblouky grafu označeny odpovídajícími výstupními signály. U automatů Mealy se toto označení provádí následovně: pokud vstupní signál x k ovlivňuje stát z i, pak dostaneme oblouk vycházející z z i a označeny x k; tento oblouk je navíc označen výstupním signálem y= y( z i, x k). Pro Mooreův automat je podobné označení grafu následující: je-li vstupní signál x k, působící na nějaký stav automatu, způsobí přechod do stavu z j, pak oblouk směřuje k z i a označeny x k, dodatečně oslavit víkend
signál y= y( z j, x k).

Na Obr. 2.4. A, b podle dřívějších tabulek F- Mili automaty F 1 a Moura F 2 resp.

Rýže. 2.4. Grafy automatů a - Mealy a b - Moore

S maticovou specifikací konečného automatu je matice spojení automatu čtvercová S=||s ij||, řádky odpovídají počátečním stavům a sloupce odpovídají přechodovým stavům. Živel s ij = x k/y s stojící na křižovatce
i-tý řádek a j sloupec, v případě automatu Mealy odpovídá vstupnímu signálu x k, což způsobuje přechod ze stavu z i do stavu z j a výstupní signál y s vydané tímto přechodem. Pro stroj Mili F 1 diskutovaný výše, matice spojení má tvar:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Pokud přechod ze stavu z i do stavu zj nastává působením několika signálů, maticového prvku c ij je sada "vstupně-výstupních" párů pro tento přechod, spojených znaménkem disjunkce.

Pro F-Mooreův strojní prvek s ij se rovná množině vstupních signálů na přechodu ( z i, z j) a výstup je popsán vektorem výstupů

= y( zk) ,

i-tá složka je výstupní signál indikující stav z i.

Pro výše uvedené F-Mooreův stroj F2 spojovací matice a výstupní vektor mají tvar:

–X 1 –X 2 –na 1

–X 2 – –X 1 na 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –na 2

X 2 –X 1 – –na 3

Pro deterministické automaty je splněna podmínka jednoznačnosti přechodu: automat v určitém stavu nemůže přejít do více než jednoho stavu působením jakéhokoli vstupního signálu. S ohledem na grafický způsob nastavení F-automat, to znamená, že v grafu automatu dvě nebo více hran označených stejným vstupním signálem nemůže vystoupit z žádného vrcholu. A to v matici zapojení automatu S v každém řádku se žádný vstupní signál nesmí objevit více než jednou.

Pro F- stav stroje zk volal udržitelného, pokud pro jakýkoli vstup x i ОX, pro které j( zk, x i) = z k , j( zk,x i) = y k. F- nazývá se stroj asynchronní pokud každý stát z k ОZ stále.

Koncept v diskrétně-deterministickém přístupu ke studiu vlastností objektů na modelech je tedy matematickou abstrakcí, která je vhodná pro popis široké třídy procesů fungování reálných objektů v automatizovaných řídicích systémech. Používáním F- automatu je možné popsat objekty, které se vyznačují přítomností diskrétních stavů, a diskrétní povahou práce v čase - jsou to prvky a uzly počítače, řídicí, regulační a řídicí zařízení, systémy časových a prostorových přechod v technologii výměny informací atd.

2.4. Diskrétní stochastické modely ( R-systém)

Základní poměry. Uvažujme o rysech konstruování matematických schémat v diskrétně-stochastickém přístupu na pravděpodobnostních (stochastických) automatech. Obecně pravděpodobnostní automat
P-schémata(anglicky probabijistic automat) lze definovat jako diskrétní krokový informační převodník s pamětí, jehož fungování v každém cyklu závisí pouze na stavu paměti v něm a lze jej statisticky popsat.

Pojďme si představit matematický pojem R-stroj, za použití pojmů zavedených pro F-stroj. Zvažte sadu G, jehož prvky jsou všechny možné dvojice ( x i, z s), kde x i A z s jsou prvky vstupní podmnožiny X a podmnožiny stavů Z, resp. Pokud existují dvě funkce j a y takové, že mapování G®Z a G®Y, pak to říkají F = X, Y j, y> definuje automat deterministického typu.

Podívejme se na obecnější matematické schéma. Nechat
Ф je množina všech možných dvojic formuláře ( z k , y i), kde i je prvkem výstupní podmnožiny Y. Požadujeme, aby jakýkoli prvek sady G indukoval na množině Φ nějaký distribuční zákon následujícího tvaru:

V čem bkj= 1, kde bkj jsou pravděpodobnosti přechodu automatu do stavu zk a výskyt signálu na výstupu y j kdyby byl schopen z s a na jeho vstupu byl v tomto okamžiku přijat signál x i. Počet takových distribucí, prezentovaných ve formě tabulek, se rovná počtu prvků množiny G. Množinu těchto tabulek označíme B. Potom čtyři prvky P= nazývaný pravděpodobnostní automat
(R- automatický).

Možné aplikace P-systém. Nechte prvky sady G vyvolat některé distribuční zákony na podmnožiny Y A Z, který může být reprezentován takto:

V čem z k = 1 a q j = 1, kde zk A q j - pravděpodobnosti přechodu
R-stroj do stavu zk a vzhled výstupního signálu y k pokud
R z s a na jeho vstupu byl přijat vstupní signál x i .

Pokud pro všechny k A j existuje poměr q j z k = b kj , pak takové
R- nazývá se stroj Mealyho pravděpodobnostní automat. Tento požadavek znamená pro nový stát splnění podmínky nezávislosti rozvodů R-stroj a jeho výstupní signál.

Pojďme nyní k definici výstupního signálu R- automatu závisí pouze na stavu, ve kterém se automat v daném cyklu práce nachází. Jinými slovy, nechte každý prvek výstupní podmnožiny Y indukuje rozdělení pravděpodobnosti výstupů mající následující tvar:

Tady s i = 1, kde s i je pravděpodobnost výskytu výstupního signálu y i na na podmínky, že R- stroj byl ve stavu zk.

Pokud pro všechny k A i existuje poměr z k s i =bki, pak takové
R- nazývá se stroj pravděpodobnostní Mooreův automat. pojem
R-Mealyho a Mooreovy automaty zavedené analogií s deterministickým
F- automatický. speciální případ R- automat daný jako P=X, Y, B> jsou automaty, u kterých je buď přechod do nového stavu nebo výstupní signál určen deterministicky. Pokud je výstupní signál
R-automat je určen deterministicky, pak se takový automat nazývá
Y-. Rovněž,
Z-deterministický pravděpodobnostní automat volal R je automat, jehož volba nového stavu je deterministická.

Příklad 2.1. Nechat dáno Y-deterministický P-stroj

Na Obr. 2.5 ukazuje graf orientovaného přechodu tohoto automatu. Vrcholy grafu jsou spojeny se stavy automatu a oblouky jsou spojeny s možnými přechody z jednoho stavu do druhého. Oblouky mají váhy odpovídající pravděpodobnostem přechodu p ij a hodnoty výstupních signálů indukovaných těmito stavy jsou zapsány blízko vrcholů grafu. Je třeba odhadnout celkové konečné pravděpodobnosti setrvání tohoto P-stroj ve státech z 2 a z 3 .

Rýže. 2.5. Graf pravděpodobnostního automatu

Pomocí analytického přístupu lze zapsat známé vztahy z teorie Markovových řetězců a získat soustavu rovnic pro stanovení konečných pravděpodobností. V tomto případě výchozí stav z 0 lze ignorovat, protože počáteční rozdělení neovlivňuje hodnoty konečných pravděpodobností. Pak máme

Kde s k je konečná pravděpodobnost setrvání R- automatické zk.

Dostaneme soustavu rovnic

Přidejme k těmto rovnicím podmínku normalizace S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 1. Pak řešením soustavy rovnic dostaneme S 1 = 5/23, S 2 = 8/23, S 3 = 5/23,
S 4 = 5/23. Tím pádem, S 2 + S 3 = 13/23 = 0,5652. Jinými slovy, s nekonečnou operací daného v tomto příkladu Y-deterministický
R-stroj, na jeho výstupu se vytvoří binární sekvence s pravděpodobností výskytu jedna, rovna 0,5652.

Podobný R- automaty lze použít jako generátory Markovových sekvencí, které jsou nezbytné při konstrukci a implementaci procesů fungování systémů S nebo vlivy prostředí E.

2.5. Spojité stochastické modely ( Q-systém)

Základní poměry. Budeme uvažovat o rysech spojitého-stochastického přístupu na příkladu typického matematického Q- schémata - řadicí systémy(Anglický systém řazení do fronty).

Jako servisní proces lze znázornit procesy fungování ekonomických, průmyslových, technických a jiných systémů, které se liší svou fyzikální podstatou, např.: toky dodávek produktů do určitého podniku, toky dílů a komponentů na montážní lince. dílny, aplikace pro zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atd. Provoz takových objektů je přitom charakterizován náhodným výskytem požadavků (požadavků) na službu a dokončováním služby v náhodných časech, tzn. stochastický charakter procesu jejich fungování.

Tok událostí nazývá se sled událostí, které se odehrávají jedna po druhé v nějakém náhodném čase. Existují toky homogenních a nehomogenních událostí. Proud událostí volal homogenní pokud je charakterizován pouze okamžiky příchodu těchto událostí (způsobující momenty) a je dán posloupností ( t n} = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n£ … }, Kde t n - okamžik výskytu P- událost je nezáporné reálné číslo. Jednotný tok událostí může být také specifikován jako sekvence časových intervalů mezi nimi P- m a (n – 1)-té události (t n), která jednoznačně souvisí s posloupností vyvolávacích momentů ( t n} , kde t n = tn– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, těch. t1 = t 1 . Proud heterogenních událostí nazývá se sekvence ( t n, f n} , Kde t n - náročné okamžiky; f n - sada atributů události. Například ve vztahu k servisnímu procesu pro heterogenní tok požadavků, patřících k jednomu nebo jinému zdroji požadavků, může být specifikována přítomnost priority, možnost obsluhy jedním nebo jiným typem kanálu.

V každém základním servisním úkonu lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání služby aplikací a skutečná služba aplikace. To může být reprezentováno jako některé i servis nástrojů P i(obr. 2.6), skládající se z akumulátoru požadavku Ahoj, což může být současně j i= aplikace, kde L i H– kapacita
i-th disk a kanál žádosti (nebo jen kanál) Ki. Pro každý prvek servisního zařízení P i proudy událostí přicházejí: do akumulátoru H i aplikační tok w i, na kanál K i - tok služeb a já.

Rýže. 2.6. Aplikační servisní zařízení

Aplikace obsluhované kanálem ki, a požadavky, které opustily zařízení P i z různých důvodů neobsluhován (například kvůli přetečení disku H i), tvoří výstupní proud y i О Y, těch. časové intervaly mezi okamžiky uvolnění aplikací tvoří podmnožinu výstupních proměnných.

Obvykle tok žádostí w i ОW, těch. časové intervaly mezi okamžiky výskytu aplikací na vstupu K i, tvoří podmnožinu nespravovaných proměnných a toku služeb u i ОU, těch. časové intervaly mezi začátkem a koncem servisního požadavku tvoří podmnožinu řízených proměnných.

Provozní proces servisního zařízení P i lze znázornit jako proces změny stavů jeho prvků v čase z i(t). Přechod do nového stavu pro P i znamená změnu v počtu aplikací, které jsou v něm (v kanálu K i a ve skladu H i). Tedy stavový vektor pro P i vypadá jako: , Kde z i H- stav pohonu H i (z i H= 0 – disk je prázdný, z i H= 1 – v akumulátoru je jeden zákazník, ..., z i H = L i H – disk je plný) L i H- kapacita skladu H já, měřeno počtem aplikací, které se do něj vejdou; z i k – stav kanálu K i(z i k = 0 – kanál je zdarma z i k= 1 – kanál je obsazený).

Možné aplikace Q- schémata. V praxi modelování systémů, které mají složitější strukturní vztahy a algoritmy chování, se pro formalizaci nepoužívají samostatná servisní zařízení, ale
Q- systém , tvořený složením mnoha elementárních obslužných zařízení P i. Pokud kanály K i různá servisní zařízení jsou připojena paralelně, pak existuje vícekanálová služba ( vícekanálový Q- systém) , a pokud zařízení P i a jejich paralelní skladby jsou zapojeny do série, pak existuje vícefázová služba ( vícefázový Q- systém) . Tedy za úkol Q- schémata musí používat operátor konjugace R, který odráží vztah mezi prvky struktury (kanály a úložiště) mezi sebou.