Průchod náhodných signálů nelineárními obvody. Průchod náhodných signálů lineárními inerciálními obvody. Vstupní signál lze zapsat jako

V kap. 6 byl uvažován přenos různých signálů lineárními obvody s konstantními parametry. Spojení mezi vstupními a výstupními signály v těchto obvodech bylo určeno pomocí přenosové funkce (spektrální metoda) nebo pomocí impulsní odezvy (metoda superpozičního integrálu).

Podobné vztahy lze vytvořit pro lineární obvody s proměnnými parametry. Je zřejmé, že v takových obvodech se povaha vztahu mezi vstupními a výstupními signály během přenosu mění. Jinými slovy, přenosová funkce obvodu závisí nejen na čase, ale také na čase; impulsní odezva také závisí na dvou proměnných: na intervalu mezi okamžikem aplikace jednotlivého impulsu a okamžikem pozorování výstupního signálu t (jako u obvodu s konstantními parametry) a navíc na poloze interval na časové ose. Proto pro obvod s proměnnými parametry by měla být impulsní odezva zapsána v obecném tvaru

Pokud na vstupu čtyřpólu působí libovolný signál s(t) s impulsní odezvou (obr. 10.2), pak na základě principu superpozice lze výstupní signál analogicky s výrazem (6.11) určit pomocí výraz

(10.12)

Pokusme se nyní zavést přenosovou funkci pro obvod s proměnnými parametry. Za tímto účelem znázorníme funkci ve formě Fourierova integrálu:

(10.13)

kde je spektrální hustota signálu s(t).

Potom výraz (10.13) bude následující:

Rýže. 10.2. Parametrický kvadripól

Označením vnitřního integrálu přes přepíšeme poslední výraz takto:

(10.14)

Z (10.14) vyplývá, že funkce definovaná výrazem

Elektrické obvody jsou nedílnou součástí elektronických prvků automatizace, plní velké množství různých specifických funkcí. Hlavní rozdíl mezi elektrickými obvody a elektronickými obvody je v tom, že se jedná o soubor pasivních lineárních prvků, tj. těch, jejichž proudově-napěťové charakteristiky se řídí Ohmovým zákonem a nezesilují vstupní signály. Z tohoto důvodu se elektrické obvody elektronických zařízení častěji nazývají lineární zařízení pro konverzi a generování elektrických signálů.

Funkčně lze lineární zařízení pro generování a konverzi elektrických signálů rozdělit do následujících hlavních skupin:

Integrační obvody používané k integraci signálů a někdy k rozšíření (zvýšení doby trvání) impulsů;

Diferenciační (zkracovací) obvody používané k odlišení signálů, jakož i ke zkrácení pulzů (získání pulzů dané doby trvání);

Odporové a odporově kapacitní děliče používané ke změně amplitudy elektrických signálů;

Impulsní transformátory používané pro změnu polarity a amplitudy impulsů, pro galvanické oddělení impulsních obvodů, pro vytváření kladné zpětné vazby v generátorech a utvářecích impulsů, pro přizpůsobení obvodů podle zátěže, pro příjem impulsů z několika výstupních vinutí;

Elektrické filtry určené k izolaci frekvenčních komponent umístěných v dané oblasti od komplexního elektrického signálu a k potlačení frekvenčních komponent nacházejících se ve všech ostatních frekvenčních oblastech.

V závislosti na prvcích, na kterých jsou lineární zařízení provedena, mohou být rozdělena na RC-, RL- a RLC-obvody. V tomto případě mohou lineární zařízení obsahovat lineární odpor R, lineární kondenzátor C, lineární induktor L, pulzní transformátor bez sycení jádra. Slovo "lineární" zdůrazňuje, že máme na mysli pouze ty typy prvků, které mají proudově-napěťové charakteristiky lineárního typu, nebo jinými slovy jmenovitou hodnotu parametru (odpor, kapacita atd.), pro který je konstantní a nezávisí na protékajícím proudu nebo použitém napětí. Například konvenční kondenzátor se slídovými dielektrickými podložkami v širokém rozsahu napětí je považován za lineární a hodnota kapacity pn přechodu závisí na použitém napětí a nelze ji připsat lineárním prvkům. Kromě toho vždy existují limity amplitudy nebo výkonu signálu, pod kterými si prvek zachovává lineární vlastnosti. Například povolené napětí na kondenzátoru by nemělo překročit hodnotu průrazu. Ostatní prvky mají podobná omezení a je třeba je vzít v úvahu při odkazování prvku na konkrétní třídu.

Nejdůležitější vlastností lineárních zařízení je jejich schopnost akumulovat a uvolňovat energii v kapacitních a indukčních prvcích a tím převádět vstupní signály na dočasnou změnu výstupních intervalů. Tato vlastnost je základem činnosti generátorů, zařízení pro potlačení impulsního šumu a „soutěží“ v digitálních obvodech, ke kterým dochází při průchodu elektrického signálu obvody s různým časovým zpožděním.

Je třeba poznamenat určité obtíže při použití lineárních elektrických obvodů v integrované technologii. To je způsobeno přítomností řady technologických obtíží při výrobě rezistorů a kondenzátorů, nemluvě o induktorech, v integrovaném provedení.

Frekvenčně nezávislý dělič napětí je určen ke snížení napětí zdroje signálu na požadovanou hodnotu. DN se používá k přizpůsobení vstupního stupně se zdrojem napěťového signálu, k nastavení pracovního bodu tranzistoru v zesilovači, k vytvoření referenčního (běžněji nazývaného "referenční") napětí. Schéma nejjednoduššího děliče napětí je znázorněno na obrázku výše.

Při analýze reálných elektronických obvodů je pro eliminaci hrubých chyb vždy nutné vzít v úvahu elektrické charakteristiky zdroje signálu a zátěže. Nejdůležitější z nich jsou:

Velikost a polarita EMF zdroje signálu;

Vnitřní odpor zdroje signálu (Rg);

AFC a PFC zdroje signálu;

Odolnost proti zatížení (Rn);

Následující obrázek ukazuje různé typy děličů napětí.

Obrázek (a) ukazuje napěťový dělič přes proměnný rezistor. Slouží k nastavení citlivosti EI. Na stejném místě obrázek b znázorňuje dělič s několika výstupními napětími. Takový vzor se používá například v kaskádovém zesilovači. V některých případech, kdy je odpor Rn malý, se používá jako spodní rameno děliče. Například při stavbě zesilovače s OE se poloha pracovního bodu nastavuje děličem tvořeným Rb a odporem přechodu báze tranzistoru rbe.

V elektronice zaujímá důležité místo děliče napětí, ve kterém je horní nebo dolní rameno tvořeno proměnným odporem. Pokud je dělič napájen stálým stabilním napětím a řekněme v dolním rameni klademe odpor, jehož hodnota je závislá na teplotě, tlaku, vlhkosti a dalších fyzikálních parametrech, pak napětí úměrné teplotě, tlaku, vlhkost atd. lze odstranit z výstupu děliče napětí . Zvláštní místo zaujímají děliče, u kterých je jeden z odporů závislý na frekvenci napájecího napětí. Tvoří velkou skupinu různých filtrů elektrického signálu.

Další vylepšení děliče napětí vedlo ke vzniku měřícího můstku, který se skládá ze dvou děličů. V takovém obvodu je možné přijímat signál jak mezi středem a společným vodičem, tak mezi dvěma středy. Ve druhém případě se amplituda výstupního signálu zdvojnásobí při stejné změně proměnných odporů. Zesilovače elektrických signálů jsou také děličem napětí, ve kterém roli proměnného odporu hraje tranzistor řízený vstupním napětím.

Prvoci integrační řetězec je dělič napětí, ve kterém roli spodního ramene děliče plní kondenzátor C

Rozlišení lineárních obvodů

Prvoci rozlišovací řetězec je dělič napětí, ve kterém roli horního ramene děliče plní kondenzátor C

Integrační a diferenciační spoje, když jsou vystaveny spojitým náhodným signálům, se chovají jako, resp. dolní a horní propusti prvky R1 a C2 tvoří dolní propust a C1 a R2 tvoří horní propust

Cíl práce:

studium procesů průchodu harmonických signálů a pravoúhlých signálů lineárními obvody, jako jsou derivační a integrační obvody, sériové a paralelní oscilační obvody, transformátor;

studium přechodových procesů v lineárních obvodech;

získání dovednosti práce s měřicími přístroji;

naučit se provádět výpočty obvodů RCL pomocí symbolické metody;

zpracování a analýza získaných experimentálních dat.

úkoly:

změřit amplitudově-frekvenční charakteristiky sedmi lineárních obvodů;

změřte fázově-frekvenční charakteristiky výše uvedených lineárních obvodů;

získat a prozkoumat přechodové charakteristiky sedmi lineárních obvodů;

1 Lineární obvody

V radioelektronice jsou elektrické obvody souborem prvků spojených obvodů, jako jsou rezistory, kondenzátory, induktory, diody, tranzistory, operační zesilovače, zdroje proudu, zdroje napětí a další.

Prvky obvodu jsou spojeny pomocí vodičů nebo tištěných pneumatik. Elektrické obvody složené z idealizovaných prvků jsou klasifikovány podle řady kritérií:

Energetická specifika:

aktivní (obsahující napájecí zdroje);

pasivní obvody (neobsahují zdroje proudu a (nebo) napětí);

Podle topologických vlastností:

rovinný (plochý);

neplanární;

rozvětvený;

nerozvětvený;

jednoduché (jedno-, dvouokruhové);

komplexní (multi-loop, multi-node);

Podle počtu externích vedení:

bipolární;

čtyřpóly;

multipóly;

Z frekvence měřicího pole:

obvody se soustředěnými parametry (v obvodech se soustředěnými parametry má odpor pouze rezistor, pouze kondenzátor má kapacitu, pouze induktor má indukčnost);

obvody s distribuovanými parametry (v obvodech s distribuovanými parametry mají i propojovací vodiče kapacitu, vodivost a indukčnost, které jsou rozmístěny po jejich délce; tento přístup je nejtypičtější pro obvody v mikrovlnné oblasti);

Od typu prvku:

lineární řetězce, pokud se skládají z lineárních idealizovaných prvků;

nelineární obvody, pokud obvod obsahuje alespoň jeden nelineární prvek;

V tomto článku jsou uvažovány pasivní obvody sestávající ze tří obvodových prvků. Elementy
se nazývají idealizované obvodové prvky. Proud protékající takovými prvky je lineární funkcí použitého napětí:

pro rezistor
:
;

pro kondenzátor :
;

pro induktor :

Proto řetězce skládající se z
prvky se nazývají lineární.

Přísně vzato, v praxi ne všechny
prvky jsou lineární, ale v mnoha případech je odchylka od linearity malá a skutečný prvek lze brát jako idealizovaný lineární. Aktivní odpor lze považovat za lineární prvek pouze v případě, že jím protékající proud je tak malý, že vzniklé teplo nevede k znatelné změně hodnoty jeho odporu. Podobné úvahy lze učinit pro induktor a kondenzátor. Pokud parametry
obvody zůstávají nezměněny po dobu, kdy probíhá zkoumaný elektrický proces, pak hovoří o obvodu s konstantními parametry.

Protože procesy v lineárních obvodech jsou popsány lineárními rovnicemi, platí pro ně princip superpozice. To znamená, že výsledek akce v lineárním obvodu komplexního signálu lze nalézt jako součet výsledků akcí jednodušších signálů, na které se původní, komplexní signál rozloží.

K analýze lineárních obvodů se používají dvě metody: metoda frekvenční odezvy a metoda přechodové odezvy.

V rádiové elektronice se člověk musí vypořádat s různými signály a různými obvody, při průchodu signálů takovými obvody dochází k přechodovým procesům, v jejichž důsledku se může měnit tvar přenášeného signálu. Většina zařízení obsahuje kombinaci lineárních a nelineárních prvků, což komplikuje pečlivou analýzu toku signálu. Existuje však poměrně široká škála problémů, které lze úspěšně řešit lineárními metodami, i když je v obvodu nelineární prvek. To platí pro zařízení, ve kterých mají signály tak malou amplitudu, že lze zanedbat nelinearitu charakteristik nelineárního prvku, takže jej lze také považovat za lineární.

Většina metod pro analýzu průchodu signálů lineárním obvodem je založena na základním principu - principu superpozice, ve kterém lze reakci obvodu na komplexní efekt definovat jako součet reakcí na jednodušší signály, do kterých se komplexní efekt lze rozložit. Reakce lineárního obvodu na známou jednoduchou (testovací) akci se nazývá systémová (tj. závislá pouze na obvodu) přenos obvodová charakteristika. Samotnou přenosovou charakteristiku lze definovat:

A) klasický metoda, ve které je obvod popsán soustavou lineárních diferenciálních rovnic, na jejichž pravé straně je napsána testovací akce; tato metoda nejčastěji určuje reakce na jednokrokovou funkci nebo delta funkci, tzv. přechodové a impulsní odezvy obvodu, což jsou přenosové charakteristiky obvodu pro metodu superpozice (neboli Duhamelova integrální metoda); Pomocí klasické metody, s poměrně jednoduchými řetězci a akcemi, lze problém analýzy okamžitě vyřešit, tzn. nalezení odezvy obvodu na vstupní signál;

b) obsáhlý metoda, je-li jako testovací signál použito harmonické kmitání; v tomto případě je taková přenosová charakteristika obvodu určena jako frekvence charakteristika, která je základem frekvenční metody analýzy;

PROTI) operátor metoda, ve které je použit Laplaceův transformační aparát, v důsledku čehož kontrolní místnost přenosová charakteristika obvodu, protože operátorská metoda používá signál ve tvaru e pt, Kde p=s + jw, pak při výměně v přenosové charakteristice operátora p na jw získá se charakteristika frekvenčního přenosu, navíc, jak bude ukázáno níže, originál z přenosové charakteristiky operátora je impulsní odezva obvodu.

Proto je možné klasifikovat metody pro analýzu průchodu komplexních signálů dál

A) frekvence, které se používají hlavně pro analýzu ustálených procesů;

b) dočasný, využívající přechodovou nebo impulsní odezvu obvodu, používané v případech rychle se měnících (pulzních) signálů, kdy jsou přechodové jevy v obvodu důležité.

Při analýze průchodu signálů úzkopásmovými selektivními obvody lze stejné metody použít nikoli pro okamžité hodnoty signálu, ale pro pomalu se měnící obálku.

Cíl práce: Získat primární dovednosti ve studiu statistických charakteristik náhodných signálů. Experimentálně určete zákony distribuce náhodných signálů na výstupu lineárních a nelineárních rádiových obvodů.

STRUČNÉ TEORETICKÉ INFORMACE

1. Klasifikace rádiových obvodů

Rádiové obvody používané pro převod signálu jsou velmi rozmanité svým složením, strukturou a charakteristikami. V procesu jejich vývoje a analytického výzkumu jsou využívány různé matematické modely splňující požadavky na přiměřenost a jednoduchost. V obecném případě lze jakýkoli rádiový obvod popsat formalizovaným vztahem, který určuje transformaci vstupního signálu x(t) na výstupní signál y(t), který lze symbolicky znázornit jako

y(t) = T,

Kde T je operátor určující pravidlo, podle kterého se vstupní signál převádí.

Jako matematický model rádiového obvodu tedy může posloužit kombinace operátoru T a dvou sad X=(xi(t)) a Y=(yi(t)) signálů na vstupu a výstupu obvodu. že

(yjá(t)) = T(xjá(t)).

Podle typu převodu vstupních signálů na výstupní signály, tedy podle typu operátora T, se radiové obvody klasifikují.

Radiotechnický obvod je lineární, pokud operátor T je takový, že obvod splňuje podmínky aditivity a homogenity, tedy rovnosti

T = T: T = cT

i já

Kde c je konstanta.

Tyto podmínky vyjadřují podstatu principu superpozice, který je vlastní pouze lineárním obvodům.

Fungování lineárních obvodů je popsáno lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními koeficienty. Je charakteristické, že lineární transformace signálu libovolného tvaru není doprovázena výskytem harmonických složek s novými frekvencemi ve spektru výstupního signálu, to znamená, že nevede k obohacení spektra signálu.

Rádiový obvod je nelineární, pokud provozovatel T nezajistí splnění podmínek aditivnosti a homogenity. Fungování takových obvodů je popsáno nelineárními diferenciálními rovnicemi.

Strukturálně lineární obvody obsahují pouze lineární zařízení (zesilovače, filtry, dlouhé vedení atd.). Nelineární obvody obsahují jedno nebo více nelineárních zařízení (generátory, detektory, násobiče, omezovače atd.)

Podle charakteru časové závislosti výstupního signálu na vstupu se rozlišují inerciální a inerciální radiové obvody.

Rádiový obvod, jehož hodnota výstupního signálu y(t) v okamžiku t=t0 závisí nejen na hodnotě vstupního signálu x(t) v tomto okamžiku, ale také na hodnotách x(t) v časech předcházejících volanému okamžiku t0 inerciálnířetěz. Pokud je hodnota výstupního signálu y(t) a moment t=t0 zcela určena hodnotou x(t) současně t0, pak se takový obvod nazývá Bez setrvačnosti.

2. Transformace náhodných procesů v lineárních obvodech

Problém transformace náhodných procesů v lineárních rádiových obvodech je obecně uvažován v následující formulaci. Nechť vstupem lineárního obvodu s frekvenční charakteristikou K(jw) je náhodný proces x(t) s danými statistickými vlastnostmi. Je nutné určit statistické charakteristiky náhodného procesu y(t) na výstupu obvodu. V závislosti na analyzovaných charakteristikách náhodných procesů x(t) a y(t) jsou uvažovány dvě varianty obecného problému:

1. Stanovení energetického spektra a korelační funkce náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu.

2. Stanovení zákonů rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu.

Nejjednodušší je první úkol. Jeho řešení ve frekvenční oblasti je založeno na skutečnosti, že energetické spektrum náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu Wy(w) ve stacionárním režimu je rovno energetickému spektru vstupního procesu Wx(w) vynásobené druhá mocnina modulu frekvenční charakteristiky obvodu, tzn

wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Je známo, že energetické spektrum Wx(w) náhodného procesu x(t) s matematickým očekáváním mx=0 souvisí s jeho kovarianční funkcí Bx(t) pomocí Fourierových transformací, tzn.

Wx(W)= VX(T) E— JWTDT

VX(T)= Wx(W) EjWTDW.

Proto lze kovarianční funkci Вy(t) náhodného procesu na výstupu lineárního obvodu určit následovně:

VY(T)= wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)= BY(T)+ Mya.

V tomto případě se rozptyl Dy a matematické očekávání my výstupního náhodného procesu rovnají

Dy= Ry(0)= Šx(š)) │K(jw)│adw

Můj= Mx∙ K(0) .

Kde mx je matematické očekávání vstupního náhodného procesu:

K (0) - koeficient přenosu lineárního obvodu pro stejnosměrný proud, tzn

K(0)= K(Jw)/ W=0

Vzorce (1,2,3,4) jsou ve skutečnosti kompletním řešením problému ve frekvenční oblasti.

Metoda řešení druhého problému, která by umožnila přímo najít hustotu pravděpodobnosti procesu y(t) na výstupu lineárního inerciálního obvodu z dané hustoty pravděpodobnosti procesu x(t) na vstupu, ano obecně neexistují. Problém je řešen pouze pro některé speciální případy a pro náhodné procesy s Gaussovým (normálním) zákonem rozdělení, stejně jako pro Markovovy náhodné procesy.

Při aplikaci na proces s normálním distribučním zákonem je řešení zjednodušeno na základě toho, že distribuční zákon se během lineární transformace takového procesu nemění. Protože normální proces je zcela určen matematickým očekáváním a korelační funkcí, k nalezení hustoty pravděpodobnosti procesu stačí vypočítat jeho matematické očekávání a korelační funkci.

Zákon rozdělení pravděpodobnosti signálu na výstupu lineárního bezinerciálního obvodu se ve funkčním smyslu shoduje se zákonem rozdělení vstupního signálu. Mění se pouze některé jeho parametry. Pokud tedy lineární obvod bez setrvačnosti implementuje funkční transformaci tvaru y(t) = a x(t) + b, kde a a b jsou konstantní koeficienty, pak hustota pravděpodobnosti p(y) náhodného procesu na výstupu obvod je určen známým funkčním transformačním vzorcem náhodné procesy

P(Y)= =

Kde p(x) je hustota pravděpodobnosti náhodného procesu x(t) na vstupu obvodu.

V některých případech lze problém stanovení pravděpodobnostních charakteristik náhodného procesu na výstupu inerciálních obvodů přibližně vyřešit pomocí efektu normalizace náhodného procesu inerciálními soustavami. Působí-li negaussovský proces x(t1) s korelačním intervalem tk na inerciální lineární obvod s časovou konstantou t»tk (v tomto případě je šířka energetického spektra náhodného procesu x(t) větší než šířce pásma obvodu), pak se proces y(t) na výstupu takového obvodu blíží Gaussovu, jak se poměr t/tk zvyšuje. Tento výsledek se nazývá efekt normalizace náhodného procesu. Účinek normalizace je tím silnější, čím užší je šířka pásma obvodu.

3. Transformace náhodných procesů v nelineárních obvodech

Nelineární inerciální transformace jsou uvažovány při analýze nelineárních obvodů, jejichž setrvačnost při daných vlivech nelze zanedbat. Chování takových obvodů je popsáno nelineárními diferenciálními rovnicemi, pro které neexistují obecné metody jejich řešení. Proto jsou problémy spojené se studiem nelineárních inerciálních transformací náhodných procesů téměř vždy řešeny přibližně pomocí různých umělých metod.

Jednou z těchto technik je reprezentovat nelineární inerciální obvod jako kombinaci lineárních inerciálních a nelineárních inerciálních obvodů. Úkol studovat dopad náhodných procesů na lineární řetězec byl zvažován výše. Ukázalo se, že v tomto případě je poměrně jednoduché určit spektrální hustotu (neboli korelační funkci) výstupního signálu, ale je obtížné určit distribuční zákon. V nelineárních inertiazních obvodech spočívá hlavní problém v nalezení korelační funkce. Zároveň neexistují žádné obecné metody pro analýzu dopadu náhodných signálů na nelineární obvody. Jsou omezeny na řešení některých konkrétních problémů praktického zájmu.

3.1. Statistické charakteristiky náhodného procesu na výstupu nelineárních obvodů

Uvažujme transformaci náhodného procesu s jednorozměrnou hustotou pravděpodobnosti nelineárním bez setrvačnosti řetězcem s charakteristikou

Y= f(x).

Je zřejmé, že jakákoliv implementace náhodného procesu x(t) je transformována do odpovídající implementace nového náhodného procesu y(t), tzn.

y(t)=F[ X(T)] .

A. Definice distribučního zákona náhodného procesu y(t)

Nechť je známa hustota pravděpodobnosti p(x) náhodného procesu x(t). Je nutné určit hustotu pravděpodobnosti p(y) náhodného procesu y(t). Podívejme se na tři typické případy.

1. Funkce y= f(x) nelineárního obvodu definuje korespondenci jedna ku jedné mezi x(t) a y(t). Věříme, že existuje inverzní funkce x= j(y), která také definuje korespondenci jedna ku jedné mezi y(t) a x(t). V tomto případě je pravděpodobnost nalezení realizace náhodného procesu x(t) v intervalu (x0, x0+dx) rovna pravděpodobnosti nalezení realizace náhodného procesu y(t)=f v intervalu (y0, y0+dу) s y0= f(x0) a y0+dy= f(x0+dx), tzn.

P(X) Dx= P(Y) Dy

Proto,

P(Y)= .

Derivace se bere v absolutní hodnotě, protože hustota pravděpodobnosti p(y) > 0, zatímco derivace může být záporná.

2. Inverzní funkce x \u003d j (y) je nejednoznačná, to znamená, že jedna hodnota y odpovídá několika hodnotám x. Nechť například hodnota y1=y0 odpovídá hodnotám x= x1, x2,…,xn.

Pak skutečnost, že y0 ≤ y(t) ≤ y0+dy implikuje jednu z n vzájemně neslučitelných možností

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx nebo X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, nebo… xn≤ X(T)≤ xn+ Dx.

Použitím pravidla sčítání pravděpodobností dostaneme

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= xn

3, Charakteristika nelineárního prvku y= f(x) má jeden nebo více vodorovných řezů (úseky, kde y= konst.). Pak ten výraz

P(Y)=

Měl by být doplněn o člen, který zohledňuje pravděpodobnost, že y(t) zůstane v intervalu, kde y= konst.

Nejjednodušší způsob, jak zvážit tento případ, není příklad.

Nechť funkce y \u003d f (x) má tvar znázorněný na obr. 1 a vzorec

Rýže. 1 Vliv náhodného procesu na oboustranný omezovač.

v x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

A hustota pravděpodobnosti

P1(y) = P1∙δ(y).

Argumentujeme-li obdobně pro případ x(t) > b, dostaneme

Pa= P= P= P(x)dx,

pa(Y) = Pa∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Pro případ a≤ x≤ b platí vzorec

Pa(Y) =

/0≤ Y≤ C

Obecně je hustota pravděpodobnosti výstupního procesu určena výrazem

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Pa∙ δ (Y— C)+ .

Všimněte si, že pro získání konečného výrazu je nutné převést funkční závislosti p(x) a dy/dx, což jsou funkce x, na funkce y pomocí inverzní funkce x = j(y). Problém určení hustoty distribuce náhodného procesu na výstupu nelineárního inertiazního obvodu je tedy řešen analyticky pro poměrně jednoduché charakteristiky y = f(x).

C. Určení energetického spektra a korelační funkce náhodného procesu y(t)

Není možné přímo určit energetické spektrum náhodného procesu na výstupu nelineárního obvodu. Existuje pouze jedna metoda - určení korelační funkce signálu na výstupu obvodu a poté použití přímé Fourierovy transformace pro určení spektra.

Pokud stacionární náhodný proces x(t) vstupuje na vstup nelineárního inertiazního obvodu, pak korelační funkce náhodného procesu y(t) na výstupu může být reprezentována jako

Ry(T)= Podle(T)- Můj2 ,

Kde By(t) je kovarianční funkce;

my je matematické očekávání náhodného procesu y(t). Kovarianční funkce náhodného procesu je statisticky zprůměrovaný součin hodnot náhodného procesu y(t) v časech t a t+t, tzn.

Podle(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Pro realizace náhodného procesu y(t) je součin y(t)∙y(t+t) číslo. Pro proces jako soubor realizací tvoří tento součin náhodnou veličinu, jejíž rozdělení je charakterizováno dvourozměrnou hustotou pravděpodobnosti p2 (y1, y2, t), kde y1= y(t), ya= y(t+t ). Všimněte si, že proměnná t se v posledním vzorci neobjevuje, protože proces je stacionární - výsledek nezávisí na t.

Pro danou funkci p2 (y1, y2, t) se operace průměrování přes množinu provádí podle vzorce

Podle(T)=Y1∙y2∙p2 (y1, y2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Očekávaná hodnota my je dána následujícím výrazem:

Můj= Y∙ P(Y) Dy.

Uvážíme-li, že p(y)dy = p(x)dx, dostaneme

Můj= F(X)∙ P(X) Dx.

Energetické spektrum výstupního signálu se v souladu s Wiener-Khinchinovou větou nachází jako přímá Fourierova transformace kovarianční funkce, tj.

wy(W)= Podle(T) E— JWTDT

Praktická aplikace této metody je obtížná, protože dvojitý integrál pro By(t) nelze vždy vypočítat. Je nutné používat různé zjednodušující metody související se specifiky řešeného problému.

3.2. Vliv úzkopásmového šumu na amplitudový detektor

Ve statistické radiotechnice se rozlišují širokopásmové a úzkopásmové náhodné procesy.

Nechť ∆fe je šířka energetického spektra náhodného procesu, určená vzorcem (obr. 2.)

Rýže. 2. Šířka energetického spektra náhodného procesu

Úzkopásmový náhodný proces je proces, pro který ∆fe «f0 , kde f0 je frekvence odpovídající maximu energetického spektra. Náhodný proces, jehož šířka energetického spektra nesplňuje tuto podmínku, je širokopásmové připojení.

Úzkopásmový náhodný proces je zvykem představovat jako vysokofrekvenční kmit s pomalu se měnící (oproti kmitání na kmitočtu f0) amplitudou a fází, tzn.

X(t)=A(t)*cos,

Kde A(t) = √x2(t) + z2(t),

J(t) = arctan,

z(t) je tedy Hilbertova konjugovaná funkce původní funkce x(t).

z(t)= —DT

Všechny parametry tohoto kmitání (amplituda, frekvence a fáze) jsou náhodné funkce času.

Amplitudový detektor, který je nedílnou součástí přijímací cesty, je kombinací nelineárního bezinerciálního prvku (například diody) a inerciálního lineárního obvodu (dolnopropustný filtr). Napětí na výstupu detektoru reprodukuje obálku amplitud vysokofrekvenčního kmitání na vstupu.

Nechť vstup amplitudového detektoru přijímá úzkopásmový náhodný signál (například z výstupu IF, který má úzkou šířku pásma vzhledem k mezifrekvenci), který má vlastnosti ergodického náhodného procesu s normálním rozdělením. zákon. Je zřejmé, že signál na výstupu detektoru bude obálkou vstupního náhodného signálu, což je také náhodná funkce času. Je dokázáno, že tato obálka, tedy obálka úzkopásmového náhodného procesu, je charakterizována hustotou pravděpodobnosti zvanou Rayleighovo rozdělení a má tvar:

Kde A jsou hodnoty obálky;

Sx2 je rozptyl náhodného signálu na vstupu detektoru.

Graf Rayleighova rozdělení je na obr.3.

Obr.3. Rayleighův distribuční diagram

Funkce p(A) má maximální hodnotu rovnou

Když A = sx. To znamená, že A = sx je nejpravděpodobnější hodnota obálky.

Matematické očekávání obálky náhodného procesu

MA= = =

Obálka úzkopásmového náhodného procesu s normálním distribučním zákonem je tedy náhodná funkce času, jejíž hustotu rozdělení popisuje Rayleighův zákon.

3.3. Zákon rozdělení obálky součtu harmonického signálu a úzkopásmového náhodného šumu

Problém určení zákona rozdělení obálky součtu harmonického signálu a úzkopásmového náhodného šumu vyvstává při analýze procesu lineární detekce v radarových a komunikačních systémech pracujících za podmínek, kdy vnitřní nebo vnější šum je úměrný úrovni s užitečný signál.

Nechť na vstup přijímače dorazí součet harmonického signálu a(t)=E∙cos(wt) a úzkopásmového šumu x(t)=A(t)∙cos se zákonem normálního rozdělení. Celková oscilace v tomto případě může být zapsána

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(hm)+ A(T)∙ Cos[ hm+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Cos(J(T))]∙coS(hm)- A(T)∙ Hřích(J(T))∙ Hřích(hm)= U(T)∙ Cos[ hm+ J(T)],

Kde U(t) a j(t) jsou obálka a fáze celkového signálu, definované pomocí výrazů

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Když celková oscilace u(t) působí na amplitudový detektor, vytvoří se na jeho výstupu obálka. Hustota pravděpodobnosti p(U) této obálky je určena vzorcem

P(U)= (5)

Kde sxa je rozptyl šumu x(t);

I0 - Besselova funkce nultého řádu (upravená).

Hustota pravděpodobnosti definovaná tímto vzorcem se nazývá zobecněný Rayleighův zákon nebo Riceův zákon. Grafy funkce p(U) pro několik hodnot poměru signálu k šumu E/sx jsou na obr.4.

V nepřítomnosti užitečného signálu, to znamená, když E/sx=0, výraz (5) nabývá tvaru

P(U)=

To znamená, že obálka výsledného signálu je v tomto případě rozdělena podle Rayleighova zákona.

Obr.4. Grafy zobecněného Rayleighova distribučního zákona

Pokud amplituda užitečného signálu překračuje střední kvadraturu šumu, tj. E/sx»1, pak při U≃Е lze použít asymptotickou reprezentaci Besselovy funkce s velkým argumentem, tzn.

≃≃.

Dosazením tohoto výrazu do (5) máme

P(U)= ,

To znamená, že obálka výsledného signálu je popsána zákonem normálního rozdělení s rozptylem sx2 a matematickým očekáváním E. V praxi se má za to, že již při E/sx=3 je obálka výsledného signálu normalizována.

4. Experimentální stanovení zákonů rozdělení náhodných procesů

Jednou z metod experimentálního určení distribuční funkce náhodného procesu x(t) je metoda založená na použití pomocné náhodné funkce z(t) tvaru

Kde x je hodnota funkce x(t), pro kterou se vypočítá z(t).

Jak vyplývá ze sémantického obsahu funkce z(t), její statistické parametry jsou určeny parametry náhodného procesu x(t), neboť ke změnám hodnot z(t) dochází v okamžicích, kdy náhodná proces x(t) prochází úrovní x. Pokud je tedy x(t) ergodický náhodný proces s distribuční funkcí F(x), pak funkce z(t) bude také popisovat ergodický náhodný proces se stejnou distribuční funkcí.

Obrázek 5 ukazuje implementace náhodných procesů x(t) a z(t), které ilustrují zřejmost vztahu

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Obr.5 Implementace náhodných procesů x(t), z(t), z1(t) Obr.

Matematické očekávání (statistický průměr) funkce z(t), která má dvě diskrétní hodnoty, se určí podle vzorce (viz tabulka 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

Na druhou stranu pro ergodický náhodný proces

Tím pádem,

Analýzou tohoto výrazu můžeme dojít k závěru, že zařízení pro měření distribuční funkce ergodického náhodného procesu x(t) musí obsahovat diskriminátor úrovní, aby získal náhodný proces popsaný funkcí z(t) v souladu s výrazem (6), a integrátor, vyrobený například ve formě dolní propusti.

Metoda experimentálního stanovení hustoty distribuce náhodného procesu x(t) je v podstatě podobná té, kterou jsme uvažovali výše. V tomto případě pomocná náhodná funkce z1(t) formuláře

Matematické očekávání funkce z1(t), která má dvě diskrétní hodnoty (obr. 5), se rovná

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

S přihlédnutím k ergodičnosti náhodného procesu popsaného funkcí z1(t) můžeme psát

Tím pádem,

Je známo že

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Proto,

Zařízení pro měření hustoty rozdělení ergodického náhodného procesu x(t) má tedy stejnou strukturu a složení jako zařízení pro měření distribuční funkce.

Přesnost měření F(x) a p(x) závisí na délce pozorovacího intervalu a kvalitě integrační operace. Je zcela zřejmé, že v reálných podmínkách se dostaneme Hodnocení distribuční zákony, protože průměrovací (integrační) čas je konečný. Vraťme se k výrazu (6) a Obr. 5. všimněte si toho

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Kde ∆ t1 je 1. časový interval, kdy funkce x(t) zůstane pod hladinou x, tedy časový interval, kdy funkce z(t)=l.

Platnost tohoto vzorce je určena geometrickým významem určitého integrálu (plocha obrazce ohraničená funkcí z(t) a segmentem (0, T) časové osy).

Tak se dá psát

To znamená, že distribuční funkce náhodného procesu x(t) je rovna relativnímu času strávenému implementací procesu v intervalu -¥< x(t) < х.

Argumentovat podobně, jeden může dostat

Kde ∆ t1 je 1. časový interval, kdy funkce x(t) zůstane uvnitř (x, x + ∆x).

Při praktické realizaci uvažované metody experimentálního stanovení distribučních zákonů náhodného procesu je analyzován náhodný signál x(t) v rámci změny jeho okamžitých hodnot z xmin na xmax (obr. 6). V těchto mezích je soustředěna hlavní množina (v pravděpodobnostním smyslu) okamžitých hodnot procesu x(t).

Hodnoty xmin a xmax jsou voleny na základě požadované přesnosti měření distribuce zákonů. V tomto případě budou studovány zkrácené distribuce, takže

F(xmin)+<<1.

Celý rozsah (xmin, xmax) hodnot x(t) je rozdělen do N stejných intervalů ∆x, tzn.

XMax— xmin= N∙∆ X.

Rýže. 6. Distribuční funkce (a), hustota pravděpodobnosti (b) a realizace (c) náhodného procesu x(t)

Intervaly definují šířku diferenciálních koridorů, ve kterých se provádí měření. Stanoví se odhad pravděpodobnosti

Pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Zůstatky realizace x(t) v rámci diferenciálního koridoru s průměrnou hodnotou x(t) v něm rovnou xi. Odhad Рi* je stanoven jako výsledek měření relativní doby zdržení realizace x(t) v každém z diferenciálních koridorů, tzn.

Pi*=1/T Zi(t)dt=,

I = 1,…,N.

Vzhledem k tomu

Pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Je možné určit odhady hustoty distribuce v každém z diferenciálních koridorů

Pi* (X)= Pi*/∆ X.

Ze získaných výsledků, tj. hodnot pi*(x), xi, ∆x, je sestrojena stupňovitá křivka p*(x), která se nazývá histogram distribuční hustoty (viz obr. 7).

Obr.7. Histogram hustoty distribuce

Plocha pod každým fragmentem histogramu v rámci ∆x je číselně rovna ploše, kterou zabírá křivka skutečného rozdělení p(x) v daném intervalu.

Počet N diferenciálních koridorů by měl být v rozmezí 10…20. Další nárůst jejich počtu nevede k přesnějšímu zákonu p(x), neboť s rostoucím N klesá hodnota intervalu ∆x, což zhoršuje podmínky pro přesné měření ∆ti.

Získané výsledky nám umožňují vypočítat odhady matematického očekávání a rozptylu náhodného procesu x(t)

Mx* = Xi∙ Pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Pi* .

Při počítání Mx* A Dx* podle těchto vzorců se počítá s tím, že pokud hodnota realizace náhodného procesu x(t) spadá do 1. diferenciálního koridoru, pak se jí přiřadí hodnota a (střed diferenciálního koridoru).

Uvažovaná metoda pro stanovení zákonitostí rozdělení náhodných procesů je základem pro práci statistického analyzátoru použitého v této laboratorní práci.

POPIS NASTAVENÍ LABORATOŘE

Studium zákonů rozdělení náhodných signálů se provádí pomocí laboratorního uspořádání, které zahrnuje uspořádání laboratoře, statistický analyzátor a osciloskop S1-72 (obr. 8).

Obr.8. Schéma uspořádání laboratoře

Laboratorní model provádí tvorbu a transformaci náhodných signálů, zajišťuje jejich statistickou analýzu, konstrukci histogramů zákonů rozdělení a grafické zobrazení těchto zákonů na indikátoru statistického analyzátoru. Obsahuje následující funkční jednotky:

A. Blok generátorů signálu. Generuje čtyři různé náhodné signály.

— Signál x1(t)= A∙sin je harmonické kmitání s náhodnou počáteční fází, jehož distribuční zákon je Jednotný v intervalu 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Hustota pravděpodobnosti okamžitých hodnot takového signálu je

— Signál x2(t) — pilovité periodické napětí s konstantní amplitudou A a parametrem náhodného posunu q, distribuční zákon
koho Jednotný v intervalu , kde Т0 je perioda signálu, tj. hustota pravděpodobnosti je rovna

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Hustota pravděpodobnosti okamžitých hodnot takového signálu je určena výrazem

— Signál x3(t) — náhodný signál se zákonem normálního rozdělení (Gaussův zákon) okamžitých hodnot, tzn.

Pa(X)= ,

Kde mx, sx jsou matematické očekávání a rozptyl náhodného signálu x3(t).

— Signál x4(t) — náhodný oříznutý signál, což je sekvence obdélníkových pulzů konstantní amplitudy A a náhodného trvání, vyskytujících se v náhodných časech. Takový signál se objeví na výstupu ideálního omezovače, když na jeho vstupu působí náhodný proces s normálním rozdělením. Transformační charakteristika má tvar

Kde x je úroveň omezení.

Náhodný proces x4(t) tedy nabývá dvou hodnot (A a - A) s pravděpodobnostmi

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Kde F3(x) je zákon integrálního rozdělení náhodného procesu x3(t).

Vzhledem k výše uvedenému je hustota pravděpodobnosti oříznutého signálu

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Obrázek 9 ukazuje implementace každého z náhodných signálů generovaných iterátorem laboratorního uspořádání a jejich hustotu pravděpodobnosti.

Tyto signály, z nichž každý je charakterizován svou vlastní hustotou distribuce, lze aplikovat na vstupy typických prvků radiotechnických zařízení za účelem transformace a studia zákonitostí distribuce signálů na jejich výstupech.

B. Lineární směšovač signálu. Tvoří součet dvou náhodných signálů xi(t) a x1(t) přiváděných na jeho vstupy v souladu se vztahem

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Kde R je koeficient nastavený knoflíkem potenciometru v rozmezí 0…1.

Používá se ke studiu zákonů rozdělení součtu dvou náhodných signálů.

V. Zásuvky pro připojení různých čtyřpólů - funkční měniče. Sada laboratorního nastavení obsahuje 4 funkční měniče (obr. 10).

Rýže. 9. Realizace náhodných procesů x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) a jejich hustoty pravděpodobnosti

Zesilovač - omezovač (omezený) s převodní charakteristikou

Kde Ul, U2 jsou dolní a horní meze, v tomto pořadí;

k je koeficient rovný tg sklonu převodní charakteristiky.

Provádí nelineární převod vstupních signálů bez setrvačnosti.

Úzkopásmový filtr (F1) s rezonanční frekvencí f0=20 kHz. Používá se k vytvoření úzkopásmových náhodných procesů s distribučním zákonem blízkým normálu.

Typická cesta přijímače pro AM oscilace (úzkopásmový filtr F1 - lineární detektor D - dolní propust F2). Provádí tvorbu obálky úzkopásmového náhodného signálu při lineární detekci.

Konstrukčně jsou uvažované funkční měniče provedeny ve formě výměnných bloků malých rozměrů.

Jako další funkční převodník je použit "ideální" zesilovač - limiter (elektronický klíč), který je součástí bloku generátoru rozvržení signálu. Poskytuje vytvoření oříznutého signálu, který je nelineárním převodníkem bez setrvačnosti vstupního náhodného signálu.

Rýže. 10. Měniče funkcí

G. odpovídající zesilovač. Poskytuje přizpůsobení rozsahu hodnot studovaného signálu a amplitudového rozsahu statistického analyzátoru. Koordinace se provádí potenciometry "Gain" a "Offset", když je přepínač P1 (obr. 8) nastaven do polohy "Calibration".

Přizpůsobovací zesilovač se také používá jako funkční převodník (s výjimkou čtyř diskutovaných výše), který poskytuje lineární transformaci bez setrvačnosti podle vzorce

Y(T)= A∙ X(T)= B,

Kde a je zesílení nastavené knobem "Gain";

b je konstantní složka signálu, nastavená knoflíkem "Offset".

Blok analyzátoru znázorněný ve schématu na obr. 8 není v této práci použit jako součást návrhu. Laboratorní uspořádání umožňuje použití digitálního statistického analyzátoru, vyrobeného jako samostatné zařízení.

D. Digitální statistický analyzátor se používá k měření a vytváření zákonů distribuce hodnot signálu aplikovaných na jeho vstup. Analyzátor funguje následovně.

Přepnutí analyzátoru do režimu měření se provádí tlačítkem "Start". Doba měření je 20s. Během této doby se odebírají vzorky hodnot vstupního signálu (v náhodných časech), jejichž celkový počet N je 1 milion. Vzorky jsou diskretizovány podle úrovně tak, aby každý z nich spadal do jednoho z 32 intervalů (tzv. diferenciální koridory nebo intervaly seskupení).vzorkové hodnoty). Intervaly jsou číslovány od 0 do 31, jejich šířka je 0,1 V a spodní hranice 0. intervalu je 0 V, horní hranice 31. intervalu je +3,2 V. Během doby měření se počítá počet odečtů. ni spadající do každého intervalu. Výsledek měření je zobrazen jako distribuční histogram na obrazovce monitoru, kde horizontální osa mřížky měřítka je osa hodnot signálu v rozmezí 0…+3,2 V, vertikální osa relativních frekvencí ni/N, i = 0,1…31.

Pro čtení výsledků měření v digitální podobě slouží digitální indikátor, který zobrazuje číslo zvoleného intervalu a odpovídající frekvenci (odhad pravděpodobnosti) ni/N. Výčet čísel intervalů pro digitální indikátor se provádí přepínačem "Interval". Zároveň je vybraný interval označen značkou na obrazovce monitoru.

Přepínač "Multiplier" umožňuje vybrat měřítko histogramu vhodné pro pozorování podél svislé osy.

Při provádění této práce musí být přepínač rozsahu vstupního napětí analyzátoru (rozsah převodu analogově na digitální) nastaven do polohy 0 ... +3,2 V. Před každým měřením postupně stiskněte tlačítka "Reset" a "Start". (po stisknutí tlačítka "Reset" se paměťové zařízení vynuluje a výsledky předchozího měření se přepíší do paměti zásobníku, ze které je lze vyvolat přepínačem "Page").