Faktorizace polynomů. Vyjmutí společného faktoru ze závorek. Vyjmutí běžného násobitele ze závorek - Knowledge Hypermarket

Definice 1

Nejprve si připomeňme pravidla pro násobení jednočlenu jednočlenem:

Chcete-li vynásobit monočlen monočlenem, musíte nejprve vynásobit koeficienty monočlenů a poté pomocí pravidla násobení mocnin se stejným základem vynásobit proměnné obsažené v monočlenech.

Příklad 1

Najděte součin monočlenů $(2x)^3y^2z$ a $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Řešení:

Nejprve vypočítáme součin koeficientů

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ v této úloze jsme použili pravidlo násobení čísla zlomkem - pro vynásobení celého čísla zlomkem je potřeba vynásobte číslo čitatelem zlomku a jmenovatel ponechte nezměněný

Nyní použijeme hlavní vlastnost zlomku – čitatel a jmenovatel zlomku lze vydělit stejným číslem, odlišným od $0$. Vydělte čitatele a jmenovatele tohoto zlomku $2$, tj. zmenšíte daný zlomek o $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\ \frac (3) (2) $

Výsledný výsledek se ukázal jako nesprávný zlomek, tedy takový, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel.

Transformujme tento zlomek pomocí extrahování části celého čísla. Připomeňme, že k izolaci celočíselné části je nutný neúplný podíl, který získáme dělením čitatele jmenovatelem, zapište jako celočíselnou část, zbytek dělení na čitatele zlomkové části, dělitel na jmenovatel.

Našli jsme koeficient budoucího produktu.

Nyní budeme postupně násobit proměnné $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Zde jsme použili pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Výsledkem násobení monomií pak bude:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Pak na základě toto pravidlo můžete provést následující úkol:

Příklad 2

Reprezentujte daný polynom jako součin polynomu a monomiu $(4x)^3y+8x^2$

Každý z monočlenů, které tvoří polynom, představujeme jako součin dvou monočlenů, abychom vybrali společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu.

Nejprve začneme s prvním monomiálem $(4x)^3y$. Rozložme jeho koeficient na jednoduché faktory: $4=2\cdot 2$. Udělejme totéž s koeficientem druhého monomiálu $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Všimněte si, že dva faktory $2\cdot 2$ jsou zahrnuty v prvním i druhém koeficientu, takže $2\cdot 2=4$ -- toto číslo bude zahrnuto do obecného monomiálu jako koeficient

Nyní si všimněme, že v prvním je monomiální $x^3$ a ve druhém stejná proměnná v mocnině $2:x^2$. Proto je vhodné reprezentovat proměnnou $x^3$ takto:

Proměnná $y$ je obsažena pouze v jednom členu polynomu, což znamená, že nemůže být zahrnuta do obecného monočlenu.

Představme si první a druhý monomiál vstupující do polynomu jako součin:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Všimněte si, že společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu, je $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nyní použijeme distributivní zákon násobení, pak lze výsledný výraz reprezentovat jako součin dvou faktorů. Jedním z faktorů bude společný faktor: $4x^2$ a druhým bude součet zbývajících faktorů: $xy + 2$. Prostředek:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Tato metoda se nazývá faktorizace vyjmutím společného faktoru.

Společný násobitel v tento případ působil monomiální $4x^2$.

Algoritmus

Poznámka 1

Najděte největšího společného dělitele koeficientů všech monočlenů zahrnutých v polynomu - bude to koeficient společného monočlenu, který vyjmeme ze závorek

Společným faktorem bude monomiál tvořený koeficientem uvedeným v položce 2, proměnnými uvedenými v položce 3. který lze označit jako společný faktor.

Příklad 3

Vyjměte společný faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Řešení:

Najdeme k tomu GCD koeficientů, koeficienty rozložíme na jednoduché faktory

$45=3\cdot 3\cdot 5$

A najdeme produkt těch, které vstupují do expanze každého z nich:

Identifikujte proměnné, které jsou součástí každého monomiálu, a vyberte proměnnou s nejmenším exponentem

$a^3=a^2\cdot a$

Proměnná $b$ vstupuje pouze do druhého a třetího monomiálu, což znamená, že nebude vstupovat do společného faktoru.

Sestavme monomiál složený z koeficientu nalezeného v položce 2, proměnných nalezených v položce 3, dostaneme: $3a$- to bude společný faktor. Pak:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

V rámci studia identických transformací je velmi důležité téma vyjmutí společného činitele ze závorek. V tomto článku si vysvětlíme, co přesně tato transformace je, odvodíme základní pravidlo a rozebereme typické příklady problémů.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept vyloučení závorek

Abyste tuto transformaci úspěšně použili, musíte vědět, pro jaké výrazy se používá a jaký výsledek chcete získat. Pojďme si tyto body vysvětlit.

Společný faktor můžete vyjmout z hranatých závorek ve výrazech, které jsou součty, ve kterých je každý výraz součinem a v každém součinu je jeden součinitel, který je společný (stejný) pro všechny. Tomu se říká společný faktor. To je to, co vyjmeme ze závorek. Takže pokud máme práce 5 3 A 5 4, pak můžeme vyjmout společný faktor 5 ze závorek.

Co je to za transformaci? V jejím průběhu představujeme původní výraz jako součin společného činitele a výraz v závorce obsahující součet všech původních členů kromě společného činitele.

Vezměme si příklad výše. Vyjmeme společný faktor 5 palců 5 3 A 5 4 a získejte 5 (3 + 4) . Výsledný výraz je součin společného faktoru 5 a výrazu v závorkách, což je součet původních členů bez 5 .

Tato transformace je založena na distributivní vlastnosti násobení, kterou jsme již dříve studovali. V doslovné formě to může být zapsáno jako a (b + c) = a b + a c. Změnou pravá strana vlevo uvidíme schéma pro vyjmutí společného faktoru ze závorek.

Pravidlo pro vyjmutí společného faktoru ze závorek

S využitím všeho výše uvedeného odvodíme základní pravidlo pro takovou transformaci:

Definice 1

Pro závorku společného činitele je třeba napsat původní výraz jako součin společného činitele a závorek, které zahrnují původní součet bez společného činitele.

Příklad 1

Vezměme si jednoduchý příklad vykreslování. Máme číselný výraz 3 7 + 3 2 − 3 5, což je součet tří členů 3 · 7 , 3 · 2 a společného činitele 3 . Vezmeme-li jako základ pravidlo, které jsme odvodili, zapíšeme produkt jako 3 (7 + 2 - 5). To je výsledek naší transformace. Zadání řešení vypadá takto: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Faktor ze závorek můžeme vyjmout nejen v číselných, ale i v doslovných výrazech. Například v 3 x − 7 x + 2 můžete vyjmout proměnnou x a získat 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, ve výrazu (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- společný násobitel (x 2 + y) a dostat se na konec (x 2 + y) (x y − x 3).

Ne vždy je možné okamžitě určit, který násobitel je společný. Někdy je třeba výraz předběžně transformovat nahrazením čísel a výrazů součiny, které jsou jim identicky rovné.

Příklad 2

Tedy například ve výrazu 6 x + 4 roky můžete vyjmout společný faktor 2 , který není výslovně napsán. Abychom to našli, musíme transformovat původní výraz, reprezentující šest jako 2 3 a čtyři jako 2 2 . To znamená 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Nebo ve výrazu x 3 + x 2 + 3 x může být ohraničen společným faktorem x , který je nalezen po nahrazení x 3 na x · x 2. Taková transformace je možná díky základním vlastnostem stupně. V důsledku toho dostaneme výraz x (x 2 + x + 3).

Dalším případem, který by měl být řešen samostatně, je bracketing mínus. Pak vyjmeme ne samotné znaménko, ale mínus jedna. Například tímto způsobem transformujme výraz − 5 − 12 x + 4 x y. Přepišme výraz jako (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y aby byl celkový multiplikátor vidět jasněji. Vyjmeme to ze závorek a dostaneme − (5 + 12 x − 4 x y) . Tento příklad ukazuje, že v závorkách je získána stejná částka, ale s opačnými znaménky.

V závěrech poznamenáváme, že transformace vyjmutím společného činitele ze závorek se v praxi velmi často používá například pro výpočet hodnoty racionálních výrazů. Tato metoda je také užitečná, když potřebujete reprezentovat výraz jako součin, například pro rozložení polynomu na samostatné faktory.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Hodina matematiky v 7. třídě

8. Cíle lekce

Pro učitele:

vzdělávací

organizovat vzdělávací aktivity:

Zvládnutím algoritmu pro vysazení společného činitele ze závorek a pochopením logiky jeho konstrukce;

Rozvíjením schopnosti aplikovat algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek

rozvíjející se

vytvářet podmínky pro rozvoj regulačních dovedností:

Stanovte si vlastní cíle vzdělávací aktivity;

Plánujte způsoby, jak dosáhnout cílů;

Porovnejte své akce s plánovanými výsledky;

Monitorovat a vyhodnocovat vzdělávací aktivity na základě výsledků;

Organizovat vzdělávací spolupráci a společné aktivity s učitelem a vrstevníky.

- vzdělávací

Vytvářet podmínky pro utváření odpovědného přístupu k učení;

Vytvářet podmínky pro rozvoj samostatnosti žáků při organizaci a realizaci jejich vzdělávací činnosti.

Vytvořit podmínky pro vlasteneckou výchovu

Vytvořit podmínky pro environmentální výchovu

Pro studenty:

Zvládněte algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek a pochopení logiky jeho konstrukce;

Rozvíjejte dovednosti pro aplikaci algoritmu pro odstranění společného faktoru ze závorek

9. Použité UUD: regulační (stanovení cílů, plánování činnosti, kontrola a hodnocení)

10. Typ lekce: učení nového materiálu

11. Formy studentských prací: čelní, parní, individuální

12. NutnéTechnické vybavení: počítač, projektor, logo lekce, učebnice matematiky, elektronická prezentace made in Power program Bod, leták

Struktura a průběh lekce

Definice 1

Nejprve si připomeňme pravidla pro násobení jednočlenu jednočlenem:

Chcete-li vynásobit monočlen monočlenem, musíte nejprve vynásobit koeficienty monočlenů a poté pomocí pravidla násobení mocnin se stejným základem vynásobit proměnné obsažené v monočlenech.

Příklad 1

Najděte součin monočlenů $(2x)^3y^2z$ a $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Řešení:

Nejprve vypočítáme součin koeficientů

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ v této úloze jsme použili pravidlo násobení čísla zlomkem - pro vynásobení celého čísla zlomkem je potřeba vynásobte číslo čitatelem zlomku a jmenovatel ponechte nezměněný

Nyní použijeme hlavní vlastnost zlomku – čitatel a jmenovatel zlomku lze vydělit stejným číslem, odlišným od $0$. Vydělte čitatele a jmenovatele tohoto zlomku $2$, tj. zmenšíte daný zlomek o $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\ \frac (3) (2) $

Výsledný výsledek se ukázal jako nesprávný zlomek, tedy takový, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel.

Transformujme tento zlomek pomocí extrahování části celého čísla. Připomeňme, že k izolaci celočíselné části je nutný neúplný podíl, který získáme dělením čitatele jmenovatelem, zapište jako celočíselnou část, zbytek dělení na čitatele zlomkové části, dělitel na jmenovatel.

Našli jsme koeficient budoucího produktu.

Nyní budeme postupně násobit proměnné $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Zde jsme použili pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Výsledkem násobení monomií pak bude:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Poté na základě tohoto pravidla můžete provést následující úkol:

Příklad 2

Reprezentujte daný polynom jako součin polynomu a monomiu $(4x)^3y+8x^2$

Každý z monočlenů, které tvoří polynom, představujeme jako součin dvou monočlenů, abychom vybrali společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu.

Nejprve začneme s prvním monomiálem $(4x)^3y$. Rozložme jeho koeficient na jednoduché faktory: $4=2\cdot 2$. Udělejme totéž s koeficientem druhého monomiálu $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Všimněte si, že dva faktory $2\cdot 2$ jsou zahrnuty v prvním i druhém koeficientu, takže $2\cdot 2=4$ -- toto číslo bude zahrnuto do obecného monomiálu jako koeficient

Nyní si všimněme, že v prvním je monomiální $x^3$ a ve druhém stejná proměnná v mocnině $2:x^2$. Proto je vhodné reprezentovat proměnnou $x^3$ takto:

Proměnná $y$ je obsažena pouze v jednom členu polynomu, což znamená, že nemůže být zahrnuta do obecného monočlenu.

Představme si první a druhý monomiál vstupující do polynomu jako součin:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Všimněte si, že společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu, je $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nyní použijeme distributivní zákon násobení, pak lze výsledný výraz reprezentovat jako součin dvou faktorů. Jedním z faktorů bude společný faktor: $4x^2$ a druhým bude součet zbývajících faktorů: $xy + 2$. Prostředek:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Tato metoda se nazývá faktorizace vyjmutím společného faktoru.

Společným faktorem v tomto případě byl monomiální $4x^2$ .

Algoritmus

Poznámka 1

Najděte největšího společného dělitele koeficientů všech monočlenů zahrnutých v polynomu - bude to koeficient společného monočlenu, který vyjmeme ze závorek

Společným faktorem bude monomiál tvořený koeficientem uvedeným v položce 2, proměnnými uvedenými v položce 3. který lze označit jako společný faktor.

Příklad 3

Vyjměte společný faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Řešení:

Najdeme k tomu GCD koeficientů, koeficienty rozložíme na jednoduché faktory

$45=3\cdot 3\cdot 5$

A najdeme produkt těch, které vstupují do expanze každého z nich:

Identifikujte proměnné, které jsou součástí každého monomiálu, a vyberte proměnnou s nejmenším exponentem

$a^3=a^2\cdot a$

Proměnná $b$ vstupuje pouze do druhého a třetího monomiálu, což znamená, že nebude vstupovat do společného faktoru.

Sestavme monomiál složený z koeficientu nalezeného v položce 2, proměnných nalezených v položce 3, dostaneme: $3a$- to bude společný faktor. Pak:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

>>Matematika: Udělování závorek společného faktoru

Před zahájením studia tohoto oddílu se vraťte k § 15. Tam jsme již uvažovali o příkladu, ve kterém bylo požadováno zastupovat polynom jako součin mnohočlenu a jednočlenu. Zjistili jsme, že tento problém není vždy správný. Pokud by se přesto dal takový součin sestavit, pak obvykle říkají, že tvrzení je, že polynom je faktorizován pomocí obecné prohlášení společný faktor mimo závorky. Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 1 Rozložte polynom na faktor:

A) 2x + 6y, c) 4a3 + 6a2; e) 5a 4 - 10a 3 + 15a 8.
b) a3 + a2; d) 12ab4-18a2b3c;

Řešení.
a) 2x + 6y \u003d 2 (x + Zy). Společný dělitel koeficientů členů polynomu byl vyjmut ze závorek.

b) a 3 + a 2 = a 2 (a + 1). Pokud je stejná proměnná zahrnuta ve všech členech polynomu, pak může být uzavřena do stupně rovného nejmenšímu z dostupných indikátorů (tj. je vybrán nejmenší z dostupných indikátorů).

c) Zde použijeme stejnou techniku ​​jako při řešení příkladů a) a b): pro koeficienty najdeme společného dělitele (v tomto případě číslo 2), pro proměnné - nejmenší stupeň k dispozici (v tomto případě 2). Dostaneme:

4a 3 + 6a 2 \u003d 2a 2 2a + 2a 2 3 \u003d 2a 2 (2a + 3).

d) Obvykle se pro celočíselné koeficienty snaží najít nejen společného dělitele, ale největšího společného dělitele. Pro koeficienty 12 a 18 to bude číslo 6. Všimněte si, že proměnná a je zahrnuta v obou členech polynomu, přičemž nejmenší exponent je 1. Proměnná b je také zahrnuta v obou členech polynomu, přičemž nejmenší exponent je 3. Konečně proměnná c je zahrnuta pouze ve druhém členu polynomu a není zahrnuta v prvním členu, což znamená, že tuto proměnnou nelze v žádném rozsahu uzavírat do závorky. V důsledku toho máme:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c \u003d 6ab 3 2b - 6ab 3 Zac \u003d 6ab 3 (2b - Zac).

e) 5a 4 -10a 3 + 15a 8 \u003d 5a 3 (a-2 + pro 2).

Ve skutečnosti jsme v tomto příkladu vyvinuli následující algoritmus.

Komentář . V některých případech je užitečné vyjmout ze závorek jako společný faktor a zlomkový koeficient.

Například:

Příklad 2 Násobit:

X 4 y 3 -2x 3 y 2 + 5x 2.

Řešení. Použijme formulovaný algoritmus.

1) Největší společný dělitel koeficientů -1, -2 a 5 je 1.
2) Proměnná x je obsažena ve všech členech polynomu s exponenty 4, 3, 2; proto může být x 2 v závorce.
3) Proměnná y není zahrnuta ve všech členech polynomu; což znamená, že nemůže být zvýrazněna.

Závěr: můžete vyjmout x 2 ze závorek. Pravda, v tomto případě je účelnější vyjmout závorky -x 2 .

Dostaneme:
-x 4 y 3 -2x 3 y 2 + 5x 2 \u003d - x 2 (x 2 y 3 + 2x 2 - 5).

Příklad 3. Je možné rozdělit polynom 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 na monom 5a 3 ? Pokud ano, proveďte divize.

Řešení. V příkladu 1e) jsme to získali

5a 4 - 10a 3 + 15a 8 - 5a 3 (a - 2 + pro 2).

To znamená, že daný polynom můžeme vydělit 5a 3, přičemž v kvocientu dostaneme a - 2 + For 2.

Podobné příklady jsme uvažovali v § 18; podívejte se na ně, prosím, ještě jednou, ale z hlediska vyjmutí společné násobilky ze závorek.

Faktorizace polynomu pomocí závorek společného faktoru úzce souvisí se dvěma operacemi, které jsme studovali v §§ 15 a 18, násobením polynomu monomiem a dělením polynomu monomiální.

A nyní trochu rozšíříme naše představy o vysazení společného faktoru ze závorek. Jde o to, že někdy algebraický výraz je dán tak, že jako společný faktor může působit nikoli jednočlen, ale součet několika jednočlenů.

Příklad 4 Násobit:

2x(x-2) + 5(x-2)2.

Řešení. Zavedeme novou proměnnou y \u003d x - 2. Pak dostaneme:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2xy + 5y2.

Všimli jsme si, že proměnnou y lze vyjmout ze závorek:

2x + 5y 2 - y (2x + 5y). Nyní zpět ke staré notaci:

y(2x + 5y) = (x-2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2) (2x + 5x-10) = (x-2) (7x:-10).

V takových případech, po získání určitých zkušeností, nemůžete zavést novou proměnnou, ale použijte následující

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = (x - 2) (2x + 5 (x - 2))= (x - 2) (2x + 5x ~ 10) = (x - 2)( 7x - 10).

Kalendář-tematické plánování pro matematiku, video z matematiky online, Matematika ve škole ke stažení

A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce