Vyjmutí obecného faktoru z hranatých závorek 7. Vyjmutí obecného faktoru z hranatých závorek - Knowledge Hypermarket

Definice 1

Nejprve si připomeňme Pravidla pro násobení jednočlenu jednočlenem:

Chcete-li vynásobit monočlen monočlenem, musíte nejprve vynásobit koeficienty monočlenů a poté pomocí pravidla násobení mocnin se stejným základem vynásobit proměnné zahrnuté v monočlenech.

Příklad 1

Najděte součin monočlenů $(2x)^3y^2z$ a $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Řešení:

Nejprve spočítejme součin koeficientů

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ v této úloze jsme použili pravidlo pro násobení čísla zlomkem - pro vynásobení celého čísla zlomkem potřebujete vynásobte číslo čitatelem zlomku a jmenovatele vložte beze změn

Nyní použijeme základní vlastnost zlomku – čitatel a jmenovatel zlomku lze vydělit stejným číslem, odlišným od $0$. Vydělme čitatele a jmenovatele tohoto zlomku $2$, to znamená, že tento zlomek zmenšíme o $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3)(2)$

Výsledný výsledek se ukázal jako nesprávný zlomek, tedy takový, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel.

Transformujme tento zlomek izolováním celé části. Připomeňme si, že k izolaci celočíselné části je nutné zapsat zbytek dělení do čitatele zlomkové části, dělitele do jmenovatele.

Zjistili jsme koeficient budoucího produktu.

Nyní budeme postupně násobit proměnné $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Zde jsme použili pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Výsledkem násobení monomií pak bude:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Pak na základě tohoto pravidla můžete provést následující úkol:

Příklad 2

Představte daný polynom jako součin polynomu a monomiu $(4x)^3y+8x^2$

Představme si každý z monočlenů zahrnutých v polynomu jako součin dvou monočlenů, abychom izolovali společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu.

Nejprve začněme s prvním monomiály $(4x)^3y$. Rozložme jeho koeficient na jednoduché faktory: $4=2\cdot 2$. Totéž uděláme s koeficientem druhého monomiálu $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Všimněte si, že dva faktory $2\cdot 2$ jsou zahrnuty v prvním i druhém koeficientu, což znamená $2\cdot 2=4$ - toto číslo bude zahrnuto do obecného monomiálu jako koeficient

Nyní si všimněme, že v prvním monočlenu je $x^3$ a ve druhém je stejná proměnná na mocninu $2:x^2$. To znamená, že je vhodné reprezentovat proměnnou $x^3$ takto:

Proměnná $y$ je obsažena pouze v jednom členu polynomu, což znamená, že nemůže být zahrnuta do obecného monočlenu.

Představme si první a druhý monočlen zahrnutý v polynomu jako součin:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Všimněte si, že běžný monomial, který bude faktorem v prvním i druhém monomiálu, je $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Nyní použijeme distributivní zákon násobení, pak lze výsledný výraz reprezentovat jako součin dvou faktorů. Jeden z multiplikátorů bude celkový multiplikátor: $4x^2$ a druhý bude součet zbývajících multiplikátorů: $xy + 2$. Prostředek:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Tato metoda se nazývá faktorizace pomocí odčítání společný násobitel.

Společný faktor v v tomto případě byl použit monomiální $4x^2$.

Algoritmus

Poznámka 1

Najděte největšího společného dělitele koeficientů všech monočlenů obsažených v polynomu - bude to koeficient společného faktoru-monomu, který dáme ze závorek

Společným faktorem bude monomiál skládající se z koeficientu uvedeného v odstavci 2 a proměnných uvedených v odstavci 3. který lze vyjmout ze závorek jako společný faktor.

Příklad 3

Vyjměte společný faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Řešení:

Pojďme najít gcd koeficientů, proto je rozložíme na jednoduché faktory

$45=3\cdot 3\cdot 5$

A najdeme produkt těch, které jsou zahrnuty v rozšíření každého:

Identifikujte proměnné, které tvoří jednotlivé monomiály, a vyberte proměnnou s nejmenším exponentem

$a^3=a^2\cdot a$

Proměnná $b$ je zahrnuta pouze ve druhém a třetím monomiálu, což znamená, že nebude zahrnuta do společného faktoru.

Vytvořme monomiál skládající se z koeficientu nalezeného v kroku 2, proměnných nalezených v kroku 3, dostaneme: $3a$ - to bude společný faktor. Pak:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Definice 1

Nejprve si připomeňme Pravidla pro násobení jednočlenu jednočlenem:

Příklad 1

Najděte součin monočlenů $(2x)^3y^2z$ a $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Řešení:

Nejprve spočítejme součin koeficientů

Výsledný výsledek se ukázal jako nesprávný zlomek, tedy takový, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel.

Transformujme tento zlomek izolováním celé části. Připomeňme si, že k izolaci celočíselné části je nutné zapsat zbytek dělení do čitatele zlomkové části, dělitele do jmenovatele.

Zjistili jsme koeficient budoucího produktu.

Nyní budeme postupně násobit proměnné $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Zde jsme použili pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Výsledkem násobení monomií pak bude:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Poté na základě tohoto pravidla můžete provést následující úkol:

Příklad 2

Představte daný polynom jako součin polynomu a monomiu $(4x)^3y+8x^2$

Představme si každý z monočlenů zahrnutých v polynomu jako součin dvou monočlenů, abychom izolovali společný monočlen, který bude faktorem v prvním i druhém monočlenu.

Nyní si všimněme, že v prvním monočlenu je $x^3$ a ve druhém je stejná proměnná na mocninu $2:x^2$. To znamená, že je vhodné reprezentovat proměnnou $x^3$ takto:

Proměnná $y$ je obsažena pouze v jednom členu polynomu, což znamená, že nemůže být zahrnuta do obecného monočlenu.

Představme si první a druhý monočlen zahrnutý v polynomu jako součin:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Všimněte si, že běžný monomial, který bude faktorem v prvním i druhém monomiálu, je $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Tato metoda se nazývá faktorizace vyjmutím společného faktoru.

Společným faktorem v tomto případě byl monomiální $4x^2$.

Algoritmus

Poznámka 1

Najděte největšího společného dělitele koeficientů všech monočlenů obsažených v polynomu - bude to koeficient společného faktoru-monomu, který dáme ze závorek

Společným faktorem bude monomiál skládající se z koeficientu uvedeného v odstavci 2 a proměnných uvedených v odstavci 3. který lze vyjmout ze závorek jako společný faktor.

Příklad 3

Vyjměte společný faktor $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Řešení:

Pojďme najít gcd koeficientů, proto je rozložíme na jednoduché faktory

$45=3\cdot 3\cdot 5$

A najdeme produkt těch, které jsou zahrnuty v rozšíření každého:

Identifikujte proměnné, které tvoří jednotlivé monomiály, a vyberte proměnnou s nejmenším exponentem

$a^3=a^2\cdot a$

Proměnná $b$ je zahrnuta pouze ve druhém a třetím monomiálu, což znamená, že nebude zahrnuta do společného faktoru.

Vytvořme monomiál skládající se z koeficientu nalezeného v kroku 2, proměnných nalezených v kroku 3, dostaneme: $3a$ - to bude společný faktor. Pak:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Lekce algebry v 7. třídě.

Téma: „Vyloučení společného faktoru ze závorek.“

Učebnice Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. atd.

Cíle lekce:

Vzdělávací –

identifikovat úroveň zvládnutí komplexu znalostí a dovedností žáků v používání dovedností násobení a dělení;

rozvíjet schopnost aplikovat faktorizaci polynomu umístěním společného faktoru mimo hranaté závorky;

při řešení rovnic uplatnit odstranění společného činitele ze závorek.

Vývojový –

podporovat rozvoj pozorování, schopnosti analyzovat, porovnávat a vyvozovat závěry;

rozvíjet schopnosti sebeovládání při plnění úkolů.

vzdělávací -

podpora odpovědnosti, aktivity, samostatnosti, objektivního sebevědomí.

Typ lekce: kombinovaný.

Klíčové výsledky učení:

být schopen vyjmout společný faktor ze závorek;

moci uplatnit tato metoda při řešení cvičení.

Hýbat selekce.

1 modul (30 min).

1. Organizace času.

Pozdravy;

příprava studentů na práci.

2. Zkouška domácí práce.

Kontrola dostupnosti (ve službě), diskuse o problémech, které se objevily.

3 . Aktualizace základních znalostí.

N Najděte GCD (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55), (16, 12).

Co je GCD?

Jak se provádí rozdělení pravomocí se stejnými základy?

Jak se provádí násobení mocnin se stejnými základy?

Pro tyto stupně (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Pojmenujte stupeň s nejmenším exponentem, stejné základy, stejné exponenty

Zopakujme si distributivní zákon násobení. Napište to formou dopisu

a (b + c) = ab + ac

* - znak násobení

Dokončete ústní úkoly týkající se použití distribuční vlastnosti. (Připravte se na tabuli).

1) 2*(a + b) 4) (x – 6)*5

2) 3*(x – y) 5) -4*(y + 5)

3) a*(4 + x) 6) -2*(c – a)

Úkoly se píší na uzavřenou tabuli, chlapi řeší a zapisují výsledek na tabuli. Problémy s násobením monočlenu polynomem.

Pro začátek vám nabízím příklad násobení monomiu polynomem:

2 x (x 2 +4 x y – 3) = 2x 3 + 8x 2 roky – 6x Neprat!

Napište pravidlo pro násobení monočlenu polynomem ve formě diagramu.

Na tabuli se objeví poznámka:

Tuto vlastnost mohu zapsat jako:

V této podobě jsme již nahrávku použili jednoduchý způsob výrazové výpočty.

a) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Zbytek je ústní, zkontrolujte odpovědi:

e) 55*682 – 45*682 = 6820

g) 7300*3 + 730*70 = 73000

h) 500*38 – 50*80 = 15000

Jaký zákon vám pomohl najít jednoduchý způsob výpočtu? (Rozdělení)

Distributivní zákon skutečně pomáhá zjednodušit výrazy.

4 . Stanovení cíle a tématu lekce. Slovní počítání. Hádejte téma lekce.

Pracovat v párech.

Karty pro páry.

Ukazuje se, že faktorizace výrazu je inverzní operací násobení jednočlenu po členu polynomem.

Podívejme se na stejný příklad, který student řešil, ale v opačném pořadí. Faktoring znamená vyjmutí společného faktoru ze závorek.

2 x 3 + 8 x 2 y – 6 x = 2 x (x 2 + 4 xy – 3).

Dnes se v lekci podíváme na koncepty faktorizace polynomu a vyjmutí společného faktoru ze závorek a naučíme se tyto koncepty aplikovat při cvičení.

Algoritmus pro vyjmutí společného faktoru ze závorek

Největší společný dělitel koeficientů.

Stejné písmenné proměnné.

Přidejte nejmenší stupeň k odstraněným proměnným.

Pak se do závorek zapisují zbývající monočleny polynomu.

Největší společný dělitel byl nalezen v nižších stupních, společná proměnná v nejmenší míře je vidět okamžitě. A abyste rychle našli polynom zbývající v závorkách, musíte si procvičit používání čísla 657.

5. Primární učení s mluvením nahlas.

č. 657 (1 sloupec)

Modul 2 (30 min).

1. Výsledek prvních 30 minut.

A) Jaká transformace se nazývá faktorizace polynomu?

B) Jaká vlastnost je založena na vyjmutí společného činitele ze závorek?

Q) Jak je společný faktor vyjmut ze závorek?

2. Primární konsolidace.

Výrazy jsou napsány na tabuli. Najděte chyby v těchto rovnosti, pokud existují, a opravte je.

1) 2 x 3 – 3 x 2 – x = x (2 x 2 – 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 y = 4 (2 x - 3 roky).

4) a 6 – a 2 = a 2 (a 2 – 1).

5) 4 -2a = – 2 (2 – a).

3. Prvotní kontrola porozumění.

Práce s autotestem. 2 osoby na zadní strana

Vyjměte společný faktor ze závorek:

Slovně zkontrolujte násobením.

4. Příprava studentů na všeobecnou činnost.

Vyjmeme polynomický faktor ze závorek (vysvětlení učitele).

Faktor polynomu.

V tomto výrazu vidíme, že existuje jeden a tentýž faktor, který lze vyjmout ze závorek. Takže dostáváme:

Výrazy a jsou opačné, takže v některých případech můžete použít tuto rovnost . Znamení měníme dvakrát! Faktor polynomu

Jsou zde opačné výrazy a pomocí předchozí identity dostaneme následující záznam: .

A nyní vidíme, že společný faktor lze vyjmout ze závorek.

V tomto článku se zaměříme na vyjmutí společného faktoru ze závorek. Nejprve si ujasněme, z čeho se tato transformace výrazu skládá. Dále si představíme pravidlo pro umístění společného činitele mimo závorky a podrobně zvážíme příklady jeho použití.

Navigace na stránce.

Například členy ve výrazu 6 x + 4 y mají společný faktor 2, který není výslovně zapsán. Lze to vidět pouze po reprezentaci čísla 6 jako součinu 2,3 a 4 jako součinu 2,2. Tak, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Jiný příklad: ve výrazu x 3 +x 2 +3 x mají členy společný faktor x, který se jasně zviditelní po nahrazení x 3 x x 2 (v tomto případě jsme použili) a x 2 x x. Po vyjmutí ze závorek dostaneme x·(x 2 +x+3) .

Řekněme samostatně o vyřazení mínus ze závorek. Ve skutečnosti, dát mínus ze závorek znamená dát mínus jedna ze závorek. Vyberme například mínus ve výrazu −5−12·x+4·x·y. Původní výraz lze přepsat jako (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, odkud je dobře patrný společný součinitel −1, který vyjmeme ze závorek. V důsledku toho dospějeme k výrazu (−1)·(5+12·x−4·x·y), ve kterém je koeficient −1 nahrazen jednoduše mínusem před závorkami, ve výsledku máme −( 5+12·x−4·x· y) . Odtud je jasně vidět, že když se ze závorek vyjme mínus, v závorkách zůstane původní součet, ve kterém byla znaménka všech jeho členů změněna na opak.

Na závěr tohoto článku poznamenáváme, že závorkování společného faktoru se používá velmi široce. Lze jej například použít k efektivnějšímu výpočtu hodnot číselných výrazů. Vyjmutí společného faktoru z hranatých závorek vám také umožňuje reprezentovat výrazy ve formě součinu; konkrétně jedna z metod faktorizace polynomu je založena na vylučování.

Bibliografie.

Matematika. 6. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya, Vilenkin a další]. - 22. vyd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

V této lekci se seznámíme s pravidly pro vyřazení společného faktoru ze závorek a naučíme se, jak jej v nich najít různé příklady a výrazy. Promluvme si o tom, jak vám jednoduchá operace, vyjmutí společného faktoru ze závorek, umožňuje zjednodušit výpočty. Nabyté znalosti a dovednosti si upevníme pohledem na různé složitosti.

Co je společný faktor, proč jej hledat a za jakým účelem je vyjmut ze závorek? Pojďme si na tyto otázky odpovědět na jednoduchém příkladu.

Pojďme řešit rovnici. Levá strana rovnice je polynom skládající se z podobných členů. Část písmena je pro tyto výrazy společná, což znamená, že bude společným faktorem. Vynechme to ze závorek:

V tomto případě nám vyjmutí společného činitele ze závorek pomohlo převést polynom na monočlen. Dokázali jsme tedy polynom zjednodušit a jeho transformace nám pomohla rovnici vyřešit.

V uvažovaném příkladu byl společný faktor zřejmý, ale bylo by tak snadné ho najít v libovolném polynomu?

Pojďme najít význam výrazu: .

V v tomto příkladu umístění společného faktoru mimo závorky značně zjednodušilo výpočet.

Pojďme vyřešit ještě jeden příklad. Dokažme dělitelnost na výrazy.

Výsledný výraz je dělitelný , jak je požadováno k prokázání. Opět nám použití společného faktoru umožnilo vyřešit problém.

Pojďme vyřešit ještě jeden příklad. Dokažme, že výraz je dělitelný pro libovolné přirozené číslo: .

Výraz je součinem dvou sousedních přirozených čísel. Jedno ze dvou čísel bude určitě sudé, což znamená, že výraz bude dělitelný .

Vyřešili jsme to různé příklady, ale použili stejnou metodu řešení: vyjmuli společný faktor ze závorek. Vidíme, že tato jednoduchá operace značně zjednodušuje výpočty. Bylo snadné najít společný faktor pro tyto speciální případy, ale co dělat v obecném případě, pro libovolný polynom?

Připomeňme, že polynom je součet monočlenů.

Zvažte polynom . Tento polynom je součtem dvou monočlenů. Monomial je součin čísla, koeficientu a části písmene. V našem polynomu je tedy každý monočlen reprezentován součinem čísla a mocnin, součinem faktorů. Faktory mohou být stejné pro všechny monomiály. Právě tyto faktory je třeba určit a vyjmout ze závorky. Nejprve najdeme společný faktor pro koeficienty, které jsou celočíselné.

Bylo snadné najít společný faktor, ale pojďme definovat gcd koeficientů: .

Podívejme se na další příklad: .

Pojďme najít , což nám umožní určit společný faktor pro tento výraz: .

Odvodili jsme pravidlo pro celočíselné koeficienty. Musíte najít jejich gcd a vyjmout ho z držáku. Pojďme si toto pravidlo upevnit řešením ještě jednoho příkladu.

Podívali jsme se na pravidlo pro přiřazení společného faktoru pro celočíselné koeficienty, přejděme k písmenné části. Nejprve hledáme ta písmena, která jsou obsažena ve všech jednočlenech, a poté určíme nejvyšší stupeň písmene, který je obsažen ve všech jednočlenech: .

V tomto příkladu byla pouze jedna proměnná se společným písmenem, ale může jich být několik, jako v následujícím příkladu:

Zkomplikujme příklad zvýšením počtu monomií:

Po vyjmutí společného činitele jsme algebraický součet převedli na součin.

Podívali jsme se na pravidla odčítání pro celočíselné koeficienty a písmenové proměnné samostatně, ale nejčastěji je k řešení příkladu musíte použít společně. Podívejme se na příklad:

Někdy může být obtížné určit, který výraz zůstává v závorce, zvažte snadný příjem, což vám umožní rychle vyřešit tento problém.

Společným faktorem může být také požadovaná hodnota:

Společným činitelem může být nejen číslo nebo jednočlen, ale také jakýkoli výraz, jako například v následující rovnici.