Provádění aritmetických operací v pozičních číselných soustavách. Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách. Kontrola domácích úkolů

Aritmetické operace v pozičních číselných soustavách

Aritmetické operace ve všech pozičních číselných soustavách se provádějí podle stejných známých pravidel.

Přidání. Zvažte sčítání čísel v binární číselné soustavě. Je založen na sčítací tabulce jednociferných binárních čísel:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Důležité je dát si pozor na to, že při sčítání dvou jednotek dochází k přetečení bitu a převodu na nejvyšší bit. Přetečení nastane, když hodnota čísla v něm bude rovna nebo větší než základ.

Sčítání vícemístných binárních čísel probíhá v souladu s výše uvedenou sčítací tabulkou, přičemž jsou zohledněny možné převody z nižších číslic na vyšší. Jako příklad sečteme binární čísla 110 2 a 11 2 do sloupce:

Ověřme si správnost výpočtů sčítáním v desítkové číselné soustavě. Převedeme binární čísla do desítkové číselné soustavy a poté je sečteme:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Nyní převedeme výsledek binárního sčítání na desítkové číslo:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Porovnejte výsledky - sčítání je správné.

Odčítání. Zvažte odčítání binárních čísel. Je založen na odčítací tabulce jednociferných binárních čísel. Při odečtení od menšího čísla (0) většího (1) se půjčuje od nejvyššího řádu. V tabulce je půjčka označena 1 s čarou:

Násobení. Násobení je založeno na násobící tabulce jednociferných binárních čísel:

Divize. Operace dělení se provádí podle algoritmu podobného algoritmu operace dělení v desítkové soustavě čísel. Jako příklad vydělme binární číslo 110 2 11 2:

Chcete-li provádět aritmetické operace s čísly vyjádřenými v různých číselných soustavách, musíte je nejprve přeložit do stejné soustavy.

Úkoly

1.22. Proveďte sčítání, odčítání, násobení a dělení binárních čísel 1010 2 a 10 2 a zkontrolujte správnost aritmetických operací pomocí elektronické kalkulačky.

1.23. Přidejte osmičková čísla: 5 8 a 4 8 , 17 8 a 41 8 .

1.24. Odečtěte hexadecimální čísla: F 16 a A 16, 41 16 a 17 16.

1.25. Přidejte čísla: 178 a 1716, 418 a 4116

Číselné soustavy

číselná soustava - soubor technik a pravidel pro psaní čísel digitálními znaky nebo symboly.

Všechny číselné soustavy lze rozdělit do dvou tříd: poziční A nepoziční. Ve třídě pozičních soustav se pro zápis čísel v různých číselných soustavách používá určitý počet znaků, které se od sebe liší. Počet takových znaků v poziční číselné soustavě se nazývá základ číselné soustavy. Níže je tabulka obsahující názvy některých pozičních číselných soustav a seznam znaků (čísel), ze kterých se v nich čísla tvoří.

Některé číselné soustavy

V poziční číselné soustavě je relativní poloha číslice v čísle spojena s váhovým faktorem a číslo lze reprezentovat jako součet součinů koeficientů odpovídajícím stupněm základu číselné soustavy (váha faktor):

A n A n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Znak „,“ odděluje celočíselnou část čísla od zlomkové části. Hodnota každého znaménka v čísle tedy závisí na pozici, kterou znaménko zaujímá v číselném záznamu. Proto se takové číselné soustavy nazývají poziční ).

Poziční číselný systém - systém, ve kterém je hodnota čísla určena hodnotami jeho číslic a jejich relativní pozicí v čísle.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Desetinný index ve spodní části označuje základ číselné soustavy.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10 .

Při práci s počítači musíte paralelně používat více pozičních číselných soustav (nejčastěji dvojkové, desítkové, osmičkové a šestnáctkové), proto mají postupy převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé velký praktický význam. Všimněte si, že ve všech výše uvedených příkladech je výsledkem dekadické číslo, a tak byl již demonstrován způsob převodu čísel z libovolné poziční číselné soustavy na desítkovou.

Obecně platí, že chcete-li převést celočíselnou část čísla z desítkové soustavy do základní soustavy B, musíte ji vydělit B. Zbytek poskytne nejméně významnou číslici čísla. Výsledný podíl je třeba opět vydělit B - zbytek dá další číslici čísla atd. Dělení pokračuje, dokud není podíl menší než základna. Hodnoty výsledných zbytků v opačném pořadí tvoří požadované binární číslo.

Ukázka překladu celé části: Převeďte 25 10 na binární číslo.

25 / 2 = 12 se zbytkem 1,

12 / 2 = 6 se zbytkem 0,

6 /2 = 3 se zbytkem 0,

Celá a zlomková část se překládají samostatně. Pro převod zlomkové části je třeba ji vynásobit B. Celočíselná část výsledného součinu bude prvním (za čárkou oddělující celočíselnou část od zlomkové) znaménko. Zlomková část součinu se musí znovu vynásobit B. Celočíselná část výsledného čísla bude dalším znaménkem a tak dále.

Chcete-li přeložit zlomkovou část (nebo číslo, které má celá čísla "0", musíte je vynásobit 2. Celá část součinu bude první číslicí čísla ve dvojkové soustavě). Poté, když zahodíme celočíselnou část výsledku, znovu vynásobíme 2 a tak dále. Všimněte si, že konečný desetinný zlomek se v tomto případě může stát nekonečnou (periodickou) dvojhvězdou.

Příklad překladu zlomkové části: Převeďte 0,73 10 na binární číslo.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (celá část 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (celá část 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (celá část 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (celá část 1) atd.

Tedy: 0,73 10 \u003d 0,1011 2.

S čísly zapsanými v libovolné číselné soustavě můžete provádět různé aritmetické operace. Aritmetické operace ve všech pozičních číselných soustavách se provádějí podle stejných známých pravidel.

Zvažte přidání dvou čísel k základu deset:

Při sčítání čísel 6 a 7 lze výsledek vyjádřit jako výraz 10 + 3, kde 10 je úplný základ pro desítkovou číselnou soustavu. Nahradíme 10 (základ) 1 a dosadíme vlevo od čísla 3. Ukázalo se:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Zvažte přidání dvou čísel k základu osm:

Při sčítání čísel 6 a 7 lze výsledek vyjádřit jako výraz 8 + 5, kde 8 je úplný základ osmičkové číselné soustavy. Nahraďte 8 (základ) 1 a nahraďte nalevo od čísla 5. Ukázalo se:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Zvažte přidání dvou velkých čísel k základu osm:

Sčítání začíná od nejméně významné číslice. Takže 4 8 + 6 8 je reprezentováno jako 8 (základ) + 2. Nahraďte 8 (základ) 1 a přidejte tuto jednotku k číslicím vyššího řádu. Dále přidejte následující číslice: 5 8 + 3 8 + 1 8 představuje 8 + 1, nahraďte 8 (základ) 1 a přidejte ji k nejvyšší číslici. Dále představujeme 2 8 + 7 8 + 1 8 jako 8 (základ) + 2, 8 (základ) nahradíme 1 a dosadíme nalevo od výsledného čísla (na pozici nejvýznamnější číslice). Tak se ukazuje:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Ostatní aritmetické operace (odčítání, násobení a dělení) v různých číselných soustavách se provádějí podobně.

Zvažte násobení „sloupcem“ na příkladu dvou čísel binárního systému:

11101 2 101 2

Čísla zapisujeme pod sebe, v souladu s číslicemi. Poté provedeme bitové násobení druhého faktoru prvním a zapíšeme jej s posunem doleva, stejně jako při násobení desetinných čísel. Zbývá sečíst „posunutá“ čísla s přihlédnutím k základu čísel, v tomto případě binárnímu.

Převeďte výsledek na základ 16.

Ve druhé číslici je 29 znázorněno jako 16 (základ) a 13 (D). Nahradíme 16 (základ) 1 a přidáme k nejvýznamnějšímu bitu.

Na třetí číslici je 96 + 1 = 97. Potom 97 znázorníme jako 6 16 (základ) a 1. Přičtěte 6 k nejvýznamnější číslici.

Ve čtvrté číslici je 20 + 6 = 26. Představte si 26 jako 16 (základ) a 10 (A). Jednotku převedeme na nejvyšší číslici.

S určitými dovednostmi v práci s různými číselnými soustavami by mohl být záznam okamžitě reprezentován jako

Tedy A31162916 = 1A1D916.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 \u003d 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Z hlediska studia principů reprezentace a zpracování informací v počítači jsou probírané systémy (dvojkové, osmičkové a hexadecimální) velmi zajímavé, ačkoliv počítač zpracovává pouze data převedená do binárního kódu (dvojková číselná soustava). Často však za účelem snížení počtu znaků napsaných na papíře nebo zadávaných z klávesnice počítače je vhodnější používat osmičková nebo šestnáctková čísla, zejména proto, že, jak bude ukázáno níže, postup vzájemného převodu čísel z každého z Tyto systémy na binární je velmi jednoduché - mnohem jednodušší než překlady mezi kterýmkoli z těchto tří systémů a desítkovou soustavou.

Představme si čísla různých číselných soustav navzájem:

Tabulka ukazuje, že čísla systému se základem 2, 8 a 16 mají periodické vzory. Osm hodnot osmičkové soustavy, tedy (od 0 do 7 nebo úplného základu), tedy odpovídá třem číslicím ( triády) dvojkové soustavy. K popisu čísel jedné číslice osmičkové soustavy jsou tedy zapotřebí přesně tři číslice dvojkové soustavy. Totéž platí pro hexadecimální čísla. K jejich popisu stačí přesně čtyři bity ( tetrády) dvojkové soustavy.

Z toho vyplývá, že pro převod libovolného celého binárního čísla na osmičkové je nutné jej rozdělit zprava doleva na skupiny po 3 číslicích (skupina zcela vlevo může obsahovat méně než tři binární číslice) a poté každé skupině přiřadit její osmičkový ekvivalent.

Například chcete převést 11011001 2 na osmičkové.

Číslo rozdělíme do skupin po třech číslicích 011 2 , 011 2 a 001 2 . Dosadíme odpovídající čísla osmičkové soustavy. Dostaneme 3 8 , 3 8 a 1 8 nebo 331 8 .

11011001 2 = 331 8 .

Podobně se provádějí zpětné převody, například:

Převeďte AB5D 16 na binární číselnou soustavu.

Každý symbol čísla AB5D 16 střídavě nahrazujeme odpovídajícím číslem z dvojkové soustavy. Získáme 1010 16 , 1011 16 , 0101 16 a 1101 16 nebo 1010101101011101 2 .

AB5D16 = 10101011010111012.

Kromě pozičních číselných soustav diskutovaných výše existují i ​​takové, ve kterých hodnota znaménka nezávisí na místě, které v čísle zaujímá. Takové číselné soustavy se nazývají nepoziční. Nejznámějším příkladem nepolohového systému je římský. Tento systém používá 7 znaků (I, V, X, L, C, D, M), které odpovídají následujícím hodnotám:

Pravidla pro psaní čísel římskými číslicemi: - pokud je větší číslo před menším, pak se sčítají (princip sčítání), - pokud je menší číslo před větším, pak se menší od většího odečítá (princip odčítání).

Druhé pravidlo se použije, aby se zabránilo opakování stejného čísla čtyřikrát. Takže římské číslice I, X, C jsou umístěny před X, C, M pro označení 9, 90, 900 nebo před V, L, D pro označení 4, 40, 400.

Příklady zápisu čísel římskými číslicemi:

IV = 5 - 1 = 4 (místo IIII),

XIX \u003d 10 + 10 - 1 \u003d 19 (místo XVIIII),

XL = 50 – 10 = 40 (místo XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 atd.

Je třeba poznamenat, že provádění i jednoduchých aritmetických operací na víceciferných číslech s římskými číslicemi je velmi nepohodlné. Složitost výpočtů v římském systému, založených na použití latinských písmen, byla pravděpodobně jedním z dobrých důvodů pro jeho nahrazení v tomto ohledu pohodlnějším desítkovým systémem.

3.1 Základ číselné soustavy se nazývá ...

Soubor technik a pravidel pro psaní čísel digitálními znaky nebo symboly

Počet znaků použitých v konkrétní poziční číselné soustavě

Dělitel používaný při převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Společný faktor při převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé

3.2 Která číselná soustava se ve výpočetní technice příliš nepoužívá

osmičkový

Binární

pětinásobný

Hexadecimální

Slouží k práci s daty kódování, tj. vyjádření dat jednoho typu z hlediska dat jiného typu.

Výpočetní technika má také svůj systém – tzv binární kódování a je založen na reprezentaci dat posloupností pouze dvou znaků: 0 a 1. Tyto znaky se nazývají binární číslice, v angličtině - binární číslice nebo zkráceně bit (bit).

V jednom bitu lze vyjádřit dva pojmy: 0 nebo 1 (Ano nebo ne, černá nebo bílá, pravda nebo lhát a tak dále.). Pokud se počet bitů zvýší na dva, lze již vyjádřit čtyři různé koncepty:

Tři bity mohou kódovat osm různých hodnot: 000 001 010 011 100 101 110 111

Zvýšením počtu číslic v binárním kódovacím systému o jednu zdvojnásobíme počet hodnot, které lze v tomto systému vyjádřit, to znamená, že obecný vzorec vypadá takto:

N=2 m, Kde:

N- počet nezávislých kódovaných hodnot;

T- bitová hloubka binárního kódování přijatá v tomto systému.

Protože bit je příliš malá jednotka měření, v praxi se často používá větší jednotka - bajt, rovný osmi bitům.

Používají se také větší odvozené datové jednotky:

Kilobajt (KB) = 1024 bajtů = 2 10 bajtů;

Megabajt (MB) = 1024 KB = 2 20 bajtů;

Gigabajt (GB) = 1024 MB = 230 bajtů.

V poslední době se v důsledku nárůstu objemu zpracovávaných dat objevují takové odvozené jednotky jako:

Terabajt (TB) = 1024 GB = 240 bajtů;

Petabajt (PB) = 1024 TB = 250 bajtů;

Exabajt (Ebyte) = 1024 PB = 260 bajtů.

Kódování textových informací se vyrábí pomocí amerického standardního kódu pro výměnu informací ASCII, který nastavuje kódy znaků od 0 do 127. Národní standardy přidělují znaku 1 bajt informace a zahrnují tabulku kódů ASCII, stejně jako národní abecední kódy s čísly od 128 až 255. V současné době existuje pět různých kódování v azbuce: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh a ISO. Na konci 90. let se objevil nový mezinárodní standard Unicode, který každému znaku přiděluje ne jeden bajt, ale dva bajty, a proto s ním lze kódovat nikoli, ale různé znaky.

Základní kódovací tabulka ASCII uvedeno v tabulce.

Kódování barevné grafiky se provádí pomocí rastru, kde je každému bodu přiřazeno jeho barevné číslo. V kódovacím systému RGB je barva každého bodu reprezentována součtem červené (Red), zelené (Green) a modré (Blue). V kódovacím systému CMYK je barva každého bodu reprezentována součtem azurové (Cyan), purpurové (Magenta), žluté (Yellow) a přidáním černé (Black, K) barev.

Analogové kódování

Historicky první technologickou formou příjmu, přenosu a ukládání dat byla analogová (nepřetržitá) reprezentace zvukového, optického, elektrického nebo jiného signálu. Pro příjem takových signálů v počítači je předběžně provedena analogově-digitální konverze.

Analogově-digitální převod spočívá v měření analogového signálu v pravidelných intervalech τ a zakódování výsledku měření pomocí n-bitového binárního slova. V tomto případě se získá posloupnost n-bitových binárních slov, představujících analogový signál s danou přesností.

Aktuálně přijatý standard CD používá takzvaný „16bitový zvuk při skenovací frekvenci 44 kHz“. Pro výše uvedený obrázek, přeložený do normálního jazyka, to znamená, že „délka kroku“ (t) je 1/44 000 s a „výška kroku“ (δ) je 1/65 536 maximální hlasitosti signálu (od 2 16 \ u003d 65 536) . Rozsah reprodukční frekvence je v tomto případě 0-22 kHz a dynamický rozsah 96 decibelů (což je kvalitativní charakteristika, která je pro magnetický nebo mechanický záznam zvuku zcela nedosažitelná).

Komprese dat.

Množství zpracovávaných a přenášených dat rychle roste. Je to dáno zaváděním stále složitějších aplikačních procesů, vznikem nových informačních služeb, využíváním obrazu a zvuku.

Komprese dat (komprese dat)- proces, který snižuje objem dat. Komprese umožňuje drasticky snížit množství paměti potřebné pro ukládání dat, zkrátit (na přijatelnou velikost) dobu jejich přenosu. Komprese obrazu je obzvláště účinná. Komprese dat může být prováděna softwarově i hardwarově nebo kombinovanou metodou.

Komprese textu je spojena s kompaktnějším rozložením bajtů kódování znaků. Používá také počet opakování prostoru. Pokud jde o zvuk a obraz, množství informací, které je představují, závisí na zvoleném kroku kvantizace a počtu číslic analogově-digitální konverze. V zásadě se zde používají stejné kompresní metody jako při zpracování textu. Pokud komprese textu probíhá bez ztráty informací, pak komprese zvuku a obrazu téměř vždy vede k určité ztrátě informací. Komprese je široce používána při archivaci dat.

Notový zápis- reprezentace čísla konkrétní sadou znaků. Číselné soustavy jsou:

1. Single (systém štítků nebo tyčinek);

2. Nepoziční (římské);

3. Poziční (desítkové, binární, osmičkové, šestnáctkové atd.).

poziční nazývaný číselný systém, ve kterém kvantitativní hodnota každé číslice závisí na jejím místě (pozici) v čísle. nadace poziční číselná soustava se nazývá celé číslo umocněné na mocninu, která se rovná počtu číslic v této soustavě.

Binární číselný systém obsahuje abecedu dvou číslic: 0 a 1.

Osmičková číselná soustava obsahuje abecedu 8 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7.

Systém desetinných čísel obsahuje abecedu 10 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9.

Hexadecimální číselný systém obsahuje abecedu 16 číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Ve výpočetní technice se kódování používá ve dvojkové soustavě, tzn. sekvence 0 a 1.

Chcete-li převést celé číslo z jedné číselné soustavy do druhé, musíte provést následující algoritmus:

1. Vyjádřete základ nové číselné soustavy pomocí čísel původní číselné soustavy.

2. Důsledně rozdělte dané číslo základem nové číselné soustavy, dokud nedostanete podíl menší než dělitel.

3. Převeďte výsledné zůstatky do nové číselné soustavy.

4. Sestavte číslo ze zbytků v nové číselné soustavě, počínaje posledním zbytkem.

Obecně platí, že v poziční SS se základem P může být jakékoli číslo X reprezentováno jako polynom v základu P:

X \u003d a n P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + ao P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m P -m,

kde koeficienty a i mohou být kterékoli z P číslic používaných v SS se základem P.

Převod čísel z 10 SS na jakékoli jiné pro celé číslo a zlomkové části čísla se provádí různými metodami:

a) celočíselná část čísla a mezilehlé podíly se dělí základem nového SZ, vyjádřeným v 10 SZ, dokud nebude podíl dělení menší než základ nového SZ. Akce se provádějí v 10 CC. Výsledek je soukromý, napsaný v opačném pořadí.

b) zlomková část čísla a výsledné zlomkové části meziproduktů se násobí základem nového SZ, dokud není dosaženo stanovené přesnosti, nebo se v zlomkové části meziproduktu získá "0". Výsledkem jsou celé části dílčích prací napsané v pořadí, v jakém byly obdrženy.

Pomocí vzorce (1) můžete převést čísla z libovolné číselné soustavy na desítkovou číselnou soustavu.

Příklad 1 Převeďte číslo 1011101.001 z binární číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 20 + 0 2-1+ 0 2-2+ 1 2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Příklad 2 Převeďte číslo 1011101.001 z osmičkové číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:

Příklad 3. Převeďte číslo AB572.CDF z hexadecimálního na desítkové SS. Řešení:

Tady A- nahrazeno 10, B- v 11, C- ve 12, F- v 15.

Překlad 8 (16) čísel do 2 tvaru - každou číslici tohoto čísla stačí nahradit odpovídajícím 3místným (4místným) binárním číslem. Vyhoďte zbytečné nuly ve vysokých a nízkých číslicích.

Příklad 1: Převeďte číslo 305,4 8 na binární SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Příklad 2: převeďte číslo 9AF,7 16 na binární CC.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Chcete-li přeložit 2. číslo na 8 (16) SS, postupujte následovně: od čárky doleva a doprava rozdělte binární číslo do skupin po 3 (4) číslicích, v případě potřeby doplňte krajní levou a pravou skupinu nulami. . Každá skupina je pak nahrazena odpovídající osmičkovou (16) číslicí.

Příklad 1: převeďte číslo 110100011110100111,1001101 2 na osmičkové ss.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Příklad 2: převeďte číslo 110100011110100111,1001101 2 na hexadecimální ss.

0011 0100 0111 1010 0111,1001 1010 2 = 347A7,9A 16

Aritmetické operace ve všech pozičních číselných soustavách se provádějí podle stejných pravidel, která dobře znáte.

Přidání. Zvažte sčítání čísel v binární číselné soustavě. Je založen na sčítací tabulce jednociferných binárních čísel:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Důležité je dát si pozor na to, že při sčítání dvou jednotek dochází k přetečení bitu a převodu na nejvyšší bit. Přetečení nastane, když hodnota čísla v něm bude rovna nebo větší než základ.

Sčítání vícemístných binárních čísel probíhá v souladu s výše uvedenou sčítací tabulkou, přičemž jsou zohledněny možné převody z nižších číslic na vyšší. Jako příklad sečteme binární čísla 110 2 a 11 2 do sloupce:

Odčítání. Zvažte odčítání binárních čísel. Je založen na odčítací tabulce jednociferných binárních čísel. Při odečtení od menšího čísla (0) většího (1) se půjčuje od nejvyššího řádu. V tabulce je půjčka označena 1 s čarou:

Násobení. Násobení je založeno na násobící tabulce jednociferných binárních čísel:

Divize. Operace dělení se provádí podle algoritmu podobného algoritmu operace dělení v desítkové soustavě čísel. Jako příklad vydělme binární číslo 110 2 11 2:

Chcete-li provádět aritmetické operace s čísly vyjádřenými v různých číselných soustavách, musíte je nejprve přeložit do stejné soustavy.

Sčítání a odčítání

V soustavě se základem slouží čísla 0, 1, 2, ..., s - 1 k označení nuly a prvních přirozených čísel c-1. K provedení operace sčítání a odčítání slouží tabulka sčítání jednoduchých -ciferná čísla se sestavují.

Tabulka 1 - Binární sčítání

Například sčítací tabulka v hexadecimálním číselném systému:

Tabulka 2 - Sčítání v šestnáctkové soustavě

Sčítání libovolných dvou čísel zapsaných v číselné soustavě se základním c se provádí stejným způsobem jako v desítkové soustavě po číslicích, počínaje první číslicí, pomocí sčítací tabulky této soustavy. Čísla, která mají být přidána, jsou podepsána jedno po druhém tak, aby číslice stejných číslic stály svisle. Výsledek sčítání se zapíše pod vodorovnou čáru nakreslenou pod čísly sčítanců. Stejně jako při sčítání čísel v desítkové soustavě platí, že v případě, kdy sečtením číslic v libovolné číslici vznikne dvoumístné číslo, se do výsledku zapíše poslední číslice tohoto čísla a do výsledku se přičte první číslice. přidání další číslice.

Například,

Uvedené pravidlo pro sčítání čísel můžete zdůvodnit pomocí reprezentace čísel ve tvaru:

Podívejme se na jeden z příkladů:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Termíny vybíráme postupně podle stupně základu 7, počínaje nejnižším, nulovým, stupněm.

Odečítání se také provádí číslicemi, počínaje nejnižší, a pokud je číslice redukovaného menší než číslice odečítaného, ​​pak je jedna „obsazena“ od další číslice redukovaného a odpovídající číslice subtrahendu je odečteno od výsledného dvoumístného čísla; při odečítání číslic další číslice v tomto případě musíte mentálně snížit číslici té, která se snižuje o jednu, ale pokud se tato číslice ukáže jako nula (a pak její snížení není možné), měli byste „ vezměte“ jednu od další číslice a poté ji snižte o jednu. Není třeba vytvářet speciální tabulku odčítání, protože tabulka sčítání dává výsledky odčítání.

Například,

Násobení a dělení

Pro provádění operací násobení a dělení v soustavě se základem c se sestavuje násobilka jednociferných čísel.

Tabulka 3 - Násobení jednociferných čísel

Tabulka 4 - Násobení v hexadecimální číselné soustavě

Násobení dvou libovolných čísel v soustavě se základem c se provádí stejným způsobem jako v desítkové soustavě - "sloupcem", to znamená, že násobitel se násobí číslicí každé číslice násobiče (postupně) s následným přidáním těchto mezivýsledků.

Například,

Při násobení víceciferných čísel v mezivýsledcích není základní index nastaven:

Dělení v soustavách se základem c se provádí úhlem, stejně jako v desítkové číselné soustavě. V tomto případě se použije tabulka násobení a tabulka sčítání odpovídajícího systému. Situace je složitější, pokud výsledkem dělení není konečný c-ární zlomek (nebo celé číslo). Při provádění operace dělení je pak obvykle nutné vybrat neperiodickou část zlomku a její periodu. Schopnost provádět operace dělení v c-ary číselné soustavě je užitečná při překladu zlomkových čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Například:

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Existuje mnoho různých způsobů, jak překládat čísla z jednoho číselného systému do druhého.

metoda dělení

Nechť je dáno číslo N=an an-1. . . a1 a0 str.

Chcete-li získat záznam čísla N v systému se základem h, měli byste jej reprezentovat ve tvaru:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

kde 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Z (1) dostáváme:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, kde je 0? b0 ?h (3)

To znamená, že číslo b0 je zbytek po dělení čísla N číslem h. Neúplný podíl Nl = bmhm-1+ . . . +b1 může být reprezentováno jako:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, kde je 0? b2 ? h (4)

Číslice bi v zápisu (2) čísla N je tedy zbytkem dělení prvního parciálního podílu N1 základem h nové číselné soustavy. Druhý neúplný kvocient N2 může být reprezentován jako:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, kde je 0? b2 ? h (5)

to znamená, že číslo b2 je zbytkem dělení druhého parciálního kvocientu N2 bází h nového systému. Protože se neúplné podíly snižují, je tento proces konečný. A pak dostaneme Nm = bm, kde bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Posloupnost číslic je tedy bm, bm-1 . . ,b1,b0 v zápisu čísla N v číselné soustavě s bází h je posloupnost zbytků po sobě jdoucího dělení čísla N bází h, braná v obráceném pořadí.

Zvažte příklad: Převeďte číslo 123 na šestnáctkové:

Tedy číslo 12310=7(11)16 nebo může být zapsáno jako 7B16

Zapišme číslo 340227 v kvinární číselné soustavě:

Dostaneme tedy, že 340227=2333315

Kromě desítkových existuje neměřitelné množství dalších systémů, z nichž některé slouží k reprezentaci a zpracování informací v počítači. Existují dva typy číselných soustav: poziční a nepoziční.

Nepoziční systémy jsou takové, ve kterých si každá číslice zachovává svou hodnotu bez ohledu na její umístění v čísle. Příkladem je římská číselná soustava, která používá čísla jako I, V, X, L, C, D, M atd.

poziční se nazývají číselné soustavy, ve kterých je hodnota každé číslice závisí na jeho umístění. Poziční systém je charakterizován základem kalkulu, který budeme chápat jako takové číslo £, které ukazuje, kolik jednotek libovolné kategorie je potřeba k získání jednotky vyššího řádu.

Můžete například psát

Co odpovídá číslům v desítkové číselné soustavě

Níže uvedený index označuje základ čísla.

Pro převod kladných čísel z jednoho číselného systému do druhého jsou známá dvě pravidla:

Překlad čísel ze systému , do systému ;

Překlad čísel ze systému , do systému pomocí systémové aritmetiky ;

Zvažte první pravidlo . Řekněme, že číslo je v desítkové soustavě musí být reprezentován binárně . K tomu je toto číslo vyděleno základem systému prezentované v systému , tj. do 210. Zbytek dělení bude nejméně významná číslice binárního čísla. Celočíselná část výsledku dělení se opět vydělí 2. Operaci dělení opakujte tolikrát, dokud nebude podíl menší než dva.

Příklad: Převeďte 89 10 na binární pomocí desítkové aritmetiky

89 10 → 1011001 2

Opačný překlad je podle stejného pravidla následující:

1011001 2 převést na desítkové pomocí binární aritmetiky

Binární čísla 1000 a 1001 podle tabulky 2.1 jsou 8 a 9. Proto 1011001 2 → 89 10

Někdy je výhodnější provést zpětný překlad pomocí obecného pravidla pro reprezentaci čísla v libovolné číselné soustavě.

Zvažte druhé pravidlo. Překlad čísel ze systému , do systému pomocí systémové aritmetiky . K provedení převodu potřebujete každou číslici čísla v systému vynásobte základem číselné soustavy zastoupené v číselné soustavě a v míře pozice tohoto čísla. Poté jsou výsledné produkty shrnuty.

Aritmetické a logické operace

Aritmetické operace

Zvažte aritmetiku binárního číselného systému, protože právě ona se používá v moderních počítačích z následujících důvodů:

Existují nejjednodušší fyzikální prvky, které mají pouze dva stavy a které lze interpretovat jako 0 a 1;

Aritmetické zpracování je velmi jednoduché.

Čísla v osmičkové a šestnáctkové soustavě se běžně používají jako náhražka dlouhé a proto nepohodlné reprezentace binárních čísel.

Operace sčítání, odčítání a násobení ve dvojkové soustavě jsou:

Jak již bylo demonstrováno dříve, aby bylo možné vystačit pouze se sčítačkou, tedy provádět pouze operace sčítání, je operace odčítání nahrazena sčítáním. K tomu se vytvoří záporný číselný kód jako doplněk k číslům 2, 10, 100 atd.