Metody převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé. Převod čísel do dvojkové, šestnáctkové, desítkové, osmičkové číselné soustavy

Poznámka 1

Chcete-li převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, je výhodnější je nejprve převést do desítkové číselné soustavy a teprve poté převést z desítkové číselné soustavy do jakékoli jiné číselné soustavy.

Pravidla pro převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou

Ve výpočetní technice využívající strojní aritmetiku hraje důležitou roli převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé. Níže uvádíme základní pravidla pro takové transformace (překlady).

Při převodu binárního čísla na desítkové je nutné reprezentovat binární číslo jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $2$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Obrázek 1. Tabulka 1

Příklad 1

Převeďte číslo $11110101_2$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $1$ stupňů základny $2$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 6 4 +1 +3 + 0 = 0 + 2 + 128 + 0 245_(10)$

Chcete-li převést číslo z osmičkové na desítkové číslo, musíte jej znázornit jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $8$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Obrázek 2. Tabulka 2

Příklad 2

Převeďte číslo $75013_8$ do desítkové soustavy čísel.

Řešení. Pomocí výše uvedené tabulky $2$ stupňů základny $8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Chcete-li převést číslo z hexadecimálního na desítkové, musíte jej reprezentovat jako polynom, jehož každý prvek je reprezentován jako součin číslice čísla a odpovídající mocniny základního čísla, v tomto případě $16$, a pak musíte vypočítat polynom podle pravidel desítkové aritmetiky:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Obrázek 3. Tabulka 3

Příklad 3

Převeďte číslo $FFA2_(16)$ na desítkovou soustavu čísel.

Řešení. S použitím výše uvedené tabulky $3$ základních mocnin 8$ reprezentujeme číslo jako polynom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Pravidla pro převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na binární, je nutné je postupně dělit $2$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $1$. Číslo ve dvojkové soustavě je reprezentováno jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 4

Převeďte číslo $22_(10)$ do binární číselné soustavy.

Řešení:

Obrázek 4

$22_{10} = 10110_2$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na osmičkovou, je nutné je postupně dělit $8$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $7$. Uveďte číslo v osmičkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 5

Převeďte číslo $571_(10)$ na osmičkovou číselnou soustavu.

Řešení:

Obrázek 5

$571_{10} = 1073_8$

• Chcete-li převést číslo z desítkové soustavy na šestnáctkovou, je nutné je postupně dělit $16$, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven $15$. Vyjádřete číslo v šestnáctkové soustavě jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytku dělení v opačném pořadí.

Příklad 6

Převeďte číslo $7467_(10)$ na hexadecimální číselnou soustavu.

Řešení:

Obrázek 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Aby bylo možné převést správný zlomek z desítkové číselné soustavy na nedesítkovou, je nutné vynásobit zlomkovou část převáděného čísla základem soustavy, do které se má převádět. Frakce v novém systému budou prezentovány jako celé části produktů, počínaje první.

Například: $0,3125_((10))$ v osmičkové soustavě bude vypadat jako $0,24_((8))$.

V tomto případě můžete narazit na problém, kdy konečný desetinný zlomek může odpovídat nekonečnému (periodickému) zlomku v jiné než desítkové číselné soustavě. V tomto případě bude počet číslic ve zlomku zastoupeném v novém systému záviset na požadované přesnosti. Je třeba také poznamenat, že celá čísla zůstávají celými čísly a vlastní zlomky zůstávají zlomky v jakékoli číselné soustavě.

Pravidla pro převod čísel z binární číselné soustavy do jiné

• Aby bylo možné převést číslo z binárního na osmičkové, musí být rozděleno na trojice (trojice číslic), počínaje nejméně významnou číslicí, je-li to nutné, přidáním nul k nejvyšší trojici a poté nahrazením každé trojice odpovídající osmičkovou číslicí podle tabulky 4.

Obrázek 7. Tabulka 4

Příklad 7

Převeďte číslo $1001011_2$ na osmičkovou číselnou soustavu.

Řešení. Pomocí tabulky 4 převedeme číslo z binárního do osmičkového:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, mělo by být rozděleno na tetrady (čtyři číslice), počínaje nejméně významnou číslicí, v případě potřeby doplněním starší tetrády nulami, poté by měla být každá tetrada nahrazena odpovídající osmičkovou číslicí podle tabulky 4.

Když zakládáte sítě různého měřítka a každý den se potýkáte s výpočty, pak není nutné zakládat takové cheaty, vše se stejně dělá na nepodmíněný reflex. Ale když se v sítích pohráváte velmi zřídka, ne vždy si pamatujete, jaký druh masky existuje v desítkovém tvaru pro předponu 21 nebo jaká síťová adresa má stejnou předponu. V tomto ohledu jsem se rozhodl napsat několik malých cheatů o převodu čísel do různých číselných systémů, síťových adres, masek atd. V tomto díle budeme hovořit o převodu čísel do různých číselných soustav.

1. Číselné soustavy

Když děláte cokoli, co souvisí s počítačovými sítěmi a IT, stejně se s tímto pojmem setkáte. A jako inteligentní IT specialista tomu musíte alespoň trochu rozumět, i když v praxi to využijete velmi zřídka.
Zvažte překlad každé číslice z adresy IP 98.251.16.138 do následujících číselných soustav:

• Binární
• osmičkový
• Desetinný
• Hexadecimální

1.1 Desetinné

Vzhledem k tomu, že se čísla píší v desítkové soustavě, přeskočíme převod z desítkové soustavy na desítkovou 🙂

1.1.1 Desetinné → Binární

Jak víme, binární číselný systém se používá téměř ve všech moderních počítačích a mnoha dalších výpočetních zařízeních. Systém je velmi jednoduchý – máme pouze 0 a 1.
Pro převod čísla s desetinou do binárního tvaru je potřeba použít modulo 2 (tedy celočíselné dělení 2), v důsledku čehož budeme mít ve zbytku vždy buď 1 nebo 0. Výsledek v tomto případě zapisujeme zprava doleva. Příklad dá vše na své místo:

Obrázek 1.1 - Převod čísel z desítkové na binární

Obrázek 1.2 - Převod čísel z desítkové na binární

Popíšu dělení čísla 98. Dělíme 98 2, ve výsledku máme 49 a zbytek je 0. Pak pokračujeme v dělení a dělíme 49 2, ve výsledku máme 24 se zbytkem 1. A stejným způsobem se dostaneme k 1 nebo 0 v dividendě. Výsledek se pak zapisuje zprava doleva.

1.1.2 Desetinná → Osmičková

Osmičková soustava je celočíselná číselná soustava se základem 8. Tj. všechna čísla v něm jsou reprezentována rozsahem 0 - 7 a pro převod z desítkové soustavy musíte použít modulo 8.

Obrázek 1.3 - Převod čísel z desítkové do osmičkové soustavy

Dělení je podobné jako u 2-arového systému.

1.1.3 Desetinné → Hexadecimální

Hexadecimální soustava téměř úplně nahradila soustavu osmičkovou. Má základ 16, ale používá desetinné číslice od 0 do 9 + latinská písmena od A (číslo 10) do F (číslo 15). Setkáváte se s tím pokaždé, když kontrolujete nastavení síťového adaptéru – jedná se o MAC adresu. To samé při použití IPv6.

Obrázek 1.4 - Převod čísel z desítkové do šestnáctkové soustavy

1.2 Binární

V předchozím příkladu jsme všechna desetinná čísla převedli do jiných číselných soustav, z nichž jedna je binární. Nyní přeložme každé číslo z binárního tvaru.

1.2.1 Binární → Desítková

Chcete-li převést čísla z binárních na desítkové, musíte znát dvě nuance. První je, že každá nula a jedna má faktor 2 na n-tou mocninu, při které n roste zprava doleva přesně o jednu. Druhý - po vynásobení je třeba sečíst všechna čísla a dostaneme číslo v desítkovém tvaru. V důsledku toho budeme mít vzorec, jako je tento:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Kde,
D je desetinné číslo, které hledáme;
n je počet znaků v binárním čísle;
a je číslo v binárním tvaru na n-té pozici (tj. první znak, druhý atd.);
p je koeficient rovný 2,8 nebo 16 k mocnině n(v závislosti na číselném systému)

Například vezměte číslo 110102. Podíváme se na vzorec a zapíšeme:

• Číslo se skládá z 5 znaků ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (protože převádíme z binárního na desítkové)

V důsledku toho máme:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Kdo je zvyklý psát zprava doleva, bude formulář vypadat takto:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Jak ale víme, součet se přeskupením podmínek nemění. Nyní převedeme naše čísla na desítkové.

Obrázek 1.5 - Převod čísel z dvojkové do desítkové soustavy

1.2.2 Binární → Osmičková

Při překladu potřebujeme rozdělit binární číslo do skupin po třech znacích zprava doleva. Pokud se poslední skupina neskládá ze tří znaků, pak chybějící bity jednoduše nahradíme nulami. Např:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Každá skupina bitů je jedno z osmičkových čísel. Chcete-li zjistit, který z nich, musíte použít vzorec 1.2.1 napsaný výše pro každou skupinu bitů. V důsledku toho dostaneme.

Obrázek 1.6 - Převod čísel z dvojkové do osmičkové soustavy

1.2.3 Binární → Hexadecimální

Zde musíme binární číslo rozdělit do skupin po čtyřech znacích zprava doleva a následně doplnit chybějící bity skupiny s nulami, jak je popsáno výše. Pokud se poslední skupina skládá z nul, měly by být ignorovány.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Každá skupina bitů je jedním z hexadecimálních čísel. Pro každou skupinu bitů použijeme vzorec 1.2.1.

Obrázek 1.7 - Převod čísel z dvojkové do šestnáctkové soustavy

1.3 Osmičková

V tomto systému můžeme mít potíže pouze při převodu do šestnáctkové soustavy, protože zbytek překladu běží hladce.

1.3.1 Osmičková → Binární

Každé číslo v osmičkové soustavě je skupina tří bitů v binární soustavě, jak je popsáno výše. K překladu potřebujeme použít cheat sheet:

Obrázek 1.8 - Ostruha pro překlad čísel z osmičkové soustavy

Převedeme naše čísla na binární pomocí této tabulky.

Obrázek 1.9 - Převod čísel z osmičkové na binární

Dovolte mi trochu popsat výstup. První číslo, které máme, je 142, což znamená, že budou tři skupiny po třech bitech. Použijeme ostruhu a vidíme, že číslo 1 je 001, číslo 4 je 100 a číslo 2 je 010. Výsledkem je číslo 001100010.

1.3.2 Osmičková → Desítková

Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s faktorem 8 (tj. p=8). V důsledku toho máme

Obrázek 1.10 - Převod čísel z osmičkové do desítkové soustavy

• Číslo se skládá ze 3 znaků ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (protože převádíme z osmičkové na desítkové)

V důsledku toho máme:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Osmičková → Hexadecimální

Jak již bylo napsáno dříve, k překladu potřebujeme nejprve převést čísla do dvojkové soustavy, poté z dvojkové do šestnáctkové soustavy, rozdělit do skupin po 4 bitech. Můžete použít následující ostruhu.

Obrázek 1.11 - Spur pro převod čísel z hexadecimální soustavy

Tato tabulka vám pomůže převést z binárního na hexadecimální. Nyní přeložíme naše čísla.

Obrázek 1.12 - Převod čísel z osmičkové do šestnáctkové soustavy

1.4 Hexadecimální

V tomto systému je stejný problém, když je přeložen do osmičky. Ale o tom později.

1.4.1 Hexadecimální → Binární

Každé číslo v hexadecimální soustavě je skupina čtyř bitů v binární soustavě, jak je popsáno výše. Pro překlad můžeme použít cheat sheet, který je umístěn výše. Jako výsledek:

Obrázek 1.13 - Převod čísel z hexadecimálních na binární

Vezměme si první číslo - 62. Pomocí destičky (obr. 1.11) vidíme, že 6 je 0110, 2 je 0010, ve výsledku máme číslo 01100010.

1.4.2 Hexadecimální → Desetinné

Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s faktorem 16 (tj. p=16). V důsledku toho máme

Obrázek 1.14 - Převod čísel z šestnáctkové do desítkové soustavy

Vezměme první číslo. Na základě vzorce 1.2.1:

• Číslo se skládá ze 2 znaků ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (protože převádíme z hexadecimálního na desítkové)

V důsledku toho máme

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hexadecimální → Osmičková

Pro převod do osmičkové soustavy je nutné nejprve převést na binární, poté rozdělit do skupin po 3 bitech a použít tabulku (obr. 1.8). Jako výsledek:

Obrázek 1.15 - Převod čísel z šestnáctkové do osmičkové soustavy

V řeči o IP-adresách, maskách a sítích půjde.

Metody převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Překlad čísel z jedné poziční číselné soustavy do druhé: překlad celých čísel.

Chcete-li převést celé číslo z jednoho číselného systému se základem d1 na jiný se základem d2, musíte toto číslo a výsledné podíly postupně dělit základem d2 nového systému, dokud nebude podíl menší než základ d2. Poslední podíl je nejvyšší číslicí čísla v nové číselné soustavě se základem d2 a čísla následující za ním jsou zbytky z dělení, zapsané v obráceném pořadí jejich příjmu. Provádějte aritmetické operace v číselné soustavě, ve které je přeložené číslo zapsáno.

Příklad 1. Převeďte číslo 11(10) do binární číselné soustavy.

Odpověď: 11(10)=1011(2).

Příklad 2. Převeďte číslo 122(10) do osmičkové číselné soustavy.

Odpověď: 122(10)=172(8).

Příklad 3. Převeďte číslo 500(10) na hexadecimální číselnou soustavu.

Odpověď: 500(10)=1F4(16).

Překlad čísel z jedné poziční číselné soustavy do druhé: překlad vlastních zlomků.

Pro převod vlastního zlomku z číselné soustavy se základem d1 na soustavu se základem d2 je nutné důsledně vynásobit původní zlomek a zlomkové části výsledných produktů základem nové číselné soustavy d2. Správný zlomek čísla v nové číselné soustavě se základem d2 je tvořen jako celočíselné části výsledných součinů, počínaje prvním.
Pokud výsledkem převodu je zlomek ve formě nekonečné nebo divergentní řady, lze proces dokončit, když je dosaženo požadované přesnosti.

Při překladu smíšených čísel je nutné do nové soustavy převést odděleně celočíselnou a zlomkovou část podle pravidel pro překlad celých čísel a vlastních zlomků a následně oba výsledky spojit do jednoho smíšeného čísla v nové číselné soustavě.

Příklad 1. Převeďte číslo 0,625(10) do binární číselné soustavy.

Odpověď: 0,625(10)=0,101(2).

Příklad 2. Převeďte číslo 0,6 (10) na osmičkovou číselnou soustavu.

Odpověď: 0,6(10)=0,463(8).

Příklad 2. Převeďte číslo 0,7(10) na šestnáctkové.

Odpověď: 0,7(10)=0,B333(16).

Převeďte binární, osmičková a šestnáctková čísla na desítková.

Chcete-li převést číslo P-ární soustavy na desítkovou, musíte použít následující rozšiřující vzorec:
anan-1…a1a0=anPn+ an-1Pn-1+…+ a1P+a0 .

Příklad 1. Převeďte číslo 101.11(2) do desítkové číselné soustavy.

Odpověď: 101,11(2)= 5,75(10) .

Příklad 2. Převeďte číslo 57.24(8) do desítkové číselné soustavy.

Odpověď: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Příklad 3. Převeďte číslo 7A,84(16) do desítkové číselné soustavy.

Odpověď: 7A,84(16)= 122,515625(10) .

Převod osmičkových a šestnáctkových čísel na binární a naopak.

Pro převod čísla z osmičkového na binární musí být každá číslice tohoto čísla zapsána jako trojmístné binární číslo (triáda).

Příklad: Zapište binárně číslo 16.24(8).

Odpověď: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Chcete-li převést binární číslo zpět na osmičkovou číselnou soustavu, musíte původní číslo rozdělit na trojice nalevo a napravo od desetinné čárky a reprezentovat každou skupinu jako číslo v osmičkové soustavě. Extrémní neúplné triády jsou doplněny nulami.

Příklad: Napište číslo 1110.0101(2) v osmičkové soustavě.

Odpověď: 1110,0101(2)= 16,24(8) .

Chcete-li převést číslo z hexadecimální číselné soustavy na binární, musí být každá číslice tohoto čísla zapsána jako čtyřmístné binární číslo (tetrada).

Příklad: zapište číslo 7A,7E(16) v binární číselné soustavě.


Odpověď: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

Poznámka: Nevýznamné nuly vlevo pro celá čísla a vpravo pro zlomky se nezaznamenávají.

Chcete-li převést binární číslo zpět do hexadecimální číselné soustavy, musíte původní číslo rozdělit na tetrády nalevo a napravo od desetinné čárky a reprezentovat každou skupinu jako číslo v hexadecimální číselné soustavě. Extrémní neúplné triády jsou doplněny nulami.

Příklad: zapište číslo 1111010.0111111(2) v šestnáctkové soustavě.

Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé je důležitou součástí strojové aritmetiky. Zvažte základní pravidla překladu.

1. K převodu binárního čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 2 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin dvou:

Tabulka 4. Mocniny 2

Příklad.

2. K převodu osmičkového čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 8 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je vhodné použít tabulku mocnin osmi:

Tabulka 5. Mocniny 8

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

3. K převodu hexadecimálního čísla na desítkové je nutné jej zapsat jako polynom sestávající ze součinů číslic čísla a odpovídající mocniny čísla 16 a vypočítat podle pravidel desítkové aritmetiky:

Při překladu je pohodlné používat blesk sil 16:

Tabulka 6. Mocniny 16

Příklad. Převeďte číslo na desítkovou číselnou soustavu.

4. Chcete-li převést desetinné číslo do dvojkové soustavy, je třeba je postupně dělit 2, dokud není zbytek menší nebo roven 1. Číslo ve dvojkové soustavě se zapisuje jako posloupnost posledního výsledku dělení a zbytek dělení v opačném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na binární číselnou soustavu.

5. Chcete-li převést desetinné číslo do osmičkové soustavy, je třeba je postupně dělit 8, dokud nezůstane zbytek menší nebo roven 7. Číslo v osmičkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytek dělení v opačném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na osmičkovou číselnou soustavu.

6. Chcete-li převést desetinné číslo do šestnáctkové soustavy, je třeba je postupně dělit 16, dokud není zbytek menší nebo roven 15. Číslo v šestnáctkové soustavě se zapisuje jako posloupnost číslic posledního výsledku dělení a zbytek dělení v opačném pořadí.

Příklad. Převeďte číslo na šestnáctkové.

Štítky: Číselná soustava, překlad číselné soustavy, související číselné soustavy

Změna základu pro poziční číselné soustavy

V pozičním číselném systému se základem q může být číslo reprezentováno jako polynom

... + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + ...

kde koeficienty a i jsou číslice číselné soustavy se základem q.

Například v desítkové soustavě čísel

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

Počet číslic v číselné soustavě se základem q je roven q, přičemž maximální číslice je rovna q - 1. Číslice se nemůže rovnat q, protože v tomto případě bude jednotka převedena na nový bit.

Například musíte najít minimální základ číselné soustavy, ve které je zapsáno číslo 7832. Protože maximální číslice je 8, minimální hodnota q = 8 + 1 = 9.

Základem číselné soustavy může být v zásadě libovolné číslo: celé číslo, záporné, racionální, iracionální, komplexní atd. Budeme uvažovat pouze kladné celočíselné základy.

Zvláště nás bude zajímat základna 2 a základny, které jsou mocninami dvou - 8 a 16.

V případě, že základ S. větší než deset, pak se nové číslice převezmou v pořadí z abecedy. Například pro šestnáctkovou soustavu to budou čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Překlad celočíselné části desítkové číselné soustavy

Prvním způsobem převodu z desítkové soustavy na n-ární je postupné dělení čísla novým základem.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10 = A)

Sbíráme v opačném pořadí, nejprve poslední hodnotu (to je 0), pak shora dolů všechny zbytky. Dostaneme 0A3 = A3

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

Když to vrátíme, dostaneme 10723

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

Skládání dohromady: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

Sběr 01000100001 = 1000100001

Překlad na papír se obvykle provádí rozdělením do sloupců. Dokud dělení nevede k nule, každá následující odpověď se dělí základem c. S. Na konci se shromáždí odpověď ze zbytku divize.

Často je také možné přeložit číslo na jiné s. S. , pokud jej mentálně znázorníme jako součet stupňů odpovídajícího základu, na který chceme číslo převést.

Například 129 je zjevně 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

Převod do desítkové číselné soustavy celočíselné části

Překlad se provádí pomocí reprezentace čísla v poziční číselné soustavě. Nechť je třeba přeložit A3 12 → X 10 Je známo, že A3 je 3∙q 0 + A∙q 1 , tedy 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1554096 + 7∙64 + 4 = 364 + 2

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

Překlad na papír se obvykle provádí následovně. Nad každou číslici, v pořadí, napište číslo stupně. Pak jsou již všechny podmínky napsány.

Převod zlomkové části z desítkové soustavy

Při překladu zlomkové části často nastává situace, kdy se konečný desetinný zlomek změní na nekonečný. Proto se obvykle při překladu uvádí přesnost, s jakou je nutné překládat. Překlad se provádí postupným násobením zlomkové části základem číselné soustavy. V tomto případě se celá část nakloní dozadu a stane se součástí zlomku.

0,625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - další násobení dá pouze nuly
Sbíráme shora dolů, dostaneme 0,101

0,310 → X2 0,3 * 2 = 0,6 (0) 0,6 * 2 = 1,2 (1) 0,2 * 2 = 0,4 (0) 0,4 * 2 = 0,8 (0) 0,8 * 2 = 1,6 (1) 0,6 * 2 = 1,2

0,2 ... dostaneme periodický zlomek
Sbíráme, dostáváme 0,0100110011001… = 0,0(1001)

0,64510 → X5 0,645 * 5 = 3,225 (3) 0,255 * 5 = 1,275 (1) 0,275 * 5 = 1,375 (1) 0,375 * 5 = 1,875 (1) 0,345 * 5 5 = 0,345 * 5 5 = 0,845 * 5 (1) ...

0.3111414… = 0.311(14)

Převod zlomkové části do desítkové soustavy

Provádí se podobně jako překlad celočíselné části vynásobením číslice výboje základem na stupeň rovný poloze výboje v čísle.

0,101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0,134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

Překlad z libovolné číselné soustavy do libovolné

Převod z libovolné číselné soustavy do libovolného s. S. provádí se pomocí desetinného s. S.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

Například

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

Související číselné soustavy

Číselné soustavy se nazývají příbuzné, když jejich základy jsou mocniny stejného čísla. Například 2, 4, 8, 16. Překlad mezi souvisejícími číselnými soustavami lze provést pomocí tabulky

Chcete-li převést z jednoho souvisejícího číselného systému do druhého, musíte nejprve převést číslo na binární. Při převodu na binární číselnou soustavu je každá číslice čísla nahrazena odpovídajícími dvěma (pro čtveřici), třemi (pro osmičkovou) nebo čtyřmi (pro šestnáctkové).

Pro 123 4 je jedna nahrazena 01, dvě 10, tři 11, dostaneme 11011 2

Pro 5721 8 respektive 101, 111, 010, 001, celkem 101111010001 2

Pro E12 16 dostaneme 111000010010 2

Chcete-li přeložit z binárního systému, měli byste rozdělit číslo na dvě (4.), trojice (8.) nebo čtyřky čísel (16.) a poté je nahradit odpovídajícími hodnotami.