Pravděpodobnost, že normálně distribuovaná náhodná proměnná spadá do daného intervalu. Pravděpodobnost náhodné veličiny spadající do daného intervalu Pravděpodobnost náhodné veličiny x spadající do intervalu
FORMY NASTAVENÍ ZÁKONA DISTRIBUCE PRO SPOJENÉ NÁHODNÉ PROMĚNNÉ
FORMY NASTAVENÍ ZÁKONA DISTRIBUCE DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH PROMĚNNÝCH
1). Tabulka (řádek) rozdělení - nejjednodušší forma stanovení zákona rozdělení diskrétních náhodných veličin.
Protože tabulka uvádí všechny možné hodnoty náhodné proměnné.
2). Distribuční polygon . V grafickém znázornění distribuční řady v pravoúhlém souřadnicovém systému jsou všechny možné hodnoty náhodné proměnné vyneseny podél osy úsečky a odpovídající pravděpodobnosti jsou vyneseny podél osy pořadnice. Poté jsou aplikovány tečky a spojeny úsečkami. Výsledný obrazec - distribuční polygon - je také formou specifikace zákona rozdělení diskrétní náhodné veličiny.
3). distribuční funkce - pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty menší než nějaké dané x, tj.
| . |
Z geometrického hlediska ji lze považovat za pravděpodobnost zasažení náhodného bodu X k řezu číselné osy umístěné vlevo od pevného bodu X.
2) ; ;
Úkol 2.1. Náhodná hodnota X- počet zásahů do terče 3 výstřely (viz úloha 1.5). Sestavte distribuční řadu, distribuční polygon, vypočítejte hodnoty distribuční funkce a vytvořte její graf.
Řešení:
1) Řady rozdělení náhodné veličiny X uvedeny v tabulce
| Na | , |
| Na | , |
| Na | , |
| Na | |
| na | . |
Vynesení podél úsečky hodnoty X, a podél osy y - hodnoty a výběrem určitého měřítka získáme graf distribuční funkce (obr. 2.2). Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny má skoky (diskontinuity) v těch bodech, kde je náhodná veličina X nabývá specifických hodnot uvedených v distribuční tabulce. Součet všech skoků v distribuční funkci je roven jedné.
Rýže. 2.2 - Funkce diskrétního rozdělení hodnot
1). distribuční funkce .
Pro spojitou náhodnou veličinu má graf distribuční funkce (obr. 2.3) tvar hladké křivky.
Vlastnosti distribuční funkce:
c) pokud .
Rýže. 2.3 - Distribuční funkce spojité hodnoty
2). Hustota distribuce definováno jako derivace distribuční funkce, tzn.
| . |
Křivka znázorňující hustotu distribuce náhodné veličiny, je nazýván distribuční křivka (obr. 2.4).
Vlastnosti hustoty:
a tyhle. hustota je nezáporná funkce;
b), tj. oblast omezená distribuční křivka a osa x je vždy 1.
Pokud jsou všechny možné hodnoty náhodné veličiny X uzavřený uvnitř A před b, pak má druhá vlastnost hustoty tvar:
Rýže. 2.4 - Distribuční křivka
V praxi je často nutné znát pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty v určitém rozsahu, například od a do b. Požadovaná pravděpodobnost pro diskrétní náhodná veličina X je určeno vzorcem
protože pravděpodobnost jakékoli jednotlivé hodnoty spojité náhodné veličiny je rovna nule: .
Pravděpodobnost zásahu do spojité náhodné veličiny X na intervalu (a,b) je také určen výrazem:
Úkol 2.3. Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí
Najděte hustotu , stejně jako pravděpodobnost, že v důsledku testu náhodná veličina X bude mít hodnotu uzavřenou v intervalu .
Řešení:
2. Pravděpodobnost zásahu náhodné veličiny X v intervalu je určen vzorcem. Vezmeme a najdeme
Disperze normální náhodné veličiny.
Disperze náhodná veličina je matematické očekávání druhé mocniny odpovídající centrované náhodné veličiny.
Charakterizuje míru šíření hodnot náhodné veličiny vzhledem k jejímu matematickému očekávání, tzn. šířka rozsahu hodnot.
Výpočtové vzorce:
Rozptyl lze vypočítat z hlediska druhého počátečního momentu:
(6.10)
Disperze náhodné proměnné charakterizuje stupeň rozptylu (rozptyl) hodnot náhodné proměnné vzhledem k jejímu matematickému očekávání. Rozptyl SW (diskrétní i spojitý) je nenáhodná (konstantní) veličina.
Rozptyl SW má rozměr druhé mocniny náhodné veličiny. Charakteristiky rozptylu pro názornost používají veličinu, jejíž rozměr se shoduje s rozměrem SW.
směrodatná odchylka (RMS) SW X se nazývá charakteristický
. (6.11)
RMS se měří ve stejných fyzikálních jednotkách jako SW a charakterizuje šířku rozsahu hodnot SW.
Vlastnosti disperze
Disperzní konstanta S rovná se nule.
Důkaz: podle definice rozptylu
Když se přidá k náhodné proměnné X nenáhodná hodnota S jeho rozptyl se nemění.
D[X+C] = D[X].
Důkaz: podle definice rozptylu
(6.12)
3. Při násobení náhodné veličiny X o náhodné množství S jeho rozptyl se násobí od 2.
Důkaz: podle definice rozptylu
. (6.13)
Pro směrodatnou odchylku má tato vlastnost tvar:
(6.14)
Ve skutečnosti, když ½C½>1, hodnota cX má možné hodnoty (v absolutní hodnotě) větší než hodnota X. Proto jsou tyto hodnoty rozptýleny kolem matematického očekávání M[cX] je větší než možné hodnoty X kolem M[X], tj. 
. Pokud 0<½с½<1, то 
.
Pravidlo 3s. U většiny hodnot náhodné veličiny nepřesahuje absolutní hodnota její odchylky od matematického očekávání trojnásobek směrodatné odchylky, nebo jinými slovy, téměř všechny hodnoty CV jsou v intervalu:
[ m - 3s; m + 3 s; ].(6.15)
Pravděpodobnost pádu do daného intervalu normální náhodné veličiny
Jak již bylo stanoveno, pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty patřící do intervalu, se rovná určitému integrálu hustoty distribuce v rámci příslušných mezí: 
.
Pro normálně rozdělenou náhodnou veličinu získáme: 
.
Pojďme transformovat poslední výraz zavedením nové proměnné 
. Proto se exponent výrazu pod integrálem převede na: 
.
K nahrazení proměnné v určitém integrálu je stále nutné nahradit diferenciál a limity integrace, které byly předtím vyjádřeny proměnnou z náhradního vzorce: 
;
;
je spodní hranice integrace;
je horní hranice integrace;
(abychom našli limity integrace s ohledem na novou proměnnou a jsou limity integrace s ohledem na starou proměnnou dosazeny do vzorce pro změnu proměnné).
Dosaďte vše v posledním ze vzorců pro zjištění pravděpodobnosti: 
Kde 
je Laplaceova funkce.
Závěr: pravděpodobnost, že normálně rozdělená náhodná proměnná nabude hodnoty patřící do intervalu, je rovna: 
,
kde je matematické očekávání, je směrodatná odchylka dané náhodné veličiny.
23. Chi-kvadrát distribuce, Student a Fisher
Normální rozdělení definuje tři rozdělení, která se dnes běžně používají při statistickém zpracování dat. V následujících částech knihy se s těmito distribucemi setkáme mnohokrát.
Pearsonovo rozdělení (chi - square) - rozdělení náhodné veličiny
kde náhodné proměnné Xi, X2,…, Xn jsou nezávislé a mají stejné rozdělení N(0,1). V tomto případě počet termínů, tzn. n, se nazývá "počet stupňů volnosti" rozdělení chí-kvadrát.
Rozdělení chí-kvadrát se používá při odhadu rozptylu (pomocí intervalu spolehlivosti), při testování hypotéz shody, homogenity, nezávislosti, především u kvalitativních (kategorizovaných) proměnných, které nabývají konečného počtu hodnot, a v mnoha dalších úlohách statistické analýzy dat.
Rozdělení t Student je rozdělení náhodné veličiny
kde náhodné proměnné U A X nezávislý, U má standardní normální rozdělení N(0,1) a X– distribuce chi – čtverec s n stupně svobody. V čem n se nazývá "počet stupňů volnosti" Studentova rozdělení.
Studentovu distribuci zavedl v roce 1908 anglický statistik W. Gosset, který pracoval v továrně na pivo. V této továrně se k ekonomickým a technickým rozhodnutím používaly pravděpodobnostně-statistické metody, proto její vedení zakázalo V. Gossetovi publikovat vědecké články pod svým jménem. Tímto způsobem bylo chráněno obchodní tajemství, „know-how“ v podobě pravděpodobnostně-statistických metod vyvinutých W. Gossetem. Mohl však publikovat pod pseudonymem „Student“. Historie Gosset-Student ukazuje, že před sto lety byla britským manažerům zřejmá velká ekonomická účinnost pravděpodobnostně-statistických metod.
V současné době je Studentova distribuce jednou z nejznámějších distribucí používaných při analýze reálných dat. Používá se při odhadu matematického očekávání, prediktivní hodnoty a dalších charakteristik pomocí intervalů spolehlivosti, testování hypotéz o hodnotách matematických očekávání, regresních koeficientů, hypotéz o homogenitě vzorku atd. .
Kde 
- integrální Laplaceova funkce, je uveden v tabulce.
Z vlastností určitého integrálu Ф (- X)= - Ф( X), tj. funkce Ф( X) je zvláštní.
Z toho jsou odvozeny následující (odvozené) vzorce:
Za předpokladu: a) d=s
Pravidlo tři sigma (3s): je téměř jisté, že v jediném testu nepřekročí odchylka normálně rozdělené náhodné veličiny od jejího matematického očekávání trojnásobek směrodatné odchylky.
Úkol: Předpokládá se, že množství zrcadlových kaprů ulovených v rybníku je náhodná veličina X, která má normální rozdělení s matematickým očekáváním A\u003d 375 g. a směrodatná odchylka s \u003d 25 g. Je nutné určit:
A) Pravděpodobnost, že hmotnost náhodně uloveného kapra bude alespoň a=300 g a ne více než b=425 g.
B) Pravděpodobnost, že odchylka zadané hmotnosti od průměrné hodnoty (matematické očekávání) v absolutní hodnotě bude menší než d = 40 g.
C) Pomocí pravidla tři sigma najděte minimální a maximální limity odhadované hmotnosti zrcadlových kaprů.
Řešení:
A) 
Závěr: Přibližně 98 % kaprů, kteří plavou v rybníku, váží nejméně 300 g a ne více než 425 g.
b) 
Závěr: Přibližně 89 % má hmotnost inzerát= 375-40 = 335 až A+ d \u003d 375 + 40 \u003d 415 g.
C) Podle pravidla tří sigma:
Závěr: Hmotnost téměř všech kaprů (cca 100 %) leží v rozmezí od 300 do 450 gramů.
Úkoly pro samostatné řešení
1. Střelec zasáhne cíl s pravděpodobností 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že při třech ranách bude cíl zasažen přesně dvakrát? Alespoň dvakrát?
2. V rodině jsou čtyři děti. Berte narození chlapce a dívky jako stejně pravděpodobné události a odhadněte pravděpodobnost, že jsou v rodině dvě dívky. Tři holčičky a jeden kluk. Sestavte distribuční zákon pro náhodnou veličinu X odpovídající možnému počtu dívek v rodině. Vypočítejte vlastnosti: M(X), s.
3. Kostkou se hází třikrát. Jaká je pravděpodobnost, že jednou padne "6"? Ne více než jednou?
4. Náhodná hodnota X rovnoměrně rozložené v intervalu. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná proměnná X bude spadat do intervalu?
5. Předpokládá se, že růst lidí (pro jistotu - dospělých, mužů) žijících v určité oblasti se řídí normálním distribučním zákonem s matematickým očekáváním A\u003d 170 cm a směrodatná odchylka s \u003d 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že výška náhodně vybrané osoby:
A) nebude větší než 180 cm a ne menší než 165 cm?
B) odchyluje se od průměru v absolutní hodnotě nejvýše o 10 cm?
C) podle pravidla „tři sigma“ odhadněte minimální a maximální možnou výšku člověka.
Kontrolní otázky
1. Jak se píše Bernoulliho formule? Kdy se aplikuje?
2. Co je to zákon binomického rozdělení?
3. Která náhodná veličina se nazývá rovnoměrně rozdělená?
4. Jaký tvar mají integrální a diferenciální distribuční funkce pro náhodnou veličinu rovnoměrně rozloženou na intervalu [ A, b]?
5. Která náhodná veličina má zákon normálního rozdělení?
6. Jak vypadá křivka zvonu?
7. Jak zjistit pravděpodobnost, že normálně rozložená náhodná veličina spadne do daného intervalu?
8. Jak je formulováno pravidlo Three Sigma?
Úvod do teorie náhodných procesů
náhodná funkce volání funkce, jejíž hodnota pro každou hodnotu nezávisle proměnné je náhodná proměnná.
Náhodný (nebo stochastický) proces se nazývá náhodná funkce, pro kterou je nezávislou proměnnou čas t.
Jinými slovy, náhodný proces je náhodná proměnná, která se v čase mění. náhodný proces X(t) on je určitá křivka, je to množina nebo rodina určitých křivek x i (t) (i= 1, 2, …, n) získané jako výsledek jednotlivých experimentů. Každá křivka v této sadě se nazývá implementace (nebo trajektorie) náhodný proces.
Průřez náhodným procesem nazývaná náhodná proměnná X(t 0) odpovídající hodnotě náhodného procesu v určitém pevném čase t = t0.
V mnoha problémech souvisejících s normálně rozdělenými náhodnými veličinami je nutné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina , splňující normální zákon s parametry , spadá do intervalu od do . K výpočtu této pravděpodobnosti použijeme obecný vzorec
kde je distribuční funkce množství .
Najděte distribuční funkci náhodné veličiny rozdělené podle normálního zákona s parametry. Hustota distribuce hodnoty je:
.
(6.3.2)
Odtud najdeme distribuční funkci
. (6.3.3)
Udělejme změnu proměnné v integrálu (6.3.3)
a uveďte jej do formuláře:
(6.3.4)
Integrál (6.3.4) se nevyjadřuje pomocí elementárních funkcí, ale lze jej vypočítat pomocí speciální funkce, která vyjadřuje určitý integrál výrazu neboli (tzv. pravděpodobnostní integrál), pro který se sestavují tabulky. Existuje mnoho druhů takových funkcí, například:
;
atd. Kterou z těchto funkcí použít, je věcí vkusu. Zvolíme jako takovou funkci
. (6.3.5)
Je snadné vidět, že tato funkce není nic jiného než distribuční funkce pro normálně rozdělenou náhodnou veličinu s parametry.
Souhlasíme s tím, že funkci budeme nazývat normální distribuční funkcí. V příloze (Tabulka 1) jsou uvedeny tabulky funkčních hodnot.
Vyjádřeme distribuční funkci (6.3.3) veličiny pomocí parametrů a pomocí funkce normálního rozdělení . Očividně,
.
(6.3.6)
Nyní najdeme pravděpodobnost zásahu náhodné proměnné v segmentu od do . Podle vzorce (6.3.1)
Vyjádřili jsme tedy pravděpodobnost, že náhodná veličina , rozdělená podle normálního zákona s libovolnými parametry, dopadne na graf z hlediska standardní distribuční funkce , odpovídající nejjednoduššímu normálnímu zákonu s parametry 0,1. Všimněte si, že argumenty funkce ve vzorci (6.3.7) mají velmi jednoduchý význam: existuje vzdálenost od pravého konce úseku ke středu disperze, vyjádřená ve směrodatných odchylkách; - stejná vzdálenost pro levý konec sekce a tato vzdálenost je považována za kladnou, pokud je konec umístěn napravo od středu rozptylu, a zápornou, pokud je nalevo.
Jako každá distribuční funkce má tato funkce následující vlastnosti:
3. - neklesající funkce.
Navíc ze symetrie normálního rozdělení s parametry o původu vyplývá, že
Pomocí této vlastnosti by ve skutečnosti bylo možné omezit tabulky funkcí pouze na kladné hodnoty argumentu, ale aby se předešlo zbytečné operaci (odčítání od jedné), tabulka 1 přílohy poskytuje hodnoty pro kladné i záporné argumenty.
V praxi se často setkáváme s problémem výpočtu pravděpodobnosti, že normálně rozložená náhodná veličina spadne do oblasti, která je symetrická ke středu disperze. Uvažujme takový úsek délky (obr. 6.3.1). Vypočítejme pravděpodobnost zásahu tohoto webu pomocí vzorce (6.3.7):
Vezmeme-li v úvahu vlastnost (6.3.8) funkce a dáme-li levé straně vzorce (6.3.9) kompaktnější tvar, dostaneme vzorec pro pravděpodobnost, že náhodná veličina rozložená podle normálního zákona spadá do řezu symetrického vzhledem ke středu rozptylu:
.
(6.3.10)
Pojďme vyřešit následující problém. Vyčleňme si po sobě jdoucí úseky délky od středu rozptylu (obr. 6.3.2) a vypočítejme pravděpodobnost, že do každého z nich spadne náhodná veličina. Protože křivka normálního zákona je symetrická, stačí takové segmenty odložit pouze jedním směrem.
Podle vzorce (6.3.7) zjistíme:
(6.3.11)
Jak je z těchto údajů patrné, pravděpodobnosti zasažení každého z následujících segmentů (pátého, šestého atd.) s přesností 0,001 jsou rovna nule.
Zaokrouhlením pravděpodobnosti zásahu segmentů na 0,01 (až 1 %) dostaneme tři čísla, která si snadno zapamatujete:
0,34; 0,14; 0,02.
Součet těchto tří hodnot je 0,5. To znamená, že pro normálně rozloženou náhodnou veličinu se všechny disperze (až zlomky procent) vejdou do sekce .
To umožňuje při znalosti směrodatné odchylky a matematického očekávání náhodné veličiny přibližně naznačit rozsah jejích prakticky možných hodnot. Tato metoda odhadu rozsahu možných hodnot náhodné veličiny je v matematické statistice známá jako „pravidlo tří sigma“. Pravidlo tří sigma také implikuje přibližnou metodu pro určení směrodatné odchylky náhodné veličiny: vezmou maximální prakticky možnou odchylku od průměru a vydělí ji třemi. Tuto hrubou metodu lze samozřejmě doporučit pouze v případě, že neexistují jiné, přesnější způsoby stanovení .
Příklad 1. Náhodná veličina rozdělená podle normálního zákona je chyba při měření určité vzdálenosti. Při měření je povolena systematická chyba ve směru nadhodnocení o 1,2 (m); směrodatná odchylka chyby měření je 0,8 (m). Najděte pravděpodobnost, že odchylka naměřené hodnoty od skutečné hodnoty nepřekročí 1,6 (m) v absolutní hodnotě.
Řešení. Chyba měření je náhodná veličina, která se řídí normálním zákonem s parametry a . Musíme najít pravděpodobnost, že tato veličina spadá do intervalu od do . Podle vzorce (6.3.7) máme:
Pomocí tabulek funkcí (příloha, tabulka 1) zjistíme:
;
,
Příklad 2. Najděte stejnou pravděpodobnost jako v předchozím příkladu, ale za podmínky, že neexistuje žádná systematická chyba.
Řešení. Podle vzorce (6.3.10), za předpokladu, najdeme:
.
Příklad 3. Na terč, který vypadá jako pás (dálnice), jehož šířka je 20 m, se střílí ve směru kolmém k dálnici. Zaměřování se provádí podél osy dálnice. Směrodatná odchylka ve směru střelby je rovna m. Ve směru střelby je systematická chyba: podstřel je 3 m. Určete pravděpodobnost zásahu do dálnice jednou ranou.
Pravděpodobnost pádu do daného intervalu normální náhodné veličiny
Je již známo, že pokud je náhodná veličina X dána hustotou rozdělení f (x), pak pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty patřící do intervalu (a, b) je následující:
Nechť je náhodná veličina X rozdělena podle normálního zákona. Potom je pravděpodobnost, že X nabývá hodnoty patřící do intervalu (a,b), rovna
Pojďme tento vzorec transformovat, abyste mohli používat hotové tabulky. Zaveďme novou proměnnou z = (x-a)/--s. Odtud x = sz+a, dx = sdz . Pojďme najít nové limity integrace. Jestliže x= a, pak z=(a-a)/--s; pokud x \u003d b, pak z \u003d (b-a) / - s.
Takže máme
Pomocí funkce Laplace
konečně dostaneme
Výpočet pravděpodobnosti náhodné události
V dávce 14 dílů jsou 2 nestandardní díly. 3 položky jsou náhodně vybrány. Sestavte zákon rozdělení náhodné veličiny X - počet standardních částí mezi vybranými. Najděte číselné charakteristiky, . Řešení Jednoznačně...
Studium pevnosti v tahu kaliko pásů
Oni říkají...
Metody pro odhad neznámých distribučních parametrů
Je-li náhodná veličina X dána hustotou rozdělení, pak pravděpodobnost, že X nabude hodnoty patřící do intervalu, je následující: Nechť je náhodná veličina X rozdělena podle normálního zákona. Pak pravděpodobnost, že X nabude hodnoty...
Spojitá náhodná veličina
Funkce rozdělení pravděpodobnosti F(x) náhodné veličiny X v bodě x je pravděpodobnost, že v důsledku experimentu náhodná veličina nabude hodnoty menší než x, tzn. F(x)=P(X< х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0...
Spojité náhodné veličiny. Zákon normálního rozdělení
Když známe hustotu rozdělení, můžeme vypočítat pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude hodnoty, která patří do daného intervalu. Výpočet je založen na následující větě. Teorém. Pravděpodobnost...
Finální matematické očekávání mx=5 Směrodatná odchylka yx=3 Velikost vzorku n=335 Pravděpodobnost spolehlivosti r=0,95 Úroveň významnosti Počet vzorkovaných hodnot N=13 Simulace náhodné veličiny...
Statické modelování systému
Statické modelování systému
3. Vyhodnocení statistických charakteristik náhodného procesu Úkoly jsou stanoveny podle oddílů ...
Statické modelování systému
Rozdělení: f(x)=b(3-x), b>0 Meze rozdělení 1 Statické modelování systému Co je náhodná veličina teorie pravděpodobnosti náhodné veličiny Výše uvedená pravidla pro rozdělení náhodné veličiny platí pouze ve vztahu k diskrétním veličinám, a to z důvodu ... Základy teorie pravděpodobnosti Podívejme se na důležitý problém z hlediska praktické aplikace. Nechť existuje spojitá náhodná veličina s hustotou rozdělení. Zajímá nás problém nalezení distribuční hustoty veličiny spojené se vztahem: ...