درون یابی بدهید. تعیین یک مقدار میانی با درونیابی خطی

موقعیتی وجود دارد که باید نتایج میانی را در آرایه ای از مقادیر شناخته شده پیدا کنید. در ریاضیات به آن درون یابی می گویند. در اکسل این روش هم برای داده های جدولی و هم برای رسم نمودارها قابل استفاده است. بیایید نگاهی به هر یک از این روش ها بیندازیم.

شرط اصلی که می توان درون یابی را اعمال کرد این است که مقدار مورد نظر باید درون آرایه داده باشد و از حد آن فراتر نرود. به عنوان مثال، اگر مجموعه ای از آرگومان های 15، 21 و 29 داشته باشیم، هنگام یافتن یک تابع برای آرگومان 25، می توانیم از درون یابی استفاده کنیم. و برای یافتن مقدار مربوطه برای آرگومان 30 - دیگر. این تفاوت اصلی بین این روش و برون یابی است.

روش 1: درون یابی برای داده های جدولی

اول از همه، استفاده از درون یابی برای داده هایی که در یک جدول قرار دارند را در نظر بگیرید. برای مثال، بیایید آرایه‌ای از آرگومان‌ها و مقادیر تابع مربوط به آن‌ها را در نظر بگیریم که نسبت آن‌ها را می‌توان با یک معادله خطی توصیف کرد. این داده ها در جدول زیر آورده شده است. باید تابع مربوط به آرگومان را پیدا کنیم 28 . ساده ترین راه برای انجام این کار با اپراتور است پیش بینی.

روش 2: درون یابی یک نمودار با استفاده از تنظیمات آن

هنگام ترسیم یک تابع نیز می توان از روش درون یابی استفاده کرد. اگر جدولی که نمودار بر اساس آن است، مقدار تابع مربوطه را برای یکی از آرگومان ها مشخص نکند، مانند تصویر زیر، مرتبط است.

همانطور که می بینید، نمودار تصحیح شده است و شکاف با استفاده از درون یابی حذف شده است.

روش 3: درونیابی نمودار با یک تابع

همچنین می توانید نمودار را با استفاده از تابع ویژه ND درون یابی کنید. مقادیر null را در سلول مشخص شده برمی گرداند.

حتی می توانید بدون دویدن کار را آسان تر کنید Function Wizard، اما فقط از صفحه کلید برای هدایت یک مقدار به یک سلول خالی استفاده کنید "#N/A"بدون نقل قول. اما از قبل به این بستگی دارد که چگونه برای کدام کاربر راحت تر است.

همانطور که می بینید، در برنامه اکسل، می توانید مانند داده های جدولی با استفاده از تابع، درون یابی کنید پیش بینی، و همچنین گرافیک. در حالت دوم، این کار را می توان با استفاده از تنظیمات نمودار یا با استفاده از تابع انجام داد ND، باعث ایجاد خطا می شود "#N/A". انتخاب این که از کدام روش استفاده شود به بیان مشکل و همچنین به ترجیحات شخصی کاربر بستگی دارد.

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به Interpolation مراجعه کنید. در مورد تابع، نگاه کنید به: Interpolant.

درون یابی, درون یابی (از جانبلات اینترپولیس - « هموار شد، تمدید شد، تجدید شد. تبدیل شده است"") - در ریاضیات محاسباتی، روشی برای یافتن مقادیر میانی یک کمیت از یک مجموعه گسسته موجود از مقادیر شناخته شده است. اصطلاح درون یابی برای اولین بار توسط جان والیس در رساله حساب بی نهایت (1656) استفاده شد.

در تحلیل تابعی، درون یابی عملگرهای خطی بخشی است که فضاهای باناخ را به عنوان عناصر یک دسته خاص در نظر می گیرد.

بسیاری از کسانی که با محاسبات علمی و مهندسی سر و کار دارند، اغلب مجبورند با مجموعه ای از مقادیر به دست آمده به صورت تجربی یا نمونه گیری تصادفی کار کنند. به عنوان یک قاعده، بر اساس این مجموعه ها، لازم است تابعی ساخته شود که سایر مقادیر به دست آمده با دقت بالایی بر روی آن قرار گیرند. چنین کاری تقریب نامیده می شود. درون یابی نوعی تقریب است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.

همچنین یک مشکل نزدیک به درون یابی وجود دارد که شامل تقریب یک تابع پیچیده توسط یک تابع ساده تر است. اگر یک تابع خاص برای محاسبات تولیدی بیش از حد پیچیده است، می توانید سعی کنید مقدار آن را در چندین نقطه محاسبه کنید، و یک تابع ساده تر از آنها بسازید، یعنی درون یابی کنید. البته، استفاده از یک تابع ساده به شما اجازه نمی دهد که دقیقاً همان نتایجی را که تابع اصلی می دهد به دست آورید. اما در برخی از کلاس‌های مسائل، سود در سادگی و سرعت محاسبات می‌تواند بر خطای حاصل در نتایج بیشتر باشد.

همچنین باید به نوعی کاملاً متفاوت از درون یابی ریاضی اشاره کرد که به نام " درون یابی عملگر " معروف است. آثار کلاسیک در درون یابی عملگرها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه Marcinkiewicz است که مبنای بسیاری از کارهای دیگر است.

تعاریف

سیستمی از نقاط غیرمتناسب x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) از دامنه D ( \displaystyle D) . اجازه دهید مقادیر تابع f (\displaystyle f) فقط در این نقاط شناخته شود:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i))،\quad i=1،\ldots،N.)

مشکل درونیابی یافتن تابع F (\displaystyle F) از یک کلاس معین از توابع است به طوری که

F (x i) = y i، i = 1، …، N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i)،\quad i=1،\ldots،N.)

نقاط x i (\displaystyle x_(i)) فراخوانی می شوند گره های درون یابی، و کلیت آنها است شبکه درون یابی.
جفت های (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) نامیده می شوند نقاط دادهیا نقاط پایه.
تفاوت بین مقادیر " مجاور " Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - مرحله شبکه درونیابی. می تواند هم متغیر و هم ثابت باشد.
تابع F (x) (\displaystyle F(x)) - تابع درون یابییا درون یابی.

مثال

1. فرض کنید یک تابع جدول مانند زیر داریم که برای چندین مقدار x (\displaystyle x)، مقادیر مربوط به f (\displaystyle f) را تعیین می کند:

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

درون یابی به ما کمک می کند تا بفهمیم چنین تابعی در نقطه ای غیر از نقاط مشخص شده چه مقداری می تواند داشته باشد (مثلاً وقتی ایکس = 2,5).

تا به امروز، روش های مختلفی برای درون یابی وجود دارد. انتخاب مناسب ترین الگوریتم بستگی به پاسخ به سوالات دارد: روش انتخاب شده چقدر دقیق است، هزینه استفاده از آن چقدر است، تابع درون یابی چقدر صاف است، به چند نقطه داده نیاز دارد و غیره.

2. یک مقدار میانی (با درونیابی خطی) پیدا کنید.

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+ (\frac ((6378-6000))(8000-6000) (8000-1-0) 15.5) (1)) = 16.1993)

در زبان های برنامه نویسی

مثالی از درونیابی خطی برای تابع y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)). کاربر می تواند عددی بین 1 تا 10 وارد کند.

فرترن

برنامه interpol عدد صحیح i واقعی x, y, xv, yv, yv2 بعد x(10) بعد y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) نوشتن(*,*) "شماره را وارد کنید: "خواندن (*،*) xv اگر ((xv >= 1).and.(xv xv)) سپس yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) پایان اگر end do پایان زیرروال

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter شماره: ")؛ cin >> ob; system("echo برای مثال 62، C1 = 60، L1 = 1.31، C2 = 80، L2 = 1.29")؛ cout > x1؛ cout > x2؛ cout > y1؛ cout > y2؛ p1 = y1 - x1؛ p2 = y2 - x2؛ pi = p2 / p1؛ skolko = ob - x1؛ وضعیت = x2 + (pi * skolko)؛ cout

روش های درون یابی

نزدیکترین همسایه الحاق

ساده ترین روش درونیابی، درونیابی نزدیکترین همسایه است.

درونیابی توسط چندجمله ای ها

در عمل، درون یابی توسط چند جمله ای ها بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. این در درجه اول به این دلیل است که چندجمله ای ها به راحتی قابل محاسبه هستند، به راحتی می توان مشتقات آنها را به صورت تحلیلی پیدا کرد و مجموعه چند جمله ای ها در فضای توابع پیوسته متراکم هستند (قضیه وایرشتراس).

درون یابی خطی
فرمول درونیابی نیوتن
روش تفاضل محدود
IMN-1 و IMN-2
چند جمله ای لاگرانژ (چند جمله ای درون یابی)
طرح آیتکن
تابع اسپلاین
اسپلاین مکعبی

درونیابی معکوس (محاسبه x داده شده y)

چند جمله ای لاگرانژ
درونیابی معکوس با فرمول نیوتن
درون یابی معکوس گاوس

درون یابی تابع چند متغیره

درون یابی دو خطی
درون یابی دو مکعبی

سایر روش های درونیابی

درون یابی منطقی
درونیابی مثلثاتی

مفاهیم مرتبط

برون یابی - روش هایی برای یافتن نقاط خارج از یک بازه معین (گسترش منحنی)
تقریب - روش هایی برای ساخت منحنی های تقریبی

درون یابی معکوس

بر روی کلاس توابع از فضای C2 که نمودارهای آن از نقاط آرایه عبور می کند (xi, yi), i = 0, 1, . . . ، م.

راه حل. در بین تمام توابعی که از نقاط مرجع (xi, f(xi)) می گذرد و متعلق به فضای مذکور است، این اسپلاین مکعبی S(x) است که شرایط مرزی را برآورده می کند S00(a) = S00(b) = 0. که حداکثر (حداقل) عملکردی (f) را فراهم می کند.

اغلب در عمل مشکل جستجو برای مقدار داده شده تابع مقدار آرگومان وجود دارد. این مشکل با روش های درون یابی معکوس حل می شود. اگر تابع داده شده یکنواخت باشد، ساده ترین راه برای انجام درون یابی معکوس، جایگزینی تابع با یک آرگومان و بالعکس و سپس درون یابی است. اگر تابع داده شده یکنواخت نباشد، نمی توان از این تکنیک استفاده کرد. سپس، بدون تغییر نقش تابع و آرگومان، این یا آن فرمول درون یابی را یادداشت می کنیم. با استفاده از مقادیر شناخته شده آرگومان و با فرض مشخص بودن تابع، معادله حاصل را با توجه به آرگومان حل می کنیم.

تخمین ترم باقیمانده هنگام استفاده از روش اول مانند درون یابی مستقیم خواهد بود، فقط مشتقات تابع مستقیم باید با مشتقات تابع معکوس جایگزین شوند. اجازه دهید خطای روش دوم را تخمین بزنیم. اگر تابع f(x) به ما داده شود و Ln (x) چند جمله ای درون یابی لاگرانژ است که برای این تابع بر روی گره های x0، x1، x2، ساخته شده است. . . ، xn، سپس

f (x) - Ln (x) =(n + 1)! (x − x0). . . (x − xn) .

فرض کنید باید مقدار x¯ را پیدا کنیم به طوری که f (¯x) = y¯ (y¯ داده شده است). معادله Ln (x) = y¯ را حل خواهیم کرد. بیایید مقدار x¯ را بدست آوریم. با جایگزینی معادله قبلی به دست می آوریم:

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
با استفاده از فرمول لانگرانژ به دست می آوریم
(x¯ - x¯) f0 (η) =


که در آن η بین x¯ و x¯ است. اگر بازه‌ای است که حاوی x¯ و x¯ و min است

از آخرین عبارت به شرح زیر است:

|x¯ − x¯| 6m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

البته در این حالت فرض بر این است که معادله Ln (x) = y¯ را دقیقاً حل کرده ایم.

استفاده از درون یابی برای جدول بندی

تئوری درون یابی در تدوین جداول توابع کاربرد دارد. با دریافت چنین مسئله ای، ریاضیدان باید قبل از شروع محاسبات، تعدادی سؤال را حل کند. فرمولی که با آن محاسبات انجام خواهد شد باید انتخاب شود. این فرمول ممکن است از سایتی به سایت دیگر متفاوت باشد. معمولاً فرمول های محاسبه مقادیر توابع دست و پا گیر هستند و به همین دلیل از آنها برای به دست آوردن مقادیری مرجع استفاده می شود و سپس با جدول بندی فرعی جدول را ضخیم می کنند. فرمولی که مقادیر مرجع تابع را می دهد باید دقت مورد نیاز جداول را با در نظر گرفتن جدول بندی زیر ارائه دهد. اگر می خواهید جداول را با یک مرحله ثابت جمع آوری کنید، ابتدا باید مرحله آن را تعیین کنید.

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش

اغلب جداول توابع به گونه ای جمع آوری می شوند که درون یابی خطی (یعنی درون یابی با استفاده از دو عبارت اول فرمول تیلور) امکان پذیر باشد. در این مورد، عبارت باقیمانده به نظر می رسد

R1 (x) =f00 (ξ)h2t (t - 1).

در اینجا ξ متعلق به فاصله بین دو مقدار جدولی مجاور آرگومان است که x در آن قرار دارد و t بین 0 و 1 است. حاصلضرب t(t - 1) بزرگترین مدول را می گیرد.

مقدار در t = 12. این مقدار برابر با 14 است. بنابراین،

باید به خاطر داشت که در کنار این خطا - خطای روش، در محاسبه عملی مقادیر میانی، همچنان یک خطای غیرقابل جبران و خطای گرد وجود خواهد داشت. همانطور که قبلا دیدیم، خطای کشنده در درون یابی خطی برابر با خطای مقادیر جدول بندی شده تابع خواهد بود. خطای گرد کردن به ابزار محاسباتی و برنامه محاسبه بستگی دارد.

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش

نمایه موضوعی

تقسیم اختلاف مرتبه دوم، 8 مرتبه اول، 8

اسپلاین، 15

گره های درون یابی، 4

بازگشت اول قبلی بعدی آخرین فهرست پرش

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / نحوه انجام درون یابی

فرمول درونیابی داده های جدولی

در عمل دوم، زمانی که مقدار NXR (Q, t) از شرایط استفاده می شود میانی است 100 تن و 300 تن.

(استثنا:اگر با شرط Q برابر با 100 یا 300 باشد، نیازی به درونیابی نیست).

y o- مقدار اولیه NHR شما از شرایط، به تن

(مطابق با حرف Q)

y 1 – کمتر

(از جداول 11-16، معمولا 100).

y 2 – بیشتر نزدیکترین مقدار به مقدار NCR شما، بر حسب تن

(از جداول 11-16، معمولا 300).

ایکس 1 y 1 (ایکس 1 روبرو واقع شده است y 1 ) کیلومتر

ایکس 2 - مقدار جدولی عمق انتشار یک ابر هوای آلوده (G t)، به ترتیب y 2 (ایکس 2 روبرو واقع شده است y 2 ) کیلومتر

ایکس 0 - مقدار مورد نظر جی تیمتناظر y o(طبق فرمول).

مثال.

NCR - کلر؛ Q = 120 تن;

نوع SVSP (درجه مقاومت هوای عمودی) - وارونگی.

پیدا کردن جی تی- مقدار جدولی عمق انتشار ابر هوای آلوده.

ما جداول 11-16 را بررسی می کنیم و داده هایی را پیدا می کنیم که با شرایط شما مطابقت دارد (کلر، وارونگی).

جدول مناسب 11.

انتخاب ارزش ها y 1 , y 2, ایکس 1 , ایکس 2 . مهم - سرعت باد را 1 متر در ثانیه می گیریم، دما را - 20 درجه سانتیگراد می گیریم.

مقادیر انتخاب شده را در فرمول جایگزین کرده و پیدا کنید ایکس 0 .

مهم - محاسبه صحیح است اگر ایکس 0 در جایی بین ارزش خواهد داشت ایکس 1 , ایکس 2 .

1.4. فرمول درونیابی لاگرانژ

الگوریتم پیشنهادی لاگرانژ برای ساخت درونیابی

توابع مطابق جداول (1) ساخت چند جمله ای درون یابی Ln(x) را به شکل ارائه می کند.

بدیهی است که تحقق شرایط (11) برای (10) تحقق شرایط (2) بیان مسئله درون یابی را تعیین می کند.

چند جمله ای های li(x) به صورت زیر نوشته می شوند

توجه داشته باشید که هیچ عاملی در مخرج فرمول (14) برابر با صفر نیست. با محاسبه مقادیر ثابت ci، می توانید از آنها برای محاسبه مقادیر تابع درون یابی در نقاط داده شده استفاده کنید.

فرمول چند جمله ای درون یابی لاگرانژ (11) با در نظر گرفتن فرمول های (13) و (14) را می توان به صورت زیر نوشت:

qi (x - x0) (x - x1) K (x - xi -1) (x - xi +1) K (x - xn)

1.4.1. سازماندهی محاسبات دستی طبق فرمول لاگرانژ

استفاده مستقیم از فرمول لاگرانژ منجر به تعداد زیادی محاسبات از همان نوع می شود. برای جداول با ابعاد کوچک، این محاسبات هم به صورت دستی و هم در محیط نرم افزار قابل انجام است.

در مرحله اول، الگوریتم محاسبات را به صورت دستی در نظر می گیریم. در آینده نیز باید همین محاسبات در محیط تکرار شود

Microsoft Excel یا OpenOffice.org Calc.

روی انجیر شکل 6 نمونه ای از جدول منبع یک تابع درون یابی را نشان می دهد که توسط چهار گره تعریف شده است.

شکل 6. جدول حاوی داده های اولیه برای چهار گره تابع درونیابی

در ستون سوم جدول، مقادیر ضرایب qi محاسبه شده با فرمول (14) را می نویسیم. در زیر رکوردی از این فرمول ها برای n=3 آورده شده است.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

مرحله بعدی در اجرای محاسبات دستی، محاسبه مقادیر li(x) (j=0،1،2،3) است که توسط فرمول (13) انجام می شود.

بیایید این فرمول ها را برای نسخه جدولی که در نظر داریم با چهار گره بنویسیم:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3)،

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3)،

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3)،(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2).

بیایید مقادیر چند جمله ای li(xj) (j=0,1,2,3) را محاسبه کرده و در خانه های جدول یادداشت کنیم. مقادیر تابع Ycalc(x) طبق فرمول (11) در نتیجه جمع کردن مقادیر li(xj) در ردیف ها به دست می آید.

قالب جدول که شامل ستون هایی از مقادیر محاسبه شده li(xj) و ستونی از مقادیر Ycalc(x) است، در شکل 8 نشان داده شده است.

برنج. 8. جدول با نتایج محاسبات دستی انجام شده توسط فرمول های (16)، (17) و (11) برای همه مقادیر آرگومان xi

پس از تکمیل شکل گیری جدول نشان داده شده در شکل. 8، با فرمول های (17) و (11) می توان مقدار تابع درون یابی را برای هر مقدار آرگومان X محاسبه کرد. به عنوان مثال، برای X=1 مقادیر li(1) را محاسبه می کنیم (i= 0،1،2،3):

l0(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966.

با جمع کردن مقادیر li(1) مقدار Yinterp(1)=3.1463 را بدست می آوریم.

1.4.2. پیاده سازی الگوریتم درون یابی با فرمول های لاگرانژ در محیط برنامه مایکروسافت اکسل

پیاده سازی الگوریتم درون یابی، مانند محاسبات دستی، با نوشتن فرمول هایی برای محاسبه ضرایب qi آغاز می شود. 9 ستون های جدول را با مقادیر داده شده آرگومان، تابع درون یابی و ضرایب qi نشان می دهد. در سمت راست این جدول فرمول هایی وجود دارد که در خانه های ستون C برای محاسبه مقادیر ضرایب qi نوشته شده است.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

برنج. 9 جدول ضرایب چی و فرمول های محاسبه

پس از وارد کردن فرمول q0 در سلول C2، از طریق سلول های C3 به C5 کشیده می شود. پس از آن، فرمول های موجود در این سلول ها مطابق با (16) به شکل نشان داده شده در شکل 1 تصحیح می شوند. 9.

Ycalc (xi)،

با پیاده سازی فرمول (17)، فرمول هایی برای محاسبه مقادیر li(x) (i=0،1،2،3) در سلول های ستون های D، E، F و G می نویسیم. در سلول D2 برای محاسبه مقدار l0(x0)، فرمول را می نویسیم:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5)،

مقادیر l0 (xi) (i=0,1,2,3) را بدست می آوریم.

قالب پیوند $A2 به شما امکان می دهد فرمول را در امتداد ستون های E، F، G بکشید تا فرمول های محاسباتی برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) را تشکیل دهید. کشیدن فرمول روی یک ردیف، شاخص ستون آرگومان ها را تغییر نمی دهد. برای محاسبه li(x0) (i=1,2,3) پس از رسم فرمول l0(x0) لازم است طبق فرمول (17) اصلاح شوند.

در ستون H فرمول های Excel برای جمع li(x) را طبق فرمول قرار می دهیم

(11) الگوریتم.

روی انجیر 10 جدول پیاده سازی شده در محیط برنامه Microsoft Excel را نشان می دهد. نشانه صحت فرمول های نوشته شده در سلول های جدول و عملیات محاسباتی انجام شده، ماتریس مورب حاصل li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3) با تکرار نتایج نشان داده شده در شکل. 8 و ستونی از مقادیر مطابق با مقادیر تابع درون یابی شده در گره های جدول اصلی.

برنج. 10. جدول مقادیر li(xj) (j=0،1،2،3) و Ycalc(xj)

برای محاسبه مقادیر در برخی از نقاط میانی، کافی است

در سلول های ستون A، با شروع از سلول A6، مقادیر آرگومان X را که می خواهید مقادیر تابع درون یابی شده را برای آن تعیین کنید، وارد کنید. برجسته

در آخرین خط (5) جدول سلولی از l0(xn) تا Ycalc(xn) و فرمول های نوشته شده در سلول های انتخاب شده را به خط حاوی آخرین کشش دهید.

مقدار داده شده آرگومان x.

روی انجیر 11 جدولی را نشان می دهد که در آن مقدار تابع در سه نقطه x=1، x=2 و x=3 محاسبه می شود. یک ستون اضافی با شماره ردیف جدول داده منبع به جدول معرفی شده است.

برنج. 11. محاسبه مقادیر توابع درون یابی با استفاده از فرمول لاگرانژ

برای وضوح بیشتر نمایش نتایج درون یابی، جدولی می سازیم که شامل ستونی از مقادیر آرگومان X به ترتیب صعودی، ستونی از مقادیر اولیه تابع Y(X) و ستونی است.

به من بگویید چگونه از فرمول درون یابی و کدام یک در حل مسائل ترمودینامیک (مهندسی گرما) استفاده کنم.

ایوان شستاکوویچ

ساده ترین، اما اغلب به اندازه کافی دقیق نیست، خطی است. زمانی که از قبل دو نقطه شناخته شده (X1 Y1) و (X2 Y2) دارید و باید مقادیر Y روز برخی از X را پیدا کنید که بین X1 و X2 است. سپس فرمول ساده است.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
ضمناً، این فرمول برای مقادیر X خارج از بازه X1..X2 نیز کار می کند، اما قبلاً به آن برون یابی می گویند و در فاصله قابل توجهی از این فاصله، خطای بسیار بزرگی می دهد.
بسیاری از تشک های دیگر وجود دارد. روش های درون یابی - به شما توصیه می کنم کتاب درسی را بخوانید یا از طریق اینترنت جستجو کنید.
روش درونیابی گرافیکی نیز منتفی نیست - به صورت دستی نموداری را از طریق نقاط شناخته شده بکشید و Y را از نمودار برای X مورد نیاز پیدا کنید. ;)

رمان

شما دو معنی دارید. و تقریباً وابستگی (خطی، درجه دوم، ..)
نمودار این تابع از دو نقطه شما عبور می کند. شما به یک مقدار در جایی در این بین نیاز دارید. خب بیان!
مثلا. در جدول، در دمای 22 درجه، فشار بخار اشباع 120000 Pa و در 26، 124000 Pa است. سپس در دمای 23 درجه 121000 Pa.

درون یابی (مختصات)

روی نقشه یک شبکه مختصات وجود دارد (تصویر).
دارای برخی از نقاط کنترل معروف (n>3) است که دارای دو مقدار x,y هستند - مختصات در پیکسل و مختصات در متر.
لازم است مقادیر میانی مختصات را در متر با دانستن مختصات در پیکسل پیدا کنید.
درون یابی خطی مناسب نیست - خطای بیش از حد خارج از خط.
مانند این: (Xc - مختصات بر حسب متر در x، Xp - مختصات بر حسب پیکسل با x، Xc3 - مقدار مورد نظر با x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

چگونه می توان همان فرمول را برای یافتن Xc و Yc، با توجه به دو (مانند اینجا)، اما N نقطه مرجع شناخته شده پیدا کرد؟

سرخس جوکا پایین آمد

با توجه به فرمول های نوشته شده، آیا محورهای سیستم های مختصات بر حسب پیکسل و متر بر هم منطبق هستند؟
یعنی Xp -> Xc به طور مستقل درون یابی می شود و Yp -> Yc به طور مستقل درون یابی می شود. اگر نه، پس باید از درون یابی دو بعدی Xp,Yp->Xc و Xp,Yp->Yc استفاده کنید که تا حدودی کار را پیچیده می کند.
علاوه بر این، فرض بر این است که مختصات Xp و Xc با مقداری وابستگی به هم مرتبط هستند.
اگر ماهیت وابستگی مشخص باشد (یا فرض شود، برای مثال، فرض کنیم که Xc=a*Xp^2+b*Xp+c)، آنگاه می توان پارامترهای این وابستگی را به دست آورد (برای مثال داده شده). وابستگی a، b، c) با استفاده از تحلیل رگرسیون (حداقل مربعات روش). در این روش، اگر یک وابستگی خاص Xc(Xp) را مشخص کنید، می توانید فرمولی برای پارامترهای وابستگی به داده های مرجع دریافت کنید. این روش به ویژه اجازه می دهد تا یک رابطه خطی را پیدا کنید که به بهترین وجه مناسب یک مجموعه داده معین است.
عیب: در این روش، مختصات Xc به دست آمده از داده های نقاط کنترل Xp ممکن است با مختصات داده شده متفاوت باشد. به عنوان مثال، خط مستقیم تقریبی ترسیم شده از نقاط آزمایشی دقیقاً از خود این نقاط عبور نمی کند.
اگر مطابقت دقیق مورد نیاز است و ماهیت وابستگی نامشخص است، باید از روش های درون یابی استفاده کرد. ساده ترین آنها از نظر ریاضی چند جمله ای درون یابی لاگرانژ است که دقیقاً از نقاط مرجع عبور می کند. اما به دلیل درجه بالای این چند جمله ای با تعداد نقاط کنترل زیاد و کیفیت درون یابی ضعیف، بهتر است از آن استفاده نکنید. مزیت فرمول نسبتا ساده است.
بهتر است از درون یابی اسپلاین استفاده کنید. ماهیت این روش این است که در هر بخش بین دو نقطه مجاور، وابستگی مورد مطالعه توسط یک چند جمله ای درون یابی می شود و شرایط همواری در نقاط اتصال دو بازه نوشته می شود. مزیت این روش کیفیت درون یابی است. معایب - استخراج یک فرمول کلی تقریبا غیرممکن است، شما باید ضرایب چند جمله ای را در هر بخش به صورت الگوریتمی پیدا کنید. یکی دیگر از معایب دشواری تعمیم به درون یابی دو بعدی است.

مواردی وجود دارد که نیاز به دانستن نتایج ارزیابی یک تابع خارج از محدوده شناخته شده است. این موضوع به ویژه برای روش پیش بینی مرتبط است. اکسل چندین راه برای این کار دارد. بیایید با مثال های خاص به آنها نگاه کنیم.

روش 2: برون یابی برای نمودار

با رسم خط روند می توانید روش برون یابی را برای نمودار انجام دهید.

اول از همه، ما خود نمودار را می سازیم. برای انجام این کار، در حالی که دکمه سمت چپ ماوس را پایین نگه داشته اید، کل منطقه جدول، از جمله آرگومان ها و مقادیر مربوط به تابع را انتخاب کنید. سپس، به سمت برگه حرکت کنید "درج"، روی دکمه کلیک کنید "برنامه". این نماد در بلوک قرار دارد "نمودارها"در نوار ابزار لیستی از گزینه های نمودار موجود ظاهر می شود. ما به صلاحدید خود مناسب ترین آنها را انتخاب می کنیم.

پس از ساخت نمودار، خط اضافی آرگومان را با انتخاب آن و کلیک بر روی دکمه از آن حذف کنید حذفروی صفحه کلید کامپیوتر

در مرحله بعد، ما باید تقسیم بندی های مقیاس افقی را تغییر دهیم، زیرا مقادیر آرگومان ها را همانطور که نیاز داریم نمایش نمی دهد. برای انجام این کار، روی نمودار کلیک راست کرده و در لیستی که ظاهر می شود، روی مقدار متوقف شوید "انتخاب داده ها".

در پنجره انتخاب منبع داده باز شده، روی دکمه کلیک کنید "تغییر دادن"در بلوک برای ویرایش برچسب محور افقی.

پنجره تنظیم برچسب محور باز می شود. مکان نما را در فیلد این پنجره قرار می دهیم و سپس تمام داده های ستون را انتخاب می کنیم "ایکس"بدون نام او سپس بر روی دکمه کلیک کنید خوب.

پس از بازگشت به پنجره انتخاب منبع داده، همین روش را تکرار کنید، یعنی روی دکمه کلیک کنید خوب.

اکنون نمودار ما آماده شده است و می توانید مستقیماً شروع به ساخت یک خط روند کنید. ما روی نمودار کلیک می کنیم، پس از آن مجموعه ای از زبانه های اضافی روی روبان فعال می شود - "کار با نمودارها". حرکت به برگه "چیدمان"و روی دکمه کلیک کنید "خط روند"در بلوک "تحلیل و بررسی". روی یک مورد کلیک کنید "تقریبا خطی"یا "تقریبا نمایی".

خط روند اضافه شده است، اما کاملاً زیر خط خود نمودار است، زیرا ما ارزش آرگومانی را که باید برای آن تلاش کند، مشخص نکردیم. برای انجام این کار، دوباره بر روی دکمه کلیک کنید "خط روند"، اما اکنون مورد را انتخاب کنید "گزینه های خط روند پیشرفته".

پنجره Trendline Format باز می شود. در فصل "گزینه های خط روند"یک بلوک تنظیمات وجود دارد "پیش بینی". مانند روش قبلی، بیایید استدلال را برای برون یابی در نظر بگیریم 55 . همانطور که می بینید، تا اینجا نمودار طولی تا آرگومان دارد 50 شامل. معلوم می شود که باید آن را برای دیگری تمدید کنیم 5 واحدها در محور افقی می بینید که 5 واحد برابر با یک تقسیم است. پس این یک دوره است. در زمینه "به جلو"مقدار را وارد کنید "1". روی دکمه کلیک کنید "بستن"در گوشه سمت راست پایین پنجره

همانطور که می بینید، نمودار با طول مشخص شده با استفاده از خط روند گسترش یافته است.

بنابراین، ما ساده‌ترین نمونه‌های برون‌یابی را برای جداول و نمودارها در نظر گرفته‌ایم. در حالت اول از تابع استفاده می شود پیش بینی، و در دوم - خط روند. اما بر اساس این مثال ها می توان مشکلات پیش بینی بسیار پیچیده تری را نیز حل کرد.

ساده ترین و رایج ترین شکل درونیابی محلی است درون یابی خطی. این شامل این واقعیت است که نقاط داده شده ( ایکس من , y من) در ( i = 0. 1، ...، n) توسط پاره های خط مستقیم و تابع به هم متصل می شوند f(ایکس) توسط یک چندخط با رئوس در نقاط داده شده نزدیک می شود.

معادلات هر بخش از خط شکسته به طور کلی متفاوت است. از آنجایی که n فاصله وجود دارد ( ایکس من - 1, ایکس من) سپس برای هر یک از آنها معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می کند به عنوان معادله چند جمله ای درون یابی استفاده می شود. به طور خاص، برای بازه i می توان معادله یک خط مستقیم را که از نقاط عبور می کند ( ایکس من -1, y من -1 ) و ( ایکس من , y من)، مانند

y=a i x+b i، x i-1 xx i

a i =

بنابراین، هنگام استفاده از درون یابی خطی، ابتدا باید فاصله زمانی که مقدار آرگومان x در آن قرار می گیرد را تعیین کنید و سپس آن را با فرمول (*) جایگزین کنید و مقدار تقریبی تابع را در این نقطه پیدا کنید.

شکل 3-3 نمودار وابستگی درونیابی خطی.

حل یک مشکل حرفه ای

حفظ داده های تجربی

ORIGIN:=0 شروع آرایه داده - شمارش از صفر

من:=1..6 تعداد عناصر آرایه

داده های تجربی در دو بردار سازماندهی شده اند

بیایید درون یابی را با توابع MathCad داخلی انجام دهیم

درون یابی خطی

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

درون یابی ستون فقرات مکعبی

CS:= cspline(x,y)

ما یک اسپلاین مکعبی را با توجه به داده های تجربی می سازیم

Lf(x i):=linterp(x,y,x i)

درون یابی توسط B-Spline

ترتیب درون یابی را تنظیم کنید. بردار u باید (n-1) عناصر کمتری نسبت به بردار داشته باشد ایکس، جایی که عنصر اول باید کمتر یا مساوی با عنصر اول باشد ایکسو آخرین عنصر بزرگتر یا مساوی با آخرین عنصر x است.

BS:=bspline(x,y,u,n)

ما یک B-spline با توجه به داده های تجربی می سازیم

BSf(x i):=(BS، x، y، x i)

ما یک نمودار از تمام توابع تقریبی در یک صفحه مختصات می سازیم.

شکل 4.1- نمودار تمام توابع تقریب در یک صفحه مختصات.

نتیجه

در ریاضیات محاسباتی، درونیابی توابع نقش اساسی ایفا می کند، به عنوان مثال. ساخت یک تابع معین از دیگری (معمولاً ساده تر) که مقادیر آن با مقادیر تابع داده شده در تعداد معینی از نقاط منطبق است. علاوه بر این، درونیابی دارای اهمیت عملی و نظری است. در عمل، مشکل اغلب بازگرداندن یک تابع پیوسته از مقادیر جدولی آن، به عنوان مثال، از مقادیر به دست آمده در دوره آزمایشی به وجود می آید. برای محاسبه بسیاری از توابع، تقریب آنها با چند جمله ای یا توابع گویا کسری کارآمد است. تئوری درون یابی در ساخت و مطالعه فرمول های تربیعی برای انتگرال گیری عددی، برای به دست آوردن روش هایی برای حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال استفاده می شود. نقطه ضعف اصلی درون یابی چند جمله ای این است که در یکی از راحت ترین و رایج ترین شبکه ها - شبکه ای با گره های مساوی فاصله - ناپایدار است. اگر مشکل اجازه دهد، این مشکل را می توان با انتخاب یک شبکه با گره های Chebyshev حل کرد. با این حال، اگر ما نتوانیم آزادانه گره های درون یابی را انتخاب کنیم، یا فقط به الگوریتمی نیاز داریم که برای انتخاب گره ها خیلی سخت نباشد، درون یابی منطقی ممکن است جایگزین مناسبی برای درونیابی چند جمله ای باشد.

از مزایای درون یابی اسپلاین می توان به سرعت پردازش بالای الگوریتم محاسباتی اشاره کرد، زیرا spline یک تابع چند جمله ای تکه ای است و در حین درون یابی، داده ها به طور همزمان برای تعداد کمی از نقاط اندازه گیری متعلق به قطعه ای که در حال حاضر در نظر گرفته شده است، پردازش می شود. سطح درونیابی شده تنوع فضایی مقیاس های مختلف را توصیف می کند و در عین حال صاف است. شرایط اخیر امکان تجزیه و تحلیل مستقیم هندسه و توپولوژی سطح را با استفاده از روش های تحلیلی فراهم می کند.

درون یابی نوعی تقریب است که در آن منحنی تابع ساخته شده دقیقاً از نقاط داده موجود عبور می کند.

همچنین باید به نوعی کاملاً متفاوت از درون یابی ریاضی اشاره کرد که به نام " درون یابی عملگر " معروف است. کارهای کلاسیک در مورد درونیابی عملگرها شامل قضیه Riesz-Thorin و قضیه Marcinkiewicz است که مبنای بسیاری از کارهای دیگر است.

تعاریف

سیستمی از نقاط غیر منطبق () از یک منطقه را در نظر بگیرید. اجازه دهید مقادیر تابع فقط در این نقاط شناخته شود:

مشکل درونیابی یافتن چنین تابعی از یک کلاس معین از توابع است که

مثال

1. فرض کنید یک تابع جدول داریم، مانند تابعی که در زیر توضیح داده شده است، که برای چندین مقدار، مقادیر مربوطه را تعیین می کند:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

درون یابی به ما کمک می کند تا بفهمیم چنین تابعی در نقطه ای غیر از موارد مشخص شده چه مقداری می تواند داشته باشد (مثلاً وقتی ایکس = 2,5).

2. یک مقدار میانی (با درونیابی خطی) پیدا کنید.

6000	15.5
6378	?
8000	19.2