یک راه حل معتبر zlp است. کدام راه حل از یک سیستم معادلات را راه حل عملی برای یک مسئله برنامه ریزی خطی می نامند. شکل متعارف یک مسئله برنامه ریزی خطی

تحقیق در عملیاتیک رشته ریاضی پیچیده است که با ساخت، تجزیه و تحلیل و کاربرد مدل‌های ریاضی برای تصمیم‌گیری بهینه در طول عملیات سر و کار دارد.

موضوع تحقیق در عملیات- سیستم های مدیریت سازمانی یا سازمان هایی که از تعداد زیادی واحد متقابل تشکیل شده اند که همیشه با یکدیگر سازگار نیستند و ممکن است متضاد باشند.

هدف تحقیق در عملیات- اثبات کمی تصمیمات اتخاذ شده در مورد مدیریت سازمان ها

عمل- سیستمی از اقدامات کنترل شده، متحد شده توسط یک مفهوم واحد و با هدف دستیابی به یک هدف خاص.

مجموعه پارامترهای کنترلی (متغیرها) در حین عملیات نامیده می شود تصمیم گیری. راه حل نامیده می شود قابل قبولاگر مجموعه ای از شرایط خاص را برآورده کند. راه حل نامیده می شود بهینهدر صورتی که قابل قبول باشد و بنا به دلایل خاصی بر سایرین ارجح باشد یا حداقل بدتر نباشد.

نشانه ترجیحمعیار بهینگی نامیده می شود.

معیار بهینه بودنشامل یک جهت بهینه سازی تابع هدف یا مجموعه ای از توابع هدف و جهت های بهینه سازی مربوطه است.

تابع هدفیک شاخص کمی از اولویت یا اثربخشی راه حل ها است.

جهت بهینه سازی- این حداکثر (حداقل) است، اگر بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع هدف ترجیح داده شود. به عنوان مثال، معیار ممکن است حداکثر کردن سود یا به حداقل رساندن هزینه باشد.

مدل ریاضی کار IO شامل:

1) توصیف متغیرهایی که باید یافت شوند.

2) شرح معیارهای بهینه

3) شرح راه حل های امکان پذیر (محدودیت های اعمال شده بر متغیرها)

هدف IO- تصمیم را از نظر کمی و کیفی ثابت کنید. تصمیم نهایی توسط یک فرد مسئول یا گروهی از افراد به نام تصمیم گیرنده گرفته می شود.

برداری که سیستم محدودیت ها را برآورده می کند نامیده می شود راه حل قابل قبولیا طرح ZLP. مجموعه تمام پلان ها نامیده می شود منطقه معتبر یاحوزه راه حل های امکان پذیر. طرحی که تابع هدف حداکثر (حداقل) را ارائه می دهد نامیده می شودطرح بهینه یاراه حل بهینه LLP. بدین ترتیب،حل PLP – یعنی طرح بهینه آن را پیدا کند.

آوردن LLP عمومی به اصلی بسیار آسان است، با استفاده از قوانین واضح زیر.

به حداقل رساندن تابع هدف fمعادل به حداکثر رساندن تابع است g = – f.

محدودیت نابرابری معادل یک معادله است، مشروط بر اینکه متغیر اضافی باشد.

اگر برای برخی از متغیرها ایکس jشرط عدم منفی بودن اعمال نمی شود، سپس تغییر متغیر ایجاد می شود.

خط سطحکارکرد f، یعنی خطی که در طول آن این تابع همان مقدار ثابت را می گیرد با، یعنی f(ایکس 1 , ایکس 2)= ج

مجموعه نقاط نامیده می شود محدب, اگر همراه با هر دو نقطه از آن، کل قسمتی را که این نقاط را به هم وصل می کند، داشته باشد.

در مورد دو متغیر، مجموعه راه حل های یک نابرابری خطی (معادله) یک نیم صفحه (خط مستقیم) است.

تقاطع این نیم صفحه ها (و خطوط، در صورت وجود معادلات در سیستم قیود) یک منطقه قابل قبول است. اگر خالی نباشد، مجموعه ای محدب است و نامیده می شود چند ضلعی حل.

در مورد سه متغیر، مساحت مجاز LLP، تقاطع نیم فاصله ها و احتمالاً صفحات است و نامیده می شود. چند وجهی محلول ها

سیستم معادلات خطی نامیده می شودسیستم با پایه, اگر هر معادله دارای یک مجهول با ضریب 1 باشد که در معادلات باقیمانده سیستم وجود ندارد. این مجهولات نامیده می شوند پایه ای, باقی مانده – رایگان.

سیستم معادلات خطی نامیده می شود ابتدایی, اگر یک سیستم با مبنا و همه باشدب من ≥ 0. در این مورد، راه حل اساسی یک طرح است، زیرا اجزای آن غیر منفی هستند. بیایید آن را صدا کنیم پایه ای (یا محوری) طرح سیستم متعارف

OZLP فراخوانی خواهد شد ابتدایی (KZLP) اگر سیستم معادلات خطی این مسئله متعارف باشد و تابع هدف فقط بر حسب مجهولات آزاد بیان شود.

تی. اگر در جدول سیمپلکس حداقل یک عنصر مثبت در بین ضرایب برای هر مجهول آزاد وجود داشته باشد، می توان به یک مسئله متعارف جدید معادل اصلی منتقل شد، که در آن مجهول آزاد نشان داده شده مبنا است. (در این مورد، یکی از مجهولات اساسی به تعداد مجهولات رایگان می رود).

قضیه 2. (در مورد اصلاح طرح اساسی) j و در ستون x j حداقل یک عنصر مثبت وجود دارد، و رابطه کلیدی > 0 است، سپس می توان با یک طرح اولیه خوب به یک مسئله متعارف معادل گذر کرد.

قضیه 3. (شرایط بهینه کافی). اگر همه عناصر سطر شاخص جدول سیمپلکس مسئله بیشینه سازی غیر منفی باشند، طرح اصلی این مسئله بهینه است و با 0 حداکثر تابع هدف در مجموعه برنامه های وظیفه است.

قضیه 4. (مورد تابع هدف نامحدود). اگر سطر شاخص جدول سیمپلکس مسئله بیشینه سازی حاوی عنصر منفی با j و در ستون x مجهول j همه عناصر غیرمثبت هستند، سپس در مجموعه طرح های مسئله، تابع هدف از بالا محدود نمی شود.

روش سیمپلکس:

ما این QZLP را در جدول اصلی سیمپلکس می نویسیم.

اگر همه عناصر سطر شاخص جدول سیمپلکس غیر منفی باشند، طرح اصلی مسئله بهینه است (قضیه 3).

اگر ردیف شاخص حاوی یک عنصر منفی باشد که روی آن یک عنصر مثبت در جدول وجود نداشته باشد، تابع هدف از بالا در مجموعه پلان ها محدود نمی شود و مسئله هیچ راه حلی ندارد (قضیه 4).

اگر بیش از هر عنصر منفی ردیف شاخص حداقل یک عنصر مثبت در جدول وجود داشته باشد، باید به تابلوی سیمپلکس جدید برویم، که طرح اصلی آن بدتر از قبلی نیست (قضیه 2). برای این منظور (به اثبات قضیه 1 مراجعه کنید)

یک ستون کلیدی در جدول انتخاب کنید که در پایه آن هر عنصر منفی ردیف شاخص وجود دارد.

رابطه کلیدی را انتخاب کنید (حداقل روابط ب منبه عناصر مثبت ستون کلیدی که مخرج آن عنصر کلیدی خواهد بود.

یک جدول سیمپلکس جدید بسازید. برای انجام این کار، ردیف کلید (ردیفی که عنصر کلید در آن قرار دارد) را بر عنصر کلید تقسیم می کنیم و سپس از تمام ردیف های دیگر (از جمله شاخص) ردیف حاصل را در عنصر مربوطه ستون کلید ضرب می کنیم. (به طوری که تمام عناصر این ستون، به جز کلید، برابر 0 می شوند).

هنگام در نظر گرفتن جدول سیمپلکس حاصل، یکی از سه مورد توضیح داده شده در Secs. 2، 3، 4. اگر موقعیت های پاراگراف. 2 یا 3، سپس روند حل مشکل به پایان می رسد، اما اگر وضعیت مورد 4 رخ دهد، آنگاه روند ادامه می یابد.

اگر در نظر بگیریم که تعداد پلان های اصلی مختلف محدود است، دو حالت ممکن است:

پس از تعداد محدودی از مراحل، مشکل حل خواهد شد (موقعیت موارد 2 یا 3 ایجاد می شود).

شروع از یک مرحله خاص بوجود می آید حلقه زدن(تکرار دوره ای جداول سیمپلکس و پلان های پایه).

این وظایف نامیده می شوند مشکلات دوگانه متقارن. ما به ویژگی های زیر توجه می کنیم که این وظایف را به هم متصل می کند:

یکی از مشکلات مشکل حداکثر سازی و دیگری مشکل کمینه سازی است.

در مسئله بیشینه سازی، همه نابرابری ها ≤ و در مسئله کمینه سازی، همه نابرابری ها ≥ هستند.

تعداد مجهولات در یک مسئله مساوی است با تعداد نامساوی در دیگری.

ماتریس های ضرایب مجهولات در نابرابری های هر دو مسئله به طور متقابل جابه جا می شوند.

اعضای آزاد نابرابری های یکی از مسائل برابر با ضرایب مجهولات متناظر در بیان تابع هدف مسئله دیگر هستند.

الگوریتم ساخت یک مسئله دوگانه.

1. تمام نابرابری های سیستم قیود مسئله اصلی را به یک معنی - به شکل متعارف - بیاورید.

2. ماتریس تقویت شده سیستم A را که در آن ستون b i و ضرایب تابع هدف F را شامل می شود، کامپایل کنید.

3. ماتریس انتقال یافته A T را پیدا کنید.

4. مسئله دوگانه را یادداشت کنید.

قضیه 5. مقدار تابع هدف مسئله بیشینه سازی برای هر یک از طرح های آن از مقدار تابع هدف مسئله کمینه سازی دوگانه با آن برای هیچ یک از طرح های آن تجاوز نمی کند، یعنی نابرابری زیر برقرار است:

f(ایکس) ≤ g(y),

تماس گرفت نابرابری دوگانگی اصلی.

قضیه 6. (شرایط بهینه کافی). اگر برای برخی از طرح های مسائل دوگانه، مقادیر توابع هدف برابر باشد، این طرح ها بهینه هستند.

قضیه 7. (قضیه دوگانگی بنیادی). اگر LLP یک بهینه محدود داشته باشد، دوگانه آن نیز یک بهینه محدود دارد و مقادیر بهینه توابع هدف منطبق هستند. اگر تابع هدف یکی از مسائل دوگانه محدود نباشد، شرایط مسئله دیگر متناقض است.

قضیه 8. (در مورد عدم سفتی مکمل). برای اینکه راه حل های قابل قبول مسائل دوگانه بهینه باشد، لازم و کافی است که روابط زیر برقرار باشد:

مقادیر منابع LLP مستقیم، مقادیر متغیرها در حل بهینه مسئله دوگانه است.

اجزای راه حل بهینه LLP دوگانه برابر با عناصر مربوط به ردیف شاخص جدول سیمپلکس بهینه مسئله مستقیم مربوط به متغیرهای اضافی است.

قضیه 11.(معیار بهینه برای طرح وظیفه حمل و نقل). برای بهینه بودن طرح حمل و نقل، وجود اعداد () و () واجد شرایط زیر ضروری و کافی است:

الف) برای تمام سلول های اصلی طرح (> 0)؛

ب) برای تمام سلول های آزاد (=0).

روش بالقوه

مرحله 1.بررسی کنید که آیا وظیفه حمل و نقل داده شده بسته است یا خیر. اگر بله، سپس به مرحله دوم بروید. اگر نه، پس با معرفی یک تامین کننده ساختگی یا یک مصرف کننده ساختگی، آن را به یک مشکل بسته کاهش دهید.

گام 2راه حل مرجع اولیه (طرح مرجع اولیه) مسئله حمل و نقل بسته را بیابید.

مرحله 3راه حل مرجع به دست آمده را برای بهینه بودن بررسی کنید:

پتانسیل تامین کنندگان را برای آن محاسبه کنید تومن و مصرف کنندگان v j

برای تمام سلول های آزاد ( من, j) محاسبه نمرات؛

اگر همه تخمین ها غیرمثبت باشند () پس راه حل مشکل به پایان رسیده است: طرح اولیه اصلی بهینه است. اگر حداقل یک مثبت در بین رتبه ها وجود دارد، به مرحله چهارم بروید.

مرحله 4انتخاب سلول ( من * ,j * ) با بالاترین برآورد مثبت و ایجاد یک چرخه بسته از بازتوزیع محموله برای آن. چرخه در سلول انتخاب شده شروع و به پایان می رسد. ما یک راه حل پشتیبانی جدید به دست می آوریم که در آن سلول ( من * , j * ) مشغول خواهد بود. به مرحله سوم برمی گردیم.

پس از تعداد محدودی از مراحل، راه حل بهینه به دست می آید، یعنی برنامه بهینه برای انتقال محصولات از تامین کنندگان به مصرف کنندگان.

نقطه نامیده می شود حداکثر محلی اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد که

شرایط لازم برای بهینه سازی

برای داشتن تابعی از یک متغیر در یک نقطه ایکس * حد محلی، لازم است مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر باشد.

برای اینکه یک تابع در یک نقطه دارای انتها محلی باشد، لازم است که تمام مشتقات جزئی آن در این نقطه ناپدید شوند.

اگر در نقطه ایکس * مشتق اول تابع برابر با صفر است و مشتق دوم > 0 و سپس تابع در نقطه ایکس * دارای حداقل محلی اگر 2 محصول.<0 то функция в точке ایکس * دارای حداکثر محلی است.

قضیه 4.اگر تابعی از یک متغیر در یک نقطه داشته باشد ایکس * مشتقات تا ( n - 1) دستورات برابر با صفر است و مشتق n مرتبه برابر با 0 نیست، پس

اگر nحتی پس از آن اشاره کنید ایکس * یک نقطه حداقل است اگر، fn(x)>0

حداکثر نقطه اگر fn(x)<0.

اگر n فرد و سپس نقطه ایکس * - نقطه عطف.

ماتریس اعداد نامیده می شود ماتریس درجه دوم .

شکل درجه دوم (5) نامیده می شود مثبت قطعی، اگر برای Q(X) > 0 و قطعی منفی، اگر برای.Q(X)<0

ماتریس متقارن آتماس گرفت مثبت قطعی، اگر شکل درجه دوم (5) ساخته شده از آن مثبت قطعی باشد.

ماتریس متقارن نامیده می شود قطعی منفی، اگر شکل درجه دوم (6) ساخته شده از آن منفی قطعی باشد.

معیار سیلوستر: اگر همه مینورهای زاویه ای آن بزرگتر از صفر باشند، یک ماتریس قطعی است.

اگر نشانه‌های کوچک‌ترین زاویه متناوب باشند، یک ماتریس قطعی است.

برای اینکه یک ماتریس قطعی و مثبت باشد، همه مقادیر ویژه آن باید بزرگتر از صفر باشند.

مقادیر ویژهریشه های چند جمله ای هستند.

یک شرط بهینه کافی با قضیه زیر به دست می آید.

قضیه 5.اگر در یک نقطه ثابت ماتریس هس مثبت قطعی باشد، این نقطه یک نقطه حداقل محلی است، اگر ماتریس هس منفی قطعی باشد، این نقطه یک نقطه حداکثر محلی است.

تعارضتضاد ناشی از منافع متضاد طرفین است.

وضعیت درگیری- وضعیتی که در آن احزاب شرکت می کنند که منافع آنها به طور کامل یا جزئی مخالف است.

یک بازی -این یک درگیری واقعی یا رسمی است که در آن حداقل دو شرکت کننده وجود دارد که هر یک به دنبال دستیابی به اهداف خود هستند

قوانین بازیاعمال مجاز هر یک از بازیکنان برای دستیابی به هدفی را نام ببرید.

پرداختارزیابی کمی از نتایج بازی نامیده می شود.

بازی جفت- بازی که در آن فقط دو طرف (دو بازیکن) شرکت می کنند.

بازی حاصل جمع صفریا آنتاگونیست - یک بازی جفتی که در آن مبلغ پرداختی صفر است، یعنی اگر ضرر یک بازیکن برابر با سود بازیکن دیگر باشد.

انتخاب و اجرای یکی از اقدامات پیش بینی شده توسط قوانین نامیده می شود نوبت بازیکن. حرکات می تواند شخصی و تصادفی باشد.

حرکت شخصی- این یک انتخاب آگاهانه توسط بازیکن از یکی از اقدامات ممکن است (به عنوان مثال، حرکت در یک بازی شطرنج).

حرکت تصادفییک اقدام تصادفی انتخاب شده است (به عنوان مثال، انتخاب یک کارت از یک عرشه به هم ریخته).

استراتژیبازیکن انتخاب بدون ابهام یک بازیکن در هر یک از شرایط ممکن است که این بازیکن باید یک حرکت شخصی انجام دهد.

استراتژی بهینه- این چنین استراتژی بازیکن است که وقتی بازی چند بار تکرار می شود، حداکثر میانگین سود ممکن یا حداقل میانگین ضرر ممکن را برای او فراهم می کند.

ماتریس پرداختماتریس A است یا در غیر این صورت ماتریس بازیس

بعد پایان بازی(m  n) یک بازی است که توسط یک ماتریس A با بعد (m  n) تعریف می شود.

ماکسمینیا قیمت بازی پایین تربیایید عدد را alpa = max(i)(min aij)(j) صدا کنیم

و استراتژی مربوطه (رشته) حداکثر.

Minimaxیا قیمت بالای بازیعدد را Beta = min(j)(max aij)i می نامیم

و استراتژی مربوطه (ستون) حداقل.

قیمت پایین تر بازی هرگز از قیمت بالای بازی تجاوز نمی کند.

بازی نقطه زینیبه نام بازی که برای آن. آلپ = بتا

به قیمت بازیمقدار v نامیده می شود اگر v = alp = بتا

استراتژی مختلطبازیکن یک بردار نامیده می شود که هر یک از اجزای آن بسامد نسبی استفاده بازیکن از استراتژی خالص مربوطه را نشان می دهد.

قضیه 2 . قضیه اصلی تئوری بازی های ماتریسی.

هر بازی ماتریس حاصل جمع صفر دارای راه حل استراتژی ترکیبی است.

تی3

اگر یکی از بازیکنان از یک استراتژی ترکیبی بهینه استفاده کند، بدون توجه به اینکه بازیکن دوم هر چند وقت یک بار از استراتژی های خود (از جمله استراتژی های خالص) استفاده می کند، بازده او برابر است با قیمت بازی .

بازی با طبیعت - بازی که در آن اطلاعاتی در مورد رفتار یک شریک نداریم

خطرr ijبازیکن هنگام انتخاب یک استراتژی A i تحت شرایط H j تفاوت است

r ij = ب j - آ من ,

جایی که ب jحداکثر عنصر در است j- ستون متر

گراف مجموعه ای از مجموعه های غیر خالی است که نامیده می شوند

مجموعه ای از رئوس نمودار و مجموعه ای از جفت رئوس که نامیده می شوند

لبه های نمودار

اگر جفت رئوس مورد نظر مرتب شده باشند، نمودار

oriented (digraph) نامیده می شود، در غیر این صورت

بی جهت که در

یک مسیر (مسیر) در نموداری که رئوس A و B را به هم متصل می کند نامیده می شود

دنباله ای از یال ها، که اولین آن از راس A خارج می شود، ابتدا

بعدی منطبق با انتهای قبلی است و آخرین لبه در آن گنجانده شده است

بالا B.

اگر یک گراف برای هر دو رأس آن مسیری وجود داشته باشد متصل نامیده می شود.

اتصال آنها در غیر این صورت، نمودار قطع ارتباط نامیده می شود.

به یک گراف محدود گفته می شود که تعداد رئوس آن متناهی باشد.

اگر یک راس ابتدا یا انتهای یک یال باشد، پس راس و یال است

حادثه نامیده می شوند. درجه (ترتیب) یک راس تعداد یال هایی است که به آن برخورد می کنند

یک مسیر اویلر (زنجیره اویلر) در یک نمودار مسیری است که از همه می گذرد

لبه های نمودار، و علاوه بر این، فقط یک بار.

چرخه اویلر یک مسیر اویلر است که یک چرخه است.

گراف اویلر گرافی است که شامل چرخه اویلر است.

گراف نیمه اویلر گرافی است که حاوی یک مسیر (زنجیره) اویلر است.

قضیه اویلر.

یک چرخه اویلر وجود دارد اگر و تنها در صورتی که گراف متصل باشد و در آن باشد

هیچ رئوسی با درجه فرد وجود ندارد.

قضیه. یک مسیر اویلر در یک گراف وجود دارد اگر و فقط اگر گراف باشد

متصل است و تعداد رئوس درجه فرد برابر با صفر یا دو است.

درخت یک گراف متصل بدون چرخه است که یک راس اولیه دارد

(ریشه) و رئوس افراطی (درجه 1)؛ مسیرهای راس مبدأ تا راس های انتهایی را شاخه می گویند.

یک شبکه (یا نمودار شبکه) یک متناهی گرا است

یک نمودار متصل که دارای یک راس اولیه (منبع) و یک راس انتهایی (سینک) است.

وزن یک مسیر در نمودار مجموع وزن یال های آن است.

کوتاه ترین مسیر از یک راس به راس دیگر مسیر نامیده می شود

حداقل وزن وزن این مسیر فاصله بین نامیده می شود

قله ها

کار فرآیندی زمان بر است که مستلزم صرف منابع است،

یا رابطه منطقی بین دو یا چند شغل

یک رویداد نتیجه اجرای یک یا چند فعالیت است.

یک مسیر زنجیره ای از کارهای متوالی است که به هم متصل می شوند

رئوس شروع و پایان

طول مدت مسیر با مجموع مدت زمان تعیین می شود

آثار تشکیل دهنده

قوانین کامپایل نمودار شبکه

1. هیچ رویداد بن بست نباید در نمودار شبکه وجود داشته باشد (به جز

نهایی)، یعنی آنهایی که هیچ اثری دنبال نمی شوند.

2. نباید هیچ رویدادی (غیر از رویداد اولیه) وجود داشته باشد که قبل از هر چند وجود نداشته باشد

یک شغل

3. در نمودار شبکه نباید چرخه ای وجود داشته باشد.

4. هر دو رویداد با بیش از یک اثر به هم مرتبط نیستند.

5. برنامه زمانبندی شبکه باید ساده باشد.

هر مسیری که با رویداد اصلی شروع می شود و به آن ختم می شود

آخرین آن مسیر کامل نامیده می شود. مسیر کامل با حداکثر

مدت زمان کار را مسیر بحرانی می گویند

سلسله مراتب نوع خاصی از سیستم بر اساس این فرض است که عناصر سیستم را می توان در مجموعه های نامرتبط گروه بندی کرد.

شرح روش تحلیل سلسله مراتبی

ساخت ماتریس های مقایسه زوجی

lambda max را پیدا کنید و سیستم را با توجه به بردار وزن حل کنید

ترکیب اولویت های محلی

بررسی سازگاری ماتریس های مقایسه زوجی

ترکیب اولویت های جهانی

ارزیابی سازگاری کل سلسله مراتب

مسئله اصلی برنامه ریزی خطی (LPP) را در نظر بگیرید: مقادیر غیر منفی متغیرهای x1، x2، ...، xn را بیابید که m شرایط را برآورده می کند - برابری ها

و به حداکثر رساندن تابع خطی این متغیرها

برای سادگی، فرض می کنیم که همه شرایط (1) مستقل خطی هستند (r=m)، و با این فرض استدلال خواهیم کرد.

بیایید هر مجموعه ای از مقادیر غیرمنفی x1، x2، ...، xn را که شرایط (1) را برآورده می کند، یک راه حل قابل قبول LLP، که شرایط (1) را برآورده می کند، بنامیم. ما راه حل بهینه را راه حل های قابل قبولی می نامیم که تبدیل می شود. تابع (2) به حداکثر. برای یافتن راه حل بهینه لازم است.

آیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ نه همیشه نه

LLP غیر قابل حل است (راه حل بهینه ندارد):

به دلیل ناسازگاری سیستم محدودیت ها. آن ها سیستم هیچ راه حلی ندارد، همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1 - ناهماهنگی سیستم محدودیت ها

به دلیل نامحدود بودن تابع هدف در مجموعه راه حل ها. به عبارت دیگر، هنگام حل LLP برای max، مقدار تابع هدف به بی نهایت و در مورد LLP برای min، به منهای بی نهایت میل می کند، همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است.

شکل 2 - نامحدود بودن تابع هدف در مجموعه راه حل ها

PLP مجاز است:

مجموعه راه حل ها از یک نقطه تشکیل شده است. همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است نیز بهینه است.

شکل 3- مجموعه راه حل ها از یک نقطه تشکیل شده است

تنها راه حل بهینه LLP. همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است، خط مربوط به تابع هدف در موقعیت های حدی با مجموعه راه حل ها در یک نقطه قطع می شود.

شکل 4 - تنها راه حل بهینه

راه حل بهینه LLP منحصر به فرد نیست. بردار N بر یکی از اضلاع مجموعه راه حل عمود است. در این حالت، همانطور که در شکل 5 نشان داده شده است، هر نقطه از قطعه AB بهینه است.

شکل 5 - راه حل بهینه منحصر به فرد نیست

حل مسائل برنامه ریزی خطی به روش سیمپلکس

روش سیمپلکس الگوریتمی برای حل مسئله LP است که نقاط گوشه ناحیه راه حل های امکان پذیر را در جهت بهبود مقدار تابع هدف C برمی شمارد. روش سیمپلکس اصلی ترین روش در برنامه ریزی خطی است.

استفاده از این روش در پروژه فارغ التحصیلی برای حل مشکل LP ناشی از عوامل زیر است:

این روش جهانی است و برای هر مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف قابل استفاده است.

ماهیت الگوریتمی این روش امکان برنامه ریزی و اجرای موفقیت آمیز آن را با کمک ابزارهای فنی فراهم می کند.

حداکثر تابع هدف همیشه در نقاط گوشه ای از منطقه راه حل های امکان پذیر است. اول از همه، یک راه حل اولیه (مرجع) قابل قبول یافت می شود، یعنی. گوشه ای از منطقه راه حل های امکان پذیر. روش روش به این سوال پاسخ می دهد که آیا این راه حل بهینه است یا خیر. اگر بله، پس مشکل حل شده است. اگر "نه"، انتقال به نقطه گوشه مجاور منطقه راه حل های امکان پذیر انجام می شود، جایی که مقدار تابع هدف بهبود می یابد. فرآیند شمارش نقاط گوشه ناحیه راه حل های ممکن تکرار می شود تا زمانی که نقطه ای پیدا شود که با حداکثر تابع هدف مطابقت دارد.

از آنجایی که تعداد رئوس چند وجهی محدود است، در تعداد محدودی از مراحل تضمین می شود که مقدار بهینه را پیدا کنید یا این واقعیت را ثابت کنید که مسئله غیر قابل حل است.

سیستم قیود در اینجا سیستمی از معادلات خطی است که در آن تعداد مجهولات از تعداد معادلات بیشتر است. اگر رتبه سیستم برابر باشد، می توان مجهولاتی را انتخاب کرد که از طریق مجهولات باقی مانده بیان شوند. برای قطعیت، معمولاً فرض می شود که اولین مجهولات متوالی انتخاب می شوند. این مجهولات (متغیرها) پایه نامیده می شوند، بقیه آزاد هستند. تعداد متغیرهای اساسی همیشه با تعداد محدودیت ها برابر است.

با اختصاص مقادیر معین به متغیرهای آزاد و محاسبه مقادیر پایه (بیان شده بر حسب آزاد)، راه حل های مختلفی از سیستم محدودیت ها به دست می آید. راه حل هایی که وقتی متغیرهای آزاد برابر با صفر هستند به دست می آیند. چنین راه حل هایی اساسی نامیده می شوند. در صورتی که مقادیر متغیرهای موجود در آن غیر منفی باشد، راه حل پایه، راه حل پایه قابل قبول یا راه حل مرجع نامیده می شود. با تمام محدودیت ها مطابقت دارد.

با داشتن یک سیستم از محدودیت ها، هر راه حل اساسی این سیستم را پیدا کنید. اگر اولین راه حل اساسی یافت شده امکان پذیر بود، از نظر بهینه بودن بررسی می شود. اگر بهینه نباشد، انتقال به یک راه حل اساسی قابل قبول دیگر انجام می شود.

روش سیمپلکس تضمین می کند که با این راه حل جدید، فرم خطی اگر به حد مطلوب نرسد، به آن نزدیک می شود. راه حل پایه قابل قبول جدید به همین ترتیب رفتار می شود تا زمانی که راه حلی بهینه پیدا شود.

اگر اولین راه حل اساسی یافت شده غیرقابل قبول باشد، با استفاده از روش سیمپلکس، انتقال به دیگر راه حل های اساسی انجام می شود تا زمانی که راه حل اساسی در مرحله ای از راه حل قابل اجرا باشد، یا می توان نتیجه گرفت که سیستم محدودیت ها ناسازگار است.

بنابراین، استفاده از روش سیمپلکس به دو مرحله تقسیم می شود:

یافتن راه حل اساسی قابل قبول برای سیستم محدودیت ها یا احراز واقعیت ناهماهنگی آن؛

یافتن راه حل بهینه در صورت سازگاری سیستم محدودیت ها.

الگوریتم حرکت به راه حل امکان پذیر بعدی به شرح زیر است:

در خط ضرایب تابع هدف، هنگام یافتن حداکثر، کوچکترین عدد منفی انتخاب می شود. عدد ترتیبی ضریب - . اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، پس راه حل اصلی اصلی بهینه است.

از بین عناصر ماتریس با شماره ستون (به این ستون پیشرو یا حل کننده می گویند) عناصر مثبت انتخاب می شوند. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، تابع هدف در محدوده مقادیر قابل قبول متغیرها نامحدود است و مشکل راه حلی ندارد.

از بین عناصر انتخاب شده از ستون اصلی ماتریس، عنصری که مقدار نسبت ترم آزاد مربوطه به این عنصر حداقل است انتخاب می شود. این عنصر رهبر نامیده می شود و خطی که در آن قرار دارد، رهبر است;

متغیر پایه مربوط به ردیف عنصر اصلی باید به دسته آزادها منتقل شود و متغیر آزاد مربوط به ستون عنصر اصلی باید به تعداد پایه وارد شود. یک راه حل جدید حاوی تعداد جدیدی از متغیرهای اساسی ساخته شده است.

شرط بهینه بودن طرح هنگام حل حداکثر مسئله: هیچ عنصر منفی در بین ضرایب تابع هدف وجود ندارد.

تعریف. هر راه حلی برای سیستم محدودیت، راه حل LLP قابل قبول نامیده می شود.
تعریف. راه حل عملی که در آن تابع هدف به مقدار حداکثر یا حداقل می رسد، راه حل بهینه نامیده می شود.

با توجه به این تعاریف، مسئله LP را می توان به صورت زیر فرموله کرد: از بین تمام نقاط یک حوزه محدب که راه حلی برای سیستم محدودیت ها است، یکی را انتخاب کنید که مختصات آن تابع خطی را به حداقل برساند (بیشینه کند). اف = با 1 ایکس + با 2 y.
توجه داشته باشید که متغیرها ایکس, yدر LLP، به عنوان یک قاعده، مقادیر غیر منفی ( ایکس≥ 0, y≥ 0)، بنابراین منطقه در ربع اول صفحه مختصات قرار دارد.

تابع خطی را در نظر بگیرید اف = با 1 ایکس + با 2 yو مقداری را ثابت کنید اف. اجازه دهید، برای مثال، اف= 0، یعنی با 1 ایکس + با 2 y= 0. نمودار این معادله یک خط مستقیم خواهد بود که از مبدا (0; 0) می گذرد (شکل).
طراحی
هنگام تغییر این مقدار ثابت اف = د، سر راست با 1 ایکس+ با 2 y=dبه موازات حرکت می کند و کل صفحه را "کشش" می کند. اجازه دهید D- چند ضلعی - منطقه حل سیستم محدودیت ها. وقتی تغییر می کند دسر راست با 1 ایکس + با 2 y = د، برای مقداری ارزش د = د 1 به چند ضلعی می رسد D، بیایید این نقطه را بنامیم آ"نقطه ورود"، و سپس با عبور از چند ضلعی، در یک مقدار مشخص د = د 2 آخرین نقطه مشترک را با او خواهیم داشت که در، بیا تماس بگیریم که در"نقطه خروج".
بدیهی است که تابع هدف کوچکترین و بزرگترین مقادیر آن است اف=با 1 ایکس + با 2 yرسیدن به نقاط ورودی آو "خروج" که در.
با در نظر گرفتن اینکه تابع هدف مقدار بهینه را در مجموعه راه حل های امکان پذیر در راس های منطقه می گیرد. D، می توانیم طرح زیر را برای حل LLP پیشنهاد کنیم:

1. ساخت دامنه حل سیستم محدودیت؛
2. یک خط مستقیم مطابق با تابع هدف ایجاد کنید و با ترجمه موازی این خط مستقیم، نقطه "ورود" یا "خروج" را بیابید (بسته به نیاز به حداقل یا حداکثر کردن تابع هدف).
3. مختصات این نقطه را تعیین کنید، مقدار تابع هدف را در آنها محاسبه کنید.

در حل گرافیکی LLP دو مورد امکان پذیر است که نیاز به بحث خاصی دارد.

مورد 1
شکل 6
هنگام حرکت مستقیم با 1 ایکس + با 2 y= د"ورود" یا "خروج" (مانند شکل) در امتداد ضلع چند ضلعی رخ خواهد داد. اگر چند ضلعی اضلاع موازی با خط داشته باشد این اتفاق می افتد. با 1 ایکس+ با 2 در = د .
در این حالت، تعداد نامتناهی نقطه «خروج» («ورود»)، یعنی هر نقطه از بخش وجود دارد. AB. این بدان معنی است که تابع هدف حداکثر (حداقل) مقدار را نه در یک نقطه، بلکه در تمام نقاط واقع در سمت مربوطه چند ضلعی می گیرد. D.

مورد 2
موردی را در نظر بگیرید که محدوده مقادیر مجاز نامحدود است.
در مورد یک دامنه نامحدود، تابع هدف را می توان به گونه ای مشخص کرد که خط مربوط به آن نقطه "خروج" (یا "ورود") نداشته باشد. سپس به حداکثر مقدار تابع (حداقل) هرگز نمی رسد - آنها می گویند که تابع محدود نیست.
طراحی
یافتن حداکثر مقدار تابع هدف ضروری است اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر، با سیستمی از محدودیت ها
اجازه دهید دامنه راه حل های قابل قبول را بسازیم، یعنی. سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید. برای این کار، هر خط مستقیم را می سازیم و نیم صفحه های داده شده توسط نابرابری ها را تعریف می کنیم.
ایکس + y = 18

0,5ایکس + y = 12

اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر

اف = 0: 4ایکس + 6y ایکس+ 6y با(12؛ 6). در اوست اف = 4ایکس + 6y
بنابراین، در ایکس = 12, y= 6 ویژگی اف اف= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84، برابر با 84. نقطه با مختصات (12؛ 6) تمام نابرابری های سیستم محدودیت را برآورده می کند و مقدار تابع هدف در آن بهینه است. اف* = 84 (مقدار بهینه با "*" نشان داده می شود).
مشکل حل شد. بنابراین، لازم است 12 محصول از نوع I و 6 محصول از نوع II تولید شود، در حالی که سود 84 هزار روبل خواهد بود.

از روش گرافیکی برای حل مسائلی استفاده می شود که در سیستم محدودیت ها تنها دو متغیر داشتند. این روش را می توان برای سیستم های نابرابری با سه متغیر نیز به کار برد. از نظر هندسی، وضعیت متفاوت خواهد بود، نقش خطوط مستقیم را صفحات در فضای سه بعدی ایفا می کنند و حل نابرابری در سه متغیر، نیم فاصله واقع در یک طرف صفحه خواهد بود. نقش مناطق را چند وجهی ایفا می کنند که محل تلاقی نیم فضاها هستند.

مثال شماره 2. معدن دو لایه ایجاد می کند. بازده ریزه در لایه اول a1% است. در دوم - a2%. حداکثر بهره وری استاپ در لایه اول B1 هزار تن در سال، در لایه دوم - B2 هزار تن در سال است. با توجه به تکنولوژی کار، تولید از لایه دوم نمی تواند بیشتر از تولید از لایه اول باشد. خروجی جریمه از طریق معدن نباید بیش از C1 هزار تن در سال باشد. مجموع بار روی دو درز در سال نباید کمتر از C2 هزار تن در سال باشد. یک مدل ریاضی تهیه کنید و مجموعه ای از مقادیر بار مجاز برای لایه های اول و دوم در سال بسازید.

مثال شماره 3. این فروشگاه 2 نوع نوشابه می فروشد: کولا و لیموناد. درآمد یک قوطی کولا 5 سنت و درآمد یک قوطی لیموناد 7 سنت است. به طور متوسط، فروشگاه بیش از 500 قوطی از هر دو نوشیدنی در روز نمی فروشد. با وجود این واقعیت که کولا توسط یک برند معروف تولید می شود، مشتریان لیموناد را ترجیح می دهند زیرا بسیار ارزان تر است. محاسبه شده است که فروش کولا و لیموناد باید حداقل 2:1 نسبت داشته باشد، علاوه بر این، مشخص است که فروشگاه حداقل 100 قوطی کولا در روز می فروشد. فروشگاه چند قوطی از هر نوشیدنی باید در شروع روز کاری داشته باشد تا درآمد را به حداکثر برساند؟

مثال شماره 4. مشکل برنامه ریزی خطی را به صورت تقریباً گرافیکی حل کنید و سپس مقدار دقیق و حداکثر (min) مقدار تابع هدف را محاسبه کنید.

مثال شماره 5. یک شرکت مسافرتی به اتوبوس های سه تنی و اتوبوس های پنج تنی بیشتر نیاز ندارد. قیمت فروش اتوبوس های برند اول 20000 تومان، برند دوم 40000 تومان می باشد. یک شرکت مسافرتی می تواند برای خرید اتوبوس حداکثر از C.u اختصاص دهد. چند اتوبوس از هر برند باید جداگانه خریداری شود تا ظرفیت حمل کل (کل) آنها حداکثر باشد. مشکل را گرافیکی حل کنید.

مثال شماره 6. با استفاده از روش گرافیکی، طرح تولید بهینه را در کار ارائه شده توسط جدول بیابید.

مثال شماره 7. یک مسئله برنامه ریزی خطی را با استفاده از یک روش گرافیکی حل کنید و سیستم محدودیت ها را در معرض تبدیل جردن-گاوس قرار دهید. سیستم محدودیت مسئله به شکل زیر است:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = b 3
رهنمودها. تبدیل Jordano-Gaussian را می توان با این سرویس یا از طریق اکتشاف SLAE انجام داد.

مثال شماره 8. این شرکت دو نوع محصول A و B تولید می کند که برای تولید آنها از سه نوع مواد اولیه استفاده می شود. برای ساخت یک واحد محصول A باید مواد اولیه هر نوع a1، a2، a3 کیلوگرم و برای یک واحد محصول B - v1، v2، v3 کیلوگرم مصرف شود. تولید با مواد اولیه هر نوع به ترتیب به میزان P1، P2، P3 کیلوگرم تامین می شود. هزینه یک واحد محصول A rub C1 و یک واحد محصول B rub ​​C2 است. لازم است برنامه ای برای تولید محصولات A و B تهیه شود که حداکثر هزینه محصول نهایی را تضمین می کند.

مثال شماره 2. یافتن حداکثر مقدار تابع هدف ضروری است اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر، با یک سیستم محدودیت:

اجازه دهید دامنه راه حل های قابل قبول را بسازیم، یعنی. سیستم نابرابری ها را به صورت گرافیکی حل کنید. برای انجام این کار، تعداد محدودیت ها را برابر با 4 انتخاب کنید (شکل 1).
تصویر 1

سپس ضرایب متغیرها و خود محدودیت ها را پر می کنیم (شکل 2).
شکل 2

شکل 3
ایکس= 12 - موازی با محور OY;
y= 9 - موازی با محور گاو نر;
ایکس>= 0 - محور OY
y= 0 - محور گاو نر;
ایکس≥ 0 - نیم صفحه سمت راست محور OY;
y≥0 - نیم صفحه بالای محور گاو نر;
y≤ 9 - نیم صفحه زیر y = 9;
ایکس≤ 12 - نیم صفحه به سمت چپ ایکس = 12;
0,5ایکس + y≤ 12 - نیم صفحه زیر خط مستقیم 0.5 ایکس + y = 12;
ایکس + y≤ 18 - نیم صفحه زیر خط مستقیم ایکس + y = 18.

محل تلاقی همه این نیم صفحه ها یک پنج ضلعی است ABCDE، با رئوس در نقاط آ(0; 0), ب(0;9), سی(6; 9), D(12;6), E(12; 0). این پنج ضلعی منطقه راه حل های امکان پذیر برای مشکل را تشکیل می دهد.

تابع هدف مسئله را در نظر بگیرید اف = 4ایکس + 6y→ حداکثر

اجازه دهید یک خط مستقیم مطابق با مقدار تابع بسازیم اف = 0: 4ایکس + 6y= 0. این خط را به صورت موازی حرکت می دهیم. از کل خانواده خطوط 4 ایکس + 6y= تعیین آخرین راس که خط از آن عبور می کند وقتی از مرز چند ضلعی فراتر می رود، راس خواهد بود. با(12؛ 6). در اوست اف = 4ایکس + 6yبه حداکثر مقدار خود می رسد.

بنابراین، در ایکس = 12, y= 6 ویژگی افبه حداکثر مقدار خود می رسد اف= 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84، برابر با 84. نقطه با مختصات (12;6) تمام نابرابری های سیستم محدودیت را برآورده می کند و مقدار تابع هدف در آن بهینه است. اف* = 84.

امروزه برنامه آموزشی تخصص های مرتبط با اقتصاد، مالی و مدیریت شامل رشته ای به نام «روش های تصمیم گیری بهینه» است. در چارچوب این رشته، دانشجویان جنبه های ریاضی بهینه سازی، تحقیق در عملیات، تصمیم گیری و مدل سازی را مطالعه می کنند. ویژگی اصلی این رشته با مطالعه مشترک روش های ریاضی با کاربرد آنها در حل مسائل اقتصادی مشخص می شود.

مشکلات بهینه سازی: اطلاعات عمومی

اگر حالت کلی را در نظر بگیریم، منظور از مسئله بهینه‌سازی یافتن راه‌حل بهینه‌ای است که تابع هدف را تحت شرایط-محدودیت‌های معین به حداکثر می‌رساند (به حداقل می‌رساند).

بسته به ویژگی های توابع، مسائل بهینه سازی را می توان به دو نوع تقسیم کرد:

• مشکل برنامه ریزی خطی (همه توابع خطی هستند).
• مشکل برنامه نویسی غیر خطی (حداقل یکی از توابع خطی نیست).

موارد خاص از مسائل بهینه سازی، مسائل برنامه ریزی خطی-کسری، پویا و تصادفی است.

مهمترین مسائل بهینه سازی مورد مطالعه مسائل برنامه ریزی خطی (LPP) هستند که راه حل های آن فقط مقادیر صحیح را می گیرند.

ZLP: فرمولاسیون، طبقه بندی

وظیفه برنامه نویسی خطی در حالت کلی یافتن حداقل (حداکثر) یک تابع خطی تحت برخی محدودیت های خطی است.

LLP عمومی مشکل فرم نامیده می شود

تحت محدودیت

که در آن متغیرها هستند، اعداد واقعی داده می شوند، تابع هدف است، طرح وظیفه است، (*)-(***) محدودیت ها هستند.

یکی از ویژگی های مهم LLP این است که حداکثر تابع هدف در مرز ناحیه راه حل های امکان پذیر است.

روش‌های راه‌حل‌های بهینه در حل مسائل از انواع زیر کاربرد اقتصادی عملی پیدا می‌کنند:

• وظایف مربوط به مخلوط ها (یعنی برنامه ریزی ترکیب محصولات)؛
• وظایف تخصیص بهینه منابع در برنامه ریزی تولید.

ZLP: نمونه ها

مشکل مخلوط

راه‌حل مشکل مخلوط‌ها یافتن ارزان‌ترین مجموعه، متشکل از مواد اولیه خاصی است که مخلوطی با خواص مطلوب ارائه می‌کنند.

مشکل تخصیص منابع

این شرکت تولید می کند nمحصولات مختلفی که نیاز دارند مترانواع مختلف منابع ذخایر منابع مورد استفاده محدود بوده و به ترتیب عبارتند از: ب 1, ب 2,…, b m c.u. علاوه بر این، ضرایب فن آوری شناخته شده است aij، که چند واحد را نشان می دهد من-منبع برای تولید یک واحد محصول مورد نیاز است jنوع -ام (). سود دریافتی شرکت از فروش محصول jنوع -ام است cjواحد پولی لازم است برنامه ای برای تولید محصولاتی تهیه شود که سود بنگاه در اجرای آن بیشترین میزان را داشته باشد.

شرایط مشکلات مربوط به مخلوط ها و تخصیص منابع اغلب به شکل جداول نوشته می شود.

مشکلات مربوط به مخلوط ها و تخصیص منابع را می توان به چندین روش حل کرد:

• روش گرافیکی (در مورد تعداد کمی از متغیرها در مدل ریاضی)؛
• روش سیمپلکس (اگر تعداد متغیرها در مدل ریاضی بیش از دو باشد).

وظیفه حمل و نقل شامل دسته ای از وظایف است که ساختار خاصی دارند. ساده ترین مشکل حمل و نقل، مشکل حمل یک محصول به مقصد از مبدا با حداقل هزینه حمل همه محصولات است.

برای وضوح و سهولت درک، شرایط وظیفه حمل و نقل معمولاً در جدولی به شکل زیر نوشته می شود:

در حالت کلی، حل مشکل حمل و نقل در چند مرحله انجام می شود:

• مرحله اول: ساخت طرح اولیه اولیه.
• مرحله دوم: بررسی طرح اساسی برای بهینه بودن.
• مرحله سوم: اصلاح طرح مرجع، در صورتی که بهینه نباشد.

روش های مختلفی برای به دست آوردن خط پایه اولیه وجود دارد، به عنوان مثال، روش گوشه شمال غربی، روش Vogel، روش حداقل هزینه.

طرح برای بهینه بودن با استفاده از روش پتانسیل آزمایش می شود:

- برای سلول های شلوغ،
- برای سلول های خالی

اگر طرح بهینه نباشد، چرخه ایجاد می شود و ترافیک مجدداً توزیع می شود.

نتیجه

در چارچوب یک مقاله، نمی توان کل تئوری و عمل روش های تصمیم گیری بهینه را پوشش داد، بنابراین، تنها نکاتی در نظر گرفته می شود که به ما امکان می دهد یک ایده کلی از این رشته، وظایف و روش های حل آنها ارائه دهیم. .

علاوه بر این، خوب است توجه داشته باشید که برای بررسی راه‌حل‌های به‌دست‌آمده از مسائل بهینه‌سازی، می‌توانید به طور بسیار مؤثری از افزونه «جستجوی راه‌حل» بسته MS Excel استفاده کنید. اما این در واقع داستان دیگری و همچنین بررسی دقیق روش‌های حل مسائل بهینه‌سازی است.

در اینجا چند آموزش برای یادگیری روش های حل بهینه آورده شده است:

1. باندی بی. مبانی برنامه ریزی خطی: Per. از انگلیسی. - م.: رادیو و ارتباطات، 1368. - 176 ص.
2. کرمر ن.ش. مطالعه عملیات در اقتصاد: Proc. کمک هزینه تحصیلی دانشگاه ها /ن.ش. کرمر، کارشناسی. پوتکو، I.M. تریشین، م.ن. فریدمن؛ اد. پروفسور ن.ش. کرمر. - م.: واحد، 2005. - 407 ص.

حل روش های بهینه سازی سفارشی

ما می‌توانیم با روش‌های راه‌حل‌های بهینه در حل هر مشکلی به شما کمک کنیم. شما می توانید حل وظایف را در وب سایت ما سفارش دهید. شما فقط باید مهلت را مشخص کنید و فایل را با وظیفه ضمیمه کنید. سفارش شما رایگان است

مجموعه های محدب و خواص آنهابه منظور مطالعه خواص ZLP، لازم است تعریف دقیقی از مجموعه محدب ارائه شود. پیش از این، مجموعه محدب به عنوان مجموعه ای تعریف می شد که همراه با هر دو نقطه از آن، شامل یک پاره خطی است که آنها را به هم متصل می کند.

تعمیم مفهوم یک قطعه برای چندین نقطه ترکیب خطی محدب آنها است.

نقطه X نامیده می شود ترکیب خطی محدبنکته ها, در صورت رعایت شرایط

مجموعه نقاط است محدباگر همراه با هر یک از دو نقطه‌اش حاوی ترکیب خطی و محدب دلخواه آنها باشد.

می توان قضیه زیر را در مورد نمایش یک چندوجهی محدب اثبات کرد.

قضیه 1.1. یک چندوجهی n بعدی محدب، ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه آن است.

از قضیه 1.1 نتیجه می گیرد که یک چندوجهی محدب توسط نقاط گوشه یا رئوس آن ایجاد می شود: یک قطعه - با دو نقطه، یک مثلث - با سه، یک چهار وجهی - با چهار نقطه و غیره. در عین حال، یک منطقه چند وجهی محدب، که یک مجموعه نامحدود است، به طور منحصر به فرد توسط نقاط گوشه آن تعیین نمی شود: هیچ یک از نقاط آن را نمی توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه نشان داد.

ویژگی های مسئله برنامه ریزی خطیقبلا اشکال مختلفی از یک مسئله برنامه ریزی خطی در نظر گرفته شد و نشان داده شد که هر مسئله برنامه ریزی خطی را می توان به عنوان یک مسئله کلی یا متعارف نشان داد.

برای اثبات ویژگی های یک مسئله برنامه ریزی خطی و روش های حل آن، توصیه می شود دو نوع دیگر از نوشتن یک مسئله متعارف را در نظر بگیرید.

نماد ماتریسی:

اینجا با- ماتریس ردیف، آماتریس سیستم است، ایکس- ماتریس-ستون متغیرها، که در- ماتریس-ستون اعضای آزاد:

نماد برداری:

که در آن بردارها با ستون های ضرایب مجهولات مطابقت دارند.

قضیه زیر در بالا بیان شد، اما به صورت کلی ثابت نشد.

قضیه 1.2. مجموعه تمام راه حل های قابل قبول سیستم محدودیت یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.

اثبات:اجازه دهید - دو راه حل امکان پذیر برای LLP ارائه شده به شکل ماتریس. سپس و . یک ترکیب خطی محدب از راه حل ها را در نظر بگیرید، به عنوان مثال.

و نشان می دهد که آن نیز یک راه حل عملی برای سیستم (1.3) است. در واقع

یعنی راه حل ایکسسیستم (1.3) را برآورده می کند. اما از آن زمان ایکس> 0، یعنی راه حل شرایط غیر منفی را برآورده می کند.

بنابراین، ثابت شده است که مجموعه تمام راه حل های قابل قبول مسئله برنامه ریزی خطی محدب است، یا بهتر است بگوییم، نشان دهنده یک چند وجهی محدب یا یک منطقه چند وجهی محدب است که در ادامه با یک جمله نامیده می شود - انواع راه حل ها

پاسخ به این سوال که در کدام نقطه از حل چندوجهی راه حل بهینه یک مسئله برنامه ریزی خطی ممکن است در قضیه اساسی زیر آورده شده است.

قضیه 1.3. اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی راه حل بهینه داشته باشد، تابع خطی حداکثر مقدار خود را در یکی از نقاط گوشه چندوجهی حل می گیرد. اگر یک تابع خطی حداکثر مقدار را در بیش از یک نقطه گوشه به خود بگیرد، آنگاه آن را در هر نقطه ای که ترکیب خطی محدب آن نقاط است، می گیرد.

اثبات:ما فرض می کنیم که چند وجهی محلول محدود است. نقاط گوشه آن را با علامت گذاری می کنیم , و راه حل بهینه از طریق است ایکس*. سپس F(X*)³ F(X)برای تمام نقاط ایکسچند وجهی محلول اگر ایکس*یک نقطه گوشه است، سپس قسمت اول قضیه ثابت می شود.

بیایید وانمود کنیم که ایکس*بر اساس قضیه 1.1 یک نقطه گوشه نیست ایکس*را می توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه چند وجهی محلول نشان داد، یعنی.

زیرا F(X)یک تابع خطی است، دریافت می کنیم

در این بسط، از بین مقادیر، حداکثر را انتخاب می کنیم. بگذارید با نقطه گوشه مطابقت داشته باشد X k(1 پوند ک£ ر); بیایید آن را با علامت گذاری کنیم م،آن ها . اجازه دهید هر مقدار در عبارت (1.5) را با این مقدار حداکثر جایگزین کنیم م.سپس

با فرض ایکس* راه حل بهینه است، بنابراین، از یک سو، اما، از سوی دیگر، ثابت شده است که
F(X*)£ م،بنابراین، کجا X k- نقطه گوشه بنابراین یک نقطه گوشه وجود دارد X k، که در آن تابع خطی حداکثر مقدار را می گیرد.

برای اثبات قسمت دوم قضیه، فرض می کنیم که تابع هدف در بیش از یک نقطه گوشه، مثلاً در نقاط، حداکثر مقدار را می گیرد. ، جایی که , سپس

اجازه دهید ایکسیک ترکیب خطی محدب از این نقاط گوشه است، یعنی.

در این حالت با توجه به اینکه تابع F(X)خطی است، دریافت می کنیم

آن ها تابع خطی افدر یک نقطه دلخواه حداکثر مقدار را می گیرد ایکس، که یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه است.

اظهار نظر.شرط محدود بودن چندوجهی محلول در قضیه ضروری است، زیرا در مورد یک دامنه چندوجهی نامحدود، همانطور که در قضیه 1.1 ذکر شد، نمی توان هر نقطه از چنین حوزه ای را با ترکیب خطی محدب نقاط گوشه آن نشان داد.

قضیه اثبات شده بنیادی است، زیرا راه اساسی حل مسائل برنامه ریزی خطی را نشان می دهد. در واقع، بر اساس این قضیه، به جای مطالعه مجموعه ای نامتناهی از راه حل های امکان پذیر، برای یافتن راه حل بهینه مورد نظر از بین آنها، تنها باید تعداد محدودی از نقاط گوشه چند وجهی حل را مطالعه کرد.

قضیه زیر به روش تحلیلی برای یافتن نقاط گوشه اختصاص دارد.

قضیه 1.4. هر راه حل اساسی قابل قبول یک مسئله برنامه ریزی خطی مربوط به یک نقطه گوشه از چند وجهی راه حل است، و بالعکس، به هر نقطه گوشه ای از چند وجهی راه حل، یک راه حل اساسی قابل قبول مطابقت دارد.

اثبات:اجازه دهید یک راه حل اساسی قابل قبول از سیستم محدودیت LLP (1.4) باشد که در آن اولین تیجزء - متغیرهای اصلی و بقیه p - tجزء - متغیرهای غیر اساسی برابر با صفر در راه حل اصلی (اگر اینطور نیست، می توان متغیرهای مربوطه را مجددا شماره گذاری کرد). بگذارید این را نشان دهیم ایکس

برعکس را فرض کنید، یعنی. چی ایکسیک نقطه گوشه نیست سپس اشاره کنید ایکسرا می توان به عنوان یک نقطه داخلی از یک بخش نشان داد که دو متفاوت را به هم متصل می کند، نه منطبق با ایکس،نکته ها

به عبارت دیگر، یک ترکیب خطی محدب از نقاط چند وجهی محلول، یعنی.

کجا (فرض می کنیم که، زیرا در غیر این صورت نقطه ایکسمنطبق با نقطه ایکس 1 یا ایکس 2).

اجازه دهید برابری برداری (1.6) را به صورت مختصات بنویسیم:

زیرا همه متغیرها و ضرایب غیر منفی هستند، سپس از آخرین p-tبرابری ها نتیجه می شود که , i.e. در تصمیم گیری ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسسیستم معادلات (1.4) مقادیر p - tمولفه ها در این مورد صفر هستند. این مولفه ها را می توان به عنوان مقادیر متغیرهای غیر پایه در نظر گرفت. اما مقادیر متغیرهای غیر پایه به طور منحصر به فرد مقادیر اصلی را تعیین می کند، بنابراین،

پس همه چیز پجزء در محلول ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسمنطبق هستند، به این معنی که نقاط ایکس 1 و ایکس 2 ادغام، که با این فرض در تضاد است. از این رو، ایکسنقطه گوشه چندوجهی محلول است.

اجازه دهید ادعای معکوس را ثابت کنیم. اجازه دهید یک نقطه گوشه از چند وجهی محلول و اولین آن باشد تیمختصات مثبت است بگذارید این را نشان دهیم ایکسیک راه حل اساسی قابل قبول است. یک نقطه گوشه نیست، که با شرایط در تضاد است. بنابراین، فرض ما اشتباه است، یعنی. بردارها به صورت خطی مستقل هستند و ایکسیک راه حل اساسی قابل قبول برای مسئله (1.4) است.

یک پیامد مهم بلافاصله از قضایای 1.3 و 1.4 به دست می آید: اگر یک مسئله برنامه‌ریزی خطی راه‌حل بهینه داشته باشد، حداقل با یکی از راه‌حل‌های اساسی امکان‌پذیر آن منطبق است.

بنابراین، بهینه یک تابع خطی یک مسئله برنامه ریزی خطی را باید در میان تعداد محدودی از راه حل های اساسی قابل قبول آن جستجو کرد.