نمونه های ترجمه سیستم اعداد باینری اعداد. تبدیل اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزادسیمال، اعشاری، اکتال

قبولی در امتحان و نه تنها ...

عجیب است که در مدارس در کلاس های علوم کامپیوتر معمولاً پیچیده ترین و نامناسب ترین راه را برای ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر به دانش آموزان نشان می دهند. این روش شامل تقسیم متوالی عدد اصلی بر پایه و جمع آوری باقی مانده تقسیم به ترتیب معکوس است.

به عنوان مثال، شما باید عدد 810 10 را به سیستم باینری تبدیل کنید:

نتیجه به ترتیب معکوس از پایین به بالا نوشته می شود. معلوم می شود 81010 = 11001010102

اگر شما نیاز به تبدیل اعداد نسبتاً بزرگ به سیستم باینری دارید، نردبان تقسیم به اندازه یک ساختمان چند طبقه است. و چگونه می توانید همه صفرهایی را جمع آوری کنید و حتی یک عدد را از دست ندهید؟

برنامه USE در علوم کامپیوتر شامل چندین کار مربوط به ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر است. به عنوان یک قاعده، این یک تبدیل بین سیستم های 8- و 16-ary و باینری است. اینها بخش های A1، B11 هستند. اما در سایر سیستم های اعداد مانند بخش B7 نیز مشکلاتی وجود دارد.

برای شروع، اجازه دهید دو جدول را یادآوری کنیم که برای کسانی که علم کامپیوتر را به عنوان حرفه آینده خود انتخاب می کنند، خوب است از روی قلب بدانند.

جدول قدرت های شماره 2:

جدول اعداد باینری از 0 تا 15 با نمایش هگزادسیمال:

ترجمه عدد صحیح

بنابراین، اجازه دهید با تبدیل مستقیم به سیستم باینری شروع کنیم. بیایید همان عدد 810 10 را در نظر بگیریم. ما باید این عدد را به عباراتی برابر با توان دو تجزیه کنیم.

1. ما به دنبال نزدیکترین توان دو به 810 هستیم که از آن تجاوز نکند. این 29 = 512 است.
2. با کم کردن 512 از 810، 298 به دست می آید.
3. مراحل 1 و 2 را تکرار کنید تا زمانی که 1 یا 0 باقی بماند.
4. ما آن را اینگونه دریافت کردیم: 810 \u003d 512 + 256 + 32 + 8 + 2 \u003d 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

روش 1: 1 را با توجه به ارقامی که نشانگر اصطلاحات مشخص شده است مرتب کنید. در مثال ما، اینها 9، 8، 5، 3 و 1 هستند. بقیه مکان ها صفر خواهند بود. بنابراین، ما نمایش باینری عدد 810 10 = 1100101010 2 را دریافت کردیم. واحدها در مکان های نهم، هشتم، پنجم، سوم و یکم با شمارش از راست به چپ از صفر قرار دارند.

روش 2: بیایید عبارت ها را به عنوان توان های دو زیر یکدیگر بنویسیم و با بزرگترین شروع کنیم.

810 =

و حالا بیایید این مراحل را کنار هم بگذاریم، مانند یک فن تا شده: 1100101010.

همین. در طول راه، مشکل "چند واحد در نمایش باینری عدد 810 وجود دارد؟" نیز به سادگی حل می شود.

پاسخ به تعداد اصطلاحات (قدرت دو) در این نمایش است. 810 دارای 5 است.

حالا مثال ساده تر است.

بیایید عدد 63 را به سیستم اعداد 5 اری ترجمه کنیم. نزدیکترین توان 5 به 63 25 (مربع 5) است. مکعب (125) در حال حاضر بسیار خواهد بود. یعنی 63 بین مربع 5 و مکعب قرار دارد. سپس ضریب 5 2 را انتخاب می کنیم. این 2 است.

63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 بدست می آوریم.

و در نهایت، ترجمه های بسیار آسان بین سیستم های اعشاری 8 و 16. از آنجایی که پایه آنها توان دو است، ترجمه به صورت خودکار انجام می شود، به سادگی با جایگزینی ارقام با نمایش دودویی آنها. برای سیستم هشتی، هر رقم با سه رقم باینری و برای سیستم هگزادسیمال با چهار رقم جایگزین می شود. در این مورد، تمام صفرهای ابتدایی، به جز مهم ترین رقم مورد نیاز است.

بیایید عدد 547 8 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.

یکی دیگر، به عنوان مثال 7D6A 16.

بیایید عدد 7368 را به سیستم هگزادسیمال ترجمه کنیم. ابتدا اعداد را سه تایی بنویسید و سپس آنها را از آخر به چهار تقسیم کنید: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1 1101 1110 \u003d 1DE 1. بیایید عدد C25 16 را به سیستم 8-ary تبدیل کنیم. ابتدا اعداد را چهار تا می نویسیم و سپس آنها را از انتها به سه قسمت تقسیم می کنیم: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. اکنون تبدیل مجدد به اعشار را در نظر بگیرید. دشوار نیست، نکته اصلی این است که در محاسبات اشتباه نکنید. عدد را به چند جمله ای با درجه پایه و ضرایب در آنها تجزیه می کنیم. سپس همه چیز را ضرب و جمع می کنیم. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474.

ترجمه اعداد منفی

در اینجا باید در نظر داشته باشید که شماره در یک کد اضافی ارائه می شود. برای ترجمه یک عدد به یک کد اضافی، باید اندازه نهایی عدد را بدانید، یعنی به چه چیزی می خواهیم آن را بنویسیم - به یک بایت، به دو بایت، به چهار. مهم ترین رقم عدد به معنای علامت است. اگر 0 وجود داشته باشد، عدد مثبت و اگر 1 باشد منفی است. در سمت چپ، عدد با یک بیت علامت پر شده است. ما اعداد بدون علامت را در نظر نمی گیریم، آنها همیشه مثبت هستند و مهم ترین رقم در آنها به عنوان اطلاعات استفاده می شود.

برای تبدیل یک عدد منفی به متمم دو، باید یک عدد مثبت را به باینری تبدیل کنید، سپس صفرها را به یک و یک ها را به صفر تبدیل کنید. سپس 1 را به نتیجه اضافه کنید.

بنابراین، بیایید عدد -79 را به سیستم باینری ترجمه کنیم. عدد یک بایت ما را می گیرد.

ما 79 را به سیستم باینری ترجمه می کنیم، 79 = 1001111. به اندازه بایت، صفر را به سمت چپ اضافه می کنیم، 8 بیت، 01001111 می گیریم. 1 را به 0 و 0 را به 1 تغییر می دهیم. 10110000 می گیریم. ما پاسخ 10110001 را دریافت می کنیم. در طول راه، ما به سوال USE "چند واحد در نمایش دودویی عدد -79 وجود دارد؟" پاسخ می دهیم. جواب 4 است.

با افزودن 1 به معکوس عدد، تفاوت بین نمایش‌های +0 = 00000000 و -0 = 11111111 حذف می‌شود. در کد متمم دو، آنها به صورت 00000000 نوشته می‌شوند.

ترجمه اعداد کسری

اعداد کسری به روش معکوس به تقسیم اعداد صحیح بر پایه ترجمه می شوند که در همان ابتدا آن را در نظر گرفتیم. یعنی با ضرب پی در پی در یک پایه جدید با مجموعه قطعات کامل. اجزای صحیح حاصل از ضرب جمع آوری می شوند، اما در عملیات زیر شرکت نمی کنند. فقط کسرها ضرب می شوند. اگر عدد اصلی بزرگتر از 1 باشد، قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه ترجمه می شوند و سپس به هم چسبانده می شوند.

بیایید عدد 0.6752 را به سیستم باینری ترجمه کنیم.

این فرآیند را می توان برای مدت طولانی ادامه داد تا زمانی که تمام صفرهای قسمت کسری را بدست آوریم یا دقت لازم را بدست آوریم. بیایید فعلاً روی علامت 6 توقف کنیم.

معلوم می شود 0.6752 = 0.101011.

اگر عدد 5.6752 بود، در باینری 101.101011 خواهد بود.

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 باشد (بالاخره 10 رقم و 26 حرف لاتین). اعداد نباید از 30 کاراکتر تجاوز کنند. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت ورود" کلیک کنید.

شماره اصلی ثبت شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم یک رکورد از یک عدد در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

یک ورودی دریافت کنید

ترجمه های کامل: 1363703

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، و همچنین سیستم رومی وجود دارد - این فقط موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به مثال برخی از اعداد درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. عدد را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری می کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به صورت زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 26 +7 10 -3 .

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

ساده ترین راه برای ترجمه یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس نتیجه به دست آمده را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با شروع از صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. تبدیل عدد 1001101.1101 2 به سیستم اعداد اعشاری.
راه حل: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0.5 0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. تبدیل عدد E8F.2D 16 به سیستم اعداد اعشاری.
راه حل: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه ترجمه شوند.

تبدیل قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

قسمت صحیح از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگری با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد ترجمه می شود تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه انتقال یک رکورد از باقیمانده ها خواهد بود، که از آخرین مورد شروع می شود.

3. تبدیل عدد 273 10 به سیستم اعداد اکتالی.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1، 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2، 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد باقی مانده به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. پس ترجمه صحیح است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

بیایید ترجمه کسرهای اعشاری صحیح را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب است عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به طور مداوم در N ضرب کنید تا زمانی که قسمت کسری صفر شود یا تعداد ارقام مورد نیاز به دست آید. اگر در حین ضرب عددی با یک جزء صحیح غیر از صفر به دست آید ، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود ، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. تبدیل عدد 0.125 10 به سیستم اعداد باینری.
راه حل: 0.125 2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که اولین رقم نتیجه خواهد بود)، 0.25 2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5 2 = 1.0 (1 رقم سوم نتیجه است. ، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل شده است).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2

برچسب ها: سیستم اعداد، ترجمه سیستم اعداد، سیستم های اعداد مرتبط

تغییر پایه برای سیستم های اعداد موقعیتی

در یک سیستم اعداد موقعیتی با پایه q، یک عدد را می توان به صورت چند جمله ای نشان داد

... + a 2 ∙q 2 + a 1 q 1 + a 0 ∙q 0 + a -1 ∙q -1 + a -2 ∙q -2 + ...

که در آن ضرایب a i ارقام سیستم اعداد با پایه q هستند.

به عنوان مثال، در سیستم اعداد اعشاری

124.733 = 1∙10 2 + 2∙10 1 + 4∙10 0 + 7∙10 -1 + 3∙10 -2 + 3∙10 -3

تعداد ارقام در سیستم اعداد با پایه q برابر است با q، در حالی که رقم حداکثر برابر است با q - 1. رقم نمی تواند برابر با q شود، زیرا در این صورت واحد به یک بیت جدید منتقل می شود.

به عنوان مثال، شما باید حداقل پایه سیستم اعدادی را که در آن عدد 7832 نوشته شده است، پیدا کنید، از آنجایی که حداکثر رقم 8 است، حداقل مقدار q = 8 + 1 = 9 است.

اساس سیستم اعداد می تواند در اصل هر عددی باشد: عدد صحیح، منفی، گویا، غیر منطقی، مختلط و غیره. ما فقط پایه های اعداد صحیح مثبت را در نظر خواهیم گرفت.

پایه 2 و پایه هایی که قدرت های دو - 8 و 16 هستند، مورد توجه ما هستند.

در صورتی که اساس با. بزرگتر از ده، سپس ارقام جدید به ترتیب از حروف الفبا گرفته می شوند. به عنوان مثال، برای سیستم هگزادسیمال، این اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F خواهند بود.

ترجمه قسمت صحیح سیستم اعداد اعشاری

اولین راه برای تبدیل از اعشار به n-ary تقسیم متوالی عدد بر پایه جدید است.

123/12 = 10 (3) 10/12 = 0 (10=A)

ما به ترتیب معکوس، ابتدا آخرین مقدار را جمع آوری می کنیم (این 0 است)، سپس تمام باقیمانده ها را از بالا به پایین جمع می کنیم. 0A3 = A3 می گیریم

4563/8 = 570 (3) 570/8 = 71 (2) 71/8 = 8 (7) 8/8 = 1 (0)

با بازگرداندن آن، 10723 دریافت می کنیم

3349 10 → X 16

3349/16 = 209 (5) 209/16 = 13 (1) 13/16 = 0 (13 = D)

کنار هم قرار دادن: 0D15 = D15

545/2 = 272 (1) 272/2 = 136 (0) 136/2 = 68 (0) 68/2 = 34 (0) 34/2 = 17 (0) 17/2 = 8 (1) 8/2 = 4 (0) 4/2 = 2(0) 2/2 = 1 (0) 1/2 = 0(1)

جمع آوری 01000100001 = 1000100001

ترجمه روی کاغذ معمولاً با تقسیم به یک ستون انجام می شود. تا زمانی که تقسیم به صفر منتهی شود، هر پاسخ بعدی بر مبنای c تقسیم می شود. با. در پایان، پاسخ از باقی مانده تقسیم جمع آوری می شود.

همچنین اغلب امکان ترجمه یک عدد به s دیگر وجود دارد. با. ، اگر به صورت ذهنی آن را به عنوان مجموع درجات پایه مربوطه ای که می خواهیم عدد را به آن تبدیل کنیم، نمایش دهیم.

به عنوان مثال، 129 بدیهی است 128 + 1 = 2 7 + 1 = 10000001 2

80 = 81 - 1 = 3 4 - 1 = 10000 - 1 = 2222 3

تبدیل به سیستم اعشاری قسمت صحیح

ترجمه با استفاده از نمایش عدد در سیستم اعداد موقعیتی انجام می شود. لازم است A3 12 → X 10 ترجمه شود. معلوم است که A3 3∙q 0 + A∙q 1 است، یعنی 3*1 + A*12 = 3 + 120 = 123

10723 8 → X 10

1∙q 4 + 0∙q 3 + 7∙q 2 + 2∙q 1 + 3∙q 0 = 1∙8 4 + 0 + 7∙8 2 + 2∙8 + 3 = 1∙4096 + 7∙64 + 2∙8 + 3 = 4563

D∙16 2 + 1∙16 1 +5∙16 0 = 13∙256 + 16 + 5 = 3349

1000100001 2 → X 10

2 9 + 2 5 + 1 = 512 + 32 + 1 = 545.

ترجمه روی کاغذ معمولاً به شرح زیر انجام می شود. بالای هر رقم به ترتیب عدد مدرک را بنویسید. سپس تمام شرایط از قبل نوشته شده است.

تبدیل جزء کسری از سیستم اعشاری

در طول ترجمه قسمت کسری، اغلب موقعیتی رخ می دهد که کسر اعشاری نهایی به یک بی نهایت تبدیل می شود. بنابراین، معمولاً هنگام ترجمه، دقت لازم برای ترجمه نشان داده می شود. ترجمه با ضرب متوالی قسمت کسری در پایه سیستم اعداد انجام می شود. در این حالت کل قسمت به عقب متمایل می شود و جزء کسر می شود.

0.625 10 → X 2

0.625 * 2 = 1.250 (1) 0.25 * 2 = 0.5 (0) 0.5 * 2 = 1.0 (1)

0 - ضرب بیشتر فقط صفر می دهد
از بالا به پایین جمع می کنیم، 0.101 می گیریم

0.310 → X2 0.3 * 2 = 0.6 (0) 0.6 * 2 = 1.2 (1) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1) 0.6 * 2 (1 = 1. )

0.2 ... کسر تناوبی می گیریم
ما جمع آوری می کنیم، 0.0100110011001 می گیریم ... = 0.0 (1001)

0.64510 ← X5 0.645 * 5 = 3.225 (3) 0.255 * 5 = 1.275 (1) 0.275 * 5 = 1.375 (1) 0.375 * 5 = 1.875 (1) 0.874 (1) 0.875 (1) 5 (1 )…

0.3111414… = 0.311(14)

تبدیل یک جزء کسری به سیستم اعشاری

با ضرب رقم تخلیه در پایه به درجه ای برابر با موقعیت تخلیه در عدد، به طور مشابه ترجمه قسمت صحیح انجام می شود.

0.101 2 → X 10

1∙2 -1 + 0∙2 -2 + 1∙2 -3 = 0.5 + 0.125 = 0.625

0.134 5 → X 10

1∙5 -1 + 3∙5 -2 +4∙5 -3 = 0.2 + 3∙0.04 + 4∙0.008 = 0.2 + 0.12 + 0.032 = 0.352

ترجمه از سیستم اعداد دلخواه به دلخواه

انتقال از یک سیستم اعداد دلخواه به یک s دلخواه. با. با استفاده از اعشار انجام شد. با.

X N → X M ≡ X N → X 10 → X M

مثلا

1221201 3 → X 7

1221201 3 = 1∙3 6 + 2∙3 5 + 2∙3 4 + 1∙3 3 + 2∙3 2 + 1 = 729 + 2∙243 + 2∙81 + 27 + 9 + 1 = 1414 10

1414/7 = 202 (0) 202/7 = 28 (6) 28/7 = 4 (0) 4/7 = 0 (4)

1221201 3 → 4060 7

سیستم های اعداد مرتبط

سیستم‌های اعداد زمانی مرتبط نامیده می‌شوند که پایه‌های آن‌ها توان‌های یک عدد باشند. به عنوان مثال، 2، 4، 8، 16. ترجمه بین سیستم های اعداد مرتبط را می توان با استفاده از جدول انجام داد.

برای ترجمه از یک سیستم اعداد مرتبط به سیستم دیگر، ابتدا باید عدد را به باینری تبدیل کنید. برای تبدیل به سیستم اعداد باینری، هر رقم از عدد با دو (برای چهارتایی)، سه (برای هشت) یا چهار (برای هگزا دسیمال) جایگزین می شود.

برای 123 4، یک با 01، دو با 10، سه با 11 جایگزین می شود، ما 11011 2 را دریافت می کنیم.

برای 5721 8 به ترتیب 101، 111، 010، 001، کل 101111010001 2

برای E12 16 ما 111000010010 2 دریافت می کنیم

برای ترجمه از سیستم باینری، باید عدد را به دو (چهارم)، سه تا (هشتم) یا چهار عدد (شانزدهم) تقسیم کنید و سپس آن را با مقادیر مربوطه جایگزین کنید.

هنگام ترجمه اعداد از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر، قسمت های اعداد صحیح و کسری همیشه به طور جداگانه ترجمه می شوند (طبق قوانین مختلف).

ترجمه کل قسمت

برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگری، باید یک تقسیم عدد صحیح از عدد اصلی را بر پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید، انجام دهید. در این مورد، باقیمانده تقسیم و ضریب مهم است. ضریب باید بر پایه تقسیم شود تا 0 باقی بماند. پس از آن، تمام باقیمانده ها باید به ترتیب معکوس نوشته شوند - این عدد در سیستم اعداد جدید خواهد بود.

به عنوان مثال، ترجمه - عدد 25 از اعشار به دودویی به این صورت است:

با نوشتن باقی مانده ها به ترتیب معکوس، 25 10 = 11001 2 دریافت می کنیم.

اگر در مورد آن فکر کنید، به راحتی می توانید متوجه شوید که هنگام تبدیل مطلقاً هر عددی به سیستم اعداد باینری، آخرین باقیمانده (یعنی اولین رقم در نتیجه) همیشه برابر با آخرین ضریب است که تبدیل شده است. کمتر از پایه سیستم اعدادی باشد که در آن عدد را ترجمه می کنیم. بنابراین، تقسیم اغلب قبل از اینکه ضریب برابر با صفر شود متوقف می شود - در لحظه ای که ضریب به سادگی از پایه کمتر می شود. مثلا:

ترجمه از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری دقیقاً طبق قوانین مشابه انجام می شود. در اینجا مثالی از تبدیل 393 10 به هگزادسیمال آورده شده است:

با نوشتن باقی مانده ها به ترتیب معکوس، 393 10 = 189 16 به دست می آید.

باید بدانید که باقی مانده ها در سیستم اعداد اعشاری به دست می آیند. هنگام تقسیم بر 16، باقیمانده ها ممکن است نه تنها از 0 تا 9، بلکه باقیمانده های 10 تا 15 نیز ظاهر شوند. هر باقیمانده همیشه دقیقاً یک رقم در سیستم اعدادی است که انتقال به آن انجام می شود.

به عنوان مثال، اگر هنگام تبدیل به سیستم اعداد هگزادسیمال، باقیمانده های زیر را دریافت کردید (به ترتیبی که باید در عدد نوشته شوند): 10، 3، 15، 7، سپس در سیستم اعداد هگزادسیمال این دنباله از باقیمانده ها با عدد A3F7 16 مطابقت دارند (برخی به اشتباه عدد را 103157 16 می نویسند - قابل درک است که این یک عدد کاملاً متفاوت است و اگر این کار را انجام دهید معلوم می شود که ارقام A تا F نمی توانند در هر عدد هگزادسیمال ظاهر می شود).

ترجمه کسری

هنگام ترجمه قسمت کسری، برخلاف ترجمه قسمت صحیح، نباید تقسیم کرد، بلکه باید در پایه سیستم اعدادی که به آن ترجمه می کنیم ضرب کرد. در این حالت، هر بار کل اجزاء دور ریخته می شوند و اجزاء کسری دوباره ضرب می شوند. پس از جمع آوری کل قطعات به ترتیب دریافت آنها، قسمت کسری عدد در سیستم شماره مورد نظر به دست می آید.

یک عمل ضرب دقیقاً یک علامت اضافی را در سیستم عددی که ترجمه در آن انجام می شود، می دهد.

دو شرط برای پایان دادن به فرآیند وجود دارد:

1) در نتیجه ضرب بعدی، در قسمت کسری صفر به دست می آورید. واضح است که هر چقدر این صفر را ضرب کنید باز هم صفر می ماند. این بدان معنی است که عدد دقیقاً از سیستم اعداد اعشاری به عدد صحیح منتقل شده است.

2) نمی توان همه اعداد را دقیقاً ترجمه کرد. در این حالت معمولاً با کمی دقت ترجمه می شود. در این مورد، ابتدا مشخص می شود که چند رقم اعشار مورد نیاز خواهد بود - دقیقاً این تعداد دفعات است که عملیات ضرب باید انجام شود.

در اینجا مثالی از تبدیل عدد 0.39 10 به سیستم اعداد باینری آورده شده است. دقت - 8 رقم (در این مورد، دقت ترجمه خودسرانه انتخاب می شود):

اگر قطعات صحیح را به ترتیب مستقیم بنویسیم، 0.39 10 = 0.01100011 2 به دست می آید.

اولین صفر (که در شکل با رنگ آبی خط خورده است) نیازی به نوشتن ندارد - زیرا به قسمت کسری اشاره نمی کند، بلکه به کل اشاره دارد. برخی هنگام نوشتن نتیجه به اشتباه این صفر را بعد از اعشار می نویسند.

ترجمه عدد 0.39 10 به سیستم اعداد هگزادسیمال به این صورت خواهد بود. دقت - 8 رقم در این مورد، دقت مجدداً خودسرانه انتخاب می شود:

اگر قسمت های صحیح را به ترتیب مستقیم بنویسیم، 0.39 10 = 0.63D700A3 16 به دست می آید.

در همان زمان، احتمالاً متوجه شده اید که اجزای صحیح هنگام ضرب در سیستم اعداد اعشاری به دست می آیند. این قسمت های صحیح که هنگام ترجمه قسمت کسری عدد بدست می آیند باید به همان روشی که باقی مانده ها هنگام ترجمه قسمت صحیح عدد تفسیر شوند. یعنی اگر هنگام ترجمه به یک سیستم اعداد هگزا دسیمال، قطعات صحیح به این ترتیب تبدیل شوند: 3، 13، 7، 10، عدد مربوطه 0.3D7A 16 خواهد بود (و نه 0.313710 16، همانطور که برخی گاهی به اشتباه می نویسند. پایین).

ترجمه یک عدد با یک عدد صحیح و یک جزء کسری

برای ترجمه یک عدد با یک عدد صحیح و یک جزء کسری باید قسمت صحیح را جداگانه و قسمت کسری را جداگانه ترجمه کنید و بنابراین این دو قسمت را با هم بنویسید.

به عنوان مثال، 25.39 10 \u003d 11001.01100011 2 (ترجمه قسمت های عدد صحیح و کسری - به بالا مراجعه کنید).

تبدیل اعداد صحیح کوچک از اعشاری به باینری در ذهن

از آنجایی که هنگام کار با سیستم های اعداد مختلف، به ویژه هنگام توسعه برنامه ها، اغلب لازم است اعداد صحیح کوچک ترجمه شوند، بنابراین، به طور کلی، منطقی است که 16 عدد اول (از 0 تا 15) را به خاطر بسپارید.

اما اگر بفهمید که تبدیل ذهنی اعداد صحیح کوچک از 0 به 15 از اعشار به باینری چقدر آسان است، می توانید به سادگی هر بار که به آن نیاز دارید، بخش قابل توجهی از جدول را در ذهن خود محاسبه کنید. این عمل را بارها انجام دهید و در برخی مواقع خودتان نمی توانید درک کنید - قبلاً جدول را حفظ کرده اید یا هنوز در حال محاسبه هستید.

بنابراین، برای تبدیل یک عدد صحیح مثبت کوچک از 0 به 15 از اعشاری به باینری، اولین چیزی که باید درک کرد این است که هر موقعیت در عدد باینری با توان دو مطابقت دارد. در عین حال، قدرت های دو برای موقعیت های 0 تا 3 بسیار آسان است - این اعداد 1، 2، 4 و 8 هستند:

و عدد 10 2 به اضافه 8 است:

خوب، عدد 0 گناهی است که نباید به خاطر بسپارید، زیرا برای به دست آوردن آن، نیازی به اضافه کردن چیزی نیست.

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

سیستم های اعداد

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره

چند کلمه در مورد سیستم اعداد. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ارقام (0.1)، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ارقام (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10،11 مطابقت دارد، 12،13،14،15 در جدول 1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف نشان داده شده اند.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8، برای 16 رقم - توسط 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.

مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:

همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.

برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا قسمت کسری به صفر خالص برسد، یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).

بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.

مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. فرآیند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین، می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.

بدست آورد:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.