تشکیل یک ماتریس از یک تصویر انتگرال با درک جداگانه از عناصر یک شی پیچیده. تشکیل ماتریس یک تصویر انتگرال با درک جداگانه عناصر یک شی پیچیده یافتن هسته تصویر یک عملگر خطی

توضیح اصول یکپارچه سازی اطلاعات گسسته در مورد درک جداگانه از عناصر یک شی پیچیده یک مشکل بین رشته ای واقعی است. این مقاله فرآیند ساخت تصویر یک شی را مورد بحث قرار می‌دهد که مجموعه‌ای از بلوک‌ها است که هر کدام مجموعه‌ای از عناصر کوچک را ترکیب می‌کنند. یک موقعیت تضاد به عنوان موضوع مطالعه انتخاب شد، زیرا به طور مداوم در حوزه توجه با استراتژی تجزیه و تحلیل اطلاعات بدون تغییر بود. شرایط موقعیت اجزای سازنده شی بود و به طور جداگانه به عنوان نمونه اولیه درگیری درک می شد. وظیفه این کار بیان ریاضی ماتریسی بود که تصویر یک موقعیت رفتاری مشکل ساز را منعکس می کرد. حل مشکل بر اساس داده های تجزیه و تحلیل بصری طراحی ترکیب گرافیکی بود که عناصر آن با شرایط موقعیتی مطابقت داشت. اندازه و ویژگی های گرافیکی عناصر انتخاب شده و همچنین توزیع آنها در ترکیب بندی، به عنوان راهنمای برجسته سازی سطرها و ستون ها در ماتریس تصویر عمل می کند. این مطالعه نشان داد که طراحی ماتریس اولاً با انگیزه رفتاری، ثانیاً با روابط علت و معلولی عناصر موقعیتی و ترتیب به دست آوردن اطلاعات و ثالثاً با تخصیص قطعات اطلاعات تعیین می شود. مطابق با پارامترهای وزن آنها. می توان فرض کرد که اصول بردار ماتریس ذکر شده برای تشکیل تصویری از یک موقعیت رفتاری برای ساخت تصاویر و سایر اشیایی که توجه به آنها معطوف می شود، معمولی است.

تجسم

ادراک

گسستگی اطلاعات

1. آنوخین پ.ک. مقالاتی در مورد فیزیولوژی سیستم های عملکردی. – م.: پزشکی، 1985. – 444 ص.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. جبر خطی: کتاب درسی برای دانشگاه ها. – ویرایش ششم – م.: فیزمتلیت، 2004. -280 ص.

3. لاوروف V.V. مغز و روان. - سنت پترزبورگ: RGPU، 1996. - 156 ص.

4. لاوروف V.V.، Lavrova N.M. تأثیر پرخاشگری بر یکپارچگی، یکپارچگی، ارزش و ذهنیت تصویر یک موقعیت درگیری // روانشناسی شناختی: تحقیقات بین رشته ای و شیوه های یکپارچه. - سنت پترزبورگ: VVM، 2015. - S. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinsky A.V. سه گانه استراتژی های پردازش اطلاعات در تشخیص تصاویر بصری ناقص // تحقیقات بنیادی. - 2014 - شماره 6 (2). - س 375-380.

6. Lavrova N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. میانجیگری: تصمیم گیری مسئولانه. - M: OPPL، 2013. - 224 p.

7. Shelepin Yu.E.، Chikhman V.N.، Foreman N. تجزیه و تحلیل تحقیقات در مورد درک تصاویر تکه تکه - ادراک و درک یکپارچه با ویژگی های اطلاعاتی // مجله فیزیولوژی روسیه. 2008. - T. 94. شماره 7. - S. 758-776.

نتایج مطالعات بر روی ادراک تصاویر ناقص، چشم انداز مطالعه اصولی را که ادغام اطلاعات گسسته و مونتاژ تصاویر انتگرال را تعیین می کنند، گسترش داده است. تجزیه و تحلیل ویژگی های تشخیص تصاویر تکه تکه شده با ارائه تعداد در حال تغییر قطعات امکان ردیابی سه استراتژی برای ساخت یک تصویر یکپارچه را در شرایط کمبود اطلاعات فراهم کرد. استراتژی ها در ارزیابی اهمیت بخش های موجود از اطلاعات برای تشکیل یک تصویر یکپارچه متفاوت بودند. به عبارت دیگر، هر استراتژی با دستکاری پارامترهای وزنی اطلاعات موجود مشخص می شد. اولین استراتژی برای هم ارزی قطعات تصویر ارائه شد - شناسایی آن پس از انباشت اطلاعات تا سطح کافی برای نمایش کامل شی ارائه شده انجام شد. استراتژی دوم مبتنی بر رویکردی متمایز برای ارزیابی وزن قطعات اطلاعات موجود بود. ارزیابی مطابق با فرضیه مطرح شده در مورد ماهیت شی داده شد. راهبرد سوم با انگیزه استفاده حداکثری از اطلاعات موجود تعیین شد که وزن بالایی داشت و نشانه یا نمونه اولیه یک شی واقعی به حساب می آمد. نکته مهم در کار انجام شده قبلاً در نظر گرفتن مکانیسم های مغز بود که بسته به احساسات غالب و انگیزه رفتاری تغییری در استراتژی ها ایجاد می کرد. این به سیستم های غیر اختصاصی مغز و ناهمگونی ماژول های عصبی که تحت کنترل کنترل مرکزی عمل می کنند اشاره دارد. مطالعات انجام شده، و همچنین مطالعاتی که از منابع ادبی شناخته شده است، سؤال اصول توزیع اطلاعات را در یک تصویر کامل باز گذاشته است. برای پاسخ به این سوال، لازم بود که شکل گیری تصویر جسمی که توجه روی آن برای مدت طولانی متمرکز شده است، مشاهده شود و استراتژی انتخاب شده برای ساخت تصویر بدون تغییر باقی بماند. یک موقعیت درگیری می تواند به عنوان یک هدف عمل کند، زیرا با استراتژی دوم تجزیه و تحلیل شرایط بدون تغییر، پیوسته در میدان توجه قرار داشت. طرفین اختلاف راهبرد اول را به دلیل افزایش مدت درگیری رد کردند و راهبرد سوم را به کار نگرفتند و از تصمیمات اشتباه اجتناب کردند.

هدفاین کار شامل روشن کردن اصول ساخت یک ماتریس تصویر بر اساس عناصر اطلاعاتی بود که در طی ادراک جداگانه اجزای یک شی پیچیده به دست آمده بود که توجه به آن معطوف شد. ما وظایف زیر را حل کردیم: اولاً، ما یک شی را انتخاب کردیم که توجه به مدت طولانی روی آن متمرکز بود، ثانیاً از روش تجسم تصویر برای ردیابی تکه تکه شدن اطلاعات به دست آمده در حین درک شی استفاده کردیم و سپس، ثالثا، اصول قطعات توزیع انتگرال در ماتریس را فرموله کنید.

مواد و روش های تحقیق

یک موقعیت رفتاری مشکل ساز به عنوان یک شی چند جزئی که به طور مداوم در میدان توجه با یک استراتژی بدون تغییر برای تجزیه و تحلیل اطلاعات موجود قرار داشت، عمل می کرد. مشکل ناشی از درگیری در روابط اعضای خانواده و همچنین کارکنان مؤسسات صنعتی و آموزشی بود. آزمایش‌هایی که در آن‌ها تحلیل تصویر وضعیت انجام شد، مقدم بر میانجی‌گری با هدف حل تناقضات بین طرف‌های اختلاف بود. قبل از شروع مذاکرات میانجیگری، نمایندگان طرف های اختلاف پیشنهادی برای شرکت به عنوان آزمودنی در آزمایش ها با استفاده از تکنیکی دریافت کردند که تجزیه و تحلیل وضعیت را تسهیل می کند. تکنیک تجسم برای ساخت یک ترکیب گرافیکی ارائه می شود که ساخت تصویری را که در طول درک جداگانه اجزای یک شی پیچیده ایجاد می شود منعکس می کند. این تکنیک به عنوان ابزاری برای مطالعه فرآیندهای تشکیل یک تصویر انتگرال از مجموعه ای از عناصر مربوط به جزئیات شی بود. گروه آزمودنی ها شامل 19 زن و 8 مرد 28 تا 65 سال بود. برای به دست آوردن یک تصویر بصری کامل از موقعیت، از آزمودنی ها خواسته شد اقدامات زیر را انجام دهند: 1) شرایط موقعیت درگیری - رویدادها، روابط با مردم، انگیزه های رفتار خود و اطرافیان را به حافظه بازگردانند. 2) شرایط را با اهمیت آنها برای درک ماهیت وضعیت ارزیابی کنید. 3) شرایط را به مساعد و نامطلوب برای حل تعارض تقسیم کنید و سعی کنید رابطه آنها را ردیابی کنید. 4) برای هر یک از شرایطی که موقعیت را مشخص می کند، یک عنصر گرافیکی مناسب (دایره، مربع، مثلث، خط یا نقطه) را انتخاب کنید. 5) ترکیبی از عناصر گرافیکی را با در نظر گرفتن اهمیت و رابطه متقابل شرایط منتقل شده توسط این عناصر تشکیل دهید و ترکیب حاصل را روی یک ورق کاغذ بکشید. ترکیبات گرافیکی تجزیه و تحلیل شد - ترتیب و نسبت اندازه عناصر تصویر ارزیابی شد. ترکیب‌های تصادفی بی‌نظم رد شدند و از آزمودنی‌ها خواسته شد تا در رابطه با شرایط موقعیتی تجدید نظر کنند. نتایج تجزیه و تحلیل تعمیم یافته ترکیب به عنوان یک دستورالعمل برای فرمول بندی بیان ریاضی ماتریس تصویر عمل کرد.

نتایج تحقیق و بحث

هر ترکیب گرافیکی که سوژه از طریق آن ساخت تصویر یک موقعیت رفتاری را ارائه می‌کرد، بدیع بود. نمونه هایی از ترکیبات در شکل نشان داده شده است.

ترکیب‌بندی‌های گرافیکی که تصاویر موقعیت‌های رفتاری مشکل‌ساز را منعکس می‌کند که سوژه‌ها در آن قرار داشتند (هر عنصر ترکیب مطابق با شرایط موقعیتی است)

منحصر به فرد بودن ترکیب ها به رویکرد مسئولانه افراد به تجزیه و تحلیل موقعیت ها با در نظر گرفتن ویژگی های متمایز آنها گواهی می دهد. تعداد عناصر در ترکیب و ابعاد عناصر، و همچنین طراحی ترکیب، ارزیابی مجموعه ای از شرایط را منعکس می کند.

پس از اینکه اصالت ترکیب بندی ها مشخص شد، مطالعه به شناسایی ویژگی های اساسی طراحی تصویر روی آورد. در تلاش برای ساختن یک ترکیب یکپارچه که تصویری از موقعیت را منعکس می کند، آزمودنی ها عناصر را مطابق با ترجیحات فردی خود و همچنین با در نظر گرفتن روابط علت و معلولی شرایط و ترکیب شرایط در طول زمان توزیع کردند. . هفت آزمودنی ترجیح دادند ترکیب را در قالب یک تصویر جمع کنند که ساخت آن توسط یک طرح فیگوراتیو از پیش تدوین شده تعیین شده بود. روی انجیر 1 (الف، ب، د) نمونه هایی از چنین ترکیباتی آورده شده است. قبل از تدوین ترکیب، دو آزمودنی آگاهانه ایده زیربنایی طرح را انتخاب کردند و پنج نفر به طور شهودی، بدون اینکه توضیح منطقی بدهند که چرا در گزینه انتخاب شده متوقف شده اند. بیست موضوع باقیمانده یک ترکیب شماتیک ایجاد کردند و فقط به روابط علت و معلولی شرایط و ترکیب شرایط در طول زمان توجه داشتند (شکل 1, c, e, f). شرایط مرتبط و همزمان در زمان در ترکیب ترکیب شدند. در آزمایش‌ها، تفسیر ماهیت درگیری با استفاده از داده‌های ترکیب گرافیکی انجام نشد. چنین تفسیری متعاقباً در چارچوب میانجیگری انجام شد، زمانی که آمادگی طرفین برای مذاکره مشخص شد.

تجزیه و تحلیل ترکیبات امکان ردیابی نه تنها تفاوت، بلکه جهانی بودن اصول شکل گیری تصویر موقعیت را نیز فراهم کرد. اولاً، ترکیب ها از عناصر گرافیکی تشکیل شده بودند که هر یک از آنها شرایطی را منعکس می کردند که دارای یک اشتراک بودند. کلیت شرایط ناشی از روابط علّی و زمانی بود. ثانیاً، شرایط برای درک ماهیت وضعیت مشکل اهمیت نابرابر داشت. یعنی شرایط در پارامترهای وزنی متفاوت بود. شرایط بسیار مهم توسط عناصر گرافیکی در اندازه بزرگ شده، در مقایسه با موارد کم اهمیت به تصویر کشیده شد. ویژگی های ذکر شده تصویر در هنگام کامپایل ماتریس تصویر در نظر گرفته شد. این بدان معنی است که اندازه و ویژگی های گرافیکی عناصر انتخاب شده و همچنین موقعیت مکانی آنها در ترکیب گرافیکی، به عنوان راهنمای ساخت یک ماتریس اطلاعاتی است که تصویر موقعیت را منعکس می کند و مدل ریاضی آن است. یک ماتریس مستطیلی که به صورت جدول ارائه می شود به ردیف و ستون تقسیم می شود. در رابطه با تصویر شکل‌گرفته از وضعیت مشکل در ماتریس، ردیف‌هایی متمایز شدند که در آن عناصر وزنی از تصاویر پیشین، که با روابط علی و زمانی متحد شده بودند، و ستون‌هایی حاوی داده‌های عنصری که در پارامترهای وزنی متفاوت بودند، وجود داشت.

(1)

هر خط جداگانه شکل گیری بخشی از تصویر یا به عبارتی نمونه اولیه جسم را منعکس می کرد. هرچه خطوط بیشتر و m بیشتر باشد، شی به طور کامل تری درک می شود، زیرا ویژگی های ساختاری و عملکردی که به عنوان نمونه اولیه آن عمل می کردند به طور کامل در نظر گرفته می شدند. تعداد ستون های n با تعداد جزئیات ذکر شده در طول ساخت نمونه اولیه تعیین شد. می توان فرض کرد که هر چه قطعات اطلاعاتی با وزن بالا و پایین انباشته شده باشد، نمونه اولیه به طور کامل با واقعیت مطابقت دارد. ماتریس (1) با پویایی مشخص می شود، زیرا ابعاد آن مطابق با کامل بودن تصویر شی درک شده تغییر می کند.

در اینجا ذکر این نکته مناسب است که کامل بودن تنها شاخص کیفیت یک تصویر نیست. تصاویر ارائه شده بر روی بوم های هنرمندان اغلب عکس ها را با جزئیات و مطابق با واقعیت از دست می دهند، اما در عین حال می توانند در ارتباط با سایر تصاویر، در هیجان انگیز کردن تخیل و در تحریک احساسات پیشی بگیرند. این نکته به درک اهمیت پارامترهای amn کمک می کند که وزن قطعات اطلاعات را نشان می دهد. افزایش وزن کمبود اطلاعات موجود را جبران کرد. همانطور که مطالعه راهبردهای غلبه بر عدم قطعیت نشان داد، تشخیص اهمیت بالای اطلاعات موجود، تصمیم‌گیری را در یک موقعیت مشکل تسریع می‌کند.

بنابراین، فرآیند تشکیل یک تصویر کامل را می توان تفسیر کرد اگر آن را با دستکاری اطلاعات در چارچوب ماتریس مرتبط کنیم. دستکاری با تغییر خودسرانه یا غیر ارادی (خودآگاه هدفمند یا شهودی ناخودآگاه) در پارامترهای وزن قطعات اطلاعاتی، یعنی تغییر در مقدار amn بیان می شود. در این حالت، مقدار bm که اهمیت نمونه اولیه را مشخص می‌کند، افزایش یا کاهش می‌یابد و تصویر حاصل از br به طور همزمان تغییر می‌کند. اگر به مدل ماتریسی تشکیل یک تصویر که مجموعه ای از داده ها را روی یک شی می پوشاند، روی آوریم، سازماندهی تصویر به شرح زیر است. بردار پیش تصویرهای حاوی m مولفه را با نشان دهید

که در آن T علامت جابجایی است و هر عنصر از بردار تصاویر پیشین شکل زیر را دارد:

سپس انتخاب تصویر حاصل را می توان طبق قانون لاپلاس انجام داد:

جایی که br نتیجه نهایی تشکیل یک تصویر انتگرال است که مقادیر bm را به عنوان اجزای آن دارد، amn مجموعه ای از مقادیر است که موقعیت و پارامترهای وزن متغیر را در خط مربوط به تصویر اولیه تعیین می کند. . در شرایط محدود بودن اطلاعات، می توان با افزایش وزن داده های موجود، نتیجه نهایی را افزایش داد.

در پایان بحث از مطالب ارائه شده در مورد اصول شکل گیری تصویر، توجه به لزوم مشخص کردن اصطلاح "تصویر" جلب می شود، زیرا هیچ تفسیر پذیرفته شده ای در ادبیات وجود ندارد. این اصطلاح اول از همه به معنای تشکیل یک سیستم یکپارچه از قطعات اطلاعاتی است که با جزئیات شی در حوزه توجه مطابقت دارد. علاوه بر این، جزئیات بزرگ شی توسط زیرسیستم های قطعات اطلاعاتی که نمونه های اولیه را تشکیل می دهند منعکس می شود. یک شی، یک پدیده، یک فرآیند و همچنین یک موقعیت رفتاری می تواند به عنوان یک شی عمل کند. شکل گیری تصویر توسط تداعی اطلاعات دریافتی و آنچه در حافظه موجود است و با شی درک شده مرتبط است فراهم می شود. ادغام قطعات و انجمن های اطلاعاتی هنگام ایجاد یک تصویر در داخل ماتریس اجرا می شود که طرح و بردار آن آگاهانه یا شهودی انتخاب می شود. انتخاب بستگی به ترجیحات داده شده توسط انگیزه های رفتار دارد. در اینجا، توجه ویژه ای به نکته اساسی جلب می شود - گسسته بودن اطلاعات مورد استفاده برای نصب کل ماتریس تصویر. همانطور که نشان داده شده است، یکپارچگی توسط سیستم های مغزی غیر اختصاصی ارائه می شود که فرآیندهای تجزیه و تحلیل اطلاعات دریافتی و ادغام آن در حافظه را کنترل می کنند. یکپارچگی می تواند در حداقل مقادیر n و m برابر با یک ایجاد شود. تصویر به دلیل افزایش پارامترهای وزن اطلاعات موجود، ارزش بالایی به دست می آورد و با افزایش مقادیر n و m (1) کامل بودن تصویر افزایش می یابد.

نتیجه

تجسم عناصر تصویر امکان ردیابی اصول ساخت آن را در شرایط درک جداگانه از شرایط یک موقعیت رفتاری مشکل ساز فراهم کرد. در نتیجه کار انجام شده، نشان داده شد که ساخت یک تصویر انتگرال را می توان به عنوان توزیع قطعات اطلاعاتی در ساختار ماتریس در نظر گرفت. طرح و بردار آن اولاً با انگیزه رفتاری، ثانیاً با روابط علت و معلولی شرایط و ترتیب زمانی به دست آوردن اطلاعات و ثالثاً با تخصیص قطعات اطلاعاتی مطابق با پارامترهای وزن آنها تعیین می شود. یکپارچگی ماتریس تصویر با ادغام اطلاعات گسسته ای که شی درک شده را منعکس می کند تضمین می شود. سیستم های غیر اختصاصی مغز مکانیسمی را تشکیل می دهند که مسئول ادغام اطلاعات در یک تصویر منسجم است. روشن کردن اصول ماتریس تشکیل تصویر یک شی پیچیده، چشم انداز درک ماهیت نه تنها یکپارچگی، بلکه سایر ویژگی های تصویر را نیز گسترش می دهد. این به یکپارچگی و حفظ نظام فیگوراتیو و نیز ارزش و ذهنیت به دلیل عدم اطلاعات کامل در مورد شی اشاره دارد.

پیوند کتابشناختی

تعریف 1.تصویر یک عملگر خطی A مجموعه ای از تمام عناصری است که می توانند به صورت , Where نمایش داده شوند.

تصویر عملگر خطی A یک زیرفضای خطی از فضا است. بعد آن نامیده می شود رتبه اپراتورآ.

تعریف 2.هسته یک عملگر خطی A مجموعه ای از تمام بردارهایی است که برای آنها .

هسته یک زیرفضای خطی از فضای X است. بعد آن نامیده می شود نقص اپراتورآ.

اگر عملگر A در فضای بعدی X عمل کند، رابطه زیر + = معتبر است.

اپراتور A نامیده می شود غیر منحطاگر هسته آن باشد . رتبه یک عملگر غیر منحط برابر با بعد فضای X است.

اجازه دهید - ماتریس تبدیل خطی A فضای X در برخی موارد، سپس مختصات تصویر و پیش تصویر با رابطه مرتبط هستند.

بنابراین، مختصات هر بردار، سیستم معادلات را برآورده می کند

از این رو نتیجه می شود که هسته یک عملگر خطی یک پوشش خطی از سیستم اساسی راه حل های این سیستم است.

وظایف

1. ثابت کنید که رتبه یک اپراتور به صورت دلخواه برابر با رتبه ماتریس آن است.

هسته عملگرهای خطی داده شده در برخی از فضای X را با ماتریس های زیر محاسبه کنید:

5. ثابت کنید که

رتبه و نقص عملگرهای داده شده توسط ماتریس های زیر را محاسبه کنید:

6. . 7. . 8. .

3. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک عملگر خطی

اجازه دهید یک عملگر خطی A را در نظر بگیریم که در فضای بعدی X عمل می کند.

تعریف.عدد l را یک مقدار ویژه عملگر A می نامند اگر، به طوری که . در این حالت بردار را بردار ویژه عملگر A می نامند.

مهمترین ویژگی بردارهای ویژه یک عملگر خطی این است که بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه دو به دو هستند. به صورت خطی مستقل هستند.

اگر ماتریس عملگر خطی A بر اساس فضای X باشد، مقادیر ویژه l و بردارهای ویژه عملگر A به صورت زیر تعریف می شوند:

1. مقادیر ویژه به عنوان ریشه های معادله مشخصه (معادله جبری درجه هفتم) یافت می شود.

2. مختصات همه بردارهای ویژه مستقل خطی مربوط به هر مقدار ویژه منفرد با حل یک سیستم معادلات خطی همگن به دست می آید:

که ماتریس آن دارای رتبه است. راه حل های اساسی این سیستم بردار-ستون مختصات بردار ویژه هستند.

ریشه های معادله مشخصه را مقادیر ویژه ماتریس و جواب های سیستم را بردارهای ویژه ماتریس می نامند.

مثال.بردارهای ویژه و مقادیر ویژه عملگر A را که بر اساس ماتریس ارائه شده است، پیدا کنید

1. برای تعیین مقادیر ویژه، معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

از این رو مقدار ویژه , تعدد آن .

2. برای تعیین بردارهای ویژه، سیستم معادلات را می سازیم و حل می کنیم:

سیستم معادل معادلات پایه دارای شکل است

بنابراین، هر بردار ویژه یک بردار ستونی است که در آن c یک ثابت دلخواه است.

3.1 اپراتور یک ساختار ساده.

تعریف.یک عملگر خطی A که در فضای n بعدی عمل می کند، اگر دقیقاً با n بردار ویژه مستقل خطی مطابقت داشته باشد، عملگر ساختار ساده نامیده می شود. در این حالت، می توان از بردارهای ویژه عملگر، یک پایه فضایی ساخت که در آن ماتریس عملگر ساده ترین شکل مورب را دارد.

مقادیر ویژه اپراتور کجا هستند. بدیهی است که برعکس نیز صادق است: اگر در برخی از پایه های فضای X، ماتریس عملگر شکل مورب داشته باشد، آنگاه اساس شامل بردارهای ویژه عملگر است.

عملگر خطی A یک عملگر ساختار ساده است اگر و فقط اگر هر مقدار ویژه چندگانه دقیقاً به بردارهای ویژه مستقل خطی مطابقت داشته باشد. از آنجایی که بردارهای ویژه راه حل هایی برای سیستم معادلات هستند، بنابراین، هر ریشه از معادله تعدد مشخصه باید با یک ماتریس رتبه مطابقت داشته باشد.

هر ماتریس اندازه ای که مربوط به یک عملگر ساختار ساده باشد شبیه به یک ماتریس مورب است

که در آن ماتریس انتقال T از پایه اصلی به پایه بردارهای ویژه دارای ستون های بردار ستونی از مختصات بردارهای ویژه ماتریس است (عملگر A).

مثال.ماتریس یک عملگر خطی را به شکل مورب کاهش دهید

معادله مشخصه را می سازیم و ریشه های آن را پیدا می کنیم.

از آنجا مقادیر ویژه تعدد و کثرت.

اولین مقدار ویژه مربوط به بردارهای ویژه است که مختصات آنها هستند

راه حل سیستم

رتبه این سیستم 3 است، بنابراین تنها یک راه حل مستقل وجود دارد، به عنوان مثال، بردار.

بردارهای ویژه مربوط به توسط سیستم معادلات تعیین می شوند

که رتبه آنها 1 است و بنابراین، سه راه حل مستقل خطی وجود دارد، به عنوان مثال،

بنابراین، هر مقدار ویژه چندگانه دقیقاً با بردارهای ویژه مستقل خطی مطابقت دارد و بنابراین، عملگر یک عملگر با ساختار ساده است. ماتریس انتقال T شکل دارد

و ارتباط بین ماتریس های مشابه و توسط رابطه تعیین می شود

وظایف

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه را پیدا کنید

عملگرهای خطی که در برخی موارد توسط ماتریس ها تعریف می شوند:

تعیین کنید که کدام یک از عملگرهای خطی زیر را می توان با انتقال به یک مبنای جدید به شکل مورب کاهش داد. این مبنا و ماتریس مربوط به آن را پیدا کنید:

10. ثابت کنید که بردارهای ویژه یک عملگر خطی مربوط به مقادیر ویژه مختلف به صورت خطی مستقل هستند.

11. ثابت کنید که اگر یک عملگر خطی A که در آن عمل می کند n مقدار متفاوت داشته باشد، هر عملگر خطی B که با A جابه جا می شود، مبنایی از بردارهای ویژه دارد و هر بردار ویژه A نیز بردار ویژه برای B خواهد بود.

زیرفضاهای ثابت

تعریف 1.. یک زیرفضای L از فضای خطی X نسبت به عملگر A که در X عمل می کند، ثابت نامیده می شود اگر برای هر بردار تصویر آن نیز به آن تعلق داشته باشد.

خصوصیات اصلی زیرفضاهای ثابت با روابط زیر تعیین می شود:

1. اگر و زیر فضاهای ثابت تحت عملگر A هستند، مجموع و تقاطع آنها نیز تحت عملگر A ثابت هستند.

2. اگر فضای X به مجموع مستقیم زیرفضاها و () تجزیه شود و تحت A ثابت باشد، ماتریس عملگر در پایه، که اتحاد پایه ها است، ماتریس بلوکی است.

جایی که ماتریس های مربع هستند، 0 ماتریس صفر است.

3. در هر زیرفضای ثابت نسبت به عملگر A، عملگر حداقل یک بردار ویژه دارد.

مثال 1هسته برخی اپراتور A را در نظر بگیرید که در X عمل می کند. طبق تعریف، . اجازه دهید . سپس، از آنجایی که بردار صفر در هر زیر فضای خطی وجود دارد. بنابراین، هسته با توجه به A یک زیرفضای ثابت است.

مثال 2اجازه دهید، در برخی از پایه های فضای X، عملگر A با ماتریس تعریف شده توسط معادله و

5. ثابت کنید که هر زیرفضایی که نسبت به عملگر غیرمنحط A ثابت است، نسبت به عملگر معکوس نیز تغییرناپذیر خواهد بود.

6. اجازه دهید یک تبدیل خطی یک فضای A- بعدی در پایه یک ماتریس مورب با عناصر مختلف روی قطر داشته باشد. همه زیرفضاهای ثابت زیر A را پیدا کنید و تعداد آنها را تعیین کنید.

که در فضای برداری V بیش از زمینه سفارشی پ خطی اپراتور .

تعریف 9.8. هستهعملگر خطی  مجموعه بردارهای فضایی است V، که تصویر آن بردار صفر است. پذیرفته شده نشانه گذاری برای این مجموعه: کر، یعنی

کر = {ایکس | (ایکس) = o}.

قضیه 9.7.هسته یک عملگر خطی زیرفضای فضا است V.

تعریف 9.9.بعد، ابعاد، اندازه هسته عملگر خطی نامیده می شود کاستیعملگر خطی کم نور کر = د.

تعریف 9.10.مسیرعملگر خطی  مجموعه تصاویر نامیده می شود بردارهای فضایی V. علامت گذاری برای این مجموعه من هستم، یعنی من هستم = {(ایکس) | ایکس V}.

قضیه 9.8.تصویر عملگر خطی زیرفضای فضا است V.

تعریف 9.11.بعد، ابعاد، اندازه تصویر یک عملگر خطی نامیده می شود رتبهعملگر خطی کم نور من هستم = r.

قضیه 9.9.فضا Vمجموع مستقیم هسته و تصویر عملگر خطی تعریف شده در آن است. مجموع رتبه و نقص یک عملگر خطی برابر با بعد فضا است V.

مثال 9.3. 1) در فضای آر[ایکس] ( 3) رتبه و نقص را بیاب اپراتور تفکیک. چند جمله ای را پیدا کنید که مشتق آنها برابر با صفر است. اینها چند جمله ای های درجه صفر هستند، بنابراین کر = {f | f = ج) و د= 1. مشتقات چندجمله ای هایی که درجه آنها از سه تجاوز نمی کند، مجموعه چند جمله ای هایی را تشکیل می دهند که درجه آنها از دو تجاوز نمی کند، بنابراین، من هستم =آر[ایکس] ( 2) و r = 3.

2) اگر خطی باشد عملگر داده شده توسط ماتریس م() سپس برای یافتن هسته آن باید حل شود معادله ( ایکس) = O، که در قالب ماتریس به این صورت است: م()[ایکس] = [O]. از جانب این بدان معناست که اساس هسته یک عملگر خطی، مجموعه اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی با ماتریس اصلی است. م(). سیستم مولدهای تصویر یک اپراتور خطی بردارها را بسازید ( ه 1), (ه 2), …, (ه n). اساس این سیستم از بردارها اساس تصویر عملگر خطی را به دست می دهد.

9.6. عملگرهای خطی برگشت پذیر

تعریف9.12. خطی عملگر  نامیده می شود برگشت پذیر، در صورت وجود خطی اپراتور ψ چنین آنچه در حال انجام است برابری ψ = ψ = ، که در آن  عملگر هویت است.

قضیه 9.10.اگر خطی باشد اپراتور  نوبت، که اپراتور ψ منحصر به فرد تعریف و نامیده می شود معکوس برای اپراتور .

در این حالت عملگر معکوس عملگر است ، با  -1 نشان داده می شود.

قضیه 9.11.عملگر خطی  معکوس است اگر و تنها در صورتی که ماتریس آن معکوس باشد م()، در حالی که م( –1) = (م()) –1 .

از این قضیه نتیجه می شود که رتبه یک عملگر خطی معکوس برابر است با ابعاد فضا، و نقص صفر است.

مثال 9.4 1) خطی بودن را تعیین کنید اپراتور  اگر ( ایکس) = (2ایکس 1 – ایکس 2 , –4ایکس 1 + 2ایکس 2).

راه حل. اجازه دهید ماتریس این عملگر خطی را بسازیم: م() = . زیرا
= 0 سپس ماتریس م() برگشت ناپذیر است یعنی خطی اپراتور .

2) پیدا کردن خطی اپراتور، بازگشت اپراتور  if (ایکس) = (2ایکس 1 + ایکس 2 , 3ایکس 1 + 2ایکس 2).

راه حل.ماتریس این خطی اپراتور برابر با م() =
، برگشت پذیر است، زیرا | م()| ≠ 0. (م()) –1 =
بنابراین  –1 = (2ایکس 1 – ایکس 2 , –3ایکس 1 + 2ایکس 2).