تحلیل فوریه سیگنال ها تحقیقات پایه. انواع وظایف فردی موضوع LP

تبدیل فوریهخانواده ای از روش های ریاضی است که بر اساس تجزیه تابع پیوسته اصلی زمان به مجموعه ای از توابع هارمونیک پایه (که توابع سینوسی هستند) با فرکانس، دامنه و فاز متفاوت است. از این تعریف می توان دریافت که ایده اصلی تبدیل این است که هر تابعی را می توان به صورت مجموع بی نهایت سینوسی نشان داد که هر کدام با دامنه، فرکانس و فاز اولیه مشخص می شوند.

تبدیل فوریه بنیانگذار تحلیل طیفی است. تجزیه و تحلیل طیفی یک روش پردازش سیگنال است که به شما امکان می دهد محتوای فرکانس سیگنال اندازه گیری شده را مشخص کنید. بسته به نحوه نمایش سیگنال، تبدیل فوریه متفاوتی استفاده می شود. چندین نوع تبدیل فوریه وجود دارد:

– تبدیل فوریه پیوسته (در ادبیات انگلیسی Continue Time Transform فوریه – CTFTیا به طور خلاصه FT);

– تبدیل فوریه گسسته (در ادبیات انگلیسی تبدیل فوریه گسسته – DFT);

– تبدیل فوریه سریع (در ادبیات انگلیسی تبدیل فوریه سریع – FFT).

تبدیل فوریه پیوسته

تبدیل فوریه یک ابزار ریاضی است که در زمینه های مختلف علمی مورد استفاده قرار می گیرد. در برخی موارد، می توان از آن به عنوان وسیله ای برای حل معادلات پیچیده استفاده کرد که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر انرژی الکتریکی، حرارتی یا نور رخ می دهند، توصیف می کند. در موارد دیگر، به شما این امکان را می دهد که اجزای منظم را در یک سیگنال نوسانی پیچیده برجسته کنید تا بتوانید مشاهدات تجربی در نجوم، پزشکی و شیمی را به درستی تفسیر کنید. تبدیل پیوسته در واقع تعمیم سری فوریه است، مشروط بر اینکه دوره تابع گسترش یافته به بی نهایت متمایل شود. بنابراین، تبدیل فوریه کلاسیک با طیف سیگنال گرفته شده در کل محدوده وجود متغیر سروکار دارد.

انواع مختلفی از نوشتن تبدیل فوریه پیوسته وجود دارد که با مقدار ضریب مقابل انتگرال با یکدیگر تفاوت دارند (دو شکل نوشتاری):

یا

تصویر فوریه تابع یا طیف فرکانس تابع کجاست.

- فرکانس دایره ای

لازم به ذکر است که انواع مختلفی از ضبط در زمینه های مختلف علم و فناوری یافت می شود. ضریب نرمال سازی برای مقیاس بندی صحیح سیگنال از حوزه فرکانس به حوزه زمان ضروری است. ضریب نرمال سازی دامنه سیگنال را در خروجی تبدیل معکوس کاهش می دهد تا با دامنه سیگنال اصلی مطابقت داشته باشد. در ادبیات ریاضی، تبدیل فوریه مستقیم و معکوس در ضریب ضرب می شود، در حالی که در فیزیک، اغلب، ضریب برای تبدیل مستقیم تعیین نمی شود، اما ضریب برای معکوس تنظیم می شود. اگر به ترتیب تبدیل فوریه مستقیم یک سیگنال خاص را محاسبه کنیم و سپس تبدیل فوریه معکوس را بگیریم، نتیجه تبدیل معکوس باید کاملاً با سیگنال اصلی منطبق شود.

اگر تابع در بازه (-∞، +∞) فرد باشد، تبدیل فوریه را می توان بر حسب تابع سینوس نشان داد:

اگر تابع در بازه (-∞، +∞) زوج باشد، تبدیل فوریه را می توان بر حسب تابع کسینوس نشان داد:

بنابراین، تبدیل فوریه پیوسته به ما این امکان را می دهد که یک تابع غیر تناوبی را به عنوان انتگرال یک تابع نشان دهیم که در هر یک از نقاط آن ضریب سری فوریه را برای یک تابع غیر تناوبی نشان می دهد.

تبدیل فوریه برگشت پذیر است، یعنی اگر تصویر فوریه آن از روی تابع محاسبه شده باشد، تابع اصلی را می توان به طور منحصر به فرد از تصویر فوریه بازیابی کرد. تبدیل فوریه معکوس به عنوان یک انتگرال از فرم درک می شود (دو شکل نوشتاری):

یا

تصویر فوریه تابع یا طیف فرکانس تابع کجاست.

- فرکانس دایره ای

اگر تابع در بازه (-∞، +∞) فرد باشد، تبدیل فوریه معکوس را می توان برحسب تابع سینوس نشان داد:

اگر تابع در بازه (-∞، +∞) زوج باشد، تبدیل فوریه معکوس را می توان بر حسب تابع کسینوس نشان داد:

به عنوان مثال تابع زیر را در نظر بگیرید . نمودار تابع نمایی مورد مطالعه در زیر ارائه شده است.

از آنجایی که تابع یک تابع زوج است، تبدیل فوریه پیوسته به صورت زیر تعریف می شود:

در نتیجه، وابستگی تغییر تابع نمایی مورد مطالعه را به بازه فرکانس به دست آوردیم (به زیر مراجعه کنید).

تبدیل فوریه پیوسته معمولاً در تئوری هنگام در نظر گرفتن سیگنال هایی که مطابق با توابع داده شده تغییر می کنند استفاده می شود، اما در عمل معمولاً با اندازه گیری هایی سروکار دارند که داده های گسسته هستند. نتایج اندازه گیری در فواصل منظم با یک فرکانس نمونه برداری مشخص، به عنوان مثال، 16000 هرتز یا 22000 هرتز ثبت می شود. با این حال، در حالت کلی، قرائت‌های گسسته می‌توانند به طور ناهموار پیش بروند، اما این امر دستگاه ریاضی تجزیه و تحلیل را پیچیده می‌کند، بنابراین معمولاً در عمل از آن استفاده نمی‌شود.

یک قضیه مهم کوتلنیکوف وجود دارد (در ادبیات خارجی نام "قضیه نایکیست-شانون"، "قضیه نمونه" وجود دارد) که بیان می کند سیگنال تناوبی آنالوگ با طیف محدود (در عرض محدود) (0 ... fmax) را می توان بدون اعوجاج و تلفات در قرائت های گسسته آنها، که با فرکانس بیشتر یا مساوی دو برابر فرکانس بالای طیف - فرکانس نمونه برداری (fdisc >= 2*fmax) گرفته شده است، به طور منحصر به فرد بازیابی کرد. به عبارت دیگر، در نرخ نمونه برداری 1000 هرتز، سیگنالی با فرکانس تا 500 هرتز را می توان از یک سیگنال دوره ای آنالوگ بازیابی کرد. لازم به ذکر است که گسسته شدن یک تابع در زمان به تناوب شدن طیف آن و گسسته شدن طیف در فرکانس منجر به تناوب شدن تابع می شود.

این یکی از تبدیل های فوریه است که به طور گسترده در الگوریتم های پردازش سیگنال دیجیتال استفاده می شود.

تبدیل فوریه گسسته مستقیم یک تابع زمانی را که توسط N-نقاط اندازه گیری در یک بازه زمانی معین تعریف می شود، با تابع دیگری که در بازه فرکانسی تعریف می شود، مرتبط می کند. لازم به ذکر است که تابع در بازه زمانی با استفاده از نمونه های N و تابع در حوزه فرکانس با استفاده از طیف K-fold مشخص می شود.

k ˗ شاخص فرکانس.

فرکانس سیگنال kth توسط عبارت تعیین می شود

که در آن T دوره زمانی است که در طی آن داده های ورودی گرفته شده است.

تبدیل گسسته مستقیم را می توان بر حسب اجزای واقعی و خیالی بازنویسی کرد. مؤلفه واقعی آرایه ای است حاوی مقادیر مولفه های کسینوس و مؤلفه خیالی آرایه ای است حاوی مقادیر مؤلفه های سینوسی.

از آخرین عبارات می توان دریافت که تبدیل سیگنال را به اجزای سینوسی (که هارمونیک نامیده می شوند) با فرکانس هایی از یک نوسان در هر دوره تا نوسان N در هر دوره تجزیه می کند.

تبدیل فوریه گسسته دارای یک ویژگی است، زیرا یک دنباله گسسته را می توان با مجموع توابع با ترکیب متفاوت سیگنال هارمونیک به دست آورد. به عبارت دیگر، یک دنباله گسسته به متغیرهای هارمونیک - به طور مبهم - تجزیه می شود. بنابراین، هنگام گسترش یک تابع گسسته با استفاده از تبدیل فوریه گسسته، اجزای فرکانس بالا در نیمه دوم طیف ظاهر می شوند که در سیگنال اصلی نبودند. این طیف فرکانس بالا تصویر آینه ای از قسمت اول طیف (از نظر فرکانس، فاز و دامنه) است. معمولاً نیمه دوم طیف در نظر گرفته نمی شود و دامنه سیگنال قسمت اول طیف دو برابر می شود.

لازم به ذکر است که گسترش یک تابع پیوسته منجر به ظهور یک اثر آینه ای نمی شود، زیرا یک تابع پیوسته به طور منحصر به فرد به متغیرهای هارمونیک تجزیه می شود.

دامنه مولفه DC مقدار متوسط ​​تابع در یک دوره زمانی انتخاب شده است و به صورت زیر تعیین می شود:

دامنه و مراحل اجزای فرکانس سیگنال با روابط زیر تعیین می شود:

مقادیر دامنه و فاز حاصل را نماد قطبی می نامند. بردار سیگنال حاصل به صورت زیر تعریف می شود:

الگوریتمی را برای تبدیل یک تابع به طور گسسته در یک بازه معین (در یک دوره معین) با تعداد نقاط اولیه در نظر بگیرید.

تبدیل فوریه جرقه D

در نتیجه تبدیل، مقادیر واقعی و خیالی تابع را بدست می آوریم که در محدوده فرکانس تعریف شده است.

تبدیل فوریه گسسته معکوس یک تابع فرکانس را که توسط یک طیف K-fold در حوزه فرکانس تعریف می‌شود، با تابع دیگری که در حوزه زمان تعریف می‌شود، مرتبط می‌کند.

N ˗ تعداد مقادیر سیگنال اندازه گیری شده در هر دوره و همچنین تعدد طیف فرکانس.

k ˗ شاخص فرکانس.

همانطور که قبلا ذکر شد، تبدیل فوریه گسسته، N-نقطه یک سیگنال گسسته را به نمونه های طیفی پیچیده N سیگنال ترسیم می کند. محاسبه یک نمونه طیفی به N عملیات ضرب و جمع پیچیده نیاز دارد. بنابراین، پیچیدگی محاسباتی الگوریتم تبدیل فوریه گسسته درجه دوم است، به عبارت دیگر، عملیات ضرب و جمع پیچیده مورد نیاز است.

1. تبدیل فوریه و طیف سیگنال

برای بررسی اینکه آیا برنامه به درستی کار می کند، آرایه ای از قرائت ها را به صورت مجموع دو سینوسی sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) تشکیل می دهیم و آن را به داخل میل می کنیم. برنامه این برنامه موارد زیر را ترسیم کرد:

شکل 1 نمودار تابع زمان سیگنال

Fig.2 نمودار طیف سیگنال

در نمودار طیف دو میله (هارمونیک) 5 هرتز با دامنه 0.5 ولت و 10 هرتز - با دامنه 1 ولت، همه مانند فرمول سیگنال اصلی وجود دارد. همه چیز خوب است، آفرین برنامه نویس! برنامه به درستی کار می کند.

این بدان معنی است که اگر سیگنال واقعی از مخلوط دو سینوسی را به ورودی ADC اعمال کنیم، طیف مشابهی متشکل از دو هارمونیک به دست خواهیم آورد.

مجموع، ما واقعیسیگنال اندازه گیری شده مدت زمان 5 ثانیه، دیجیتالی شده توسط ADC، یعنی نشان داده شده است گسستهحساب می کند، دارد گسسته غیر تناوبیدامنه.

از نظر ریاضی چه تعداد اشتباه در این عبارت وجود دارد؟

Fig.4 طیف تابع

یک چیزی درست نیست! هارمونیک 10 هرتز به طور معمول رسم می شود، اما به جای یک چوب 5 هرتز، چندین هارمونیک نامفهوم ظاهر شد. ما در اینترنت نگاه می کنیم، چه چیزی و چگونه ...

در می گویند باید به انتهای نمونه صفر اضافه شود و طیف نرمال رسم شود.

fig.5 صفرهای تمام شده تا 5 ثانیه

Fig.6 ما طیف را دریافت کردیم

هنوز آن چیزی که در 5 ثانیه بود نیست. شما باید با تئوری برخورد کنید. برویم به ویکیپدیا- منبع دانش

2. تابع پیوسته و نمایش آن توسط سری فوریه

(1)، جایی که:

K - تعداد تابع مثلثاتی (تعداد جزء هارمونیک، عدد هارمونیک)
T - قسمتی که تابع در آن تعریف شده است (مدت زمان سیگنال)
Ak - دامنه مولفه هارمونیک k-امین،
?k - فاز اولیه مولفه هارمونیک k-امین

"نمایش یک تابع به عنوان مجموع یک سری" به چه معناست؟ به این معنی که با اضافه کردن مقادیر مولفه های هارمونیک سری فوریه در هر نقطه، مقدار تابع خود را در این نقطه به دست می آوریم.

(به طور دقیق تر، انحراف استاندارد سری از تابع f(x) به صفر میل خواهد کرد، اما علیرغم همگرایی استاندارد، سری فوریه تابع، به طور کلی، نیازی به همگرایی نقطه ای با آن ندارد. https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

این سریال را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

(2),
که در آن، k-امین دامنه مختلط.

رابطه بین ضرایب (1) و (3) با فرمول های زیر بیان می شود:

توجه داشته باشید که هر سه نمایش سری فوریه کاملاً معادل هستند. گاهی اوقات هنگام کار با سری فوریه، به جای استفاده از سینوس و کسینوس، استفاده از مبدل های استدلال خیالی راحت تر است، یعنی از تبدیل فوریه به شکل پیچیده استفاده می شود. اما استفاده از فرمول (1) برای ما راحت است، که در آن سری فوریه به صورت مجموع امواج کسینوس با دامنه ها و فازهای مربوطه نشان داده می شود. در هر صورت، این نادرست است که بگوییم نتیجه تبدیل فوریه سیگنال واقعی، دامنه های پیچیده هارمونیک ها خواهد بود. همانطور که ویکی به درستی می گوید، "تبدیل فوریه (؟) عملیاتی است که یک تابع از یک متغیر واقعی را به یک تابع دیگر، همچنین از یک متغیر واقعی، نگاشت می کند.

جمع:
مبنای ریاضی تحلیل طیفی سیگنال ها تبدیل فوریه است.

تبدیل فوریه به ما این امکان را می دهد که یک تابع پیوسته f(x) (سیگنال) را که بر روی قطعه (0, T) به عنوان مجموع تعداد نامتناهی (سری نامتناهی) از توابع مثلثاتی (سینوس و/یا کسینوس) با دامنه های معین تعریف شده است، نشان دهیم. و فازها، همچنین در بخش (0، T) در نظر گرفته شده است. به چنین سریالی سری فوریه می گویند.

ما به نکات دیگری اشاره می کنیم که درک آنها برای استفاده صحیح از تبدیل فوریه در تحلیل سیگنال لازم است. اگر سری فوریه (مجموع سینوسی ها) را در کل محور X در نظر بگیریم، می بینیم که در خارج از قطعه (0، T)، تابع نشان داده شده توسط سری فوریه به صورت دوره ای تابع ما را تکرار می کند.

به عنوان مثال، در نمودار در شکل 7، تابع اصلی بر روی قطعه (-T \ 2، + T \ 2) تعریف شده است، و سری فوریه یک تابع تناوبی تعریف شده در کل محور x را نشان می دهد.

زیرا خود سینوسی ها به ترتیب تابع تناوبی هستند و مجموع آنها تابع تناوبی خواهد بود.

شکل 7 نمایش یک تابع اصلی غیر تناوبی توسط یک سری فوریه

بدین ترتیب:

تابع اصلی ما پیوسته و غیر تناوبی است که در بازه ای از طول T تعریف شده است.
طیف این تابع گسسته است، یعنی به عنوان یک سری نامتناهی از اجزای هارمونیک - سری فوریه - ارائه می شود.
در واقع، یک تابع تناوبی مشخص توسط سری فوریه تعریف می شود که با تابع ما در قطعه (0, T) منطبق است، اما این تناوب برای ما ضروری نیست.

دوره های مولفه های هارمونیک مضربی از قطعه (0, T) هستند که تابع اصلی f(x) بر روی آن تعریف شده است. به عبارت دیگر، دوره های هارمونیک مضربی از مدت زمان اندازه گیری سیگنال هستند. به عنوان مثال، دوره اولین هارمونیک سری فوریه برابر با بازه T است که تابع f(x) بر روی آن تعریف شده است. پریود هارمونیک دوم سری فوریه برابر با بازه T/2 است. و به همین ترتیب (شکل 8 را ببینید).

شکل 8 دوره‌ها (فرکانس‌های) مولفه‌های هارمونیک سری فوریه (در اینجا T = 2؟)

بر این اساس، فرکانس اجزای هارمونیک مضرب 1/T است. یعنی فرکانس های مولفه های هارمونیک Fk برابر است با Fk= k\T که k از 0 تا? است، برای مثال k=0 F0=0. k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (در فرکانس صفر - جزء ثابت).

اجازه دهید تابع اصلی ما یک سیگنال ثبت شده برای T=1 ثانیه باشد. سپس دوره هارمونیک اول برابر با مدت زمان سیگنال ما T1=T=1 ثانیه خواهد بود و فرکانس هارمونیک 1 هرتز است. دوره هارمونیک دوم برابر است با مدت زمان سیگنال تقسیم بر 2 (T2=T/2=0.5 ثانیه) و فرکانس آن 2 هرتز است. برای هارمونیک سوم T3=T/3 ثانیه و فرکانس 3 هرتز است. و غیره.

گام بین هارمونیک ها در این مورد 1 هرتز است.

بنابراین، یک سیگنال با مدت زمان 1 ثانیه را می توان به اجزای هارمونیک (برای بدست آوردن یک طیف) با وضوح فرکانس 1 هرتز تجزیه کرد.
برای افزایش وضوح 2 برابر به 0.5 هرتز، لازم است مدت زمان اندازه گیری را 2 برابر - تا 2 ثانیه افزایش دهید. یک سیگنال با مدت زمان 10 ثانیه را می توان به اجزای هارمونیک (برای بدست آوردن طیف) با وضوح فرکانس 0.1 هرتز تجزیه کرد. هیچ راه دیگری برای افزایش وضوح فرکانس وجود ندارد.

راهی برای افزایش مصنوعی مدت زمان سیگنال با افزودن صفر به آرایه نمونه ها وجود دارد. اما وضوح فرکانس واقعی را افزایش نمی دهد.

3. سیگنال های گسسته و تبدیل فوریه گسسته

طرح معمول برای اندازه گیری و دیجیتالی کردن سیگنال به شرح زیر است.

شکل 9 طرح کانال اندازه گیری

سیگنال از مبدل اندازه گیری در یک دوره زمانی T به ADC می رسد. نمونه های سیگنال (نمونه) به دست آمده در طول زمان T به کامپیوتر منتقل شده و در حافظه ذخیره می شوند.

شکل 10 سیگنال دیجیتالی - N قرائت دریافت شده در زمان T

الزامات پارامترهای دیجیتالی شدن سیگنال چیست؟ دستگاهی که سیگنال آنالوگ ورودی را به یک کد مجزا (سیگنال دیجیتال) تبدیل می کند، مبدل آنالوگ به دیجیتال (ADC، مبدل انگلیسی آنالوگ به دیجیتال، ADC) (ویکی) نامیده می شود.

یکی از پارامترهای اصلی ADC حداکثر نرخ نمونه برداری (یا نرخ نمونه برداری، نرخ نمونه انگلیسی) است - فرکانس نمونه برداری از یک سیگنال پیوسته در زمان در طول نمونه برداری آن. بر حسب هرتز اندازه گیری می شود. ((ویکی))

طبق قضیه کوتلنیکوف، اگر یک سیگنال پیوسته دارای طیف محدود شده با فرکانس Fmax باشد، می توان آن را به طور کامل و منحصر به فرد از نمونه های گسسته آن که در فواصل زمانی گرفته شده است، بازیابی کرد. ، یعنی با فرکانس Fd 2*Fmax، جایی که Fd - فرکانس نمونه برداری. Fmax - حداکثر فرکانس طیف سیگنال. به عبارت دیگر، نرخ نمونه برداری سیگنال (نرخ نمونه برداری ADC) باید حداقل 2 برابر حداکثر فرکانس سیگنالی باشد که می خواهیم اندازه گیری کنیم.

و چه اتفاقی می‌افتد اگر خوانش‌هایی را با فرکانس کمتر از آنچه قضیه کوتلنیکف لازم است انجام دهیم؟

در این حالت، اثر "استرابوسکوپی" (معروف به اثر استروبوسکوپی، اثر موآره) رخ می دهد که در آن سیگنال فرکانس بالا پس از دیجیتالی شدن به سیگنال فرکانس پایین تبدیل می شود که در واقع وجود ندارد. روی انجیر 5 موج سینوسی قرمز فرکانس بالا سیگنال واقعی است. موج سینوسی آبی فرکانس پایین یک سیگنال ساختگی ناشی از این واقعیت است که بیش از نیمی از یک دوره سیگنال فرکانس بالا در طول زمان نمونه برداری زمان دارد.

برنج. 11. ظهور یک سیگنال فرکانس پایین کاذب زمانی که نرخ نمونه برداری به اندازه کافی بالا نیست

برای جلوگیری از تاثیر آلیاسینگ، یک فیلتر مخصوص ضد آلیاسینگ در جلوی ADC - LPF (فیلتر پایین گذر) قرار می گیرد که فرکانس های زیر نصف فرکانس نمونه برداری ADC را عبور داده و فرکانس های بالاتر را قطع می کند.

برای محاسبه طیف یک سیگنال از نمونه های گسسته آن، تبدیل فوریه گسسته (DFT) استفاده می شود. ما یک بار دیگر متذکر می شویم که طیف یک سیگنال گسسته "طبق تعریف" توسط فرکانس Fmax محدود می شود که کمتر از نصف فرکانس نمونه برداری Fd است. بنابراین، طیف یک سیگنال گسسته را می توان با مجموع تعداد محدودی از هارمونیک ها نشان داد، برخلاف مجموع نامتناهی سری فوریه یک سیگنال پیوسته، که طیف آن می تواند نامحدود باشد. طبق قضیه کوتلنیکف، حداکثر فرکانس هارمونیک باید به گونه ای باشد که حداقل دو نمونه را به خود اختصاص دهد، بنابراین تعداد هارمونیک ها برابر با نصف تعداد نمونه های سیگنال گسسته است. یعنی اگر N نمونه در نمونه وجود داشته باشد، تعداد هارمونیک های طیف برابر با N/2 خواهد بود.

اکنون تبدیل فوریه گسسته (DFT) را در نظر بگیرید.

مقایسه با سری فوریه

می بینیم که آنها بر هم منطبق هستند، با این تفاوت که زمان در DFT گسسته است و تعداد هارمونیک ها به N/2 محدود می شود - نصف تعداد نمونه ها.

فرمول‌های DFT در متغیرهای عدد صحیح بدون بعد k, s نوشته می‌شوند که k تعداد نمونه‌های سیگنال و s تعداد اجزای طیفی است.
مقدار s تعداد نوسانات کامل هارمونیک را در دوره T (مدت اندازه گیری سیگنال) نشان می دهد. تبدیل فوریه گسسته برای یافتن دامنه ها و فازهای هارمونیک ها به صورت عددی استفاده می شود. "روی کامپیوتر"

بازگشت به نتایج به دست آمده در ابتدا. همانطور که در بالا ذکر شد، هنگام گسترش یک تابع غیر تناوبی (سیگنال ما) به یک سری فوریه، سری فوریه حاصل در واقع با یک تابع تناوبی با دوره T مطابقت دارد (شکل 12).

شکل 12 تابع تناوبی f(x) با دوره Т0، با دوره اندازه گیری Т>T0

همانطور که در شکل 12 مشاهده می شود، تابع f(x) تناوبی با دوره Т0 است. اما با توجه به اینکه مدت زمان نمونه اندازه گیری T با دوره تابع T0 منطبق نیست، تابع به دست آمده به عنوان سری فوریه در نقطه T دارای ناپیوستگی است. در نتیجه طیف این تابع خواهد بود. حاوی تعداد زیادی هارمونیک با فرکانس بالا اگر مدت زمان نمونه اندازه گیری T با دوره تابع T0 منطبق باشد، آنگاه تنها هارمونیک اول (یک سینوسی با دوره ای برابر با مدت زمان نمونه) در طیف به دست آمده پس از تبدیل فوریه وجود خواهد داشت، زیرا تابع f (x) یک سینوسی است.

به عبارت دیگر، برنامه DFT "نمی داند" که سیگنال ما "قطعه ای از یک موج سینوسی" است، اما سعی می کند یک تابع تناوبی را به صورت یک سری نشان دهد که به دلیل ناهماهنگی تک تک قطعات دارای شکاف است. موج سینوسی

در نتیجه، هارمونیک هایی در طیف ظاهر می شوند که در مجموع باید شکل تابع، از جمله این ناپیوستگی را نشان دهند.

بنابراین، برای به دست آوردن طیف "صحیح" سیگنال، که مجموع چندین سینوسی با دوره های مختلف است، لازم است که تعداد صحیحی از دوره های هر سینوسی بر روی دوره اندازه گیری سیگنال قرار گیرد. در عمل، این شرط را می توان برای مدت زمان کافی طولانی اندازه گیری سیگنال برآورده کرد.

شکل 13 نمونه ای از عملکرد و طیف سیگنال خطای سینماتیکی گیربکس

با مدت زمان کوتاه تر، تصویر "بدتر" به نظر می رسد:

شکل 14 نمونه ای از عملکرد و طیف سیگنال ارتعاش روتور

در عمل، درک این که «مولفه‌های واقعی» کجا هستند و «مصنوعات» کجا هستند ناشی از عدم تعدد دوره‌های اجزا و مدت زمان نمونه سیگنال یا «پرش‌ها و شکستن‌ها» در کجا هستند. شکل موج البته نقل واژه های «مؤلفه های واقعی» و «مصنوعات» بیهوده نیست. وجود هارمونیک های زیاد در نمودار طیف به این معنی نیست که سیگنال ما واقعاً از آنها تشکیل شده است. مثل این است که فکر کنید عدد 7 از اعداد 3 و 4 تشکیل شده است. عدد 7 را می توان به عنوان مجموع اعداد 3 و 4 نشان داد - این درست است.

سیگنال ما هم همینطور است... یا بهتر است بگوییم، نه حتی "سیگنال ما"، بلکه یک تابع تناوبی که با تکرار سیگنال ما (نمونه برداری) کامپایل شده است را می توان به صورت مجموع هارمونیک ها (سینوسوئیدها) با دامنه ها و فازهای معین نشان داد. اما در بسیاری از موارد برای تمرین مهم است (شکل های بالا را ببینید)، در واقع می توان هارمونیک های به دست آمده در طیف را با فرآیندهای واقعی که ماهیت چرخه ای دارند و سهم قابل توجهی در شکل سیگنال دارند، مرتبط کرد.

برخی از نتایج

2. سیگنال با مجموعه ای از مقادیر واقعی و طیف آن با مجموعه ای از مقادیر واقعی نمایش داده می شود. فرکانس های هارمونیک مثبت هستند. این واقعیت که برای ریاضیدانان راحت‌تر است که طیف را به شکل پیچیده با استفاده از فرکانس‌های منفی نشان دهند، به این معنی نیست که «درست است» و «همیشه باید اینطور انجام شود».

3. سیگنال اندازه گیری شده در بازه زمانی T فقط در بازه زمانی T تعیین می شود. آنچه قبل از شروع اندازه گیری سیگنال اتفاق افتاده است و بعد از آن چه اتفاقی خواهد افتاد - این برای علم ناشناخته است. و در مورد ما - جالب نیست. DFT یک سیگنال با زمان محدود، طیف "واقعی" خود را می دهد، به این معنا که، تحت شرایط خاص، به شما امکان می دهد دامنه و فرکانس اجزای آن را محاسبه کنید.

مواد استفاده شده و سایر مواد مفید.

هر موجی با شکل پیچیده را می توان به عنوان مجموع امواج ساده نشان داد.

جوزف فوریه مشتاق بود که به روش ریاضی چگونگی عبور گرما از اجسام جامد را توصیف کند. سانتی متر.تبادل حرارتی). شاید علاقه او به گرما زمانی که در شمال آفریقا بود شعله ور شد: فوریه ناپلئون را در سفری فرانسوی به مصر همراهی کرد و مدتی در آنجا زندگی کرد. فوریه برای رسیدن به هدف خود مجبور شد روش های ریاضی جدیدی را توسعه دهد. نتایج تحقیقات او در سال 1822 در کار "تئوری تحلیلی گرما" منتشر شد. تئوری تحلیلی د لا چلور، جایی که او نحوه تجزیه و تحلیل مسائل پیچیده فیزیکی را با تجزیه آنها به تعدادی ساده تر توضیح داد.

روش تجزیه و تحلیل بر اساس به اصطلاح بود سری فوریه. مطابق با اصل تداخل، مجموعه با تجزیه یک شکل پیچیده به شکل های ساده شروع می شود - به عنوان مثال، تغییر سطح زمین به دلیل زلزله است، تغییر در مدار یک دنباله دار به دلیل تأثیر جذب چندین سیاره، تغییر در جریان گرما به دلیل عبور آن از یک مانع نامنظم ساخته شده از مواد عایق حرارت. فوریه نشان داد که یک شکل موج پیچیده را می توان به صورت مجموع امواج ساده نشان داد. به عنوان یک قاعده، معادلات توصیف کننده سیستم های کلاسیک به راحتی برای هر یک از این امواج ساده حل می شوند. فوریه در ادامه نشان داد که چگونه می‌توان این راه‌حل‌های ساده را برای ارائه راه‌حلی برای کل مسئله پیچیده خلاصه کرد. (از نظر ریاضی، سری فوریه روشی برای نمایش یک تابع به عنوان مجموع هارمونیک ها-سینوس و کسینوس است، بنابراین تحلیل فوریه به عنوان آنالیز هارمونیک نیز شناخته می شد.)

تا قبل از ظهور رایانه ها در اواسط قرن بیستم، روش های فوریه و مانند آن بهترین سلاح در زرادخانه علمی هنگام حمله به پیچیدگی های طبیعت بودند. از زمان پیدایش روش‌های پیچیده فوریه، دانشمندان توانسته‌اند از آن‌ها برای حل نه تنها مسائل ساده‌ای استفاده کنند که با استفاده مستقیم از قوانین مکانیک نیوتن و دیگر معادلات اساسی قابل حل هستند. بسیاری از دستاوردهای بزرگ علم نیوتنی در قرن 19 در واقع بدون استفاده از روش هایی که برای اولین بار توسط فوریه ارائه شد غیرممکن می شد. در آینده، از این روش ها در حل مسائل در زمینه های مختلف - از نجوم گرفته تا مهندسی مکانیک استفاده شد.

ژان باپتیست ژوزف فوریه
ژان باپتیست ژوزف فوریه، 1768-1830

ریاضیدان فرانسوی. متولد اکسر؛ در سن نه سالگی یتیم ماند. او قبلاً در سنین جوانی برای ریاضیات استعداد نشان داد. فوریه در یک مدرسه کلیسا و یک مدرسه نظامی تحصیل کرد، سپس به عنوان معلم ریاضیات کار کرد. او در طول زندگی خود فعالانه درگیر سیاست بود. در سال 1794 به دلیل دفاع از قربانیان ترور دستگیر شد. پس از مرگ روبسپیر، او از زندان آزاد شد. در ایجاد مدرسه معروف پلی تکنیک (Ecole Polytechnique) در پاریس شرکت کرد. موقعیت او برای او سکوی پرشی برای پیشروی در رژیم ناپلئون فراهم کرد. همراه ناپلئون به مصر، فرماندار مصر سفلی منصوب شد. پس از بازگشت به فرانسه در سال 1801 به فرمانداری یکی از استان ها منصوب شد. او در سال 1822 دبیر دائمی آکادمی علوم فرانسه شد که جایگاهی تأثیرگذار در دنیای علمی فرانسه بود.

دوربین های نظارت تصویری به طور گسترده ای برای کنترل وضعیت ترافیک در بزرگراه های با شدت ترافیک بالا استفاده می شوند. اطلاعات بدست آمده از دوربین های فیلمبرداری حاوی داده هایی در مورد تغییر موقت موقعیت مکانی وسایل نقلیه در میدان دید سیستم است. پردازش این اطلاعات بر اساس الگوریتم های مورد استفاده در سیستم های اندازه گیری تلویزیونی (TIS) امکان تعیین سرعت وسایل نقلیه و اطمینان از کنترل جریان ترافیک را فراهم می کند. این عوامل هستند که علاقه فزاینده به نظارت تلویزیونی بر مسیرهای حمل و نقل را توضیح می دهند.

برای توسعه روش‌هایی برای فیلتر کردن تصاویر خودروها در پس زمینه نویز، لازم است پارامترها و ویژگی‌های اصلی آنها را بشناسیم. پیش از این، نویسندگان مطالعه ای بر روی طیف فوریه و موجک پس زمینه های طبیعی و شهری انجام دادند. این کار به مطالعه طیف های مشابه وسایل نقلیه اختصاص یافته است.

• با استفاده از یک دوربین دیجیتال، بانکی از فایل های اصلی .bmp از تصاویر تک رنگ وسایل نقلیه در انواع مختلف ایجاد شد (ماشین ها و کامیون ها، اتوبوس ها، برای هر گروه تعداد تصاویر 20-40 در زوایای مختلف و شرایط نوری) بود. تصاویر 400 پیکسل افقی و 300 پیکسل عمودی بودند. محدوده روشنایی از 0 تا 255 واحد؛
• از آنجایی که تصاویر علاوه بر وسیله نقلیه، یک جزء پس‌زمینه نیز داشتند، به منظور جلوگیری از تأثیر آن بر نتیجه، به طور مصنوعی تا سطح صفر سرکوب شد.
• ویژگی های تصاویر خودرو با روش های فوریه و آنالیز موجک مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت.

برنامه توسعه یافته در محیط متلب به شما این امکان را می دهد که میانگین روشنایی (یعنی انتظار ریاضی روشنایی تصویر)، پراکندگی روشنایی، طیف فوریه خطوط تصویر منفرد و کل، طیف گرام ها و طیف موجک ها را با استفاده از موجک های معروف مختلف (Haar) محاسبه کنید. ، Daubechies، Simlet و غیره). نتایج تجزیه و تحلیل در قالب طیف های تصویر دو بعدی و سه بعدی منعکس شده است.

بر اساس نتایج تحقیق می توان به نتایج زیر دست یافت:

• مشخصات روشنایی متوسط ​​(متوسط ​​روشنایی، پراکندگی) تصاویر وسایل نقلیه مختلف برای همه انواع مقادیر مشابهی دارند. تأثیر قابل توجهی بر ویژگی های روشنایی تابش نور خورشید از پنجره ها و سطوح خودرو دارد. بسته به شدت و جهت نور، اتومبیل های سیاه ممکن است ویژگی های روشنایی مشابه اتومبیل های سبک داشته باشند.
• صرف نظر از نوع وسیله نقلیه، طیف فوریه و موجک ساختار مشابهی دارند.
• عرض فوریه طیف وسیله نقلیه ضعیف به نوع وسیله نقلیه بستگی دارد. این طیف دارای ساختار قابل توجهی غیر یکنواخت است که با تغییر در روشنایی و جهت گیری خودرو تغییر می کند. طیف در صفحه افقی ساختار ناهموارتری نسبت به صفحه عمودی دارد. ویژگی های طیفی نیمه کامیون ها و اتوبوس ها به شدت تحت تأثیر نقشه ها و کتیبه ها (تبلیغات) روی سطوح آن است.
• هنگام چرخاندن اتومبیل ها، تغییر در طیف تصاویر در صفحه افقی قابل توجه است، طیف در صفحه عمودی کاملاً ثابت می ماند. این به ویژه در طیف موجک به خوبی دیده می شود.
• تجزیه و تحلیل طیف های یک وسیله نقلیه فردی و یک وسیله نقلیه در برابر پس زمینه تداخل نشان می دهد که آنها در سطوح دامنه اجزای طیفی متفاوت هستند. در غیاب پس زمینه، طیف عمودی بسیار یکنواخت تر است. برای تصاویر خودروهای بدون پس‌زمینه، احتمال شیب عمیق در طیف بیشتر است (ناهمواری بیشتر)، پوشش طیف تصاویر با پس‌زمینه یکنواخت‌تر از بدون پس‌زمینه است.
• مطالعات انجام شده نشان داده است که به دلیل تأثیر شدید تعداد زیادی از عوامل، ویژگی های طیفی وسایل نقلیه (هر دو با استفاده از تحلیل فوریه و تحلیل موجک به دست آمده) به ما اجازه نمی دهد ویژگی های طیفی پایدار تصاویر خودرو را شناسایی کنیم. این کارایی فیلتر کردن تصویر طیفی را برای سرکوب پس‌زمینه کاهش می‌دهد.
• در سیستم های کنترل تردد خودکار، برای تشخیص وسایل نقلیه در پس زمینه تداخل، لازم است از مجموعه ای از ویژگی ها مانند رنگ، طیف، پارامترهای هندسی اجسام (اندازه ها و نسبت اندازه) و ویژگی های دینامیکی استفاده شود.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Makaretsky E.A.، Nguyen L.Kh. بررسی ویژگی های تصاویر پس زمینه های طبیعی و شهری // ایزو. تولسک. حالت. دانشگاه. مهندسی رادیو و اپتیک رادیویی. - تولا، 2005. - T. 7.- P. 97-104.

پیوند کتابشناختی

بخش بررسی اجمالی مقدماتی دو مثال بسیار ساده (برگرفته از شوموی، 1988) را مورد بحث قرار می دهد تا ماهیت تحلیل طیفی و تفسیر نتایج را نشان دهد. اگر با این روش آشنایی ندارید، توصیه می شود ابتدا این بخش از این فصل را مرور کنید.

بررسی و فایل داده. فایل Sunspot.sta شامل کسری از اعداد لکه های خورشیدی شناخته شده (Wolfer) از 1749 تا 1924 است (Anderson، 1971). در زیر لیستی از چند داده اول از فایل مثال آمده است.

فرض بر این است که تعداد لکه های خورشیدی بر آب و هوای زمین و همچنین کشاورزی، مخابرات و غیره تأثیر می گذارد. با استفاده از این تجزیه و تحلیل، می توان تلاش کرد تا دریابد که آیا فعالیت لکه های خورشیدی واقعاً ماهیت چرخه ای دارد یا خیر (در واقع این گونه است، این داده ها به طور گسترده در ادبیات مورد بحث قرار گرفته اند؛ برای مثال، به بلومفیلد، 1976، یا شوموی، 1988 مراجعه کنید).

تعریف تحلیل پس از اجرای تجزیه و تحلیل، فایل داده Sunspot.sta را باز کنید. روی دکمه Variables کلیک کنید و متغیر Spots را انتخاب کنید (توجه داشته باشید که اگر فایل داده Sunspot.sta فایل داده باز فعلی باشد، و متغیر Spots تنها متغیر در این فایل باشد، زمانی که کادر محاوره ای تجزیه و تحلیل سری های زمانی، Spots به طور خودکار انتخاب می شود. باز می شود). اکنون روی دکمه تحلیل فوریه (طیفی) کلیک کنید تا کادر محاوره ای تحلیل فوریه (طیفی) باز شود.

قبل از اعمال تحلیل طیفی، ابتدا تعداد لکه های خورشیدی را رسم کنید. توجه داشته باشید که فایل Sunspot.sta شامل سالهای مربوطه به عنوان نام مشاهده است. برای استفاده از این نام ها در نمودارهای خطی، روی تب View Series کلیک کنید و Case Names را در قسمت Label Points انتخاب کنید. همچنین گزینه Set x-axis scale به صورت دستی و Min را انتخاب کنید. = 1 و Step = 10. سپس روی دکمه Graph در کنار دکمه برجسته Preview کلیک کنید. متغیر.

به نظر می رسد تعداد لکه های خورشیدی از یک الگوی چرخه ای پیروی می کند. هیچ روندی وجود ندارد، بنابراین به پنجره Spectrum Analysis برگردید و گزینه Remove Linear Trend را در گروه Transform Original Series از حالت انتخاب خارج کنید.

بدیهی است که میانگین سری بزرگتر از 0 (صفر) است. بنابراین، گزینه Subtract mean را انتخاب کنید [در غیر این صورت پریودوگرام با یک پیک بسیار بزرگ در فرکانس 0 (صفر) مسدود می شود].

اکنون آماده شروع تجزیه و تحلیل هستید. اکنون روی OK (تحلیل فوریه تک بعدی) کلیک کنید تا کادر محاوره ای نتایج تحلیل طیفی فوریه ظاهر شود.

مشاهده نتایج بخش اطلاعات در بالای کادر محاوره ای برخی از آمارهای خلاصه این سری را نشان می دهد. همچنین پنج پیک بزرگ پریودوگرام (بر اساس فرکانس) را نشان می دهد. بزرگترین سه پیک در فرکانس های 0.0852، 0.0909 و 0.0114 هستند. این اطلاعات اغلب هنگام تجزیه و تحلیل سری های بسیار بزرگ (مثلاً آنهایی که بیش از 100000 مشاهده دارند) که به راحتی در یک طرح ترسیم نمی شوند مفید است. با این حال، در این مورد، دیدن مقادیر پریودوگرام آسان است. با کلیک بر روی دکمه پریودوگرام زیر پریودوگرام و نمودار چگالی طیفی.

نمودار پریودوگرام دو قله متمایز را نشان می دهد. حداکثر در فرکانس تقریباً 0.9 است. به پنجره Spectral Analysis Results برگردید و روی دکمه Summary کلیک کنید تا تمام مقادیر پریودوگرام (و سایر نتایج) را در جدول نتایج مشاهده کنید. در زیر بخشی از جدول نتایج با بزرگترین مجموعه پیک از پریودوگرام نشان داده شده است.

همانطور که در بخش مقدماتی بررسی شد، فرکانس تعداد چرخه ها در واحد زمان است (که در آن هر مشاهده یک واحد زمان است). بنابراین، فرکانس 0.0909 با مقدار 11 Period (تعداد واحدهای زمان مورد نیاز برای یک چرخه کامل) مطابقت دارد. از آنجایی که داده‌های لکه‌های خورشیدی در Sunspot.sta مشاهدات سالانه هستند، می‌توان نتیجه گرفت که یک چرخه 11 ساله (شاید کمی بیشتر از 11 سال) در فعالیت لکه‌های خورشیدی وجود دارد.

چگالی طیفی معمولاً برای محاسبه تخمین چگالی طیفی، پریودوگرام برای حذف نوسانات تصادفی صاف می شود. نوع میانگین متحرک وزنی و عرض پنجره را می توان در قسمت Spectral Windows انتخاب کرد. بخش مروری مقدماتی این گزینه ها را به تفصیل مورد بحث قرار می دهد. برای مثال، اجازه دهید پنجره پیش فرض را انتخاب شده رها کنیم (عرض Hamming 5) و نمودار چگالی طیفی را انتخاب کنیم.

این دو قله اکنون حتی واضح تر هستند. بیایید به مقادیر پریودوگرام در طول دوره نگاه کنیم. قسمت Period را در بخش Graph برجسته کنید. حالا نمودار Spectral Density را انتخاب کنید.

دوباره، یک چرخه 11 ساله مشخص در فعالیت لکه های خورشیدی وجود دارد. علاوه بر این، نشانه هایی از یک چرخه طولانی تر در حدود 80-90 سال وجود دارد.