پاسخ ضربه ای و گذرا مدارهای rc تابع انتقال و پاسخ ضربه ای مدار. پاسخ گذرا و تکانه

آکادمی روسیه

گروه فیزیک

سخنرانی

ویژگی های گذرا و ضربه ای مدارهای الکتریکی

عقاب 2009

اهداف آموزشی و تربیتی:

ماهیت ویژگی های گذرا و ضربه ای مدارهای الکتریکی را برای مخاطبان توضیح دهید، ارتباط بین ویژگی ها را نشان دهید، به استفاده از ویژگی های در نظر گرفته شده برای تجزیه و تحلیل و سنتز EC توجه کنید، با هدف آماده سازی با کیفیت بالا برای یک درس عملی. .

تخصیص زمان سخنرانی

بخش مقدماتی…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

سوالات مطالعه:

1. خصوصیات گذرا مدارهای الکتریکی……………………………………………………………………………………………

2. انتگرال دوهامل…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. مشخصات ضربه ای مدارهای الکتریکی. رابطه بین ویژگی ها……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. انتگرالهای کانولوشن………………………………………………………………………………………………………………….

نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. مشخصات گذرا مدارهای الکتریکی

پاسخ گذرا مدار (و همچنین پاسخ ضربه ای) به ویژگی های زمانی مدار اشاره دارد، یعنی یک فرآیند گذرا خاص را تحت تأثیرات از پیش تعیین شده و شرایط اولیه بیان می کند.

برای مقایسه مدارهای الکتریکی از نظر پاسخ آنها به این تأثیرات، لازم است مدارها را در شرایط یکسان قرار دهیم. ساده ترین و راحت ترین شرایط اولیه صفر است.

پاسخ گذرا مدار نسبت پاسخ زنجیره ای به یک اقدام مرحله ای به مقدار این عمل در شرایط اولیه صفر است.

پیشینی،

اگر پاسخ گذرا مدار شناخته شده باشد (یا بتوان آن را محاسبه کرد)، از فرمول می توان پاسخ این مدار را به یک عمل پله ای در صفر NL پیدا کرد.

اجازه دهید بین تابع انتقال اپراتور یک مدار که اغلب شناخته شده است (یا می توان آن را پیدا کرد) و پاسخ گذرا این مدار ارتباط برقرار کنیم. برای انجام این کار، از مفهوم معرفی شده یک تابع انتقال اپراتور استفاده می کنیم:

نسبت واکنش زنجیره ای تغییر شکل لاپلاس به بزرگی ضربه

از این رو .

از اینجا، پاسخ گذرا اپراتور مدار از تابع انتقال اپراتور پیدا می شود.

برای تعیین پاسخ گذرا مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

با استفاده از جدول مطابقت یا (در ابتدا) قضیه بسط.

مثال: پاسخ پله ای را برای پاسخ ولتاژ در خازن ها به صورت سری تعیین کنید

در اینجا، پاسخ به عمل گام است

از آنجا پاسخ گذرا:

ویژگی های گذرا رایج ترین مدارها در ادبیات مرجع یافت شده و آورده شده است.

2. انتگرال دوهامل

پاسخ گذرا اغلب برای یافتن پاسخ مدار به یک عمل پیچیده استفاده می شود. بیایید این نسبت ها را تعیین کنیم.

ما موافقیم که تاثیر

قرار گرفتن در معرض هدف

مقدار واکنش زنجیره ای را در یک نقطه از زمان بیابید

گام عمل با تفاوت

یک اقدام بی نهایت کوچک با یک تفاوت

مطابق با اصل برهم نهی واکنش

معمولا در آخرین فرمول

3. مشخصات ضربه ای مدارهای الکتریکی

مدار پاسخ ضربه ای نسبت پاسخ مدار به یک عمل ضربه ای به ناحیه این عمل در شرایط اولیه صفر است.

پیشینی،

پاسخ مدار به یک عمل ضربه ای کجاست.

ناحیه ضربه ضربه است.

با توجه به پاسخ ضربه ای شناخته شده مدار، می توان واکنش مدار به یک عمل معین را پیدا کرد: .

به عنوان تابع عمل، اغلب از یک عمل تکانه استفاده می شود که تابع دلتا یا تابع دیراک نیز نامیده می شود.

تابع دلتا یک تابع برابر با صفر در همه جا است، به جز، و مساحت آن برابر با یک ():

.

مفهوم تابع دلتا را می توان با در نظر گرفتن حد یک پالس مستطیلی با ارتفاع و مدت زمانی که (شکل 3):

بیایید بین تابع انتقال مدار و پاسخ ضربه ای آن ارتباط برقرار کنیم که برای آن از روش اپراتور استفاده می کنیم.

الف مقدماتی:

اگر ضربه (اصلی) برای کلی ترین حالت به صورت حاصل ضرب ناحیه پالس و تابع دلتا، یعنی به شکل در نظر گرفته شود، در این صورت تصویر این ضربه مطابق جدول مطابقت به شکل زیر است:

.

سپس، از طرف دیگر، نسبت واکنش لاپلاس تبدیل شده مدار به مقدار مساحت ضربه عمل، پاسخ ضربه اپراتور مدار است:

.

از این رو، .

برای یافتن پاسخ ضربه ای مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

، یعنی در واقع .

با تعمیم فرمول ها، رابطه ای بین تابع انتقال اپراتور مدار و پاسخ های گذرا و ضربه ای اپراتور مدار بدست می آوریم:

بنابراین، با دانستن یکی از ویژگی های مدار، می توانید سایر مشخصات را تعیین کنید.

بیایید با اضافه کردن به قسمت میانی، یک تبدیل برابری یکسان ایجاد کنیم.

سپس خواهیم داشت.

از آنجا که تصویری از مشتق پاسخ گذرا است، سپس برابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با حرکت به قلمرو نسخه های اصلی، فرمولی به دست می آوریم که به ما امکان می دهد پاسخ ضربه ای مدار را از پاسخ گذرای شناخته شده آن تعیین کنیم:

اگر پس از آن .

رابطه معکوس بین ویژگی های نشان داده شده به شکل زیر است:

.

با توجه به تابع انتقال، به راحتی می توان وجود یک اصطلاح را در ترکیب تابع ایجاد کرد.

اگر درجات صورت و مخرج یکسان باشد، اصطلاح مورد نظر وجود خواهد داشت. اگر تابع یک کسر مناسب باشد، این عبارت وجود نخواهد داشت.

مثال: پاسخ های ضربه ای را برای ولتاژها و در مدار سری نشان داده شده در شکل 4 تعیین کنید.

بیایید تعریف کنیم:

با توجه به جدول مکاتبات، اجازه دهید به نسخه اصلی برویم:

.

نمودار این تابع در شکل 5 نشان داده شده است.

برنج. 5

عملکرد انتقال:

با توجه به جدول مکاتبات داریم:

.

نمودار تابع حاصل در شکل 6 نشان داده شده است.

اجازه دهید اشاره کنیم که همین عبارات را می توان با کمک روابطی که ارتباطی بین و برقرار می کند به دست آورد.

پاسخ ضربه در مفهوم فیزیکی منعکس کننده فرآیند نوسانات آزاد است و به همین دلیل می توان استدلال کرد که در مدارهای واقعی همیشه باید شرط زیر برقرار باشد:

4. انتگرال های پیچشی (همپوشانی)

اگر پاسخ ضربه ای این مدار مشخص باشد، روش تعیین پاسخ مدار الکتریکی خطی به یک اثر پیچیده را در نظر بگیرید. فرض می کنیم که ضربه یک تابع پیوسته تکه ای است که در شکل 7 نشان داده شده است.

بگذارید لازم باشد مقدار واکنش را در یک نقطه از زمان پیدا کنید. برای حل این مشکل، ضربه را به عنوان مجموع پالس های مستطیلی با مدت بی نهایت کوچک نشان می دهیم، که یکی از آنها، مربوط به لحظه زمانی، در شکل 7 نشان داده شده است. این پالس با طول مدت و ارتفاع مشخص می شود.

از موادی که قبلا در نظر گرفته شد، مشخص شد که پاسخ مدار به یک ضربه کوتاه را می توان برابر با حاصلضرب پاسخ ضربه مدار و مساحت عمل ضربه در نظر گرفت. در نتیجه، جزء بی نهایت کوچک واکنش، به دلیل این عمل تکانشی، در لحظه زمان برابر با:

زیرا مساحت پالس است و زمان از لحظه اعمال آن تا لحظه مشاهده می گذرد.

با استفاده از اصل برهم نهی، پاسخ کل مدار را می توان به عنوان مجموع تعداد بی نهایت زیادی از مولفه های بی نهایت کوچک که توسط دنباله ای از اقدامات ضربه ای بی نهایت کوچک در ناحیه قبل از لحظه زمان ایجاد می شود، تعریف کرد.

بدین ترتیب:

.

این فرمول برای هر مقداری صادق است، بنابراین متغیر معمولاً به سادگی نشان داده می شود. سپس:

.

رابطه حاصل را انتگرال کانولوشن یا انتگرال همپوشانی می نامند. تابعی که در نتیجه محاسبه انتگرال کانولوشن پیدا می شود، کانولوشن و .

اگر متغیرهای عبارت حاصل را تغییر دهید، می توانید شکل دیگری از انتگرال کانولوشن را پیدا کنید:

.

مثال: اگر یک تکانه نمایی از شکل در ورودی عمل کند، ولتاژ دو طرف ظرفیت یک مدار سریال را بیابید (شکل 8):

زنجیره متصل است: با تغییر در حالت انرژی ... (+0)،. Uc(-0) = Uc(+0). 3. انتقالی مشخصه برقی زنجیرعبارت است از: پاسخ به یک مرحله واحد...

پاسخ ضربه (وزن) یا تابع ضربه زنجیر - این مشخصه تعمیم یافته آن است که تابع زمان است و از نظر عددی برابر با پاسخ مدار به یک تکانه تکانه در ورودی آن تحت شرایط اولیه صفر است (شکل 13.14). به عبارت دیگر، این پاسخ یک مدار بدون ذخیره اولیه انرژی به تابع دلتای دیران است
در ورودی او

تابع
را می توان با محاسبه انتقال تعیین کرد
یا انتقال
تابع مدار

محاسبه تابع
با استفاده از تابع انتقال مدار اجازه دهید زیر عمل ورودی
واکنش یک مدار الکتریکی خطی است
. سپس به دلیل خطی بودن مدار، با عمل ورودی برابر با مشتق
، واکنش زنجیره برابر با مشتق خواهد بود
.

همانطور که اشاره شد، چه زمانی
، واکنش زنجیره ای
، و اگر
، سپس واکنش زنجیره ای خواهد بود
، یعنی عملکرد ضربه ای

با توجه به ویژگی نمونه گیری
کار کردن
. بنابراین، تابع ضربه مدار

. (13.8)

اگر
، سپس تابع ضربه شکل می گیرد

. (13.9)

بنابراین، بعد پاسخ ضربه برابر است با بعد پاسخ گذرا تقسیم بر زمان.

محاسبه تابع
با استفاده از تابع انتقال مدار مطابق عبارت (13.6)، هنگام عمل بر روی ورودی تابع
، پاسخ تابع تابع انتقال خواهد بود
نوع:

.

از سوی دیگر، مشخص است که تصویر مشتق یک تابع با توجه به زمان
، در
، برابر با محصول است
.

جایی که
,

یا
, (13.10)

آن ها پاسخ ضربه
مدار برابر با تبدیل لاپلاس معکوس انتقال آن است
کارکرد.

مثال. اجازه دهید تابع ضربه مدار را پیدا کنیم که مدارهای معادل آن در شکل نشان داده شده است. 13.12، آ; 13.13.

راه حل

توابع انتقال و انتقال این مدار قبلاً بدست آمد:

سپس با توجه به عبارت (13.8)

جایی که
.

طرح پاسخ ضربه ای
مدار در شکل نشان داده شده است. 13.15.

نتیجه گیری

پاسخ ضربه
به همان دو دلیل به عنوان پاسخ گذرا معرفی شد
.

1. عمل تکانه
- تأثیر خارجی متناوب و در نتیجه نسبتاً سنگین برای هر سیستم یا مدار. بنابراین، دانستن واکنش سیستم یا زنجیره تحت چنین ضربه ای مهم است. پاسخ ضربه
.

2. با کمک برخی اصلاحات انتگرال دوهامل، دانستن
پاسخ سیستم یا مدار به هر گونه اغتشاش خارجی را محاسبه کنید (به بخش های فرعی بعدی 13.4، 13.5 مراجعه کنید).

4. انتگرال روکش (duhamel).

اجازه دهید یک شبکه دو ترمینالی غیرفعال دلخواه (شکل 13.16، آ) به منبعی متصل است که از لحظه به لحظه تغییر می کند
ولتاژ (شکل 13.16، ب).

باید جریان را پیدا کرد (یا ولتاژ) در هر شاخه از شبکه دو ترمینال پس از بسته شدن کلید.

در دو مرحله مشکل را حل خواهیم کرد. ابتدا مقدار مورد نظر را با روشن کردن شبکه دو ترمینال برای یک پرش ولتاژ تک ولتاژ که توسط تابع تک پله ای به دست می آید، پیدا می کنیم.
.

مشخص است که واکنش زنجیره به یک پرش منفرد است پاسخ مرحله ای (عملکرد)
.

به عنوان مثال، برای
- مدارهای تابع گذرا برای جریان
(به بند 2.1 مراجعه کنید)، برای
- تابع گذرا ولتاژ مدار
.

در مرحله دوم، تغییر مداوم ولتاژ
با یک تابع گام با پرش های مستطیلی ابتدایی جایگزین کنید
(شکل 13.16 را ببینید ب). سپس فرآیند تغییر ولتاژ را می توان به صورت روشن شدن در نشان داد
ولتاژ ثابت
، و سپس به عنوان شامل تنش های ثابت اولیه
، با فواصل زمانی نسبت به یکدیگر جابجا می شوند
و داشتن علامت مثبت برای افزایش و علامت منفی برای شاخه در حال سقوط منحنی ولتاژ داده شده.

جزء جریان مورد نظر در لحظه از ولتاژ مستقیم
برابر است با:

.

جزء جریان مورد نظر از یک پرش ولتاژ اولیه
در لحظه گنجانده شده است برابر است با:

.

در اینجا آرگومان تابع انتقال زمان است
، از جهش ولتاژ ابتدایی
برای مدتی شروع به کار می کند دیرتر از بسته شدن کلید، یا به عبارت دیگر، از فاصله زمانی بین لحظه آغاز عمل این پرش و زمان برابر است
.

افزایش برق اولیه

,

جایی که
عامل مقیاس است.

بنابراین، جزء مورد نظر جریان

نوسانات برق اولیه در بازه زمانی از روشن می شوند
تا لحظه ، که جریان مورد نظر برای آن تعیین می شود. بنابراین، جمع مولفه های جاری از تمام پرش ها، عبور از حد در
، و با در نظر گرفتن مولفه جریان از پرش ولتاژ اولیه
، ما گرفتیم:

آخرین فرمول برای تعیین جریان با تغییر مداوم در ولتاژ اعمال شده

(13.11)

تماس گرفت انتگرال همپوشانی (ابرجا) یا انتگرال دوهامل (نخستین شکل نوشتن این انتگرال).

به طور مشابه، هنگام اتصال مدار و منبع جریان، مشکل حل می شود. با توجه به این انتگرال، واکنش زنجیره، به طور کلی،
از برخی نقطه نظرات پس از شروع قرار گرفتن در معرض
با تمام آن قسمت از تأثیری که قبل از نقطه زمانی رخ داده است تعیین می شود .

با تغییر متغیرها و ادغام بر اساس قطعات، می توان اشکال دیگری از نوشتن انتگرال دوهامل، معادل عبارت (13.11) را به دست آورد:

انتخاب فرم برای نوشتن انتگرال Duhamel با راحتی محاسبه تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر
با یک تابع نمایی بیان می شود، فرمول (13.13) یا (13.14) راحت است، که به دلیل سادگی تمایز تابع نمایی است.

در
یا
استفاده از نمادی که در آن عبارت جلوی انتگرال ناپدید می شود، راحت است.

تاثیر خودسرانه
همانطور که در شکل نشان داده شده است، همچنین می تواند به عنوان مجموع پالس های متصل به ترتیب نشان داده شود. 13.17.

برای مدت زمان پالس بی نهایت کوچک
ما فرمول هایی را برای انتگرال دوهامل مشابه (13.13) و (13.14) بدست می آوریم.

همین فرمول ها را می توان از روابط (13.13) و (13.14) با جایگزینی a با تابع مشتق به دست آورد.
عملکرد ضربه ای
.

نتیجه.

بنابراین، بر اساس فرمول های انتگرال دوهامل (13.11) - (13.16) و ویژگی های زمانی مدار
و
توابع زمانی پاسخ های مدار را می توان تعیین کرد
در مورد تأثیرات خودسرانه
.

ویژگی قابل توجه سیستم های خطی - اعتبار اصل برهم نهی - مسیر مستقیمی را برای حل سیستماتیک مشکلات در عبور سیگنال های مختلف از چنین سیستم هایی باز می کند. روش نمایش پویا (به فصل 1 مراجعه کنید) امکان نمایش سیگنال ها را به عنوان مجموع تکانه های اولیه فراهم می کند. اگر به هر طریقی بتوان واکنشی را در خروجی که تحت تأثیر یک تکانه ابتدایی در ورودی رخ می دهد، پیدا کرد، در این صورت گام نهایی در حل مسئله، جمع چنین واکنش هایی خواهد بود.

مسیر برنامه ریزی شده تحلیل بر اساس نمایش زمانی خواص سیگنال ها و سیستم ها است. هنگامی که سیگنال ها توسط سری یا انتگرال فوریه داده می شوند، به همان اندازه قابل اجرا، و گاهی بسیار راحت تر، تجزیه و تحلیل در حوزه فرکانس است. خواص سیستم ها با ویژگی های فرکانس آنها توصیف می شود که قانون تبدیل سیگنال های هارمونیک ابتدایی را نشان می دهد.

پاسخ ضربه.

اجازه دهید برخی از سیستم های ثابت خطی توسط عملگر T توصیف شود. برای سادگی، سیگنال های ورودی و خروجی را یک بعدی فرض می کنیم. طبق تعریف، پاسخ ضربه ای یک سیستم تابعی است که پاسخ سیستم به سیگنال ورودی است، به این معنی که تابع h(t) معادله را برآورده می کند.

از آنجایی که سیستم ثابت است، اگر عمل ورودی در زمان توسط یک مقدار مشتق جابجا شود، معادله مشابهی نیز وجود خواهد داشت:

باید به وضوح درک کرد که پاسخ ضربه، و همچنین تابع دلتا که آن را ایجاد می کند، نتیجه یک ایده آل سازی معقول است. از نقطه نظر فیزیکی، پاسخ ضربه تقریباً پاسخ سیستم را به یک سیگنال ضربه ورودی با شکل دلخواه با یک واحد مساحت منعکس می کند، مشروط بر اینکه مدت زمان این سیگنال در مقایسه با مقیاس زمانی مشخصه سیستم ناچیز باشد. به عنوان مثال، دوره نوسانات طبیعی آن.

انتگرال دوهامل.

با دانستن پاسخ ضربه ای یک سیستم ثابت خطی، می توان به طور رسمی هرگونه مشکل عبور یک سیگنال قطعی از چنین سیستمی را حل کرد. در واقع، در فصل. 1، نشان داده شد که سیگنال ورودی همیشه نمایشی از فرم را می پذیرد

واکنش خروجی مربوطه

حال در نظر می گیریم که انتگرال مقدار حدی مجموع است، بنابراین عملگر خطی T، بر اساس اصل برهم نهی، می تواند تحت علامت انتگرال قرار گیرد. علاوه بر این، عملگر T فقط بر روی مقادیری عمل می کند که به زمان فعلی t بستگی دارد، اما نه به متغیر ادغام x. بنابراین از عبارت (8.7) چنین بر می آید که

یا در نهایت

این فرمول که در نظریه سیستم های خطی از اهمیت اساسی برخوردار است، انتگرال دوهامل نامیده می شود. رابطه (8.8) نشان می دهد که سیگنال خروجی یک سیستم ثابت خطی، پیچیدگی دو تابع است - سیگنال ورودی و پاسخ ضربه ای سیستم. بدیهی است که فرمول (8.8) را نیز می توان در فرم نوشت

بنابراین، اگر پاسخ ضربه ای h(t) شناخته شود، مراحل بعدی حل به عملیات کاملاً رسمی کاهش می یابد.

مثال 8.4. برخی از سیستم های ثابت خطی، که ساختار داخلی آن ناچیز است، دارای یک پاسخ ضربه ای است که یک ضربه ویدئویی مستطیلی با مدت زمان T است. ضربه در t = 0 رخ می دهد و دارای دامنه است.

پاسخ خروجی این سیستم را زمانی که سیگنال پله ای به ورودی اعمال می شود، تعیین کنید

با استفاده از فرمول انتگرال دوهامل (8.8)، توجه داشته باشید که سیگنال خروجی بسته به اینکه مقدار جریان از مدت زمان پاسخ ضربه بیشتر باشد یا نه، متفاوت به نظر می رسد. وقتی داریم

اگر پس از آن برای، تابع ناپدید می شود، بنابراین

واکنش خروجی یافت شده به صورت نمودار خطی تکه ای نمایش داده می شود.

تعمیم به حالت چند بعدی.

تاکنون فرض شده است که هر دو سیگنال ورودی و خروجی یک بعدی هستند. در یک مورد کلی تر از یک سیستم با ورودی و خروجی، باید پاسخ های ضربه ای جزئی را معرفی کرد، که هر یک سیگنال را در خروجی نشان می دهد که تابع دلتا به ورودی اعمال می شود.

مجموعه ای از توابع یک ماتریس پاسخ ضربه ای را تشکیل می دهد

فرمول انتگرال دوهامل در حالت چند بعدی شکل می گیرد

جایی که - بردار بعدی. - -بردار بعدی.

شرط تحقق پذیری فیزیکی.

شکل خاص پاسخ ضربه یک سیستم فیزیکی امکان پذیر هر چه باشد، مهمترین اصل همیشه باید رعایت شود: سیگنال خروجی مربوط به ورودی ضربه نمی تواند تا لحظه ای که ضربه در ورودی ظاهر شود رخ دهد.

این به معنای یک محدودیت بسیار ساده در شکل پاسخ‌های تکانه قابل قبول است:

این شرط برای مثال با پاسخ ضربه ای سیستم در نظر گرفته شده در مثال 8.4 برآورده می شود.

به راحتی می توان دید که برای یک سیستم فیزیکی قابل تحقق، حد بالایی در فرمول انتگرال دوهامل را می توان با مقدار فعلی زمان جایگزین کرد:

فرمول (8.13) معنای فیزیکی واضحی دارد: یک سیستم ثابت خطی، پردازش سیگنال دریافتی، جمع بندی وزنی از تمام مقادیر لحظه ای آن را انجام می دهد که "در گذشته" وجود داشته است - نقش تابع وزن توسط پاسخ ضربه ای سیستم اساساً مهم است که یک سیستم قابل تحقق فیزیکی تحت هیچ شرایطی نتواند با مقادیر "آینده" سیگنال ورودی کار کند.

یک سیستم قابل تحقق فیزیکی نیز باید پایدار باشد. این بدان معنی است که پاسخ ضربه ای آن باید شرایط یکپارچگی مطلق را برآورده کند

مشخصه گذار

اجازه دهید سیگنال نشان داده شده توسط تابع Heaviside در ورودی سیستم ثابت خطی عمل کند.

واکنش خروجی

پاسخ گذرا سیستم نامیده می شود. از آنجایی که سیستم ثابت است، پاسخ گذرا تحت تغییر زمان ثابت است:

ملاحظات قبلی در مورد امکان فیزیکی سیستم به طور کامل به حالتی منتقل می شود که سیستم نه توسط تابع دلتا، بلکه با یک پرش منفرد برانگیخته شود. بنابراین، پاسخ گذرا یک سیستم فیزیکی قابل تحقق فقط در زمانی که در t ارتباط نزدیکی بین پاسخ ضربه ای و گذرا وجود دارد، غیر صفر است. در واقع، از آنجایی که بر اساس (8.5)

بنابراین عملگر تمایز و عملگر ثابت خطی T می توانند مکان خود را تغییر دهند

با استفاده از فرمول نمایش پویا (1.4) و به همان روشی که در اشتقاق رابطه (8.8) پیش می رود، شکل دیگری از انتگرال دوهامل را به دست می آوریم:

ضریب انتقال فرکانس.

در مطالعه ریاضی سیستم‌ها، سیگنال‌های ورودی مورد توجه ویژه‌ای قرار می‌گیرند که با تبدیل شدن توسط سیستم، بدون تغییر شکل می‌مانند. اگر برابری باشد

سپس یک تابع ویژه از اپراتور سیستم T است و عدد X، به طور کلی پیچیده، مقدار ویژه آن است.

اجازه دهید نشان دهیم که سیگنال مختلط برای هر مقدار فرکانس، تابع ویژه یک عملگر ثابت خطی است. برای این کار از انتگرال Duhamel فرم (8.9) استفاده می کنیم و محاسبه می کنیم

این نشان می دهد که مقدار ویژه اپراتور سیستم، عدد مختلط است

(8.21)

افزایش فرکانس سیستم نامیده می شود.

فرمول (8.21) یک واقعیت اساسی مهم را ایجاد می کند - ضریب انتقال فرکانس و پاسخ ضربه یک سیستم ثابت خطی توسط تبدیل فوریه به هم متصل می شوند. بنابراین، همیشه با دانستن تابع، می توانید پاسخ ضربه را تعیین کنید

ما به مهمترین موقعیت نظریه سیستم های ساکن خطی رسیده ایم - هر سیستمی از این قبیل را می توان یا در حوزه زمانی با استفاده از پاسخ های ضربه ای یا گذرا در نظر گرفت، یا در حوزه فرکانس با تنظیم بهره فرکانس. هر دو رویکرد معادل هستند و انتخاب یکی از آنها به دلیل راحتی به دست آوردن داده های اولیه در مورد سیستم و سادگی محاسبات دیکته می شود.

در نتیجه، ما متذکر می شویم که ویژگی های فرکانس یک سیستم خطی با ورودی و خروجی را می توان با ماتریسی از ضرایب انتقال فرکانس توصیف کرد.

بین ماتریس ها یک قانون اتصال مشابه با فرمول های (8.21)، (8.22) وجود دارد.

ویژگی های دامنه فرکانس و فرکانس فاز.

این تابع یک تفسیر ساده دارد: اگر یک سیگنال هارمونیک با فرکانس مشخص و دامنه پیچیده به ورودی سیستم برسد، دامنه پیچیده سیگنال خروجی

مطابق با فرمول (8.26)، مدول بهره فرکانس (AFC) یک زوج است و زاویه فاز (PFC) تابعی از فرکانس است.

پاسخ به این سوال که ضریب انتقال فرکانس چقدر باید باشد تا شرایط تحقق پذیری فیزیکی (8.12) و (8.14) برآورده شود، بسیار دشوارتر است. ما بدون اثبات نتیجه نهایی را ارائه می کنیم که به عنوان معیار Paley-Wiener شناخته می شود: ضریب انتقال فرکانس یک سیستم فیزیکی قابل تحقق باید به گونه ای باشد که انتگرال وجود داشته باشد.

مثال خاصی را در نظر بگیرید که خواص بهره فرکانس یک سیستم خطی را نشان می دهد.

مثال 8.5. برخی از سیستم های ثابت خطی دارای خواص یک فیلتر پایین گذر ایده آل هستند، یعنی ضریب انتقال فرکانس آن توسط سیستم برابری ها داده می شود:

بله، بر اساس بیان (8.20)، پاسخ ضربه ای چنین فیلتری

تقارن نمودار این تابع با توجه به نقطه t = 0 نشان دهنده غیرقابل تحقق بودن یک فیلتر پایین گذر ایده آل است. با این حال، این نتیجه گیری مستقیماً از معیار Paley-Wiener حاصل می شود. در واقع، انتگرال (8.27) برای هر پاسخ فرکانسی که در بخش محدودی از محور فرکانس ناپدید می شود، واگرا می شود.

علیرغم غیرقابل تحقق بودن یک LPF ایده آل، این مدل با موفقیت برای تقریب خواص فیلترهای فرکانس استفاده می شود، با این فرض که تابع دارای یک فاکتور فاز است که به صورت خطی به فرکانس بستگی دارد:

بررسی اینکه در اینجا پاسخ ضربه ای است آسان است

پارامتری که در مقدار مطلق برابر با شیب PFC است، تأخیر زمانی حداکثر تابع h(t) را تعیین می کند. واضح است که این مدل ویژگی های سیستم پیاده سازی شده را با دقت بیشتری منعکس می کند، ارزش آن بیشتر است

محاسبه پاسخ مدار در بسیاری از موارد می تواند ساده شود اگر سیگنال ورودی با مجموع اقدامات اولیه به شکل پالس های مستطیلی با مدت زمان کوتاه نشان داده شود. برای انجام این کار، ابتدا رابطه بین توابع نشان داده شده در شکل 5.8a،6 را در نظر بگیرید که می توان آن را به صورت زیر نوشت:

تابع دوم یک تکانه است که در بخش 2.4 در نظر گرفتیم. همانطور که می بینید، تابع یک مشتق از تابع است، i.e. . اجازه دهید عبور به حد را در این توابع به عنوان انجام دهیم. در این حالت، تابع به یک تابع هویت و تابع به یک تابع می رود. سپس، به موجب برابری، نتیجه می شود که تکانه واحد، یا - تابع مشتق تابع واحد است.

برای یک مدار خطی، از این نتیجه می‌گیریم که پاسخ آن به یک تکانه، که پاسخ ضربه‌ای مدار نامیده می‌شود، مشتق پاسخ گذرا مدار است، یعنی. یا

بعد پاسخ ضربه برابر است با بعد پاسخ گذرا تقسیم بر زمان.

یافتن پاسخ ضربه ای در بیشتر موارد آسان تر از یافتن پاسخ گذرا است. در واقع، همانطور که در بخش 2.4 نشان داده شده است، تابع طیفی یک واحد تکانه، و بنابراین برای پاسخ ضربه با استفاده از انتگرال فوریه، عبارت را به دست می آوریم.

از این عبارت نتیجه می شود که تابع طیفی مشخصه برابر با بهره مختلط مدار است، یعنی. یا با استفاده از تبدیل فوریه مستقیم می نویسیم:

یعنی پاسخ ضربه ای مدار و همچنین پاسخ گذرا از طریق ضریب انتقال تعیین می شود، اما برای پاسخ ضربه، در بیشتر موارد، انتگرال در انتگرال فوریه ساده تر است.

به عنوان مثال، ما رابطه (5.14) را برای تعیین طیف پاسخ ضربه ای یک مدار یکپارچه، که پاسخ گذرا آن است، اعمال می کنیم. برای پاسخ تکانه، ما دریافت می کنیم

با استفاده از عبارت (5.14) در اینجا، لازم است در نظر بگیریم که پاسخ گذرا در برابر با صفر است و بنابراین حد پایین در انتگرال بیان (5.14) صفر خواهد بود. سپس تابع طیفی پاسخ ضربه است

آن ها ضریب انتقال مدار یکپارچه را مطابق با عبارت قبلی (3.16) به دست آورد.

با دانستن پاسخ ضربه، می توانید پاسخ مدار را به ضربه سیگنالی به هر شکلی بیابید، یا ابتدا پاسخ گذرا را از رابطه (5.12) بیابید، و سپس با استفاده از یکی از عبارات انتگرال دوهامل، یا مستقیما. از طریق تابع در مورد دوم، تابع ورودی، i.e. همانطور که در شکل نشان داده شده است سیگنال فعال باید به صورت مجموع تکانه ها نشان داده شود. 5.9.

چنین نمایشی از تابع دقیق تر خواهد بود اگر، i.e. اگر با مجموع تعداد بی‌نهایت زیادی از تکانه‌های بی‌نهایت کوچک در مدت زمان نمایش داده شود، که در اینجا تأثیرات ابتدایی هستند. اگر عمل ابتدایی یک تکانه باشد که مساحت آن برابر با وحدت است، پاسخ مدار به چنین تکانه ای که در لحظه ای از زمان ظاهر می شود، پاسخ ضربه ای خواهد بود. در مورد مورد بررسی، تکانه ابتدایی مقداری برابر با مقدار لحظه ای تابع در لحظه و مدت زمانی برابر با، یعنی. مساحت آن برابر است سپس پاسخ به تاثیر اولیه یک مقدار خواهد بود. پاسخ مدار به عمل مشخص شده توسط تابع، مجموع پاسخ ها به تمام اقدامات اولیه خواهد بود که موقعیت زمانی آن مربوط به فاصله زمانی 0 تا، یعنی.

این عبارت که شکل دیگری از نوشتن انتگرال دوهامل است، پیچیدگی توابع نیز نامیده می شود. از نظر ظاهری با پیچیدگی اصلی تصاویر دو تابع در فرمول (4.21) مطابقت دارد.

پاسخ ضربه ای یک مدار را می توان با مشاهده پاسخ مدار (ولتاژ خروجی) روی یک اسیلوسکوپ الکترونیکی به صورت تجربی بدست آورد. لازم است یک پالس با مدت زمان بسیار کوتاه به ورودی مدار اعمال شود. برای مثال، پاسخ ضربه یک مدار نوسانی سری را در نظر بگیرید، با فرض اینکه ولتاژ خروجی از ظرفیت C حذف شده است. اگر مقدار ولتاژ اعمال شده برابر با یک باشد، ولتاژ روی خازن که پاسخ گذرا مدار است، مطابق با (1.33) است.

این پاسخ گذرا در شکل 5.10a نشان داده شده است. سپس پاسخ ضربه ای مدار

با در نظر گرفتن ضریب کیفیت مدار بزرگ، فرض می کنیم که عبارت اول را می توان نادیده گرفت:

این مشخصه در شکل 5.10b نشان داده شده است. مطابق با اسیلوگرام نوسانات آزاد در مدار است که در بخش 1.5 در نظر گرفتیم.

بنابراین، برای مشاهده تجربی پاسخ ضربه ای مدار، لازم است یک پالس با مدت زمان کوتاه به ورودی مدار اعمال شود، یعنی. (همانطور که در بند 2.4 توضیح داده شد) به طوری که مدت زمان آن شرایط را برآورده کند.