ترکیب خطی ستون ها §4.8. وابستگی خطی سطرها و ستون های یک ماتریس. ماتریس، عملیات با ماتریس، ماتریس معکوس. معادلات ماتریسی و حل آنها

سطرها و ستون ها ماتریس هارا می توان به عنوان ماتریس-ردیف هاو به همین ترتیب، ماتریس های ستونی. بنابراین، روی آنها، و همچنین روی هر ماتریس دیگری، می توانید اجرا کنید عملیات خطی. محدودیت در عملیات جمع این است که ردیف ها (ستون ها) باید دارای طول (ارتفاع) یکسان باشند، اما این شرط همیشه برای ردیف ها (ستون ها) از همان ماتریس برقرار است.

عملیات خطی روی ردیف‌ها (ستون‌ها) این امکان را فراهم می‌کند که ردیف‌ها (ستون‌ها) را به شکل عبارات α 1 a 1 + ... + α s a s بسازید، که در آن a 1، ...، as مجموعه‌ای دلخواه از ردیف‌ها (ستون‌ها) است. ) با طول (ارتفاع) یکسان، و α 1، ...، α اعداد واقعی هستند. چنین عباراتی نامیده می شود ترکیب خطی ردیف ها (ستون ها).

تعریف 12.3. ردیف (ستون) a 1، ...، a s نامیده می شوند مستقل خطی،اگر برابری

α 1 a 1 + ... + α s a s = 0، (12.1)

جایی که 0 در سمت راست یک ردیف (ستون) صفر است، فقط زمانی امکان پذیر است که α 1 = ... = a s = 0 باشد. در غیر این صورت، زمانی که اعداد واقعی α 1، ...، α s وجود داشته باشند که چنین نیستند. برابر با صفر در همان زمان، که برابری (12.1) برقرار است، این ردیف ها (ستون ها) نامیده می شوند. وابسته به خط.

عبارت زیر به عنوان آزمون وابستگی خطی شناخته می شود.

قضیه 12.3.سطرها (ستون ها) a 1، ...، a s، s > 1، به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر حداقل یکی (یکی) از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

◄ ما اثبات را برای ردیف ها انجام می دهیم و برای ستون ها مشابه است.

ضرورت. اگر ردیف های a 1 , ... , a s به صورت خطی وابسته باشند، طبق تعریف 12.3، اعداد واقعی α 1 , ... , α s وجود دارند که در همان زمان برابر با صفر نیستند به طوری که α 1 a 1 +... + α s a s = 0. ضریب غیر صفر αα i را انتخاب می کنیم. برای قطعیت بگذارید α 1 باشد. سپس α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s و بنابراین a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s /α 1)a s، یعنی، ردیف a 1 به صورت ترکیبی خطی از سطرهای باقی مانده نشان داده می شود.

کفایت. به عنوان مثال، اجازه دهید a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s . سپس 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0. ضریب اول ترکیب خطی برابر است با یک، یعنی. غیر صفر است طبق تعریف 12.3، رشته های a 1، ...، a s به صورت خطی وابسته هستند.

قضیه 12.4.سطرها (ستونها) a 1 , ..., a s مستقل خطی باشند و حداقل یکی از سطرها (ستونها) b 1 ,..., b l ترکیب خطی آنها باشد. سپس تمام ردیف ها (ستون ها) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b l به صورت خطی وابسته هستند.

◄ اجازه دهید، برای مثال، b 1 ترکیبی خطی از 1، ...، a s، i.e. b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s , α i ∈R, i = 1,s . سطرها (ستون ها) b 2 , ..., b l (برای l > 1) با ضرایب صفر را به این ترکیب خطی اضافه می کنیم: b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0b l طبق قضیه 12.3، ردیف ها (ستون ها) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b i به صورت خطی وابسته هستند.

استقلال خطی ردیف های ماتریس

با توجه به یک ماتریس اندازه

سطرهای ماتریس را به صورت زیر نشان می دهیم:

دو خط نامیده می شوند برابر اگر عناصر متناظر آنها برابر باشد. .

ما عملیات ضرب یک رشته در یک عدد و اضافه کردن رشته ها را به عنوان عملیات انجام شده عنصر به عنصر معرفی می کنیم:

تعریف.یک سطر در صورتی ترکیب خطی از ردیف های ماتریسی نامیده می شود که با مجموع حاصلضرب این ردیف ها توسط اعداد واقعی دلخواه (هر عددی) برابر باشد:

تعریف.ردیف های ماتریس نامیده می شوند وابسته به خط ، اگر چنین اعدادی وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:

جایی که . (1.1)

وابستگی خطی ردیف های ماتریس به این معنی است که حداقل 1 ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه است.

تعریف.اگر ترکیب خطی سطرها (1.1) برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب باشند، سطرها فراخوانی می شوند. مستقل خطی .

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر است با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن که از طریق آنها تمام سطرها (ستون ها) دیگر به صورت خطی بیان می شوند.

این قضیه نقش اساسی در تجزیه و تحلیل ماتریس، به ویژه، در مطالعه سیستم های معادلات خطی ایفا می کند.

6، 13،14،15،16. بردارها عملیات بردار (جمع، تفریق، ضرب در عدد)،n -بردار بعدی مفهوم فضای برداری و اساس آن.

بردار یک قطعه جهت دار با نقطه شروع است آو نقطه پایان که در(که می تواند به موازات خودش جابجا شود).

بردارها را می توان با 2 حرف بزرگ یا با یک حرف کوچک با خط تیره یا فلش نشان داد.

طول (یا ماژول) بردار عددی است برابر با طول قطعه AB که نشان دهنده بردار است.

بردارهایی که روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار می گیرند نامیده می شوند خطی .

اگر ابتدا و انتهای بردار منطبق باشد () ، چنین بردار نامیده می شود صفر و با = نشان داده می شود. طول بردار تهی صفر است:

1) حاصل ضرب یک بردار با عدد:

یک بردار با طولی وجود خواهد داشت که جهت آن برابر با جهت بردار if و مخالف آن اگر باشد.

2) بردار مخالف - حاصلضرب یک بردار است - با عدد (-1)، یعنی. -=

3) مجموع دو بردار و بردار نامیده می شود که ابتدای آن منطبق بر ابتدای بردار و پایان آن با پایان بردار باشد مشروط بر اینکه ابتدا با پایان منطبق باشد . (قاعده مثلث ها). مجموع چندین بردار به طور مشابه تعریف شده است.

4) تفاوت دو بردار و جمع بردار و بردار -، برعکس نامیده می شود.

حاصلضرب عددی

تعریف: حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی است برابر حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

بردار n بعدی و فضای برداری

تعریف. یک بردار n بعدی یک مجموعه مرتب شده است n اعداد واقعی به صورت نوشته شده x \u003d (x 1، x 2، ...، x n)، جایی که x i – من -امین جزء بردار ایکس.

مفهوم بردار n بعدی به طور گسترده در اقتصاد استفاده می شود، به عنوان مثال، مجموعه خاصی از کالاها را می توان با بردار مشخص کرد. x \u003d (x 1، x 2، ...، x n)،و قیمت های مربوطه y = (y 1 ,y 2 ,…,y n).

- دو بردار n بعدی برابرند اگر و فقط اگر اجزای مربوطه آنها با هم برابر باشند، یعنی. x=yاگر x من= y من, من = 1,2,…,n.

- مجموع دو بردار همان بعد nبردار نامیده می شود z = x + y، که مولفه های آن برابر با مجموع مولفه های متناظر عبارات بردارها است، i.e. z من= x من+y من, i = 1,2,…, n.

- حاصل ضرب بردار x با یک عدد واقعی بردار نامیده می شود که اجزای آن برابر با حاصلضرب اجزای مربوطه بردار است، یعنی. ، من= 1,2,…,n.

عملیات خطی روی هر بردار ویژگی های زیر را برآورده می کند:

1) - ویژگی جابجایی (تغییر) مجموع.

2) - دارایی انجمنی (تداعی) مجموع.

3) - ارتباط دارایی با توجه به عامل عددی.

4) - خاصیت توزیعی (توزیعی) با توجه به مجموع بردارها.

5) - توزیعی با توجه به مجموع خصوصیات عوامل عددی.

6) یک بردار تهی وجود دارد که برای هر بردار (نقش ویژه بردار تهی) وجود دارد.

7) برای هر بردار یک بردار مخالف وجود دارد به طوری که ;

8) برای هر بردار (نقش ویژه ضریب عددی 1).

تعریف. مجموعه ای از بردارها با مولفه های واقعی که عملیات جمع بردارها و ضرب بردار را در عددی که هشت ویژگی فوق را برآورده می کند (که به عنوان بدیهیات در نظر گرفته می شوند) را تعریف می کند. حالت برداری .

ابعاد و اساس یک فضای برداری

تعریف. فضای خطی نامیده می شود n بعدی اگر حاوی باشد nبردارهای مستقل خطی و هر یک از بردارها قبلاً وابسته هستند. به عبارت دیگر، بعد فضایی حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی موجود در آن است. عدد n بعد فضا نامیده می شود و با نشان داده می شود.

مجموعه ای از n بردار مستقل خطی در یک فضای n بعدی نامیده می شود اساس .

7. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس. معادله مشخصه ماتریس.

تعریف. بردار نامیده می شود بردار خود عملگر خطی اگر عددی وجود داشته باشد که:

شماره خود نامیده می شود مقدار اپراتور (ماتریس ها آ) مربوط به بردار .

می توان آن را به صورت ماتریسی نوشت:

یک ماتریس ستونی از مختصات بردار کجاست یا منبسط شده است:

بیایید سیستم را بازنویسی کنیم تا در قسمت های مناسب صفر وجود داشته باشد:

یا به صورت ماتریسی: . سیستم همگن حاصل همیشه یک جواب صفر دارد. برای وجود جواب غیر صفر لازم و کافی است که تعیین کننده سیستم: .

تعیین کننده یک چند جمله ای است nدرجه ام نسبت به . این چند جمله ای نامیده می شود چند جمله ای مشخصه عملگر یا ماتریس A، و معادله به دست آمده است معادله مشخصه اپراتور یا ماتریس های A.

مثال:

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی داده شده توسط ماتریس را بیابید.

راه حل: معادله مشخصه را بسازید یا از آنجایی که مقدار ویژه عملگر خطی است.

بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه را پیدا کنید. برای انجام این کار، معادله ماتریس را حل می کنیم:

یا ، یا ، از آنجا می یابیم: ، یا

یا .

فرض کنید که بردارها را دریافت می کنیم , برای هر کدام بردارهای ویژه یک عملگر خطی با مقدار ویژه هستند .

به همین ترتیب، بردار.

8. سیستم پمعادلات خطی با پمتغیرها (نمای کلی). شکل ماتریسی چنین سیستمی. راه حل سیستم (تعریف). سیستم های سازگار و ناسازگار، معین و نامعین معادلات خطی.

حل سیستم معادلات خطی با مجهولات

سیستم های معادلات خطی به طور گسترده ای در اقتصاد استفاده می شود.

سیستم معادلات خطی با متغیرها به شکل زیر است:

,

که در آن () اعداد دلخواه فراخوانی می شوند ضرایب برای متغیرها و شرایط آزاد معادلات ، به ترتیب.

مدخل مختصر: ().

تعریف.راه حل سیستم مجموعه ای از مقادیر است که در هنگام جایگزینی هر معادله سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

1) سیستم معادلات نامیده می شود مفصل اگر حداقل یک راه حل داشته باشد، و ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد

2) سیستم مشترک معادلات نامیده می شود مسلم - قطعی اگر راه حل منحصر به فردی داشته باشد، و نا معلوم اگر بیش از یک راه حل داشته باشد.

3) دو سیستم معادله نامیده می شود معادل (معادل) ، اگر مجموعه راه حل های یکسانی داشته باشند (مثلاً یک راه حل).

سیستم را به صورت ماتریسی می نویسیم:

مشخص کن: ، جایی که

آماتریس ضرایب برای متغیرها یا ماتریس سیستم است، ایکس - ماتریس-ستون متغیرها، که در یک ماتریس ستونی از اعضای آزاد است.

زیرا تعداد ستون های ماتریس برابر است با تعداد ردیف های ماتریس و سپس حاصل ضرب آنها:

یک ماتریس-ستون وجود دارد. عناصر ماتریس حاصل، قسمت های چپ سیستم اولیه هستند. بر اساس تعریف برابری ماتریس، سیستم اولیه را می توان به صورت زیر نوشت:

قضیه کرامر. اجازه دهید تعیین کننده ماتریس سیستم باشد و تعیین کننده ماتریس باشد که با جایگزین کردن ستون i با ستونی از جمله های آزاد از ماتریس به دست می آید. سپس، اگر، پس سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد است که با فرمول تعیین می شود:

فرمول کرامر.

مثال. یک سیستم معادلات را با استفاده از فرمول های کرامر حل کنید

راه حل. تعیین کننده ماتریس سیستم بنابراین، سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد است. محاسبه به دست آمده از جایگزینی ستون اول، دوم، سوم، به ترتیب، با ستونی از اعضای آزاد:

طبق فرمول های کرامر:

9. روش گاوس برای حل سیستمn معادلات خطی با پمتغیرها مفهوم روش جردن-گاوس.

روش گاوس - روش حذف متوالی متغیرها.

روش گاوس شامل این واقعیت است که با کمک تبدیل‌های ابتدایی ردیف‌ها و جایگشت ستون‌ها، سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می‌یابد که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می‌شوند و شروع می‌شود. از آخرین (بر اساس تعداد) متغیرها.

انجام تبدیل های گاوسی نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته ضرایب آنها که با اختصاص ستونی از عبارت های آزاد به ماتریس به دست می آید، راحت است:

.

لازم به ذکر است که از روش گاوس می توان برای حل هر سیستم معادلات فرم استفاده کرد .

مثال. استفاده از روش گاوس برای حل سیستم:

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم.

مرحله 1 . خط اول و دوم را با هم عوض کنید تا مساوی 1 شود.

گام 2 عناصر ردیف اول را در (-2) و (-1) ضرب کنید و به عناصر ردیف دوم و سوم اضافه کنید تا زیر عنصر ستون اول صفر تشکیل شود. .

برای سیستم های ثابت معادلات خطی، قضایای زیر صادق هستند:

قضیه 1.اگر رتبه ماتریس سیستم مشترک برابر با تعداد متغیرها باشد، یعنی. ، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

قضیه 2.اگر رتبه ماتریس سیستم مشترک کمتر از تعداد متغیرها باشد، یعنی. ، پس سیستم نامشخص است و تعداد بی نهایت راه حل دارد.

تعریف.مینور پایه یک ماتریس هر مینور غیر صفر است که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس باشد.

تعریف.مجهولاتی که ضرایب آنها در رکورد مینور پایه گنجانده شده است، پایه (یا پایه) و بقیه مجهولات آزاد (یا غیر پایه) نامیده می شوند.

حل یک سیستم معادلات در حالت به معنای بیان و (چون تعیین کننده متشکل از ضرایب آنها برابر با صفر نیست)، سپس مجهولات آزاد هستند.

متغیرهای پایه را بر حسب متغیرهای آزاد بیان می کنیم.

از ردیف دوم ماتریس به دست آمده، متغیر را بیان می کنیم:

از خط اول بیان می کنیم:

حل کلی سیستم معادلات: , .

هر ردیف از ماتریس را A e i = (a i 1 a i 2 ...، a in) نشان می دهیم (به عنوان مثال،
e 1 = (a 11 a 12 ...، a 1 n)، e 2 = (a 21 a 22 ...، a 2 n) و غیره). هر یک از آنها یک ماتریس ردیفی هستند که طبق قوانین کلی کار با ماتریس ها می توان آن را در یک عدد ضرب کرد یا به ردیف دیگری اضافه کرد.

ترکیب خطیاز رشته ها e l , e 2 ,...e k مجموع حاصلضرب این رشته ها توسط اعداد واقعی دلخواه است:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , که در آن l l , l 2 ,..., l k اعداد دلخواه هستند (ضرایب ترکیب خطی).

سطرهای ماتریسی e l , e 2 ,...e m نامیده می شوند وابسته به خطاگر اعداد l l , l 2 ,..., l m وجود داشته باشند که همزمان برابر با صفر نباشند، به طوری که ترکیب خطی ردیف های ماتریس برابر با ردیف صفر باشد:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0، که در آن 0 = (0 0...0).

وابستگی خطی ردیف های ماتریس به این معنی است که حداقل یک ردیف از ماتریس ترکیبی خطی از بقیه است. در واقع، برای قطعیت، آخرین ضریب l m ¹ 0 را بگذارید. سپس، با تقسیم هر دو طرف تساوی بر l m، عبارتی برای آخرین ردیف به عنوان ترکیب خطی از سطرهای باقی مانده به دست می آوریم:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

اگر ترکیب خطی سطرها صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب صفر باشند، یعنی. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k، سپس خطوط نامیده می شوند مستقل خطی.

قضیه رتبه ماتریس. رتبه یک ماتریس برابر با حداکثر تعداد سطرها یا ستون های مستقل خطی آن است که می توان تمام سطرها یا ستون های دیگر آن را به صورت خطی بیان کرد.

بیایید این قضیه را ثابت کنیم. فرض کنید یک m x n ماتریس A دارای رتبه r (r(A) £ min (m; n)) باشد. بنابراین، یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد. هر گونه خردسالی فراخوانی خواهد شد پایه ای. بگذارید این یک جزئی برای قطعیت باشد

ردیف های این مینور نیز فراخوانی خواهند شد پایه ای.

اجازه دهید ثابت کنیم که سطرهای ماتریس e l , e 2 ,...e r مستقل خطی هستند. برعکس را فرض کنید، یعنی. یکی از این ردیف‌ها، مثلاً ردیف r، ترکیبی خطی از بقیه است: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. سپس، اگر مقدار را کم کنیم. عناصر ردیف 1 ضرب در l l، عناصر ردیف 2 ضرب در l 2 و غیره، در نهایت، عناصر ردیف (r-1) در l r-1 ضرب می شوند، سپس ردیف r به صفر تبدیل می شود. در عین حال با توجه به خواص دترمینان، تعیین کننده فوق نباید تغییر کند و در عین حال باید برابر با صفر باشد. یک تناقض به دست می آید، استقلال خطی رشته ها ثابت می شود.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف ماتریس (r+1) به صورت خطی وابسته است، یعنی. هر رشته ای را می توان در قالب رشته های اصلی بیان کرد.

بیایید جزئی را که قبلاً در نظر گرفته شده بود با یک ردیف دیگر (i-th) و یک ستون دیگر (j-th) تکمیل کنیم. در نتیجه یک مینور از مرتبه (r+1)ام بدست می آوریم که طبق تعریف رتبه برابر با صفر است.

توجه داشته باشید که سطرها و ستون های ماتریس را می توان به عنوان بردارهای حسابی اندازه ها مشاهده کرد. مترو n، به ترتیب. بنابراین، ماتریس اندازه را می توان به عنوان یک مجموعه تفسیر کرد متر n-بعدی یا n متر-بردارهای حسابی بعدی با قیاس با بردارهای هندسی، مفاهیم وابستگی خطی و استقلال خطی سطرها و ستون‌های یک ماتریس را معرفی می‌کنیم.

4.8.1. تعریف. خط
تماس گرفت ترکیب خطی خطوطبا ضرایب
، اگر برابری برای همه عناصر این ردیف صادق باشد:

,
.

4.8.2. تعریف.

رشته های
تماس گرفت وابسته به خط، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از آنها برابر با رشته صفر وجود داشته باشد، یعنی. اعدادی هستند که همگی برابر با صفر نیستند

,
.

4.8.3. تعریف.

رشته های
تماس گرفت مستقل خطی، اگر فقط ترکیب خطی بی اهمیت آنها برابر با ردیف صفر باشد، یعنی.

,

4.8.4. قضیه. (معیار وابستگی خطی سطرهای ماتریس)

برای اینکه رشته ها به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که حداقل یکی از آنها ترکیبی خطی از بقیه باشد.

اثبات:

ضرورت.اجازه دهید خطوط
به صورت خطی وابسته هستند، سپس یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از آنها برابر با خط صفر وجود دارد:

.

بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که اولین ضرایب ترکیب خطی غیر صفر است (در غیر این صورت، می توانیم ردیف ها را مجددا شماره گذاری کنیم). تقسیم این نسبت بر ، ما گرفتیم

,

یعنی ردیف اول ترکیبی خطی از بقیه است.

کفایت.اجازه دهید یکی از خطوط، برای مثال، ، ترکیبی خطی از بقیه است، پس

یعنی یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از رشته ها وجود دارد
، برابر با رشته صفر:

که به معنی خطوط است
به صورت خطی وابسته هستند که باید ثابت شود.

اظهار نظر.

تعاریف و ادعاهای مشابهی را می توان برای ستون های یک ماتریس فرموله کرد.

§4.9. رتبه ماتریسی

4.9.1. تعریف. جزئیسفارش ماتریس ها اندازه
تعیین کننده ترتیب نامیده می شود با عناصر واقع در تقاطع برخی از آن خطوط و ستون ها.

4.9.2. تعریف. درجه جزئی غیر صفر ماتریس ها اندازه
تماس گرفت پایه ای جزئی، اگر همه فرعی های ماتریس سفارش باشند
برابر با صفر هستند.

اظهار نظر. یک ماتریس می تواند دارای مینورهای پایه متعدد باشد. بدیهی است که همه آنها از یک ترتیب خواهند بود. همچنین ممکن است که ماتریس اندازه
سفارش جزئی متفاوت از صفر، و جزئی از منظور است
وجود ندارد، یعنی
.

4.9.3. تعریف. سطرهایی (ستون هایی) که پایه مینور را تشکیل می دهند نامیده می شوند پایه ایردیف ها (ستون ها).

4.9.4. تعریف. رتبهماتریس ترتیب مینور اصلی آن است. رتبه ماتریسی نشان داده شده است
یا
.

اظهار نظر.

توجه داشته باشید که به دلیل برابری سطرها و ستون های تعیین کننده، رتبه ماتریس در هنگام جابجایی تغییر نمی کند.

4.9.5. قضیه. (عدم تغییر رتبه ماتریس تحت تبدیل های ابتدایی)

رتبه یک ماتریس تحت تبدیل های اولیه آن تغییر نمی کند.

بدون مدرک

4.9.6. قضیه. (در مینور اولیه).

سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (ستون) ماتریس را می توان به صورت ترکیبی خطی از سطرهای اصلی آن (ستون) نشان داد.

اثبات:

بیایید اثبات رشته ها را انجام دهیم. اثبات ادعا برای ستون ها را می توان با قیاس انجام داد.

اجازه دهید رتبه ماتریس اندازه ها
برابر است ، آ
- جزئی پایه. بدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالا قرار دارد (در غیر این صورت، می توانیم با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به این شکل کاهش دهیم):

.

اجازه دهید ابتدا استقلال خطی ردیف های پایه را ثابت کنیم. ما با تناقض ثابت خواهیم کرد. اجازه دهید فرض کنیم که ردیف های اصلی به صورت خطی وابسته هستند. سپس، طبق قضیه 4.8.4، یکی از سطرها را می توان به صورت ترکیبی خطی از سطرهای پایه باقی مانده نشان داد. بنابراین، اگر ترکیب خطی نشان داده شده را از این خط کم کنیم، یک خط صفر به دست می آوریم که به این معنی است که جزئی
برابر با صفر است که با تعریف مبنا مینور در تضاد است. بنابراین، ما یک تناقض به دست آورده ایم، بنابراین، استقلال خطی ردیف های اصلی ثابت می شود.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیف از یک ماتریس را می توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف های اصلی نشان داد. اگر شماره خط مورد نظر از 1 تا r، پس بدیهی است که می توان آن را به صورت یک ترکیب خطی با ضریب 1 برای ردیف نشان داد. و ضرایب برای سطرهای باقی مانده صفر است. اجازه دهید اکنون نشان دهیم که اگر شماره خط از جانب
قبل از
، می توان آن را به صورت ترکیبی خطی از ردیف های اصلی نشان داد. ماتریس مینور را در نظر بگیرید
، برگرفته از پایه جزئی
با افزودن یک خط و یک ستون دلخواه
:

اجازه دهید نشان دهیم که این صغیر
از جانب
قبل از
و برای هر شماره ستون از 1 تا .

در واقع، اگر شماره ستون از 1 تا r، سپس یک دترمینال با دو ستون یکسان داریم که مشخصاً برابر با صفر است. اگر شماره ستون از جانب r+1 به و شماره خط از جانب
قبل از
، آن
یک مینور از ماتریس اصلی با ترتیب بیشتر از پایه مینور است، به این معنی که از تعریف پایه مینور صفر است. بدین ترتیب ثابت می شود که صغیر
برای هر خطی صفر است از جانب
قبل از
و برای هر شماره ستون از 1 تا . با گسترش آن توسط آخرین ستون، به دست می آوریم:

اینجا
- اضافات جبری مربوطه. توجه کنید که
، از آنجا که، بنابراین،
جزئی اولیه است. بنابراین، عناصر خط کرا می توان به صورت ترکیبی خطی از عناصر متناظر ردیف های اصلی با ضرایب مستقل از شماره ستون نشان داد. :

بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که یک ردیف دلخواه از یک ماتریس را می‌توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف‌های اصلی آن نشان داد. قضیه ثابت شده است.

سخنرانی 13

4.9.7. قضیه. (در رتبه یک ماتریس مربع غیر انحطاط)

برای اینکه یک ماتریس مربع غیر منحط باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با اندازه این ماتریس باشد.

اثبات:

ضرورت.اجازه دهید ماتریس مربع اندازه nپس غیر منحط است
بنابراین، تعیین کننده ماتریس یک مینور اساسی است، یعنی.

کفایت.اجازه دهید
سپس ترتیب مینور پایه برابر با اندازه ماتریس است، بنابراین مینور پایه تعیین کننده ماتریس است. ، یعنی
با تعریف پایه جزئی.

نتیجه.

برای اینکه یک ماتریس مربع غیر انحطاط باشد، لازم و کافی است که سطرهای آن به صورت خطی مستقل باشند.

اثبات:

ضرورت.از آنجایی که یک ماتریس مربع غیر منحط است، رتبه آن برابر با اندازه ماتریس است
یعنی تعیین کننده ماتریس، مینور پایه است. بنابراین، با قضیه 4.9.6 بر اساس مینور، ردیف های ماتریس به صورت خطی مستقل هستند.

کفایت.از آنجایی که تمام سطرهای ماتریس به صورت خطی مستقل هستند، رتبه آن کمتر از اندازه ماتریس نیست، به این معنی که
بنابراین، با قضیه قبلی 4.9.7، ماتریس غیر منحط است

4.9.8. روش فرعی فرعی برای یافتن رتبه یک ماتریس.

توجه داشته باشید که بخشی از این روش قبلاً به طور ضمنی در اثبات قضیه جزئی پایه توضیح داده شده است.

4.9.8.1. تعریف. جزئی
تماس گرفت حاشیهدر رابطه با جزئی
، اگر از صغیر مشتق شده باشد
اضافه کردن یک سطر جدید و یک ستون جدید از ماتریس اصلی.

4.9.8.2. روش یافتن رتبه یک ماتریس با روش مرزبندی مینورها.

هر ماتریس فعلی جز صفر را پیدا کنید.

ما همه خرده‌های مرزی را محاسبه می‌کنیم.

اگر همه آنها برابر با صفر باشند، مینور فعلی پایه یک است و رتبه ماتریس برابر است با ترتیب مینور فعلی.

اگر حداقل یک غیر از صفر در میان خردسالان مرزی وجود داشته باشد، آنگاه فرض می‌شود که جاری است و روال ادامه دارد.

با استفاده از روش مرزبندی مینورها، رتبه ماتریس را پیدا می کنیم

.

به راحتی می توان مینور مرتبه دوم فعلی را غیر از صفر مشخص کرد، برای مثال،

.

ما خرده‌های مرزی آن را محاسبه می‌کنیم:

بنابراین، از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، مینور
اساسی است، یعنی

اظهار نظر. از مثال در نظر گرفته شده می توان دریافت که روش بسیار پر زحمت است. بنابراین، در عمل، روش تبدیل های ابتدایی، که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت، بسیار بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد.

4.9.9. یافتن رتبه یک ماتریس با روش تبدیل های ابتدایی.

بر اساس قضیه 4.9.5، می‌توانیم بگوییم که رتبه یک ماتریس تحت تبدیل‌های ابتدایی تغییر نمی‌کند (یعنی رتبه‌های ماتریس‌های معادل برابر هستند). بنابراین، رتبه ماتریس برابر است با رتبه ماتریس پله ای که از ماتریس اصلی با تبدیل های ابتدایی به دست می آید. رتبه یک ماتریس پله ای آشکارا برابر با تعداد ردیف های غیر صفر آن است.

رتبه ماتریس را تعیین کنید

روش تبدیل های ابتدایی

ماتریس را ارائه می دهیم گام به گام:

تعداد سطرهای غیر صفر ماتریس مرحله به دست آمده سه است، بنابراین،

4.9.10. رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی.

سیستم بردارها را در نظر بگیرید
مقداری فضای خطی . اگر به صورت خطی وابسته باشد، می توان یک زیر سیستم مستقل خطی را در آن جدا کرد.

4.9.10.1. تعریف. رتبه سیستم بردارها
فضای خطی حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی این سیستم است. رتبه سیستم برداری
به عنوان نشان داده شده است
.

اظهار نظر. اگر سیستمی از بردارها به صورت خطی مستقل باشد، رتبه آن برابر با تعداد بردارهای سیستم است.

اجازه دهید یک قضیه را فرمول بندی کنیم که رابطه بین مفاهیم رتبه یک سیستم بردار در یک فضای خطی و رتبه یک ماتریس را نشان می دهد.

4.9.10.2. قضیه. (در رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی)

رتبه یک سیستم از بردارها در یک فضای خطی برابر است با رتبه یک ماتریس که ستون ها یا ردیف های آن مختصات بردارها در برخی از پایه های فضای خطی هستند.

بدون مدرک

نتیجه.

برای اینکه سیستمی از بردارها در یک فضای خطی مستقل خطی باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریسی که ستون‌ها یا ردیف‌های آن مختصات بردارها هستند در برخی مبنا با تعداد بردارهای سیستم برابر باشد.

اثبات واضح است.

4.9.10.3. قضیه (درباره بعد دهانه خطی).

بعد دهانه خطی بردارها
فضای خطی برابر است با رتبه این سیستم از بردارها:

بدون مدرک

یک ماتریس دلخواه و نه لزوما مربعی A به اندازه mxn را در نظر بگیرید.

رتبه ماتریسی

مفهوم رتبه یک ماتریس با مفهوم وابستگی خطی (استقلال) ردیف ها (ستون ها) یک ماتریس مرتبط است. این مفهوم را برای رشته ها در نظر بگیرید. برای ستون ها هم همینطور است.

سینک های ماتریس A را مشخص کنید:

e 1 \u003d (a 11، a 12، ...، a 1n)؛ e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n)؛ ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)

e k =e s اگر a kj =a sj , j=1,2,…,n

عملیات حسابی روی ردیف های ماتریس (جمع، ضرب در یک عدد) به عنوان عملیات انجام شده توسط عنصر به عنصر معرفی می شوند:

e k +e s =[(а k1 +a s1)، (a k2 +a s2)،…، (а kn +a sn)].

خط e نامیده می شود ترکیب خطیسطرهای e 1 , e 2 ,…,e k , اگر برابر با مجموع حاصلضرب این سطرها با اعداد واقعی دلخواه باشد:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

خطوط e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند وابسته به خط، اگر اعداد حقیقی λ 1 , λ 2 ,…,λ m وجود داشته باشند که همگی برابر با صفر نیستند که ترکیب خطی این سطرها برابر با ردیف صفر است: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ،جایی که 0 =(0,0,…,0) (1)

اگر ترکیب خطی برابر با صفر باشد اگر و فقط اگر همه ضرایب λ i برابر با صفر باشند (λ 1 =λ 2 =…=λ m = 0)، سطرهای e 1 , e 2 ,…,e m نامیده می شوند. مستقل خطی

قضیه 1. برای اینکه رشته های e 1 ,e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که یکی از این رشته ها ترکیبی خطی از رشته های دیگر باشد.

اثبات. ضرورت. بگذارید رشته های e 1 , e 2 ,…,e m به صورت خطی وابسته باشند. اجازه دهید، برای قطعیت، (1) λm ≠0، سپس

که رشته e m ترکیبی خطی از بقیه رشته ها است. Ch.t.d.

کفایت. بگذارید یکی از سطرها، برای مثال e m، ترکیبی خطی از سطرهای دیگر باشد. سپس اعدادی وجود دارند که برابری برقرار است، که می توان آنها را به صورت بازنویسی کرد،

که در آن حداقل 1 از ضرایب (-1) غیر صفر است. آن ها ردیف ها به صورت خطی وابسته هستند. Ch.t.d.

تعریف. مرتبه k-ام جزئیماتریس A با اندازه mxn، تعیین‌کننده مرتبه k با عناصری که در تقاطع هر k ردیف و هر k ستون ماتریس A قرار دارند نامیده می‌شود. (k≤min(m,n)). .

مثال.، خردسالان مرتبه 1: =، =;

خردسالان مرتبه 2: , مرتبه 3

یک ماتریس مرتبه 3 دارای 9 مینور مرتبه اول، 9 مینور مرتبه دوم و 1 درجه فرعی درجه 3 (تعیین کننده این ماتریس) است.

تعریف. رتبه ماتریسی Aبالاترین مرتبه مینورهای غیر صفر این ماتریس است. تعیین - rgA یا r(A).

ویژگی های رتبه ماتریسی.

1) رتبه ماتریس A nxm از کوچکترین ابعاد آن تجاوز نمی کند، یعنی.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 زمانی که همه عناصر ماتریس برابر با 0 باشند، یعنی. A=0.

3) برای یک ماتریس مربع A از مرتبه n، r(A)=n زمانی که A غیر منحط است.

(رتبه یک ماتریس مورب برابر است با تعداد عناصر مورب غیر صفر آن).

4) اگر رتبه یک ماتریس r باشد، ماتریس حداقل یک مینور از مرتبه r دارد که برابر با صفر نیست و همه مینورهای مرتبه بالاتر برابر با صفر هستند.

برای رتبه های ماتریس، روابط زیر درست است:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A) اگر B یک ماتریس مربع غیر مفرد باشد.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n، که n تعداد ستون های ماتریس A یا ردیف های ماتریس B است.

تعریف.یک مینور غیر صفر از مرتبه r(A) نامیده می شود جزئی اولیه. (ماتریس A می تواند چندین پایه کوچک داشته باشد). سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها یک پایه جزئی وجود دارد به ترتیب نامیده می شوند خطوط پایهو ستون های پایه.

قضیه 2 (در مینور پایه).سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر سطر (هر ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرهای اصلی (ستون) است.

اثبات. (برای رشته ها). اگر سطرهای پایه به صورت خطی وابسته بودند، با قضیه (1) یکی از این سطرها ترکیبی خطی از سایر سطرهای پایه خواهد بود، سپس، بدون تغییر مقدار مینور اصلی، می توانید ترکیب خطی مشخص شده را از این ردیف کم کنید و یک ردیف صفر دریافت کنید، و این در تضاد است زیرا پایه جزئی با صفر متفاوت است. که ردیف های پایه به صورت خطی مستقل هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که هر ردیفی از ماتریس A ترکیبی خطی از ردیف های اصلی است. زیرا با تغییرات دلخواه در ردیف ها (ستون ها)، تعیین کننده خاصیت برابر بودن با صفر را حفظ می کند، سپس، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم فرض کنیم که پایه جزئی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس است.

الف=،آن ها در اولین ردیف های r و اولین ستون های r قرار دارد. اجازه دهید 1£j£n، 1£i£m. اجازه دهید نشان دهیم که تعیین کننده ترتیب (r+1)ام است

اگر j£r یا i£r باشد، این تعیین کننده برابر با صفر است، زیرا دو ستون یکسان یا دو ردیف یکسان خواهد داشت.

اگر j>r و i>r باشد، این تعیین کننده جزئی از (r + 1)مین مرتبه ماتریس A است. رتبه ماتریس r است، بنابراین هر جزئی از مرتبه بالاتر برابر با 0 است.

با گسترش آن توسط عناصر آخرین ستون (اضافه شده)، دریافت می کنیم

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0، که در آن آخرین جمع جبری A ij با جزئی اصلی М r منطبق است و بنابراین A ij = М r ≠0.

با تقسیم آخرین تساوی بر A ij ، می توانیم عنصر a ij را به صورت ترکیب خطی بیان کنیم: ، جایی که .

مقدار i (i>r) را ثابت می کنیم و دریافت می کنیم که برای هر j (j=1,2,…,n) عناصر ردیف i e i به صورت خطی از طریق عناصر ردیف های e 1 , e بیان می شوند. 2،…، e r، یعنی e. ردیف i-ام ترکیبی خطی از ردیف های اصلی است: . Ch.t.d.

قضیه 3. (شرط لازم و کافی برای مساوی بودن تعیین کننده).برای اینکه تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

اثبات (ص.40). ضرورت. اگر تعیین کننده مرتبه n D برابر با صفر باشد، مینور پایه ماتریس آن از مرتبه r است.

بنابراین، یک ردیف ترکیبی خطی از بقیه است. سپس، طبق قضیه 1، ردیف های تعیین کننده به صورت خطی وابسته هستند.

کفایت. اگر ردیف‌های D به‌طور خطی وابسته باشند، طبق قضیه 1 یک ردیف A i ترکیبی خطی از ردیف‌های دیگر است. با کم کردن ترکیب خطی مشخص شده از خط A i، بدون تغییر مقدار D، یک خط صفر به دست می آوریم. بنابراین، با ویژگی های عوامل، D=0. h.t.d.

قضیه 4.تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

اثبات. همانطور که هنگام در نظر گرفتن خصوصیات تعیین کننده ها نشان داده شد، هنگام تبدیل ماتریس های مربع، تعیین کننده های آنها یا تغییر نمی کنند، یا در یک عدد غیر صفر ضرب می شوند، یا علامت تغییر می کنند. در این حالت، بالاترین ترتیب مینورهای غیر صفر ماتریس اصلی حفظ می شود، یعنی. رتبه ماتریس تغییر نمی کند. Ch.t.d.

اگر r(A)=r(B)، A و B هستند معادل: A~B.

قضیه 5.با استفاده از تبدیل های ابتدایی، می توان ماتریس را به کاهش داد نمای پلکانیماتریس نامیده می شود اگر دارای شکل باشد پله شده است:

А=، که در آن a ii ≠0، i=1،2،…،r; r≤k.

شرایط r≤k را همیشه می توان با جابجایی به دست آورد.

قضیه 6.رتبه یک ماتریس پله ای برابر است با تعداد ردیف های غیر صفر آن .

آن ها رتبه ماتریس گام r است، زیرا یک مینور غیر صفر از مرتبه r وجود دارد: