نمونه هایی از تعیین تنش های نرمال و برشی. تنش در یک نقطه تنش برشی در یک نقطه مقطع

تنش اندازه گیری عددی توزیع نیروهای داخلی در طول صفحه مقطع است. در مطالعه و تعیین نیروهای داخلی هر سازه استفاده می شود.

منطقه را در صفحه بخش انتخاب کنید  آ; یک نیروی داخلی در این سایت وارد عمل خواهد شد  آر.

مقدار نسبت  آر/ آ= پ چهارشنبهمیانگین ولتاژ سایت نامیده می شود  آ. ولتاژ واقعی در یک نقطه آبا تلاش بدست می آوریم  آبه صفر:

تنش های معمولی زمانی اتفاق می افتد که ذرات یک ماده تمایل به دور شدن از یکدیگر یا برعکس نزدیک شدن دارند. تنش های برشی با برش ذرات در امتداد صفحه مقطع در نظر گرفته شده مرتبط است.

بدیهی است که
. تنش برشی به نوبه خود می تواند در جهت محورها گسترش یابد ایکسو y (τ z ایکس , τ z در). بعد تنش ها N/m2 (Pa) است.

تحت تأثیر نیروهای خارجی، همراه با بروز تنش ها، تغییر در حجم بدن و شکل آن رخ می دهد، یعنی بدن تغییر شکل می دهد. در این حالت، حالت اولیه (تغییر شکل) و نهایی (تغییر شکل) بدن متمایز می شود.

16. قانون جفت شدن تنش های برشی

کسات. ولتاژ در 2 عمود بر یکدیگر. حوزه به سمت یا دور از لبه هدایت شده و از نظر قدر برابر است

17. مفهوم تغییر شکل ها. اندازه گیری تغییر شکل خطی، عرضی و زاویه ای

تغییر شکل - نامیده می شود. جابجایی متقابل نقاط یا بخش‌های بدن در مقایسه با موقعیت‌هایی از بدن که قبل از اعمال نیروهای خارجی اشغال می‌کردند.

عبارتند از: الاستیک و پلاستیک

الف) تغییر شکل خطی

اندازه گیری ازدیاد طول نسبی epsil =l1-l/l است

ب) دف عرضی

اندازه گیری یاول انقباض نسبی سکته مغزی اپسیلون=|b1-b|/b

18. فرضیه مقاطع مسطح

فرضیه های اصلی(فرض): فرضیه عدم فشار الیاف طولی: الیاف موازی با محور تیر، تغییر شکل کششی-فشرده‌ای را تجربه می‌کنند و در جهت عرضی به یکدیگر فشار وارد نمی‌کنند. فرضیه مقطع مسطح: مقطعی از تیر که قبل از تغییر شکل صاف بوده است پس از تغییر شکل نسبت به محور منحنی تیر صاف و نرمال می ماند. در مورد خمش مسطح، در حالت کلی، عوامل قدرت داخلی: نیروی طولی N، نیروی عرضی Q و گشتاور خمشی M. اگر نیروی طولی کششی باشد N>0. در M> 0، الیاف از بالای تیر فشرده شده، از پایین آنها کشیده می شوند. .

لایه ای که در آن کشش وجود ندارد نامیده می شود لایه خنثی(محور، خط). برای N=0 و Q=0 مورد داریم خم تمیزاسترس های معمولی:
, شعاع انحنای لایه خنثی است، y فاصله مقداری فیبر تا لایه خنثی است.

19. قانون هوک (1670). معنای فیزیکی مقادیر موجود در آن

او رابطه بین استرس، تنش و تغییر شکل طولی را ایجاد کرد.
که در آن E ضریب تناسب (مدول الاستیسیته ماده) است.

مدول الاستیسیته مشخصه سفتی ماده است، یعنی. توانایی مقاومت در برابر تغییر شکل (هرچه E بیشتر باشد، ماده کمتر قابل گسترش است)

انرژی کرنش بالقوه:

نیروهای خارجی اعمال شده به یک جسم الاستیک کار می کنند. اجازه دهید آن را با A نشان دهیم. در نتیجه این کار، انرژی پتانسیل جسم تغییر شکل یافته U انباشته می شود. به انرژی جنبشی K تبدیل می شود. تعادل انرژی به شکل A \u003d U + K است.

اگر به صورت ذهنی یک عنصر را به شکل یک مکعب کوچک بی نهایت در اطراف نقطه ای از بدن برش دهید، در حالت کلی، تنش های نشان داده شده در شکل 1. 3.1.

به مجموعه تنش های نرمال و برشی اعمال شده بر روی تمام محل ها (مقاطع) حاوی هر نقطه گفته می شود وضعیت استرس بدن در یک نقطه مشخص

برنج.3 . 1

بنابراین، 9 جزء تنش بر روی وجوه یک متوازی الاضلاع ابتدایی که در مجاورت یک نقطه از یک جسم بارگذاری شده انتخاب شده اند، عمل می کنند. آنها را به شکل ماتریس مربع زیر می نویسیم:

جایی که در ردیف های اول، دوم و سوم مولفه های تنش به ترتیب روی نواحی عمود بر محورها قرار می گیرند. این مجموعه ولتاژ نامیده می شود تانسور استرس.

قانون جفت شدن تنش های مماسی. سایت های اصلی و تنش های اصلی

اجازه دهید معادله گشتاورهای تمام نیروهای اعمال شده به متوازی الاضلاع ابتدایی حول محور را بسازیم. (شکل 3.1.).

نیروهای موازی با این محور و عبور از آن در معادله لحاظ نمی شوند. گشتاورهای نیروها در دو وجه عمود بر محور و همچنین گشتاورهای نیرو در وجه بالا و پایین عنصر متعادل هستند. بنابراین، دریافت می کنیم:

از این رو نتیجه می شود که.

به همین ترتیب، از دو معادله دیگر می یابیم:

بنابراین ما برابری داریم

تماس گرفت قانون جفت شدن تنش های مماسی

قانون جفت شدن تنش های برشی - تنش‌های مماسی روی هر دو نقطه، اما متقابل عمود بر هم، عمود بر خط تقاطع محل‌ها، از نظر قدر مساوی هستند. در عین حال، آنها تمایل دارند عنصر را در جهات مختلف بچرخانند.

هنگامی که جهت وجه های عنصر انتخاب شده تغییر می کند، تنش های اعمال شده بر روی وجوه آن نیز تغییر می کند. می توان چنین مناطقی را ترسیم کرد که تنش های برشی بر روی آنها برابر با صفر باشد. مناطقی که تنش های برشی برابر با صفر است نامیده می شوند مکان های اصلی، و تنش های معمولی روی این نواحی هستند استرس های اصلی.

می توان ثابت کرد که در هر نقطه از جسم تحت فشار سه ناحیه اصلی عمود بر یکدیگر وجود دارد.

تنش های اصلی با , , نشان داده می شوند. در این حالت، شاخص ها باید به گونه ای تنظیم شوند که نابرابری باشد

اگر هر سه تنش اصلی با صفر متفاوت باشند، حالت تنش نامیده می شود سه محورییا حجیم (شکل 3.2، الف).

اگر یکی از تنش های اصلی برابر با صفر باشد، حالت تنش نامیده می شود دو محورییا تخت (شکل 3.2، ب).

اگر دو تنش اصلی برابر با صفر باشد، حالت تنش نامیده می شود تک محورییا خطیمتر(شکل 3.2، ج).

برنج.3 . 2

حالت تنش صفحه ای

هنگام مطالعه وضعیت تنش عناصر ساختاری، اغلب لازم است که با یک حالت تنش سطحی مقابله کنیم. در پیچش، خمش و مقاومت پیچیده رخ می دهد. بنابراین، ما در مورد آن با جزئیات بیشتر صحبت خواهیم کرد.

عنصری را در نظر بگیرید که چهره‌های آن نواحی اصلی هستند.

برنج.3 . 3

تنش های مثبت و عمل بر روی آنها و سومین تنش اصلی (جهت عمود بر صفحه نقشه است).

بیایید یک بخش I - I ترسیم کنیم که مساحت () را مشخص می کند که با زاویه مثبت مشخص می شود. تنش ها و بیش از این محل با فرمول های زیر تعیین می شود:

(3.3)

تنش های اصلی فشاری در این فرمول ها با علامت منفی جایگزین می شوند و زاویه از تنش اصلی جبری بزرگتر اندازه گیری می شود.

بیایید یک بخش II - II را ترسیم کنیم که مساحت عمود بر منطقه را مشخص می کند. نرمال نسبت به آن یک زاویه با جهت تشکیل می دهد

با جایگزین کردن مقادیر زاویه به فرمول های (3.2) و (3.3) داریم.

. (3.5)

ترکیب فرمول های (3.2) - (3.5) یافتن تنش ها را در امتداد هر ناحیه متمایل به عمود متقابل ممکن می سازد، در صورتی که تنش های اصلی شناخته شده باشند.

با اضافه کردن برابری های (3.2) و (3.4)، متوجه می شویم که

, (3.6)

یعنی مجموع تنش های نرمال روی دو ناحیه عمود بر یکدیگر به زاویه تمایل این نواحی بستگی ندارد و برابر با مجموع تنش های اصلی است.

از فرمول‌های (3.3) و (3.5)، می‌بینیم که تنش‌های برشی به حداکثر مقدار خود می‌رسند، یعنی در امتداد نواحی متمایل به مناطق اصلی در یک زاویه، و

. (3.7)

با مقایسه فرمول های (3.3) و (3.5)، متوجه می شویم که

این برابری قانون جفت شدن تنش های برشی را بیان می کند.

حال بیایید دو بخش دیگر ترسیم کنیم (شکل 3.3): بخش III - III به موازات I - I و بخش IV - IV به موازات II - II. عنصر انتخاب شده توسط چهار بخش از عنصر (شکل 3.4، a)، شکل نشان داده شده در شکل 3.4، b را خواهد داشت. هر دو عنصر حالت تنش یکسانی را تعیین می کنند، اما عنصر آن را با تنش های اصلی، و عنصر - با تنش های روی مناطق شیبدار نشان می دهد.

برنج.3 . 4

در تئوری حالت استرس دو وظیفه اصلی قابل تشخیص است.

مشکل مستقیم. در یک نقطه، موقعیت سکوهای اصلی و تنش های اصلی مربوطه مشخص است. برای یافتن تنش های معمولی و مماسی بر روی سکوهایی که در یک زاویه معین نسبت به سکوهای اصلی متمایل هستند، لازم است.

مشکل معکوس. در یک نقطه، تنش های نرمال و برشی که در دو ناحیه متقابل عمود بر هم عمل می کنند، مشخص است. جهت های اصلی و تنش های اصلی را پیدا کنید. هر دو مشکل را می توان هم به صورت تحلیلی و هم گرافیکی حل کرد.

مشکل مستقیم در حالت تنش صفحه. دایره استرس (مهر دایره).

حل تحلیلی مسئله مستقیم با فرمول های (3.2) - (3.5) ارائه شده است.

اجازه دهید وضعیت استرس را با استفاده از یک ساختار گرافیکی ساده تحلیل کنیم. برای این کار یک صفحه هندسی را در نظر می گیریم و به محورهای مختصات مستطیلی ارجاع می دهیم. ما روش محاسبه را با استفاده از حالت تنش نشان داده شده در شکل 1 به عنوان مثال توصیف می کنیم. 3.5، الف.

با انتخاب یک مقیاس معین برای تنش ها، بخش های روی آبسیسا را ​​کنار می گذاریم (شکل 3.5، ب).

در مورد اینکه چگونه بر روی قطر یک دایره با مرکز در یک نقطه می سازیم. دایره ساخته شده نامیده می شود محدوده استرسیا حلقه مور.

برنج.3 . 5

مختصات نقاط دایره با تنش های نرمال و برشی در مکان های مختلف مطابقت دارد. بنابراین، برای تعیین تنش روی سایتی که با زاویه کشیده شده است (شکل 3.5، a) از مرکز دایره (شکل 3.5، b)، یک تیر را در زاویه می کشیم تا زمانی که با دایره در یک نقطه قطع شود. (زوایای مثبت در خلاف جهت عقربه های ساعت کنار گذاشته می شوند). آبسیسا نقطه (قطعه) برابر تنش معمولی و اردینیت (قطعه) آن برابر تنش برشی است.

با رسم پرتو در زاویه و گرفتن نقطه ای در تقاطع با دایره، ولتاژ محل را عمود بر ولتاژ در نظر گرفته شده می یابیم. بدیهی است که ترتیب نقطه با تنش برشی و آبسیسا نقطه با تنش نرمال مطابقت دارد.

با رسم از یک نقطه یک خط موازی (در مورد ما، یک خط افقی) به تقاطع با یک دایره، قطب - نقطه را پیدا می کنیم. خطی که قطب را به هر نقطه از دایره متصل می‌کند، موازی با جهت تنش معمولی در محلی است که این نقطه با آن مطابقت دارد. بنابراین، برای مثال، خط موازی با تنش اصلی است. بدیهی است که خط موازی با جهت تنش اصلی است.

مسئله معکوس در حالت تنش صفحه.

در محاسبات عملی، تنش های نرمال و برشی معمولاً روی دو ناحیه عمود بر یکدیگر تعیین می شوند. به عنوان مثال، تنش ها شناخته شده باشند، , , (شکل 3.6، a). بر اساس این داده ها، لازم است مقادیر تنش های اصلی و موقعیت مناطق اصلی تعیین شود.

بیایید ابتدا این مشکل را به صورت گرافیکی حل کنیم. ما می پذیریم که >، و >.

در صفحه هندسی در سیستم مختصات، یک نقطه با مختصات و یک نقطه با مختصات رسم می کنیم (شکل 3.6، ب). با اتصال نقاط و مرکز دایره - نقطه - را پیدا کرده و دایره ای با شعاع رسم می کنیم. ابسیساهای نقاط تقاطع آن با محور - بخش ها و - به ترتیب مقادیر تنش های اصلی و .

برای تعیین موقعیت نواحی اصلی، قطب را پیدا کرده و از خاصیت آن استفاده می کنیم. بیایید یک خط از نقطه موازی با خط عمل ولتاژ، یعنی افقی رسم کنیم. نقطه تلاقی این خط با دایره قطب است. با اتصال قطب به نقاط و جهت تنش های اصلی را بدست می آوریم. نواحی اصلی بر جهات یافت شده تنش های اصلی عمود هستند.

برنج.3 . 6

ما از دایره ساخته شده برای بدست آوردن عبارات تحلیلی برای تنش های اصلی استفاده می کنیم و:

(3.9)

(3.10)

فرمول (3.10) تنها مقدار زاویه ای را تعیین می کند که باید از طریق آن حالت نرمال چرخانده شود تا جهت تنش اصلی جبری بزرگتر به دست آید. یک مقدار منفی مربوط به چرخش در جهت عقربه های ساعت است.

اگر یکی از تنش های اصلی منفی و دیگری مثبت باشد، باید آنها را با و نشان داد. اگر هر دو تنش اصلی منفی باشند، باید با و نشان داده شوند.

سخنرانی 4. نظریه های قدرت. تغییر خالص (jComment on)

تئوری های قدرت

مهمترین وظیفه محاسبات مهندسی ارزیابی مقاومت یک عنصر ساختاری از یک حالت تنش شناخته شده است. برای انواع ساده تغییر شکل، به ویژه برای حالت های تنش تک محوری، تعیین مقادیر تنش های خطرناک هیچ مشکل خاصی ایجاد نمی کند. به یاد بیاورید که تنش های خطرناک تنش های مربوط به شروع شکست (در حالت شکننده ماده) یا ظهور تغییر شکل های باقیمانده (در مورد حالت پلاستیکی ماده) هستند:

تنش‌های مجاز توسط ولتاژهای خطرناک تعیین می‌شوند و حاشیه مشخصی در برابر شروع حالت حدی ایجاد می‌کنند.

در یک حالت تنش پیچیده، همانطور که آزمایش‌ها نشان می‌دهند، بسته به نسبت‌های بین آن‌ها، یک حالت خطرناک می‌تواند در مقادیر مختلف تنش‌های اصلی رخ دهد. در این مورد، فرضیه ای در مورد تأثیر غالب یک یا آن عامل بر استحکام ماده ارائه می شود. مقدار حدی عاملی که استحکام را تعیین می کند بر اساس آزمایش های ساده (کشش، فشار، پیچش) یافت می شود.

فرضیه ای که به این ترتیب انتخاب شده است نامیده می شود نظریه مکانیکی قدرت.

نظریه کلاسیک قدرت را در نظر بگیرید.

6. ولتاژ در یک نقطه. تنش برشی کامل، معمولی. ابعاد ولتاژ

تنش معیاری برای توزیع نیروهای داخلی در یک بخش است.

جایی که
- قدرت داخلی در زمین آشکار شد
.

ولتاژ کامل
.

تنش نرمال - پیش بینی بردار تنش کل بر روی نرمال با σ نشان داده می شود.
، که در آن E مدول الاستیسیته نوع اول است، ε تغییر شکل خطی است. تنش معمولی تنها به دلیل تغییر در طول الیاف، جهت عملکرد آنها ایجاد می شود و زاویه الیاف عرضی و طولی مخدوش نمی شود.

تنش برشی - اجزای تنش در صفحه مقطع.
، جایی که
(برای یک ماده همسانگرد) - مدول برشی (مدول الاستیسیته نوع دوم)، μ - نسبت پواسون (=0.3)، γ - زاویه برشی.

7. قانون هوک برای حالت تنش تک محوری در یک نقطه و قانون هوک برای برش خالص. مدول الاستیک نوع اول و دوم، معنای فیزیکی آنها، معنای ریاضی و تفسیر گرافیکی. نسبت پواسون.

- قانون هوک برای حالت تنش تک محوری در یک نقطه.

E ضریب تناسب (مدول الاستیسیته از نوع اول) است. مدول الاستیسیته ثابت فیزیکی ماده است و به صورت تجربی تعیین می شود. مقدار E در همان واحدهای σ اندازه گیری می شود، یعنی. بر حسب کیلوگرم بر سانتی متر مربع

- قانون هوک برای شیفت.

G مدول برشی (مدول الاستیسیته از نوع دوم) است. ابعاد ماژول G با ماژول E یکسان است، یعنی. کیلوگرم بر سانتی متر 2.
.

μ نسبت پواسون (ضریب تناسب) است.
. مقدار بی‌بعدی که ویژگی‌های ماده را مشخص می‌کند و به صورت تجربی تعیین می‌شود در محدوده 0.25 تا 0.35 قرار دارد و نمی‌تواند از 0.5 (برای یک ماده همسانگرد) تجاوز کند.

8. کشش مرکزی (فشردگی) یک میله مستقیم. تعیین نیروهای طولی داخلی به روش مقطع. قانون علائم برای نیروهای طولی داخلی. مثال هایی از محاسبه نیروهای طولی داخلی را بیان کنید.

اگر نیروهای طولی مرکزی Nz در مقاطع عرضی آن (یعنی یک نیروی داخلی که خط عمل آن در امتداد محور z هدایت می شود) ایجاد شود، تیر یک حالت کشش مرکزی (فشرده) را تجربه می کند و 5 عامل نیروی باقیمانده برابر با صفر باشد. (Q x = Q y = M x = M y = M z = 0).

قانون علامت برای N z: نیروی کششی واقعی - "+"، نیروی فشاری واقعی - "-".

9. کشش مرکزی (فشردگی) یک تیر مستقیم. بیان و حل مسئله تعیین تنش ها در مقاطع تیر. سه طرف مشکل

بیانیه: یک تیر مستقیم ساخته شده از یک ماده همگن، کشیده شده (فشرده) توسط نیروهای طولی مرکزی N. تنش ایجاد شده در مقاطع تیر، تغییر شکل و جابجایی مقاطع تیر را بسته به مختصات z تعیین کنید. از این بخش ها

10. کشش مرکزی (فشردگی) تیر مستقیم. تعیین تغییر شکل ها و جابجایی ها. سفتی تیر در کشش (فشردگی). مثال هایی از محاسبات مربوطه را ذکر کنید.

تنش مرکزی (فشرده) تیر مستقیم، به سوال 8 مراجعه کنید.

.

با کشش مرکزی (فشرده) تیر در جهت عرضی، تنها تنش معمولی σ z در مقطع ایجاد می شود که در تمام نقاط مقطع ثابت و برابر با N z /F است.
، که در آن EF سختی کششی (فشاری) تیر است. هر چه سفتی تیر بیشتر باشد، مهره ها با نیروی یکسان تغییر شکل می دهند. 1/(EF) - انطباق تیر در کشش (فشردگی).

11. کشش مرکزی (فشردگی) تیر مستقیم. سیستم های آماری نامشخص افشای عدم قطعیت استاتیک. تاثیر دما و عوامل نصب مثال هایی از محاسبات مربوطه را ذکر کنید.

تنش مرکزی (فشرده) تیر مستقیم، به سوال 8 مراجعه کنید.

اگر تعداد معادلات مستقل خطی استاتیک کمتر از تعداد مجهولات موجود در سیستم این معادلات باشد، در این صورت مسئله تعیین این مجهولات از نظر استاتیکی نامعین می شود.
(یک قسمت چقدر طول می کشد، قسمت دوم چقدر کوچک می شود).

شرایط عادی - 20 درجه سانتیگراد.
.f(σ,ε,tº,t)=0 – وابستگی عملکردی بین 4 پارامتر.

12. مطالعه تجربی خواص مکانیکی مواد در کشش (فشردگی). اصل سنت ونانت نمونه نمودار کشش. تخلیه و بارگیری مجدد. سخت شدن. ویژگی های اساسی مکانیکی، استحکام و تغییر شکل مواد.

خواص مکانیکی مواد با استفاده از دستگاه‌های تست که اهرمی و هیدرولیکی هستند محاسبه می‌شود. در ماشین اهرمی نیرو به وسیله باری که از طریق سیستمی از اهرم ها بر روی نمونه وارد می شود و در ماشین هیدرولیک به وسیله فشار هیدرولیک ایجاد می شود.

اصل سنت ونانت: ماهیت توزیع تنش در مقاطع عرضی نیروهای طولی به اندازه کافی دور (عملاً در فواصل برابر با اندازه عرضی مشخصه میله) از محل اعمال بارها، به روش اعمال بستگی ندارد. از این نیروها، اگر معادل استاتیکی یکسانی داشته باشند. با این حال، در منطقه اعمال بارها، قانون توزیع تنش می تواند به طور قابل توجهی با قانون توزیع در مقاطع به اندازه کافی دور متفاوت باشد.

اگر نمونه آزمایشی بدون شکستگی تخلیه شود، در فرآیند تخلیه وابستگی بین نیروی P و ازدیاد طول Δl، نمونه یک کشیدگی باقیمانده دریافت خواهد کرد.

اگر نمونه در ناحیه ای که قانون هوک رعایت می شود بارگذاری شده و سپس تخلیه شود، کشش کاملاً الاستیک خواهد بود. با بارگیری مکرر، تخلیه میانی ناپدید می شود.

سخت شدن (سخت کاری) پدیده ای است که باعث افزایش خواص الاستیک یک ماده در نتیجه تغییر شکل اولیه پلاستیک می شود.

حد تناسب حداکثر تنشی است که ماده از قانون هوک پیروی می کند.

حد الاستیک حداکثر تنشی است که ماده تغییر شکل باقیمانده را دریافت نمی کند.

تنش تسلیم تنشی است که در آن افزایش کرنش بدون افزایش محسوس بار رخ می دهد.

استحکام کششی حداکثر تنشی است که یک نمونه می تواند بدون شکستگی تحمل کند.

13. قدرت تسلیم فیزیکی و مشروط مواد هنگام آزمایش نمونه ها برای کشش، استحکام نهایی. تنش های مجاز هنگام محاسبه مقاومت یک تیر با کشش مرکزی (فشرده). عوامل ایمنی هنجاری و واقعی مثال های عددی بزنید.

در مواردی که نقطه تسلیم مشخصی در نمودار وجود ندارد، استحکام تسلیم مشروط به مقدار تنشی در نظر گرفته می‌شود که در آن کرنش باقی‌مانده ε 0.002= یا 0.2% است. در برخی موارد، حد ε استراحت = 0.5٪ تعیین می شود.

حداکثر|σz |=[σ].
,n> 1(!) - ضریب ایمنی هنجاری.

- ضریب ایمنی واقعی.n>1(!).

14. کشش مرکزی (فشردگی) تیر مستقیم. محاسبات برای استحکام و سفتی. شرایط قدرت شرایط سختی. سه نوع مشکل در محاسبه قدرت.

تنش مرکزی (فشرده) تیر مستقیم، به سوال 8 مراجعه کنید.

حداکثر|σz | stretch ≤[σ] stretch;max|σ z | فشرده سازی ≤[σ] فشرده سازی.

15. قانون هوک تعمیم یافته برای حالت تنش سه محوری در یک نقطه. تغییر شکل حجمی نسبی نسبت پواسون و مقادیر محدود کننده آن برای یک ماده همگن همگن.

,
,
. با اضافه کردن این معادلات، عبارت تغییر شکل حجمی را به دست می آوریم:
. این عبارت به شما امکان می دهد مقدار حدی نسبت پواسون را برای هر ماده همسانگرد تعیین کنید. حالتی را در نظر بگیرید که σ x =σ y =σ z =р. در این مورد:
. اگر p مثبت باشد، مقدار θ نیز باید مثبت باشد و اگر p منفی باشد، تغییر حجم منفی خواهد بود. این تنها زمانی ممکن است که μ≤1/2 باشد. بنابراین، مقدار نسبت پواسون برای یک ماده همسانگرد نمی تواند از 0.5 تجاوز کند.

16. رابطه بین سه ثابت الاستیک برای یک ماده همسانگرد (بدون اشتقاق فرمول).

,
,
.

17. مطالعه وضعیت تنش-کرنش در نقاط تیر مستقیم کشیده شده (فشرده) مرکزی. قانون جفت شدن تنش های مماسی.

,
.

- قانون جفت شدن تنش های مماسی.

18. کشش مرکزی (فشردگی) یک میله ساخته شده از مواد الاستیک خطی. انرژی بالقوه تغییر شکل الاستیک تیر و ارتباط آن با کار نیروهای طولی خارجی اعمال شده به تیر.

A=U+K. (در نتیجه کار، انرژی پتانسیل جسم تغییر شکل یافته U تجمع می یابد، علاوه بر این، کار به افزایش سرعت جرم بدن می رود، یعنی به انرژی جنبشی تبدیل می شود).

اگر کشش مرکزی (فشردگی) یک تیر ساخته شده از یک ماده الاستیک خطی بسیار آهسته انجام شود، آنگاه سرعت حرکت مرکز جرم بدن بسیار کم خواهد بود. چنین فرآیند بارگیری ایستا نامیده می شود. بدن همیشه در حالت تعادل است. در این حالت A=U و کار نیروهای خارجی کاملاً به انرژی پتانسیل تغییر شکل تبدیل می شود.
,
,
.

حالت های تحت فشار و تغییر شکل یک بدن الاستیک. رابطه تنش ها و کرنش ها

مفهوم تنش بدن در یک نقطه معین. تنش های معمولی و برشی

عوامل نیروی داخلی که هنگام بارگذاری یک جسم الاستیک به وجود می آیند، وضعیت بخش خاصی از بدن را مشخص می کنند، اما به این سؤال پاسخ نمی دهند که کدام نقطه از مقطع بیشترین بار را دارد، یا، همانطور که می گویند، نقطه خطرناک. بنابراین، لازم است مقداری اضافی که وضعیت بدن را در یک نقطه مشخص می کند، در نظر گرفت.

اگر جسمی که نیروهای خارجی به آن وارد می شود در حالت تعادل باشد، در هر یک از بخش های آن نیروهای مقاومت داخلی ایجاد می شود. با نیروی داخلی وارد بر ناحیه ابتدایی و نرمال به این ناحیه از طریق آن مقدار را نشان دهید

(3.1)

ولتاژ کامل نامیده می شود.

در حالت کلی، تنش کل در جهت با ناحیه نرمال به ابتدایی منطبق نیست، بنابراین کار با اجزای آن در امتداد محورهای مختصات راحت تر است -

اگر نرمال بیرونی با برخی از محورهای مختصات، برای مثال، با محور منطبق باشد ایکس، سپس مولفه های تنش شکل می گیرند، در حالی که جزء عمود بر مقطع می شود و نامیده می شود. ولتاژ معمولی، و اجزاء در صفحه مقطع قرار می گیرند و فراخوانی می شوند تنش های برشی.

برای تشخیص آسان تنش های معمولی و برشی، معمولاً از عناوین دیگری استفاده می شود: - تنش معمولی، - برشی.

بیایید از بدن تحت تأثیر نیروهای خارجی یک متوازی الاضلاع بی نهایت کوچک را جدا کنیم که وجه های آن موازی با صفحات مختصات هستند و لبه های آن دارای طول هستند. در هر وجه از چنین متوازی الاضلاع ابتدایی، سه جزء تنش وجود دارد که با محورهای مختصات موازی هستند. در مجموع، ما 18 مولفه استرس را در شش صورت دریافت می کنیم.

تنش‌های نرمال به صورت نشان داده می‌شوند، جایی که این شاخص مقدار نرمال را به وجه مربوطه نشان می‌دهد (یعنی می‌تواند مقادیر را بگیرد). تنش های برشی به شکل ; در اینجا، شاخص اول مربوط به نرمال محلی است که تنش برشی داده شده روی آن اعمال می شود، و دومی محور موازی که این تنش به آن هدایت می شود را نشان می دهد (شکل 3.1).

شکل 3.1. تنش های معمولی و برشی

برای این ولتاژها موارد زیر پذیرفته شده است: قانون علامت. ولتاژ معمولیهنگامی که کشیده می شود، یا به طور معادل، زمانی که با جهت نرمال بیرونی به محلی که روی آن عمل می کند منطبق باشد، مثبت در نظر گرفته می شود. تنش برشیاگر در سایتی که نرمال آن با جهت محور مختصات موازی با آن منطبق است، به سمت محور مختصات مثبت مربوط به این ولتاژ هدایت شود، مثبت تلقی می شود.

مولفه های تنش تابعی از سه مختصات هستند. به عنوان مثال، تنش نرمال در یک نقطه با مختصات را می توان نشان داد

در نقطه ای که در فاصله بینهایت کوچکی از مورد مورد نظر قرار دارد، ولتاژ را تا بینهایت کوچک مرتبه اول می توان در سری تیلور گسترش داد:

برای پدهایی که با صفحه موازی هستند، فقط مختصات تغییر می کند ایکس، و افزایش می یابد بنابراین، در وجه متوازی الاضلاع، منطبق با صفحه، تنش معمولی خواهد بود، و در وجه موازی، با فاصله بی نهایت کوچک، - تنش‌های روی وجوه موازی باقی‌مانده موازی به روشی مشابه مرتبط هستند. بنابراین، از 18 جزء ولتاژ، تنها 9 جزء ناشناخته هستند.

در نظریه کشش، قانون ثابت می شود جفت شدن تنش های برشیکه بر اساس آن در امتداد دو ناحیه عمود بر هم، اجزای تنش های برشی عمود بر خط تقاطع این نواحی با یکدیگر برابر هستند:

می توان نشان داد که تنش های (3.3) نه تنها وضعیت تنش بدن را در یک نقطه مشخص مشخص می کنند، بلکه آن را به طور منحصر به فردی تعیین می کنند. ترکیب این ولتاژها یک ماتریس متقارن را تشکیل می دهد که به آن می گویند تانسور استرس:

(3.4)

از آنجایی که هر نقطه دارای تانسور تنش خاص خود است، بدن دارای تانسور استرس است رشتهتانسورهای استرس

هنگام ضرب یک تانسور در یک مقدار اسکالر، یک تانسور جدید به دست می آید که همه اجزای آن چند برابر بزرگتر از اجزای تانسور اصلی هستند.

ولتاژ یک بردار است و مانند هر بردار دیگری می توان آن را با مولفه های عادی (با توجه به محل) و مماسی نشان داد (شکل 2.3). جزء نرمال بردار تنش به عنوان مماس نشان داده می شود. مطالعات تجربی نشان داده است که تأثیر تنش های نرمال و برشی بر مقاومت یک ماده متفاوت است و بنابراین در آینده لازم است همیشه اجزای بردار تنش به طور جداگانه در نظر گرفته شود.

برنج. 2.3. تنش های معمولی و برشی در سایت

برنج. 2.4. تنش برشی در برش پیچ

هنگامی که پیچ کشیده می شود (شکل 2.2 را ببینید)، یک تنش معمولی در مقطع وارد می شود

هنگامی که پیچ بریده می شود (شکل 2.4)، نیرویی باید در بخش P ایجاد شود و نیرو را متعادل کند.

از شرایط تعادل بر می آید که

در واقع، آخرین رابطه یک تنش متوسط ​​معین بر مقطع را تعیین می کند، که گاهی اوقات برای تخمین تقریبی مقاومت استفاده می شود. روی انجیر 2.4 نمای پیچ را پس از قرار گرفتن در معرض نیروهای قابل توجه نشان می دهد. تخریب پیچ شروع شد و نیمی از آن نسبت به دیگری جابجا شد: برشی یا تغییر شکل برشی رخ داد.

نمونه هایی از تعیین تنش در عناصر سازه.

اجازه دهید ساده‌ترین مثال‌هایی را که در آن‌ها فرض توزیع یکنواخت تنش‌ها را می‌توان عملاً قابل قبول دانست، تحلیل کنیم. در چنین مواردی، مقادیر تنش با استفاده از روش مقاطع از معادلات استاتیک (معادلات تعادل) تعیین می شود.

پیچ خوردگی یک محور گرد با دیواره نازک.

یک محور گرد (لوله) با دیواره نازک، گشتاور را منتقل می کند (مثلاً از موتور هواپیما به پروانه). تعیین تنش ها در مقطع شفت الزامی است (شکل 2.5، a). بیایید صفحه مقطع P را عمود بر محور شفت رسم کنیم و تعادل قسمت برش را در نظر بگیریم (شکل 2.5، ب).

برنج. 2.5. پیچ خوردگی یک محور گرد با دیواره نازک

از شرط تقارن محوری، با در نظر گرفتن ضخامت کم دیوار، می توان فرض کرد که تنش ها در تمام نقاط مقطع یکسان است.

به بیان دقیق، این فرض فقط برای ضخامت دیوار بسیار کوچک معتبر است، اما در محاسبات عملی در صورتی استفاده می شود که ضخامت دیواره

میانگین شعاع مقطع کجاست

نیروهای خارجی اعمال شده به قسمت بریده شفت فقط به گشتاور کاهش می یابد و بنابراین نباید هیچ تنش معمولی در مقطع وجود داشته باشد. گشتاور با تنش های برشی متعادل می شود که ممان آن برابر است

از آخرین رابطه تنش مماسی را در بخش شفت پیدا می کنیم:

تنش ها در یک ظرف استوانه ای با دیواره نازک (لوله).

فشار در یک ظرف استوانه ای با دیواره نازک عمل می کند (شکل 2.6، a).

اجازه دهید مقطعی را با صفحه P عمود بر محور پوسته استوانه ای رسم کنیم و تعادل قسمت برش را در نظر بگیریم. فشار وارد بر درب ظرف باعث ایجاد نیرو می شود

این نیرو توسط نیروهای ناشی از مقطع پوسته متعادل می شود و شدت - نیروهای نشان داده شده - تنش - برابر است با

ضخامت پوسته 5 در مقایسه با شعاع متوسط ​​کوچک فرض می شود، تنش ها به طور یکنواخت در تمام نقاط مقطع توزیع می شوند (شکل 2.6، ب).

با این حال، مواد لوله نه تنها تحت تاثیر تنش در جهت طولی، بلکه تحت تاثیر تنش های محیطی (یا حلقه) در جهت عمود قرار می گیرد. برای شناسایی آنها، حلقه ای به طول I با دو قسمت انتخاب می کنیم (شکل 2.7) و سپس یک مقطع قطری که نیمی از حلقه را جدا می کند، ترسیم می کنیم.

روی انجیر 2.7، و تنش های روی سطوح مقطع نشان داده شده است. فشار بر روی سطح داخلی لوله با شعاع عمل می کند

برنج. 2.8. ترک در یک پوسته استوانه ای تحت تأثیر فشار داخلی مخرب