نمونه هایی از تعیین چگالی طیفی سیگنال ها. ویژگی های انرژی سیگنال ها چگالی طیفی انرژی تعیین چگالی طیفی توان

در نظریه کنترل، دو رویکرد وجود دارد که مکمل یکدیگر هستند:

1) موقت- مطالعه فرآیندها در زمان؛

2) فرکانس- مطالعه خواص فرکانس سیگنال ها و سیستم ها (با استفاده از توابع انتقال و ویژگی های فرکانس).

وضعیت مشابهی هنگام در نظر گرفتن فرآیندهای تصادفی مشاهده می شود. مشخصه زمانی اصلی یک فرآیند ثابت تابع همبستگی است و خواص فرکانس توضیح داده شده است چگالی طیفی

چگالی طیفیتابعی است که توزیع را نشان می دهد قدرتسیگنال فرکانس چنین اطلاعاتی در مورد سیگنال های مفید، تداخل ها و اختلالات برای طراح سیستم های کنترل بسیار مهم است. سیستم باید به گونه ای طراحی شود که سیگنال ها را با فرکانس های "مفید" تقویت کند و فرکانس های "مضر" مشخصه تداخل و اختلال را سرکوب کند.

برای تغییر از توصیف زمانی قطعیفرآیندهای (غیر تصادفی) به فرکانس، از تبدیل فوریه و لاپلاس استفاده کنید. به طور مشابه، چگالی طیفی تصادفیفرآیند را می توان به عنوان تبدیل فوریه تابع همبستگی یافت:

در اینجا، واحد خیالی است و فرکانس زاویه ای بر حسب راد/ثانیه است (، جایی که فرکانس «معمول» بر حسب هرتز است). با استفاده از فرمول اویلر می توان توان را به صورت مجموع مولفه های واقعی (کسینوس) و خیالی (سینوس) نشان داد: . تابع در عدد فرد است، بنابراین انتگرال آن در حدود متقارن برابر با صفر است. برعکس، تابع زوج است، بنابراین هنگام ادغام، می توانید فاصله را از 0 تا دو برابر کنید:

چگالی طیفی تا حدودی شبیه به چگالی توزیع احتمال است، فقط چگالی توزیع توان سیگنال روی فرکانس ها را مشخص می کند. اگر یک فرآیند تصادفی یک ولتاژ بر حسب ولت باشد، تابع همبستگی آن بر حسب V2 و چگالی طیفی بر حسب V2/Hz اندازه گیری می شود.

چگالی طیفی یک فرآیند تصادفی با تابع همبستگی به صورت محاسبه می شود

فاصله ادغام به دو بخش تقسیم می شود. برای ما، و برای - . با ادغام به دست می آوریم

شکل سمت چپ تابع همبستگی و در سمت راست چگالی طیفی توان مربوطه را نشان می دهد:

خواصچگالی طیفی:

1) تابع غیر منفی و یکنواخت فرکانس زاویه ای است (نمودار بالای محور x قرار دارد و نسبت به محور عمودی متقارن است).

2) انتگرال در یک بازه فرکانس معین توانی را می دهد که با این فرکانس ها مرتبط است. از آنجایی که تابع یکنواخت است، نتیجه ادغام در باید دو برابر شود تا باند در نظر گرفته شود.

3) مساحت زیر منحنی را تعیین می کند مربع وسطفرآیند تصادفی (برای یک فرآیند متمرکز، برابر با واریانس است):

ضریب برای مطابقت با واحدهای اندازه گیری مورد نیاز است، زیرا فرکانس زاویه ای با هرتز اندازه گیری نمی شود، بلکه بر حسب راد / ثانیه اندازه گیری می شود. با توجه به اینکه تابع زوج است، فقط می توانیم آن را برای ادغام کنیم و نتیجه را دو برابر کنیم.

به این معنی که با یک فرآیند تصادفی مجموعه ای (گروهی) از توابع زمان، باید در نظر داشت که توابع دارای اشکال مختلف با ویژگی های طیفی متفاوت مطابقت دارند. میانگین چگالی طیفی پیچیده تعریف شده توسط (1.47) روی همه توابع منجر به طیف صفر از فرآیند می شود (برای M[x(تی)]=0 ) به دلیل تصادفی و مستقل بودن فازهای مولفه های طیفی در اجراهای مختلف.

با این حال، می توان مفهوم چگالی طیفی مجذور میانگین یک تابع تصادفی را معرفی کرد، زیرا مقدار مربع میانگین به نسبت فازهای هارمونیک های جمع شده بستگی ندارد. اگر تحت یک تابع تصادفی باشد x(t)که دلالت بر ولتاژ یا جریان الکتریکی دارد، سپس میانگین مربع این تابع را می توان به عنوان توان متوسط ​​تلف شده در یک مقاومت 1 اهم در نظر گرفت. این توان بسته به مکانیسم شکل‌گیری یک فرآیند تصادفی، بر فرکانس‌ها در یک باند خاص توزیع می‌شود.

چگالی طیفی توان متوسط، توان متوسط ​​در هر هرتز در یک فرکانس معین است ω . ابعاد تابع دبلیو(ω) ، که نسبت توان به پهنای باند است

چگالی طیفی یک فرآیند تصادفی را می توان در صورتی یافت که مکانیسم تشکیل یک فرآیند تصادفی شناخته شده باشد. با توجه به نویز مرتبط با ساختار اتمی ماده و الکتریسیته، این کار بعدا انجام خواهد شد. در اینجا به چند تعریف کلی اکتفا می کنیم.

انتخاب برخی از اجراها از مجموعه ایکسک(تی) و مدت زمان آن را به یک بازه محدود محدود می کند تی، می توانیم تبدیل فوریه معمولی را روی آن اعمال کنیم و چگالی طیفی را پیدا کنیم ایکس kT (ω). سپس انرژی بخش پیاده سازی مورد نظر را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

(1.152)

با تقسیم این انرژی به تی, توان متوسط ​​را بدست آورید k-thپیاده سازی در بخش تی

(1.153)

با افزایش تیانرژی EkTافزایش می یابد، اما نسبت به حد معینی تمایل دارد پس از عبور از حد، به دست می آوریم:

جی
de

نشان می دهد چگالی طیفی توان متوسطدر نظر گرفته شده k-thپیاده سازی.

به طور کلی، ارزش دبلیو ک (ω) باید در بسیاری از پیاده سازی ها به طور میانگین محاسبه شود. با محدود کردن خود در این مورد به در نظر گرفتن یک فرآیند ثابت و ارگودیک، می توانیم فرض کنیم که تابعی که با میانگین گیری بیش از یک تحقق یافت می شود. دبلیو ک (ω) کل فرآیند را مشخص می کند. با حذف شاخص k، عبارت نهایی را برای میانگین توان فرآیند تصادفی به دست می آوریم

برای یک فرآیند متوسط ​​صفر

(1.156)

از تعریف چگالی طیفی (1.155) مشخص است که دبلیو ایکس (ω) یک تابع زوج و غیر منفی است ω.

1.5.3 رابطه بین چگالی طیفی و تابع کوواریانس یک فرآیند تصادفی

از یک طرف، نرخ تغییر ایکس(تی) در زمان، عرض طیف را تعیین می کند. از طرف دیگر، نرخ تغییر x(t) سیر تابع کوواریانس را تعیین می کند. بدیهی است که بیندبلیو ایکس (ω) و K ایکس(τ) رابطه نزدیک وجود دارد.

قضیه وینر-خینچین بیان می کند که به ایکس (τ) و دبلیو ایکس (ω) توسط تبدیل های فوریه به هم مرتبط می شوند:

(1.157)

(1.158)

برای فرآیندهای تصادفی با میانگین صفر، عبارات مشابه این شکل را دارند:

از این عبارات یک ویژگی مشابه با ویژگی های تبدیل فوریه برای سیگنال های قطعی به دست می آید:هرچه طیف یک فرآیند تصادفی وسیع‌تر باشد، فاصله همبستگی کوچک‌تر است، و بر این اساس، هر چه فاصله همبستگی بزرگ‌تر باشد، طیف فرآیند باریک‌تر است (شکل 1.20 را ببینید).

شکل 1.20. طیف پهن باند و باند باریک یک فرآیند تصادفی. مرزهای نوار مرکزی: ±F 1

زمانی که طیف در تمام فرکانس ها یکنواخت باشد، نویز سفید بسیار مورد توجه است.

اگر عبارت 1.158 را جایگزین کنیم دبلیوایکس(ω) = دبلیو 0 = const، سپس دریافت می کنیم

که در آن δ(τ) تابع دلتا است.

برای نویز سفید با طیف بی نهایت و یکنواخت، تابع همبستگی برای همه مقادیر τ صفر است به جز τ = 0 ، که در آن آر ایکس (0) به بی نهایت تبدیل می شود چنین نویزهایی که دارای ساختار سوزنی با سنبله های تصادفی بی نهایت ظریف است، گاهی اوقات فرآیند همبسته دلتا نامیده می شود. پراکندگی نویز سفید بی نهایت زیاد است.

سوالاتی برای خودآزمایی

ویژگی های اصلی یک سیگنال تصادفی چیست؟

چگونه از نظر ریاضی تابع همبستگی و طیف انرژی یک سیگنال تصادفی به هم مرتبط هستند.

چه فرآیند تصادفی ایستا نامیده می شود.

به چه فرآیند تصادفی ارگودیک می گویند.

نحوه تعیین پاکت، فاز و فرکانس سیگنال باند باریک

به چه سیگنالی می گویند تحلیلی.

مهمترین مشخصه فرآیندهای تصادفی ثابت، چگالی طیفی توان است که توزیع توان نویز را در طیف فرکانس توصیف می کند. یک فرآیند تصادفی ثابت را در نظر بگیرید، که می‌تواند با دنباله‌ای تصادفی از پالس‌های ولتاژ یا جریان که یکی پس از دیگری در فواصل زمانی تصادفی دنبال می‌شوند، نشان داده شود. فرآیندی با توالی تصادفی پالس ها غیر تناوبی است. با این وجود، می توان در مورد طیف چنین فرآیندی صحبت کرد، در این مورد با درک طیف توزیع توان روی فرکانس ها.

برای توصیف نویز، مفهوم چگالی طیفی توان (PSD) نویز معرفی شده است که در حالت کلی چگالی طیفی (SP) نویز نیز نامیده می شود که با رابطه تعیین می شود:

کجا  پ(f) - توان نویز متوسط ​​زمان در باند فرکانس  fدر فرکانس اندازه گیری f.

همانطور که از رابطه (2.10) بر می آید، SP نویز دارای ابعاد W/Hz است. به طور کلی SP تابعی از فرکانس است. وابستگی نویز SP به فرکانس نامیده می شود طیف انرژی، که حاوی اطلاعاتی در مورد ویژگی های دینامیکی سیستم است.

اگر یک فرآیند تصادفی ارگودیک باشد، می توان طیف انرژی چنین فرآیندی را تنها با اجرای آن، که در عمل به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد، پیدا کرد.

هنگام در نظر گرفتن ویژگی های طیفی یک فرآیند تصادفی ثابت، اغلب مشخص می شود که استفاده از مفهوم عرض طیف نویز ضروری است. ناحیه زیر منحنی طیف انرژی یک فرآیند تصادفی، به SP نویز در فرکانس مشخصی اشاره دارد. f 0، تماس گرفت پهنای طیف موثر، که با فرمول تعیین می شود:

(2.11)

این مقدار را می توان به عنوان عرض طیف انرژی یکنواخت یک فرآیند تصادفی در باند تفسیر کرد
، معادل توان متوسط ​​فرآیند مورد نظر.

قدرت نویز پ، موجود در باند فرکانسی f 1 …f 2 برابر است با

(2.12)

اگر SP نویز در باند فرکانس f 1 ...f 2 ثابت و مساوی است اس 0، سپس برای توان نویز در این باند فرکانسی داریم:
کجا f=f 2 -f 1 - باند فرکانسی که از مدار یا دستگاه اندازه گیری عبور می کند.

یک مورد مهم از یک فرآیند تصادفی ثابت، نویز سفید است، که برای آن چگالی طیفی به فرکانس در یک محدوده فرکانس وسیع (از لحاظ نظری، در یک محدوده فرکانس نامحدود) بستگی ندارد. طیف انرژی نویز سفید در محدوده فرکانس -∞< f < +∞ توسط:

= 2اس 0 = const، (2.13)

مدل نویز سفید یک فرآیند تصادفی را بدون حافظه (بدون اثر افترافکت) توصیف می کند. نویز سفید در سیستم هایی با تعداد زیادی عناصر ساده همگن رخ می دهد و با توزیع دامنه نوسان طبق قانون عادی مشخص می شود. ویژگی‌های نویز سفید با آمار رویدادهای منفرد مستقل (به عنوان مثال، حرکت حرارتی حامل‌های بار در یک رسانا یا نیمه‌رسانا) تعیین می‌شود. با این حال، نویز سفید واقعی با پهنای باند نامحدود وجود ندارد زیرا دارای قدرت نامحدود است.

روی انجیر 2.3. یک اسیلوگرام معمولی از نویز سفید (وابستگی مقادیر ولتاژ لحظه ای به زمان) (شکل 2.3a) و تابع توزیع احتمال مقادیر ولتاژ لحظه ای را نشان می دهد. ه، که یک توزیع نرمال است (شکل 2.3b). ناحیه سایه دار زیر منحنی با احتمال وقوع مقادیر ولتاژ لحظه ای مطابقت دارد. ه، بیش از مقدار ه 1 .

برنج. 2.3. شکل موج معمولی نویز سفید (a) و تابع توزیع چگالی احتمال مقادیر لحظه ای دامنه ولتاژ نویز (b).

در عمل، هنگام ارزیابی بزرگی نویز هر عنصر یا p / n دستگاه، ولتاژ نویز ریشه میانگین مربع معمولاً اندازه گیری می شود. در واحدهای V 2 یا جریان rms در واحدهای A 2. در این مورد، نویز SP بر حسب واحدهای V 2 /Hz یا A 2 /Hz و چگالی طیفی نوسانات ولتاژ بیان می شود. اس تو (f) یا فعلی اس من (f) با فرمول های زیر محاسبه می شوند:

(2.14)

جایی که
و ولتاژ و جریان نویز میانگین زمانی در باند فرکانس  هستند fبه ترتیب. خط روی به معنای میانگین زمان است.

در مسائل عملی، هنگام در نظر گرفتن نوسانات مقادیر مختلف فیزیکی، مفهوم چگالی طیفی تعمیم یافته نوسانات معرفی می شود. در این مورد، SD از نوسانات، به عنوان مثال، برای مقاومت آربیان شده در واحد اهم 2 / هرتز. نوسانات القای مغناطیسی با واحد Tl 2 /Hz و نوسانات فرکانس خود نوسانگر - در واحدهای هرتز 2 / هرتز = هرتز اندازه گیری می شود.

هنگام مقایسه سطوح نویز در شبکه های خطی دو پورت از همان نوع، استفاده از چگالی طیفی نویز نسبی که به صورت تعریف می شود راحت است.

=
, (2.15)

جایی که تو- افت ولتاژ DC در شبکه دو ترمینال خطی.

همانطور که از بیان (2.15)، چگالی طیفی نویز نسبی مشاهده می شود اس(f) در واحد هرتز -1 بیان می شود.

چگالی طیفی توان متقاطع (طیف توان متقاطع)دو تحقق و فرآیندهای تصادفی ارگودی ثابت و به عنوان تبدیل فوریه مستقیم بر تابع کوواریانس متقابل آنها تعریف می شود.

یا با توجه به رابطه بین فرکانس های دایره ای و چرخه ای،

تبدیل فوریه معکوس تابع کوواریانس متقابل و چگالی طیفی توان را به هم مرتبط می کند:

مشابه (1.32)، (1.33) را معرفی می کنیم چگالی طیفی توان (طیف توان) فرآیند تصادفی

تابع دارای ویژگی برابری است:

رابطه زیر برای چگالی طیفی متقابل معتبر است:

تابع کمپلکس مزدوج به کجاست.

فرمول های فوق برای چگالی طیفی برای هر دو فرکانس مثبت و منفی تعریف شده و نامیده می شوند چگالی طیفی دو طرفه . آنها در مطالعه تحلیلی سیستم ها و سیگنال ها راحت هستند. در عمل از چگالی های طیفی استفاده می کنند که فقط برای فرکانس های غیرمنفی تعریف می شوند و نامیده می شوند. یک جانبه (شکل 1.14):

شکل 1.14 - یک طرفه و دو طرفه

چگالی طیفی

اجازه دهید عبارتی را استخراج کنیم که چگالی طیفی یک طرفه SP ثابت را با تابع کوواریانس آن مرتبط می کند:

ما ویژگی برابری را برای تابع کوواریانس SP ثابت و تابع کسینوس، خاصیت فرد را برای تابع سینوسی، و تقارن محدودیت‌های ادغام را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، انتگرال دوم در عبارت بالا ناپدید می شود، و در انتگرال اول می توان حدود انتگرال را نصف کرد و ضریب را دو برابر کرد:

بدیهی است که چگالی طیفی توان یک فرآیند تصادفی یک تابع واقعی است.

به طور مشابه، رابطه معکوس را می توان به دست آورد:

از عبارت (1.42) در , نتیجه می شود که

این بدان معنی است که مساحت کل زیر نمودار چگالی طیفی یک طرفه برابر است با مجذور میانگین فرآیند تصادفی. به عبارت دیگر، چگالی طیفی یک طرفه به عنوان توزیع مربع میانگین فرآیند بر فرکانس ها تفسیر می شود.

مساحت زیر نمودار چگالی یک طرفه، محصور بین دو مقدار دلخواه فرکانس و برابر است با میانگین مربع فرآیند در این باند فرکانسی طیف (شکل 1.15):

شکل 1.15 - خاصیت چگالی طیفی

چگالی طیفی توان متقابل یک کمیت پیچیده است، بنابراین می توان آن را به صورت نمایی بر حسب مدول و زاویه فاز :

ماژول کجاست

زاویه فاز است.

، به ترتیب قسمت واقعی و خیالی تابع هستند.

مدول چگالی طیفی متقابل در نابرابری مهم گنجانده شده است

این نابرابری به ما اجازه می دهد تا تعیین کنیم تابع انسجام (مربع انسجام)، که شبیه مربع تابع همبستگی نرمال شده است:

راه دوم برای معرفی چگالی طیفی تبدیل فوریه مستقیم فرآیندهای تصادفی است.

اجازه دهید و دو فرآیند تصادفی ارگودی ثابت که برای آن تبدیل فوریه محدود پیاده سازی طول به صورت تعریف شده است

چگالی طیفی متقابل دو طرفه این فرآیندهای تصادفی با استفاده از محصول از طریق رابطه معرفی شده است.

که در آن عملگر انتظار به معنای عملیات میانگین گیری بیش از شاخص است.

محاسبه چگالی طیفی دو طرفه یک فرآیند تصادفی با توجه به رابطه انجام می شود

چگالی طیفی یک طرفه به طور مشابه معرفی می شود:

توابع تعریف شده توسط فرمول های (1.49)، (1.50) با توابع مربوطه تعریف شده توسط روابط (1.32)، (1.33) به عنوان تبدیل فوریه بر روی توابع کوواریانس یکسان هستند. این بیانیه نامیده می شود قضایای وینر-خینچین.

کنترل سوالات

1. یک طبقه بندی از فرآیندهای قطعی ارائه دهید.

2. تفاوت بین فرآیندهای چند هارمونیک و تقریباً دوره ای چیست؟

3. تعریف فرآیند تصادفی ثابت را فرموله کنید.

4. چه روشی برای میانگین‌گیری ویژگی‌های یک فرآیند تصادفی ارگودیک ترجیح داده می‌شود - میانگین‌گیری بیش از مجموعه‌ای از توابع نمونه یا میانگین‌گیری در طول زمان مشاهده یک تحقق؟

5. تعریف چگالی توزیع احتمال یک فرآیند تصادفی را فرموله کنید.

6. عبارتی را بنویسید که توابع همبستگی و کوواریانس یک فرآیند تصادفی ثابت را به هم متصل می کند.

7. چه زمانی دو فرآیند تصادفی غیر همبسته در نظر گرفته می شوند؟

8. روش هایی را برای محاسبه میانگین مربعات یک فرآیند تصادفی ثابت نشان دهید.

9. چگالی طیفی و توابع کوواریانس یک فرآیند تصادفی با چه تبدیلی مرتبط هستند؟

10. مقادیر تابع انسجام دو فرآیند تصادفی تا چه اندازه تغییر می کند؟

ادبیات

1. سرجینکو، A.B. پردازش سیگنال دیجیتال / A.B. سرجینکو - م: پیتر، 2002. - 604 ص.

2. سادوفسکی، جی.ا. مبانی نظری تجهیزات اندازه گیری اطلاعات / G.A. سادوفسکی. - م.: دبیرستان، 2008. - 480 ص.

3. Bendat، D. کاربرد همبستگی و تجزیه و تحلیل طیفی / D. Bendat، A. Pirsol. – م.: میر، 1983. – 312 ص.

4. Bendat، D. اندازه گیری و تجزیه و تحلیل فرآیندهای تصادفی / D. Bendat، A. Pirsol. – م.: میر، 1974. – 464 ص.

اجازه دهید سیگنال س(تی) به عنوان یک تابع غیر تناوبی داده می شود و فقط در بازه ( تی 1 ,تی 2) (مثال - تک پالس). بیایید یک دوره زمانی دلخواه را انتخاب کنیم تی، که شامل بازه ( تی 1 ,تی 2) (شکل 1 را ببینید).

اجازه دهید سیگنال دوره ای به دست آمده از را نشان دهیم س(تی)، مانند ( تی). سپس می توانیم سری فوریه را برای آن بنویسیم

برای رسیدن به تابع س(تی) در عبارت ( تی) بگذارید دوره به بی نهایت برود. در این مورد، تعداد اجزای هارمونیک با فرکانس w=n 2پ/تیبی نهایت بزرگ خواهد بود، فاصله بین آنها به صفر میل خواهد کرد (به یک مقدار بی نهایت کوچک:

دامنه مولفه ها نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. بنابراین، دیگر نمی توان در مورد طیف چنین سیگنالی صحبت کرد، زیرا طیف پیوسته می شود.

انتگرال داخلی تابعی از فرکانس است. به آن چگالی طیفی سیگنال یا پاسخ فرکانسی سیگنال می گویند و به آن نشان داده می شود.

برای عمومیت، حدود انتگرال را می توان بی نهایت تنظیم کرد، زیرا در جایی که s(t) برابر با صفر و انتگرال برابر با صفر است، همه چیز یکسان است.

بیان چگالی طیفی تبدیل فوریه مستقیم نامیده می شود. تبدیل فوریه معکوس تابع زمانی یک سیگنال را از چگالی طیفی آن تعیین می کند

تبدیل فوریه مستقیم (*) و معکوس (**) در مجموع به عنوان یک جفت تبدیل فوریه نامیده می شود. مدول چگالی طیفی

مشخصه دامنه فرکانس (AFC) سیگنال و آرگومان آن را تعیین می کند مشخصه فرکانس فاز (PFC) سیگنال نامیده می شود. پاسخ فرکانسی سیگنال یک تابع زوج است و پاسخ فاز فرد است.

معنی ماژول اس(w) به عنوان دامنه یک سیگنال (جریان یا ولتاژ) در هر 1 هرتز در یک باند فرکانسی بی نهایت باریک که شامل فرکانس مورد نظر است تعریف می شود. w. ابعاد آن [سیگنال/فرکانس] است.

طیف انرژی سیگنالاگر تابع s(t) دارای چگالی توان فوریه سیگنال باشد ( چگالی طیفی انرژی سیگنال) با عبارت تعیین می شود:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

طیف توان W() یک تابع زوج واقعی غیر منفی است که معمولاً به آن طیف انرژی می گویند. طیف توان، به عنوان مجذور مدول چگالی طیفی سیگنال، حاوی اطلاعات فاز در مورد اجزای فرکانس آن نیست، و بنابراین، بازگرداندن سیگنال از طیف توان غیرممکن است. این همچنین به این معنی است که سیگنال هایی با ویژگی های فاز متفاوت می توانند طیف های توان یکسانی داشته باشند. به ویژه، تغییر سیگنال بر طیف توان آن تأثیر نمی گذارد. دومی امکان به دست آوردن بیانی برای طیف انرژی را مستقیماً از عبارات (5.2.7) فراهم می کند. در حد، برای سیگنال‌های یکسان u(t) و v(t) با شیفت t 0، قسمت خیالی طیف Wuv () به مقادیر صفر و قسمت واقعی به مقادیر مدول گرایش دارد. طیف با انطباق زمانی کامل سیگنال ها، داریم:

آن ها انرژی سیگنال برابر است با انتگرال ماژول مربع طیف فرکانس آن - مجموع انرژی اجزای فرکانس آن، و همیشه یک مقدار واقعی است.

برای یک سیگنال دلخواه s(t)، برابری

معمولاً برابری پارسوال نامیده می شود (در ریاضیات - قضیه پلانچرل، در فیزیک - فرمول ریلی). برابری آشکار است، زیرا نمایش مختصات و فرکانس اساساً فقط نمایش های ریاضی متفاوتی از یک سیگنال هستند. به طور مشابه برای انرژی تعامل دو سیگنال:

از برابری پارسوال، تغییر ناپذیری حاصلضرب اسکالر سیگنال ها و هنجار با توجه به تبدیل فوریه به دست می آید:

در تعدادی از مشکلات صرفاً عملی ضبط و ارسال سیگنال، طیف انرژی سیگنال از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. سیگنال های دوره ای به شکل سری فوریه به ناحیه طیفی ترجمه می شوند. یک سیگنال تناوبی با نقطه T به شکل سری فوریه به شکل مختلط می نویسیم:

بازه 0-T شامل یک عدد صحیح از دوره های تمام انتگرال های توان است، و برابر با صفر است، به استثنای توان k = -m، که انتگرال آن T است. بر این اساس، توان متوسط ​​یک سیگنال دوره ای برابر است با مجموع مجذورات ماژول های ضرایب سری فوریه آن:

طیف انرژی سیگنال توزیع انرژی سیگنال های اصلی است که سیگنال غیر هارمونیک را در محور فرکانس تشکیل می دهند. از نظر ریاضی، طیف انرژی سیگنال برابر است با مجذور مدول تابع طیفی:

بر این اساس، طیف دامنه فرکانس مجموعه دامنه های اجزای سیگنال های پایه را در محور فرکانس نشان می دهد و طیف فاز فرکانس مجموعه فازها را نشان می دهد.

مدول تابع طیفی اغلب نامیده می شود طیف دامنه، و استدلال آن است طیف فاز.

علاوه بر این، یک تبدیل فوریه معکوس وجود دارد که به شما امکان می دهد سیگنال اصلی را با دانستن عملکرد طیفی آن بازیابی کنید:

به عنوان مثال، یک پالس مستطیل شکل بگیرید:

نمونه دیگری از طیف:

فرکانس نایکیست، قضیه کوتلنیکوف .

فرکانس نایکیست - در پردازش سیگنال دیجیتال، فرکانس برابر با نصف فرکانس نمونه برداری. به نام هری نایکیست. از قضیه کوتلنیکوف چنین برمی‌آید که هنگام نمونه‌برداری از سیگنال آنالوگ، تنها در صورتی که طیف (چگالی طیفی) (بالاترین فرکانس سیگنال مفید) سیگنال برابر یا کمتر از فرکانس Nyquist باشد، اطلاعاتی از دست نخواهد رفت. در غیر این صورت، هنگام بازیابی سیگنال آنالوگ، یک همپوشانی از "دم" طیفی (جایگزینی فرکانس، پوشش فرکانس) وجود خواهد داشت و شکل سیگنال بازیابی شده تحریف می شود. اگر طیف سیگنال هیچ مولفه ای بالاتر از فرکانس Nyquist نداشته باشد، می توان آن را (از لحاظ نظری) نمونه برداری کرد و سپس بدون اعوجاج بازسازی کرد. در واقع، "دیجیتال شدن" یک سیگنال (تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال) با کمیت سازی نمونه ها همراه است - هر نمونه به شکل یک کد دیجیتال با عمق بیت محدود ثبت می شود که در نتیجه آن خطاهای کوانتیزاسیون (گرد) به نمونه ها اضافه می شود، تحت شرایط خاصی که به عنوان "نویز کوانتیزاسیون" در نظر گرفته می شود.

سیگنال های واقعی با مدت زمان محدود همیشه طیف بی نهایت گسترده ای دارند که با افزایش فرکانس کم و بیش سریع کاهش می یابد. بنابراین نمونه برداری از سیگنال ها همیشه منجر به از دست رفتن اطلاعات (تحریف شکل موج در هنگام نمونه برداری-بازیابی) می شود، مهم نیست که فرکانس نمونه برداری چقدر بالا باشد. در نرخ نمونه انتخاب شده، اعوجاج را می توان با سرکوب (پیش نمونه برداری) مولفه های طیفی سیگنال آنالوگ بالاتر از فرکانس Nyquist کاهش داد، که برای جلوگیری از همخوانی نیاز به یک فیلتر مرتبه بسیار بالا دارد. اجرای عملی چنین فیلتری بسیار پیچیده است، زیرا ویژگی های دامنه فرکانس فیلترها مستطیلی نیست، بلکه صاف است و یک باند فرکانس انتقالی مشخصی بین باند عبور و باند سرکوب تشکیل می شود. بنابراین نرخ نمونه برداری با حاشیه انتخاب می شود مثلا در سی دی های صوتی از نرخ نمونه برداری 44100 هرتز استفاده می شود در حالی که بیشترین فرکانس در طیف سیگنال های صوتی 20000 هرتز در نظر گرفته می شود. حاشیه فرکانس Nyquist 44100 / 2 - 20000 = 2050 هرتز از جایگزینی فرکانس در هنگام استفاده از فیلتر مرتبه پایین اجرا شده جلوگیری می کند.

قضیه کوتلنیکوف

برای بازیابی سیگنال پیوسته اصلی از یک نمونه با اعوجاج (خطا) کوچک، لازم است مرحله نمونه برداری منطقی انتخاب شود. بنابراین، هنگام تبدیل یک سیگنال آنالوگ به یک سیگنال گسسته، سوالی در مورد اندازه مرحله نمونه برداری الزاما مطرح می شود.به طور شهودی، درک ایده زیر دشوار نیست. اگر سیگنال آنالوگ دارای یک طیف فرکانس پایین باشد که توسط مقداری Fe فرکانس بالایی محدود شده است (یعنی تابع u(t) شکل یک منحنی کاملاً متغیر و بدون تغییرات شدید در دامنه دارد)، در این صورت بعید است که این تابع به طور قابل توجهی تغییر کند. یک بازه زمانی نمونه برداری کوچک، دامنه. کاملاً بدیهی است که دقت بازیابی سیگنال آنالوگ از دنباله‌ای از نمونه‌های آن به مقدار فاصله نمونه‌برداری بستگی دارد. نکته ها. با این حال، با کاهش فاصله نمونه برداری، پیچیدگی و حجم تجهیزات پردازش به طور قابل توجهی افزایش می یابد. با فاصله نمونه برداری به اندازه کافی بزرگ، احتمال اعوجاج یا از دست دادن اطلاعات با بازیابی سیگنال آنالوگ افزایش می یابد. مقدار بهینه فاصله گسسته توسط قضیه کوتلنیکوف تعیین می شود (اسامی دیگر قضیه نمونه گیری، قضیه K. شانون، قضیه X. نایکیست: قضیه برای اولین بار در ریاضیات توسط O. Cauchy کشف شد، و سپس دوباره توسط O. Cauchy توصیف شد. D. Carson و R. Hartley) که توسط او در سال 1933 اثبات شد. قضیه V. A. Kotelnikov از نظر نظری و عملی اهمیت زیادی دارد: این امکان را فراهم می کند که به درستی از سیگنال آنالوگ نمونه برداری شود و راه بهینه برای بازیابی آن در انتهای دریافت از سیگنال آنالوگ را تعیین می کند. مقادیر مرجع

طبق یکی از معروف ترین و ساده ترین تفاسیر قضیه کوتلنیکوف، یک سیگنال دلخواه u(t) که طیف آن با فرکانس مشخصی Fe محدود شده است، می تواند به طور کامل از دنباله مقادیر مرجع آن به شرح زیر بازیابی شود. یک فاصله زمانی

فاصله نمونه برداری و فرکانس Fe(1) اغلب در مهندسی رادیو به ترتیب به عنوان بازه و فرکانس Nyquist نامیده می شود. از نظر تحلیلی، قضیه کوتلنیکف توسط سری نمایش داده می شود

که در آن k عدد نمونه است. - مقدار سیگنال در نقاط مرجع - فرکانس بالای طیف سیگنال.

نمایش فرکانس سیگنال های گسسته .

بیشتر سیگنال ها را می توان به صورت سری فوریه نشان داد: