سیستم های اعداد انتقال از یک سیستم به سیستم دیگر اعداد باینری، ارقام و سیستم اعداد باینری. تبدیل یک عدد به باینری از اعشار

عدد را با نماد دودویی و توان های دو را از راست به چپ بنویسید.برای مثال می خواهیم عدد باینری 10011011 2 را به اعشار تبدیل کنیم. بیایید ابتدا آن را بنویسیم. سپس توان های دو را از راست به چپ می نویسیم. بیایید با 2 0 شروع کنیم که برابر با "1" است. برای هر عدد بعدی یک درجه افزایش می دهیم. زمانی متوقف می شویم که تعداد عناصر موجود در لیست با تعداد ارقام موجود در عدد باینری برابر باشد. شماره مثال ما، 10011011، دارای هشت رقم است، بنابراین فهرستی از هشت مورد به این صورت خواهد بود: 128، 64، 32، 16، 8، 4، 2، 1

ارقام عدد دودویی را با توانهای دو بنویسید.حالا فقط 10011011 را زیر 128، 64، 32، 16، 8، 4، 2، و 1 بنویسید تا هر رقم باینری معادل توان دو باشد. سمت راست ترین "1" یک عدد باینری باید با سمت راست ترین "1" از توان های دو مطابقت داشته باشد و غیره. اگر راحت تر هستید، می توانید یک عدد باینری را روی توان های دو بنویسید. مهمترین چیز این است که آنها با یکدیگر مطابقت داشته باشند.

ارقام را در یک عدد باینری با توان های مربوطه دو به هم وصل کنید.خطوطی (از راست به چپ) بکشید که هر رقم متوالی از عدد باینری را به توان دو بالای آن متصل می کند. رسم خطوط را با اتصال اولین رقم عدد باینری به توان اول دو بالای آن شروع کنید. سپس از رقم دوم عدد باینری به توان دوم دو خطی رسم کنید. به اتصال هر رقم به توان مربوطه دو ادامه دهید. این به شما کمک می کند رابطه بین دو مجموعه اعداد مختلف را به صورت بصری ببینید.

مقدار نهایی هر توان دو را بنویسید.هر رقم از عدد باینری را مرور کنید. اگر این عدد 1 است، توان مناسب دو را زیر عدد بنویسید. اگر این عدد 0 است، زیر عدد 0 بنویسید.

• از آنجایی که "1" با "1" مطابقت دارد، "1" باقی می ماند. از آنجایی که "2" با "1" مطابقت دارد، "2" باقی می ماند. از آنجایی که "4" با "0" مطابقت دارد، به "0" تبدیل می شود. از آنجایی که «8» با «1» مطابقت می‌کند، «8» می‌شود، و از زمانی که «16» با «1» مطابقت می‌کند، می‌شود «16». "32" با "0" منطبق می شود و "0" می شود، "64" با "0" مطابقت دارد و بنابراین "0" می شود، در حالی که "128" با "1" مطابقت می کند و 128 می شود.

برای اولین بار، سیستم اعداد موقعیتی در بابل باستان بوجود آمد. در هند، این سیستم به شکل کار می کند

اعشاری موقعیتی با استفاده از صفر، هندی ها این سیستم اعداد را دارند

وام گرفته شده توسط ملت عرب، آنها نیز به نوبه خود توسط اروپایی ها گرفته شدند. در اروپا این سیستم تبدیل شده است

عربی صدا کن

سیستم موقعیتی - مقدار همه ارقام به موقعیت (رقم) این رقم در عدد بستگی دارد.

به عنوان مثال، سیستم شماره 10 استاندارد یک سیستم موقعیتی است. فرض کنید عدد 453 باشد.

عدد 4 مخفف صدها است و مربوط به عدد 400 است، 5 - تعداد ده ها و مربوط به مقدار 50 است.

و 3 - واحد و مقدار 3. به راحتی می توان دریافت که با افزایش دبی مقدار آن افزایش می یابد.

بنابراین عدد داده شده را به صورت جمع 400+50+3=453 می نویسیم.

سیستم اعداد باینری

فقط 2 رقم وجود دارد - 0 و 1. اساس سیستم دودویی- شماره 2.

عددی که از لبه سمت راست قرار دارد تعداد واحدها را نشان می دهد ، عدد دوم -

در همه ارقام، فقط یک رقم امکان پذیر است - صفر یا یک.

با استفاده از سیستم اعداد باینری، می توان هر عدد طبیعی را با نمایش رمزگذاری کرد

عددی به شکل دنباله ای از صفر و یک است.

مثال: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

سیستم اعداد باینری، مانند سیستم اعداد اعشاری، اغلب در محاسبات استفاده می شود

تکنیک. کامپیوتر متن و اعداد را در حافظه خود به صورت کد باینری ذخیره می کند و به صورت برنامه نویسی تبدیل می کند

به تصویر روی صفحه نمایش.

جمع، تفریق و ضرب اعداد باینری.

جدول جمع در سیستم باینری:

جدول تفریق در سیستم دودویی:

نمونه ای از اضافه کردن "ستون" (14 10 + 5 10 = 19 10 یا 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

جدول ضرب در سیستم دودویی:

مثالی از ضرب در "ستون" (14 10 * 5 10 = 70 10 یا 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

تبدیل شماره در سیستم باینری

برای تبدیل از باینری به اعشاری از جدول توان زیر استفاده کنید

زمینه 2:

با شروع از عدد یک، هر عدد در 2 ضرب می شود. دوره بعد از 1 فراخوانی می شود نقطه باینری.

تبدیل اعداد باینری به اعشاری

بگذارید یک عدد باینری 110001 2 وجود داشته باشد. برای تبدیل به اعشار، آن را به صورت مجموع بنویسید

به شرح زیر رتبه بندی می کند:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

کمی متفاوت:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

همچنین خوب است که محاسبه را به صورت جدول ثبت کنید:

از راست به چپ حرکت می کنیم. در زیر تمام واحدهای باینری، معادل آن را در خط زیر می نویسیم.

تبدیل اعداد باینری کسری به اعشاری.

ورزش:عدد 1011010، 101 2 را به اعشار تبدیل کنید.

عدد داده شده را به این شکل می نویسیم:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

گزینه دیگری برای نوشتن:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

یا به صورت جدول:

تبدیل اعداد اعشاری به باینری

اجازه دهید، شما باید عدد 19 را به باینری تبدیل کنید. ما می توانیم این کار را به این صورت انجام دهیم:

19 /2 = 9 با باقی مانده 1

9 /2 = 4 با باقی مانده 1

4 /2 = 2 بدون هیچ ردی 0

2 /2 = 1 بدون هیچ ردی 0

1 /2 = 0 با باقی مانده 1

یعنی هر ضریب بر 2 تقسیم می شود و باقیمانده تا انتهای نماد باینری نوشته می شود. بخش

تا زمانی که ضریب صفر شود ادامه می یابد. خلاصه از راست به چپ نوشته شده است. آن ها پایین تر

عدد (1) سمت چپ ترین خواهد بود و به همین ترتیب. بنابراین، عدد 19 را در نماد دودویی به دست آوردیم: 10011.

تبدیل اعداد اعشاری کسری به باینری.

هنگامی که یک عدد صحیح در یک عدد مشخص وجود دارد، آنگاه به طور جداگانه از قسمت کسری تبدیل می شود. ترجمه

عدد کسری از اعشار به باینری به صورت زیر رخ می دهد:

• کسر در پایه سیستم اعداد باینری (2) ضرب می شود.

• در کار به دست آمده، کل قسمت مشخص شده است که به عنوان قسمت ارشد پذیرفته شده است.

رقم یک عدد در سیستم اعداد باینری؛

• اگر قسمت کسری محصول حاصل برابر با صفر یا اگر باشد، الگوریتم خاتمه می یابد

دقت مورد نیاز محاسبات به دست می آید. در غیر این صورت، محاسبات ادامه می یابد

بخش کسری از محصول

مثال: نیاز به تبدیل عدد اعشاری کسری 206.116 به عدد باینری کسری.

با ترجمه قسمت صحیح، 206 10 =11001110 2 را دریافت می کنیم. قسمت کسری 0.116 در پایه 2 ضرب می شود،

کل اجزای محصول را بعد از اعشار به ارقام قرار می دهیم:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

نتیجه: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر.

1. از سیستم اعداد اعشاری:

• ما عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم می کنیم.

• باقیمانده از تقسیم عدد صحیح را پیدا کنید.

• تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.

2. از سیستم اعداد باینری:

• برای تبدیل به اعشار، مجموع حاصلضرب های پایه 2 را بدست می آوریم

درجه تخلیه مناسب؛

بیایید یکی از مهمترین موضوعات در علوم کامپیوتر را تجزیه و تحلیل کنیم -. در برنامه درسی مدرسه ، به احتمال زیاد به دلیل کمبود ساعات اختصاص داده شده برای آن ، به طور "متواضع" آشکار می شود. دانش در مورد این موضوع، به ویژه در ترجمه سیستم های اعداد، پیش نیاز گذراندن موفقیت آمیز آزمون و پذیرش در دانشگاه ها در دانشکده های مربوطه می باشد. در زیر مفاهیمی مانند سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی، نمونه هایی از این سیستم های اعداد آورده شده است، قوانینی برای تبدیل اعداد اعشاری اعشاری صحیح، کسرهای اعشاری منظم و اعداد اعشاری مختلط به هر سیستم اعداد دیگری، تبدیل اعداد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، تبدیل سیستم های اعداد هشت و هگزادسیمال به سیستم اعداد باینری هستند. ارایه شده. امتحانات شامل تعداد زیادی مشکل در این موضوع است. توانایی حل آنها یکی از الزامات متقاضیان است. به زودی: برای هر موضوع از بخش، علاوه بر مطالب نظری دقیق، تقریباً تمام گزینه های ممکن ارائه خواهد شد. وظایفبرای مطالعه مستقل علاوه بر این، شما این فرصت را خواهید داشت که راه حل های آماده و دقیق برای این کارها را از یک سرویس میزبانی فایل به صورت رایگان دانلود کنید و راه های مختلفی را برای دریافت پاسخ مناسب به تصویر بکشید.

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی- سیستم های عددی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی ندارد.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی شامل، به عنوان مثال، رومی هستند، که در آن به جای اعداد، حروف لاتین وجود دارد.

در اینجا، حرف V صرف نظر از مکان آن، مخفف 5 است. با این حال، قابل ذکر است که اگرچه سیستم اعداد رومی یک نمونه کلاسیک از یک سیستم اعداد غیر موقعیتی است، اما کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا. عدد کوچکتر قبل از عدد بزرگتر از آن کم می شود:

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد موقعیتی- سیستم های اعدادی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی دارد.

به عنوان مثال، اگر در مورد سیستم اعداد اعشاری صحبت کنیم، در عدد 700 عدد 7 به معنای "هفت صد" است، اما همان رقم در عدد 71 به معنای "هفت ده" و در عدد 7020 - "هفت هزار" است. .

هر یک سیستم اعداد موقعیتیخود را دارد پایه. پایه یک عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی دو است. برابر است با تعداد ارقام استفاده شده در این سیستم اعداد.

مثلا:
• دودویی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2.
• کواترنر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 4.
• پنج برابر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 5.
• هشتی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 8.
• هگزادسیمال- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 16.

برای حل موفقیت آمیز مسائل در موضوع "سیستم های اعداد"، دانش آموز باید از روی اعداد باینری، اعشاری، هشت و هگزادسیمال تا 16 10 به طور قلب بداند:

دانستن اینکه چگونه اعداد در این سیستم های اعداد به دست می آیند مفید است. شما می توانید حدس بزنید که در هشت، هگزادسیمال، سه تایی و غیره سیستم های اعداد موقعیتیهمه چیز مشابه سیستم اعشاری که برای ما آشناست اتفاق می افتد:

یک عدد به عدد اضافه می شود و عدد جدیدی بدست می آید. اگر مکان واحدها با پایه سیستم اعداد برابر شود، تعداد ده ها را 1 افزایش می دهیم و به همین ترتیب.

این "انتقال یک" دقیقاً همان چیزی است که بیشتر دانش آموزان را می ترساند. در واقع، همه چیز بسیار ساده است. اگر رقم واحد برابر شود، انتقال رخ می دهد پایه سیستم اعدادتعداد ده‌ها را 1 افزایش می‌دهیم. بسیاری، با یادآوری سیستم اعشاری خوب قدیمی، فوراً در تخلیه و در این انتقال گیج می‌شوند، زیرا ده‌های اعشاری و مثلاً ده‌های باینری چیزهای متفاوتی هستند.

از این رو، دانش‌آموزان مدبر هنگام پر کردن، مثلاً جداول صدق، «روش‌های» خود را دارند (در کمال تعجب ... کار می‌کنند) که اولین ستون‌ها (مقادیر متغیرها) آن‌ها در واقع با اعداد باینری به ترتیب صعودی پر می‌شوند. .

به عنوان مثال، بیایید نگاهی به دریافت اعداد بیندازیم سیستم اکتال: به عدد اول (0) 1 اضافه می کنیم، 1 می گیریم. سپس 1 به 1 اضافه می کنیم، 2 می گیریم و غیره. تا 7. اگر یک را به 7 اضافه کنیم، عددی برابر با پایه سیستم اعداد، یعنی. 8. سپس باید رقم ده ها را یک عدد افزایش دهید (ده هشتی می گیریم - 10). بدیهی است که اعداد 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101 ...

قوانین تبدیل از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

1 اعداد اعشاری صحیح را به هر سیستم اعداد دیگری تبدیل کنید.

عدد باید بر تقسیم شود پایه اعداد جدید. اولین باقیمانده تقسیم، اولین رقم کم اهمیت عدد جدید است. اگر ضریب تقسیم کمتر یا مساوی با پایه جدید باشد، آن (ضریب) باید دوباره بر پایه جدید تقسیم شود. تقسیم را باید تا زمانی ادامه داد که ضریب کمتر از پایه جدید را بدست آوریم. این بالاترین رقم عدد جدید است (باید به یاد داشته باشید که مثلاً در سیستم هگزادسیمال حروف بعد از 9 دنبال می شوند، یعنی اگر در باقیمانده 11 گرفتید، باید آن را به صورت B بنویسید).

مثال ("تقسیم بر یک گوشه"): بیایید عدد 173 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.

بنابراین، 173 10 \u003d 255 8

2 تبدیل کسرهای اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری.

عدد باید در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود. رقمی که به قسمت صحیح وارد شده است، بالاترین رقم قسمت کسری عدد جدید است. برای به دست آوردن رقم بعدی، قسمت کسری حاصلضرب باید دوباره در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود تا زمانی که انتقال به قسمت صحیح رخ دهد. ضرب را ادامه می دهیم تا جزء کسری برابر با صفر شود یا به دقت مشخص شده در مسئله برسیم («... با دقت مثلاً دو رقم اعشار محاسبه کن»).

مثال: بیایید عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.

تبصره 1

اگر می خواهید عددی را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر تبدیل کنید، راحت تر است که ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری منتقل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

در فناوری رایانه با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی دارد. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام ترجمه یک عدد باینری به یک اعشاری، باید عدد باینری را به صورت چندجمله‌ای نشان داد، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 2 دلار نمایش داده می‌شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $1$ از درجه پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10) دلار

برای تبدیل یک عدد از هشتی به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

X_8 $ = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $2$ از درجه پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

تبدیل عدد $FFA2_(16)$ به سیستم اعداد اعشاری.

راه حل.با استفاده از جدول فوق از توان های پایه $3$ از $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به دودویی، باید به طور متوالی بر 2$ تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با $1$ باقی بماند. یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 4

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به اکتال، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد را در سیستم اعداد هشتگانه به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس ارائه دهید.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 5

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید آن را متوالی بر 16 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. یک عدد را به صورت هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس بیان کنید.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

برای تبدیل کسر مناسب از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد تبدیل شده را در پایه سیستمی که قرار است به آن تبدیل شود ضرب کنیم. کسری در سیستم جدید به عنوان بخش های کامل از محصولات ارائه می شود که از اول شروع می شود.

برای مثال: $0.3125_((10))$ در اکتال مانند $0.24_(((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری متناهی می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، صفرها را به بالاترین سه گانه اضافه کرد، سپس طبق جدول، هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. 4.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل. با استفاده از جدول 4، عدد را از باینری به هشتی ترجمه می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، تتراد ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر تتراد باید با رقم هشتی مربوطه جایگزین شود. جدول 4.

این عبارت که همه چیز جدید چیزی نیست جز یک قدیمی فراموش شده کاملاً صدق می کند. معلوم می شود که حتی در چین باستان قبلاً از چیزی شبیه "یک انگشت" ما استفاده می کردند ، اگرچه نه برای حساب، بلکه برای نوشتن متون کتاب تغییرات. نزدیکترین آنها به درک سیستم های اعداد مختلف اینکاها بودند: آنها از هر دو سیستم اعشاری و باینری استفاده می کردند، اما دومی فقط برای پیام های متنی و کدگذاری شده استفاده می کردند. می توان فرض کرد که در آن زمان، 4 هزار سال پیش، اینکاها می دانستند که چگونه ترجمه از سیستم دودویی به اعشاری انجام می شود.

نسخه مدرن تنها حدود 300 سال پیش توسط لایب نیتس ارائه شد و پس از یک قرن و نیم دیگر با کار خود در جبر منطق نام خود را در خاطره فرزندان خود به یادگار گذاشت. حساب دودویی، همراه با جبر منطق، پایه و اساس فناوری دیجیتال فعلی شده است. همه چیز از سال 1937 شروع شد، زمانی که روشی برای تحلیل نمادین مدارهای رله و سوئیچینگ پیشنهاد شد. این اثر کلود چنون به "مادر" کامپیوتر رله تبدیل شد که در اوایل سال 1937 جمع دودویی را انجام داد. و البته یکی از وظایف این "پدربزرگ" کامپیوترهای مدرن تبدیل از باینری به اعشاری بود.

فقط سه سال گذشت و مدل بعدی رله "رایانه" دستورات را با استفاده از خط تلفن و تله تایپ به ماشین حساب ارسال کرد - خوب، فقط اینترنت قدیمی در عمل.

سیستم های باینری، اعشاری، هگزادسیمال و به طور کلی هر سیستم N-ary چیست؟ بله، هیچ چیز پیچیده ای نیست. بیایید یک عدد سه رقمی را در سیستم اعشاری مورد علاقه خود در نظر بگیریم، با استفاده از 10 کاراکتر - از 0 تا 9، با در نظر گرفتن مکان آنها نشان داده شده است. بیایید تعیین کنیم که ارقام این عدد در موقعیت های 0، 1، 2 باشند (ترتیب از آخرین رقم به اولین رقم می رود). هر یک از موقعیت ها می تواند شامل هر یک از اعداد سیستم باشد، با این حال، ارزش این عدد نه تنها با سبک آن، بلکه با مکان آن نیز تعیین می شود. به عنوان مثال، برای عدد 365 (به ترتیب، موقعیت 0 عدد 5، موقعیت 1 عدد 6، و موقعیت 2 عدد 3 است) مقدار عدد در موقعیت صفر به سادگی 5 است، در موقعیت اول - 6 * 10، و در دوم - 3 * 10 * 10. در اینجا جالب است که با شروع از موقعیت اول، عدد شامل یک رقم قابل توجه (از 0 تا 9) و پایه سیستم به درجه ای برابر با شماره موقعیت است، یعنی. می توانیم بنویسیم که 345 = 3*10*10 + 6*10 +3 = 3*102 + 6*101 + 5*100.

مثالی دیگر:

260974 = 2*105 + 6*104 + 0*103 + 9*102 + 7*101 + 4*100.

همانطور که می بینید، هر مکان موقعیتی شامل یک عدد قابل توجه از مجموعه سیستم داده شده و یک ضریب از پایه سیستم به درجه ای برابر با موقعیت عدد داده شده است (ظرفیت عدد عبارت است از تعداد موقعیت ها، اما +1 بیشتر).

از نقطه نظر نمایش یک عدد، شکل دودویی آن در سادگی خود گیج کننده است - فقط 2 عدد در سیستم وجود دارد - 0 و 1. اما زیبایی ریاضیات در این است که حتی در یک شکل کوتاه، همانطور که به نظر می رسد، اعداد باینری به اندازه «رفقای بلندقد»شان کامل و برابر هستند. اما چگونه می توان آنها را مثلاً با یک عدد اعشاری مقایسه کرد؟ متناوبا، باید انجام دهید، و به آرامی، از باینری به اعشاری تبدیل کنید. این کار را نمی توان دشوار نامید، اما این کار پر زحمت نیاز به توجه دارد. بنابراین، بیایید شروع کنیم.

بر اساس آنچه در بالا در مورد ترتیب نمایش اعداد در هر سیستم گفته شد، و با در نظر گرفتن ساده ترین آنها - دودویی، هر دنباله ای از "یک و صفر" را در نظر می گیریم. بیایید این شماره را VO (VO به روسی) صدا کنیم و سعی کنیم بفهمیم که چیست - ترجمه از باینری به اعشاری. بگذارید VO=11001010010 باشد. در نگاه اول یک عدد مانند یک عدد است. اجازه بدید ببینم!

در خط اول، خود عدد را به صورت کشیده مرتب می کنیم و دومی را به صورت مجموع هر موقعیت به شکل فاکتورها می نویسیم - یک رقم قابل توجه (در اینجا انتخاب کوچک است - 0 یا 1) و عدد 2 در درجه ای برابر با عدد موقعیتی در سیستم اعشاری، اما ما از دودویی به اعشاری ترجمه می کنیم. حالا در خط دوم، فقط باید محاسبات را انجام دهید. برای وضوح، می توانید خط سوم را با محاسبات میانی نیز اضافه کنید.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1*210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20;

VO=1*1024 + 1*512+0*256+0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 +0*4 + 1*2 + 0*1.

ما "حساب" را در خط سوم محاسبه می کنیم و آنچه را که به دنبالش بودیم داریم: VO = 1618. خوب، چه چیزی در مورد آن عالی است؟ و اینکه این عدد از همه چیزهایی که مردم می دانند معروف ترین است: تناسبات اهرام مصر، مونالیزای معروف، نت های موسیقی و بدن انسان با آن مرتبط است، اما ... اما با کمی توضیح - دانستن که باید خیر زیادی وجود داشته باشد، اعلیحضرت این عدد را 1000 برابر ارزش واقعی به ما داده است - 1.618. احتمالا برای همه لذت بردن. و در طول مسیر، تبدیل از باینری به اعشاری به "گرفتن" قابل توجه ترین چیز از دریای بی پایان اعداد کمک کرد - به آن "نسبت طلایی" نیز می گویند.