رابطه بین تکانه و تابع انتقال. تابع انتقال ضربه مشخصات گذرا مدارهای الکتریکی

مشخصه های زمان و فرکانس مدار توسط فرمول های تبدیل فوریه به هم متصل می شوند. با توجه به پاسخ گذرا موجود در بند 2.1، پاسخ ضربه ای مدار محاسبه می شود (شکل 1).

نتیجه محاسبه با فرمول H(jш) به دست آمده در بخش 2.2 مطابقت دارد

نمونه گیری سیگنال ورودی و پاسخ ضربه ای

به عنوان حد بالایی طیف سیگنال ورودی در نظر گرفته شود سپس طبق قضیه کوتلنیکوف فرکانس نمونه برداری کیلوهرتز است. دوره نمونه برداری T=0.2ms کجاست

با توجه به نمودار نشان داده شده در شکل 2، ما مقادیر نمونه های گسسته سیگنال ورودی U 1 (n) را برای زمان های نمونه گیری t تعیین می کنیم.

مقادیر گسسته پاسخ ضربه با فرمول محاسبه می شود

که در آن T=0.0002 s; n=0، 1، 2،….، 20.

جدول 3. مقادیر گسسته تابع سیگنال ورودی و پاسخ ضربه

مقادیر گسسته سیگنال در خروجی مدار برای 8 نمونه اول با استفاده از فرمول پیچش گسسته محاسبه می شود.

جدول 4. سیگنال گسسته در خروجی مدار.

مقایسه نتایج محاسباتی با داده های جدول 1 نشان می دهد که تفاوت مقادیر U 2 (t) که با استفاده از انتگرال Duhamel محاسبه شده و با نمونه برداری از سیگنال و پاسخ ضربه ای، چندین دهم تفاوت دارد که قابل قبول است. انحراف برای پارامترهای اولیه داده شده

شکل 9. مقدار سیگنال گسسته در ورودی مدار.

شکل 10. مقدار سیگنال گسسته در خروجی مدار.

شکل 11. مقدار خوانش های گسسته پاسخ ضربه ای مدار H(n).

پاسخ ضربه (وزن) یا تابع ضربه زنجیر - این مشخصه تعمیم یافته آن است که تابع زمان است و از نظر عددی برابر با پاسخ مدار به یک تکانه تکانه در ورودی آن تحت شرایط اولیه صفر است (شکل 13.14). به عبارت دیگر، این پاسخ یک مدار بدون ذخیره اولیه انرژی به تابع دلتای دیران است
در ورودی او

تابع
را می توان با محاسبه انتقال تعیین کرد
یا انتقال
تابع مدار

محاسبه تابع
با استفاده از تابع انتقال مدار اجازه دهید زیر عمل ورودی
واکنش یک مدار الکتریکی خطی است
. سپس به دلیل خطی بودن مدار، با عمل ورودی برابر با مشتق
، واکنش زنجیره برابر با مشتق خواهد بود
.

همانطور که اشاره شد، چه زمانی
، واکنش زنجیره ای
، و اگر
، سپس واکنش زنجیره ای خواهد بود
، یعنی عملکرد ضربه ای

با توجه به ویژگی نمونه گیری
کار کردن
. بنابراین، تابع ضربه مدار

. (13.8)

اگر
، سپس تابع ضربه شکل می گیرد

. (13.9)

بنابراین، بعد پاسخ ضربه برابر است با بعد پاسخ گذرا تقسیم بر زمان.

محاسبه تابع
با استفاده از تابع انتقال مدار مطابق عبارت (13.6)، هنگام عمل بر روی ورودی تابع
، پاسخ تابع تابع انتقال خواهد بود
نوع:

.

از سوی دیگر، مشخص است که تصویر مشتق یک تابع با توجه به زمان
، در
، برابر با محصول است
.

جایی که
,

یا
, (13.10)

آن ها پاسخ ضربه
مدار برابر با تبدیل لاپلاس معکوس انتقال آن است
کارکرد.

مثال. اجازه دهید تابع ضربه مدار را پیدا کنیم که مدارهای معادل آن در شکل نشان داده شده است. 13.12، آ; 13.13.

راه حل

توابع انتقال و انتقال این مدار قبلاً بدست آمد:

سپس با توجه به عبارت (13.8)

جایی که
.

طرح پاسخ ضربه ای
مدار در شکل نشان داده شده است. 13.15.

نتیجه گیری

پاسخ ضربه
به همان دو دلیل به عنوان پاسخ گذرا معرفی شد
.

1. عمل تکانه
- تأثیر خارجی متناوب و در نتیجه نسبتاً سنگین برای هر سیستم یا مدار. بنابراین، دانستن واکنش سیستم یا زنجیره تحت چنین ضربه ای مهم است. پاسخ ضربه
.

2. با کمک برخی اصلاحات انتگرال دوهامل، دانستن
پاسخ سیستم یا مدار به هر گونه اغتشاش خارجی را محاسبه کنید (به بخش های فرعی بعدی 13.4، 13.5 مراجعه کنید).

4. انتگرال روکش (duhamel).

اجازه دهید یک شبکه دو ترمینالی غیرفعال دلخواه (شکل 13.16، آ) به منبعی متصل است که از لحظه به لحظه تغییر می کند
ولتاژ (شکل 13.16، ب).

باید جریان را پیدا کرد (یا ولتاژ) در هر شاخه از شبکه دو ترمینال پس از بسته شدن کلید.

در دو مرحله مشکل را حل خواهیم کرد. ابتدا مقدار مورد نظر را با روشن کردن شبکه دو ترمینال برای یک پرش ولتاژ تک ولتاژ که توسط تابع تک پله ای به دست می آید، پیدا می کنیم.
.

مشخص است که واکنش زنجیره به یک پرش منفرد است پاسخ مرحله ای (عملکرد)
.

به عنوان مثال، برای
- مدارهای تابع گذرا برای جریان
(به بند 2.1 مراجعه کنید)، برای
- تابع گذرا ولتاژ مدار
.

در مرحله دوم، تغییر مداوم ولتاژ
با یک تابع گام با پرش های مستطیلی ابتدایی جایگزین کنید
(شکل 13.16 را ببینید ب). سپس فرآیند تغییر ولتاژ را می توان به صورت روشن شدن در نشان داد
ولتاژ ثابت
، و سپس به عنوان شامل تنش های ثابت اولیه
، با فواصل زمانی نسبت به یکدیگر جابجا می شوند
و داشتن علامت مثبت برای افزایش و علامت منفی برای شاخه در حال سقوط منحنی ولتاژ داده شده.

جزء جریان مورد نظر در لحظه از ولتاژ مستقیم
برابر است با:

.

جزء جریان مورد نظر از یک پرش ولتاژ اولیه
در لحظه گنجانده شده است برابر است با:

.

در اینجا آرگومان تابع انتقال زمان است
، از جهش ولتاژ ابتدایی
برای مدتی شروع به کار می کند دیرتر از بسته شدن کلید، یا به عبارت دیگر، از فاصله زمانی بین لحظه آغاز عمل این پرش و لحظه زمان برابر است
.

افزایش برق اولیه

,

جایی که
عامل مقیاس است.

بنابراین، جزء مورد نظر جریان

نوسانات برق اولیه در بازه زمانی از روشن می شوند
تا لحظه ، که جریان مورد نظر برای آن تعیین می شود. بنابراین، جمع مولفه های جاری از تمام پرش ها، عبور از حد در
، و با در نظر گرفتن مولفه جریان از پرش ولتاژ اولیه
، ما گرفتیم:

آخرین فرمول برای تعیین جریان با تغییر مداوم در ولتاژ اعمال شده

(13.11)

تماس گرفت انتگرال همپوشانی (ابرجا) یا انتگرال دوهامل (نخستین شکل نوشتن این انتگرال).

به طور مشابه، هنگام اتصال مدار و منبع جریان، مشکل حل می شود. با توجه به این انتگرال، واکنش زنجیره، به طور کلی،
از برخی نقطه نظرات پس از شروع قرار گرفتن در معرض
با تمام آن قسمت از تأثیری که قبل از نقطه زمانی رخ داده است تعیین می شود .

با تغییر متغیرها و ادغام بر اساس قطعات، می توان اشکال دیگری از نوشتن انتگرال دوهامل، معادل عبارت (13.11) را به دست آورد:

انتخاب فرم برای نوشتن انتگرال Duhamel با راحتی محاسبه تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر
با یک تابع نمایی بیان می شود، فرمول (13.13) یا (13.14) راحت است، که به دلیل سادگی تمایز تابع نمایی است.

در
یا
استفاده از نمادی که در آن عبارت جلوی انتگرال ناپدید می شود، راحت است.

تاثیر خودسرانه
همانطور که در شکل نشان داده شده است، همچنین می تواند به عنوان مجموع پالس های متصل به ترتیب نشان داده شود. 13.17.

برای مدت زمان پالس بی نهایت کوچک
ما فرمول هایی را برای انتگرال دوهامل مشابه (13.13) و (13.14) بدست می آوریم.

همین فرمول ها را می توان از روابط (13.13) و (13.14) با جایگزینی a با تابع مشتق به دست آورد.
عملکرد ضربه ای
.

نتیجه.

بنابراین، بر اساس فرمول های انتگرال دوهامل (13.11) - (13.16) و ویژگی های زمانی مدار
و
توابع زمانی پاسخ های مدار را می توان تعیین کرد
در مورد تأثیرات خودسرانه
.

اجازه دهید یک سیستم ضربه دلخواه با یک نمودار بلوکی ارائه شود، که مجموعه ای از اتصالات استاندارد از ساده ترین سیستم های ضربه ای (اتصالات از نوع بازخورد، سریال و موازی) است. سپس، برای به دست آوردن تابع انتقال این سیستم، کافی است که بتوان تابع انتقال اتصالات استاندارد را از توابع انتقال سیستم‌های ضربه‌ای متصل پیدا کرد، زیرا دومی مشخص است (دقیقا یا تقریباً) (نگاه کنید به § 3.1).

اتصالات سیستم های صرفاً ضربه ای

فرمول‌های محاسبه توابع انتقال اتصالات استاندارد سیستم‌های صرفاً تکانشی با توجه به توابع انتقال z عناصر کاملاً تکانشی متصل با فرمول‌های مشابه از تئوری سیستم‌های پیوسته منطبق است. این تصادف به این دلیل رخ می دهد که ساختار فرمول (3.9) با ساختار یک فرمول مشابه از نظریه سیستم های پیوسته منطبق است؛ فرمول (3.9) عملکرد یک سیستم صرفاً تکانشی را دقیقاً توصیف می کند.

مثال. تابع انتقال z یک سیستم صرفاً ضربه ای را که توسط نمودار بلوکی ارائه شده است، بیابید (شکل 3.2).

با در نظر گرفتن (3.9) از بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل. 3.2، دریافت می کنیم:

آخرین عبارت را با عبارت اول جایگزین کنید:

(با فرمول معروف نظریه سیستم های پیوسته مقایسه کنید).

اتصالات سیستم های ضربه ای

مثال 3.2. اجازه دهید سیستم ضربه با یک بلوک دیاگرام نشان داده شود (به شکل .3.3 مراجعه کنید، بدون در نظر گرفتن خط نقطه چین و خط تیره). سپس

اگر نیاز به تعیین مقادیر گسسته خروجی دارید (کلید همزمان ساختگی را در خروجی - خط نقطه چین در شکل 3.3 ببینید)، سپس به روشی مشابه آنچه در مشتق (3.7) استفاده شده است، به دست می آوریم. ارتباط:

بیایید سیستم دیگری را در نظر بگیریم (شکل 3.4، به استثنای خط نقطه چین)، که تنها در محل کلید با سیستم قبلی تفاوت دارد. برای او

با یک کلید ساختگی (به خط نقطه چین در شکل 3.4 مراجعه کنید)

از روابط به دست آمده در این مثال می توان نتیجه گرفت.

نتیجه گیری 1. نوع اتصال تحلیلی ورودی مانند پیوسته [نگاه کنید به. (3.10)، (3.12)]، و با موارد گسسته [نگاه کنید به (3.11)، (3.13)] مقادیر خروجی یک سیستم تکانشی دلخواه اساساً به محل سوئیچ بستگی دارد.

نتیجه گیری 2. برای یک سیستم ضربه دلخواه، و همچنین برای ساده ترین، که در 3.1 توضیح داده شده است، نمی توان مشخصه ای مشابه تابع انتقال که ورودی و خروجی را همیشه به هم متصل می کند به دست آورد. به دست آوردن یک مشخصه مشابه که ورودی و خروجی را و در زمان های گسسته مضرب ضریب از را به هم متصل می کند، ممکن نیست، که برای ساده ترین سیستم تکانشی انجام شد (به بند 3.1 مراجعه کنید). این را می توان به ترتیب از روابط (3.10)، (3.12) و (3.11)، (3.13) مشاهده کرد.

نتیجه گیری 3. برای برخی موارد خاص از اتصالات سیستم های ضربه ای، به عنوان مثال، برای یک سیستم ضربه ای، که نمودار بلوکی آن در شکل نشان داده شده است. 3.5 (بدون خط نقطه)، می توان تابع انتقال اتصال ورودی و خروجی را در زمان های گسسته ای که مضربی از . در واقع، از (3.10) به دنبال دارد اما سپس [نگاه کنید به مشتق از فرمول (3.7)]

ساختار اتصال تابع انتقال z سیستم های باز و بسته در این مورد مانند تئوری سیستم های پیوسته است.

لازم به ذکر است که اگرچه این یک مورد خاص است، اما از اهمیت عملی زیادی برخوردار است، زیرا بسیاری از سیستم‌ها از کلاس سیستم‌های سروو پالس به آن کاهش می‌یابند.

نتیجه گیری 4. برای به دست آوردن یک عبارت راحت مشابه تابع انتقال z در مورد یک سیستم تکانشی دلخواه (به عنوان مثال، شکل 3.3 را ببینید)، لازم است که کلیدهای ساختگی همزمان نه تنها در خروجی سیستم معرفی شوند. (به خط نقطه چین در شکل 3.3 مراجعه کنید)، اما و در سایر نقاط آن (به عنوان مثال، بخش نقطه چین را به جای قسمت توپر در شکل 3.3 ببینید). سپس

و فرمول های (3.10)، (3.11) به ترتیب به شکل زیر خواهند بود:

و از این رو

پیامدهای معرفی کلیدهای نشان داده شده در شکل. 3.3 خط نقطه چین و خط نقطه چین به طور قابل توجهی متفاوت هستند، زیرا دومی ماهیت عملکرد کل سیستم را تغییر نمی دهد، به سادگی اطلاعاتی را در مورد آن در نقاط گسسته از زمان ارائه می دهد.

اولین مورد، تبدیل سیگنال پیوسته ای که وارد پیوند بازخورد به یک پالس می شود، سیستم اصلی را به یک سیستم کاملاً متفاوت تبدیل می کند. این سیستم جدید می تواند عملکرد سیستم اصلی را به خوبی نشان دهد، در صورت پذیرش (به بند 5.4 مراجعه کنید) و اگر

1) شرایط قضیه Kotelnikov (2.20) برآورده می شود.

2) پهنای باند پیوند بازخورد کمتر است:

فرکانس قطع پیوند بازخورد کجاست.

3) پاسخ فرکانس دامنه (AFC) پیوند در ناحیه فرکانس قطع به شدت کاهش می یابد (شکل 3.6 را ببینید).

سپس تنها بخشی از طیف سیگنال پالس که مربوط به یک سیگنال پیوسته است از طریق پیوند بازخورد عبور می کند.

بنابراین، فرمول (3.16) در حالت کلی فقط تقریباً عملکرد سیستم اصلی را حتی در زمان‌های مجزا نشان می‌دهد. علاوه بر این، این کار را با دقت بیشتری انجام می دهد، شرایط (2.20)، (3.17) و شرایط برای افت شدید مشخصه دامنه فرکانس برای پیوند، که عملکرد عادی آن توسط یک کلید ساختگی نقض می شود، مطمئن تر است. برآورده شده اند.

بنابراین، با استفاده از تبدیل z، می توانید عملکرد یک سیستم صرفاً تکانشی را به دقت بررسی کنید. با استفاده از تبدیل لاپلاس - برای بررسی دقیق عملکرد یک سیستم پیوسته.

سیستم ایمپالس با کمک یکی (هر کدام) از این تبدیل ها را می توان فقط به طور تقریبی و حتی پس از آن تحت شرایط خاص مطالعه کرد. دلیل این امر وجود سیگنال های پیوسته و پالس در سیستم پالس است (بنابراین چنین سیستم های پالسی پیوسته پالس هستند و گاهی اوقات پیوسته گسسته نامیده می شوند). از این نظر، تبدیل لاپلاس، که هنگام کار با سیگنال‌های پیوسته راحت است، وقتی صحبت از سیگنال‌های گسسته می‌شود، ناخوشایند می‌شود. تبدیل z، که برای سیگنال های گسسته مناسب است، برای سیگنال های پیوسته ناخوشایند است.

پس در این صورت، آن چیزی که در آپوریاس یا [الف] آمده تجلی می یابد.

از آنجایی که و با بزرگی ضربه تقسیم می شود (این یک عدد واقعی است)، پس در واقع - واکنش زنجیره به ضربه تک مرحله ای است.

اگر پاسخ گذرا مدار شناخته شده باشد (یا بتوان آن را محاسبه کرد)، از فرمول می توان پاسخ این مدار را به یک عمل پله ای در صفر NL پیدا کرد.

.

اجازه دهید بین تابع انتقال اپراتور یک مدار که اغلب شناخته شده است (یا می توان آن را پیدا کرد) و پاسخ گذرا این مدار ارتباط برقرار کنیم. برای انجام این کار، از مفهوم معرفی شده یک تابع انتقال اپراتور استفاده می کنیم:

.

نسبت واکنش زنجیره ای تبدیل شده توسط لاپلاس به بزرگی عمل، پاسخ گذرای عملگر زنجیره است:

از این رو .

از اینجا، پاسخ گذرا اپراتور مدار از تابع انتقال اپراتور پیدا می شود.

برای تعیین پاسخ گذرا مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

با استفاده از جدول مطابقت یا (در ابتدا) قضیه تجزیه.

مثال: تعیین پاسخ گذرا برای پاسخ ولتاژ به خازن ها در مدار سری (شکل 1):

در اینجا پاسخ به عمل step با مقدار است:

,

از آنجا پاسخ گذرا:

.

ویژگی های گذرا رایج ترین مدارها در ادبیات مرجع یافت شده و آورده شده است.

2. انتگرال دوهامل

پاسخ گذرا اغلب برای یافتن پاسخ مدار به یک عمل پیچیده استفاده می شود. بیایید این نسبت ها را تعیین کنیم.

اجازه دهید قبول کنیم که عمل یک تابع پیوسته است و در زمان به مدار اعمال می شود و شرایط اولیه صفر است.

عمل داده شده را می توان به عنوان مجموع عمل گام اعمال شده بر مدار در لحظه و تعداد نامتناهی از اقدامات گام کوچک بی نهایت که به طور پیوسته از یکدیگر پیروی می کنند نشان داد. یکی از این اقدامات اولیه مربوط به لحظه اعمال در شکل 2 نشان داده شده است.

بیایید ارزش واکنش زنجیره ای را در یک نقطه از زمان پیدا کنیم.

یک عمل پله ای با افت زمان باعث واکنشی برابر با حاصلضرب افت و مقدار پاسخ گذرا مدار در برابر است، یعنی برابر با:

یک اقدام گامی بی نهایت کوچک با تفاوت باعث یک واکنش بی نهایت کوچک می شود ، زمان سپری شده از لحظه اعمال ضربه تا لحظه مشاهده کجاست. از آنجایی که تابع پیوسته است، پس:

مطابق با اصل برهم نهی، واکنش برابر با مجموع واکنش ها به دلیل مجموع تأثیرات قبل از لحظه مشاهده خواهد بود، یعنی.

.

معمولاً در آخرین فرمول، آنها به سادگی آن را با آن جایگزین می کنند، زیرا فرمول یافت شده برای هر مقدار زمانی صحیح است:

.

یا پس از تبدیل های ساده:

.

هر یک از این نسبت ها مشکل محاسبه پاسخ مدار الکتریکی خطی به یک عمل پیوسته معین را با توجه به پاسخ گذرای شناخته شده مدار حل می کند. این روابط را انتگرال دوهامل می نامند.

3. مشخصات ضربه ای مدارهای الکتریکی

مدار پاسخ ضربه ای نسبت پاسخ مدار به یک عمل ضربه ای به ناحیه این عمل در شرایط اولیه صفر است.

پیشینی،

پاسخ مدار به یک عمل ضربه ای کجاست.

ناحیه ضربه ضربه است.

با توجه به پاسخ ضربه ای شناخته شده مدار، می توان واکنش مدار به یک عمل معین را پیدا کرد: .

به عنوان تابع عمل، اغلب از یک عمل تکانه استفاده می شود که تابع دلتا یا تابع دیراک نیز نامیده می شود.

تابع دلتا یک تابع برابر با صفر در همه جا است، به جز، و مساحت آن برابر با یک ():

.

مفهوم تابع دلتا را می توان با در نظر گرفتن حد یک پالس مستطیلی با ارتفاع و مدت زمانی که (شکل 3):

بیایید بین تابع انتقال مدار و پاسخ ضربه ای آن ارتباط برقرار کنیم که برای آن از روش اپراتور استفاده می کنیم.

الف مقدماتی:

.

اگر ضربه (اصلی) برای کلی ترین حالت به صورت حاصل ضرب ناحیه پالس و تابع دلتا، یعنی به شکل در نظر گرفته شود، در این صورت تصویر این ضربه مطابق جدول مطابقت به شکل زیر است:

.

سپس، از طرف دیگر، نسبت واکنش لاپلاس تبدیل شده مدار به مقدار مساحت ضربه عمل، پاسخ ضربه اپراتور مدار است:

.

از این رو، .

برای یافتن پاسخ ضربه ای مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

یعنی در واقع.

با تعمیم فرمول ها، رابطه ای بین تابع انتقال اپراتور مدار و پاسخ های گذرا و ضربه ای اپراتور مدار بدست می آوریم:

بنابراین، با دانستن یکی از ویژگی های مدار، می توانید سایر مشخصات را تعیین کنید.

بیایید با اضافه کردن به قسمت میانی، یک تبدیل برابری یکسان ایجاد کنیم.

سپس خواهیم داشت.

از آنجایی که تصویری از مشتق پاسخ گذرا است، برابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با حرکت به قلمرو نسخه های اصلی، فرمولی به دست می آوریم که به ما امکان می دهد پاسخ ضربه ای مدار را از پاسخ گذرای شناخته شده آن تعیین کنیم:

اگر پس از آن .

رابطه معکوس بین ویژگی های نشان داده شده به شکل زیر است:

.

با توجه به تابع انتقال، به راحتی می توان وجود یک اصطلاح را در ترکیب تابع ایجاد کرد.

اگر درجات صورت و مخرج یکسان باشد، اصطلاح مورد نظر وجود خواهد داشت. اگر تابع یک کسر مناسب باشد، این عبارت وجود نخواهد داشت.

مثال: پاسخ های ضربه ای را برای ولتاژها و در مدار سری نشان داده شده در شکل 4 تعیین کنید.

بیایید تعریف کنیم:

با توجه به جدول مکاتبات، اجازه دهید به نسخه اصلی برویم:

.

نمودار این تابع در شکل 5 نشان داده شده است.

برنج. 5

عملکرد انتقال:

با توجه به جدول مکاتبات داریم:

.

نمودار تابع حاصل در شکل 6 نشان داده شده است.

اجازه دهید اشاره کنیم که همان عبارات را می توان با استفاده از روابطی که ارتباطی بین و برقرار می کند به دست آورد.

پاسخ ضربه در مفهوم فیزیکی منعکس کننده فرآیند نوسانات آزاد است و به همین دلیل می توان استدلال کرد که در مدارهای واقعی همیشه باید شرط زیر برقرار باشد:

4. انتگرال های پیچشی (همپوشانی)

اگر پاسخ ضربه ای این مدار مشخص باشد، روش تعیین پاسخ مدار الکتریکی خطی به یک اثر پیچیده را در نظر بگیرید. فرض می کنیم که ضربه یک تابع پیوسته تکه ای است که در شکل 7 نشان داده شده است.

بگذارید لازم باشد مقدار واکنش را در یک نقطه از زمان پیدا کنید. برای حل این مشکل، ضربه را به عنوان مجموع پالس های مستطیلی با مدت بی نهایت کوچک نشان می دهیم، که یکی از آنها، مربوط به لحظه زمانی، در شکل 7 نشان داده شده است. این پالس با طول مدت و ارتفاع مشخص می شود.

از موادی که قبلا در نظر گرفته شد، مشخص شد که پاسخ مدار به یک ضربه کوتاه را می توان برابر با حاصلضرب پاسخ ضربه مدار و مساحت عمل ضربه در نظر گرفت. در نتیجه، جزء بی نهایت کوچک واکنش، به دلیل این عمل تکانشی، در لحظه زمان برابر با:

زیرا مساحت پالس است و زمان از لحظه اعمال آن تا لحظه مشاهده می گذرد.

با استفاده از اصل برهم نهی، پاسخ کل مدار را می توان به عنوان مجموع تعداد بی نهایت زیادی از مولفه های بی نهایت کوچک که توسط دنباله ای از اقدامات ضربه ای بی نهایت کوچک در ناحیه قبل از لحظه زمان ایجاد می شود، تعریف کرد.

بدین ترتیب:

.

این فرمول برای هر مقداری صادق است، بنابراین متغیر معمولاً به سادگی نشان داده می شود. سپس:

.

رابطه حاصل را انتگرال کانولوشن یا انتگرال همپوشانی می نامند. تابعی که در نتیجه محاسبه انتگرال کانولوشن پیدا می شود، کانولوشن و .

اگر متغیرهای عبارت حاصل را تغییر دهید، می توانید شکل دیگری از انتگرال کانولوشن را پیدا کنید:

.

مثال: ولتاژ دو طرف ظرفیت یک مدار سریال را بیابید (شکل 8)، اگر یک ضربه نمایی از شکل روی ورودی عمل کند:

بیایید از انتگرال کانولوشن استفاده کنیم:

.

بیان برای زودتر دریافت شد

از این رو، ، و .

همین نتیجه را می توان با اعمال انتگرال دوهامل به دست آورد.

ادبیات:

Beletsky A.F. نظریه مدارهای الکتریکی خطی. - م .: رادیو و ارتباطات، 1365. (کتاب درسی)

Bakalov V. P. و همکاران نظریه مدارهای الکتریکی. - م .: رادیو و ارتباطات، 1377. (کتاب درسی);

Kachanov N. S. و همکاران دستگاه های مهندسی رادیو خطی. م.: وون. ed., 1974. (کتاب درسی);

پوپوف V.P. مبانی نظریه مدارها - M.: دبیرستان، 2000. (کتاب درسی)

2.3 ویژگی های کلی تابع انتقال.

معیار پایداری یک مدار گسسته با معیار پایداری یک مدار آنالوگ منطبق است: قطب های تابع انتقال باید در نیمه صفحه سمت چپ متغیر مختلط قرار گیرند که مربوط به موقعیت قطب ها در دایره واحد است. هواپیما

تابع انتقال یک مدار کلی مطابق (2.3) به صورت زیر نوشته شده است:

که در آن علائم عبارت ها در ضرایب a i، b j در نظر گرفته می شود، در حالی که b 0 = 1.

فرموله کردن ویژگی های تابع انتقال یک مدار عمومی به شکل الزامات برای امکان سنجی فیزیکی یک تابع منطقی Z راحت است: هر تابع منطقی Z را می توان به عنوان تابع انتقال یک مدار گسسته پایدار تا حداکثر پیاده سازی کرد. ضریب H 0 PH Q اگر این تابع شرایط زیر را برآورده کند:

1. ضرایب a i، b j - اعداد واقعی،

2. ریشه های معادله V(Z)=0، یعنی. قطب های H(Z) در دایره واحد صفحه Z قرار دارند.

ضریب H 0 × Z Q تقویت ثابت سیگنال H 0 و تغییر سیگنال ثابت در امتداد محور زمان توسط QT را در نظر می گیرد.

2.4 ویژگی های فرکانس.

مجتمع تابع انتقال مدار گسسته

مشخصه های فرکانس مدار را تعیین می کند

AFC، - PFC.

بر اساس (2.6)، مجموعه تابع انتقال عمومی را می توان به صورت نوشتاری نوشت

از این رو فرمول های پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز

مشخصات فرکانس یک مدار گسسته توابع دوره ای هستند. دوره تکرار برابر با فرکانس نمونه برداری w d است.

مشخصه های فرکانس معمولاً در امتداد محور فرکانس تا فرکانس نمونه گیری نرمال می شوند

که در آن W فرکانس نرمال شده است.

در محاسبات با استفاده از رایانه، عادی سازی فرکانس به یک ضرورت تبدیل می شود.

مثال. مشخصه های فرکانس مداری که تابع انتقال آن است را تعیین کنید

H(Z) \u003d a 0 + a 1 × Z -1.

کمپلکس تابع انتقال: H(jw) = a 0 + a 1 e -j w T .

با در نظر گرفتن نرمال سازی فرکانس: wT = 2p × W.

H(jw) = a 0 + a 1 e -j2 p W = a 0 + a 1 cos 2pW - ja 1 sin 2pW .

فرمول های پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز

H(W) =، j(W) = - آرکتان .

نمودارهای پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز برای مقادیر مثبت a 0 و a 1 تحت شرایط a 0 > a 1 در شکل (2.5، a، b) نشان داده شده است.

مقیاس لگاریتمی پاسخ فرکانسی - تضعیف A:

; . (2.10)

صفرهای تابع انتقال را می توان در هر نقطه ای از صفحه Z قرار داد.اگر صفرها در دایره واحد قرار گیرند، مشخصه های پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز چنین مداری توسط تبدیل هیلبرت به هم متصل می شوند و می توانند به طور منحصر به فرد یکی از طریق دیگری تعیین می شود. چنین مداری مدار فاز حداقل نامیده می شود. اگر حداقل یک صفر در خارج از دایره واحد ظاهر شود، آنگاه مدار متعلق به یک مدار نوع فاز غیرخطی است که تبدیل هیلبرت برای آن قابل اعمال نیست.

2.5 پاسخ ضربه ای. پیچیدگی.

تابع انتقال مدار را در حوزه فرکانس مشخص می کند. در حوزه زمان، مدار دارای پاسخ ضربه ای h(nT) است. پاسخ ضربه ای مدار گسسته، پاسخ مدار به تابع d گسسته است. پاسخ ضربه و تابع انتقال مشخصه های سیستم هستند و با فرمول های تبدیل Z به هم متصل می شوند. بنابراین، پاسخ ضربه را می توان به عنوان یک سیگنال خاص در نظر گرفت و تابع انتقال H(Z) - Z تصویر این سیگنال است.

تابع انتقال مشخصه اصلی در طراحی است، اگر هنجارها نسبت به ویژگی های فرکانس سیستم تنظیم شوند. بر این اساس، اگر هنجارها در حوزه زمانی داده شوند، مشخصه اصلی پاسخ ضربه ای است.

پاسخ ضربه را می توان مستقیماً از مدار به عنوان پاسخ مدار به تابع d یا با حل معادله اختلاف مدار با فرض x(nT) = d(t) تعیین کرد.

مثال. پاسخ ضربه مدار را تعیین کنید، طرحی که در شکل 2.6، ب نشان داده شده است.

معادله مدار تفاوت y(nT)=0.4 x(nT-T) - 0.08 y(nT-T).

حل معادله تفاضل به صورت عددی، مشروط بر اینکه x(nT)=d(t)

n=0; y(0T) = 0.4 x(-T) - 0.08 y(-T) = 0;

n=1; y(1T) = 0.4 x(0T) - 0.08 y(0T) = 0.4;

n=2; y(2T) = 0.4 x(1T) - 0.08 y(1T) = -0.032;

n=3; y(3T) = 0.4 x(2T) - 0.08 y(2T) = 0.00256; و غیره. ...

بنابراین h(nT) = (0؛ 0.4؛ -0.032؛ 0.00256؛ ...)

برای یک مدار پایدار، تعداد پاسخ ضربه در طول زمان به صفر می‌رسد.

پاسخ ضربه را می توان از یک تابع انتقال شناخته شده با اعمال تعیین کرد

آ. تبدیل Z معکوس،

ب قضیه تجزیه،

V. قضیه تاخیر به نتایج حاصل از تقسیم چند جمله ای صورت بر چند جمله ای مخرج.

آخرین روش از روش های ذکر شده به روش های عددی برای حل مسئله اشاره دارد.

مثال. پاسخ ضربه ای مدار را در شکل (2.6، b) از تابع انتقال تعیین کنید.

در اینجا H(Z) = .

صورت را بر مخرج تقسیم کنید

با اعمال قضیه تاخیر در نتیجه تقسیم، به دست می آوریم

h(nT) = (0؛ 0.4؛ -0.032؛ 0.00256؛ ...)

با مقایسه نتیجه با محاسبات با استفاده از معادله تفاوت در مثال قبلی، می توان قابلیت اطمینان روش های محاسبه را تأیید کرد.

پیشنهاد شده است که به طور مستقل پاسخ ضربه ای مدار را در شکل (2.6، a)، با استفاده متوالی از هر دو روش در نظر گرفته، تعیین کنیم.

مطابق با تعریف تابع انتقال، تصویر Z سیگنال در خروجی مدار را می توان به عنوان حاصلضرب Z - تصویر سیگنال در ورودی مدار و تابع انتقال مدار تعریف کرد. :

Y(Z) = X(Z) x H(Z). (2.11)

از این رو، با قضیه کانولوشن، پیچیدگی سیگنال ورودی با پاسخ ضربه سیگنال را در خروجی مدار می دهد.

y(nT) =x(kT)Chh(nT - kT) =h(kT)Chx(nT - kT). (2.12)

تعریف سیگنال خروجی با فرمول کانولوشن نه تنها در روش های محاسباتی، بلکه به عنوان یک الگوریتم برای عملکرد سیستم های فنی استفاده می شود.

سیگنال را در خروجی مدار که مدار آن در شکل (2.6، b) نشان داده شده است، تعیین کنید، اگر x (nT) = (1.0؛ 0.5).

در اینجا h(nT) = (0؛ 0.4؛ -0.032؛ 0.00256؛ ...)

محاسبه بر اساس (2.12)

n=0: y(0T) = h(0T)x(0T) = 0;

n=1: y(1T) = h(0T)x(1T) + h(1T) x(0T) = 0.4;

n=2: y(2T)= h(0T)x(2T) + h(1T) x(1T) + h(2T) x(0T) = 0.168;

بنابراین y(nT) = (0؛ 0.4؛ 0.168؛ ...).

در سیستم های فنی، به جای کانولوشن خطی (2.12)، پیچش دایره ای یا چرخه ای بیشتر استفاده می شود.

دانشجوی گروه 220352 Chernyshev D. A. مرجع - گزارش در مورد پتنت و تحقیقات علمی و فنی موضوع کار صلاحیت فارغ التحصیلی: گیرنده تلویزیون با پردازش سیگنال دیجیتال. شروع جستجو 2. 02. 99. پایان جستجو 25.03.99 موضوع جستجو کشور، فهرست (MKI, NKI) شماره ...

مدولاسیون حامل و دامنه فاز با یک باند جانبی (AFM-SBP). 3. انتخاب مدت زمان و تعداد سیگنال های ابتدایی مورد استفاده برای تولید سیگنال خروجی در کانال های ارتباطی واقعی، یک سیگنال فرم برای انتقال سیگنال ها در یک کانال با فرکانس محدود استفاده می شود، اما در زمان بی نهایت است، بنابراین هموار می شود. طبق قانون کسینوس ، جایی که - ...