TAU. عملگر لاپلاس و توابع انتقال معادله لاپلاس عملگر لاپلاس در سیستم مختصات منحنی

ما سه عملیات اصلی تحلیل برداری را در نظر گرفته ایم: محاسبه gradtx برای یک میدان اسکالر a و rot a برای یک میدان برداری a = a(x,y,z). این عملیات را می توان با استفاده از عملگر نمادین V ("nabla") به شکل ساده تری نوشت: عملگر V (عملگر همیلتون) دارای هر دو ویژگی دیفرانسیل و برداری است. ضرب رسمی، به عنوان مثال، ضرب ^ در تابع u(x,y)، به عنوان تمایز جزئی درک خواهد شد: در چارچوب جبر برداری، عملیات رسمی را بر روی عملگر V انجام می دهیم که گویی یک بردار است. . با استفاده از این فرمالیسم، فرمول های اساسی زیر را به دست می آوریم: 1. اگر یک تابع متمایز مقیاس پذیر است، با قانون ضرب یک بردار در یک اسکالر به دست می آوریم که در آن P، Q، R توابع قابل تمایز هستند، سپس با فرمول برای پیدا کردن محصول اسکالر که ما عملگر همیلتون را به دست می‌آوریم لاپلاس مفهوم مختصات منحنی مختصات کروی 3. با محاسبه حاصلضرب برداری، tamke را به عنوان جلوه‌ای از خواص دیفرانسیل عملگر "nabla" به دست می‌آوریم (V یک عملگر دیفرانسیل خطی است). توافق شد که عملگر V بر روی تمام مقادیر نوشته شده پس از آن عمل کند. از این نظر، برای مثال، یک عملگر دیفرانسیل اسکالر است. هنگام اعمال عملگر V برای حاصلضرب برخی از کمیت ها، باید قاعده معمول برای متمایز کردن یک محصول را در نظر داشت. مثال 1. ثابت کنید که طبق فرمول (2) با در نظر گرفتن تبصره 1 یا به دست می آید که در نتیجه نهایی حذف شده است. مثال 2. فرض کنید u(xty,z) یک تابع متمایز پذیر اسکالر و a(x,y,z) یک تابع متمایز بردار باشد. ثابت کنید که 4 سمت چپ (8) را به شکل نمادین بازنویسی می کنیم با در نظر گرفتن ماهیت دیفرانسیل عملگر V، به دست می آوریم. از آنجایی که e یک اسکالر ثابت است، می توان آن را از علامت ضرب نقطه ای خارج کرد، به طوری که a (در مرحله آخر شاخص e را حذف کردیم). در عبارت (V, Uac)، عملگر V فقط بر روی یک تابع اسکالر عمل می کند و در نتیجه، Remark 2 را به دست می آوریم. با استفاده از فرمالیسم عمل با عملگر V به عنوان بردار، باید به خاطر داشته باشیم که V است. نه یک بردار معمولی - طول، بدون جهت، بنابراین. به عنوان مثال بردار،جایی که قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: H_i\ضرایب لنگ هستند.

مختصات استوانه ای

در مختصات استوانه ای خارج از خط قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: \r=0 :

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f = (1 \ بیش از r) (\ جزئی \ بیش \ \ جزئی r) \left(r (\جزئی f \ بیش از \ جزئی r) \راست) + ( \جزئی ^2f \ بیش از \ جزئی z^2) + (1 \ بیش از r^2) (\جزئی^2 f \ بیش \ جزئی \varphi^2)

مختصات کروی

در مختصات کروی خارج از مبدا (در فضای سه بعدی):

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f = (1 \ بیش از r^2) (\partial \over \partial r) \left(r^2 (\جزئی f \ بیش از \ جزئی r) \ راست) + (1 \ بیش از r ^ 2 \ sin \ تتا) (\ جزئی \ بیش \ \ جزئی \ تتا) \ چپ (\ sin \ تتا (\ بخشی f \ بیش \ \ جزئی \ تتا) \ راست) + (1 \ بیش از r ^2\sin^2 \theta) (\ جزئی^2 f \ بیش از \ جزئی \varphi^2) قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f = (1 \ بیش از r) (\partial^2 \over \partial r^2) \left(rf \right) + (1 \over r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta) \left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \راست) + (1 \over r^2 \sin^2 \theta ) ( \جزئی^2 f \ بیش از \ جزئی \varphi^2).

اگر قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ f=f(r) V n-فضای بعدی:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f = (d^2 f\over dr^2) + (n-1 \over r ) (df\over dr).

مختصات سهموی

در مختصات سهموی (در فضای سه بعدی) خارج از مبدا:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f= \frac(1)(\sigma^(2) + \tau^(2)) \left[ \frac(1)(\sigma) \frac (\ بخشی ) \left(\tau \frac(\partial f)(\partial \tau) \right)\right] + \frac(1)(\sigma^2\tau^2)\frac(\partial^2 f) (\جزئی\varphi^2)

مختصات سهموی استوانه ای

در مختصات یک استوانه سهموی خارج از مبدا:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta F(u,v,z) = \frac(1)(c^2(u^2+v^2)) \left[ \frac(\partial ^2 F )(\partial u^2)+ \frac(\partial^2 F )(\partial v^2)\right] + \frac(\partial^2 F)(\partial z^2).

مختصات منحنی کلی و فضاهای ریمانی

بگذارید روی یک منیفولد صاف قرار بگیرد قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvc سیستم مختصات محلی داده شده است و قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: g_(ij)تانسور متریک ریمانی روشن است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: X، یعنی متریک فرم دارد

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: ds^2 =\sum^n_(i,j=1)g_(ij) dx^idx^j .

با نشان دادن قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: g^(ij)عناصر ماتریس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: (g_(ij))^(-1)و

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: g = \operatorname(det) g_(ij) = (\operatorname(det) g^(ij))^(-1) .

واگرایی میدان برداری قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): F، توسط مختصات داده شده است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): F^i(و نشان دهنده عملگر دیفرانسیل مرتبه اول است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \sum_i F^i\frac(\partial)(\partial x^i)) روی منیفولد ایکسبا فرمول محاسبه می شود

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیمات به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(div) F = \frac(1)(\sqrt(g))\sum^n_(i=1)\frac(\partial)(\partial x ^i )(\sqrt(g)F^i) ,

و اجزای گرادیان تابع f- طبق فرمول

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی تنظیم به ریاضی/README مراجعه کنید.: (\nabla f)^j =\sum^n_(i=1)g^(ij) \frac(\partial f)(\partial x^i).

اپراتور لاپلاس - بلترامی روشن است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: X :

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \Delta f = \operatorname(div) (\nabla f)= \frac(1)(\sqrt(g))\sum^n_(i=1)\frac (\ جزئی)(\ x^i)\بزرگ(\sqrt(g) \sum^n_(k=1)g^(ik) \frac(\جزئی f)(\جزئی x^k)\بزرگ) .

معنی قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \Delta fیک اسکالر است، یعنی در هنگام تبدیل مختصات تغییر نمی کند.

کاربرد

با استفاده از این عملگر، نوشتن معادلات لاپلاس، پواسون و معادله موج راحت است. در فیزیک، عملگر لاپلاس در الکترواستاتیک و الکترودینامیک، مکانیک کوانتومی، در بسیاری از معادلات فیزیک پیوسته، و همچنین در مطالعه تعادل غشاها، لایه‌ها یا سطح مشترک با کشش سطحی (به فشار لاپلاس مراجعه کنید)، در مسائل ثابت قابل استفاده است. انتشار و رسانش گرما، که در حد پیوسته، به معادلات معمول لاپلاس یا پواسون یا برخی از تعمیم های آنها کاهش می یابد.

تغییرات و تعمیم

عملگر d'Alembert تعمیم عملگر لاپلاس برای معادلات هذلولی است. مشتق دوم را با توجه به زمان شامل می شود.
عملگر لاپلاس بردار تعمیم عملگر لاپلاس برای حالت آرگومان برداری است.

همچنین ببینید

نظری را در مورد مقاله "اپراتور لاپلاس" بنویسید

ادبیات

پیوندها

این الگو را مشاهده کنید

حساب دیفرانسیل

اصلی

نماهای خصوصی

اپراتورهای دیفرانسیل
(در مختصات مختلف)

سفارش اول

به دلایلی، "خودفریبی" معمول استلینو این بار جواب نداد... ظاهراً از دست دادن دوستانی که در قلبش هستند بسیار دردناک بود، به خصوص با دانستن اینکه، مهم نیست که بعدها چقدر دلش برای آنها تنگ شده بود. آنها را در هیچ جای دیگر و هرگز نمی بینم... این یک مرگ بدنی معمولی نبود، زمانی که همه ما فرصت بزرگی برای تجسم دوباره پیدا می کنیم. این روح آنها بود که مرد... و استلا می دانست که نه دختر شجاع ماریا، نه "جنگجوی ابدی" لومیناری، و نه حتی دین زشت و مهربان، هرگز تجسم نخواهند کرد و زندگی ابدی خود را فدای دیگران می کنند، شاید خیلی خوب، اما کاملاً افرادی که آنها را نمی شناسند ...
درست مانند استلا، روح من بسیار بیمار بود، زیرا اولین بار بود که در واقعیت می دیدم که چگونه افراد شجاع و بسیار مهربان به میل خودشان... دوستانم را ترک کردند. و به نظر می رسید که غم برای همیشه در قلب زخمی کودکانه من نشست ... اما من همچنین قبلاً فهمیدم که هر چقدر هم که رنج می کشیدم و هر چقدر هم آرزو می کردم هیچ چیز آنها را بر نمی گرداند ... استلا درست می گفت - این غیرممکن بود که با چنین قیمتی برنده شویم... اما این انتخاب خودشان بود و ما حق نداشتیم از این کار به آنها امتناع کنیم. و برای متقاعد کردن آنها - ما به سادگی زمان کافی برای این کار نداشتیم ... اما زنده ها مجبور بودند زندگی کنند، در غیر این صورت این همه فداکاری جبران ناپذیر بیهوده بود. و این دقیقا همان چیزی بود که نباید مجاز بود.
-باهاشون چیکار کنیم؟ - با آه های تشنجی، به بچه هایی که دور هم جمع شده بودند اشاره کرد، استلا. - نمی تونی اینجا بذاری.
وقت جواب دادن نداشتم که صدایی آرام و بسیار غمگین به گوش رسید:
"البته اگه اجازه بدی پیششون میمونم."
با هم از جا پریدیم و چرخیدیم - این مردی بود که مری در حال صحبت کردن نجات داد... و به نوعی او را کاملا فراموش کردیم.
- چه حسی داری؟ - من تا حد امکان دوستانه پرسیدم.
من صادقانه آرزوی صدمه به این غریبه بدبخت را نداشتم که با چنین قیمت بالایی ذخیره شده بود. این تقصیر او نبود و من و استلا این را به خوبی می دانستیم. اما تلخی وحشتناک فقدان هنوز چشمانم را از عصبانیت تیره کرده بود، و با اینکه می دانستم که این برای او بسیار بسیار ناعادلانه است، نمی توانستم خودم را جمع و جور کنم و این درد وحشتناک را از خودم بیرون کنم و آن را "برای بعد" بگذارم. من تنها هستم، و با بستن خود در "گوشه ام"، می توانم اشک های تلخ و بسیار سنگین را بیرون بیاورم ... همچنین بسیار می ترسیدم که غریبه به نحوی "رد شدن" من را احساس کند و به این ترتیب رهایی او آن را از دست بدهد. پیروزی اهمیت و زیبایی بر شر که به نام آن دوستانم جان باختند... بنابراین تمام تلاشم را کردم تا خودم را جمع و جور کنم و با لبخندی صمیمانه تا حد امکان منتظر پاسخ سوالم بودم.
مرد با ناراحتی به اطراف نگاه کرد، ظاهراً کاملاً نمی فهمید که اینجا چه اتفاقی افتاده است و در تمام این مدت چه اتفاقی برای او می افتد ...
- خوب من کجام؟ .. - با صدایی خشن از هیجان پرسید. این چه مکان است، خیلی وحشتناک؟ شبیه چیزی که یادم میاد نیست... تو کی هستی؟
- ما دوستیم. و کاملاً درست می گویید - این مکان خیلی خوشایند نیست ... و کمی جلوتر، مکان ها به طور کلی ترسناک هستند. دوست ما اینجا زندگی می کرد، مرد...
"متاسفم، کوچولوها. دوستت چطور مرد؟
استلا با ناراحتی زمزمه کرد: "تو او را کشتی."
من یخ زدم و به دوست دخترم خیره شدم ... این را استلای "آفتابی" که برای من کاملاً شناخته شده بود ، که "بی شک" برای همه متاسف بود و هرگز کسی را رنج نمی برد نگفت! .. اما ظاهراً! درد از دست دادن، مانند من، در او احساس ناخودآگاه عصبانیت "از همه و همه چیز" را برانگیخت و کودک هنوز قادر به کنترل آن در خود نبود.
- من؟!.. - غریبه فریاد زد. اما این نمی تواند درست باشد! من هرگز کسی را نکشته ام!
ما احساس می کردیم که او حقیقت محض را می گوید و می دانستیم که حق نداریم تقصیر را به گردن او بیندازیم. بنابراین، بدون اینکه حتی کلمه ای بگوییم، با هم لبخند زدیم و بلافاصله سعی کردیم به سرعت توضیح دهیم که واقعاً اینجا چه اتفاقی افتاده است.
این مرد برای مدت طولانی در حالت شوک مطلق بود ... ظاهراً همه چیزهایی که شنیده بود به نظرش وحشیانه می آمد و مطمئناً با آنچه واقعاً بود مطابقت نداشت و چگونه با چنین شر وحشتناکی رفتار می کرد که در آن جا نمی شد. قاب های معمولی انسان ....
- چگونه می توانم این همه را جبران کنم؟! .. بالاخره من نمی توانم این کار را انجام دهم؟ و چگونه با آن زندگی کنیم؟!.. - سرش را به چنگ انداخت... - چند نفر را کشتم، بگو!.. کسی می تواند این را بگوید؟ دوستاتون چطور؟ چرا سراغش رفتند؟ اما چرا؟!!!..
- تا بتوانی آنطور که باید زندگی کنی ... آنطور که می خواستی ... و نه آنطور که کسی می خواست ... برای کشتن شیطانی که دیگران را کشت. چون احتمالا... - استلا با ناراحتی گفت.
"عزیزان مرا ببخشید... ببخشید... اگر می توانید..." مرد کاملاً کشته به نظر می رسید و من ناگهان با یک پیشگویی بسیار بد "خارج" شدم...
- خوب، من نه! با عصبانیت فریاد زدم. "حالا باید زندگی کنی!" میخوای همه فداکاریشون رو باطل کنی؟! حتی جرات فکر کردن را هم نداشته باش! حالا شما به جای آنها کار خوبی خواهید کرد! این درست خواهد بود. و رفتن آسان ترین کار است. و شما دیگر این حق را ندارید.
غریبه مات و مبهوت به من خیره شد و ظاهراً انتظار چنین طغیان خشونت آمیزی از خشم «عادلانه» را نداشت. و بعد لبخند غمگینی زد و آرام گفت:
-چطور دوستشون داشتی!.. تو کی هستی دختر؟
گلویم خیلی سفت شده بود و مدتی بود که نمی توانستم کلمه ای را بیرون بیاورم. خیلی دردناک بود به خاطر چنین ضایعه سنگینی و در عین حال برای این آدم "بی قرار" که با چنین باری وجودش خیلی سخت بود ناراحت بودم...
- من سوتلانا هستم. و این استلا است. ما فقط در اینجا قدم می زنیم. در صورت امکان به ملاقات دوستان می‌رویم یا به کسی کمک می‌کنیم. درست است ، اکنون هیچ دوستی باقی نمانده است ...
- من را ببخش، سوتلانا. اگر چه اگر هر بار از شما ببخشم احتمالاً چیزی را تغییر نخواهد داد... اتفاقی که افتاد افتاد و من نمی توانم چیزی را تغییر دهم. اما من می توانم آنچه را که اتفاق می افتد تغییر دهم، نمی توانم؟ - مرد با چشمان آبی اش مثل آسمان به من خیره شد و با لبخندی غمگین گفت: - و یک چیز دیگر ... تو می گویی که من در انتخابم آزادم؟ .. اما معلوم شد -نه خیلی آزاده عزیزم..بلکه به نظر کفاره گناهه...البته باهاش موافقم. اما این انتخاب شماست که من باید برای دوستان شما زندگی کنم. چون جانشان را برای من دادند... اما من نخواستم، نه؟.. پس انتخاب من نیست...
من کاملا مات و مبهوت به او نگاه کردم و به جای "خشم غرور آمیز" که آماده بود بلافاصله از لبانم فرار کند، کم کم متوجه شدم که او در مورد چه چیزی صحبت می کند ... مهم نیست که چقدر عجیب یا توهین آمیز به نظر می رسد - اما همه چیز این حقیقت واقعی بود! حتی اگه اصلا دوستش نداشتم...