Bracketing عامل مشترک 7. Bracketing عامل مشترک - دانش هایپر مارکت

تعریف 1

اول یادمون باشه قوانین ضرب یک مونومی در مونومی:

برای ضرب یک جملاتی در یک جملات ابتدا باید ضرایب تک جملات را ضرب کنید، سپس با استفاده از قانون ضرب توان ها با پایه یکسان، متغیرهای موجود در تک جملات را ضرب کنید.

مثال 1

حاصل ضرب تک‌جملات $(2x)^3y^2z$ و $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ را بیابید

راه حل:

ابتدا حاصل ضرب ضرایب را محاسبه می کنیم

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ در این کار از قانون ضرب یک عدد در کسری استفاده کردیم - برای ضرب یک عدد صحیح در کسری، باید عدد را در صورت کسری ضرب می کنیم و مخرج آن بدون تغییر باقی می ماند

حالا بیایید از خاصیت اصلی یک کسری استفاده کنیم - صورت و مخرج یک کسر را می توان به همان عدد تقسیم کرد، متفاوت از $0. صورت و مخرج این کسر را بر $2$ تقسیم کنید، یعنی کسر داده شده را به $2$2 کاهش دهید\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\ \frac (3) (2) دلار

نتیجه به دست آمده یک کسر نامناسب بود، یعنی کسری که در آن صورت بزرگتر از مخرج است.

اجازه دهید این کسر را با استخراج جزء صحیح تبدیل کنیم. به یاد بیاورید که برای جداسازی جزء صحیح، یک ضریب ناقص لازم است که با تقسیم صورت بر مخرج به دست می آید، به عنوان یک جزء صحیح بنویسید، باقیمانده تقسیم را به صورت کننده قسمت کسری، مقسوم کننده به مخرج

ما ضریب محصول آینده را پیدا کرده ایم.

حالا متغیرهای $x^3\cdot x^2=x^5$ را به ترتیب ضرب می‌کنیم.

$y^2\cdot y^4 =y^6$. در اینجا از قانون ضرب توان ها با پایه یکسان استفاده کردیم: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

سپس حاصل ضرب تک جفت ها به صورت زیر خواهد بود:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

سپس بر اساس این قانونمی توانید کار زیر را انجام دهید:

مثال 2

چند جمله ای داده شده را به عنوان حاصل ضرب یک چند جمله ای و یک تک جمله ای $(4x)^3y+8x^2$ نشان دهید

ما هر یک از تکجملی‌هایی را که چندجمله‌ای را می‌سازند، به‌عنوان حاصل ضرب دو تک‌جمله‌ای نشان می‌دهیم تا یک تک‌جمله‌ای مشترک را انتخاب کنیم، که عاملی برای تک‌جمله‌های اول و دوم خواهد بود.

ابتدا با اولین مونومی $(4x)^3y$ شروع می کنیم. بیایید ضریب آن را به فاکتورهای ساده تبدیل کنیم: $4=2\cdot 2$. همین کار را با ضریب مونومی دوم $8=2\cdot 2 \cdot 2$ نیز انجام می دهیم. توجه داشته باشید که دو عامل $2\cdot 2$ در هر دو ضریب اول و دوم گنجانده شده است، بنابراین $2\cdot 2=4$----این عدد به عنوان یک ضریب در مونومی کلی گنجانده می شود.

حال توجه کنیم که در مونومی اول $x^3$ و در دومی همان متغیر در توان $2:x^2$. بنابراین، نشان دادن متغیر $x^3$ به صورت زیر راحت است:

متغیر $y$ تنها در یک جمله از چند جمله ای گنجانده شده است، به این معنی که نمی توان آن را در یک جمله کلی گنجاند.

بیایید اولین و دومین تک جمله ای را که وارد چند جمله ای می شوند به عنوان یک محصول نشان دهیم:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

توجه داشته باشید که مونومی مشترک، که عاملی در هر دو مونومی اول و دوم خواهد بود، $4x^2$ است.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

اکنون قانون توزیعی ضرب را اعمال می کنیم، سپس عبارت حاصل را می توان به عنوان حاصلضرب دو عامل نشان داد. یکی از فاکتورها فاکتور مشترک: $4x^2$ و دیگری مجموع عوامل باقیمانده خواهد بود: $xy + 2$. به معنای:

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

این روش نامیده می شود فاکتورسازی با استفاده از حذف ضریب مشترک.

ضریب مشترک در این موردیکپارچه $4x^2$ عمل کرد.

الگوریتم

تبصره 1

بزرگترین مقسوم علیه مشترک ضرایب همه تک جمله های موجود در چند جمله ای را بیابید - این ضریب ضریب تک جمله ای مشترک خواهد بود که آن را از پرانتز خارج می کنیم.

یک جمله متشکل از ضریب موجود در مورد 2، متغیرهای موجود در مورد 3 یک عامل مشترک خواهد بود. که می تواند به عنوان یک عامل مشترک براکت شود.

مثال 3

فاکتور مشترک $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ را بردارید

راه حل:

ما GCD ضرایب را برای این کار پیدا می کنیم، ضرایب را به عوامل ساده تجزیه می کنیم

$45=3\cdot 3\cdot 5$

و ما محصول آنهایی را می یابیم که وارد بسط هر یک می شوند:

متغیرهایی را که بخشی از هر تک جمله هستند شناسایی کنید و متغیری را با کوچکترین توان انتخاب کنید.

$a^3=a^2\cdot a$

متغیر $b$ فقط وارد مونومی دوم و سوم می شود، به این معنی که وارد فاکتور مشترک نمی شود.

اجازه دهید یک تک جمله ای متشکل از ضریب موجود در مورد 2، متغیرهای موجود در مورد 3 بسازیم، دریافت می کنیم: $3a$ - این عامل مشترک خواهد بود. سپس:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

تعریف 1

اول یادمون باشه قوانین ضرب یک مونومی در مونومی:

مثال 1

حاصل ضرب تک‌جملات $(2x)^3y^2z$ و $(\frac(3)(4)x)^2y^4$ را بیابید

راه حل:

ابتدا حاصل ضرب ضرایب را محاسبه می کنیم

نتیجه به دست آمده یک کسر نامناسب بود، یعنی کسری که در آن صورت بزرگتر از مخرج است.

ما ضریب محصول آینده را پیدا کرده ایم.

حالا متغیرهای $x^3\cdot x^2=x^5$ را به ترتیب ضرب می‌کنیم.

$y^2\cdot y^4 =y^6$. در اینجا از قانون ضرب توان ها با پایه یکسان استفاده کردیم: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

سپس حاصل ضرب تک جفت ها به صورت زیر خواهد بود:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

سپس بر اساس این قانون می توانید کار زیر را انجام دهید:

مثال 2

چند جمله ای داده شده را به عنوان حاصل ضرب یک چند جمله ای و یک تک جمله ای $(4x)^3y+8x^2$ نشان دهید

متغیر $y$ تنها در یک جمله از چند جمله ای گنجانده شده است، به این معنی که نمی توان آن را در یک جمله کلی گنجاند.

بیایید اولین و دومین تک جمله ای را که وارد چند جمله ای می شوند به عنوان یک محصول نشان دهیم:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

توجه داشته باشید که مونومی مشترک، که عاملی در هر دو مونومی اول و دوم خواهد بود، $4x^2$ است.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

$(4x)^3y+8x^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

این روش نامیده می شود فاکتورسازی با حذف یک عامل مشترک

عامل متداول در این مورد مونومی $4x^2$ بود.

الگوریتم

تبصره 1

مثال 3

فاکتور مشترک $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ را بردارید

راه حل:

ما GCD ضرایب را برای این کار پیدا می کنیم، ضرایب را به عوامل ساده تجزیه می کنیم

$45=3\cdot 3\cdot 5$

و ما محصول آنهایی را می یابیم که وارد بسط هر یک می شوند:

متغیرهایی را که بخشی از هر تک جمله هستند شناسایی کنید و متغیری را با کوچکترین توان انتخاب کنید.

$a^3=a^2\cdot a$

متغیر $b$ فقط وارد مونومی دوم و سوم می شود، به این معنی که وارد فاکتور مشترک نمی شود.

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

درس جبر پایه هفتم.

موضوع "براکت بندی عامل مشترک".

کتاب درسی Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. و غیره.

اهداف درس:

آموزشی –

شناسایی سطح تسلط دانش آموزان بر مجموعه ای از دانش و مهارت در استفاده از مهارت های ضرب و تقسیم درجات.

برای ایجاد توانایی اعمال تجزیه یک چند جمله ای به عوامل با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز.

هنگام حل معادلات، از خارج کردن عامل مشترک از پرانتز استفاده کنید.

آموزشی –

برای ترویج توسعه مشاهده، توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری؛

مهارت های خودکنترلی را در هنگام انجام وظایف ایجاد کنید.

آموزشی -

آموزش مسئولیت، فعالیت، استقلال، خودارزیابی عینی.

نوع درس:ترکیب شده.

نتایج اصلی یادگیری:

بتواند عامل مشترک را از پرانتز خارج کند.

بتواند درخواست کند بدین ترتیبهنگام حل تمرین

حرکتدرس

1 ماژول (30 دقیقه).

1. زمان سازماندهی

با درود؛

آماده سازی دانش آموزان برای کار

2. معاینه مشق شب.

بررسی در دسترس بودن (در وظیفه)، بحث در مورد مسائلی که به وجود آمده است.

3 . به روز رسانی دانش پایه

اچ GCD (15.6)، (30.60)، (24.8)، (4.3)، (20.55)، (16، 12) را پیدا کنید.

NOD چیست؟

چگونه قدرت ها را با یک پایه تقسیم می کنید؟

چگونه توان ها را با یک پایه یکسان ضرب می کنید؟

برای این درجه ها (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 درجه با کوچکترین توان، پایه های یکسان، توان های یکسان چقدر است

بیایید قانون توزیعی ضرب را تکرار کنیم. آن را به صورت حروف الفبا بنویسید

a (b + c) \u003d av + ac

* - علامت ضربدر

انجام وظایف شفاهی در مورد استفاده از خواص توزیعی. (روی تخته آماده کنید).

1) 2 * (a + c) 4) (x - 6) * 5

2) 3*(x - y) 5) -4*(y + 5)

3) a * (4 + x) 6) -2 * (c - a)

وظایف روی یک تخته بسته نوشته می شوند، بچه ها حل می کنند و نتیجه را روی تخته می نویسند. وظایف ضرب یک تک جمله ای در چند جمله ای.

برای شروع، من مثالی از ضرب یک تک جمله ای در یک چند جمله ای را به شما پیشنهاد می کنم:

2 x (x 2 +4 x y - 3) \u003d 2x 3 + 8x 2 y - 6x پاک نکنید!

قانون ضرب یک جمله در چند جمله ای را به شکل نمودار بنویسید.

یک یادداشت روی تابلو وجود دارد:

من می توانم این ویژگی را به صورت زیر بنویسم:

در این فرم قبلاً از نماد برای استفاده کرده ایم راه اسانارزیابی بیان

الف) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

بقیه شفاهی هستند، پاسخ ها را بررسی کنید:

و) 55*682 - 45*682 = 6820

ز) 7300*3 + 730*70 = 73000

ح) 500*38 - 50*80 = 15000

کدام قانون به شما کمک کرد تا راه آسانی برای محاسبه پیدا کنید؟ (توزیعی)

در واقع، قانون توزیعی به ساده سازی عبارات کمک می کند.

4 . تعیین هدف و موضوع درس. شمارش شفاهی موضوع درس را حدس بزنید.

دوتایی کار کنید.

کارت برای زوج ها.

به نظر می رسد که فاکتورگیری یک عبارت، عمل معکوس ضرب ترم به ترم یک تک جمله ای در یک چند جمله ای است.

همان مثالی را در نظر بگیرید که دانش آموز حل کرد، اما به ترتیب معکوس. فاکتورسازی یعنی خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز.

2 x 3 + 8 x 2 y - 6 x \u003d 2 x (x 2 + 4 xy - 3).

امروز در درس مفاهیم فاکتورگیری چند جمله ای و خارج کردن عامل مشترک از پرانتز را در نظر می گیریم، یاد می گیریم که چگونه این مفاهیم را هنگام انجام تمرینات به کار ببریم.

الگوریتم خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

بزرگترین مقسوم علیه مشترک ضرایب.

متغیرهای تحت اللفظی یکسان

کوچکترین درجه را روی متغیرهای رندر شده قرار دهید.

سپس تک جمله های باقیمانده چند جمله ای در پرانتز نوشته می شوند.

بیشترین تقسیم‌کننده مشترک در پایه‌های پایین‌تر یافت شد، متغیر مشترک با کمترین میزان بلافاصله قابل مشاهده است. و برای یافتن سریع چند جمله ای باقیمانده در پرانتز، باید با استفاده از شماره 657 تمرین کنید.

5. جذب اولیه با بلند صحبت کردن.

شماره 657 (1 ستون)

2 ماژول (30 دقیقه).

1. خلاصه 30 دقیقه اول.

الف) تجزیه چند جمله ای به عوامل به چه تبدیلی گفته می شود؟

ب) حذف عامل مشترک خارج از پرانتز بر چه ویژگی است؟

ج) فاکتور مشترک چگونه از براکت خارج می شود؟

2. بست اولیه.

عبارات روی تابلو نوشته شده است. خطاهای موجود در این برابری ها را در صورت وجود پیدا کنید و آنها را اصلاح کنید.

1) 2 x 3 - 3 x 2 - x \u003d x (2 x 2 - 3 x).

2) 2 x + 6 = 2 (x + 3).

3) 8 x + 12 سال \u003d 4 (2 x - 3y).

4) a 6 - a 2 \u003d a 2 (a 2 - 1).

5) 4 -2a = - 2 (2 - a).

3. آزمون اولیه درک

با خودآزمایی کار کنید. 2 نفر سمت معکوس

فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنید:

شفاهی با ضرب بررسی کنید.

4. آماده سازی دانش آموزان برای فعالیت های عمومی.

ضریب چند جمله ای را از داخل پرانتز خارج می کنیم (توضیحات معلم).

چند جمله ای را فاکتور بردارید.

در این عبارت می بینیم که همان عاملی وجود دارد که می توان از پرانتز خارج کرد. بنابراین، دریافت می کنیم:

عبارات و متضاد هستند، بنابراین در برخی موارد می توانید از این برابری استفاده کنید . دوبار تابلو را عوض می کنیم!چند جمله ای را فاکتور بگیرید

در اینجا عبارات متضاد وجود دارد و با استفاده از هویت قبلی، نماد زیر را دریافت می کنیم: .

و اکنون می بینیم که عامل مشترک را می توان از پرانتز خارج کرد.

در این مقاله بر روی آن تمرکز خواهیم کرد براکت کردن عامل مشترک. برای شروع، بیایید بفهمیم که تبدیل مشخص شده عبارت از چه چیزی است. در مرحله بعد، قانون خارج کردن فاکتور مشترک را از پرانتز می‌دهیم و نمونه‌هایی از کاربرد آن را به تفصیل در نظر می‌گیریم.

پیمایش صفحه.

به عنوان مثال، عبارات در عبارت 6 x+4 y یک عامل مشترک 2 دارند که به صراحت نوشته نشده است. تنها پس از نمایش عدد 6 به عنوان حاصلضرب 2 3 و 4 به عنوان حاصلضرب 2 2 قابل مشاهده است. بنابراین، 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). مثال دیگر: در عبارت x 3 +x 2 +3 x، اصطلاحات دارای یک عامل مشترک x هستند که پس از جایگزینی x 3 با x x 2 (در این مورد استفاده کردیم) و x 2 با x x به وضوح قابل مشاهده است. پس از بیرون آوردن آن از داخل براکت، x·(x 2 +x+3) را بدست می آوریم.

به طور جداگانه، اجازه دهید در مورد خارج کردن منهای از پرانتز بگوییم. در واقع خارج کردن منهای از براکت ها به معنای خارج کردن واحدهای منفی از براکت ها است. برای مثال، اجازه دهید منهای عبارت −5−12 x+4 x y را برداریم. عبارت اصلی را می توان به صورت بازنویسی کرد (-1) 5+(-1) 12 x-(-1) 4 x y، که از آن ضریب مشترک -1 به وضوح قابل مشاهده است که ما آن را از براکت ها خارج می کنیم. در نتیجه، به عبارت (-1) (5+12 x-4 x y) می رسیم که در آن ضریب -1 به سادگی با یک منهای در جلوی براکت ها جایگزین می شود، در نتیجه − (5+) داریم. 12 x-4 x y). این به وضوح نشان می‌دهد که وقتی منهای از پرانتز خارج می‌شود، مجموع اصلی در پرانتز باقی می‌ماند که در آن علائم تمام عبارات آن به عکس تغییر می‌کند.

در پایان این مقاله، متذکر می شویم که براکتینگ فاکتور مشترک بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال، می توان از آن برای محاسبه منطقی تر مقادیر عبارات عددی استفاده کرد. همچنین، براکت کردن عامل مشترک به شما امکان می دهد عبارات را در قالب یک محصول نشان دهید، به ویژه، یکی از روش های فاکتورگیری چند جمله ای بر اساس براکت است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

ریاضیات.کلاس ششم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات / [ن. Ya. Vilenkin و دیگران]. - چاپ بیست و دوم، کشیش. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. شابک 978-5-346-00897-2.

در این درس با قوانین براکت گذاری فاکتور مشترک آشنا می شویم، یاد می گیریم که چگونه آن را در نمونه های مختلفو عبارات بیایید در مورد اینکه چگونه یک عملیات ساده، با خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، به ما اجازه می دهد تا محاسبات را ساده کنیم، صحبت کنیم. ما دانش و مهارت های به دست آمده را با در نظر گرفتن نمونه هایی از مشکلات مختلف تثبیت خواهیم کرد.

فاکتور مشترک چیست، چرا به دنبال آن باشیم و به چه منظور باید از پرانتز خارج شود؟ بیایید با یک مثال ساده به این سوالات پاسخ دهیم.

بیایید معادله را حل کنیم. سمت چپمعادله یک چند جمله ای است که از جمله های مشابه تشکیل شده است. قسمت حرف مشترک این اعضاست، یعنی یک عامل مشترک خواهد بود. بیایید آن را از پرانتز خارج کنیم:

در این مورد، پرانتز کردن عامل مشترک به ما کمک کرد تا چند جمله ای را به یک تک جمله ای تبدیل کنیم. بنابراین، ما توانستیم چند جمله ای را ساده کنیم و تبدیل آن به ما کمک کرد تا معادله را حل کنیم.

در مثال بالا، عامل مشترک واضح بود، اما آیا یافتن آن در یک چند جمله‌ای دلخواه به این راحتی خواهد بود؟

بیایید مقدار عبارت را پیدا کنیم: .

که در این مثالخارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز، محاسبه را بسیار ساده کرد.

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم. اجازه دهید تقسیم پذیری را به عبارات اثبات کنیم.

عبارت حاصل بر بخش پذیر است که باید ثابت شود. و دوباره، در نظر گرفتن عامل مشترک به ما اجازه داد تا مشکل را حل کنیم.

بیایید یک مثال دیگر را حل کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که عبارت برای هر طبیعی قابل تقسیم است: .

عبارت حاصل ضرب دو عدد مجاور سری طبیعی است. یکی از دو عدد الزاما زوج خواهد بود، به این معنی که عبارت بر .

ما برچیده شدیم نمونه های مختلف، اما از همان روش حل استفاده کرد: خارج کردن فاکتور مشترک از براکت. می بینیم که این عملیات ساده محاسبات را بسیار ساده می کند. یافتن یک عامل مشترک برای این موارد خاص آسان بود، اما در حالت کلی، برای چند جمله ای دلخواه چطور؟

به یاد بیاورید که چند جمله ای مجموع تک جمله ها است.

چند جمله ای را در نظر بگیرید . این چند جمله ای مجموع دو تک جمله ای است. مونومی حاصل ضرب یک عدد، یک ضریب و یک جزء حرفی است. بنابراین، در چند جمله ای ما، هر تک جمله ای با حاصل ضرب یک عدد و توان ها، حاصل ضرب ضرایب نشان داده می شود. ضریب ها ممکن است برای همه تک اسم ها یکسان باشد. این عوامل هستند که باید مشخص شوند و از پرانتز خارج شوند. ابتدا یک عامل مشترک برای ضرایب و عدد صحیح پیدا می کنیم.

یافتن عامل مشترک آسان بود، اما بیایید GCD ضرایب را تعریف کنیم: .

مثال دیگری را در نظر بگیرید: .

بیایید پیدا کنیم که به ما امکان می دهد فاکتور مشترک این عبارت را تعیین کنیم: .

ما یک قانون برای ضرایب اعداد صحیح استخراج کرده ایم. باید GCD آنها را پیدا کنید و آن را از براکت خارج کنید. بیایید با حل یک مثال دیگر این قانون را اصلاح کنیم.

برای ضرایب اعداد صحیح قاعده در نظر گرفتن ضریب مشترک را در نظر گرفته ایم، به قسمت حرف می رویم. ابتدا به دنبال حروفی می گردیم که در همه تک جملات گنجانده شده اند و سپس بزرگترین درجه حرفی را که در همه تک جملات گنجانده شده است تعیین می کنیم: .

در این مثال، تنها یک متغیر تحت اللفظی مشترک وجود داشت، اما ممکن است بیش از یک متغیر باشد، مانند مثال زیر:

بیایید مثال را با افزایش تعداد مونومی ها پیچیده کنیم:

پس از خارج کردن ضریب مشترک، جمع جبری را به یک محصول تبدیل کردیم.

ما قوانین رندر ضرایب صحیح و متغیرهای حرفی را به طور جداگانه بررسی کردیم، اما اغلب برای حل یک مثال باید آنها را با هم اعمال کنید. به یک مثال توجه کنید:

گاهی اوقات تعیین اینکه کدام عبارت در پرانتز باقی مانده است دشوار است پذیرایی آسان، که به شما این امکان را می دهد که به سرعت این مشکل را حل کنید.

فاکتور مشترک نیز می تواند مقدار مورد نظر باشد:

یک عامل مشترک می تواند نه تنها یک عدد یا یک تک جمله باشد، بلکه می تواند هر عبارتی باشد، مانند مثلاً در معادله زیر.