انجام عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی. عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی. بررسی تکالیف

عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی

عملیات حسابی در تمام سیستم های اعداد موقعیتی طبق همان قوانین شناخته شده انجام می شود.

اضافهجمع اعداد را در سیستم اعداد باینری در نظر بگیرید. این بر اساس جدول جمع اعداد باینری تک رقمی است:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

توجه به این نکته مهم است که هنگام اضافه کردن دو واحد، بیت سرریز می کند و انتقال به بالاترین بیت اتفاق می افتد. سرریز زمانی اتفاق می افتد که مقدار عدد موجود در آن مساوی یا بزرگتر از پایه شود.

جمع اعداد باینری چند رقمی مطابق با جدول جمع بالا و با در نظر گرفتن انتقال احتمالی از ارقام پایین به ارقام بالاتر انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را در یک ستون جمع کنیم:

بیایید صحت محاسبات را با جمع در سیستم اعداد اعشاری بررسی کنیم. بیایید اعداد باینری را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم و سپس آنها را اضافه کنیم:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

اکنون نتیجه جمع دودویی را به یک عدد اعشاری ترجمه می کنیم:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .

نتایج را مقایسه کنید - اضافه کردن صحیح است.

منها کردن.تفریق اعداد باینری را در نظر بگیرید. بر اساس جدول تفریق اعداد باینری تک رقمی است. وقتی از یک عدد کوچکتر (0) یک عدد بزرگتر (1) کم می کنیم، از بالاترین مرتبه وام گرفته می شود. در جدول، وام با یک خط نشان داده شده است:

ضرب.ضرب بر اساس جدول ضرب اعداد باینری تک رقمی است:

بخش.عملیات تقسیم بر اساس الگوریتمی مشابه الگوریتم عملیات تقسیم در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید عدد باینری 110 2 را بر 11 2 تقسیم کنیم:

برای انجام عملیات حسابی بر روی اعداد بیان شده در سیستم های اعداد مختلف، ابتدا باید آنها را به یک سیستم ترجمه کنید.

وظایف

1.22. جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد باینری 1010 2 و 10 2 را انجام دهید و صحت عملیات حسابی را با استفاده از ماشین حساب الکترونیکی بررسی کنید.

1.23. اعداد هشتی را اضافه کنید: 5 8 و 4 8 , 17 8 و 41 8 .

1.24. اعداد هگزادسیمال را تفریق کنید: F 16 و A 16، 41 16 و 17 16.

1.25. اعداد را اضافه کنید: 178 و 1716، 418 و 4116

سیستم های اعداد

سیستم شماره -مجموعه ای از تکنیک ها و قوانین برای نوشتن اعداد با علائم یا نمادهای دیجیتال.

تمام سیستم های اعداد را می توان به دو دسته تقسیم کرد: موضعیو غیر موضعی. در کلاس سیستم های موقعیتی، از تعداد معینی کاراکتر که با یکدیگر متفاوت هستند، برای نوشتن اعداد در سیستم های اعداد مختلف استفاده می شود. تعداد این گونه کاراکترها در سیستم اعداد موقعیتی نامیده می شود پایه سیستم اعداددر زیر جدولی حاوی نام برخی از سیستم های اعداد موقعیتی و لیستی از کاراکترها (اعداد) است که اعداد در آنها تشکیل شده است.

برخی از سیستم های اعداد

در سیستم اعداد موقعیتی، موقعیت نسبی یک رقم در یک عدد با ضریب وزنی همراه است و عدد را می توان به عنوان مجموع حاصلضرب ضرایب با درجه مربوط به پایه سیستم اعداد (وزن) نشان داد. عامل):

A n A n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(علامت "" قسمت صحیح عدد را از قسمت کسری جدا می کند. بنابراین، مقدار هر علامت در عدد بستگی به موقعیتی دارد که علامت در ورودی عدد اشغال می کند. به همین دلیل است که چنین سیستم های اعدادی را موقعیتی می نامند. ).

سیستم اعداد موقعیتی - سیستمی که در آن ارزش یک عدد با مقادیر ارقام آن و موقعیت نسبی آنها در عدد تعیین می شود.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

شاخص اعشاری در پایین، پایه سیستم اعداد را نشان می دهد.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10 .

هنگام کار با رایانه، شما باید از چندین سیستم اعداد موقعیتی به صورت موازی (اغلب باینری، اعشاری، اکتال و هگزادسیمال) استفاده کنید، بنابراین روش های تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر از اهمیت عملی زیادی برخوردار است. توجه داشته باشید که در تمام مثال های بالا، نتیجه یک عدد اعشاری است و بنابراین روشی برای تبدیل اعداد از هر سیستم اعداد موقعیتی به اعشاری قبلا نشان داده شده است.

به طور کلی، برای تبدیل قسمت صحیح یک عدد از سیستم اعشاری به سیستم پایه B، باید آن را بر B تقسیم کنید. ضریب حاصل باید دوباره بر B تقسیم شود - باقیمانده رقم بعدی عدد و غیره را می دهد. تقسیمات تا زمانی ادامه می یابد که ضریب از پایه کمتر شود. مقادیر باقیمانده به دست آمده، به ترتیب معکوس، عدد باینری مورد نظر را تشکیل می دهند.

نمونه ای از ترجمه کل قسمت: 25 10 را به عدد باینری تبدیل کنید.

25/2 = 12 با باقیمانده 1،

12/2 = 6 با باقیمانده 0،

6/2 = 3 با باقیمانده 0،

قسمت های عدد صحیح و کسری به طور جداگانه ترجمه می شوند. برای ترجمه قسمت کسری باید آن را در B ضرب کرد. قسمت کسری حاصل باید دوباره در B ضرب شود. قسمت صحیح عدد حاصل علامت بعدی خواهد بود و غیره.

برای ترجمه بخش کسری (یا عددی که دارای اعداد صحیح "0" است)، باید آن را در 2 ضرب کنید. سپس با حذف قسمت صحیح حاصل، دوباره در 2 ضرب می کنیم و به همین ترتیب. توجه داشته باشید که کسر اعشاری نهایی در این مورد ممکن است به یک باینری بی نهایت (تناوبی) تبدیل شود.

نمونه ای از ترجمه جزء کسری: 0.73 10 را به عدد باینری تبدیل کنید.

0.73 ⋅ 2 = 1.46 (کل قسمت از 1)،

0.46 ⋅ 2 = 0.92 (کل قسمت 0)،

0.92 ⋅ 2 = 1.84 (کل قسمت از 1)،

0.84 ⋅ 2 = 1.68 (کل قسمت 1) و غیره.

بنابراین: 0.73 10 \u003d 0.1011 2.

روی اعداد نوشته شده در هر سیستم عددی، می توانید عملیات حسابی مختلفی را انجام دهید. عملیات حسابی در تمام سیستم های اعداد موقعیتی طبق همان قوانین شناخته شده انجام می شود.

دو عدد را به پایه ده اضافه کنید:

هنگام جمع کردن اعداد 6 و 7، نتیجه را می توان به عنوان عبارت 10 + 3 نشان داد، که در آن 10 پایه کامل سیستم اعداد اعشاری است. بیایید 10 (پایه) را با 1 جایگزین کنیم و در سمت چپ عدد 3 را جایگزین کنیم.

6 10 + 7 10 = 13 10 .

دو عدد را به پایه هشت اضافه کنید:

هنگام جمع کردن اعداد 6 و 7، نتیجه را می توان به عنوان عبارت 8 + 5 نشان داد، که در آن 8 پایه کامل سیستم اعداد هشتگانه است. 8 (پایه) را با 1 جایگزین کنید و در سمت چپ عدد 5 جایگزین کنید.

6 8 + 7 8 = 15 8 .

دو عدد بزرگ را به پایه هشت اضافه کنید:

جمع از رقم کم اهمیت شروع می شود. بنابراین، 4 8 + 6 8 به صورت 8 (پایه) + 2 نشان داده می شود. 8 (پایه) را با 1 جایگزین کنید و این واحد را به ارقام مرتبه بالا اضافه کنید. بعد، ارقام زیر را اضافه کنید: 5 8 + 3 8 + 1 8 به عنوان 8 + 1 نشان داده می شود، 8 (پایه) را با 1 جایگزین کنید و آن را به بالاترین رقم اضافه کنید. علاوه بر این، 2 8 + 7 8 + 1 8 را به عنوان 8 (پایه) + 2 نشان می دهیم، 8 (پایه) را با 1 جایگزین می کنیم و در سمت چپ عدد حاصل (در موقعیت مهم ترین رقم) جایگزین می کنیم. بنابراین، معلوم می شود:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16،

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

سایر عملیات های حسابی (تفریق، ضرب و تقسیم) در سیستم های اعداد مختلف به طور مشابه انجام می شود.

ضرب در یک "ستون" را با استفاده از مثال دو عدد از سیستم باینری در نظر بگیرید:

11101 2 101 2

اعداد را مطابق با اعداد زیر یکدیگر می نویسیم. سپس ضریب دوم را در ضریب اول ضرب بیتی انجام می دهیم و آن را با شیفت به چپ می نویسیم، درست مانند ضرب اعداد اعشاری. باقی مانده است که اعداد "تغییر شده" را با در نظر گرفتن پایه اعداد، در این مورد باینری، اضافه کنید.

نتیجه را به پایه 16 تبدیل کنید.

در رقم دوم، 29 به صورت 16 (پایه) و 13 (D) نشان داده می شود. بیایید 16 (پایه) را با 1 جایگزین کنیم و به مهم ترین بیت اضافه کنیم.

در رقم سوم 96 + 1 = 97. سپس 97 را به عنوان 6 16 (مبنا) و 1 را نشان می دهیم. 6 را به مهم ترین رقم اضافه می کنیم.

در رقم چهارم 20 + 6 = 26. 26 را 16 (پایه) و 10 (A) را تصور کنید. واحد را به بالاترین رقم منتقل می کنیم.

با مهارت‌های خاصی در کار با سیستم‌های اعداد مختلف، رکورد را می‌توان بلافاصله به‌عنوان نشان داد

بنابراین، A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16،

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 \u003d 70616 8،

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16،

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2 .

از نقطه نظر مطالعه اصول بازنمایی و پردازش اطلاعات در کامپیوتر، سیستم های مورد بحث (باینری، اکتال و هگزادسیمال) بسیار مورد توجه هستند، اگرچه کامپیوتر داده های تبدیل شده به کد باینری (سیستم اعداد باینری) را پردازش می کند. با این حال، اغلب به منظور کاهش تعداد کاراکترهای نوشته شده بر روی کاغذ یا وارد شده از صفحه کلید کامپیوتر، استفاده از اعداد هشت یا هگزادسیمال راحت تر است، به خصوص که، همانطور که در زیر نشان داده خواهد شد، روش تبدیل متقابل اعداد از هر یک از این سیستم ها به دودویی بسیار ساده است - بسیار ساده تر از ترجمه بین هر یک از این سه سیستم و اعشاری.

بیایید اعداد سیستم های اعداد مختلف را به ترتیب به یکدیگر نشان دهیم:

جدول نشان می دهد که اعداد سیستم با پایه 2، 8 و 16 دارای الگوهای تناوبی هستند. بنابراین، هشت مقدار از سیستم هشتگانه، یعنی (از 0 تا 7 یا پایه کامل) مربوط به سه رقم ( سه گانه) سیستم باینری. بنابراین، برای توصیف اعداد یک رقمی سیستم هشتی، دقیقاً سه رقم از سیستم باینری مورد نیاز است. همین امر در مورد اعداد هگزادسیمال نیز صادق است. برای توصیف آنها فقط دقیقاً چهار بیت طول می کشد ( تترادها) سیستم باینری.

نتیجه این است که برای تبدیل هر عدد باینری عدد صحیح به اکتال، لازم است آن را از راست به چپ به گروه های 3 رقمی تقسیم کنیم (سمت چپ ترین گروه می تواند کمتر از سه رقم باینری داشته باشد)، و سپس معادل هشتی آن را به هر گروه اختصاص دهیم.

به عنوان مثال، شما می خواهید 11011001 2 را به اکتال تبدیل کنید.

عدد را به گروه های سه رقمی 011 2، 011 2 و 001 2 تقسیم می کنیم. اعداد مربوط به سیستم هشتی را جایگزین می کنیم. ما 3 8، 3 8 و 1 8 یا 331 8 را دریافت می کنیم.

11011001 2 = 331 8 .

به طور مشابه، انتقال معکوس انجام می شود، به عنوان مثال:

AB5D 16 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

ما به طور متناوب هر نماد از عدد AB5D 16 را با عدد مربوطه از سیستم باینری جایگزین می کنیم. ما 1010 16، 1011 16، 0101 16 و 1101 16 یا 1010101101011101 2 دریافت می کنیم.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

علاوه بر سیستم های اعداد موقعیتی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، سیستم هایی وجود دارند که در آنها ارزش علامت به مکانی که در عدد اشغال می کند بستگی ندارد. چنین سیستم های عددی نامیده می شوند غیر موضعی. شناخته شده ترین مثال از یک سیستم غیر موقعیتی است رومی. این سیستم از 7 کاراکتر (I, V, X, L, C, D, M) استفاده می کند که با مقادیر زیر مطابقت دارد:

قوانین نوشتن اعداد با اعداد رومی: - اگر عدد بزرگتر قبل از کوچکتر بیاید، جمع می شوند (اصل جمع)، - اگر عدد کوچکتر قبل از بزرگتر بیاید، آنگاه عدد کوچکتر از بزرگتر کم می شود (اصل تفریق).

قانون دوم به منظور جلوگیری از تکرار همان عدد چهار بار اعمال می شود. بنابراین، اعداد رومی I، X، C به ترتیب قبل از X، C، M برای نشان دادن 9، 90، 900 یا قبل از V، L، D برای نشان دادن 4، 40، 400 قرار می گیرند.

نمونه هایی از نوشتن اعداد با اعداد رومی:

IV = 5 - 1 = 4 (به جای IIII)،

XIX \u003d 10 + 10 - 1 \u003d 19 (به جای XVIIII)،

XL = 50 - 10 = 40 (به جای XXXX)،

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 و غیره.

لازم به ذکر است که انجام حتی عملیات ساده حسابی روی اعداد چند رقمی با اعداد رومی بسیار ناخوشایند است. احتمالاً پیچیدگی محاسبات در سیستم رومی، بر اساس استفاده از حروف لاتین، یکی از دلایل خوبی برای جایگزینی آن با سیستم اعشاری راحت تر در این زمینه بوده است.

3.1 پایه سیستم اعداد نامیده می شود ...

مجموعه ای از تکنیک ها و قوانین برای نوشتن اعداد با علائم یا نمادهای دیجیتال

تعداد کاراکترهای مورد استفاده در یک سیستم عددی موقعیتی خاص

مقسوم علیه که هنگام تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر استفاده می شود

عامل رایج هنگام ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

3.2 کدام سیستم اعداد به طور گسترده در فن آوری کامپیوتر استفاده نمی شود

هشتی

دودویی

پنج برابر

هگزادسیمال

برای کار با داده ها استفاده می شود کد نویسی، یعنی بیان داده های یک نوع بر حسب داده های نوع دیگر.

فناوری رایانه نیز سیستم خاص خود را دارد - به آن می گویند رمزگذاری باینریو بر اساس نمایش داده ها توسط دنباله ای از دو کاراکتر است: 0 و 1. این کاراکترها نامیده می شوند. ارقام باینری،به انگلیسی - رقم باینرییا به طور خلاصه بیت (بیت).

دو مفهوم را می توان در یک بیت بیان کرد: 0 یا 1 (آرهیا نه سیاهیا سفید، واقعییا دروغو غیره.). اگر تعداد بیت ها به دو عدد افزایش یابد، چهار مفهوم مختلف را می توان از قبل بیان کرد:

سه بیت می توانند هشت مقدار مختلف را رمزگذاری کنند: 000 001 010 011 100 101 110 111

با افزایش یک عدد ارقام در سیستم کدگذاری باینری، تعداد مقادیری را که می توان در این سیستم بیان کرد، دو برابر می کنیم، یعنی فرمول کلی به نظر می رسد:

N=2 متر،جایی که:

N-تعداد مقادیر رمزگذاری شده مستقل؛

تی- عمق بیت کدگذاری باینری اتخاذ شده در این سیستم.

از آنجایی که یک بیت یک واحد اندازه گیری بسیار کوچک است، در عمل اغلب از یک واحد بزرگتر استفاده می شود - یک بایت، برابر با هشت بیت.

واحدهای داده مشتق شده بزرگتر نیز استفاده می شوند:

کیلوبایت (KB) = 1024 بایت = 2 10 بایت;

مگابایت (MB) = 1024 کیلوبایت = 2 20 بایت.

گیگابایت (GB) = 1024 مگابایت = 230 بایت.

اخیراً به دلیل افزایش حجم داده های پردازش شده، واحدهای مشتق شده مانند:

ترابایت (TB) = 1024 گیگابایت = 240 بایت.

پتابایت (PB) = 1024 ترابایت = 250 بایت.

اگزابایت (Ebyte) = 1024 PB = 260 بایت.

رمزگذاری اطلاعات متنیبا استفاده از کد استاندارد آمریکایی برای تبادل اطلاعات ASCII تولید می شود که کدهای کاراکتر را از 0 تا 127 تنظیم می کند. استانداردهای ملی 1 بایت اطلاعات را برای یک کاراکتر اختصاص می دهند و شامل یک جدول کد ASCII و همچنین کدهای الفبای ملی با اعداد 128 هستند. تا 255. در حال حاضر پنج رمزگذاری سیریلیک مختلف وجود دارد: KOI-8، MS-DOS، Windows، Macintosh و ISO. در پایان دهه 90، یک استاندارد بین المللی یونیکد جدید ظاهر شد که نه یک بایت، بلکه دو بایت را برای هر کاراکتر اختصاص می دهد و بنابراین می توان از آن برای رمزگذاری نه، بلکه شخصیت های مختلف استفاده کرد.

جدول کدگذاری پایه ASCIIدر جدول نشان داده شده است.

رمزگذاری گرافیکی رنگیبا استفاده از یک شطرنجی ساخته شده است، که در آن هر نقطه با شماره رنگ آن مرتبط است. در سیستم کدگذاری RGB، رنگ هر نقطه با مجموع رنگ های قرمز (قرمز)، سبز (سبز) و آبی (آبی) نشان داده می شود. در سیستم کدگذاری CMYK، رنگ هر نقطه با مجموع رنگ های فیروزه ای (فیروزه ای)، سرخابی (سرخابی)، زرد (زرد) و افزودن رنگ های سیاه (سیاه، K) نشان داده می شود.

کدگذاری آنالوگ

از لحاظ تاریخی، اولین شکل تکنولوژیکی دریافت، انتقال و ذخیره داده، نمایش آنالوگ (مستمر) یک سیگنال صوتی، نوری، الکتریکی یا سایر سیگنال ها بود. برای دریافت چنین سیگنال هایی در رایانه، ابتدا تبدیل آنالوگ به دیجیتال انجام می شود.

تبدیل آنالوگ به دیجیتال شامل اندازه گیری سیگنال آنالوگ در فواصل منظم τ و رمزگذاری نتیجه اندازه گیری با یک کلمه دودویی n بیتی است. در این مورد، دنباله ای از کلمات دودویی n بیتی به دست می آید که نشان دهنده یک سیگنال آنالوگ با دقت معین است.

استاندارد CD که در حال حاضر پذیرفته شده است از اصطلاحاً "صدای 16 بیتی با نرخ اسکن 44 کیلوهرتز" استفاده می کند. برای شکل بالا که به زبان عادی ترجمه شده است، این بدان معناست که "طول گام" (t) 1/44000 ثانیه و "ارتفاع گام" (δ) 1/65536 از حداکثر حجم سیگنال است (از 2 16 \\ u003d 65,536) . در این حالت، محدوده فرکانس بازتولید 0-22 کیلوهرتز و محدوده دینامیکی 96 دسی بل است (که یک مشخصه کیفی است که برای ضبط صدای مغناطیسی یا مکانیکی کاملاً غیرقابل دستیابی است).

متراکم سازی داده ها.

حجم داده های پردازش و ارسال شده به سرعت در حال رشد است. این به دلیل اجرای فرآیندهای کاربردی پیچیده تر، ظهور خدمات جدید اطلاعاتی، استفاده از تصاویر و صدا است.

فشرده سازی داده ها (فشرده سازی داده ها)- فرآیندی که حجم داده ها را کاهش می دهد. فشرده سازی به شما امکان می دهد تا میزان حافظه مورد نیاز برای ذخیره داده ها را به شدت کاهش دهید، زمان انتقال آنها را (به اندازه قابل قبول) کاهش دهید. فشرده سازی تصویر به ویژه موثر است. فشرده سازی داده ها را می توان هم توسط نرم افزار و سخت افزار و هم به روش ترکیبی انجام داد.

فشرده‌سازی متن با طرح‌بندی فشرده‌تر همراه است بایت هارمزگذاری کاراکترها همچنین از تعداد تکرار فاصله استفاده می کند. در مورد صدا و تصویر، مقدار اطلاعاتی که آنها را نشان می دهد به مرحله کمی سازی انتخاب شده و تعداد ارقام تبدیل آنالوگ به دیجیتال بستگی دارد. اصولاً در اینجا از همان روش های فشرده سازی مانند پردازش متن استفاده می شود. اگر فشرده سازی متن بدون از دست دادن اطلاعات اتفاق بیفتد، فشرده سازی صدا و تصویر تقریباً همیشه منجر به از دست دادن اطلاعات می شود. فشرده سازی به طور گسترده ای در آرشیو داده ها استفاده می شود.

نشانه گذاری- نمایش یک عدد توسط مجموعه خاصی از کاراکترها. سیستم های اعداد عبارتند از:

1. مجرد (سیستم برچسب ها یا چوب ها).

2. غیر موضعی (رومی);

3. موقعیتی (اعشاری، باینری، هشتی، هگزادسیمال و غیره).

موضعیسیستم اعدادی نامیده می شود که در آن مقدار کمی هر رقم به مکان (موقعیت) آن در عدد بستگی دارد. پایهسیستم اعداد موقعیتی به یک عدد صحیح افزایش یافته به توانی گفته می شود که برابر با تعداد ارقام این سیستم است.

سیستم اعداد باینری شامل یک الفبای دو رقمی است: 0 و 1.

سیستم اعداد هشتگانه شامل الفبای 8 رقمی است: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 و 7.

سیستم اعداد اعشاری شامل الفبای 10 رقمی است: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9.

سیستم اعداد هگزا دسیمال شامل الفبای 16 رقمی است: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F.

در فناوری کامپیوتر، کدگذاری در سیستم باینری استفاده می شود، یعنی. دنباله 0 و 1

برای تبدیل یک عدد صحیح از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، باید الگوریتم زیر را انجام دهید:

1. پایه سیستم اعداد جدید را بر حسب اعداد سیستم اعداد اصلی بیان کنید.

2. عدد داده شده را به طور پیوسته بر اساس سیستم اعداد جدید تقسیم کنید تا زمانی که ضریبی کمتر از مقسوم علیه بدست آورید.

3. مانده های حاصل را به یک سیستم اعداد جدید منتقل کنید.

4. از باقی مانده ها در سیستم اعداد جدید، یک عدد بنویسید و از آخرین باقی مانده شروع کنید.

به طور کلی، در یک SS موقعیتی با پایه P، هر عدد X را می توان به عنوان یک چند جمله ای در پایه P نشان داد:

X \u003d a n P n + a n-1 P n-1 + ... + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + ... + a -m P -m،

که در آن ضرایب a i می تواند هر یک از ارقام P استفاده شده در SS با پایه P باشد.

تبدیل اعداد از 10 SS به اعداد دیگر برای قسمت های اعداد صحیح و کسری عدد با روش های مختلفی انجام می شود:

الف) قسمت صحیح عدد و ضرایب میانی بر پایه SS جدید که در 10 SS بیان می شود تقسیم می شوند تا زمانی که ضریب تقسیم از پایه SS جدید کمتر شود. اقدامات در 10 سی سی انجام می شود. نتیجه خصوصی است و به ترتیب معکوس نوشته می شود.

ب) قسمت کسری عدد و قطعات کسری حاصل از محصولات میانی در پایه SS جدید ضرب می شود تا به دقت مشخص شده برسد، یا "0" در قسمت کسری محصول میانی به دست آید. نتیجه تمام قسمت های آثار میانی است که به ترتیب دریافت نوشته شده اند.

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال 2عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3. عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15

ترجمه 8 (16) عدد به شکل 2 - کافی است هر رقم این عدد را با عدد باینری 3 رقمی (4 رقمی) مربوطه جایگزین کنید. صفرهای غیر ضروری را در ارقام بالا و پایین کنار بگذارید.

مثال 1: عدد 305.4 8 را به SS باینری تبدیل کنید.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

مثال 2: عدد 9AF,7 16 را به CC باینری تبدیل کنید.

(_9 __ _آ __ _اف __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

برای ترجمه عدد 2 به 8 (16) SS، به شرح زیر عمل کنید: حرکت از کاما به چپ و راست، عدد باینری را به گروه های 3 (4) رقمی تقسیم کنید، در صورت لزوم، گروه های چپ و راست را با صفر تکمیل کنید. . سپس هر گروه با رقم هشتی (16) مربوطه جایگزین می شود.

مثال 1: عدد 110100011110100111,1001101 2 را به هشتی ss تبدیل کنید.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

مثال 2: عدد 110100011110100111,1001101 2 را به ss هگزادسیمال تبدیل کنید.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

عملیات حسابیدر همه سیستم های اعداد موقعیتی طبق قوانین مشابهی که برای شما شناخته شده است انجام می شود.

اضافهجمع اعداد را در سیستم اعداد باینری در نظر بگیرید. این بر اساس جدول جمع اعداد باینری تک رقمی است:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

توجه به این نکته مهم است که هنگام اضافه کردن دو واحد، بیت سرریز می کند و انتقال به بالاترین بیت اتفاق می افتد. سرریز زمانی اتفاق می افتد که مقدار عدد موجود در آن مساوی یا بزرگتر از پایه شود.

جمع اعداد باینری چند رقمی مطابق با جدول جمع بالا و با در نظر گرفتن انتقال احتمالی از ارقام پایین به ارقام بالاتر انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را در یک ستون جمع کنیم:

منها کردن.تفریق اعداد باینری را در نظر بگیرید. بر اساس جدول تفریق اعداد باینری تک رقمی است. وقتی از یک عدد کوچکتر (0) یک عدد بزرگتر (1) کم می کنیم، از بالاترین مرتبه وام گرفته می شود. در جدول، وام با یک خط نشان داده شده است:

ضرب.ضرب بر اساس جدول ضرب اعداد باینری تک رقمی است:

بخش.عملیات تقسیم بر اساس الگوریتمی مشابه الگوریتم عملیات تقسیم در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود. به عنوان مثال، بیایید عدد باینری 110 2 را بر 11 2 تقسیم کنیم:

برای انجام عملیات حسابی بر روی اعداد بیان شده در سیستم های اعداد مختلف، ابتدا باید آنها را به یک سیستم ترجمه کنید.

جمع و تفریق

در یک سیستم با پایه، اعداد 0، 1، 2، ...، s - 1 برای تعیین صفر و اولین اعداد طبیعی c-1 استفاده می کنند.برای انجام عمل جمع و تفریق، جدول جمع یک عدد اعداد رقمی گردآوری شده است.

جدول 1 - جمع دودویی

به عنوان مثال، جدول جمع در سیستم اعداد هگزادسیمال:

جدول 2 - جمع در سیستم هگزادسیمال

جمع هر دو عددی که در سیستم اعداد پایه c نوشته شده است، به همان ترتیبی که در سیستم اعشاری است، توسط ارقام، از رقم اول، با استفاده از جدول جمع این سیستم انجام می شود. اعدادی که باید اضافه شوند یکی پس از دیگری امضا می شوند تا ارقام همان ارقام به صورت عمودی بایستند. نتیجه جمع در زیر خط افقی ترسیم شده در زیر اعداد جمع نوشته می شود. همانطور که هنگام جمع اعداد در سیستم اعشاری، در موردی که جمع ارقام در هر رقمی یک عدد دو رقمی به دست می دهد، آخرین رقم این عدد به نتیجه نوشته می شود و رقم اول به نتیجه اضافه می شود. با افزودن رقم بعدی

مثلا،

می توانید قانون ذکر شده را برای اضافه کردن اعداد با استفاده از نمایش اعداد در فرم توجیه کنید:

بیایید به یکی از نمونه ها نگاه کنیم:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

ما به ترتیب عبارت ها را با توجه به درجه پایه 7 انتخاب می کنیم و از پایین ترین، صفر، درجه شروع می کنیم.

تفریق نیز با ارقام انجام می‌شود که از پایین‌ترین شروع می‌شود و اگر رقم کاهش‌یافته از رقم تفریق شده کمتر باشد، یکی از رقم بعدی کاهش‌یافته «اشغال» می‌شود و رقم متناظر آن فرعی است. از عدد دو رقمی حاصل کم می شود. هنگام تفریق ارقام رقم بعدی، در این مورد، باید از نظر ذهنی رقم عددی که در حال کاهش است را یک کاهش دهید، اما اگر این رقم صفر شد (و پس از آن کاهش آن غیرممکن است)، پس باید " یکی را از رقم بعدی بگیرید و سپس یک عدد کاهش دهید. نیازی به ایجاد جدول تفریق خاصی نیست، زیرا جدول جمع نتایج تفریق را نشان می دهد.

مثلا،

ضرب و تقسیم

برای انجام عملیات ضرب و تقسیم در سیستمی با پایه c، جدول ضرب اعداد تک رقمی تهیه می شود.

جدول 3 - ضرب اعداد تک رقمی

جدول 4 - ضرب در سیستم اعداد هگزادسیمال

ضرب دو عدد دلخواه در یک سیستم با پایه c به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود - توسط یک "ستون" انجام می شود، یعنی ضریب ضرب در رقم هر رقم ضریب (به ترتیب) ضرب می شود. با افزودن بعدی این نتایج میانی.

مثلا،

هنگام ضرب اعداد چند رقمی در نتایج میانی، شاخص پایه تنظیم نمی شود:

تقسیم در سیستم هایی با پایه c مانند سیستم اعداد اعشاری با زاویه انجام می شود. در این حالت از جدول ضرب و جدول جمع سیستم مربوطه استفاده می شود. اگر نتیجه تقسیم یک کسر c-ary محدود (یا یک عدد صحیح) نباشد، وضعیت پیچیده تر می شود. سپس هنگام انجام عملیات تقسیم معمولاً لازم است قسمت غیر تناوبی کسر و دوره آن انتخاب شود. توانایی انجام عملیات تقسیم در سیستم اعداد c-ary هنگام ترجمه اعداد کسری از یک سیستم عددی به سیستم دیگر مفید است.

مثلا:

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

روش های مختلفی برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر وجود دارد.

روش تقسیم

بگذارید عدد N=an an-1 داده شود. . . a1 a0 p.

برای به دست آوردن رکوردی از عدد N در یک سیستم با پایه h، باید آن را به شکل زیر نمایش دهید:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

کجا 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

از (1) دریافت می کنیم:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0، 0 کجاست؟ b0 ?h (3)

یعنی عدد b0 باقیمانده تقسیم عدد N بر عدد h است. ضریب ناقص Nl = bmhm-1+ . . . +b1 را می توان به صورت زیر نشان داد:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1، 0 کجاست؟ b2 ?h (4)

بنابراین، رقم bi در نماد (2) عدد N، باقیمانده تقسیم اولین ضریب جزئی N1 بر پایه h سیستم اعداد جدید است. ضریب ناقص دوم N2 را می توان به صورت زیر نشان داد:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2، 0 کجاست؟ b2 ?h (5)

یعنی عدد b2 باقیمانده تقسیم دومین نصف N2 بر پایه h سیستم جدید است. از آنجایی که ضریب ناقص کاهش می یابد، این فرآیند محدود است. و سپس Nm = bm را می گیریم، جایی که bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

بنابراین دنباله ارقام bm، bm-1 است. . ,b1,b0 در نماد عدد N در سیستم اعداد با پایه h دنباله ای از باقیمانده های تقسیم متوالی عدد N بر پایه h است که به ترتیب معکوس گرفته می شود.

یک مثال را در نظر بگیرید: عدد 123 را به هگزادسیمال تبدیل کنید:

بنابراین، عدد 12310=7(11)16 یا می توان آن را به صورت 7B16 نوشت.

بیایید عدد 340227 را در سیستم اعداد کوینری بنویسیم:

بنابراین، ما 340227=2333315 را دریافت می کنیم

علاوه بر اعشاری، تعداد غیرقابل اندازه گیری سیستم های دیگر وجود دارد که برخی از آنها برای نمایش و پردازش اطلاعات در رایانه استفاده می شوند. دو نوع سیستم اعداد وجود دارد: موقعیتی و غیر موقعیتی.

سیستم های غیر موقعیتی آنهایی هستند که در آنها هر رقم بدون توجه به موقعیتش در عدد، ارزش خود را حفظ می کند. به عنوان مثال سیستم اعداد رومی است که از اعدادی مانند I، V، X، L، C، D، M و غیره استفاده می کند.

موضعیسیستم های عددی نامیده می شوند که در آن مقدار هر رقم است بستگی به محل آن داردسیستم موقعیتی با مبنای حساب مشخص می شود، که به عنوان یک عدد £ درک می شود، که نشان می دهد چند واحد از هر دسته برای به دست آوردن یک واحد مرتبه بالاتر مورد نیاز است.

مثلا می توانید بنویسید

آنچه مربوط به اعداد در سیستم اعداد اعشاری است

شاخص زیر مبنای عدد را نشان می دهد.

برای ترجمه اعداد مثبت از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، دو قانون شناخته شده است:

ترجمه اعداد از سیستم ، وارد سیستم شود ;

ترجمه اعداد از سیستم ، وارد سیستم شود با استفاده از محاسبات سیستمی ;

قانون اول را در نظر بگیرید . فرض کنید عدد به صورت اعشاری باشد باید به صورت باینری نمایش داده شود . برای این کار این عدد بر پایه سیستم تقسیم می شود در سیستم ارائه شده است ، یعنی توسط 2 10 . باقیمانده تقسیم کمترین رقم قابل توجه عدد باینری خواهد بود. قسمت صحیح حاصل از تقسیم دوباره بر 2 تقسیم می شود. عمل تقسیم را چند بار تکرار کنید تا ضریب کمتر از دو شود.

مثال: 89 10 را با استفاده از حساب اعشاری به باینری تبدیل کنید

89 10 → 1011001 2

ترجمه معکوس طبق همین قاعده به شرح زیر است:

1011001 2 با استفاده از محاسبات باینری به اعشار تبدیل می شود

اعداد باینری 1000 و 1001 مطابق جدول 2.1 به ترتیب 8 و 9 هستند. بنابراین 1011001 2 → 89 10

گاهی اوقات انجام ترجمه معکوس با استفاده از قانون کلی برای نمایش یک عدد در هر سیستم اعدادی راحت تر است.

قانون دوم را در نظر بگیرید. ترجمه اعداد از سیستم ، وارد سیستم شود با استفاده از محاسبات سیستمی . برای انجام انتقال، به هر رقم از شماره در سیستم نیاز دارید ضرب در پایه سیستم اعداد در سیستم اعداد نشان داده شده است و در درجه موقعیت این عدد. پس از آن، محصولات به دست آمده خلاصه می شوند.

عملیات حسابی و منطقی

عملیات حسابی

حسابی سیستم اعداد باینری را در نظر بگیرید، زیرا این سیستم به دلایل زیر در رایانه های مدرن استفاده می شود:

ساده ترین عناصر فیزیکی وجود دارند که فقط دو حالت دارند و می توان آنها را 0 و 1 تفسیر کرد.

پردازش حسابی بسیار ساده است.

اعداد در سیستم‌های هشت‌گانه و هگزا دسیمال معمولاً به عنوان جایگزینی برای نمایش طولانی و در نتیجه نامناسب اعداد باینری استفاده می‌شوند.

عملیات جمع، تفریق و ضرب در سیستم باینری عبارتند از:

همانطور که قبلاً نشان داده شد، برای اینکه فقط با جمع کننده کار کنیم، یعنی فقط برای انجام عملیات جمع، عمل تفریق با جمع جایگزین می شود. برای این کار، یک کد عددی منفی به عنوان اضافه بر اعداد 2، 10، 100 و غیره تشکیل می شود.