İki değişkenli bir fonksiyonun geometrik gösterimi. Tanımlayıcı geometrinin birçok problemini çözmek için, özel konum çizgileri kullanılır - seviye çizgileri
Talimat
Seviye çizgileri oluştururken, belirli bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir yatay düzlemle kesişme çizgilerinin sıfır uygulamalı bir düzlem üzerindeki izdüşümleri oldukları gerçeğinden hareket edin. Bu kesit düzleminin uygulaması, çizgi noktalarının koordinatlarını elde etmek için fonksiyon denkleminin eşitlenmesi gereken sabittir. Bir dizi çizginin oluşturulması gerekiyorsa, problemin koşullarında belirtilen adımla değişebilir. Ve yalnızca bir seviye çizgisi oluşturmanız gerekiyorsa, koşullar üzerinde yatan noktanın koordinatları verilebilir. Bu sayfadaki grafikler etkileşimli olarak kaydedilebilir veya düzenlenebilir.
Problemin koşullarında verilen fonksiyonu f(x,y) = const formuna getirin. Örneğin, z = x² + y² - 4*y verildiğinde, fonksiyonun grafiğinin şeklini daha iyi temsil etmesi için alternatif bir biçimde yazılabilir ve c sabitine eşittir: c+4 = x²+(y- 2)². Böyle bir fonksiyonun hacimsel grafiği sonsuzdur ve farklı ,'lere (yani istenen seviye çizgilerine) yükseltilmiş yatay bir düzlemdeki tüm bölümleri, √(c+4) formülüyle belirlenen yarıçapa sahip eşmerkezli daireler olacaktır.
Düzey çizgisi için koşullarda belirtilen değeri c sabiti yerine değiştirin. Verilmemişse, işlevin aralığına göre kendiniz seçin. Örneğin, yukarıdaki örnek için, sabitin minimum değeri -4 olabilir. Sabit 5'e eşitlenebilir, bu durumda fonksiyonun grafiği yarıçapı √(5+4) = 3 olan ve apsisi 0'a ve ordinatı 2'ye eşit bir noktada ortalanmış bir daire olacaktır.
Birkaç seviye çizgisi çizmeniz gerekirse, önceki adımı gerektiği kadar tekrarlayın.
İnternette seviye çizgilerinin inşasına yardımcı olacak hizmetler bulabilirsiniz. Örneğin, aşağıda WolframAlpha hizmetine bir bağlantı bulunmaktadır. Sayfasındaki giriş alanına fonksiyonun formülünü girin ve eşittir işaretli butona tıklayın. Örnekte kullanılan z = x² + y² - 4*y fonksiyonu şu şekilde girilmelidir: x^2+y^2-4*y. Birkaç saniye içinde, sayfada seviye çizgileri olan iki ve üç boyutlu renkli grafikler, ayrıca formül tarafından açıklanan şekil, alternatif notasyon biçimleri ve seviye çizgileri oluştururken kullanılabilecek diğer işlevler görünecektir.
kaynaklar:
- WolframAlpha Hizmeti
Herkes bir aile despotu olmak istemez ama en çekingen ve kendi kendine yeten insanların bile en azından fikirlerini dinlemesi gerekir. nasıl sıralanır çizgiler etkilemek? Sadece bir şeye ihtiyacı olan birini etkileyebilirsiniz, o halde Maslow'un piramidini kullanarak partnerinizin ihtiyaçlarını ondan istediğinizi almak için nasıl kullanacağınıza bakalım.
Talimat
İnsan ihtiyaçları alanının merkezinde ihtiyaçlar vardır, bu öncelikle susuzluk, açlık ve cinsel istektir. Eşler, tüm yöntemlerde Pavlov'un köpekleri gibi eğitilirler, ancak bu yöntem en az inceliklidir. Bu nedenle, gençliklerinde bazı eşler en ufak bir kusur için kocalarını yakın ilişkilerden mahrum bırakırlar, kocalar da memnun etmeyenlerle ilgili olarak aynısını yapar. Ancak bu yöntemi olumlu kullanmak, yani tavizlere karşılık olarak sevdiğinize baş döndürücü, büyüleyici bir yakınlık vermek çok daha etkilidir.
Hiyerarşide daha yüksek olan güvenlik ihtiyacıdır. Herkes rahat, istikrarlı bir yaşam tarzıyla, hiçbir şeyden korkmadan yaşamak ister. Kırgın bir kadın aniden kocası için yemek yapmayı reddedince, bilmeden kocasının evdeki alışkanlıklarını bozarak acıya neden olur. Bu her zaman makul bir politika değildir, olumsuz durumlarda tarafsız davranmak ve en ufak olumlu değişiklikleri kocanızın en sevdiği veya romantik çağrışımlarınız olan bir yemekle ödüllendirmek daha iyidir.
Sonraki iki seviyeyi birlikte ele alacağız çünkü anlam olarak yakınlar - bunlar saygı ve sevgi ihtiyaçları. Hakaretler incitir ve meşhur soru "Sen ben misin?" müteakip manipüle etme girişimleriyle hem erkeklerin hem de kadınların kanını oldukça bozar. Ancak bu seviyede, birçok insan çok bağımlı ve savunmasızdır. Doğru davranışın teşvik edilmesi, özellikle dışardan gelen içten övgüler, nazik dokunuşlar ve sevgi dolu bakışlarla sağlanır.
Kendini gerçekleştirme ihtiyacı piramidi taçlandırıyor. Buradaki yanlış davranış, sevgilinin zevklerini, manevi ihtiyaçlarını ve özlemlerini alaya almaktır. İhtiyacınız olan her karardan sonra, partnerinizin çalışmasına dikkatinizi çekmeyin. Bu, küçük şeylerde kendini gösterebilir, örneğin, onun iyi şakalarına gülersiniz ve bunları yazara atıfta bulunarak diğer insanlara yeniden anlatırsınız. Sevdiğiniz kişinin gerçekten yetenekli olduğu alanda yaratıcı olması için koşullar yaratmak da iyidir.
Elbette partnerinizi gerekli olandan mahrum bırakarak hedeflerinize ulaşabilirsiniz. Ancak ilişkileri yalnızca sevdiğiniz birinin ihtiyaçlarını karşılayarak gerçekten güçlendirebilir ve zenginleştirebilirsiniz. üst sınıf. Özverili ve bencil olmayan sevgi, belirli bir durumda tahmin etmenize yardımcı olacaktır.
İlgili videolar
Not
Problemin doğrusallık özelliğini kullanarak, bu noktaları sözde geçiş çizgisi ile birleştiriyoruz. S3−4 (x) grafiğinin oluşturulmuş iki kolundan oluşan etki çizgisi ve geçiş çizgisi, S3−4 kuvvetinin etki çizgisini oluşturur; bu, bu kuvvetin birim yükün konumuna bağlı olduğu anlamına gelir. (Şek. 97). Tek bir yükü alttan hareket ettirirken raf 3-8'de bir efor etkisi çizgisi oluşturuyoruz.
kaynaklar:
- 2019'da bir ışında etki çizgileri oluşturmak için kinematik yöntem
Hepimizi çevreleyen dünyanın üç boyutu vardır, ancak çevreleyen gerçekliği tasvir etmeye çalıştığımız kağıt veya tuval ne yazık ki sadece iki boyutludur. Tasvir ettiğimiz nesnelerin olabildiğince hacimli ve gerçekçi görünmesi için belirli kurallara uymanız ve doğru şekilde oluşturmanız gerekir. perspektif.
İhtiyacın olacak
- kağıt, kalem, cetvel
Talimat
Ardından, nesnenin ufuk çizgisine göre nerede bulunacağını belirleriz. Göz hizasındaysa (yani ufuktaysa), o zaman doğrudan konuya bakarız. Nesne ufuk çizgisinin üzerindeyse sırasıyla aşağıdan bakarız, bu durumda alt kısım görünür hale gelir. Nesne ufuk çizgisinin altına yerleştirilirse, görünür olan Üst kısmı. Bir nesne oluşturuyoruz, tüm paralel çizgilerin bir noktada birleşmesi için bir cetvelle kontrol ediyoruz.
İlgili videolar
Not
Ayrıca, bir perspektif oluştururken, yalnızca tüm paralel çizgilerin bir noktada birleştiğini değil, aynı zamanda uzaklaştıkça tasvir edilen tüm nesnelerin azaldığını da unutmamak gerekir. Kesinlikle uzak nesneler noktalara dönüşür.
İÇİNDE Son zamanlarda Garaj yapımında şeffaf kaplamalı çatı kaplama malzemeleri giderek daha fazla kullanılmaktadır. Şeffaf bir çatının avantajı, çok sayıda gün ışığı ve aydınlatma seviyesi, ek olmadan çalışmanıza izin verir yapay aydınlatma.
İhtiyacın olacak
- - rulet;
- - işaretleyici;
- - delmek;
- - vidalar;
- - Tornavida;
- - şeffaf plastik;
- - sızdırmazlık halkaları;
- - sızdırmazlık maddesi;
- - profilli köpük.
Talimat
Çatıları bir mezura ile ölçün. Çatı kaplamasını, levhaları üst üste gelecek şekilde işaretleyin. Örtüşmenin genişliği bir buçuk santimetredir. Kesim çizgisini renkli bir kalemle işaretleyin. Poponun 90 derecelik bir açıyla kenara bitişik olması gerektiğini unutmayın.
Plastik levhalardaki vidalar için delikler açın. Deliğin çapı, donanımın çapından 4 mm daha büyük olmalıdır. Vidalarla sabitleyin. Bağlayıcılar, kabartma levhanın her ikinci tepesine yerleştirilmelidir. Plastik oldukça kırılgan bir malzemedir, bu nedenle sabitlenmesi sırasında mekanik etkiyi sınırlayın. Bir tornavida kullanılması tavsiye edilir.
Çatıyı kurarken, duvarlar arasına sızdırmazlık halkaları ve plastik kapaklar takmak gerekir. Ek bir conta olarak, açık deliklere vidalarla sabitlenmiş profilli bir conta kullanabilirsiniz.
İlgili videolar
Not
Garajın çatısı, ancak kiriş çerçeveleri aynı şekilde ve doğru şekilde ayarlanmışsa doğru ve güzel görünecektir. Bu nedenle hazırlık ve çatı kaplama işlerinin üretiminde şablonlar kullanılmalıdır. İlk prefabrik çerçeve böyle bir şablon olarak kullanılır.
Kesme işlemi sırasında şeffaf kaplamanın hareket etmesini önlemek için, ara parça olarak ahşap kalaslar kullanılarak bir aletle sıkıştırılmalıdır. Plastik çatı en iyi şekilde ince dişli bir testere ile kesilir. Alet hafifçe eğilmeli ve onunla basınçsız çalışılmalıdır. Aksi takdirde testere bıçağı sıkışacaktır.
kaynaklar:
- Cihaz farklı şekiller 2019'da garaj çatıları
Yazın gelmesiyle birlikte gardırobunuzu değiştirmek, yeni renkler ve stiller eklemek istiyorsunuz. Bunun için mağazaya gitmeye gerek yok - bazı kıyafet modelleri kendi başlarına dikilebilir. Yapması en kolay giysilerden biri sundress. seçmek için yeterli iyi ışık kumaş, bir desen yapın ve tüm detayları birlikte dikin.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - kalem;
- - şerit metre;
- - cetvel;
- - makas.
Talimat
Bir mezura alın ve aşağıdaki mesafeleri ölçün: DSP - bele kadar olan sırt uzunluğu, DSB - kalçalara kadar olan uzunluk, PG - omuzdan üst göğüse olan mesafe, OT - bel, OB - kalçalar, OG - göğüs, VT - kalçalar arasındaki mesafe göğsün üst noktaları, CI - ürünün uzunluğu (omuzdan etek ucuna).
Büyük bir kağıt alın (milimetre işaretli desenler için tercihen özel kağıt) ve uzunluğu CI'ye ve genişliği OG'nin dörtte birine eşit olan bir dikdörtgen çizin. Kalçanız göğsünüzden daha büyükse, dikdörtgenin genişliği OB'nin dörtte biri olmalıdır. Bu ön yarı olacak. Hemen dikey kenarlardan birini orta olarak işaretleyin.
Belinizi, göğüs ve kalçalarınızı bulun. Bunu yapmak için dikdörtgenin üst sınırından PG, DST ve DSB'ye eşit mesafeleri ölçün ve bu seviyede çizin yatay çizgiler.
Göğsünün üstünü bul. Bunu yapmak için, BT'nin yarısını önün ortasından göğüs çizgisi boyunca ölçün. Bu noktadan, tüm dikdörtgen boyunca dikey bir çizgi çizin.
Bu çizginin bel çizgisi ile kesiştiği noktada bir kıvırma yapın, bunun için kesişme noktasının sağından ve solundan 2-4 cm ayırın ve bu iki noktayı göğüs üst noktasına ve kalça hizasına birleştirin. . Sonunda uzun dikey bir elmas almalısın. Yan dikiş boyunca ikinci bir kıvrım yapın (yarım eşkenar dörtgen elde edeceksiniz).
Sundressin üstünü "L" harfi şeklinde dilediğiniz gibi süsleyin. Yuvarlak, üçgen veya düz kesim yapabilirsiniz. Figürünüze bağlı olarak kol deliğini alçak veya yüksek yapın. "L" harfinin üst kısmında (kol deliği ve boyun çizgisinin kesiştiği noktada), askıları bağlayın.
Aynı şekilde, sırt için bir desen oluşturun. Arka ve ön kısım arasındaki fark, üst kısmın, kol evi çizgisinin yan çizgi ile kesişme noktası boyunca yatay olarak kesilmesidir.
Sundress modelinin ayrıntılarını kesin ve dikmeye başlayın.
İskele, sanki suyun üzerinde yüzüyormuş gibi kıyı şeridine yakın bir platformdur.
Genellikle ahşaptırlar ve bahçe yolunun devamını temsil ederler. Sahneye, balık tutmanın keyifli olduğu veya sadece gölete hayran kalacağınız ahşap bir çardak veya bank koyabilirsiniz. Ve bir gölette yüzebilirseniz, dalış için daha uygun bir yer bulamazsınız.
İskele tasarlamak ve kurmak ilginç ve yaratıcı bir iştir:
1. Önce kazıklar kurulur, metal bir borudan (100x100 mm) yapılabilirler,
2. Daha sonra, döşeme tahtalarının zaten takılı olduğu ahşap veya metal bir çerçeve yapıştırılır. Ahşabın hava alması için aralarında boşluklar vardır.
3. Kıyıda, her üç metrede bir, döşemenin dayandığı temel direkleri inşa edilir. Yağmur dönemlerinde su seviyesinin yükseldiği göz önüne alındığında, suyun 20-30 cm üzerine çıkmaları gerekir. Uzmanlara göre su yüzeyinin %25'inden fazlasına iskele yapılmaz.
ÇOKLU DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI
1. TEMEL KAVRAMLAR
Z, R aralığına sahip bir değişken olsun; R- sayı doğrusu; D - R2 koordinat düzlemindeki alan.
Herhangi bir D->R eşleştirmesi, D alanı ile iki değişkenin bir fonksiyonu olarak adlandırılır ve z = f(x;y) yazılır.
Başka bir deyişle:
D alanından iki bağımsız değişkenin her çiftine (x; y), bir kurala göre, R'den belirli bir z değeri atanırsa, o zaman z değişkeni, D alanıyla x ve y iki bağımsız değişkenin bir fonksiyonu olarak adlandırılır. ve yaz
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">
ÖRNEK 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" genişlik="110" yükseklik="89">
Tanım alanı, orijinde merkezli, r = 3 yarıçaplı bir çemberin içinde uzanan düzlemin bir parçasıdır, şekle bakın.
ÖRNEK 3. Bir fonksiyonun alanını bulun ve çizin
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">
2. İKİLİNİN FONKSİYONUNUN GEOMETRİK YORUMU
DEĞİŞKENLER
2.1 İki değişkenli bir fonksiyonun grafiği
Uzayda bir dikdörtgen koordinat sistemi ve xOy düzleminde bir D alanı düşünün. Bu alandan her M(x; y) noktasında, xOy düzlemine dikliği geri getiriyoruz ve üzerine z = f(x; y) değerini çiziyoruz. Elde edilen noktaların geometrik yeri
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">
Bunlar orijinde merkezli dairelerdir, yarıçap R = C1/2 ve denklem
x2 + y2 = R2, şekle bakın.
Seviye çizgileri, kesitte z = C düzlemleriyle eşmerkezli daireler veren, dikkate alınan yüzeyi temsil etmeyi mümkün kılar.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> ve bulun .
Çözüm. Kesitler yöntemini kullanalım.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60"> - düzlemde - parabol.
- uçakta - bir parabol.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> bir çemberdir.
Arzu edilen yüzey bir dönüş paraboloididir.
Mesafe iki rastgele nokta arasında ve (Öklid) uzayına sayı denir
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" genişlik="153 yükseklik=24" yükseklik="24"> denir açık daire r noktasında ortalanmış yarıçap.
A noktasında merkezli ε yarıçaplı açık çembere denir. - ε - komşu A noktaları
3 görev
Bir fonksiyonun alanını bulun ve grafiksel olarak temsil edin:
Özellik seviyesi çizgileri oluşturun:
3. İKİ DEĞİŞKENLİ BİR FONKSİYONUN SINIRI
Temel konseptler matematiksel analiz, tek değişkenli bir işlev için tanıtılan, birkaç değişkenli işlevlere uygulanır.
Tanım:
Sabit bir A sayısı, eğer varsa x -> x0, y -> y0 için iki değişkenli z \u003d f (x; y) fonksiyonunun limiti olarak adlandırılır.
ε >0 orada δ >0 vardır, öyle ki |f(x; y) - A|< ε , как только
|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.
Bu gerçek şu şekilde ifade edilmektedir:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. İki değişkenli bir fonksiyon için, düzlemde limit noktasına olan eğilim birlikte meydana gelebilir sonsuz sayı yönler (ve düz bir çizgi boyunca olmak zorunda değildir) ve bu nedenle iki (veya birkaç) değişkenli bir fonksiyon için bir limitin varlığı gerekliliği, bir değişkenli fonksiyona kıyasla "daha katıdır".
ÖRNEK 1. Bulmak .
Çözüm. Aspirasyonun sınır noktasına http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24"> izin verin.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> bağlıdır.
ÖRNEK 2. Bulmak .
Çözüm. Herhangi bir düz çizgi için sınır aynıdır:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Ardından
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (gerisi benzetme yoluyla).
Tanım. numara denir limit eşitsizlikler ve eşitsizliği ima ediyorsa, ve için işlevler 
. Bu gerçek kısaca şöyle yazılmıştır:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" genişlik="124" yükseklik="48">.gif" genişlik="236" yükseklik="48 kaynak=">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,
kapsam ve izin ile sınır noktası http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> nerede - kümenin sınır noktası, yani bağımsız değişkenlerin yöneldiği nokta X Ve de.
tanım 1. fonksiyon diyorlar eğer bir noktada süreklidir:
1) ;
2) 
, yani 
.
Sürekliliğin tanımını eşdeğer bir biçimde formüle ediyoruz..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> eşitlik bir noktada süreklidir
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" genişlik="16" yükseklik="20 src=">.gif" genişlik="15 yükseklik=16" yükseklik="16"> keyfi bir artış verin. Fonksiyon tarafından artırılacak X
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> tek değişkenli bir fonksiyondur. Benzer şekilde,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> denir bir değişkende (bir değişkende) bir noktada sürekli, eğer
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" genişlik="101" yükseklik="36">).
teoremeğer işlevbir noktanın bazı komşuluklarında tanımlı ve bu noktada sürekli ise, değişkenlerin her birinde bu noktada süreklidir.
Tersi doğru değil.
ÖRNEK fonksiyonunun olduğunu kanıtlayalım.
noktada sürekli http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" genişlik="15 yükseklik=16" yükseklik="16">.gif" genişlik="57" yükseklik="24" > artışa karşılık gelen noktada http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, yani değişkene göre bir noktada süreklidir.
Benzer şekilde, değişkene göre bir noktada süreklilik ispatlanabilir.
Limitin olmadığını gösterelim. Noktanın, noktadan geçen düz çizgi boyunca noktaya meyletmesine izin verin. Sonra alırız
.
Böylece http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20"> noktasına yaklaşırken farklı limit değerler elde ediyoruz. işlev noktada mevcut değil, yani işlev http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Diğer atamalar
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">
Diğer atamalar
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.
Çözüm. Sahibiz:
, 
ÖRNEK 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">
ÖRNEK 3. Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">
Örnek 4 Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">
5.2. İki değişkenli bir fonksiyonun birinci dereceden diferansiyelleri
z \u003d f (x, y) fonksiyonunun x ve y değişkenlerine göre kısmi diferansiyelleri, sırasıyla x (x; y) ve f "y (x; y) formülleri ile belirlenir. (x0; y0) ve bazı komşuluklarında ve bu noktada sürekli ise, tek değişkenli bir fonksiyona benzetilerek, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam artışı için bir formül kurulur.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">
burada http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Başka bir deyişle, z = f(x, y) fonksiyonu, (x, y) noktasında türevlenebilir, eğer artışı Δz fonksiyona eşdeğer ise: 
İfade
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">
Δх = dx, Δy=dy gerçeğini dikkate alarak:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> bir noktada türevlenebilir, ardından o noktada süreklidir.
Tersi doğru değildir, yani süreklilik, bir fonksiyonun türevlenebilir olması için yalnızca gerekli ancak yeterli bir koşul değildir. Hadi gösterelim.
ÖRNEK http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src="> işlevinin kısmi türevlerini bulalım.
Ortaya çıkan formüller, http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> noktasında kısmi türevi yoktur noktasında anlamlarını kaybederler. Aslında, 
. Bir değişkenin bu fonksiyonunun türevi olmadığı biliniyor ve http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> noktasında yok. Benzer şekilde, kısmi türev yoktur, fonksiyon ise 
noktasında süreklidir.
Böylece sürekli bir fonksiyonun kısmi türevi olmayabileceğini göstermiş olduk. Geriye türevlenebilirlik ile kısmi türevlerin varlığı arasındaki bağlantıyı kurmak kalıyor.
5.4. Türevlenebilirlik ile kısmi türevlerin varlığı arasındaki ilişki.
teorem 1. Türevlenebilirlik için gerekli bir koşul.
Bir z = f(x, y) fonksiyonu M(x, y) noktasında türevlenebilirse, o zaman her bir değişkene göre kısmi türevleri vardır ve .
Ters teorem doğru değildir, yani kısmi türevlerin varlığı gereklidir, ancak fonksiyonun türevlenebilir olması için yeterli bir koşul değildir.
Teorem 2. Türevlenebilirlik için yeterli koşul. z = f(x, y) fonksiyonunun sürekli kısmi türevleri varsa ve noktasında , o zaman bu noktada türevlenebilir (ve bu noktadaki toplam diferansiyeli http://pandia.ru/text/ formülüyle ifade edilir) 78/481/resimler/resim130 .gif" genişlik="101 yükseklik=29" yükseklik="29">
Örnek 2 3.021,97 hesapla
3 görev
Diferansiyeli kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın:
5.6. Karmaşık ve örtük fonksiyonların farklılaşması için kurallar. Tam türev.
Dava 1
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
u ve v fonksiyonları, x, y argümanlarının sürekli fonksiyonlarıdır.
Dolayısıyla, z işlevi, x ve y argümanlarının karmaşık bir işlevidir: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) fonksiyonlarının tüm argümanlarına göre sürekli kısmi türevlere sahip olduğunu varsayalım.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src="> hesaplama görevini ayarlayalım.
x bağımsız değişkenine Δx artışını vererek y bağımsız değişkeninin değerini sabitleriz. O zaman iki değişkenin fonksiyonları u= φ(x, y) ve
v= φ(x, y) Δxu ve Δxv kısmi artışlarını alacaktır. Bu nedenle, z=f(u, v), Bölüm 5.2'de tanımlanan tam artışı alacaktır (iki değişkenli bir fonksiyonun birinci dereceden diferansiyelleri):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">
xu→ 0 ise, Δxu → 0 ve Δxv → 0 ise (u ve v fonksiyonlarının sürekliliğinden dolayı). Δx → 0'daki sınıra geçerek şunu elde ederiz:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
ÖRNEK
Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Sonra (*) formülüne göre şunu elde ederiz:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.
Nihai sonucu elde etmek için son iki formülde u ve v yerine sırasıyla ex + y² ve x2 + y yazmalısınız.
Durum 2
x ve y fonksiyonları sürekli fonksiyonlardır.
Bu nedenle, z=f(x, y) işlevi, x ve y aracılığıyla bir bağımsız değişken t'ye bağlıdır, yani x ve y'nin bağımsız değişkenler olmadığını, bağımsız değişken t'nin işlevleri olduğunu varsayalım ve türevi tanımlayın http: //pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" genişlik="235" yükseklik="44 kaynak=">
Bu eşitliğin her iki tarafını da Δt'ye bölelim:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)
Durum 3
Şimdi, t bağımsız değişkeninin rolünü x değişkeninin oynadığını, yani z=f(x, y) işlevinin hem doğrudan hem de sürekli bir işlev olan y değişkeni aracılığıyla x bağımsız değişkenine bağlı olduğunu varsayalım. x'in
Oysa http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Türev x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Kısmi türevleri bulma
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">
Karmaşık fonksiyonların farklılaşmasının kanıtlanmış kuralı, bir türev, örtük bir fonksiyon bulmak için kullanılır.
Örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevi.
Diyelim ki denklem
y'yi, türevi olan x'in örtük bir fonksiyonu olarak tanımlar
y' = φ'(x)_
F(x, y) = 0 denkleminde y = φ(x)'i yerine koyarsak, 0 = 0 özdeşliğini elde etmeliyiz, çünkü y = φ(x) bu denklemin çözümüdür. Bu nedenle, sabit sıfırın hem doğrudan hem de y = φ(x) yoluyla x'e bağlı olan x'in karmaşık bir fonksiyonu olarak kabul edilebileceğini görüyoruz.
Bu sabitin x türevi sıfır olmalıdır; (***) kuralını uygulayarak elde ederiz
F'x(x, y) + F'y(x, y) y' = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">
Buradan,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> hem bir işlev hem de diğer işlev için geçerlidir.
5.7. Birinci dereceden tam diferansiyel. Birinci dereceden diferansiyelin form değişmezliği
http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> ifadelerini eşitliklerle (*) tanımlayın (bkz. bölüm 5.6'daki durum 1) "Karmaşık ve örtük fonksiyonları ayırt etme kuralları. Toplam türev") toplam diferansiyelin formülüne
Gif" width="33" height="19 kaynak=">.gif" genişlik="33" yükseklik="19 kaynak=">.gif" genişlik="140" yükseklik="44 kaynak=">
O zaman, iki değişkenli bir fonksiyonun birinci dereceden toplam diferansiyeli için formül şu şekildedir:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">
Son eşitliği iki bağımsız değişkenli bir fonksiyonun birinci diferansiyeli için formülle karşılaştırarak, birkaç değişkenli bir fonksiyonun birinci dereceden toplam diferansiyeli için ifadenin, u ve v olsaydı sahip olacağı formun aynısına sahip olduğunu söyleyebiliriz. bağımsız değişkenler.
Başka bir deyişle, birinci diferansiyelin şekli değişmezdir, yani u ve v değişkenlerinin bağımsız değişkenler olmasına veya diğer değişkenlere bağlı olmasına bağlı değildir.
ÖRNEK
Bir bileşik fonksiyonun toplam birinci mertebe diferansiyelini bulun
z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3 ey.
Çözüm Birinci dereceden toplam diferansiyel formülüne göre,
dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =
2uv3 (2x günah y dx+x2 çünkü y dy)+3u2v2 (3x2 ey dx+x3 ey dy).
Bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:
dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 rahat+3u2v2x3 ey) dy=
Diferansiyelin değişmezlik özelliği, toplam, çarpım ve bölümün diferansiyelini bulma kuralını birkaç değişkenli bir fonksiyon durumuna genişletmemizi sağlar:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Bu
fonksiyon tüm gerçek x, y ve t için üçüncü dereceden homojen olacaktır. Üçüncü dereceden x ve y'deki herhangi bir homojen polinom aynı fonksiyon olacaktır, yani her terimde xnu üslerinin toplamının üçe eşit olduğu böyle bir polinom:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">
sırasıyla 1, 0 ve (- 1) derecelerinin homojen fonksiyonlarıdır..jpg" width="36" height="15">. Gerçekten de,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">
t=1 ayarını buluruz
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">
Kısmi türevler http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), genellikle
Başka bir deyişle, x ve y değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Bu nedenle, bunların kısmi türevleri yine bulunabilir. Bu nedenle, iki değişkenli bir fonksiyonun dört ikinci dereceden kısmi türevi vardır, çünkü ve fonksiyonlarının her biri hem x hem de y'de türevlenebilir.
İkinci kısmi türevler aşağıdaki gibi gösterilir:
n'inci mertebenin türevidir; burada z fonksiyonu önce x'e göre p kez, sonra y'ye göre n - p kez türevlendi.
Herhangi bir sayıda değişkenin bir fonksiyonu için, daha yüksek mertebeden kısmi türevler benzer şekilde tanımlanır.
P R Ve M e r 1. Bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevlerini hesaplayın
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">
ÖRNEK 2. Hesaplayın ve http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
ÖRNEK 3. eğer hesapla
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">
x, f "y, f" xy ve f "yx, M(x, y) noktasında ve bazı komşuluklarında, sonra bu noktada tanımlı ve süreklidir.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" genişlik="50 yükseklik=28" yükseklik="28">.jpg" genişlik="523" yükseklik="128 src=">
Buradan,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">
Çözüm.
Karışık türevler eşittir.
5.10. Bir fonksiyonun daha yüksek dereceli diferansiyelleriNdeğişkenler.
Tam diferansiyel d sen birkaç değişkenli fonksiyonlar da aynı değişkenlerin bir fonksiyonudur ve bu son fonksiyonun toplam diferansiyelini belirleyebiliriz. Böylece, aynı değişkenlerin bir fonksiyonu olacak orijinal u fonksiyonunun ikinci dereceden bir diferansiyel d2u elde ederiz ve bunun toplam diferansiyeli bizi orijinal fonksiyonun üçüncü dereceden bir diferansiyel d3u'suna götürür, vb.
İki değişkenli x ve y'den oluşan bir u=f(x, y) fonksiyonunu daha ayrıntılı olarak ele alalım ve x ve y değişkenlerinin bağımsız değişkenler olduğunu varsayalım. bir manastır
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">
d3u'yu aynı şekilde hesaplayarak şunu elde ederiz:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
ayrıca, bu formül şu şekilde anlaşılmalıdır: parantez içindeki toplam, Newton binom formülü kullanılarak n'nin gücüne yükseltilmelidir, ardından y ve http://pandia.ru/text/78/481/images/ üsleri image235.jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> yön kosinüsleri cos α, cos β (α + β = 90°). Vektör üzerindeki M1(x + Δx; y + Δy) noktasını ele alalım. M noktasından M1 noktasına hareket ederken, z = f(x; y) işlevi tam bir artış alacaktır.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> sıfıra eğilimlidir (bkz. Şek.).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">
burada http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src="> ve dolayısıyla şunu elde ederiz:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> Δs->0 çağrıldığında
su fonksiyonu z = f(x; y) noktasında (x; y) vektörü yönünde ve ile gösterilir
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Böylece, fonksiyonun kısmi türevlerini bilmek
z \u003d f (x; y) bu fonksiyonun türevini herhangi bir yönde bulabilirsiniz ve her kısmi türev, yöndeki türevinin özel bir halidir.
ÖRNEK Bir fonksiyonun türevini bulun
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" genişlik="253 yükseklik=62" yükseklik="62">
Dolayısıyla z = f(x;y) fonksiyonu bu yönde artar.
5. 12 . Gradyan
z \u003d f (x; y) fonksiyonunun gradyanı, koordinatları bu fonksiyonun karşılık gelen kısmi türevleri olan vektördür
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">
yani..jpg" genişlik="89" yükseklik="33 kaynak=">
M(3;4) noktasında.
Çözüm.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">
n-boyutlu uzayın nokta kümesinden (X) her bir X = (x 1 , x 2 , ... x n) noktasına z değişkeninin iyi tanımlanmış bir değeri atanırsa, o zaman şunu söyleriz: n değişkenin işlevi z \u003d f (x 1, x 2, ... x n) \u003d f (X).
Bu durumda, x 1, x 2, ... x n değişkenleri çağrılır. bağımsız değişkenler veya argümanlar fonksiyonlar, z - bağımlı değişken ve f simgesi şu anlama gelir: yazışma kanunu. (X) kümesine denir tanım alanı fonksiyonlar (bu, n-boyutlu uzayın belirli bir alt kümesidir).
Örneğin, z = 1/(x 1 x 2) fonksiyonu iki değişkenli bir fonksiyondur. Bağımsız değişkenleri, x 1 ve x 2 değişkenleridir ve z, bağımlı değişkendir. Tanım alanı, x 1 \u003d 0 ve x 2 \u003d 0 düz çizgileri hariç tüm koordinat düzlemidir, yani. apsis ve ordinat eksenleri olmadan. Tanım alanından herhangi bir noktayı işlevde yerine koyarsak, karşılık gelme yasasına göre belirli bir sayı elde ederiz. Örneğin, (2; 5) noktasını alarak, yani x 1 = 2, x 2 = 5, elde ederiz
z = 1/(2*5) = 0,1 (yani z(2; 5) = 0,1).
a 1, a 2, ... ve n, b'nin sabit sayılar olduğu z \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b biçimindeki bir işlev denir doğrusal. x 1 , x 2 , ... x n değişkenlerinin n doğrusal fonksiyonunun toplamı olarak düşünülebilir. Diğer tüm işlevler çağrılır doğrusal olmayan.
Örneğin, z \u003d 1 / (x 1 x 2) işlevi doğrusal değildir ve z \u003d işlevi
\u003d x 1 + 7x 2 - 5 - doğrusal.
Biri hariç tüm değişkenlerin değerlerini sabitlerseniz, herhangi bir z \u003d f (X) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) işlevi, bir değişkenin n işleviyle ilişkilendirilebilir.
Örneğin, z \u003d 1 / (x 1 x 2 x 3) üç değişkenli işlevler, bir değişkenli üç işlevle ilişkilendirilebilir. x 2 \u003d a ve x 3 \u003d b'yi düzeltirsek, işlev z \u003d 1 / (abx 1); x 1 \u003d a ve x 3 \u003d b'yi düzeltirseniz, z \u003d 1 / (abx 2) şeklini alacaktır; x 1 = a ve x 2 = b sabitlersek, z = 1/(abx 3) şeklini alır. İÇİNDE bu durumüç işlevin tümü aynı forma sahiptir. Her zaman böyle değil. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyon için x 2 = a'yı sabitlersek, o zaman z = 5x 1 a şeklini alacaktır, yani. güç fonksiyonu ve eğer x 1 = a'yı düzeltirsek, o zaman , yani şeklini alacaktır. üstel fonksiyon.
takvim iki değişkenli fonksiyonlar z = f(x, y), üç boyutlu uzayın (x, y, z) noktalarının kümesidir; uygulama z'si, x apsisi ve y koordinatı ile işlevsel ilişkiyle ilişkilidir.
z = f(x, y). Bu grafik, üç boyutlu uzayda belirli bir yüzeyi temsil eder (örneğin, şekil 5.3'teki gibi).
Bir fonksiyon doğrusal ise (yani z = ax + by + c), grafiğinin üç boyutlu uzayda bir düzlem olduğu kanıtlanabilir. Diğer örnekler 3D grafikler Kremer'in ders kitabına göre (s. 405-406) kendi başınıza çalışmanız önerilir.
İkiden fazla değişken varsa (n değişken), o zaman takvim fonksiyon, x-koordinatı n+1'in belirli bir fonksiyonel yasaya göre hesaplandığı, (n+1) boyutlu uzayda bir dizi noktadır. Böyle bir tabloya denir hiper yüzey(İçin doğrusal fonksiyon – hiper düzlem) ve aynı zamanda bilimsel bir soyutlamayı temsil eder (onu tasvir etmek imkansızdır).
Şekil 5.3 - Üç boyutlu uzayda iki değişkenli bir fonksiyonun grafiği
Yüzey seviyesi n değişkenli bir fonksiyon, n boyutlu bir uzayda bir dizi noktadır, öyle ki tüm bu noktalarda fonksiyonun değeri aynı ve C'ye eşittir. Bu durumda C sayısının kendisine denir. seviye.
Genellikle aynı işlev için sonsuz sayıda düz yüzey (farklı düzeylere karşılık gelen) oluşturmak mümkündür.
İki değişkenli bir fonksiyon için seviye yüzeyi şu şekli alır: seviye çizgileri.
Örneğin, z = 1/(x 1 x 2) düşünün. C = 10 alalım, yani 1 / (x 1 x 2) \u003d 10. Sonra x 2 \u003d 1 / (10x 1), yani. bir düzlemde, seviye çizgisi düz bir çizgi ile Şekil 5.4'te gösterilen formu alacaktır. Başka bir seviye, örneğin C \u003d 5 alarak, x 2 \u003d 1 / (5x 1) fonksiyonunun grafiği şeklinde bir seviye çizgisi elde ederiz (Şekil 5.4'te noktalı çizgi ile gösterilmiştir).
Şekil 5.4 - z \u003d 1 / (x 1 x 2) fonksiyon seviyesinin çizgileri
Bir örnek daha ele alalım. z \u003d 2x 1 + x 2 olsun. C = 2 alalım, yani 2x 1 + x 2 \u003d 2. Sonra x 2 \u003d 2 - 2x 1, yani. bir düzlemde, seviye çizgisi, Şekil 5.5'te düz bir çizgi ile gösterilen düz bir çizgi şeklini alacaktır. Başka bir seviye, örneğin C \u003d 4 alarak, düz bir çizgi x 2 \u003d 4 - 2x 1 şeklinde bir seviye çizgisi elde ederiz (Şekil 5.5'te noktalı çizgi ile gösterilmiştir). 2x 1 + x 2 = 3 için seviye çizgisi Şekil 5.5'te noktalı çizgi olarak gösterilmiştir.
İki değişkenli doğrusal bir fonksiyon için, herhangi bir seviye çizgisinin düzlem üzerinde düz bir çizgi olacağını ve tüm seviye çizgilerinin birbirine paralel olacağını görmek kolaydır.
Şekil 5.5 - Fonksiyon seviyesi çizgileri z = 2x 1 + x 2
Çoklu Değişkenli Bir Fonksiyon Tanımlama
Bir değişkenin işlevlerini göz önünde bulundurarak, birçok olgunun incelenmesinde iki veya daha fazla bağımsız değişkenin işlevleriyle uğraşılması gerektiğine dikkat çektik. Bazı örnekler verelim.
örnek 1 Kare S kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgen X Ve de, formülle ifade edilir S = hu. Her değer çifti X Ve de belirli bir alan değerine karşılık gelir S; S iki değişkenli bir fonksiyondur.
Örnek 2 Hacim v kenarları eşit uzunlukta küboid X, de, z, formülle ifade edilir v= xyz. Burada vüç değişkenli bir fonksiyondur X, de, z.
Örnek 3
Menzil R başlangıç hızında ateşlenen mermilerin uçuşu v Namlusu ufka açısında eğimli olan bir silahtan 0, formülle ifade edilir 
(hava direnci ihmal edilirse). Burada G yerçekimi ivmesidir. Her değer çifti için v 0 ve bu formül belirli bir değer verir R, yani R iki değişkenli bir fonksiyondur v 0 ve .
Örnek 4
. Burada Ve dört değişkenli bir fonksiyondur X, de, z, T.
tanım 1. Eğer her bir çift ( X, de) iki bağımsız değişkenin değerleri X Ve de değişimlerinin bazı alanlarından D, belirli bir miktar değerine karşılık gelir z, o zaman diyoruz ki z bir fonksiyon var iki bağımsız değişken x Ve de, alanda tanımlanmış D.
Sembolik olarak, iki değişkenli bir fonksiyon aşağıdaki gibi gösterilir:
z= F(X, y), z = F(X, y) vesaire.
İki değişkenli bir fonksiyon, örneğin bir tablo kullanılarak veya yukarıda tartışılan örneklerde yapıldığı gibi bir formül kullanılarak analitik olarak belirtilebilir. Formüle dayanarak, bağımsız değişkenlerin bazı değer çiftleri için bir fonksiyon değerleri tablosu derlemek mümkündür. Yani, ilk örnek için aşağıdaki tabloyu oluşturabilirsiniz:
S = hu
Bu tabloda, belirli değerlere karşılık gelen bir satır ve bir sütunun kesiştiği noktada X Ve de, işlevin karşılık gelen değeri S. Eğer işlevsel bağımlılık z= F(X, y) miktarının ölçülmesi sonucunda elde edilir. z herhangi bir fenomenin deneysel çalışmasında, hemen belirleyen bir tablo elde edilir. z iki değişkenin bir fonksiyonu olarak. Bu durumda, işlev yalnızca tablo tarafından belirtilir.
Bir bağımsız değişken durumunda olduğu gibi, genel olarak konuşursak, herhangi bir değer için iki değişkenli bir fonksiyon mevcut değildir. X Ve de.
tanım 2.Çiftler kümesi ( X, de) değerler X Ve de, işlevin belirlendiği z= F(X, y), denir tanım alanı veya varlık alanı bu fonksiyon
Fonksiyonun alanı geometrik olarak açıkça gösterilmiştir. Her bir değer çifti ise X Ve de nokta ile temsil edeceğiz M(X, de) uçakta Ohu, o zaman fonksiyonun tanım alanı, düzlemde belirli bir nokta kümesi olarak temsil edilecektir. Bu nokta kümesi aynı zamanda fonksiyonun tanım alanı olarak da adlandırılacaktır. Özellikle, tüm düzlem tanım alanı olabilir. Aşağıda, esas olarak şu alanları ele alacağız: uçağın parçaları, çizgilerle sınırlanmış. sınırlayan çizgi verilen alan, arayacağız sınır alanlar. Alanın sınırda olmayan noktalarına denir. dahili alan noktaları. Sadece iç noktalardan oluşan alana denir. açık veya açık. Eğer sınır noktaları da bölgeye ait ise o bölgeye bölge denir. kapalı. Böyle bir sabit varsa, bir bölgenin sınırlı olduğu söylenir. İLE herhangi bir noktanın uzaklığı M kökenli alan HAKKINDA az İLE, yani | om| < İLE.
Örnek 5 Bir işlevin doğal kapsamını tanımlayın
z = 2X – de.
Analitik ifade 2 X – de herhangi bir değer için mantıklı X Ve de. Bu nedenle, fonksiyonun doğal alanı tüm düzlemdir. Ohu.
Örnek 6
.
İçin z gerçek bir değere sahipseniz, kök altında negatif olmayan bir sayıya ihtiyacınız vardır, yani X Ve de eşitsizliği karşılamalıdır 1 – X 2 – de 2 0 veya X 2 + de 2 1.
Tüm noktalar M(X, de), koordinatları belirtilen eşitsizliği karşılayan, orijinde ve bu dairenin sınırında merkezli 1 yarıçaplı bir daire içinde yer alır.
Örnek 7
.
Logaritmalar yalnızca pozitif sayılar için tanımlandığından, eşitsizlik karşılanmalıdır. X + de> 0 veya de > X.
Bu, işlevin kapsamının z düzlemin çizginin üzerindeki yarısıdır de = X, düz çizginin kendisi dahil değil.
Örnek 8 bir üçgenin alanı S bir temel fonksiyondur X ve yükseklik de: S= xy/2.
Bu işlevin kapsamı etki alanıdır. X 0, de 0 (çünkü bir üçgenin tabanı ve yüksekliği ne negatif ne de sıfır olabilir). Söz konusu fonksiyonun tanım alanının, fonksiyonun tanımlandığı analitik ifadenin doğal tanım alanıyla çakışmadığına dikkat edin, çünkü ifadenin doğal alanı hu/ 2 açıkça tüm uçak Ohu.
İki değişkenli bir fonksiyonun tanımını, üç veya daha fazla değişkenli duruma genellemek kolaydır.
tanım 3. Her bir değişkenin değer kümesi dikkate alınırsa X, de, z, …, sen, T bir değişkenin belirli bir değerine karşılık gelir w, sonra arayacağız w bağımsız değişkenlerin işlevi X, de, z, …, sen, T ve yaz w= F(X, de, z, …, sen, T) veya w= F(X, de, z, …, sen, T) ve benzeri.
İki değişkenli bir fonksiyon için olduğu gibi, üç, dört veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonun tanım alanından bahsedebiliriz.
Yani, örneğin, üçün işlevi için değişken alan tanım, bazı üçlü sayılar kümesidir ( X, de, z). Hemen dikkat edin, sayıların her üçlüsü bir noktayı tanımlar. M(X, de, z) boşlukta Ohuz. Sonuç olarak, üç değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı, uzayda belirli bir nokta kümesidir.
Benzer şekilde, dört değişkenli fonksiyonun etki alanından bahsedebiliriz. sen= F(X, y, z, T) bazı dörtlü sayı kümesi olarak ( X, y, z, T). Bununla birlikte, fonksiyonun etki alanı dört veya Daha değişkenler artık basit bir geometrik yoruma izin vermiyor.
Örnek 2, tüm değerler için tanımlanan üç değişkenli bir işlevi göstermektedir. X, de, z.
Örnek 4, dört değişkenli bir fonksiyonu göstermektedir.
Örnek 9 .
Burada w dört değişkenli bir fonksiyondur X, de, z, Ve, ilişkiyi sağlayan değişkenlerin değerleri için tanımlanmıştır:
Birkaç değişkenli fonksiyon kavramı
Birkaç değişkenli fonksiyon kavramını tanıtalım.
tanım 1. Her nokta olsun M bir dizi noktadan ( M) Öklid uzayı EM bazı yasalara göre yazışmalara belirli bir sayı konur Ve sayı kümesinden Ü. Sonra sette şunu söyleyeceğiz ( M) işlev ve =f(E). Bu durumda kümeler ( M) Ve sen sırasıyla tanım alanı (görev) ve işlevin değişiklik alanı olarak adlandırılır f(E).
Bildiğiniz gibi, tek değişkenli bir fonksiyon de = F(X) bir düzlemde bir çizgi olarak tasvir edilmiştir. İki değişken olması durumunda, tanım alanı ( M P) fonksiyonlar z = f(x, y) koordinat düzleminde bazı noktalar kümesidir Ohu(Şekil 8.1). Koordinat z isminde aplike, ve sonra fonksiyonun kendisi uzayda bir yüzey olarak temsil edilir. E3 . Benzer şekilde, fonksiyondan T değişkenler
sette tanımlanmış ( M) Öklid uzayı EM, Öklid uzayında bir hiper yüzeydir Em+1.
Bazı Çok Değişkenli Fonksiyon Çeşitleri
Birkaç değişkenli fonksiyon örneklerini düşünün ve bunların tanım alanlarını bulun.
E3 . Bu fonksiyonun etki alanı, düzlemin tüm nokta kümesidir. Oha. Bu fonksiyonun aralığı aralıktır)